शालेय अभ्यासक्रमातील भूमितीमधील सर्वात मनोरंजक विषयांपैकी एक म्हणजे "चतुर्भुज" (ग्रेड 8). अशा आकृत्यांचे कोणते प्रकार अस्तित्वात आहेत, त्यांच्याकडे कोणते विशेष गुणधर्म आहेत? नव्वद-अंश कोपऱ्यांसह चतुर्भुजांमध्ये अद्वितीय काय आहे? या सर्व गोष्टींचा शोध घेऊया.

कोणत्या भौमितीय आकृतीला चतुर्भुज म्हणतात

बहुभुज, ज्यामध्ये चार बाजू असतात आणि अनुक्रमे चार शिरोबिंदू (कोपरे) असतात, त्यांना युक्लिडियन भूमितीमध्ये चतुर्भुज म्हणतात.

या प्रकारच्या आकृत्यांच्या नावाचा इतिहास मनोरंजक आहे. रशियन भाषेत, "चतुर्भुज" हे संज्ञा "चार कोपरे" (जसे "त्रिकोण" - तीन कोपरे, "पेंटागोन" - पाच कोपरे इ.) या वाक्यांशापासून बनते.

तथापि, लॅटिनमध्ये (ज्याद्वारे अनेक भौमितिक संज्ञा जगातील बहुतेक भाषांमध्ये आल्या), त्याला चतुर्भुज म्हणतात. हा शब्द अंकीय चतुर्भुज (चार) आणि संज्ञा लॅटस (बाजू) पासून बनला आहे. म्हणून आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की प्राचीन लोकांमध्ये या बहुभुजाचा उल्लेख फक्त "चार बाजूंनी" होता.

तसे, असे नाव (या प्रकारच्या आकृत्यांमध्ये कोपऱ्यांऐवजी चार बाजूंच्या उपस्थितीवर जोर देऊन) काही आधुनिक भाषांमध्ये जतन केले गेले आहे. उदाहरणार्थ, इंग्रजीमध्ये - quadrilateral आणि फ्रेंचमध्ये - quadrilatère.

त्याच वेळी, बहुतेक स्लाव्हिक भाषांमध्ये, आकृत्यांचा विचार केलेला प्रकार अद्याप कोनांच्या संख्येने ओळखला जातो, बाजूंनी नाही. उदाहरणार्थ, स्लोव्हाकमध्ये (štvoruholník), बल्गेरियनमध्ये (“chetirigalnik”), बेलारशियनमध्ये (“chatyrokhkutnik”), युक्रेनियनमध्ये (“chotirikutnik”), झेकमध्ये (čtyřúhelník), परंतु पोलिशमध्ये चतुर्भुज संख्येनुसार म्हणतात. बाजू - czworoboczny.

शालेय अभ्यासक्रमात कोणत्या प्रकारच्या चतुर्भुजांचा अभ्यास केला जातो

आधुनिक भूमितीमध्ये चार बाजू असलेले 4 प्रकारचे बहुभुज आहेत.

तथापि, त्यांच्यापैकी काहींच्या खूप जटिल गुणधर्मांमुळे, भूमितीच्या धड्यांमध्ये, शाळकरी मुलांना फक्त दोन प्रकारांशी ओळख करून दिली जाते.

• समांतरभुज चौकोन.अशा चतुर्भुजाच्या विरुद्ध बाजू एकमेकांच्या जोडीने समांतर असतात आणि त्यानुसार, जोड्यांमध्ये देखील समान असतात.
• ट्रॅपेझ (ट्रॅपेझियम किंवा ट्रॅपेझॉइड).या चौकोनामध्ये एकमेकांना समांतर दोन विरुद्ध बाजू असतात. तथापि, बाजूंच्या इतर जोडीमध्ये हे वैशिष्ट्य नाही.

शालेय भूमिती अभ्यासक्रमात चतुर्भुजांचे प्रकार अभ्यासले गेले नाहीत

वरील व्यतिरिक्त, आणखी दोन प्रकारचे चतुर्भुज आहेत जे शाळकरी मुलांना त्यांच्या विशिष्ट जटिलतेमुळे भूमितीच्या धड्यांमध्ये ओळखले जात नाहीत.

• डेल्टॉइड (पतंग)- एक आकृती ज्यामध्ये समीप बाजूंच्या दोन जोड्यांपैकी प्रत्येकाची लांबी एकमेकांच्या समान आहे. अशा चतुर्भुजांना त्याचे नाव या वस्तुस्थितीमुळे मिळाले आहे की दिसण्यात ते ग्रीक वर्णमाला - "डेल्टा" च्या अक्षरासारखे दिसते.
• समांतरभुज चौकोन- ही आकृती त्याच्या नावाइतकीच गुंतागुंतीची आहे. त्यामध्ये, दोन विरुद्ध बाजू समान आहेत, परंतु त्याच वेळी ते एकमेकांना समांतर नाहीत. याशिवाय, या चौकोनाच्या लांब विरुद्ध बाजू एकमेकांना छेदतात, इतर दोन, लहान बाजूंच्या विस्तारांप्रमाणे.

समांतरभुज चौकोनाचे प्रकार

मुख्य प्रकारचे चतुर्भुज हाताळल्यानंतर, त्याच्या उप-प्रजातींकडे लक्ष देणे योग्य आहे. तर, सर्व समांतरभुज चौकोन देखील चार गटांमध्ये विभागलेले आहेत.

• शास्त्रीय समांतरभुज चौकोन.
• समभुज चौकोन (समभुज चौकोन)- समान बाजू असलेली चौकोनी आकृती. त्याचे कर्ण काटकोनात छेदतात, समभुज चौकोनाला चार समान काटकोन त्रिकोणात विभाजित करतात.
• आयत.नाव स्वतःच बोलते. हा काटकोन असलेला चतुर्भुज असल्याने (त्यापैकी प्रत्येकी नव्वद अंशांच्या समान आहे). त्याच्या विरुद्ध बाजू केवळ एकमेकांना समांतर नाहीत तर समान आहेत.
• चौरस (चौरस).आयताप्रमाणे, तो काटकोन असलेला चतुर्भुज आहे, परंतु त्याच्या सर्व बाजू एकमेकांच्या समान आहेत. ही आकृती समभुज चौकोनाच्या जवळ आहे. म्हणून असा युक्तिवाद केला जाऊ शकतो की चौरस हा समभुज चौकोन आणि आयतामधील क्रॉस आहे.

आयत विशेष गुणधर्म

आकृत्या लक्षात घेता ज्यामध्ये बाजूंमधील प्रत्येक कोन नव्वद अंशांच्या समान आहे, आयतावर अधिक लक्षपूर्वक राहणे योग्य आहे. तर, इतर समांतरभुज चौकोनांपासून वेगळे करणारी कोणती विशेष वैशिष्ट्ये आहेत?

विचाराधीन समांतरभुज चौकोन एक आयत आहे हे ठासून सांगण्यासाठी, त्याचे कर्ण एकमेकांच्या बरोबरीचे असले पाहिजेत आणि प्रत्येक कोन उजवा असावा. याव्यतिरिक्त, त्याच्या कर्णांचा वर्ग या आकृतीच्या दोन समीप बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेशी संबंधित असणे आवश्यक आहे. दुस-या शब्दात, क्लासिक आयतामध्ये दोन काटकोन त्रिकोण असतात आणि त्यामध्ये, जसे ज्ञात आहे, विचाराधीन चौकोनाचा कर्ण कर्ण म्हणून कार्य करतो.

