Metoda macierzowa Rozwiązania SLAU służy do rozwiązywania układów równań, w których liczba równań odpowiada liczbie niewiadomych. Metoda najlepiej nadaje się do rozwiązywania układów niskiego rzędu. Macierzowa metoda rozwiązywania układów równań liniowych opiera się na wykorzystaniu własności mnożenia macierzy.

Innymi słowy w ten sposób metoda macierzy odwrotnej, nazywany tak, ponieważ rozwiązanie sprowadza się do zwykłego równania macierzowego, dla którego rozwiązania trzeba znaleźć macierz odwrotną.

Metoda rozwiązania macierzowego SLAE z wyznacznikiem większym lub mniejszym od zera wygląda następująco:

Załóżmy, że istnieje SLE (układ równań liniowych) z n nieznany (na dowolnym polu):

Łatwo więc przełożyć to na formę macierzową:

AX=B, gdzie A jest główną matrycą systemu, B oraz X- kolumny wolnych prętów i rozwiązania systemu odpowiednio:

Pomnóż to równanie macierzowe po lewej przez A-1- odwrotność macierzy do macierzy A: A -1 (AX) = A -1 B.

Dlatego A-1 A=E, oznacza, X=A -1 B. Prawa strona równania podaje kolumnę rozwiązań układu początkowego. Warunkiem stosowalności metody macierzowej jest niezdegeneracja macierzy A. Warunkiem koniecznym i wystarczającym jest to, aby wyznacznik macierzy A:

detA≠0.

Do jednorodny układ równań liniowych, tj. jeśli wektor B=0 obowiązuje odwrotna zasada: system AX=0 jest rozwiązaniem nietrywialnym (tj. nie równym zeru) tylko wtedy, gdy detA=0. To połączenie między rozwiązaniami jednorodnych i niejednorodnych układów równań liniowych nazywa się alternatywa dla Fredholma.

Zatem rozwiązanie SLAE metodą macierzową wykonuje się według wzoru . Lub rozwiązanie SLAE znajduje się za pomocą odwrotna macierz A-1.

Wiadomo, że macierz kwadratowa ALE zamówienie n na n istnieje macierz odwrotna A-1 tylko jeśli jego wyznacznik jest niezerowy. W ten sposób system n liniowe równania algebraiczne z n niewiadome rozwiązuje się metodą macierzową tylko wtedy, gdy wyznacznik głównej macierzy układu nie jest równy zeru.

Pomimo ograniczeń w możliwości zastosowania tej metody oraz trudności obliczeniowych dla dużych wartości współczynników i układów wyższego rzędu, metoda może być łatwo zaimplementowana na komputerze.

Przykład rozwiązania niejednorodnego SLAE.

Najpierw sprawdźmy, czy wyznacznik macierzy współczynników dla nieznanych SLAE nie jest równy zero.

Teraz znajdujemy macierz sojuszu, przetransponuj i zastąp do wzoru na wyznaczenie macierzy odwrotnej.

Podstawiamy zmienne we wzorze:

Teraz znajdujemy niewiadome, mnożąc macierz odwrotną i kolumnę wyrazów wolnych.

Więc, x=2; y=1; z=4.

Przechodząc ze zwykłej postaci SLAE do postaci macierzowej, należy uważać na kolejność nieznanych zmiennych w równaniach systemowych. Na przykład:

NIE pisz jako:

Należy najpierw uporządkować nieznane zmienne w każdym równaniu układu, a dopiero potem przejść do zapisu macierzowego:

Ponadto należy uważać na oznaczenie nieznanych zmiennych, zamiast x 1 , x 2 , …, x n mogą być inne litery. Na przykład:

w formie macierzowej piszemy:

Stosując metodę macierzową, lepiej jest rozwiązywać układy równań liniowych, w których liczba równań pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych, a wyznacznik głównej macierzy układu nie jest równy zeru. Gdy w układzie jest więcej niż 3 równania, znalezienie macierzy odwrotnej będzie wymagało większego wysiłku obliczeniowego, dlatego w tym przypadku do rozwiązania zaleca się użycie metody Gaussa.

Metoda Gaussa, zwana także metodą sukcesywnej eliminacji niewiadomych, polega na tym, że: Za pomocą przekształceń elementarnych układ równań liniowych zostaje sprowadzony do takiej postaci, że jego macierz współczynników okazuje się być trapezowy (tak samo jak trójkątny lub schodkowy) lub zbliżony do trapezu (wtedy bezpośredni przebieg metody Gaussa - po prostu bezpośredni ruch). Przykład takiego systemu i jego rozwiązanie pokazano na powyższym rysunku.

W takim układzie ostatnie równanie zawiera tylko jedną zmienną i jej wartość można jednoznacznie znaleźć. Następnie wartość tej zmiennej jest podstawiona do poprzedniego równania ( Rewers Gaussa , a następnie - tylko ruch wsteczny), z którego znajduje się poprzednia zmienna i tak dalej.

