Rozwiązanie najprostszej trygonometrycznej. Zasady znajdowania funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens i cotangens. Wykres funkcji cosinus, y = cos x

Pojęcia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa są głównymi kategoriami trygonometrii - gałęzi matematyki i są nierozerwalnie związane z definicją kąta. Posiadanie tej matematycznej nauki wymaga zapamiętywania i rozumienia wzorów i twierdzeń oraz rozwiniętego myślenia przestrzennego. Dlatego obliczenia trygonometryczne często sprawiają trudności uczniom i studentom. Aby je przezwyciężyć, powinieneś lepiej zapoznać się z funkcjami i wzorami trygonometrycznymi.

Pojęcia w trygonometrii

Aby zrozumieć podstawowe pojęcia trygonometrii, musisz najpierw zdecydować, czym jest trójkąt prostokątny i kąt w kole oraz dlaczego wszystkie podstawowe obliczenia trygonometryczne są z nimi powiązane. Trójkąt, w którym jeden z kątów wynosi 90 stopni, jest trójkątem prostokątnym. Historycznie figura ta była często wykorzystywana przez ludzi w architekturze, nawigacji, sztuce, astronomii. W związku z tym, studiując i analizując właściwości tej figury, ludzie doszli do obliczenia odpowiednich stosunków jej parametrów.

Główne kategorie związane z trójkątami prostokątnymi to przeciwprostokątna i nogi. Przeciwprostokątna to bok trójkąta, który jest przeciwny do kąta prostego. Nogi, odpowiednio, to dwie pozostałe strony. Suma kątów dowolnego trójkąta wynosi zawsze 180 stopni.

Trygonometria sferyczna to część trygonometrii, której nie uczy się w szkole, ale w naukach stosowanych, takich jak astronomia i geodezja, używają jej naukowcy. Cechą trójkąta w trygonometrii sferycznej jest to, że zawsze ma sumę kątów większą niż 180 stopni.

Kąty trójkąta

W trójkącie prostokątnym sinus kąta jest stosunkiem nogi przeciwległej do pożądanego kąta do przeciwprostokątnej trójkąta. W związku z tym cosinus jest stosunkiem sąsiedniej nogi i przeciwprostokątnej. Obie te wartości zawsze mają wartość mniejszą niż jeden, ponieważ przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa niż noga.

Tangens kąta jest wartością równą stosunkowi przeciwległego ramienia do sąsiedniego ramienia żądanego kąta lub sinusa do cosinusa. Z kolei cotangens jest stosunkiem sąsiedniej nogi o pożądanym kącie do przeciwległego kakteta. Cotangens kąta można również otrzymać dzieląc jednostkę przez wartość tangensa.

koło jednostkowe

Okrąg jednostkowy w geometrii to okrąg, którego promień jest równy jeden. Okrąg taki konstruowany jest w układzie współrzędnych kartezjańskich, przy czym środek okręgu pokrywa się z punktem początkowym, a położenie początkowe wektora promienia określa dodatni kierunek osi X (oś odciętej). Każdy punkt okręgu ma dwie współrzędne: XX i YY, czyli współrzędne odciętej i rzędnej. Zaznaczając dowolny punkt na okręgu w płaszczyźnie XX i opuszczając z niego prostopadłą do osi odciętej, otrzymujemy trójkąt prostokątny utworzony przez promień do wybranego punktu (oznaczmy go literą C), prostopadłą narysowaną do oś X (punkt przecięcia oznaczono literą G) oraz odcinek osi odciętej między początkiem (punkt oznaczono literą A) a punktem przecięcia G. Otrzymany trójkąt ACG jest trójkątem prostokątnym wpisanym w okrąg, gdzie AG to przeciwprostokątna, a AC i GC to nogi. Kąt między promieniem okręgu AC a odcinkiem osi odciętej o oznaczeniu AG określamy jako α (alfa). A więc cos α = AG/AC. Biorąc pod uwagę, że AC jest promieniem okręgu jednostkowego i jest równy jeden, okazuje się, że cos α=AG. Podobnie sin α=CG.

Dodatkowo znając te dane można wyznaczyć współrzędną punktu C na okręgu, ponieważ cos α=AG, a sin α=CG, co oznacza, że ​​punkt C ma podane współrzędne (cos α; sin α). Wiedząc, że tangens jest równy stosunkowi sinusa do cosinusa, możemy określić, że tg α \u003d y / x i ctg α \u003d x / y. Biorąc pod uwagę kąty w ujemnym układzie współrzędnych, można obliczyć, że wartości sinus i cosinus niektórych kątów mogą być ujemne.

Obliczenia i podstawowe wzory

Wartości funkcji trygonometrycznych

Po rozważeniu istoty funkcji trygonometrycznych poprzez koło jednostkowe możemy wyprowadzić wartości tych funkcji dla niektórych kątów. Wartości są wymienione w poniższej tabeli.

