Zinātne par reālās pasaules kvantitatīvajām attiecībām. Matemātika kā zinātne par reālās pasaules kvantitatīvajām attiecībām un telpiskajām formām. Mainīgo matemātikas periods

Idealizētās pētāmo objektu īpašības tiek formulētas kā aksiomas vai uzskaitītas atbilstošo matemātisko objektu definīcijā. Tad saskaņā ar stingriem loģisko secinājumu noteikumiem no šīm īpašībām tiek izsecinātas citas patiesās īpašības (teorēmas). Šī teorija kopā veido pētāmā objekta matemātisko modeli. Tādējādi, sākotnēji izejot no telpiskām un kvantitatīvajām attiecībām, matemātika iegūst abstraktākas attiecības, kuru izpēte ir arī mūsdienu matemātikas priekšmets.

Tradicionāli matemātika tiek iedalīta teorētiskajā, kas veic iekšējo matemātisko struktūru padziļinātu analīzi, un lietišķajā, kas nodrošina savus modeļus citām zinātnēm un inženierzinātņu disciplīnām, un dažas no tām ieņem pozīciju, kas robežojas ar matemātiku. Jo īpaši formālo loģiku var uzskatīt gan par filozofisko zinātņu, gan par matemātisko zinātņu sastāvdaļu; mehānika - gan fizika, gan matemātika; datorzinātnes, datortehnoloģijas un algoritmi ir gan inženierzinātnes, gan matemātikas zinātnes utt. Literatūrā ir piedāvātas daudzas dažādas matemātikas definīcijas.

Etimoloģija

Vārds "matemātika" nāk no citas grieķu valodas. μάθημα, kas nozīmē pētījums par, zināšanas, zinātne uc - grieķu valoda. μαθηματικός, sākotnēji nozīmē uzņēmīgs, ražīgs, vēlāk pētāms, sekojoši kas attiecas uz matemātiku. It īpaši, μαθηματικὴ τέχνη , latīņu valodā ars mathematica, nozīmē matemātikas māksla. Termins cits grieķu valoda. μᾰθημᾰτικά vārda "matemātika" mūsdienu izpratnē ir atrodams jau Aristoteļa (4. gs. p.m.ē.) rakstos. Pēc Fasmera teiktā, šis vārds krievu valodā nonāca vai nu caur poļu valodu. matematyka, vai caur lat. matemātika.

Definīcijas

Vienu no pirmajām matemātikas priekšmeta definīcijām sniedza Dekarts:

Matemātikas joma ietver tikai tās zinātnes, kurās tiek aplūkota vai nu kārtība, vai mērs, un vispār nav svarīgi, vai tie ir skaitļi, figūras, zvaigznes, skaņas vai kas cits, kurā šis mērs tiek meklēts. Tātad ir jābūt kādai vispārējai zinātnei, kas izskaidro visu, kas attiecas uz kārtību un mēru, neiedziļinoties kādu konkrētu priekšmetu apguvē, un šī zinātne ir jāsauc nevis svešajā, bet vecajā, jau ierastajā vispārējā matemātikas vārdā.

Matemātikas būtība ... tagad tiek pasniegta kā doktrīna par attiecībām starp objektiem, par kuriem nekas nav zināms, izņemot dažas īpašības, kas tos apraksta - tieši tās, kuras tiek liktas kā aksiomas teorijas pamatā ... Matemātika ir abstraktu formu kopums - matemātiskās struktūras.

Matemātikas nozares

1. Matemātika kā akadēmiskā disciplīna

Apzīmējums

Tā kā matemātika nodarbojas ar ārkārtīgi daudzveidīgām un diezgan sarežģītām struktūrām, arī tās apzīmējumi ir ļoti sarežģīti. Mūsdienu formulu rakstīšanas sistēma veidojās, balstoties uz Eiropas algebrisko tradīciju, kā arī uz vēlāko matemātikas nozaru vajadzībām – matemātiskā analīze, matemātiskā loģika, kopu teorija uc Ģeometrijā jau no laika ir izmantots vizuāls (ģeometriskais) attēlojums. neatmiņai. Mūsdienu matemātikā izplatītas ir arī sarežģītas grafiskās apzīmējumu sistēmas (piemēram, komutatīvas diagrammas), bieži tiek izmantota arī uz grafiem balstīta pierakstīšana.

Īss stāsts

Matemātikas filozofija

Mērķi un metodes

Kosmoss R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), plkst n > 3 (\displaystyle n>3) ir matemātisks izgudrojums. Tomēr ļoti ģeniāls izgudrojums, kas palīdz matemātiski izprast sarežģītas parādības».

Pamati

intuicionisms

Konstruktīva matemātika

precizēt

Galvenās tēmas

Daudzums

Galvenā sadaļa, kas attiecas uz kvantitātes abstrakciju, ir algebra. Jēdziens "skaitlis" sākotnēji radās no aritmētiskiem attēlojumiem un attiecās uz naturāliem skaitļiem. Vēlāk ar algebras palīdzību tas pakāpeniski tika paplašināts līdz veseliem, racionālajiem, reālajiem, kompleksajiem un citiem skaitļiem.

1 , − 1 , 1 2 , 2 3 , 0 , 12 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;(\frac (2)(3) ),\;0(,)12,\;\ldots ) Racionālie skaitļi 1 , − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 2 , … (\displaystyle 1,\;-1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12,\; \pi ,\;(\sqrt (2)),\;\ldots ) Reāli skaitļi − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … (\displaystyle -1,\;(\frac (1)(2)),\;0(,)12, \;\pi ,\;3i+2,\;e^(i\pi /3),\;\ldots ) 1 , i , j , k , π j − 1 2 k , … (\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-(\frac (1)(2))k ,\;\punkti ) Kompleksie skaitļi Kvarterniji

Pārvērtības

Pārveidojumu un izmaiņu parādības tiek aplūkotas visvispārīgākajā veidā, veicot analīzi.

struktūras

Telpiskās attiecības

Ģeometrija ņem vērā telpisko attiecību pamatus. Trigonometrija ņem vērā trigonometrisko funkciju īpašības. Ģeometrisko objektu izpēte, izmantojot matemātisko analīzi, attiecas uz diferenciālo ģeometriju. To telpu īpašības, kas paliek nemainīgas nepārtrauktu deformāciju rezultātā, un pati nepārtrauktības parādība tiek pētīta ar topoloģiju.

Diskrētā matemātika

∀ x (P (x) ⇒ P (x ′)) (\displeja stils \forall x(P(x)\Rightarrow P(x))))

Matemātika pastāv jau ļoti ilgu laiku. Cilvēks vāca augļus, izraka augļus, makšķerēja un visu uzglabāja ziemai. Lai saprastu, cik daudz pārtikas tiek uzglabāts, cilvēks izgudroja kontu. Tā sākās matemātika.

Tad vīrietis sāka nodarboties ar lauksaimniecību. Vajadzēja uzmērīt zemes gabalus, būvēt mājokļus, izmērīt laiku.

Tas ir, personai kļuva nepieciešams izmantot reālās pasaules kvantitatīvo attiecību. Nosakiet, cik daudz labības ir novāktas, kāds ir apbūves gabala izmērs vai cik liela ir debesu platība ar noteiktu skaitu spožu zvaigžņu.

Turklāt cilvēks sāka noteikt formas: saule ir apaļa, kaste ir kvadrātveida, ezers ir ovāls un kā šie objekti ir izvietoti telpā. Tas ir, cilvēks sāka interesēties par reālās pasaules telpiskajām formām.

Tādējādi koncepcija matemātika var definēt kā zinātni par reālās pasaules kvantitatīvajām attiecībām un telpiskajām formām.

Šobrīd nav nevienas profesijas, kurā varētu iztikt bez matemātikas. Slavenais vācu matemātiķis Kārlis Frīdrihs Gauss, kuru sauca par "matemātikas karali", reiz teica:

"Matemātika ir zinātņu karaliene, aritmētika ir matemātikas karaliene."