W układzie trapezowym (trójkątnym), jak widzimy, trzecie równanie nie zawiera już zmiennych tak oraz x, a drugie równanie - zmienna x .

Po tym, jak macierz systemu przybrała kształt trapezu, nie jest już trudno uporządkować kwestię kompatybilności systemu, określić liczbę rozwiązań i znaleźć same rozwiązania.

Zalety metody:

1. przy rozwiązywaniu układów równań liniowych z więcej niż trzema równaniami i niewiadomymi metoda Gaussa nie jest tak uciążliwa jak metoda Cramera, ponieważ przy rozwiązywaniu metody Gaussa potrzeba mniej obliczeń;
2. stosując metodę Gaussa można rozwiązywać nieskończone układy równań liniowych, czyli mając wspólne rozwiązanie (i przeanalizujemy je w tej lekcji), a metodą Cramera można jedynie stwierdzić, że układ jest niepewny;
3. możesz rozwiązywać układy równań liniowych, w których liczba niewiadomych nie jest równa liczbie równań (przeanalizujemy je również w tej lekcji);
4. metoda opiera się na metodach elementarnych (szkolnych) - metodzie podstawienia niewiadomych i metodzie dodawania równań, o czym poruszyliśmy w odpowiednim artykule.

Aby każdy był nasycony prostotą, z jaką rozwiązywane są trapezowe (trójkątne, schodkowe) układy równań liniowych, przedstawiamy rozwiązanie takiego układu za pomocą skoku odwrotnego. Szybkie rozwiązanie tego systemu zostało pokazane na obrazku na początku lekcji.

Przykład 1 Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą ruchu wstecznego:

Rozwiązanie. W tym trapezoidalnym układzie zmienna z jest jednoznacznie znalezione z trzeciego równania. Podstawiamy jego wartość do drugiego równania i otrzymujemy wartość zmiennej tak:

Teraz znamy wartości dwóch zmiennych - z oraz tak. Wstawiamy je do pierwszego równania i otrzymujemy wartość zmiennej x:

Z poprzednich kroków wypisujemy rozwiązanie układu równań:

Aby uzyskać taki trapezoidalny układ równań liniowych, który rozwiązaliśmy w bardzo prosty sposób, konieczne jest zastosowanie ruchu bezpośredniego związanego z elementarnymi przekształceniami układu równań liniowych. To też nie jest bardzo trudne.

Przekształcenia elementarne układu równań liniowych

Powtarzając szkolną metodę algebraicznego dodawania równań układu, odkryliśmy, że do jednego z równań układu można dodać inne równanie układu, a każde z równań można pomnożyć przez jakieś liczby. W rezultacie otrzymujemy układ równań liniowych równoważny danemu. W nim jedno równanie zawierało już tylko jedną zmienną, zastępując wartość której innymi równaniami dochodzimy do rozwiązania. Taki dodatek jest jednym z rodzajów elementarnych przekształceń systemu. Korzystając z metody Gaussa możemy skorzystać z kilku rodzajów przekształceń.

Powyższa animacja pokazuje, jak układ równań stopniowo zamienia się w trapezoidalny. Czyli ten, który widziałeś na pierwszej animacji i upewniłeś się, że łatwo jest z niego znaleźć wartości wszystkich niewiadomych. Jak przeprowadzić taką transformację i oczywiście przykłady, zostaną omówione dalej.

Przy rozwiązywaniu układów równań liniowych z dowolną liczbą równań i niewiadomych w układzie równań i rozwiniętej macierzy układu Móc:

1. linie swapowe (o czym wspomniano na samym początku tego artykułu);
2. jeśli w wyniku innych przekształceń pojawiły się linie równe lub proporcjonalne, można je usunąć, z wyjątkiem jednej;
3. usuń wiersze „null”, w których wszystkie współczynniki są równe zeru;
4. pomnóż lub podziel dowolny ciąg przez jakąś liczbę;
5. dodaj do dowolnej linii kolejną linię pomnożoną przez pewną liczbę.

W wyniku przekształceń otrzymujemy układ równań liniowych równoważny danemu.

Algorytm i przykłady rozwiązywania metodą Gaussa układu równań liniowych z macierzą kwadratową układu

Rozważmy najpierw rozwiązanie układów równań liniowych, w których liczba niewiadomych jest równa liczbie równań. Macierz takiego systemu jest kwadratowa, to znaczy liczba wierszy w nim jest równa liczbie kolumn.

Przykład 2 Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa

Rozwiązując układy równań liniowych metodami szkolnymi, pomnożyliśmy wyraz po wyrazie jednego z równań przez pewną liczbę, tak aby współczynniki pierwszej zmiennej w obu równaniach były liczbami przeciwstawnymi. Podczas dodawania równań ta zmienna jest eliminowana. W podobny sposób działa metoda Gaussa.