Najprostsze tożsamości trygonometryczne

Równania, w których pod znakiem funkcji trygonometrycznej znajduje się nieznana wartość, nazywane są trygonometrycznymi. Tożsamości o wartości sin x = α, k to dowolna liczba całkowita:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, brak rozwiązań.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Tożsamości o wartości cos x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, brak rozwiązań.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ± arccos α + 2πk.

Tożsamości o wartości tg x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Tożsamości o wartości ctg x = a, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Formuły odlewane

Ta kategoria formuł stałych oznacza metody, za pomocą których można przejść od funkcji trygonometrycznych postaci do funkcji argumentu, czyli zamienić sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta o dowolnej wartości na odpowiednie wskaźniki kąta przedział od 0 do 90 stopni dla większej wygody obliczeń.

Wzory na funkcje redukujące dla sinusa kąta wyglądają tak:

• grzech(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• grzech(1800 - α) = grzech α;
• grzech(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• grzech(3600 - α) = -sin α;
• grzech(3600 + α) = grzech α.

Dla cosinusa kąta:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Stosowanie powyższych wzorów jest możliwe z zachowaniem dwóch zasad. Po pierwsze, jeśli kąt można przedstawić jako wartość (π/2 ± a) lub (3π/2 ± a), wartość funkcji zmienia się:

• od grzechu do kosmosu;
• od cos do grzechu;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Wartość funkcji pozostaje niezmieniona, jeśli kąt można przedstawić jako (π ± a) lub (2π ± a).

Po drugie, znak funkcji zredukowanej się nie zmienia: jeśli początkowo był dodatni, to taki pozostaje. To samo dotyczy funkcji ujemnych.

Formuły dodawania

Wzory te wyrażają wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa sumy i różnicy dwóch kątów obrotu pod względem ich funkcji trygonometrycznych. Kąty są zwykle oznaczane jako α i β.

Formuły wyglądają tak:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Wzory te obowiązują dla dowolnych kątów α i β.

Formuły podwójnego i potrójnego kąta

Wzory trygonometryczne podwójnego i potrójnego kąta to wzory, które wiążą funkcje kątów 2α i 3α z funkcjami trygonometrycznymi kąta α. Pochodzi z formuł dodawania:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Przejście od sumy do produktu

Biorąc pod uwagę, że 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), upraszczając ten wzór, otrzymujemy tożsamość sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobnie sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Przejście od produktu do sumy

Te formuły wynikają z tożsamości dla przejścia sumy na iloczyn:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formuły redukcyjne

W tych tożsamościach potęgi kwadratowe i sześcienne sinusa i cosinusa mogą być wyrażone w postaci sinusa i cosinusa pierwszej potęgi kąta wielokrotnego:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Uniwersalna substytucja

Uniwersalne wzory podstawienia trygonometrycznego wyrażają funkcje trygonometryczne jako tangens półkąta.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), natomiast x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), gdzie x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), gdzie x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), natomiast x \u003d π + 2πn.

Przypadki specjalne

Poniżej podano poszczególne przypadki najprostszych równań trygonometrycznych (k jest dowolną liczbą całkowitą).

Prywatne dla sinusa:

grzech x wartość	x wartość
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk lub 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk lub -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk lub 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk lub -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk lub 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk lub -2π/3 + 2πk

Iloraz cosinusów:

cos x wartość	x wartość
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Prywatny dla stycznej:

tg x wartość	x wartość
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Iloraz cotangensa:

ctg x wartość	x wartość
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Twierdzenia

Twierdzenie sinus

Istnieją dwie wersje twierdzenia - prosta i rozszerzona. Proste twierdzenie o sinusach: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. W tym przypadku a, b, c to boki trójkąta, a α, β, γ to odpowiednio przeciwne kąty.

Twierdzenie o sinusach rozszerzonych dla dowolnego trójkąta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. W tej tożsamości R oznacza promień okręgu, w który wpisany jest dany trójkąt.

twierdzenie cosinus

Tożsamość jest wyświetlana w następujący sposób: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. We wzorze a, b, c to boki trójkąta, a α to kąt po przeciwnej stronie a.

Twierdzenie styczne

Wzór wyraża zależność między stycznymi dwóch kątów a długością boków przeciwległych. Boki są oznaczone jako a, b, c, a odpowiadające im przeciwne kąty to α, β, γ. Wzór twierdzenia o stycznej: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Twierdzenie cotangensa

Wiąże promień okręgu wpisanego w trójkąt z długością jego boków. Jeśli a, b, c są bokami trójkąta, a odpowiednio A, B, C są ich przeciwległymi kątami, r jest promieniem okręgu wpisanego, a p jest półobwodem trójkąta, następujące tożsamości utrzymać:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikacje

Trygonometria to nie tylko nauka teoretyczna związana ze wzorami matematycznymi. Jej właściwości, twierdzenia i zasady są wykorzystywane w praktyce przez różne gałęzie ludzkiej działalności – astronomię, nawigację powietrzną i morską, teorię muzyki, geodezji, chemii, akustykę, optykę, elektronikę, architekturę, ekonomię, inżynierię mechaniczną, prace pomiarowe, grafikę komputerową, kartografia, oceanografia i wiele innych.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe pojęcia trygonometrii, za pomocą których można matematycznie wyrazić związek między kątami i długościami boków w trójkącie oraz znaleźć żądane wielkości za pomocą tożsamości, twierdzeń i reguł.