Vārds "aritmētika" cēlies no grieķu vārda "aritmoss" - "skaitlis".

Tādējādi aritmētika ir matemātikas nozare, kas pēta skaitļus un darbības ar tiem.

Pamatskolā, pirmkārt, mācās aritmētiku.

Kā šī zinātne attīstījās, izpētīsim šo jautājumu.

Matemātikas dzimšanas periods

Par galveno matemātisko zināšanu uzkrāšanas periodu tiek uzskatīts laiks pirms 5. gadsimta pirms mūsu ēras.

Pirmais, kurš sāka pierādīt matemātiskās pozīcijas, bija sengrieķu domātājs, kurš dzīvoja 7. gadsimtā pirms mūsu ēras, domājams, 625.-545. Šis filozofs ceļoja pa Austrumu valstīm. Tradīcija vēsta, ka viņš mācījies pie ēģiptiešu priesteriem un Babilonijas haldiešiem.

Thales of Miletus atveda no Ēģiptes uz Grieķiju pirmos elementārās ģeometrijas jēdzienus: kas ir diametrs, kas nosaka trīsstūri utt. Viņš prognozēja saules aptumsumu, projektēja inženierbūves.

Šajā periodā pamazām attīstās aritmētika, attīstās astronomija un ģeometrija. Dzimst algebra un trigonometrija.

Elementārās matemātikas periods

Šis periods sākas ar VI pirms mūsu ēras. Tagad matemātika kļūst par zinātni ar teorijām un pierādījumiem. Parādās skaitļu teorija, doktrīna par daudzumu, to mērīšanu.

Slavenākais šī laika matemātiķis ir Eiklīds. Viņš dzīvoja III gadsimtā pirms mūsu ēras. Šis cilvēks ir autors pirmajam teorētiskajam traktātam par matemātiku, kas nonācis līdz mums.

Eiklida darbos ir doti tā sauktās Eiklīda ģeometrijas pamati - tās ir aksiomas, kas balstās uz pamatjēdzieniem, piemēram.

Elementārās matemātikas periodā dzima skaitļu teorija, kā arī lielumu un to mērīšanas doktrīna. Pirmo reizi parādās negatīvi un neracionāli skaitļi.

Šī perioda beigās tiek novērota algebras kā burtiskā aprēķina izveide. Pati "algebras" zinātne arābu vidū parādās kā zinātne par vienādojumu risināšanu. Vārds "algebra" arābu valodā nozīmē "atgūšana", tas ir, negatīvo vērtību pārnešana uz citu vienādojuma daļu.

Mainīgo matemātikas periods

Šī perioda dibinātājs ir Renē Dekarts, kurš dzīvoja mūsu ēras 17. gadsimtā. Savos rakstos Dekarts pirmo reizi ievieš mainīgā lieluma jēdzienu.

Pateicoties tam, zinātnieki pāriet no konstantu daudzumu izpētes uz mainīgo lielumu attiecību izpēti un kustības matemātisko aprakstu.

Šo periodu visspilgtāk raksturoja Frīdrihs Engelss, kurš savos rakstos rakstīja:

“Pagrieziena punkts matemātikā bija Dekarta mainīgais. Pateicoties tam, kustība un līdz ar to arī dialektika ienāca matemātikā, un, pateicoties tam, nekavējoties kļuva nepieciešami diferenciālrēķini un integrālrēķini, kas uzreiz rodas un kas kopumā tika pabeigts, nevis Ņūtons un Leibnics.

Mūsdienu matemātikas periods

19. gadsimta 20. gados Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis kļuva par tā sauktās ne-eiklīda ģeometrijas pamatlicēju.

No šī brīža sākas mūsdienu matemātikas svarīgāko sadaļu attīstība. Piemēram, varbūtības teorija, kopu teorija, matemātiskā statistika un tā tālāk.

Visi šie atklājumi un pētījumi tiek plaši izmantoti dažādās zinātnes jomās.

Un šobrīd matemātikas zinātne strauji attīstās, matemātikas priekšmets paplašinās, iekļaujot jaunas formas un attiecības, tiek pierādītas jaunas teorēmas, padziļinās pamatjēdzieni.

Idealizētās pētāmo objektu īpašības tiek formulētas kā aksiomas vai uzskaitītas atbilstošo matemātisko objektu definīcijā. Tad saskaņā ar stingriem loģisko secinājumu noteikumiem no šīm īpašībām tiek izsecinātas citas patiesās īpašības (teorēmas). Šī teorija kopā veido pētāmā objekta matemātisko modeli. Tādējādi sākotnēji, izejot no telpiskām un kvantitatīvajām attiecībām, matemātika iegūst abstraktākas attiecības, kuru izpēte ir arī mūsdienu matemātikas priekšmets.

Tradicionāli matemātika tiek iedalīta teorētiskajā, kas veic iekšējo matemātisko struktūru padziļinātu analīzi, un lietišķajā, kas nodrošina savus modeļus citām zinātnēm un inženierzinātņu disciplīnām, un dažas no tām ieņem pozīciju, kas robežojas ar matemātiku. Jo īpaši formālo loģiku var uzskatīt gan par daļu no filozofijas zinātnēm, gan par daļu no matemātikas zinātnēm; mehānika - gan fizika, gan matemātika; datorzinātnes, datortehnoloģijas un algoritmi attiecas gan uz inženierzinātnēm, gan uz matemātikas zinātnēm utt. Literatūrā ir piedāvātas daudzas dažādas matemātikas definīcijas (sk.).

Etimoloģija

Vārds "matemātika" nāk no citas grieķu valodas. μάθημα ( matemātika), kas nozīmē pētījums par, zināšanas, zinātne uc - grieķu valoda. μαθηματικός ( matemātika), sākotnēji nozīmē uzņēmīgs, ražīgs, vēlāk pētāms, sekojoši kas attiecas uz matemātiku. It īpaši, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), latīņu valodā ars mathematica, nozīmē matemātikas māksla.

Definīcijas

Matemātikas joma ietver tikai tās zinātnes, kurās tiek aplūkota vai nu kārtība, vai mērs, un vispār nav svarīgi, vai tie ir skaitļi, figūras, zvaigznes, skaņas vai kas cits, kurā šis mērs tiek meklēts. Tātad ir jābūt kādai vispārējai zinātnei, kas izskaidro visu, kas attiecas uz kārtību un mēru, neiedziļinoties kādu konkrētu priekšmetu apguvē, un šī zinātne ir jāsauc nevis svešajā, bet vecajā, jau ierastajā vispārējā matemātikas vārdā.

Padomju laikos A. N. Kolmogorova sniegtā TSB definīcija tika uzskatīta par klasisku:

Matemātika ... zinātne par reālās pasaules kvantitatīvajām attiecībām un telpiskajām formām.

Matemātikas būtība ... tagad tiek pasniegta kā doktrīna par attiecībām starp objektiem, par kuriem nekas nav zināms, izņemot dažas īpašības, kas tos apraksta - tieši tās, kuras tiek liktas kā aksiomas teorijas pamatā ... Matemātika ir abstraktu formu kopums - matemātiskās struktūras.

Šeit ir dažas modernākas definīcijas.

Mūsdienu teorētiskā ("tīrā") matemātika ir zinātne par matemātiskām struktūrām, dažādu sistēmu un procesu matemātiskajiem invariantiem.

Matemātika ir zinātne, kas sniedz iespēju aprēķināt modeļus, kurus var reducēt līdz standarta (kanoniskajai) formai. Zinātne par analītisko modeļu risinājumu meklēšanu (analīzi), izmantojot formālas transformācijas.

Matemātikas nozares

1. Matemātika kā akadēmiskā disciplīna Krievijas Federācijā ir sadalīta pamata matemātikā, ko apgūst vidusskolā, un to veido šādas disciplīnas:

• elementārā ģeometrija: planimetrija un stereometrija
• elementāro funkciju teorija un analīzes elementi

4. Amerikas Matemātikas biedrība (AMS) ir izstrādājusi savu matemātikas nozaru klasifikācijas standartu. To sauc par matemātikas priekšmetu klasifikāciju. Šis standarts tiek periodiski atjaunināts. Pašreizējā versija ir MSC 2010. Iepriekšējā versija ir MSC 2000.