या आकृतीच्या सूचीबद्ध चिन्हांपैकी शेवटची चिन्हे देखील त्याची खास मालमत्ता आहे. याशिवाय इतरही आहेत. उदाहरणार्थ, काटकोनांसह अभ्यासलेल्या चौकोनाच्या सर्व बाजू एकाच वेळी त्याची उंची आहेत.

याव्यतिरिक्त, कोणत्याही आयताभोवती वर्तुळ काढल्यास, त्याचा व्यास कोरलेल्या आकृतीच्या कर्णाच्या बरोबरीचा असेल.

या चतुर्भुजाच्या इतर गुणधर्मांपैकी, ते सपाट आहे आणि गैर-युक्लिडियन भूमितीमध्ये अस्तित्वात नाही. हे या वस्तुस्थितीमुळे आहे की अशा प्रणालीमध्ये चतुर्भुज आकृत्या नसतात, ज्याच्या कोनांची बेरीज तीनशे साठ अंश असते.

स्क्वेअर आणि त्याची वैशिष्ट्ये

आयताची चिन्हे आणि गुणधर्म हाताळल्यानंतर, विज्ञानाला ज्ञात असलेल्या दुसऱ्या चतुर्भुजाकडे काटकोन (हा चौरस आहे) लक्ष देणे योग्य आहे.

खरं तर समान आयत असल्याने, परंतु समान बाजूंनी, या आकृतीचे सर्व गुणधर्म आहेत. परंतु त्याच्या विपरीत, चौरस नॉन-युक्लिडियन भूमितीमध्ये उपस्थित आहे.

याव्यतिरिक्त, या आकृतीची स्वतःची इतर विशिष्ट वैशिष्ट्ये आहेत. उदाहरणार्थ, चौकोनाचे कर्ण एकमेकांना सारखेच नसतात, तर काटकोनात छेदतात ही वस्तुस्थिती. अशाप्रकारे, समभुज चौकोनाप्रमाणे, चौकोनात चार काटकोन त्रिकोण असतात, ज्यामध्ये तो कर्णांनी विभागलेला असतो.

याव्यतिरिक्त, ही आकृती सर्व चतुर्भुजांमध्ये सर्वात सममितीय आहे.

चौकोनाच्या कोनांची बेरीज किती आहे

युक्लिडियन भूमिती चतुर्भुजांची वैशिष्ट्ये लक्षात घेऊन, त्यांच्या कोनांकडे लक्ष देणे योग्य आहे.

तर, वरील प्रत्येक आकृतीत, काटकोन असले किंवा नसले तरीही, त्यांची एकूण बेरीज नेहमी सारखीच असते - तीनशे साठ अंश. या प्रकारच्या आकृतीचे हे एक अद्वितीय वेगळे वैशिष्ट्य आहे.

चतुर्भुजांची परिमिती

चतुर्भुजाच्या कोनांची बेरीज आणि या प्रकारच्या आकृत्यांचे इतर विशेष गुणधर्म काय आहेत हे शोधून काढल्यानंतर, त्यांची परिमिती आणि क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी कोणती सूत्रे वापरली जातात हे जाणून घेणे योग्य आहे.

कोणत्याही चतुर्भुजाची परिमिती निश्चित करण्यासाठी, तुम्हाला फक्त त्याच्या सर्व बाजूंची लांबी एकत्र जोडणे आवश्यक आहे.

उदाहरणार्थ, KLMN आकृतीमध्ये, त्याची परिमिती सूत्र वापरून मोजली जाऊ शकते: P \u003d KL + LM + MN + KN. तुम्ही येथे संख्या बदलल्यास, तुम्हाला मिळेल: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

जेव्हा प्रश्नातील आकृती समभुज चौकोन किंवा चौरस असेल तेव्हा परिमिती शोधण्यासाठी, तुम्ही फक्त त्याच्या एका बाजूची लांबी चारने गुणाकार करून सूत्र सोपे करू शकता: P \u003d KL x 4. उदाहरणार्थ: 6 x 4 \u003d 24 (सेमी).

क्षेत्र चतुर्भुज सूत्रे

चार कोपरे आणि बाजू असलेल्या कोणत्याही आकृतीचा परिमिती कसा शोधायचा हे शोधून काढल्यानंतर, त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सर्वात लोकप्रिय आणि सोप्या मार्गांचा विचार करणे योग्य आहे.

चतुर्भुजांचे इतर गुणधर्म: अंकित आणि गोलाकार वर्तुळे

युक्लिडियन भूमितीची आकृती म्हणून चतुर्भुजाची वैशिष्ट्ये आणि गुणधर्मांचा विचार केल्यावर, त्याच्या सभोवतालचे वर्णन करण्याच्या किंवा त्याच्या आत वर्तुळे लिहिण्याच्या क्षमतेकडे लक्ष देणे योग्य आहे:

• जर आकृतीच्या विरुद्ध कोनांची बेरीज प्रत्येकी एकशे ऐंशी अंश असेल आणि एकमेकांच्या जोडीने समान असतील, तर अशा चतुर्भुजभोवती वर्तुळाचे मुक्तपणे वर्णन केले जाऊ शकते.
• टॉलेमीच्या प्रमेयानुसार, जर एखाद्या वर्तुळाला बहुभुजाच्या बाहेर चार बाजूंनी परिक्रमा केली असेल, तर त्याच्या कर्णांचे गुणन दिलेल्या आकृतीच्या विरुद्ध बाजूंच्या गुणाकारांच्या बेरजेइतके असते. अशा प्रकारे, सूत्र असे दिसेल: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• जर तुम्ही चतुर्भुज तयार केला ज्यामध्ये विरुद्ध बाजूंच्या बेरीज एकमेकांच्या समान असतील तर त्यामध्ये एक वर्तुळ कोरले जाऊ शकते.

चतुर्भुज म्हणजे काय, त्याचे कोणते प्रकार अस्तित्त्वात आहेत, त्यापैकी कोणत्या बाजूंमध्ये फक्त काटकोन आहेत आणि त्यांच्याकडे कोणते गुणधर्म आहेत हे शोधून काढल्यानंतर, ही सर्व सामग्री लक्षात ठेवण्यासारखी आहे. विशेषतः, विचारात घेतलेल्या बहुभुजांची परिमिती आणि क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सूत्रे. तथापि, या स्वरूपाचे आकडे सर्वात सामान्य आहेत आणि हे ज्ञान वास्तविक जीवनात गणना करण्यासाठी उपयुक्त ठरू शकते.

व्याख्या.समांतरभुज चौकोन हा एक चौकोन असतो ज्याच्या विरुद्ध बाजू जोडीने समांतर असतात.

मालमत्ता.समांतरभुज चौकोनामध्ये, विरुद्ध बाजू समान असतात आणि विरुद्ध कोन समान असतात.

मालमत्ता.समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण छेदनबिंदूने दुभाजलेले असतात.

समांतरभुज चौकोनाचे 1 चिन्ह.जर चौकोनाच्या दोन बाजू समान आणि समांतर असतील, तर चौकोन समांतरभुज चौकोन असतो.

समांतरभुज चौकोनाचे 2 चिन्ह.जर चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू जोड्यांमध्ये समान असतील, तर चौकोन समांतरभुज चौकोन असतो.