Równania trygonometryczne nie należą do najłatwiejszych tematów. Boleśnie są zróżnicowane.) Na przykład te:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Itp...

Ale te (i wszystkie inne) potwory trygonometryczne mają dwie wspólne i obowiązkowe cechy. Po pierwsze - nie uwierzysz - w równaniach są funkcje trygonometryczne.) Po drugie: wszystkie wyrażenia z x są w ramach tych samych funkcji. I tylko tam! Jeśli x pojawi się gdzieś na zewnątrz, Na przykład, grzech2x + 3x = 3, będzie to równanie typu mieszanego. Takie równania wymagają indywidualnego podejścia. Tutaj ich nie rozważymy.

W tej lekcji również nie będziemy rozwiązywać złych równań.) Tutaj zajmiemy się najprostsze równania trygonometryczne. Czemu? Tak, ponieważ decyzja każdy Równania trygonometryczne składają się z dwóch etapów. W pierwszym etapie równanie zła jest sprowadzane do prostego przez różne przekształcenia. Po drugie - rozwiązano to najprostsze równanie. Żaden inny sposób.

Jeśli więc masz problemy w drugim etapie, pierwszy etap nie ma większego sensu.)

Jak wyglądają elementarne równania trygonometryczne?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tutaj a oznacza dowolną liczbę. Każdy.

Nawiasem mówiąc, wewnątrz funkcji może nie być czysty x, ale jakieś wyrażenie, takie jak:

cos(3x+π/3) = 1/2

itp. To komplikuje życie, ale nie wpływa na metodę rozwiązywania równania trygonometrycznego.

Jak rozwiązywać równania trygonometryczne?

Równania trygonometryczne można rozwiązywać na dwa sposoby. Pierwszy sposób: za pomocą logiki i okręgu trygonometrycznego. Tutaj zbadamy tę ścieżkę. Drugi sposób — wykorzystanie pamięci i formuł — zostanie rozważony w następnej lekcji.

Pierwszy sposób jest jasny, niezawodny i trudny do zapomnienia). Jest dobry do rozwiązywania równań trygonometrycznych, nierówności i wszelkiego rodzaju skomplikowanych niestandardowych przykładów. Logika jest silniejsza niż pamięć!

Równania rozwiązujemy za pomocą okręgu trygonometrycznego.

Uwzględniamy elementarną logikę oraz umiejętność posługiwania się okręgiem trygonometrycznym. Nie możesz!? Jednak... Będzie ci trudno w trygonometrii...) Ale to nie ma znaczenia. Spójrz na lekcje "Krąg trygonometryczny ...... Co to jest?" i „Liczenie kątów na okręgu trygonometrycznym”. Tam wszystko jest proste. W przeciwieństwie do podręczników...)

Ach, wiesz!? A nawet opanował "Praktyczną pracę z okręgiem trygonometrycznym"!? Przyjmij gratulacje. Ten temat będzie dla ciebie bliski i zrozumiały.) Szczególnie cieszy to, że koło trygonometryczne nie ma znaczenia, które równanie rozwiążesz. Sinus, cosinus, tangens, cotangens - dla niego wszystko jest takie samo. Zasada rozwiązania jest taka sama.

Więc bierzemy dowolne elementarne równanie trygonometryczne. Chociaż tyle:

cosx = 0,5

Muszę znaleźć X. Mówiąc ludzkim językiem, potrzebujesz znajdź kąt (x), którego cosinus wynosi 0,5.

Jak wcześniej korzystaliśmy z kręgu? Narysowaliśmy na nim róg. W stopniach lub radianach. I natychmiast widziany funkcje trygonometryczne tego kąta. Teraz zróbmy coś przeciwnego. Narysuj na kole cosinus równy 0,5 i natychmiast zobaczymy zastrzyk. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.) Tak, tak!

Rysujemy okrąg i zaznaczamy cosinus równy 0,5. Oczywiście na osi cosinus. Lubię to:

Teraz narysujmy kąt, jaki daje nam ten cosinus. Najedź myszą na zdjęcie (lub dotknij zdjęcia na tablecie) i zobaczyć ten sam róg X.