Apzīmējums

Tā kā matemātika nodarbojas ar ārkārtīgi daudzveidīgām un diezgan sarežģītām struktūrām, arī apzīmējumi ir ļoti sarežģīti. Mūsdienu formulu rakstīšanas sistēma tika veidota, pamatojoties uz Eiropas algebrisko tradīciju, kā arī matemātisko analīzi (funkcijas jēdziens, atvasinājums utt.). Kopš neatminamiem laikiem ģeometrijā ir izmantots vizuāls (ģeometriskais) attēlojums. Mūsdienu matemātikā izplatītas ir arī sarežģītas grafiskās apzīmējumu sistēmas (piemēram, komutatīvas diagrammas), bieži tiek izmantota arī uz grafiem balstīta pierakstīšana.

Īss stāsts

Matemātikas attīstība balstās uz rakstīšanu un spēju pierakstīt skaitļus. Iespējams, senie cilvēki kvantitāti vispirms izteica, zīmējot līnijas uz zemes vai skrāpējot tās uz koka. Senie inki, kuriem nebija citas rakstīšanas sistēmas, attēloja un uzglabāja skaitliskos datus, izmantojot sarežģītu virvju mezglu sistēmu, tā saukto quipu. Bija daudz dažādu skaitļu sistēmu. Pirmie zināmie skaitļu ieraksti tika atrasti Ahmesa papirusā, ko izveidoja Vidējās karalistes ēģiptieši. Indijas civilizācija izstrādāja mūsdienu decimālo skaitļu sistēmu, kas ietver nulles jēdzienu.

Vēsturiski lielākās matemātikas disciplīnas radās nepieciešamības veikt aprēķinus komerciālajā sfērā, zemes mērīšanā un astronomisko parādību prognozēšanā un vēlāk jaunu fizikālu problēmu risināšanā. Katrai no šīm jomām ir liela nozīme plašā matemātikas attīstībā, kas sastāv no struktūru, telpu un izmaiņu izpētes.

Matemātikas filozofija

Mērķi un metodes

Matemātika pēta iedomātus, ideālus objektus un attiecības starp tiem, izmantojot formālu valodu. Kopumā matemātiskie jēdzieni un teorēmas ne vienmēr atbilst kaut kam fiziskajā pasaulē. Lietišķās matemātikas nozares galvenais uzdevums ir izveidot matemātisko modeli, kas ir pietiekami adekvāts pētāmajam reālajam objektam. Teorētiskā matemātiķa uzdevums ir nodrošināt pietiekamu ērtu līdzekļu kopumu šī mērķa sasniegšanai.

Matemātikas saturu var definēt kā matemātisko modeļu un rīku sistēmu to veidošanai. Objekta modelī nav ņemtas vērā visas tā pazīmes, bet tikai pētījuma mērķiem nepieciešamākā (idealizēta). Piemēram, pētot apelsīna fizikālās īpašības, mēs varam abstrahēties no tā krāsas un garšas un attēlot to (kaut arī ne pilnīgi precīzi) kā bumbu. Ja jāsaprot, cik apelsīnu iegūstam, ja saskaitām kopā divus un trīs, tad varam abstrahēties no formas, atstājot modelim tikai vienu raksturlielumu - daudzumu. Abstrakcija un attiecību nodibināšana starp objektiem visvispārīgākajā formā ir viena no galvenajām matemātiskās jaunrades jomām.

Vēl viens virziens līdzās abstrakcijai ir vispārināšana. Piemēram, vispārinot jēdzienu "telpa" uz n-dimensiju telpu. " Telpa pie ir matemātisks izgudrojums. Tomēr ļoti ģeniāls izgudrojums, kas palīdz matemātiski izprast sarežģītas parādības».

Intramatemātisko objektu izpēte, kā likums, notiek, izmantojot aksiomātisko metodi: vispirms pētāmajiem objektiem tiek formulēts pamatjēdzienu un aksiomu saraksts, un pēc tam no aksiomām tiek iegūtas jēgpilnas teorēmas, izmantojot secinājumu noteikumus, kas kopā veido. matemātiskais modelis.

Pamati

Jautājums par matemātikas būtību un pamatiem ir apspriests kopš Platona laikiem. Kopš 20. gadsimta ir bijusi salīdzinoša vienošanās par to, kas jāuzskata par stingru matemātisko pierādījumu, bet nav panākta vienošanās par to, kas matemātikā tiek uzskatīts par patiesu. Tas rada domstarpības gan aksiomātikas un matemātikas nozaru kopsakarības jautājumos, gan loģisko sistēmu izvēlē, kuras izmantot pierādījumos.

Papildus skeptiķiem ir zināmas šādas pieejas šim jautājumam.

Kopu teorētiskā pieeja

Tiek piedāvāts aplūkot visus matemātiskos objektus kopu teorijas ietvaros, visbiežāk ar Zermelo-Fraenkel aksiomatiku (lai gan ir arī daudzi citi, kas tai ir līdzvērtīgi). Šī pieeja tiek uzskatīta par dominējošu kopš 20. gadsimta vidus, tomēr patiesībā lielākā daļa matemātikas darbu neizvirza sev uzdevumu savus apgalvojumus strikti tulkot kopu teorijas valodā, bet gan operē ar atsevišķās jomās nostiprinātiem jēdzieniem un faktiem. no matemātikas. Tādējādi, ja kopu teorijā tiek atrasta pretruna, tas nenozīmē, ka lielākā daļa rezultātu tiks atzīti par nederīgiem.

loģisms

Šī pieeja paredz stingru matemātisko objektu rakstīšanu. Daudzi paradoksi, no kuriem kopu teorijā izvairās tikai ar īpašiem trikiem, principā izrādās neiespējami.

Formālisms

Šī pieeja ietver formālu sistēmu izpēti, pamatojoties uz klasisko loģiku.

intuicionisms

Intuīcionisms matemātikas pamatā paredz intuitīvistisku loģiku, kas ir ierobežotāka pierādīšanas līdzekļos (bet, tiek uzskatīts, arī ticamāka). Intuīcionisms noraida pierādījumus pretrunīgi, daudzi nekonstruktīvi pierādījumi kļūst neiespējami, un daudzas kopu teorijas problēmas kļūst bezjēdzīgas (neformalizējamas).

Konstruktīva matemātika

Konstruktīvā matemātika ir matemātikas virziens, kas ir tuvu intuīcijai un pēta konstruktīvas konstrukcijas [ precizēt] . Saskaņā ar konstruējamības kritēriju - " pastāvēt nozīmē būvēt". Konstruktīvuma kritērijs ir stingrāka prasība nekā konsekvences kritērijs.

Galvenās tēmas

Skaitļi

Jēdziens "skaitlis" sākotnēji attiecās uz naturāliem skaitļiem. Vēlāk to pakāpeniski paplašināja līdz veseliem, racionālajiem, reālajiem, kompleksajiem un citiem skaitļiem.

Veseli skaitļi Racionālie skaitļi Reāli skaitļi Kompleksie skaitļi Kvarterniji

Skaitliskās sistēmas
Skaitīšana komplekti	Naturālie skaitļi () Veselie skaitļi () Racionālie () Algebriskie () Periodi Aprēķināmi Aritmētika
Reāli skaitļi un to paplašinājumi	Reāli () Kompleksie () Kvarterniji () Keilija skaitļi (oktāvas, oktoni) () Sedenions () Alternions Keilija-Diksona procedūra Duālais hiperkomplekss Superreāls Hiperreāls Sirreāls skaitlis ( Angļu)
Cits numuru sistēmas	Kardinālie skaitļi Kārtas skaitļi (transfinite, ordinal) p-adic Pārdabiski skaitļi
Skatīt arī	Dubultie skaitļi Iracionālie skaitļi Transcendentie skaitļu stari Bikvaternions

Pārvērtības

Diskrētā matemātika

Kodi zināšanu klasifikācijas sistēmās

Tiešsaistes pakalpojumi

Ir liels skaits vietņu, kas sniedz pakalpojumus matemātisko aprēķinu veikšanai. Lielākā daļa no tām ir angļu valodā. No krievvalodīgajiem var atzīmēt meklētājprogrammas Nigma matemātisko vaicājumu pakalpojumu.