समांतरभुज चौकोनाचे 3 चिन्ह.जर चतुर्भुजात कर्ण छेदतात आणि छेदनबिंदू दुभाजक असेल, तर हा चौकोन समांतरभुज चौकोन असतो.

व्याख्या.ट्रॅपेझॉइड एक चतुर्भुज आहे ज्यामध्ये दोन बाजू समांतर असतात आणि इतर दोन बाजू समांतर नसतात. समांतर बाजू म्हणतात मैदान

ट्रॅपेझॉइड म्हणतात समद्विभुज (समद्विभुज)जर त्याच्या बाजू समान असतील. समद्विद्विभुज ट्रॅपेझॉइडमध्ये, पायथ्यावरील कोन समान असतात.

आयताकृती.

ट्रॅपेझॉइडची मध्यरेषा. मधली रेषा पायथ्याशी समांतर आहे आणि त्यांच्या अर्ध्या बेरीजच्या समान आहे.

आयत

व्याख्या.

मालमत्ता.आयताचे कर्ण समान असतात.

आयताकृती चिन्ह.समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण समान असल्यास, समांतरभुज चौकोन हा आयत असतो.

व्याख्या.

मालमत्ता.समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्पर लंब असतात आणि त्याचे कोन दुभाजक करतात.

व्याख्या.

चौरस हा एक विशिष्ट प्रकारचा आयत असतो आणि विशिष्ट प्रकारचा समभुज चौकोन देखील असतो. म्हणून, त्यात त्यांचे सर्व गुणधर्म आहेत.

गुणधर्म:
1. चौरसाचे सर्व कोपरे उजवे आहेत

सर्व नियम चतुर्भुज करतात

कीवर्ड:
चतुर्भुज, बहिर्वक्र, कोनांची बेरीज, चौकोनाचे क्षेत्रफळ

चतुर्भुजएका आकृतीला म्हणतात, ज्यामध्ये चार बिंदू आणि चार विभाग असतात जे त्यांना मालिकेत जोडतात. या प्रकरणात, यापैकी कोणतेही तीन बिंदू एका सरळ रेषेत नसावेत आणि त्यांना जोडणारे विभाग एकमेकांना छेदू नयेत.

• चौकोनाच्या शिरोबिंदूंना म्हणतात शेजारी जर ते त्याच्या एका बाजूचे टोक असतील.
• शेजारी नसलेले शिरोबिंदू , म्हणतात विरुद्ध .
• चौकोनाच्या विरुद्ध शिरोबिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडांना म्हणतात कर्ण .
• एकाच शिरोबिंदूपासून उगम पावणाऱ्या चौकोनाच्या बाजूंना म्हणतात शेजारी पक्ष
• ज्या बाजूंना सामाईक अंत नसतो त्यांना म्हणतात विरुद्ध पक्ष
• चतुर्भुज म्हणतात उत्तल , जर ते त्याच्या कोणत्याही बाजू असलेल्या सरळ रेषेच्या सापेक्ष अर्ध्या विमानात स्थित असेल.

चतुर्भुजांचे प्रकार

1. समांतरभुज चौकोन विरुद्ध बाजू समांतर असलेला चौकोन
   • आयत सर्व काटकोनांसह समांतरभुज चौकोन
   • समभुज चौकोन - सर्व बाजू समान असलेला समांतरभुज चौकोन
   • चौरस - सर्व बाजू समान असलेला एक आयत
2. ट्रॅपेझ - एक चौकोन ज्यामध्ये दोन बाजू समांतर आहेत आणि इतर दोन बाजू समांतर नाहीत
3. डेल्टॉइड एक चतुर्भुज ज्याच्या समीप बाजूंच्या दोन जोड्या समान आहेत

चतुर्भुज

चतुर्भुजएका आकृतीला म्हणतात, ज्यामध्ये चार बिंदू आणि चार विभाग असतात जे त्यांना मालिकेत जोडतात. या प्रकरणात, यापैकी कोणतेही तीन बिंदू एकाच सरळ रेषेवर नसतात आणि त्यांना जोडणारे विभाग एकमेकांना छेदत नाहीत.

विरुद्ध विरुद्ध

चतुर्भुजांचे प्रकार

समांतरभुज चौकोन

समांतरभुज चौकोनज्याच्या विरुद्ध बाजू जोडीने समांतर असतात त्याला चौकोन म्हणतात.

समांतरभुज चौकोन गुणधर्म

• विरुद्ध बाजू समान आहेत;
• विरुद्ध कोन समान आहेत;
• कर्णांच्या चौरसांची बेरीज सर्व बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी आहे:

समांतरभुज चौकोन वैशिष्ट्ये

ट्रॅपेझचौकोन म्हणतात, ज्यामध्ये दोन विरुद्ध बाजू समांतर असतात आणि इतर दोन समांतर नसतात.

ट्रॅपेझॉइडच्या समांतर बाजूंना त्याचे म्हणतात मैदानआणि समांतर नसलेल्या बाजू बाजू.बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या खंडाला म्हणतात मधली ओळ.

ट्रॅपेझॉइड म्हणतात समद्विभुज(किंवा समद्विभुज) जर त्याच्या बाजू समान असतील.

एक काटकोन असलेला समलंब कोन म्हणतात आयताकृती

ट्रॅपेझॉइड गुणधर्म

ट्रॅपेझॉइडची चिन्हे

आयत

आयतसर्व कोन काटकोन असल्यास समांतरभुज चौकोन म्हणतात.

आयताकृती गुणधर्म

आयत वैशिष्ट्ये

समांतरभुज चौकोन हा आयत आहे जर:

1. त्याचा एक कोपरा उजवा आहे.
2. त्याचे कर्ण समान आहेत.

समभुज चौकोनसर्व बाजू समान असल्यास समांतरभुज चौकोन म्हणतात.

समभुज चौकोन गुणधर्म

• समांतरभुज चौकोनाचे सर्व गुणधर्म;
• कर्ण लंब आहेत;

समभुज चौकोनाची चिन्हे

चौरसएक आयत म्हणतात ज्यामध्ये सर्व बाजू समान असतात.

चौरस गुणधर्म

• चौरसाचे सर्व कोपरे उजवे आहेत;
• चौरसाचे कर्ण समान आहेत, परस्पर लंब आहेत, छेदनबिंदू अर्ध्यामध्ये विभागलेला आहे आणि चौरसाचे कोपरे अर्ध्यामध्ये विभागलेले आहेत.

चौरस चिन्हे

मूलभूत सूत्रे

S=d 1 d 2 पाप

समांतरभुज चौकोन
aआणि ब-समीप पक्ष; - त्यांच्यातील कोन; h a -बाजूला उंची a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 पाप

ट्रॅपेझ
aआणि b- मैदाने; h-त्यांच्यातील अंतर; l-मधली ओळ .

आयत

S=d 1 d 2 पाप

S = a 2 पाप

S=d 1 d 2

चौरस
d- कर्ण.

www.univer.omsk.su

चतुर्भुजांचे गुणधर्म. चतुर्भुजांचे प्रकार. अनियंत्रित चतुर्भुजांचे गुणधर्म. समांतरभुज गुण. समभुज चौकोनाचे गुणधर्म. आयताकृती गुणधर्म. चौरस गुणधर्म. ट्रॅपेझॉइड गुणधर्म. अंदाजे 7-9 ग्रेड (13-15 वर्षे जुने)

चतुर्भुजांचे गुणधर्म. चतुर्भुजांचे प्रकार. अनियंत्रित चतुर्भुजांचे गुणधर्म.
समांतरभुज गुण. समभुज चौकोनाचे गुणधर्म. आयताकृती गुणधर्म. चौरस गुणधर्म. ट्रॅपेझॉइड गुणधर्म.