Który kąt ma cosinus 0,5?

x \u003d π / 3

sałata 60°= cos( π/3) = 0,5

Niektórzy będą chrząkać sceptycznie, tak... Mówią, czy warto było odgradzać krąg, jak i tak wszystko jest jasne... Można oczywiście chrząkać...) Ale faktem jest, że to błąd odpowiedź. A raczej nieadekwatne. Koneserzy koła rozumieją, że wciąż istnieje cała masa kątów, które również dają cosinus równy 0,5.

Jeśli obrócisz ruchomą stronę OA przez całą turę, punkt A powróci do swojej pierwotnej pozycji. Z tym samym cosinusem równym 0,5. Tych. kąt się zmieni 360° lub 2π radiany oraz cosinus nie jest. Nowy kąt 60° + 360° = 420° również będzie rozwiązaniem naszego równania, ponieważ

Istnieje nieskończona liczba takich pełnych obrotów... I wszystkie te nowe kąty będą rozwiązaniami naszego równania trygonometrycznego. I wszystkie trzeba jakoś spisać. Wszystko. W przeciwnym razie decyzja nie jest brana pod uwagę, tak ...)

Matematyka może to zrobić prosto i elegancko. W jednej krótkiej odpowiedzi zapisz nieskończony zestaw rozwiązania. Oto jak to wygląda dla naszego równania:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Rozszyfruję. Nadal pisz sensownieładniejsze niż głupie rysowanie tajemniczych liter, prawda?)

π/3 jest tym samym kątem co my Piła na kole i zidentyfikowany zgodnie z tabelą cosinusów.

2π to jeden pełny obrót w radianach.

n - jest to liczba kompletna, tj. cały rewolucje. Jest jasne, że n może wynosić 0, ±1, ±2, ±3... i tak dalej. Jak wskazuje krótki wpis:

n ∈ Z

n należy ( ∈ ) do zbioru liczb całkowitych ( Z ). Przy okazji, zamiast listu n można używać liter k, m, t itp.

Ten zapis oznacza, że ​​możesz wziąć dowolną liczbę całkowitą n . Co najmniej -3, co najmniej 0, co najmniej +55. Co chcesz. Jeśli wstawisz tę liczbę do swojej odpowiedzi, uzyskasz określony kąt, co z pewnością będzie rozwiązaniem naszego surowego równania).

Innymi słowy, x \u003d π / 3 jest jedynym pierwiastkiem nieskończonego zbioru. Aby uzyskać wszystkie pozostałe pierwiastki wystarczy dodać dowolną liczbę pełnych zwojów do π / 3 ( n ) w radianach. Tych. 2πn radian.

Wszystko? Nie. Konkretnie rozciągam przyjemność. Aby lepiej zapamiętać.) Otrzymaliśmy tylko część odpowiedzi na nasze równanie. Napiszę tę pierwszą część rozwiązania w następujący sposób:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nie jeden pierwiastek, to cały ciąg pierwiastków, napisany w skróconej formie.

Ale są też inne kąty, które również dają cosinus równy 0,5!

Wróćmy do naszego obrazka, zgodnie z którym zapisaliśmy odpowiedź. Tutaj jest:

Najedź myszką na obraz i zobaczyć kolejny róg, który daje również cosinus 0,5. Jak myślisz, co to równa się? Trójkąty są takie same... Tak! Jest równy kątowi X , wykreślony tylko w kierunku ujemnym. To jest róg -X. Ale już obliczyliśmy x. π/3 lub 60°. Dlatego śmiało możemy napisać:

x 2 \u003d - π / 3

I oczywiście dodajemy wszystkie kąty, które uzyskuje się po pełnych obrotach:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To wszystko.) W okręgu trygonometrycznym my Piła(kto rozumie, oczywiście)) wszystko kąty dające cosinus równy 0,5. I zapisali te kąty w krótkiej formie matematycznej. Odpowiedzią są dwie nieskończone serie pierwiastków:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To jest prawidłowa odpowiedź.

Nadzieja, ogólna zasada rozwiązywania równań trygonometrycznych przy pomocy koła jest zrozumiałe. Cosinus (sinus, tangens, cotangens) z podanego równania zaznaczamy na okręgu, rysujemy odpowiednie kąty i zapisujemy odpowiedź. Oczywiście musisz dowiedzieć się, jakimi jesteśmy rogami Piła na kole. Czasami nie jest to takie oczywiste. Cóż, jak powiedziałem, logika jest tutaj wymagana.)

Na przykład przeanalizujmy inne równanie trygonometryczne:

Pamiętaj, że liczba 0,5 nie jest jedyną możliwą liczbą w równaniach!) Po prostu wygodniej jest mi ją napisać niż pierwiastki i ułamki.