Skatīt arī

Zinātnes popularizētāji

Piezīmes

1. Enciklopēdija Britannica
2. Vebstera tiešsaistes vārdnīca
3. 2. nodaļa. Matemātika kā zinātnes valoda. Sibīrijas atklātā universitāte. Arhivēts no oriģināla 2012. gada 2. februārī. Iegūts 2010. gada 5. oktobrī.
4. Lielā sengrieķu vārdnīca (αω)
5. XI-XVII gadsimta krievu valodas vārdnīca. 9. izdevums / Ch. ed. F. P. Fiļins. - M.: Nauka, 1982. - S. 41.
6. Dekarts R. Noteikumi prāta vadīšanai. M.-L.: Sotsekgiz, 1936. gads.
7. Skatīt: TSB matemātika
8. Markss K., Engelss F. Darbojas. 2. izd. T. 20. S. 37.
9. Burbaki N. Matemātikas arhitektūra. Esejas par matemātikas vēsturi / Tulkojusi I. G. Bašmakova, red. K. A. Ribņikova. M.: IL, 1963. S. 32, 258.
10. Kazijevs V.M. Ievads matemātikā
11. Muhins O.I. Modelēšanas sistēmu apmācība. Perma: RCI PSTU.
12. Hermanis Veils // Klīna M.. - M.: Mir, 1984. - S. 16.
13. Valsts augstākās profesionālās izglītības standarts. Specialitāte 01.01.00. "Matemātika". Kvalifikācija - matemātiķis. Maskava, 2000 (Sastādīts O. B. Lupanova vadībā)
14. Zinātnisko darbinieku specialitāšu nomenklatūra, kas apstiprināta ar Krievijas Izglītības un zinātnes ministrijas 2009.gada 25.februāra rīkojumu Nr.59
15. UDK 51 Matemātika
16. Ja. S. Bugrovs, S. M. Nikoļskis. Lineārās algebras un analītiskās ģeometrijas elementi. M.: Nauka, 1988. S. 44.
17. N. I. Kondakovs. Loģiskā vārdnīca-uzziņu grāmata. M.: Nauka, 1975. S. 259.
18. G. I. Ruzavins. Par matemātisko zināšanu būtību. M.: 1968. gads.
19. http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
20. Piemēram: http://mathworld.wolfram.com

Literatūra

enciklopēdijas

• // Brokhausa un Efrona enciklopēdiskā vārdnīca: 86 sējumos (82 sējumi un 4 papildu sējumi). - Sanktpēterburga. , 1890-1907.
• Matemātiskā enciklopēdija (5 sējumos), 1980. gadi. // Vispārējās un īpašās matemātikas atsauces vietnē EqWorld
• Kondakovs N.I. Loģiskā vārdnīca-uzziņu grāmata. Maskava: Nauka, 1975.
• Matemātikas zinātņu enciklopēdija un to pielietojumi (vācu valodā) 1899-1934 (lielākais 19. gadsimta literatūras apskats)

Uzziņu grāmatas

• G. Korns, T. Korns. Matemātikas rokasgrāmata zinātniekiem un inženieriem M., 1973

Grāmatas

• Klīna M. Matemātika. Pārliecības zudums. - M.: Mir, 1984.
• Klīna M. Matemātika. Patiesības meklējumi. M.: Mir, 1988.
• Kleins F. Elementārā matemātika no augstāka skatu punkta.

• I sējums. Aritmētika. Algebra. Analīze M.: Nauka, 1987. 432 lpp.
• II sējums. Ģeometrija M.: Nauka, 1987. 416 lpp.

• R. Kurants, G. Robinss. Kas ir matemātika? 3. izdevums, red. un papildu - M.: 2001. 568 lpp.
• Pisarevskis B. M., Harins V. T. Par matemātiku, matemātiķiem un ne tikai. - M.: Binoms. Zināšanu laboratorija, 2012. - 302 lpp.
• Poincare A. Zinātne un metodes (rus.) (fr.)

Matemātika ir viena no vecākajām zinātnēm. Nav viegli sniegt īsu matemātikas definīciju, tās saturs ļoti atšķirsies atkarībā no personas matemātiskās izglītības līmeņa. Sākumskolnieks, kurš tikko sācis mācīties aritmētiku, teiks, ka matemātika apgūst objektu skaitīšanas noteikumus. Un viņam būs taisnība, jo tieši ar to viņš sākumā iepazīstas. Vecāko klašu skolēni teikto papildinās, ka matemātikas jēdziens ietver algebru un ģeometrisku objektu izpēti: taisnes, to krustpunktus, plaknes figūras, ģeometriskos ķermeņus, dažāda veida transformācijas. Vidusskolu absolventi matemātikas definīcijā iekļaus arī funkciju izpēti un pārejas uz robežu darbību, kā arī ar to saistītos atvasinājuma un integrāļa jēdzienus. Augstāko tehnisko mācību iestāžu vai universitāšu un pedagoģisko institūtu dabaszinātņu nodaļu absolventus vairs neapmierinās skolu definīcijas, jo viņi zina, ka matemātikas sastāvdaļa ir arī citas disciplīnas: varbūtību teorija, matemātiskā statistika, diferenciālrēķini, programmēšana, skaitļošanas metodes, kā arī šo disciplīnu pielietojumi ražošanas procesu modelēšanai, eksperimentālo datu apstrādei, informācijas pārraidei un apstrādei. Taču uzskaitītais neizsmeļ matemātikas saturu. Tā sastāvā ir iekļauta arī kopu teorija, matemātiskā loģika, optimālā kontrole, nejaušo procesu teorija un daudz kas cits.

Mēģinājumi definēt matemātiku, uzskaitot tās veidojošās nozares, mūs noved pie maldiem, jo ​​tie nedod priekšstatu par to, ko tieši matemātika mācās un kādas ir tās attiecības ar apkārtējo pasauli. Ja līdzīgs jautājums tiktu uzdots fiziķim, biologam vai astronomam, tad katrs no viņiem sniegtu ļoti īsu atbildi, nesaturot to daļu sarakstu, kas veido pētāmo zinātni. Šāda atbilde ietvertu norādi uz dabas parādībām, kuras viņa pēta. Piemēram, biologs teiktu, ka bioloģija ir dažādu dzīves izpausmju izpēte. Lai gan šī atbilde nav pilnīgi pilnīga, jo tajā nav pateikts, kas ir dzīvība un dzīvības parādības, tomēr šāda definīcija sniegtu diezgan pilnīgu priekšstatu par pašas bioloģijas zinātnes saturu un šīs zinātnes dažādajiem līmeņiem. . Un šī definīcija nemainītos, paplašinot mūsu zināšanas par bioloģiju.

Nav tādu dabas parādību, tehnisko vai sociālo procesu, kas būtu matemātikas studiju priekšmets, bet nebūtu saistīti ar fizikālām, bioloģiskām, ķīmiskām, inženierzinātnēm vai sociālajām parādībām. Katru dabaszinātņu disciplīnu: bioloģiju un fiziku, ķīmiju un psiholoģiju nosaka tās priekšmeta materiālās iezīmes, tās pētāmās reālās pasaules jomas īpatnības. Pašu objektu vai parādību var pētīt ar dažādām metodēm, arī matemātiskām, taču, mainot metodes, mēs joprojām paliekam šīs disciplīnas robežās, jo šīs zinātnes saturs ir īstais priekšmets, nevis pētniecības metode. Matemātikai materiālajam pētījuma priekšmetam nav izšķirošas nozīmes, svarīga ir pielietotā metode. Piemēram, trigonometriskās funkcijas var izmantot gan svārstību kustības pētīšanai, gan nepieejama objekta augstuma noteikšanai. Un kādas reālās pasaules parādības var izpētīt, izmantojot matemātisko metodi? Šīs parādības nosaka nevis to materiālā daba, bet tikai formālas struktūras īpašības un galvenokārt tās kvantitatīvās attiecības un telpiskās formas, kurās tās pastāv.