Aby uprościć wygląd rozwiązania skomponować rozszerzoną macierz systemu:

W tej macierzy współczynniki niewiadomych znajdują się po lewej stronie przed pionowym słupkiem, a wolne pręty po prawej stronie po pionowym słupku.

Dla wygody dzielenia współczynników zmiennych (aby uzyskać dzielenie przez jeden) zamień pierwszy i drugi wiersz macierzy systemowej. Otrzymujemy układ równoważny podanemu, ponieważ w układzie równań liniowych można przestawić równania:

Z nowym pierwszym równaniem wyeliminować zmienną x z drugiego i wszystkich kolejnych równań. W tym celu dodaj pierwszy wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ) do drugiego wiersza macierzy, a pierwszy wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ) do trzeciego wiersza.

Jest to możliwe, ponieważ

Jeśli w naszym systemie były więcej niż trzy równania, to do wszystkich kolejnych równań należy dodać pierwszą linię, pomnożoną przez stosunek odpowiednich współczynników, wziętych ze znakiem minus.

W rezultacie otrzymujemy macierz równoważną danemu układowi nowego układu równań, w którym wszystkie równania, począwszy od drugiego nie zawierają zmiennej x :

Aby uprościć drugi wiersz wynikowego układu, mnożymy go przez i ponownie otrzymujemy macierz układu równań równoważnego temu układowi:

Teraz, zachowując niezmienione pierwsze równanie powstałego układu, korzystając z drugiego równania eliminujemy zmienną tak ze wszystkich kolejnych równań. Aby to zrobić, dodaj drugi wiersz pomnożony przez (w naszym przypadku przez ) do trzeciego wiersza macierzy systemowej.

Jeśli w naszym systemie było więcej niż trzy równania, to do wszystkich kolejnych równań należy dodać drugą linię, pomnożoną przez stosunek odpowiednich współczynników, wziętych ze znakiem minus.

W rezultacie ponownie otrzymujemy macierz układu równoważnego danemu układowi równań liniowych:

Otrzymaliśmy trapezoidalny układ równań liniowych równoważny podanemu:

Jeśli liczba równań i zmiennych jest większa niż w naszym przykładzie, to proces sekwencyjnej eliminacji zmiennych trwa do momentu, gdy macierz systemu stanie się trapezoidalna, jak w naszym przykładzie demo.

Znajdziemy rozwiązanie „od końca” – rewers. Dla tego z ostatniego równania wyznaczamy z:
.
Podstawiając tę ​​wartość do poprzedniego równania, odnaleźć tak:

Z pierwszego równania odnaleźć x:

Odpowiedź: rozwiązanie tego układu równań - .

: w tym przypadku ta sama odpowiedź zostanie udzielona, ​​jeśli system ma unikalne rozwiązanie. Jeśli system ma nieskończoną liczbę rozwiązań, to odpowiedź też będzie, i to jest temat piątej części tej lekcji.

Sam rozwiąż układ równań liniowych metodą Gaussa, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przed nami ponownie przykład spójnego i określonego układu równań liniowych, w którym liczba równań jest równa liczbie niewiadomych. Różnica w porównaniu z naszym przykładem demo od algorytmu polega na tym, że istnieją już cztery równania i cztery niewiadome.

Przykład 4 Rozwiąż układ równań liniowych za pomocą metody Gaussa:

Teraz musisz użyć drugiego równania, aby wykluczyć zmienną z kolejnych równań. Zróbmy trochę prac przygotowawczych. Aby było wygodniej ze stosunkiem współczynników, musisz uzyskać jednostkę w drugiej kolumnie drugiego rzędu. Aby to zrobić, odejmij trzeci wiersz od drugiego i pomnóż wynikowy drugi wiersz przez -1.

Przeprowadźmy teraz faktyczną eliminację zmiennej z równania trzeciego i czwartego. Aby to zrobić, dodaj drugi, pomnożony przez , do trzeciego wiersza, a drugi, pomnożony przez , do czwartego.

Teraz, używając trzeciego równania, eliminujemy zmienną z czwartego równania. Aby to zrobić, do czwartej linii dodaj trzecią, pomnożoną przez . Otrzymujemy rozszerzoną matrycę o kształcie trapezu.

Otrzymaliśmy układ równań równoważny danemu układowi:

Dlatego systemy wynikowe i dane są spójne i określone. Ostateczne rozwiązanie znajdujemy „od końca”. Z czwartego równania możemy bezpośrednio wyrazić wartość zmiennej „x czwarta”:

Podstawiamy tę wartość do trzeciego równania układu i otrzymujemy

,

,

Wreszcie substytucja wartości

W pierwszym równaniu daje

,

gdzie znajdujemy "x pierwszy":

Odpowiedź: Ten układ równań ma unikalne rozwiązanie. .

Możesz również sprawdzić rozwiązanie systemu na kalkulatorze, który rozwiązuje metodę Cramera: w tym przypadku ta sama odpowiedź zostanie udzielona, ​​jeśli system ma unikalne rozwiązanie.