चतुर्भुजांचे प्रकार:

• समांतरभुज चौकोनएक चौकोन आहे ज्याच्या विरुद्ध बाजू समांतर आहेत

• समभुज चौकोनसर्व बाजू समान असलेला समांतरभुज चौकोन आहे.

• आयतसर्व काटकोनांसह समांतरभुज चौकोन आहे.

• चौरससर्व बाजू समान असलेला एक आयत आहे.

अनियंत्रित चतुर्भुजांचे गुणधर्म:

समांतरभुज चौकोन गुणधर्म:

समभुज चौकोन गुणधर्म:

आयत गुणधर्म:

चौरस गुणधर्म:

ट्रॅपेझ गुणधर्म:

सल्ला आणि तांत्रिक
साइट समर्थन: झावरका टीम

सर्व नियम चतुर्भुज करतात

नॉन-युक्लिडियन भूमिती, भूमिती सारखी भूमिती युक्लिडत्यामध्ये ते आकृत्यांच्या हालचालीची व्याख्या करते, परंतु युक्लिडियन भूमितीपेक्षा भिन्न आहे कारण त्याच्या पाच पदांपैकी एक (दुसरा किंवा पाचवा) त्याच्या नकाराने बदलला आहे. युक्लिडियन पोस्टुलेट्सपैकी एकाचा नकार (1825) ही विचारांच्या इतिहासातील एक महत्त्वपूर्ण घटना होती, कारण ती या दिशेने पहिले पाऊल म्हणून काम करते. सापेक्षतेचा सिद्धांत.

युक्लिडचे दुसरे विधान असे सांगते कोणताही रेषाखंड अनिश्चित काळासाठी वाढवला जाऊ शकतो. युक्लिडचा वरवर पाहता असा विश्वास होता की या विधानात सरळ रेषेची लांबी असीम आहे असे विधान देखील आहे. तथापि "लंबवर्तुळाकार" भूमितीमध्ये कोणतीही सरळ रेषा मर्यादित असते आणि वर्तुळाप्रमाणे बंद असते.

पाचव्या मांडणीत असे म्हटले आहे की जर एखादी रेषा दोन दिलेल्या रेषांना अशा प्रकारे छेदते की तिच्या एका बाजूचे दोन आतील कोन बेरीजमध्ये दोन काटकोनांपेक्षा कमी असतील, तर या दोन रेषा, अनिश्चित काळासाठी वाढवल्या गेल्यास, त्या बाजूने छेदतील जेथे या कोनांची बेरीज दोन सरळ रेषांच्या बेरीजपेक्षा कमी आहे. परंतु "हायपरबोलिक" भूमितीमध्ये, दिलेल्या रेषा r ला C बिंदूवर लंब असलेली आणि B बिंदूवर तीव्र कोनात दुसरी रेषा s छेदणारी एक रेषा CB (चित्र पहा.) असू शकते, परंतु, तरीही, अनंत रेषा r आणि s कधीही छेदणार नाही.

या सुधारित विधानांवरून असे दिसून आले की त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज, युक्लिडियन भूमितीमध्ये 180° सारखी असते, लंबवर्तुळाकार भूमितीमध्ये 180° पेक्षा जास्त आणि अतिपरवलय भूमितीमध्ये 180° पेक्षा कमी असते.

चतुर्भुज

चतुर्भुजचार शिरोबिंदू आणि चार बाजू असलेला बहुभुज आहे.

चतुर्भुज, एक भौमितिक आकृती - चार कोपऱ्यांसह बहुभुज, तसेच कोणतीही वस्तू, या स्वरूपाचे एक उपकरण.

चौकोनाच्या दोन समीप नसलेल्या बाजूंना म्हणतात विरुद्धसमीप नसलेल्या दोन शिरोबिंदूंना देखील म्हणतात विरुद्ध

चतुर्भुज बहिर्वक्र आहेत (ABCD सारखे) आणि
बहिर्वक्र (A 1 B 1 C 1 D 1).

चतुर्भुजांचे प्रकार

• समांतरभुज चौकोन- एक चतुर्भुज ज्यामध्ये सर्व विरुद्ध बाजू समांतर आहेत;
• आयत- सर्व काटकोनांसह चौकोन;
• समभुज चौकोन- एक चतुर्भुज ज्यामध्ये सर्व बाजू समान आहेत;
• चौरस- एक चतुर्भुज ज्यामध्ये सर्व कोन उजवे आहेत आणि सर्व बाजू समान आहेत;
• ट्रॅपेझ- दोन विरुद्ध बाजू समांतर असलेला चतुर्भुज;
• डेल्टॉइडएक चतुर्भुज ज्याच्या समीप बाजूंच्या दोन जोड्या समान आहेत.

समांतरभुज चौकोन

समांतरभुज चौकोन हा एक चौकोन असतो ज्याच्या विरुद्ध बाजू जोडीने समांतर असतात.

समांतरभुज चौकोन (ग्रीक समांतर - समांतर आणि ग्रामे - रेषा) म्हणजे समांतर रेषांवर स्थित आहे. समांतरभुज चौकोनाची विशेष प्रकरणे म्हणजे आयत, चौरस आणि समभुज चौकोन.

• विरुद्ध बाजू समान आहेत;
• विरुद्ध कोन समान आहेत;
• छेदनबिंदूचे कर्ण अर्ध्या भागात विभागलेले आहेत;
• एका बाजूस लागून असलेल्या कोनांची बेरीज 180° आहे;
• कर्णांच्या वर्गांची बेरीज सर्व बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी असते.

चतुर्भुज हा समांतरभुज आहे जर:

1. त्याच्या दोन विरुद्ध बाजू समान आणि समांतर आहेत.
2. विरुद्ध बाजू जोड्यांमध्ये समान आहेत.
3. विरुद्ध कोन जोड्यांमध्ये समान असतात.
4. छेदनबिंदूचे कर्ण अर्ध्या भागात विभागलेले आहेत.

आयत

आयत हा सर्व काटकोन असलेला समांतरभुज चौकोन असतो.

• विरुद्ध बाजू समान आहेत;
• विरुद्ध कोन समान आहेत;
• छेदनबिंदूचे कर्ण अर्ध्या भागात विभागलेले आहेत;
• एका बाजूस लागून असलेल्या कोनांची बेरीज 180° आहे;
• कर्ण समान आहेत.

समांतरभुज चौकोन हा आयत आहे जर:

1. त्याचा एक कोपरा उजवा आहे.
2. त्याचे कर्ण समान आहेत.

समभुज चौकोन हा एक समांतरभुज चौकोन असतो ज्यामध्ये सर्व बाजू समान असतात.

• विरुद्ध बाजू समान आहेत;
• विरुद्ध कोन समान आहेत;
• छेदनबिंदूचे कर्ण अर्ध्या भागात विभागलेले आहेत;
• एका बाजूस लागून असलेल्या कोनांची बेरीज 180° आहे;
• कर्णांच्या चौरसांची बेरीज सर्व बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी असते;
• कर्ण लंब आहेत;
• कर्ण हे त्याच्या कोनांचे दुभाजक आहेत.