Pracujemy według ogólnej zasady. Rysujemy okrąg, zaznaczamy (oczywiście na osi sinus!) 0,5. Od razu rysujemy wszystkie kąty odpowiadające temu sinusowi. Otrzymujemy to zdjęcie:

Zajmijmy się najpierw kątem. X w pierwszym kwartale. Przypominamy tabelę sinusów i określamy wartość tego kąta. Sprawa jest prosta:

x \u003d π / 6

Przypominamy sobie pełne obroty i z czystym sumieniem zapisujemy pierwszą serię odpowiedzi:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Połowa pracy jest wykonana. Teraz musimy zdefiniować drugi róg... To jest trudniejsze niż w cosinusach, tak... Ale logika nas uratuje! Jak określić drugi kąt przez x? Tak proste! Trójkąty na zdjęciu są takie same, a czerwony róg X równy kątowi X . Tylko to jest liczone od kąta π w kierunku ujemnym. Dlatego jest czerwony.) A do odpowiedzi potrzebujemy kąta zmierzonego poprawnie od dodatniej półosi OX, czyli pod kątem 0 stopni.

Najedź kursorem na zdjęcie i zobacz wszystko. Usunąłem pierwszy róg, aby nie komplikować zdjęcia. Interesujący nas kąt (narysowany na zielono) będzie równy:

π - x

x my to wiemy π/6 . Więc drugi kąt będzie wyglądał następująco:

π - π /6 = 5π /6

Ponownie przypominamy o dodaniu pełnych obrotów i zapisujemy drugą serię odpowiedzi:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To wszystko. Pełna odpowiedź składa się z dwóch serii pierwiastków:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Równania ze styczną i cotangens można łatwo rozwiązać przy użyciu tej samej ogólnej zasady rozwiązywania równań trygonometrycznych. O ile oczywiście nie wiesz, jak narysować styczną i cotangens na okręgu trygonometrycznym.

W powyższych przykładach użyłem tabelarycznej wartości sinusa i cosinusa: 0.5. Tych. jedno z tych znaczeń, które zna uczeń musi. Teraz rozszerzmy nasze możliwości do wszystkie inne wartości. Zdecyduj, więc zdecyduj!)

Powiedzmy, że musimy rozwiązać następujące równanie trygonometryczne:

W krótkich tabelach nie ma takiej wartości cosinusa. Chłodno ignorujemy ten straszny fakt. Rysujemy okrąg, zaznaczamy 2/3 na osi cosinusa i rysujemy odpowiednie kąty. Mamy to zdjęcie.

Rozumiemy, na początek, kąt w pierwszym kwartale. Aby wiedzieć, ile równa się x, natychmiast zapisaliby odpowiedź! Nie wiemy... Porażka!? Spokojna! Matematyka nie naraża się na kłopoty! Wymyśliła dla tego przypadku arcus cosinus. Nie wiem? Na próżno. Dowiedz się, to o wiele łatwiejsze niż myślisz. Zgodnie z tym linkiem, nie ma ani jednego podstępnego zaklęcia o "odwrotnych funkcjach trygonometrycznych"... W tym temacie jest to zbyteczne.

Jeśli wiesz, po prostu powiedz sobie: „X to kąt, którego cosinus wynosi 2/3”. I od razu, czysto z definicji arcus cosinus, możemy napisać:

Pamiętamy o dodatkowych obrotach i spokojnie zapisujemy pierwszą serię pierwiastków naszego równania trygonometrycznego:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Drugi ciąg pierwiastków jest również zapisywany prawie automatycznie, dla drugiego kąta. Wszystko jest takie samo, tylko x (arccos 2/3) będzie z minusem:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

I wszystkie rzeczy! To jest prawidłowa odpowiedź. Jeszcze łatwiej niż w przypadku wartości tabelarycznych. Nie musisz nic pamiętać.) Swoją drogą, najbardziej uważni zauważą, że ten obrazek z rozwiązaniem przez łuk cosinus zasadniczo nie różni się od obrazu dla równania cosx = 0.5.

Dokładnie tak! Ogólna zasada na to i generał! Specjalnie narysowałem dwa prawie identyczne obrazki. Okrąg pokazuje nam kąt X przez jego cosinus. To jest cosinus tabelaryczny, czy nie - koło nie zna. Jaki to jest kąt, π/3, lub jaki rodzaj łuku cosinus zależy od nas.

Z sinusem ta sama piosenka. Na przykład:

Ponownie rysujemy okrąg, zaznaczamy sinus równy 1/3, rysujemy rogi. Okazuje się, że to zdjęcie:

I znowu obraz jest prawie taki sam jak w przypadku równania sinx = 0,5. Znowu zaczynamy od zakrętu w pierwszej kwarcie. Ile wynosi x, jeśli jego sinus wynosi 1/3? Nie ma problemu!

Więc pierwsza paczka korzeni jest gotowa:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Rzućmy okiem na drugi kąt. W przykładzie z wartością tabeli 0,5 było to:

π - x

Więc tutaj będzie dokładnie tak samo! Tylko x jest inne, arcsin 1/3. Więc co!? Możesz bezpiecznie napisać drugą paczkę korzeni:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

To całkowicie poprawna odpowiedź. Chociaż nie wygląda to zbyt znajomo. Ale mam nadzieję, że to zrozumiałe.)