Rozwiązanie problemów stosowanych metodą Gaussa na przykładzie problemu dla stopów

Układy równań liniowych służą do modelowania rzeczywistych obiektów świata fizycznego. Rozwiążmy jeden z tych problemów - dla stopów. Podobne zadania - zadania dla mieszanek, koszt lub ciężar właściwy poszczególnych towarów w grupie towarów i tym podobne.

Przykład 5 Trzy kawałki stopu mają łączną masę 150 kg. Pierwszy stop zawiera 60% miedzi, drugi 30%, trzeci 10%. Jednocześnie w stopie drugim i trzecim łącznie miedź jest o 28,4 kg mniejsza niż w stopie pierwszym, a w stopie trzecim miedź jest o 6,2 kg mniejsza niż w stopie drugim. Znajdź masę każdego kawałka stopu.

Rozwiązanie. Tworzymy układ równań liniowych:

Mnożąc drugie i trzecie równanie przez 10 otrzymujemy równoważny układ równań liniowych:

Komponujemy rozszerzoną macierz systemu:

Uwaga, bezpośredni ruch. Dodając (w naszym przypadku odejmując) jeden wiersz pomnożony przez liczbę (stosujemy ją dwukrotnie) zachodzą następujące przekształcenia z rozwiniętą macierzą systemu:

Prosty bieg dobiegł końca. Otrzymaliśmy rozszerzoną matrycę o kształcie trapezu.

Użyjmy odwrotności. Znajdujemy rozwiązanie od końca. Widzimy to .

Z drugiego równania znajdujemy

Z trzeciego równania -

Możesz również sprawdzić rozwiązanie systemu na kalkulatorze, który rozwiązuje metodę Cramera: w tym przypadku ta sama odpowiedź zostanie udzielona, ​​jeśli system ma unikalne rozwiązanie.

O prostocie metody Gaussa świadczy fakt, że wynalezienie jej przez niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa zajęło zaledwie 15 minut. Oprócz metody jego imienia, zaczerpniętej z dzieła Gaussa, powiedzenie „Nie należy mylić tego, co wydaje nam się niewiarygodne i nienaturalne, z absolutnie niemożliwym” jest rodzajem krótkiej instrukcji dokonywania odkryć.

W wielu stosowanych problemach może nie być trzeciego ograniczenia, to znaczy trzeciego równania, wtedy konieczne jest rozwiązanie układu dwóch równań z trzema niewiadomymi metodą Gaussa lub odwrotnie, jest mniej niewiadomych niż równania. Teraz zaczynamy rozwiązywać takie układy równań.

Korzystając z metody Gaussa, możesz określić, czy dowolny system jest spójny, czy niespójny n równania liniowe z n zmienne.

Metoda Gaussa i układy równań liniowych o nieskończonej liczbie rozwiązań

Następny przykład to spójny, ale nieokreślony układ równań liniowych, czyli ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Po wykonaniu przekształceń w rozszerzonej macierzy systemu (permutowanie wierszy, mnożenie i dzielenie wierszy przez określoną liczbę, dodawanie jednego wiersza do drugiego), wiersze formularza

Jeśli we wszystkich równaniach mających postać

Wolne człony są równe zeru, co oznacza, że ​​układ jest nieokreślony, czyli ma nieskończoną liczbę rozwiązań, a równania tego typu są „zbędne” i są wykluczone z układu.

Przykład 6

Rozwiązanie. Skomponujmy rozszerzoną macierz systemu. Następnie, korzystając z pierwszego równania, eliminujemy zmienną z kolejnych równań. W tym celu do drugiego, trzeciego i czwartego wiersza dodaj pierwszy, pomnożony przez , odpowiednio:

Teraz dodajmy drugi rząd do trzeciego i czwartego.

W rezultacie dochodzimy do systemu

Ostatnie dwa równania stały się równaniami postaci . Równania te są spełnione dla dowolnych wartości niewiadomych i można je odrzucić.

Aby spełnić drugie równanie, możemy wybrać dowolne wartości dla i , wówczas wartość dla zostanie określona jednoznacznie: . Z pierwszego równania, wartość for jest również jednoznacznie znaleziona: .

Zarówno podany, jak i ostatni system są kompatybilne, ale nieokreślone, a formuły

dowolna i poda nam wszystkie rozwiązania danego systemu.

Metoda Gaussa i układy równań liniowych, które nie mają rozwiązań

Poniższy przykład jest niespójnym układem równań liniowych, to znaczy nie ma rozwiązań. Odpowiedź na takie problemy formułuje się następująco: system nie ma rozwiązań.

Jak już wspomniano w związku z pierwszym przykładem, po wykonaniu przekształceń w rozwiniętej macierzy układu, wiersze postaci

odpowiadające równaniu postaci

Jeśli wśród nich jest przynajmniej jedno równanie z niezerowym wyrazem wolnym (tj. ), to ten układ równań jest niespójny, to znaczy nie ma rozwiązań, a to kończy jego rozwiązanie.