समांतरभुज चौकोन समभुज चौकोन आहे जर:

1. त्याच्या दोन लगतच्या बाजू समान आहेत.
2. त्याचे कर्ण लंब आहेत.
3. कर्णांपैकी एक त्याच्या कोनाचा दुभाजक आहे.

चौरस एक आयत आहे ज्यामध्ये सर्व बाजू समान असतात.

• चौरसाचे सर्व कोपरे उजवे आहेत;
• चौरसाचे कर्ण समान आहेत, परस्पर लंब आहेत, छेदनबिंदू अर्ध्यामध्ये विभागलेला आहे आणि चौरसाचे कोपरे अर्ध्यामध्ये विभागलेले आहेत.

1. समभुज चौकोनाची काही वैशिष्ट्ये असल्यास आयत हा चौरस असतो.

ट्रॅपेझॉइड हा एक चौकोन असतो ज्यामध्ये दोन विरुद्ध बाजू समांतर असतात आणि इतर दोन समांतर नसतात.

ट्रॅपेझॉइडच्या समांतर बाजूंना त्याचे तळ म्हणतात आणि समांतर नसलेल्या बाजूंना त्याच्या बाजू म्हणतात. बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणाऱ्या खंडाला मध्यरेषा म्हणतात.

ट्रॅपेझॉइडच्या बाजू समान असल्यास त्याला समद्विभुज (किंवा समद्विभुज) म्हणतात.

एक काटकोन असलेल्या समलंब समलंबास काटकोन समलंब समलंब म्हणतात.

• तिची मधली रेषा पायथ्याशी समांतर आणि त्यांच्या अर्ध्या बेरीजच्या समान आहे;
• जर ट्रॅपेझॉइड समद्विभुज असेल, तर त्याचे कर्ण समान असतील आणि पायथ्यावरील कोन समान असतील;
• जर ट्रॅपेझॉइड समद्विभुज असेल तर त्याभोवती वर्तुळाचे वर्णन केले जाऊ शकते;
• जर पायाची बेरीज बाजूंच्या बेरजेइतकी असेल तर त्यामध्ये वर्तुळ कोरले जाऊ शकते.

1. जर त्याच्या समांतर बाजू समान नसतील तर चतुर्भुज हा ट्रॅपेझॉइड असतो

डेल्टॉइडसमान लांबीच्या बाजूंच्या दोन जोड्या असलेला चतुर्भुज. समांतरभुज चौकोनाच्या विपरीत, समीप बाजूंच्या दोन जोड्या समान नसतात, परंतु समीप बाजूंच्या दोन जोड्या असतात. डेल्टॉइडचा आकार पतंगासारखा असतो.

• असमान लांबीच्या बाजूंमधील कोन समान असतात.
• डेल्टॉइडचे कर्ण (किंवा त्यांचे विस्तार) काटकोनात छेदतात.
• कोणत्याही बहिर्वक्र डेल्टॉइडमध्ये वर्तुळ कोरले जाऊ शकते, याशिवाय, डेल्टॉइड समभुज चौकोन नसल्यास, चारही बाजूंच्या विस्तारांना स्पर्श करणारे दुसरे वर्तुळ आहे. नॉन-कन्व्हेक्स डेल्टॉइडसाठी, दोन मोठ्या बाजूंना वर्तुळ स्पर्शिका आणि दोन लहान बाजूंचे विस्तार आणि दोन लहान बाजूंना वर्तुळ स्पर्शिका आणि दोन मोठ्या बाजूंचे विस्तार तयार करू शकतात.

• जर डेल्टॉइडच्या असमान बाजूंमधील कोन सरळ रेषा असेल तर त्यामध्ये वर्तुळ कोरले जाऊ शकते (वर्णित डेल्टॉइड).
• डेल्टॉइडच्या विरुद्ध बाजूंची जोडी समान असल्यास, अशा डेल्टॉइड एक समभुज चौकोन आहे.
• विरुद्ध बाजूंची जोडी आणि डेल्टॉइडचे दोन्ही कर्ण समान असल्यास, डेल्टॉइड हा चौरस असतो. समान कर्ण असलेले कोरलेले डेल्टॉइड देखील एक चौरस आहे.

भूमितीचा उदय प्राचीन काळापासून झाला आहे आणि मानवी क्रियाकलापांच्या व्यावहारिक गरजांमुळे (जमीन मोजण्याची गरज, विविध शरीरांचे प्रमाण मोजणे इ.) होते.

सर्वात सोपी भौमितिक माहिती आणि संकल्पना प्राचीन इजिप्तमध्ये ज्ञात होत्या. या काळात पुराव्याशिवाय नियमांच्या स्वरूपात भूमितीय विधाने तयार केली गेली.

इ.स.पूर्व 7 व्या शतकापासून ई 1 व्या शतकापर्यंत ई प्राचीन ग्रीसमध्ये विज्ञान म्हणून भूमिती वेगाने विकसित झाली. या काळात केवळ विविध भौमितिक माहिती जमाच झाली नाही, तर भौमितिक विधाने सिद्ध करण्याची पद्धतही तयार करण्यात आली आणि भूमितीच्या मूलभूत प्राथमिक तरतुदी (स्वयंसिद्ध) तयार करण्याचा प्रथम प्रयत्न करण्यात आला, ज्यातून अनेक भिन्न भूमिती विधाने पूर्णपणे तार्किक युक्तिवादाद्वारे प्राप्त केली जातात. प्राचीन ग्रीसमधील भूमितीच्या विकासाची पातळी युक्लिडच्या "बिगिनिंग्ज" च्या कार्यातून दिसून येते.

या पुस्तकात, प्रथमच, मूलभूत अपरिभाषित भूमितीय संकल्पना आणि स्वयंसिद्ध (पोस्ट्युलेट्स) च्या आधारे प्लॅनिमेट्रीची पद्धतशीर रचना देण्याचा प्रयत्न केला गेला.

गणिताच्या इतिहासात एक विशेष स्थान युक्लिडच्या पाचव्या पोस्ट्युलेट (समांतर रेषांचे स्वयंसिद्ध) द्वारे व्यापलेले आहे. बर्‍याच काळापासून, गणितज्ञांनी युक्लिडच्या उरलेल्या पोस्टुलेट्समधून पाचवे सूत्र मिळवण्याचा अयशस्वी प्रयत्न केला आणि केवळ 19व्या शतकाच्या मध्यभागी, एन. आय. लोबाचेव्हस्की, बी. रिमन आणि जे. बोयाई यांच्या अभ्यासामुळे हे स्पष्ट झाले की पाचवी पोस्टुलेट बाकीच्यांमधून मिळू शकत नाही आणि युक्लिडने प्रस्तावित केलेली स्वयंसिद्ध प्रणाली ही एकमेव शक्य नाही.

युक्लिडच्या "एलिमेंट्स" चा गणिताच्या विकासावर मोठा प्रभाव पडला. दोन हजार वर्षांहून अधिक काळ हे पुस्तक केवळ भूमितीवरील पाठ्यपुस्तकच नव्हते, तर अनेक गणितीय अभ्यासांसाठी प्रारंभिक बिंदू म्हणूनही काम केले होते, परिणामी गणिताच्या नवीन स्वतंत्र शाखा निर्माण झाल्या.

भूमितीचे पद्धतशीर बांधकाम सहसा खालील योजनेनुसार केले जाते:

आय.मुख्य भूमितीय संकल्पना सूचीबद्ध केल्या आहेत, ज्या परिभाषाशिवाय सादर केल्या आहेत.