W ten sposób równania trygonometryczne są rozwiązywane za pomocą koła. Ta ścieżka jest jasna i zrozumiała. To on oszczędza w równaniach trygonometrycznych z doborem pierwiastków na zadanym przedziale, w nierównościach trygonometrycznych - na ogół są one rozwiązywane prawie zawsze po okręgu. Krótko mówiąc, w zadaniach nieco bardziej skomplikowanych niż standardowe.

Wprowadzanie wiedzy w praktykę?

Rozwiąż równania trygonometryczne:

Na początku jest to prostsze, bezpośrednio na tej lekcji.

Teraz jest trudniej.

Podpowiedź: tutaj musisz pomyśleć o kręgu. Osobiście.)

A teraz na pozór bezpretensjonalny ... Nazywa się je również specjalnymi przypadkami.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Podpowiedź: tutaj musisz wymyślić w kółku, gdzie są dwie serie odpowiedzi, a gdzie jest jedna ... I jak zapisać jedną zamiast dwóch serii odpowiedzi. Tak, aby nie zgubił się ani jeden pierwiastek z nieskończonej liczby!)

Cóż, całkiem proste):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Podpowiedź: tutaj musisz wiedzieć, jaki jest arcus sinus, arcus cosinus? Co to jest arc tangens, arc tangens? Najprostsze definicje. Ale nie musisz pamiętać żadnych wartości tabelarycznych!)

Odpowiedzi są oczywiście w nieładzie):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nie wszystko się układa? Zdarza się. Przeczytaj lekcję ponownie. Tylko rozważnie(jest takie przestarzałe słowo...) I podążaj za linkami. Główne linki dotyczą kręgu. Bez tego w trygonometrii - jak przejść przez jezdnię z zawiązanymi oczami. Czasami to działa.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Równania trygonometryczne .

Najprostsze równania trygonometryczne .

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Równania trygonometryczne. Równanie zawierające nieznane pod nazywa się znak funkcji trygonometrycznej trygonometryczny.

Najprostsze równania trygonometryczne.

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów: transformacja równaniażeby to było proste typ (patrz wyżej) i decyzjauzyskany najprostszy równanie trygonometryczne. Tam jest siedem podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

1. Metoda algebraiczna. Ta metoda jest nam dobrze znana z algebry

(zmienna substytucja i metoda substytucji).

2. Faktoryzacja. Spójrzmy na tę metodę na przykładach.

PRZYKŁAD 1. Rozwiąż równanie: grzech x+ cos x = 1 .

Rozwiązanie Przesuń wszystkie wyrazy równania w lewo:

Grzech x+ cos x – 1 = 0 ,

Przekształćmy i rozczłonkujmy wyrażenie w

Lewa strona równania:

Przykład 2. Rozwiąż równanie: sałata 2 x+ grzech x sałata x = 1.

ROZWIĄZANIE cos 2 x+ grzech x sałata x– grzech 2 x– cos 2 x = 0 ,

Grzech x sałata x– grzech 2 x = 0 ,

Grzech x(sałata x– grzech x ) = 0 ,

Przykład 3. Rozwiąż równanie: bo 2 x– cos 8 x+ cos 6 x = 1.

ROZWIĄZANIE cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2 co 4 x bo 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (cos 2 x– cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x 2 grzech 3 x grzech x = 0 ,

jeden). bo 4 x= 0 , 2). grzech 3 x= 0, 3). grzech x = 0 ,

3.

Przesyłanie do równanie jednorodne. Równanie nazywa jednorodny od stosunkowo grzech oraz sałata , jeśli wszystko warunki tego samego stopnia w odniesieniu do grzech oraz sałata ten sam kąt. Aby rozwiązać równanie jednorodne, potrzebujesz: a) przenieść wszystkie jego członków na lewą stronę; b) usunąć wszystkie wspólne czynniki z nawiasów; w) przyrównać wszystkie czynniki i nawiasy do zera; G) nawiasy ustawione na zero daj jednorodne równanie mniejszego stopnia, które należy podzielić przez sałata(lub grzech) w stopniu starszym; d) rozwiązać powstałe równanie algebraiczne względemdębnik . PRZYKŁAD Rozwiąż równanie: 3 grzech 2 x+ 4 grzechy x sałata x+ 5 cos 2 x = 2. Rozwiązanie: 3sin 2 x+ 4 grzechy x sałata x+ 5 co 2 x= 2 grzech 2 x+ 2 co 2 x , Grzech 2 x+ 4 grzechy x sałata x+ 3 co 2 x = 0 , Opalenizna 2 x+ 4tan x + 3 = 0 , stąd tak 2 + 4tak +3 = 0 , Korzenie tego równania to:tak 1 = - 1, tak 2 = - 3, stąd 1) tan x= –1, 2) tan x = –3,

4. Przejście do połowy narożnika. Spójrzmy na tę metodę na przykładzie:

PRZYKŁAD Rozwiąż równanie: 3 grzech x– 5cos x = 7.