Przykład 7 Rozwiąż układ równań liniowych metodą Gaussa:

Rozwiązanie. Komponujemy rozszerzoną macierz systemu. Korzystając z pierwszego równania, wyłączamy zmienną z kolejnych równań. Aby to zrobić, dodaj pierwszy pomnożony przez do drugiego wiersza, pierwszy pomnożony przez trzeci wiersz i pierwszy pomnożony przez czwarty wiersz.

Teraz musisz użyć drugiego równania, aby wykluczyć zmienną z kolejnych równań. Aby uzyskać całkowite stosunki współczynników, zamieniamy drugi i trzeci wiersz rozszerzonej macierzy systemu.

Aby wykluczyć z trzeciego i czwartego równania, dodaj drugie pomnożone przez , do trzeciego wiersza, a drugie pomnożone przez , do czwartego.

Teraz, używając trzeciego równania, eliminujemy zmienną z czwartego równania. Aby to zrobić, do czwartej linii dodaj trzecią, pomnożoną przez .

Dany system jest więc równoważny z następującym:

Powstały system jest niespójny, ponieważ jego ostatniego równania nie mogą spełnić żadne wartości niewiadomych. Dlatego ten system nie ma rozwiązań.

gdzie x* - jedno z rozwiązań układu niejednorodnego (2) (np. (4)), (E-A + A) tworzy jądro (przestrzeń zero) macierzy A.

Zróbmy szkieletowy rozkład macierzy (E-A + A):

E−A + A=Q S

gdzie Q n×n−r- macierz rang (Q)=n−r, S n−r×n-macierz rang (S)=n−r.

Wtedy (13) można zapisać w postaci:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

gdzie k=Sz.

Więc, ogólna procedura rozwiązania układy równań liniowych wykorzystujące macierz pseudoodwrotną można przedstawić w postaci:

1. Oblicz macierz pseudoodwrotną A + .
2. Obliczamy szczególne rozwiązanie niejednorodnego układu równań liniowych (2): x*=A + b.
3. Sprawdzamy kompatybilność systemu. W tym celu obliczamy AA + b. Jeśli AA + b≠b, to system jest niespójny. W przeciwnym razie kontynuujemy procedurę.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Robienie rozkładu szkieletu E−A + A=Q·S.
6. Budowanie rozwiązania

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Rozwiązywanie układu równań liniowych online

Kalkulator online pozwala znaleźć ogólne rozwiązanie układu równań liniowych ze szczegółowymi objaśnieniami.

Instrukcja

Metoda substytucyjna lub sukcesywna eliminacja Substytucja stosowana jest w systemie z niewielką liczbą niewiadomych. Jest to najprostsza metoda rozwiązania dla simple. Najpierw z pierwszego równania wyrażamy jedno nieznane przez inne i podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania. Wyrażamy drugą niewiadomą z przekształconego drugiego równania, otrzymany wynik podstawiamy do trzeciego równania i tak dalej. dopóki nie obliczymy ostatniej niewiadomej. Następnie podstawiamy jego wartość do poprzedniego równania i znajdujemy przedostatnią niewiadomą itp. Rozważ z niewiadomymi.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Wyraź z pierwszego równania x: x = 3 - y. Podstaw w drugim równaniu: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2 lata - r - 3 = 0
3 - 3 lata = 0
y=1
Podstaw w pierwszym równaniu systemy(lub do wyrażenia dla x, które jest takie samo): x + 1 - 3 = 0. Otrzymujemy, że x = 2.

Odejmowanie (lub dodawanie) termin po okresie. Ta metoda często skraca rozwiązania systemy i uprościć obliczenia. Polega na analizie niewiadomych w taki sposób, aby dodać (lub odjąć) równania systemy aby wyeliminować niektóre niewiadome z równania. Rozważ przykład, weź ten sam system, co w pierwszej metodzie.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Łatwo zauważyć, że przy y współczynniki są identyczne w wartości bezwzględnej, ale ze znakiem, więc jeśli dodamy dwa równania wyraz po wyrazie, to y będzie mógł wykluczyć y. Dodajmy: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 lub 3x - 6 = 0. Zatem x = 2. Zastępując tę ​​wartość w dowolnym równaniu, znajdujemy y.
Alternatywnie x można wykluczyć. Współczynniki przy x mają ten sam znak, więc odejmiemy jedno równanie od drugiego. Ale w pierwszym równaniu współczynnik przy x wynosi 1, a w drugim 2, więc po prostu nie można wyeliminować x. Mnożąc pierwsze równanie przez 2, otrzymujemy następujący układ:
2x + 2 lata - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Teraz termin za terminem odejmij drugi od pierwszego równania: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 lub, podając podobne, 3y - 3 = 0. Zatem y = 1. Podstawiając do dowolnego równania, znajdujemy x.