Tātad matemātika nepēta materiālos objektus, bet gan izpētes metodes un pētāmā objekta strukturālās īpašības, kas ļauj tam pielietot noteiktas darbības (summēšana, diferencēšana utt.). Tomēr lielai daļai matemātisko problēmu, koncepciju un teoriju primārais avots ir reālas parādības un procesi. Piemēram, aritmētika un skaitļu teorija radās no primārā praktiskā uzdevuma skaitīt objektus. Elementārās ģeometrijas avots bija problēmas, kas saistītas ar attālumu salīdzināšanu, plaknes figūru laukumu vai telpisko ķermeņu tilpumu aprēķināšanu. Tas viss bija jāatrod, jo bija nepieciešams pārdalīt zemi starp lietotājiem, aprēķināt klēts lielumu vai zemes darbu apjomu aizsardzības būvju būvniecības laikā.

Matemātiskajam rezultātam ir īpašība, ka to var izmantot ne tikai kādas konkrētas parādības vai procesa izpētē, bet arī citu parādību pētīšanai, kuru fizikālā būtība būtiski atšķiras no iepriekš aplūkotajām. Tātad aritmētikas likumi ir piemērojami gan ekonomiskajos, gan tehniskos jautājumos, gan lauksaimniecības problēmu risināšanā un zinātniskajos pētījumos. Aritmētikas likumi tika izstrādāti pirms tūkstošiem gadu, taču tie uz visiem laikiem saglabāja savu praktisko vērtību. Aritmētika ir neatņemama matemātikas sastāvdaļa, tās tradicionālā daļa vairs nav pakļauta radošai attīstībai matemātikas ietvaros, taču tā atrod un turpinās atrast daudz jaunu pielietojumu. Šie lietojumi var būt ļoti svarīgi cilvēcei, taču tie vairs nesniedz ieguldījumu matemātikas attīstībā.

Matemātikas kā radoša spēka mērķis ir izstrādāt vispārīgus noteikumus, kas būtu jāizmanto daudzos īpašos gadījumos. Tas, kurš rada šos noteikumus, rada kaut ko jaunu, rada. Ikviens, kurš piemēro gatavus noteikumus, vairs nerada matemātikā pašā, bet, ļoti iespējams, ar matemātikas likumu palīdzību rada jaunas vērtības citās zināšanu jomās. Piemēram, mūsdienās ar datoru palīdzību tiek apstrādāti satelītattēlu interpretācijas dati, kā arī informācija par iežu sastāvu un vecumu, ģeoķīmiskām un ģeofizikālām anomālijām. Neapšaubāmi, datora izmantošana ģeoloģiskajos pētījumos atstāj šo pētījumu ģeoloģisku. Datoru un to programmatūras darbības principi tika izstrādāti, neņemot vērā to izmantošanas iespēju ģeoloģijas zinātnes interesēs. Šo iespēju pašu nosaka tas, ka ģeoloģisko datu strukturālās īpašības ir saskaņā ar noteiktu datorprogrammu loģiku.

Divas matemātikas definīcijas ir kļuvušas plaši izplatītas. Pirmo no tiem sniedza F. Engels grāmatā Anti-Dīrings, otru franču matemātiķu grupa, kas pazīstama kā Nikolass Burbaki rakstā The Architecture of Mathematics (1948).

"Tīras matemātikas priekšmets ir reālās pasaules telpiskās formas un kvantitatīvās attiecības." Šī definīcija ne tikai apraksta matemātikas izpētes objektu, bet arī norāda tā izcelsmi - reālo pasauli. Taču šī F. Engelsa definīcija lielā mērā atspoguļo matemātikas stāvokli 19. gadsimta otrajā pusē. un neņem vērā tās jaunās jomas, kas nav tieši saistītas ne ar kvantitatīvām attiecībām, ne ģeometriskām formām. Tā, pirmkārt, ir matemātiskā loģika un disciplīnas, kas saistītas ar programmēšanu. Tāpēc šī definīcija ir jāprecizē. Varbūt jāsaka, ka matemātikas izpētes objekts ir telpiskās formas, kvantitatīvās attiecības un loģiskās konstrukcijas.

Burbaki apgalvo, ka "vienīgie matemātiskie objekti ir, pareizi sakot, matemātiskas struktūras". Citiem vārdiem sakot, matemātika jādefinē kā zinātne par matemātiskām struktūrām. Šī definīcija būtībā ir tautoloģija, jo tā saka tikai vienu: matemātika ir saistīta ar objektiem, ko tā pēta. Vēl viens šīs definīcijas trūkums ir tas, ka tā nenoskaidro matemātikas saistību ar apkārtējo pasauli. Turklāt Burbaki uzsver, ka matemātiskās struktūras tiek radītas neatkarīgi no reālās pasaules un tās parādībām. Tāpēc Burbaki bija spiests paziņot, ka “galvenā problēma ir attiecības starp eksperimentālo pasauli un matemātisko pasauli. Šķiet, ka pastāv cieša saistība starp eksperimentālām parādībām un matemātiskām struktūrām, to pilnīgi negaidītā veidā apstiprināja mūsdienu fizikas atklājumi, taču mēs pilnībā nezinām šī dziļo iemeslu ... un, iespējams, mēs tos nekad neuzzināsim. .

Šāds neapmierinošs secinājums nevar izrietēt no F. Engelsa definīcijas, jo tajā jau ir ietverts apgalvojums, ka matemātiskie jēdzieni ir abstrakcijas no noteiktām reālās pasaules attiecībām un formām. Šie jēdzieni ir ņemti no reālās pasaules un ir saistīti ar to. Būtībā tas izskaidro matemātikas rezultātu apbrīnojamo pielietojamību apkārtējās pasaules parādībās un tajā pašā laikā zināšanu matematizācijas procesa panākumus.

Matemātika nav izņēmums no visām zināšanu jomām – tā veido arī jēdzienus, kas rodas no praktiskām situācijām un sekojošām abstrakcijām; tas ļauj arī aptuveni pētīt realitāti. Taču tajā pašā laikā jāpatur prātā, ka matemātika pēta nevis reālās pasaules lietas, bet gan abstraktus jēdzienus, un tās loģiskie secinājumi ir absolūti stingri un precīzi. Tās tuvums pēc būtības nav iekšējs, bet ir saistīts ar fenomena matemātiskā modeļa sastādīšanu. Mēs arī atzīmējam, ka matemātikas likumiem nav absolūtas piemērojamības, tiem ir arī ierobežota piemērošanas joma, kurā tie valda. Paskaidrosim izteikto domu ar piemēru: izrādās, ka divi un divi ne vienmēr ir vienādi ar četri. Zināms, ka, sajaucot 2 litrus spirta un 2 litrus ūdens, iegūst mazāk par 4 litriem maisījuma. Šajā maisījumā molekulas ir izvietotas kompaktāk, un maisījuma tilpums ir mazāks par sastāvdaļu tilpumu summu. Tiek pārkāpts aritmētikas saskaitīšanas noteikums. Var minēt arī piemērus, kuros tiek pārkāptas citas aritmētikas patiesības, piemēram, pievienojot dažus objektus, izrādās, ka summa ir atkarīga no summēšanas secības.