Rozwiązanie: 6 grzechów ( x/ 2) co ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 grzechów² ( x/ 2) =

7 grzech² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 grzech² ( x/ 2) – 6 grzechów ( x/ 2) co ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan² ( x/ 2) – 3 opalenizny ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Wprowadzenie kąta pomocniczego. Rozważ równanie postaci:

a grzech x + b sałata x = c ,

Gdzie a, b, c– współczynniki;x- nieznany.

Teraz współczynniki równania mają właściwości sinusa i cosinusa, mianowicie: moduł (wartość bezwzględna) każdego

Najprostsze równania trygonometryczne to równania

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

Równanie cos(x) = a

Wyjaśnienie i uzasadnienie

1. Pierwiastki równania cosx = a. Kiedy | | > 1 równanie nie ma pierwiastków, ponieważ | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 lub o godz< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Niech | |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. W przedziale funkcja y = cos x zmniejsza się od 1 do -1. Ale funkcja malejąca przyjmuje każdą ze swoich wartości tylko w jednym punkcie swojej dziedziny definicji, dlatego równanie cos x \u003d a ma tylko jeden pierwiastek na tym przedziale, który z definicji łuku cosinusa wynosi: x 1 \u003d arccos a (i dla tego pierwiastka cos x \u003d a).

Cosinus jest funkcją parzystą, więc na przedziale [-p; 0] równanie cos x = i również ma tylko jeden pierwiastek - liczbę przeciwną do x 1, czyli

x 2 = - arccos a.

Tak więc w przedziale [-n; n] (długość 2n) równanie cos x = a dla | |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funkcja y = cos x jest okresowa z okresem 2n, więc wszystkie inne pierwiastki różnią się od tych znalezionych przez 2np (n € Z). Otrzymujemy następujący wzór na pierwiastki równania cos x = a when

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. Szczególne przypadki rozwiązania równania cosx = a.

Warto zapamiętać specjalną notację pierwiastków równania cos x = a when

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, które można łatwo uzyskać, używając okręgu jednostkowego jako przewodnika.

Ponieważ cosinus jest równy odciętej odpowiedniego punktu na okręgu jednostkowym, otrzymujemy, że cos x = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający punkt na okręgu jednostkowym jest punktem A lub punktem B.

Podobnie, cos x = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednim punktem okręgu jednostkowego jest punkt C, zatem

x = 2πp, k € Z.

Również cos x \u003d -1 wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednim punktem okręgu jednostkowego jest punkt D, a zatem x \u003d n + 2n,

Równanie sin(x) = a

Wyjaśnienie i uzasadnienie

1. Pierwiastki równania sinx = a. Kiedy | | > 1 równanie nie ma pierwiastków, ponieważ | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 lub o godz< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Lekcja i prezentacja na temat: „Rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii! Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Instrukcje i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania do budowania w przestrzeni
Środowisko programowe „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”

Co będziemy studiować:
1. Czym są równania trygonometryczne?

3. Dwie główne metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
4. Jednorodne równania trygonometryczne.
5. Przykłady.

Czym są równania trygonometryczne?

Chłopaki, przestudiowaliśmy już arcus sinus, arccosinus, arcus tangens i arccotangens. Przyjrzyjmy się teraz ogólnie równaniom trygonometrycznym.

Równania trygonometryczne - równania, w których zmienna zawarta jest pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Powtarzamy formę rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych:

1) Jeżeli |а|≤ 1, to równanie cos(x) = a ma rozwiązanie:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jeżeli |а|≤ 1, to równanie sin(x) = a ma rozwiązanie:

3) Jeżeli |a| > 1, to równanie sin(x) = a oraz cos(x) = a nie mają rozwiązań 4) Równanie tg(x)=a ma rozwiązanie: x=arctg(a)+ πk

5) Równanie ctg(x)=a ma rozwiązanie: x=arcctg(a)+ πk

We wszystkich formułach k jest liczbą całkowitą

Najprostsze równania trygonometryczne mają postać: Т(kx+m)=a, T- dowolna funkcja trygonometryczna.

Przykład.

Rozwiąż równania: a) sin(3x)= √3/2

Decyzja:

A) Oznaczmy 3x=t, wtedy przepiszemy nasze równanie w postaci:

Rozwiązaniem tego równania będzie: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Z tabeli wartości otrzymujemy: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Wróćmy do naszej zmiennej: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Wtedy x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpowiedź: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdzie n jest liczbą całkowitą. (-1)^n - minus jeden do potęgi n.

Więcej przykładów równań trygonometrycznych.

Rozwiąż równania: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x-π/3)= √3

Decyzja:

A) Tym razem od razu przejdziemy do obliczenia pierwiastków równania:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Wtedy x/5= πk => x=5πk

Odpowiedź: x=5πk, gdzie k jest liczbą całkowitą.