Powiązane wideo

Wskazówka 2: Jak udowodnić zgodność układu równań liniowych?

Jednym z zadań matematyki wyższej jest dowód zgodności układu równań liniowych. Dowód należy przeprowadzić zgodnie z twierdzeniem Kronckera-Capelliego, zgodnie z którym system jest niesprzeczny, jeżeli rząd jego macierzy głównej jest równy rządowi macierzy rozszerzonej.

Instrukcja

Zapisz główną macierz systemu. Aby to zrobić, wprowadź równania do standardowej postaci (to znaczy umieść wszystkie współczynniki w tej samej kolejności, jeśli któregoś z nich brakuje, zapisz je, po prostu ze współczynnikiem liczbowym „0”). Wszystkie współczynniki wypisz w formie tabeli, ująć w nawiasy (nie uwzględniaj wolnych terminów przeniesionych na prawą stronę).

W ten sam sposób zapisz rozszerzoną macierz układu, tylko w tym przypadku połóż pionową kreskę po prawej stronie i zapisz kolumnę wolnych prętów.

Oblicz rangę macierzy głównej, jest to największa niezerowa podrzędna. Mniejsza pierwszego rzędu to dowolna cyfra macierzy, oczywiste jest, że nie jest równa zero. Aby obliczyć drugorzędne drugorzędne, weź dowolne dwa wiersze i dowolne dwie kolumny (otrzymasz cztery cyfry). Oblicz wyznacznik, pomnóż lewą górną liczbę przez prawą dolną, odejmij iloczyn lewego dolnego i prawego górnego od otrzymanej liczby. Masz nieletniego drugiego rzędu.

Trudniej obliczyć moll trzeciego rzędu. Aby to zrobić, weź dowolne trzy rzędy i trzy kolumny, otrzymasz tabelę dziewięciu liczb. Wyznacznik oblicz ze wzoru: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (pierwsza cyfra współczynnika to numer wiersza, druga to numer kolumny). Otrzymałeś nieletniego trzeciego rzędu.

Podobnie znajdź rangę rozszerzonej macierzy. Zauważ, że jeśli liczba równań w twoim systemie jest zgodna z rangą (na przykład trzy równania, a ranga to 3), nie ma sensu obliczanie rangi macierzy rozszerzonej - oczywiście będzie ona również równa tej liczbie . W tym przypadku możemy śmiało stwierdzić, że układ równań liniowych jest zgodny.

Powiązane wideo

Zadane pytanie całkowicie pokrywa główny cel całego kursu „Algebra liniowa”. Dlatego odpowiedź można udzielić tylko w formie skompresowanej, bez szczegółowych obliczeń i wyjaśnień. Ogólnie rzecz biorąc, równania liniowe są interesujące, ponieważ można je rozwiązywać metodami czysto algorytmicznymi.

Instrukcja

Układ m liniowych równań algebraicznych z n niewiadomymi ma postać (patrz rys. 1).
W nim aij są współczynnikami systemu, xj są niewiadomymi, bi są swobodnymi członkami (i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , p). Układ taki ma praktyczne znaczenie w przypadku, gdy liczba jego równań nie przekracza liczby niewiadomych, czyli gdy m≤n. Faktem jest, że w przeciwnym razie „dodatkowe” równania muszą być liniową kombinacją pozostałych. Chodzi o to, że po prostu je powtarzają. Jeśli nie, to rozwiązanie nie istnieje (system nie jest spójny).

Taki system można zwięźle zapisać w postaci macierzowej AX=B. Tutaj A są współczynnikami układu, X jest macierzą kolumnową niewiadomych, B jest macierzą kolumnową swobodnych elementów (patrz rys. 2). Jeśli m=n, tj. to liczba niewiadomych, a liczba równań jest taka sama, to macierz A jest kwadratowa. Dlatego zdefiniowano dla niej pojęcie wyznacznika macierzy ∆=|A|. Dla |A|≠0 istnieje macierz odwrotna A⁻¹. Opiera się na równości AA⁻¹= A⁻¹A=E (E jest macierzą jednostkową). Wzór obliczeniowy jest również przedstawiony na rysunku 2. Należy tylko dodać, że elementy Aij Г, zwane dopełnieniami algebraicznymi elementów aij macierzy A, oblicza się w następujący sposób. Weź wyznacznik |A| i usuń z niego wiersz i kolumnę zawierające element aij. Zapisz pozostałe współczynniki jako wyznacznik, który pomnożysz przez (-1) jeśli i+j nie jest parzyste. Odpowiedni numer to Aij. Dodatki algebraiczne są zapisywane nad kolumnami powiązanej macierzy.