II.भूमितीच्या स्वयंसिद्धांचे सूत्रीकरण दिले आहे.

III.स्वयंसिद्ध आणि मूलभूत भूमितीय संकल्पनांच्या आधारे, इतर भूमितीय संकल्पना आणि प्रमेय तयार केले जातात.

1. नॉन-युक्लिडियन भूमिती नावाचे मूळ?
2. कोणत्या आकारांना चतुर्भुज म्हणतात?
3. समांतरभुज चौकोनाचे गुणधर्म?
4. चतुर्भुजांचे प्रकार?

वापरलेल्या स्त्रोतांची यादी

1. ए.जी. Tsypkin. गणिताचे हँडबुक
2. "युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2006. गणित. विद्यार्थ्यांच्या तयारीसाठी शैक्षणिक आणि प्रशिक्षण साहित्य / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006 "
3. मजूर के. आय. "एम. आय. स्कॅनवी यांनी संपादित केलेल्या संग्रहातील गणितातील मुख्य स्पर्धात्मक समस्या सोडवणे"

धड्यावर काम करत आहे

आपण आधुनिक शिक्षणाबद्दल प्रश्न उपस्थित करू शकता, कल्पना व्यक्त करू शकता किंवा तातडीची समस्या सोडवू शकता शिक्षण मंचजिथे आंतरराष्ट्रीय स्तरावर नवीन विचार आणि कृतीची शैक्षणिक परिषद भरते. निर्माण करून ब्लॉगतुम्ही केवळ एक सक्षम शिक्षक म्हणून तुमचा दर्जा सुधारू शकत नाही, तर भविष्यातील शाळेच्या विकासातही महत्त्वाचे योगदान देऊ शकता. एज्युकेशन लीडर्स गिल्डशीर्ष-रँकिंग तज्ञांसाठी दार उघडते आणि तुम्हाला जगातील सर्वोत्तम शाळा तयार करण्याच्या दिशेने सहकार्य करण्यासाठी आमंत्रित करते.

लोकप्रिय:

• कलम 282. द्वेष किंवा शत्रुत्वाची भावना, तसेच मानवी प्रतिष्ठेचा अपमान
• कॉर्पोरेट मालमत्ता कर कॅल्क्युलेटर कॉर्पोरेट मालमत्ता कराची गणना कशी करायची आगाऊ पेमेंटसाठी गणना फॉर्म बदलला आहे. 2017 च्या पहिल्या सहामाहीच्या अहवालासह, कॉर्पोरेट मालमत्ता कराची गणना […]
• पर्यावरणशास्त्राचे कायदे 100 वर्षांहून अधिक लोकसंख्या आणि समुदायांच्या व्यापक अभ्यासासाठी, मोठ्या प्रमाणावर तथ्ये जमा झाली आहेत. त्यापैकी - एक मोठी संख्या, यादृच्छिक किंवा अनियमित घटना आणि प्रक्रिया प्रतिबिंबित करते. पण नाही […]
• अनिवार्य पेन्शन विमा प्रणालीमध्ये पेन्शन तरतुदीचे पर्याय 2015 च्या अखेरीपर्यंत, 1967 मध्ये जन्मलेले आणि त्यापेक्षा कमी वयाचे नागरिक पेन्शन तयार करणे सुरू ठेवायचे की नाही हे निवडू शकतात […]
• 5 मार्च 2009 रोजी रशियन फेडरेशनच्या न्याय मंत्रालयाकडे नोंदणीकृत कृषी मंत्रालयाचा आदेश 549 एन 13476 रशियन फेडरेशनचे कृषी मंत्रालय दिनांक 16 डिसेंबर 2008 एन 532 ऑन टॅफिल ऑफ कॅफेलॉफ हॅझलॉफ आणि […]
• 1 जानेवारी 2018 पासून अपंग मुलांसाठी निवृत्ती वेतनात वाढ करणे हे नागरिकांच्या निवृत्ती वेतनाची तरतूद हे राज्याचे कर्तव्य आहे. देशाच्या कायद्याच्या संहितेत - संविधानात हे सांगितले आहे. अपंगांपैकी ज्यांना गरज आहे […]
• JSC RZD JSC "रशियन रेल्वे" च्या अंतर्गत आदेशाचा नियम दिनांक 26 जुलै 2012 N 87 च्या प्रादेशिक सेवांच्या (विभाग) विभागीय सेवा विभागाच्या अंतर्गत कामगार नियमन नियमनाच्या मंजुरीवर […]
• तात्विक चळवळ म्हणून कॉम्टे पॉझिटिव्हिझमच्या 3 टप्प्यांचा कायदा या कल्पनेतून पुढे येतो की जग, माणूस आणि समाज याबद्दलचे ज्ञान विशेष विज्ञानांमध्ये प्राप्त होते, "सकारात्मक" विज्ञानाने प्रयत्न सोडले पाहिजेत […]

चार कोपरे आणि चार बाजूंनी. बंद पॉलीलाइनद्वारे चतुर्भुज तयार होतो, ज्यामध्ये चार दुवे असतात आणि प्लेनचा तो भाग जो पॉलीलाइनच्या आत असतो.

चतुर्भुजाचे पदनाम त्याच्या शिरोबिंदूंवरील अक्षरांनी बनलेले असते, त्यांना क्रमाने नावे देतात. उदाहरणार्थ, ते म्हणतात किंवा लिहितात: चतुर्भुज अ ब क ड :

चतुर्भुज मध्ये अ ब क डगुण ए, बी, सीआणि डी- हे चतुर्भुज शिरोबिंदू, विभाग एबी, इ.स.पू, सीडीआणि डीए - बाजू.

एकाच बाजूचे शिरोबिंदू म्हणतात शेजारी, समीप नसलेल्या शिरोबिंदूंना म्हणतात विरुद्ध:

चतुर्भुज मध्ये अ ब क डशिखरे एआणि बी, बीआणि सी, सीआणि डी, डीआणि एसमीप आहेत, आणि शिरोबिंदू आहेत एआणि सी, बीआणि डी- विरुद्ध. समीप शिरोबिंदूंवर पडलेल्या कोनांना शेजारी देखील म्हणतात आणि विरुद्ध शिरोबिंदूंना - विरुद्ध.

चतुर्भुजाच्या बाजूंना समीप आणि विरुद्ध बाजूंमध्ये जोड्यांमध्ये विभागले जाऊ शकते: ज्या बाजूंना समान शिरोबिंदू असतात त्यांना म्हणतात. शेजारी(किंवा संबंधित), ज्या बाजूंना सामान्य शिरोबिंदू नसतात - विरुद्ध:

पक्ष एबीआणि इ.स.पू, इ.स.पूआणि सीडी, सीडीआणि डीए, डीएआणि एबीसमीप आहेत, आणि बाजू एबीआणि डी.सी, इ.सआणि इ.स.पू- विरुद्ध.

जर विरुद्ध शिरोबिंदू एका सेगमेंटने जोडलेले असतील, तर अशा सेगमेंटला कॉल केले जाईल चतुर्भुजाचा कर्ण. चौकोनामध्ये विरुद्ध शिरोबिंदूंच्या फक्त दोन जोड्या आहेत हे लक्षात घेता, फक्त दोन कर्ण असू शकतात:

खंड एसीआणि बी.डी- कर्ण.