Daudzi matemātiķi uzskata matemātiskos jēdzienus nevis par tīra saprāta radīšanu, bet gan par abstrakcijām no reāli eksistējošām lietām, parādībām, procesiem vai abstrakcijām no jau izveidotajām abstrakcijām (augstākas kārtas abstrakcijām). Dabas dialektikā F. Engelss rakstīja, ka “... visa tā sauktā tīrā matemātika nodarbojas ar abstrakcijām... visi tās daudzumi, stingri ņemot, ir iedomāti lielumi...” Šie vārdi diezgan skaidri atspoguļo viedokli viens no marksistiskās filozofijas par abstrakciju lomu matemātikā pamatlicējiem. Mums tikai jāpiebilst, ka visi šie "iedomātie daudzumi" ir ņemti no realitātes un nav konstruēti patvaļīgi, brīvas domas lidojuma rezultātā. Tādā veidā skaitļa jēdziens tika plaši izmantots. Sākumā tie bija skaitļi vienībās un turklāt tikai pozitīvi veseli skaitļi. Tad pieredze piespieda paplašināt skaitļu arsenālu līdz desmitiem un simtiem. Veselo skaitļu virknes neierobežotības jēdziens dzima jau mums vēsturiski tuvā laikmetā: Arhimēds grāmatā “Psammit” (“Smilšu graudu aprēķins”) parādīja, kā iespējams konstruēt skaitļus, kas ir pat lielāki par dotajiem. . Tajā pašā laikā daļskaitļu jēdziens radās no praktiskām vajadzībām. Aprēķini, kas saistīti ar vienkāršākajām ģeometriskām figūrām, ir noveduši cilvēci pie jauniem skaitļiem - iracionāliem. Tādējādi pakāpeniski veidojās ideja par visu reālo skaitļu kopu.

To pašu ceļu var iet attiecībā uz jebkuru citu matemātikas jēdzienu. Tie visi radās no praktiskām vajadzībām un pakāpeniski veidojās abstraktos jēdzienos. Atkal var atcerēties F. Engelsa vārdus: “... tīrai matemātikai ir nozīme, kas nav atkarīga no katra indivīda īpašās pieredzes... Bet ir pilnīgi nepareizi, ka tīrajā matemātikā prāts nodarbojas tikai ar saviem produktiem. radošums un iztēle. Skaitļa un skaitļa jēdzieni nav ņemti no jebkuras vietas, bet tikai no reālās pasaules. Desmit pirksti, uz kuriem cilvēki iemācījās skaitīt, tas ir, veikt pirmo aritmētisko darbību, ir nekas cits kā prāta brīvās jaunrades produkts. Lai skaitītu, ir jābūt ne tikai objektiem, kurus var saskaitīt, bet jau ir jāspēj novērst uzmanību, aplūkojot šos objektus no visām citām īpašībām, izņemot skaitu, un šī spēja ir ilgstošas, uz pieredzi balstītas vēsturiskas attīstības rezultāts. Gan skaitļa jēdziens, gan figūras jēdziens ir aizgūti tikai no ārējās pasaules, un tie nav radušies galvā no tīras domāšanas. Bija jābūt lietām, kurām ir noteikta forma, un šīs formas bija jāsalīdzina, lai nonāktu pie figūras jēdziena.

Padomāsim, vai zinātnē ir jēdzieni, kas tiek radīti bez saistības ar pagātnes zinātnes progresu un pašreizējo prakses progresu. Mēs labi zinām, ka pirms zinātniskās matemātiskās jaunrades ir daudzu priekšmetu apguve skolā, augstskolā, grāmatu, rakstu lasīšana, sarunas ar speciālistiem gan savā jomā, gan citās zināšanu jomās. Matemātiķis dzīvo sabiedrībā, un no grāmatām, radio, no citiem avotiem viņš uzzina par problēmām, kas rodas zinātnē, inženierzinātnēs un sociālajā dzīvē. Turklāt pētnieka domāšana ir visas iepriekšējās zinātniskās domas evolūcijas ietekmē. Tāpēc izrādās, ka tas ir gatavs noteiktu zinātnes progresam nepieciešamo problēmu risināšanai. Tāpēc zinātnieks nevar izvirzīt problēmas pēc vēlēšanās, pēc iegribas, bet gan jārada matemātiskas koncepcijas un teorijas, kas būtu vērtīgas zinātnei, citiem pētniekiem, cilvēcei. Bet matemātiskās teorijas saglabā savu nozīmi dažādu sociālo veidojumu un vēsturisko laikmetu apstākļos. Turklāt nereti vienas un tās pašas idejas rodas arī no zinātniekiem, kuri nekādā veidā nav saistīti. Tas ir papildu arguments pret tiem, kas pieturas pie matemātisko jēdzienu brīvas radīšanas koncepcijas.

Tātad, mēs teicām, kas ir iekļauts jēdzienā "matemātika". Bet ir arī tāda lieta kā lietišķā matemātika. To saprot kā visu matemātisko metožu un disciplīnu kopumu, kas atrod pielietojumu ārpus matemātikas. Senatnē ģeometrija un aritmētika pārstāvēja visu matemātiku, un, tā kā abas atrada daudz pielietojumu tirdzniecības biržās, laukumu un tilpumu mērīšanā un navigācijas jautājumos, visa matemātika bija ne tikai teorētiska, bet arī pielietojama. Vēlāk Senajā Grieķijā notika dalījums matemātikā un lietišķajā matemātikā. Tomēr visi izcilie matemātiķi nodarbojās arī ar lietojumiem, un ne tikai ar tīri teorētiskiem pētījumiem.

Matemātikas tālākā attīstība bija nepārtraukti saistīta ar dabaszinātņu un tehnikas progresu, ar jaunu sociālo vajadzību rašanos. Līdz XVIII gadsimta beigām. radās nepieciešamība (galvenokārt saistībā ar navigācijas un artilērijas problēmām) izveidot matemātisko kustības teoriju. To savos darbos izdarīja G. V. Leibnics un I. Ņūtons. Lietišķā matemātika ir papildināta ar jaunu ļoti spēcīgu pētniecības metodi - matemātisko analīzi. Gandrīz vienlaikus demogrāfijas un apdrošināšanas vajadzības izraisīja varbūtību teorijas aizsākumu veidošanos (sk. Varbūtības teoriju). 18. un 19. gadsimts paplašināja lietišķās matemātikas saturu, pievienojot tai parasto un daļējo diferenciālvienādojumu teoriju, matemātiskās fizikas vienādojumus, matemātiskās statistikas elementus, diferenciālģeometriju. 20. gadsimts radīja jaunas praktisko problēmu matemātiskās izpētes metodes: nejaušo procesu teoriju, grafu teoriju, funkcionālo analīzi, optimālo vadību, lineāro un nelineāro programmēšanu. Turklāt izrādījās, ka skaitļu teorija un abstraktā algebra atrada negaidītus pielietojumus fizikas problēmām. Rezultātā sāka veidoties pārliecība, ka lietišķā matemātika kā atsevišķa disciplīna neeksistē un ka visu matemātiku var uzskatīt par lietišķu. Iespējams, ir jāsaka nevis tas, ka matemātika ir lietišķā un teorētiskā, bet gan tas, ka matemātiķi iedala lietišķajos un teorētiķos. Dažiem matemātika ir apkārtējās pasaules un tajā notiekošo parādību izziņas metode, tieši šim nolūkam zinātnieks attīsta un paplašina matemātiskās zināšanas. Citiem matemātika ir visa pasaule, kas ir izpētes un attīstības vērta. Zinātnes progresam ir nepieciešami abu veidu zinātnieki.