Znajdź rozwiązanie systemu w sposób macierzowy. Aby to zrobić, pomnóż obie części układu AX=B przez A⁻¹ po lewej stronie. Uzyskaj (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B lub X=A⁻¹B. Wszystkie szczegóły zilustrowano na ryc. 3. Ten sam rysunek pokazuje

W tej lekcji rozważymy metody rozwiązywania układu równań liniowych. W matematyce wyższej układy równań liniowych należy rozwiązywać zarówno w formie odrębnych zadań, np. „Rozwiąż układ za pomocą wzorów Cramera”, jak iw trakcie rozwiązywania innych problemów. Trzeba mieć do czynienia z układami równań liniowych w prawie wszystkich gałęziach matematyki wyższej.

Najpierw trochę teorii. Co w tym przypadku oznacza matematyczne słowo „liniowy”? Oznacza to, że w równaniach układu wszystko zmienne są uwzględnione w pierwszym stopniu: bez wymyślnych rzeczy, takich jak itp., z których zachwyceni tylko uczestnicy olimpiad matematycznych.

W matematyce wyższej do oznaczania zmiennych używa się nie tylko liter znanych z dzieciństwa.
Dość popularną opcją są zmienne z indeksami: .
Lub pierwsze litery alfabetu łacińskiego, małe i duże:
Nie jest tak rzadko spotykane greckie litery: - dobrze znane wielu "alfa, beta, gamma". A także zestaw z indeksami, powiedzmy, z literą „mu”:

Użycie jednego lub drugiego zestawu liter zależy od gałęzi matematyki wyższej, w której mamy do czynienia z układem równań liniowych. Na przykład w układach równań liniowych napotykanych przy rozwiązywaniu całek, równań różniczkowych, tradycyjnie używa się notacji

Ale bez względu na to, jak zmienne są wyznaczone, zasady, metody i metody rozwiązywania układu równań liniowych nie zmieniają się od tego. Jeśli więc natkniesz się na coś strasznego, nie spiesz się z zamykaniem ze strachu księgi problemów, zamiast tego możesz narysować słońce zamiast ptaka, a zamiast tego twarz (nauczyciela). I, co dziwne, można również rozwiązać układ równań liniowych z tymi zapisami.

Coś mam takie przeczucie, że artykuł okaże się dość długi, a więc mały spis treści. Tak więc sekwencyjne „debriefing” będzie wyglądało następująco:

– Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawienia („metoda szkolna”);
– Rozwiązanie układu metodą dodawania (odejmowania) członu po członie równań układu;
– Rozwiązanie układu za pomocą wzorów Cramera;
– Rozwiązanie systemu z wykorzystaniem macierzy odwrotnej;
– Rozwiązanie systemu metodą Gaussa.

Wszyscy znają układy równań liniowych ze szkolnego kursu matematyki. W rzeczywistości zaczynamy od powtórzeń.

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawienia

Metodę tę można również nazwać „metodą szkolną” lub metodą eliminacji niewiadomych. Mówiąc obrazowo, można ją również nazwać „półdokończoną metodą Gaussa”.

Przykład 1

Tutaj mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Zauważ, że wolne terminy (numery 5 i 7) znajdują się po lewej stronie równania. Ogólnie rzecz biorąc, nie ma znaczenia, gdzie się znajdują, po lewej czy po prawej stronie, po prostu w problemach z wyższej matematyki często tak się znajdują. A taki zapis nie powinien być mylący, w razie potrzeby system zawsze można napisać „jak zwykle”. Nie zapominaj, że przenosząc termin z części na część, musisz zmienić jego znak.

Co to znaczy rozwiązać układ równań liniowych? Rozwiązywanie układu równań oznacza znalezienie zbioru jego rozwiązań. Rozwiązaniem systemu jest zbiór wartości wszystkich zawartych w nim zmiennych, co zamienia KAŻDE równanie systemu w prawdziwą równość. Ponadto system może być: niekompatybilny (brak rozwiązań).Nie wstydź się, to ogólna definicja =) Będziemy mieli tylko jedną wartość "x" i jedną wartość "y", które spełniają każde równanie z-my.

Istnieje graficzna metoda rozwiązywania systemu, którą można znaleźć w lekcji. Najprostsze problemy z linią prostą. Tam mówiłem zmysł geometryczny układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Ale teraz na podwórku jest era algebry, liczb-liczb, akcji-czynności.

My decydujemy: z pierwszego równania wyrażamy:
Otrzymane wyrażenie podstawiamy do drugiego równania:

Otwieramy nawiasy, podajemy podobne terminy i znajdujemy wartość:

Następnie przypominamy, z czego tańczyli:
Znamy już wartość, pozostaje znaleźć:

Odpowiadać:

Po rozwiązaniu DOWOLNEGO układu równań w JAKIKOLWIEK sposób, zdecydowanie zalecam sprawdzenie (ustnie, na szkicu lub kalkulatorze). Na szczęście odbywa się to szybko i łatwo.

1) Podstaw znalezioną odpowiedź w pierwszym równaniu:

- uzyskuje się prawidłową równość.

2) Zastępujemy znalezioną odpowiedź w drugim równaniu:

- uzyskuje się prawidłową równość.