उत्तल चतुर्भुजांचे मुख्य प्रकार विचारात घ्या:

• ट्रॅपेझ- एक चतुर्भुज ज्यामध्ये विरुद्ध बाजूंची एक जोडी एकमेकांना समांतर असते आणि दुसरी जोडी समांतर नसते.
  • समद्विभुज ट्रॅपेझियम- ट्रॅपेझॉइड ज्याच्या बाजू समान आहेत.
  • आयताकृती ट्रॅपेझॉइडकाटकोनापैकी एक असलेला समलंब.
• समांतरभुज चौकोनएक चौकोन ज्यामध्ये विरुद्ध बाजूंच्या दोन्ही जोड्या एकमेकांना समांतर असतात.
  • आयतएक समांतरभुज चौकोन ज्यामध्ये सर्व कोन समान असतात.
  • समभुज चौकोनसर्व बाजू समान असलेला समांतरभुज चौकोन.
  • चौरससमान बाजू आणि कोन असलेला समांतरभुज चौकोन. एक आयत आणि समभुज चौकोन दोन्ही असू शकतात.

उत्तल चतुर्भुजांचे कोपरे गुणधर्म

सर्व बहिर्वक्र चतुर्भुजांमध्ये खालील दोन गुणधर्म आहेत:

1. 180° पेक्षा कमी कोणताही अंतर्गत कोन.
2. आतील कोनांची बेरीज 360° आहे.

धड्याचा विषय

• चतुर्भुजाची व्याख्या.

धड्याची उद्दिष्टे

• शैक्षणिक - विषयावरील ज्ञानाची पुनरावृत्ती, सामान्यीकरण आणि चाचणी: “चतुर्भुज”; मूलभूत कौशल्यांचा विकास.
• विकसनशील - विद्यार्थ्यांचे लक्ष, चिकाटी, चिकाटी, तार्किक विचार, गणितीय भाषण विकसित करणे.
• शैक्षणिक - धड्याद्वारे एकमेकांकडे लक्ष देण्याची वृत्ती विकसित करणे, कॉम्रेड्सचे ऐकण्याची क्षमता, परस्पर सहाय्य, स्वातंत्र्य निर्माण करणे.

धड्याची उद्दिष्टे

• स्केल बार आणि ड्रॉइंग त्रिकोण वापरून चतुर्भुज तयार करण्याचे कौशल्य तयार करणे.
• विद्यार्थ्यांची समस्या सोडवण्याची क्षमता तपासा.

पाठ योजना

1. इतिहास संदर्भ. नॉन-युक्लिडियन भूमिती.
2. चतुर्भुज.
3. चतुर्भुजांचे प्रकार.

नॉन-युक्लिडियन भूमिती

नॉन-युक्लिडियन भूमिती, भूमिती सारखी भूमिती युक्लिडत्यामध्ये ते आकृत्यांच्या हालचालीची व्याख्या करते, परंतु युक्लिडियन भूमितीपेक्षा भिन्न आहे कारण त्याच्या पाच पदांपैकी एक (दुसरा किंवा पाचवा) त्याच्या नकाराने बदलला आहे. युक्लिडियन पोस्टुलेट्सपैकी एकाचा नकार (1825) ही विचारांच्या इतिहासातील एक महत्त्वपूर्ण घटना होती, कारण ती या दिशेने पहिले पाऊल म्हणून काम करते. सापेक्षतेचा सिद्धांत.

युक्लिडचे दुसरे विधान असे सांगते कोणताही रेषाखंड अनिश्चित काळासाठी वाढवला जाऊ शकतो. युक्लिडचा वरवर पाहता असा विश्वास होता की या विधानात सरळ रेषेची लांबी असीम आहे असे विधान देखील आहे. तथापि "लंबवर्तुळाकार" भूमितीमध्ये कोणतीही सरळ रेषा मर्यादित असते आणि वर्तुळाप्रमाणे बंद असते.

पाचव्या मांडणीत असे म्हटले आहे की जर एखादी रेषा दोन दिलेल्या रेषांना अशा प्रकारे छेदते की तिच्या एका बाजूचे दोन आतील कोन बेरीजमध्ये दोन काटकोनांपेक्षा कमी असतील, तर या दोन रेषा, अनिश्चित काळासाठी वाढवल्या गेल्यास, त्या बाजूने छेदतील जेथे या कोनांची बेरीज दोन सरळ रेषांच्या बेरीजपेक्षा कमी आहे. परंतु "हायपरबोलिक" भूमितीमध्ये, दिलेल्या रेषा r ला C बिंदूवर लंब असलेली आणि B बिंदूवर तीव्र कोनात दुसरी रेषा s छेदणारी एक रेषा CB (चित्र पहा.) असू शकते, परंतु, तरीही, अनंत रेषा r आणि s कधीही छेदणार नाही.

या सुधारित विधानांवरून असे दिसून आले की त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज, युक्लिडियन भूमितीमध्ये 180° सारखी असते, लंबवर्तुळाकार भूमितीमध्ये 180° पेक्षा जास्त आणि अतिपरवलय भूमितीमध्ये 180° पेक्षा कमी असते.

चतुर्भुज

विषय > गणित > गणित इयत्ता ८

उत्तल चतुर्भुज ही एक आकृती आहे ज्यामध्ये चार बाजू एकमेकांना शिरोबिंदूंशी जोडलेल्या असतात, बाजूंना एकत्रितपणे चार कोन बनवतात, तर चतुर्भुज स्वतःच त्याची एक बाजू ज्या सरळ रेषेवर असते त्या सरळ रेषेच्या सापेक्ष समान समतल असते. दुसऱ्या शब्दांत, संपूर्ण आकृती त्याच्या कोणत्याही बाजूंच्या एका बाजूला आहे.

च्या संपर्कात आहे

तुम्ही बघू शकता, व्याख्या लक्षात ठेवणे खूप सोपे आहे.

मूलभूत गुणधर्म आणि प्रकार

आपल्याला ज्ञात असलेल्या जवळजवळ सर्व आकृत्या, ज्यामध्ये चार कोपरे आणि बाजू असतात, त्यांचे श्रेय उत्तल चतुर्भुजांना दिले जाऊ शकते. खालील ओळखले जाऊ शकते:

1. समांतरभुज चौकोन;
2. चौरस;
3. आयत;
4. ट्रॅपेझॉइड;
5. समभुज चौकोन

या सर्व आकृत्या केवळ चतुर्भुज आहेत या वस्तुस्थितीमुळेच नव्हे तर ते उत्तल देखील आहेत या वस्तुस्थितीद्वारे एकत्रित आहेत. फक्त आकृती पहा:

आकृती एक बहिर्वक्र ट्रॅपेझॉइड दर्शवते. येथे आपण पाहू शकता की ट्रॅपेझॉइड समान समतल किंवा खंडाच्या एका बाजूला आहे. आपण तत्सम क्रिया केल्यास, आपण शोधू शकता की इतर सर्व बाजूंच्या बाबतीत, ट्रॅपेझॉइड बहिर्वक्र आहे.

समांतरभुज चौकोन उत्तल चतुर्भुज आहे का?