Matemātika, pirms pēta jebkuru parādību ar savām metodēm, izveido savu matemātisko modeli, t.i., uzskaita visas tās parādības pazīmes, kas tiks ņemtas vērā. Modelis liek pētniekam izvēlēties tos matemātiskos rīkus, kas ļaus adekvāti nodot pētāmā fenomena un tā evolūcijas iezīmes. Kā piemēru ņemsim planētu sistēmas modeli: Saule un planētas tiek uzskatītas par materiāliem punktiem ar atbilstošām masām. Katra divu punktu mijiedarbību nosaka pievilkšanās spēks starp tiem

kur m 1 un m 2 ir mijiedarbojošo punktu masas, r ir attālums starp tiem un f ir gravitācijas konstante. Neskatoties uz šī modeļa vienkāršību, pēdējo trīs simtu gadu laikā tas ir pārraidījis ar lielu precizitāti Saules sistēmas planētu kustības pazīmes.

Protams, katrs modelis rupjš realitāti, un pētnieka uzdevums, pirmkārt, ir piedāvāt modeli, kas, no vienas puses, vispilnīgāk atspoguļo lietas faktisko pusi (kā saka, tās fiziskās īpašības), un, no otras puses, sniedz būtisku tuvinājumu realitātei. Protams, vienai un tai pašai parādībai var piedāvāt vairākus matemātiskos modeļus. Viņiem visiem ir tiesības pastāvēt, līdz sāk ietekmēt būtiska neatbilstība starp modeli un realitāti.

Matemātika 1. No kurienes cēlies vārds matemātika 2. Kas izgudroja matemātiku? 3. Galvenās tēmas. 4. Definīcija 5. Etimoloģija Pēdējā slaidā.

No kurienes cēlies vārds (pāriet uz iepriekšējo slaidu) Matemātika no grieķu valodas — mācība, zinātne) ir zinātne par struktūrām, kārtību un attiecībām, kas vēsturiski balstās uz objektu skaitīšanas, mērīšanas un formas aprakstīšanas operācijām. Matemātiskie objekti tiek radīti, idealizējot reālu vai citu matemātisko objektu īpašības un ierakstot šīs īpašības formālā valodā.

Kas izgudroja matemātiku (dodieties uz izvēlni) Pirmo matemātiķi parasti sauc Thales of Miletus, kurš dzīvoja VI gadsimtā. BC e. , viens no tā sauktajiem septiņiem Grieķijas gudrajiem. Lai kā arī būtu, tieši viņš bija pirmais, kurš strukturēja visu zināšanu bāzi par šo tēmu, kas jau sen ir veidojusies viņam zināmajā pasaulē. Tomēr pirmā matemātikas traktāta autors, kas nonācis līdz mums, bija Eiklīds (III gs. p.m.ē.). Arī viņš pelnīti tika uzskatīts par šīs zinātnes tēvu.

Galvenās tēmas (iet uz izvēlni) Matemātikas joma ietver tikai tās zinātnes, kurās tiek aplūkota kārtība vai mērs, un vispār nav svarīgi, vai tie ir skaitļi, figūras, zvaigznes, skaņas vai jebkas cits, kurā šis mērs ir ir atrasts. Tātad ir jābūt kādai vispārējai zinātnei, kas izskaidro visu, kas attiecas uz kārtību un mēru, neiedziļinoties kādu konkrētu priekšmetu apguvē, un šī zinātne ir jāsauc nevis svešajā, bet vecajā, jau ierastajā vispārējā matemātikas vārdā.

Definīcija (iet uz izvēlni) Mūsdienu analīze balstās uz klasisko matemātisko analīzi, kas tiek uzskatīta par vienu no trim galvenajām matemātikas jomām (līdzās algebrai un ģeometrijai). Tajā pašā laikā termins "matemātiskā analīze" klasiskajā izpratnē tiek lietots galvenokārt mācību programmās un materiālos. Angloamerikāņu tradīcijās klasiskā matemātiskā analīze atbilst kursu programmām ar nosaukumu "calculus"

Etimoloģija (iet uz izvēlni) Vārds "matemātika" nāk no citas grieķu valodas. , kas nozīmē mācības, zināšanas, zinātne u.c.-grieķu valodā, sākotnēji nozīmē uztverošs, veiksmīgs, vēlāk saistīts ar mācībām, vēlāk saistīts ar matemātiku. Konkrēti, latīņu valodā tas nozīmē matemātikas mākslu. Termins ir cits - grieķu valoda. šī vārda mūsdienu izpratnē “matemātika” ir atrodama jau Aristoteļa darbos (4. gadsimts pirms mūsu ēras). Grāmatā “Īsumā par deviņām mūzām un septiņām brīvajām mākslām” (1672)

Matemātika ir zinātne par reālās pasaules kvantitatīvajām attiecībām un telpiskajām formām. Ciešā saistībā ar zinātnes un tehnikas prasībām matemātikas pētīto kvantitatīvo attiecību un telpisko formu krājums nepārtraukti paplašinās, tāpēc augstāk minētā definīcija ir jāsaprot visvispārīgākajā nozīmē.

Matemātikas studiju mērķis ir palielināt vispārējo skatījumu, domāšanas kultūru, zinātniskā pasaules skatījuma veidošanos.

Izpratne par matemātikas kā īpašas zinātnes neatkarīgo pozīciju kļuva iespējama pēc diezgan liela faktu materiāla daudzuma uzkrāšanās un pirmo reizi radās Senajā Grieķijā 6.-5. gadsimtā pirms mūsu ēras. Tas bija elementārās matemātikas perioda sākums.

Šajā periodā matemātiskie pētījumi aplūkoja tikai diezgan ierobežotu pamatjēdzienu krājumu, kas radās ar visvienkāršākajām ekonomiskās dzīves prasībām. Tajā pašā laikā jau notiek matemātikas kā zinātnes kvalitatīva pilnveidošana.

Mūsdienu matemātika bieži tiek salīdzināta ar lielu pilsētu. Tas ir lielisks salīdzinājums, jo matemātikā, tāpat kā lielā pilsētā, notiek nepārtraukts izaugsmes un pilnveidošanās process. Matemātikā parādās jaunas jomas, tiek veidotas elegantas un dziļas jaunas teorijas, piemēram, jaunu apkaimju un ēku celtniecība. Bet matemātikas virzība neaprobežojas tikai ar pilsētas sejas maiņu jaunas celtnes dēļ. Mums ir jāmaina vecais. Vecās teorijas tiek iekļautas jaunajās, vispārīgākās; ir nepieciešams nostiprināt veco ēku pamatus. Lai izveidotu savienojumus starp attālajiem matemātiskās pilsētas kvartāliem, ir jāierīko jaunas ielas. Taču ar to nepietiek – arhitektoniskā projektēšana prasa ievērojamas pūles, jo dažādu matemātikas jomu daudzveidība ne tikai sabojā kopējo priekšstatu par zinātni, bet arī traucē izpratni par zinātni kopumā, veidojot saiknes starp tās dažādajām daļām.

Bieži tiek izmantots arī cits salīdzinājums: matemātika tiek pielīdzināta lielam zarainam kokam, kas sistemātiski dod jaunus dzinumus. Katrs koka zars ir viena vai otra matemātikas joma. Zaru skaits nepaliek nemainīgs, augot jauniem zariem, saaug kopā, sākumā augot atsevišķi, daļa zaru izkalst, zaudējot barojošās sulas. Abi salīdzinājumi ir veiksmīgi un ļoti labi atspoguļo faktisko lietu stāvokli.

Neapšaubāmi, pieprasījumam pēc skaistuma ir liela nozīme matemātikas teoriju veidošanā. Pats par sevi saprotams, ka skaistuma uztvere ir ļoti subjektīva un par to bieži vien ir visai neglīti priekšstati. Un tomēr ir jābrīnās par vienprātību, ko matemātiķi ievietoja jēdzienā "skaistums": rezultāts tiek uzskatīts par skaistu, ja no neliela skaita nosacījumu ir iespējams iegūt vispārīgu secinājumu par plašu objektu klāstu. Matemātisks atvasinājums tiek uzskatīts par skaistu, ja tajā ir iespējams pierādīt kādu nozīmīgu matemātisko faktu ar vienkāršu un īsu argumentāciju. Matemātiķa briedums, viņa talants tiek uzminēts pēc tā, cik attīstīta ir viņa skaistuma izjūta. Estētiski pilnīgus un matemātiski perfektus rezultātus ir vieglāk saprast, atcerēties un lietot; ir vieglāk identificēt to attiecības ar citām zināšanu jomām.