Lub, mówiąc prościej, „wszystko się połączyło”

Rozważana metoda rozwiązania nie jest jedyną, z pierwszego równania można było wyrazić , ale nie .
Możesz odwrotnie - wyrazić coś z drugiego równania i podstawić to do pierwszego równania. Przy okazji zauważ, że najbardziej niekorzystnym z czterech sposobów jest wyrażenie z drugiego równania:

Uzyskuje się frakcje, ale dlaczego? Jest bardziej racjonalne rozwiązanie.

Jednak w niektórych przypadkach ułamki są nadal niezbędne. W związku z tym zwracam uwagę na JAK napisałem wyrażenie. Nie w ten sposób: i w żadnym wypadku nie w ten sposób: .

Jeśli w wyższej matematyce masz do czynienia z liczbami ułamkowymi, spróbuj wykonać wszystkie obliczenia w zwykłych ułamkach niewłaściwych.

Dokładnie nie lub!

Przecinka można użyć tylko sporadycznie, w szczególności jeśli - jest to ostateczna odpowiedź na jakiś problem i nie trzeba wykonywać dalszych czynności z tym numerem.

Wielu czytelników zapewne pomyślało „po co tak szczegółowe wyjaśnienie, jak na klasę korekty, i wszystko jasne”. Nic w tym rodzaju, wydaje się, że to taki prosty przykład szkolny, ale ile BARDZO ważnych wniosków! Oto kolejny:

Każde zadanie należy dążyć do realizacji w najbardziej racjonalny sposób.. Choćby dlatego, że oszczędza czas i nerwy, a także zmniejsza prawdopodobieństwo popełnienia błędu.

Jeśli w zadaniu z matematyki wyższej natkniesz się na układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, to zawsze możesz skorzystać z metody podstawienia (chyba że wskazano, że układ należy rozwiązać inną metodą)”.
Ponadto w niektórych przypadkach zaleca się stosowanie metody substytucyjnej przy większej liczbie zmiennych.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań liniowych z trzema niewiadomymi

Podobny układ równań powstaje często przy zastosowaniu tzw. metody współczynników nieoznaczonych, gdy znajdujemy całkę wymiernej funkcji ułamkowej. System, o którym mowa, został przeze mnie zabrany stamtąd.

Znajdując całkę - cel szybki znajdź wartości współczynników i nie wymyślaj formuł Cramera, metody odwrotnej macierzy itp. Dlatego w tym przypadku odpowiednia jest metoda substytucji.

Gdy dany jest dowolny układ równań, to przede wszystkim pożądane jest sprawdzenie, czy można go jakoś uprościć NATYCHMIAST? Analizując równania układu, zauważamy, że drugie równanie układu można podzielić przez 2, co robimy:

Odniesienie: symbol matematyczny oznacza „z tego wynika to”, jest często używany w trakcie rozwiązywania problemów.

Teraz analizujemy równania, musimy wyrazić jakąś zmienną przez resztę. Jakie równanie wybrać? Zapewne już domyśliłeś się, że najłatwiej w tym celu wziąć pierwsze równanie układu:

Tutaj nie ma znaczenia, którą zmienną wyrazić, równie dobrze można wyrazić lub .

Następnie podstawiamy wyrażenie for do drugiego i trzeciego równania układu:

Otwórz nawiasy i dodaj podobne terminy:

Trzecie równanie dzielimy przez 2:

Z drugiego równania wyrażamy i podstawiamy do trzeciego równania:

Prawie wszystko jest gotowe, z trzeciego równania znajdujemy:
Z drugiego równania:
Z pierwszego równania:

Sprawdź: Zastąp znalezione wartości zmiennych po lewej stronie każdego równania systemu:

1)
2)
3)

Otrzymane są odpowiednie prawe strony równań, więc rozwiązanie zostanie znalezione poprawnie.

Przykład 3

Rozwiąż układ równań liniowych z 4 niewiadomymi

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Rozwiązanie układu przez dodawanie (odejmowanie) równań układu przez wyraz po wyrazie

Przy rozwiązywaniu układów równań liniowych należy starać się stosować nie „metodę szkolną”, ale metodę dodawania (odejmowania) równań układu wyraz po wyrazie. Czemu? Oszczędza to czas i upraszcza obliczenia, jednak teraz stanie się to bardziej przejrzyste.

Przykład 4

Rozwiąż układ równań liniowych:

Wziąłem ten sam system, co w pierwszym przykładzie.
Analizując układ równań, zauważamy, że współczynniki zmiennej są identyczne w wartości bezwzględnej i przeciwne w znaku (–1 i 1). W tej sytuacji równania mogą być dodawane wyraz po wyrazie:

Akcje zakreślone na czerwono są wykonywane MENTALNIE.
Jak widać, w wyniku dodawania terminów straciliśmy zmienną . W rzeczywistości jest to istotą metody jest pozbycie się jednej ze zmiennych.