वर समांतरभुज चौकोनाची प्रतिमा आहे. आकृतीवरून पाहिल्याप्रमाणे, समांतरभुज चौकोन देखील बहिर्वक्र आहे. AB, BC, CD आणि AD हे विभाग ज्या रेषांवर आहेत त्या रेषांच्या संदर्भात जर तुम्ही आकृती पाहिली तर हे स्पष्ट होते की या रेषांवरून ती नेहमी एकाच समतलावर असते. समांतरभुज चौकोनाचे मुख्य वैशिष्‍ट्य म्हणजे त्‍याच्‍या बाजू समांतर आणि विरुद्ध कोन एकमेकांना समान असतात तशाच प्रकारे समांतर असतात.

आता, चौकोन किंवा आयताची कल्पना करा. त्यांच्या मुख्य गुणधर्मांनुसार, ते समांतरभुज चौकोन देखील आहेत, म्हणजेच त्यांच्या सर्व बाजू समांतर जोड्यांमध्ये मांडलेल्या आहेत. केवळ आयताच्या बाबतीत, बाजूंची लांबी भिन्न असू शकते आणि कोन उजवे असतात (90 अंशांच्या बरोबरीचे), चौरस हा एक आयत असतो ज्यामध्ये सर्व बाजू समान असतात आणि कोन देखील उजवे असतात, तर लांबी समांतरभुज चौकोनाच्या बाजू आणि कोन वेगळे असू शकतात.

परिणामी, चौकोनाच्या चारही कोपऱ्यांची बेरीज 360 अंश समान असणे आवश्यक आहे. आयताद्वारे हे निर्धारित करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग आहे: आयताचे सर्व चार कोपरे उजवे आहेत, म्हणजेच 90 अंशांच्या समान आहेत. या 90-अंश कोनांची बेरीज 360 अंश देते, दुसऱ्या शब्दांत, आपण 4 वेळा 90 अंश जोडल्यास, आपल्याला इच्छित परिणाम मिळेल.

उत्तल चौकोनाच्या कर्णांची मालमत्ता

उत्तल चौकोनाचे कर्ण एकमेकांना छेदतात. खरंच, ही घटना दृष्यदृष्ट्या पाहिली जाऊ शकते, फक्त आकृती पहा:

डावीकडील आकृती नॉन-कन्व्हेक्स चतुर्भुज किंवा चतुर्भुज दर्शवते. जशी तुमची इच्छा. जसे तुम्ही बघू शकता, कर्ण एकमेकांना छेदत नाहीत, किमान ते सर्व नाही. उजवीकडे एक उत्तल चतुर्भुज आहे. येथे छेदन करण्यासाठी कर्णांचा गुणधर्म आधीच पाहिला गेला आहे. समान गुणधर्म चतुर्भुजाच्या उत्तलतेचे लक्षण मानले जाऊ शकते.

चतुर्भुजाच्या उत्तलतेचे इतर गुणधर्म आणि चिन्हे

विशेषतः, या संज्ञेनुसार, कोणत्याही विशिष्ट गुणधर्म आणि वैशिष्ट्यांचे नाव देणे खूप कठीण आहे. या प्रकारच्या चतुर्भुजांच्या विविध प्रकारांनुसार वेगळे करणे सोपे आहे. आपण समांतरभुज चौकोनासह प्रारंभ करू शकता. आपल्याला आधीच माहित आहे की ही एक चौकोनी आकृती आहे, ज्याच्या बाजू जोडीने समांतर आणि समान आहेत. त्याच वेळी, समांतरभुज चौकोनाच्या कर्णांचा एकमेकांना छेदण्याचा गुणधर्म, तसेच आकृतीच्या उत्तलतेचे चिन्ह देखील येथे समाविष्ट केले आहे: समांतरभुज चौकोन नेहमी एकाच समतल आणि एका बाजूला सापेक्ष असतो. त्याच्या कोणत्याही बाजूस.

तर, मुख्य वैशिष्ट्ये आणि गुणधर्म ज्ञात आहेत:

1. चौकोनाच्या कोनांची बेरीज 360 अंश आहे;
2. आकृत्यांचे कर्ण एका बिंदूला छेदतात.

आयत. या आकृतीत समांतरभुज चौकोन सारखे सर्व गुणधर्म आणि वैशिष्ट्ये आहेत, परंतु त्याचे सर्व कोन 90 अंश आहेत. म्हणून नाव, आयत.

चौरस, समान समांतरभुज चौकोन, परंतु त्याचे कोपरे आयतासारखे उजवे आहेत. यामुळे चौरसाला क्वचितच आयत म्हणतात. परंतु चौरसाचे मुख्य वेगळे वैशिष्ट्य, वर आधीच सूचीबद्ध केलेल्या व्यतिरिक्त, त्याच्या चारही बाजू समान आहेत.

ट्रॅपेझॉइड एक अतिशय मनोरंजक आकृती आहे.. हा चतुर्भुजही आहे आणि उत्तलही आहे. या लेखात, रेखांकनाचे उदाहरण वापरून ट्रॅपेझॉइडचा आधीच विचार केला गेला आहे. हे स्पष्ट आहे की ती उत्तल देखील आहे. मुख्य फरक, आणि त्यानुसार, ट्रॅपेझॉइडचे चिन्ह म्हणजे त्याच्या बाजू लांबीमध्ये एकमेकांच्या समान असू शकत नाहीत, तसेच त्याचे कोन मूल्यानुसार असू शकतात. या प्रकरणात, आकृती तयार करणार्‍या खंडांसह तिच्या कोणत्याही दोन शिरोबिंदूंना जोडणार्‍या कोणत्याही सरळ रेषांच्या संदर्भात आकृती नेहमी त्याच समतल राहते.

समभुज चौकोन ही तितकीच मनोरंजक आकृती आहे. अंशतः समभुज चौकोन हा चौरस मानला जाऊ शकतो. समभुज चौकोनाचे चिन्ह हे आहे की त्याचे कर्ण केवळ छेदत नाहीत तर समभुज चौकोनाचे कोपरे अर्ध्या भागात विभागतात आणि कर्ण स्वतःच काटकोनात छेदतात, म्हणजेच ते लंब असतात. समभुज चौकोनाच्या बाजूंच्या लांबी समान असल्यास, कर्ण देखील छेदनबिंदूवर अर्ध्या भागात विभागले जातात.

डेल्टॉइड किंवा बहिर्वक्र समभुज (समभुज)वेगवेगळ्या बाजूची लांबी असू शकते. परंतु त्याच वेळी, समभुज चौकोनाचे मुख्य गुणधर्म आणि वैशिष्ट्ये आणि बहिर्गोलपणाची वैशिष्ट्ये आणि गुणधर्म अद्याप संरक्षित आहेत. म्हणजेच, कर्ण कोपऱ्यांना दुभाजक करतात आणि काटकोनात छेदतात हे आपण पाहू शकतो.

उत्तल चतुर्भुज काय आहेत, ते काय आहेत आणि त्यांची मुख्य वैशिष्ट्ये आणि गुणधर्म विचारात घेणे आणि समजून घेणे हे आजचे कार्य होते. लक्ष द्या! हे पुन्हा एकदा लक्षात ठेवण्यासारखे आहे की उत्तल चौकोनाच्या कोनांची बेरीज 360 अंश आहे. आकृत्यांची परिमिती, उदाहरणार्थ, आकृती तयार करणाऱ्या सर्व विभागांच्या लांबीच्या बेरजेइतकी आहे. चतुर्भुजांची परिमिती आणि क्षेत्रफळ मोजण्यासाठीची सूत्रे पुढील लेखांमध्ये चर्चा केली जातील.

उत्तल चतुर्भुजांचे प्रकार