B) Piszemy w postaci: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Wiemy, że: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpowiedź: x=2π/9 + πk/3, gdzie k jest liczbą całkowitą.

Rozwiąż równania: cos(4x)= √2/2. I znajdź wszystkie korzenie w segmencie.

Decyzja:

Rozwiążmy nasze równanie w postaci ogólnej: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Zobaczmy teraz, jakie korzenie spadają na nasz segment. Dla k Dla k=0, x= π/16 jesteśmy w danym odcinku.
Przy k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, uderzają ponownie.
Dla k=2, x= π/16+ π=17π/16, ale tutaj nie trafiliśmy, co oznacza, że ​​nie trafimy również dla dużego k.

Odpowiedź: x= π/16, x= 9π/16

Dwie główne metody rozwiązania.

Rozważaliśmy najprostsze równania trygonometryczne, ale są też bardziej złożone. Do ich rozwiązania wykorzystuje się metodę wprowadzania nowej zmiennej oraz metodę faktoryzacji. Spójrzmy na przykłady.

Rozwiążmy równanie:

Decyzja:
Do rozwiązania równania posługujemy się metodą wprowadzenia nowej zmiennej, oznaczanej: t=tg(x).

W wyniku zamiany otrzymujemy: t 2 + 2t -1 = 0

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego: t=-1 i t=1/3

Następnie tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, otrzymaliśmy najprostsze równanie trygonometryczne, znajdźmy jego pierwiastki.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpowiedź: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Przykład rozwiązania równania

Rozwiąż równania: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Decyzja:

Użyjmy tożsamości: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Nasze równanie to: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Wprowadźmy zamianę t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rozwiązaniem naszego równania kwadratowego są pierwiastki: t=2 i t=-1/2

Wtedy cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Ponieważ cosinus nie może przyjmować wartości większych niż jeden, wtedy cos(x)=2 nie ma pierwiastków.

Dla cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpowiedź: x= ±2π/3 + 2πk

Równania trygonometryczne jednorodne.

Definicja: Równanie postaci a sin(x)+b cos(x) nazywamy jednorodnymi równaniami trygonometrycznymi pierwszego stopnia.

Równania postaci

jednorodne równania trygonometryczne II stopnia.

Aby rozwiązać jednorodne równanie trygonometryczne pierwszego stopnia dzielimy je przez cos(x): Nie da się podzielić przez cosinus, jeśli jest równy zero, upewnijmy się, że tak nie jest:
Niech cos(x)=0, to asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale jednocześnie sinus i cosinus nie są równe zeru, mamy sprzeczność, więc możemy spokojnie podzielić przez zero.

Rozwiązać równanie:
Przykład: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Decyzja:

Wyjmij wspólny dzielnik: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Następnie musimy rozwiązać dwa równania:

cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 dla x= π/2 + πk;

Rozważmy równanie cos(x)+sin(x)=0 Podziel nasze równanie przez cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpowiedź: x= π/2 + πk oraz x= -π/4+πk

Jak rozwiązywać jednorodne równania trygonometryczne drugiego stopnia?
Chłopaki, zawsze trzymajcie się tych zasad!

1. Zobacz, jaki jest współczynnik a, jeśli a \u003d 0 to nasze równanie przyjmie postać cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), którego przykład rozwiązania znajduje się na poprzednim ślizgać się

2. Jeśli a≠0, to musisz podzielić obie części równania przez cosinus do kwadratu, otrzymujemy:

Dokonujemy zmiany zmiennej t=tg(x) otrzymujemy równanie:

Rozwiąż Przykład #:3

Rozwiązać równanie:
Decyzja:

Podziel obie strony równania przez cosinus kwadrat:

Dokonujemy zmiany zmiennej t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego: t=-3 i t=1

Wtedy: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpowiedź: x=-arctg(3) + πk oraz x= π/4+ πk

Rozwiąż Przykład #: 4

Rozwiązać równanie:

Decyzja:
Przekształćmy nasze wyrażenie:

Możemy rozwiązać takie równania: x= - π/4 + 2πk oraz x=5π/4 + 2πk

Odpowiedź: x= - π/4 + 2πk oraz x=5π/4 + 2πk

Rozwiąż Przykład #:5

Rozwiązać równanie:

Decyzja:
Przekształćmy nasze wyrażenie:

Wprowadzamy zamiennik tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rozwiązaniem naszego równania kwadratowego będą pierwiastki: t=-2 i t=1/2

Wtedy otrzymujemy: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpowiedź: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

1) Rozwiąż równanie

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Rozwiąż równania: sin(3x)= √3/2. I znajdź wszystkie pierwiastki na odcinku [π/2; π].

3) Rozwiąż równanie: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Rozwiąż równanie: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Rozwiąż równanie: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Rozwiąż równanie: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)