Matemātika mūsdienās ir kļuvusi par zinātnes disciplīnu ar daudzām pētniecības jomām, milzīgu skaitu rezultātu un metožu. Matemātika tagad ir tik lieliska, ka vienam cilvēkam nav iespējams to aptvert visās daļās, nav iespējas būt tajā universālam speciālistam. Saikņu zudums starp tās atsevišķajiem virzieniem noteikti ir šīs zinātnes straujās attīstības negatīvas sekas. Tomēr visu matemātikas nozaru attīstības pamatā ir kopīga lieta - attīstības pirmsākumi, matemātikas koka saknes.

Eiklida ģeometrija kā pirmā dabaszinātņu teorija

• 3. gadsimtā pirms mūsu ēras Aleksandrijā parādījās Eiklida grāmata ar tādu pašu nosaukumu, tulkojumā krievu valodā "Sākums". No latīņu nosaukuma "Sākums" cēlies termins "elementārā ģeometrija". Lai gan Eiklida priekšteču raksti līdz mums nav nonākuši, mēs varam veidot kādu viedokli par šiem rakstiem no Eiklida elementiem. "Sākumos" ir sadaļas, kas loģiski ir ļoti maz saistītas ar citām sadaļām. To izskats ir izskaidrojams tikai ar to, ka tie tika ieviesti saskaņā ar tradīciju un kopē Eiklida priekšteču "Sākumus".

  Eiklida elementi sastāv no 13 grāmatām. 1.–6. grāmata ir veltīta planimetrijai, 7.–10. grāmata ir par aritmētiskiem un nesalīdzināmiem daudzumiem, kurus var uzbūvēt, izmantojot kompasu un taisngriezi. 11. līdz 13. grāmata bija veltīta stereometrijai.

  "Sākums" sākas ar 23 definīciju un 10 aksiomu prezentāciju. Pirmās piecas aksiomas ir "vispārīgi jēdzieni", pārējās sauc par "postulātiem". Pirmie divi postulāti nosaka darbības ar ideālā lineāla palīdzību, trešais - ar ideālā kompasa palīdzību. Ceturtais, "visi taisnie leņķi ir vienādi viens ar otru", ir lieks, jo to var secināt no pārējām aksiomām. Pēdējais, piektais postulāts skan: "Ja taisne krīt uz divām taisnēm un veido iekšējos vienpusējus leņķus, kas ir mazāki par divām taisnēm, tad, neierobežoti turpinoties šīm divām taisnēm, tās krustosies puse, kurā leņķi ir mazāki par divām taisnām līnijām."

  Pieci Eiklida "vispārīgie jēdzieni" ir garumu, leņķu, laukumu, tilpumu mērīšanas principi: "vienādi ar vienādu ir vienādi viens ar otru", "ja vienādus pievieno vienādiem, summas ir vienādas viena ar otru". "ja vienādus atņem no vienādiem, atlikumi ir vienādi savā starpā", "savstarpēji apvienojoties ir vienādi viens ar otru", "kopums ir lielāks par daļu".

  Tad sekoja Eiklida ģeometrijas kritika. Eiklīds tika kritizēts trīs iemeslu dēļ: par to, ka viņš uzskatīja tikai tādus ģeometriskus lielumus, kurus var uzbūvēt, izmantojot kompasu un taisngriezi; par ģeometrijas un aritmētikas sadalīšanu un pierādīšanu veseliem skaitļiem to, ko viņš jau bija pierādījis ģeometriskiem lielumiem, un, visbeidzot, Eiklida aksiomām. Piektais postulāts, Eiklida visgrūtākais postulāts, ir visstingrāk kritizēts. Daudzi to uzskatīja par lieku un ka to var un vajag secināt no citām aksiomām. Citi uzskatīja, ka to vajadzētu aizstāt ar vienkāršāku un ilustratīvāku, tai līdzvērtīgu: "Caur punktu ārpus taisnes viņu plaknē nevar novilkt vairāk par vienu taisni, kas nekrustojas ar šo taisni."

  Kritika par plaisu starp ģeometriju un aritmētiku noveda pie skaitļa jēdziena attiecināšanas uz reālu skaitli. Strīdi par piekto postulātu noveda pie tā, ka 19.gadsimta sākumā N.I.Lobačevskis, J.Boļajs un K.F.Gauss uzbūvēja jaunu ģeometriju, kurā piepildījās visas Eiklida ģeometrijas aksiomas, izņemot piekto postulātu. Tas tika aizstāts ar pretēju apgalvojumu: "Plaknē caur punktu ārpus taisnes var novilkt vairāk nekā vienu taisni, kas nekrustojas ar doto." Šī ģeometrija bija tikpat konsekventa kā Eiklida ģeometrija.

  Lobačevska planimetrijas modeli uz Eiklīda plaknes uzbūvēja franču matemātiķis Anrī Puankarē 1882. gadā.

  Uzzīmējiet horizontālu līniju Eiklīda plaknē. Šo līniju sauc par absolūto (x). Eiklīda plaknes punkti, kas atrodas virs absolūtā, ir Lobačevska plaknes punkti. Lobačevska lidmašīna ir atvērta pusplakne, kas atrodas virs absolūtā. Ne-eiklīda segmenti Puankarē modelī ir apļu loki, kas centrēti uz absolūtajiem vai līniju segmentiem, kas ir perpendikulāri absolūtajam (AB, CD). Skaitlis Lobačevska plaknē ir atvērtas pusplaknes figūra, kas atrodas virs absolūtā (F). Neeiklīda kustība ir ierobežota skaita inversiju kompozīcija, kuras centrā ir absolūtā un aksiālā simetrija, kuru asis ir perpendikulāras absolūtajam. Divi segmenti, kas nav Eiklīda segmenti, ir vienādi, ja vienu no tiem var pārvērst otrā ar ne-eiklīda kustību. Tie ir Lobačevska planimetrijas aksiomātikas pamatjēdzieni.

  Visas Lobačevska planimetrijas aksiomas ir konsekventas. "Ne-eiklīda līnija ir pusloks ar galiem uz absolūtu vai stars, kura izcelsme ir absolūtā un ir perpendikulāra absolūtam." Tādējādi Lobačevska paralēlisma aksiomas apgalvojums attiecas ne tikai uz kādu taisni a un punktu A, kas neatrodas uz šīs taisnes, bet arī uz jebkuru taisni a un jebkuru punktu A, kas uz tās neatrodas.

  Aiz Lobačevska ģeometrijas radās citas konsekventas ģeometrijas: projektīvā ģeometrija atdalījās no eiklīda, attīstījās daudzdimensiju eiklīda ģeometrija, radās Rīmaņa ģeometrija (vispārēja telpu teorija ar patvaļīgu garuma mērīšanas likumu) utt. No zinātnes par figūrām vienā trīsdimensijā Eiklīda telpa, ģeometrija 40 - 50 gadu garumā ir pārvērtusies par dažādu teoriju kopumu, tikai nedaudz līdzīga tās priekštecei - Eiklida ģeometrijai.

  Mūsdienu matemātikas veidošanās galvenie posmi. Mūsdienu matemātikas struktūra

• Akadēmiķis A.N. Kolmogorovs identificē četrus periodus matemātikas attīstībā Kolmogorovs A.N. - Matemātika, matemātikas enciklopēdiskā vārdnīca, Maskava, padomju enciklopēdija, 1988: matemātikas dzimšana, elementārā matemātika, mainīgo matemātika, mūsdienu matemātika.

  Elementārās matemātikas attīstības gaitā skaitļu teorija pamazām izaug no aritmētikas. Algebra ir izveidota kā burtisks aprēķins. Un seno grieķu radītā elementārās ģeometrijas prezentācijas sistēma - Eiklida ģeometrija - divus gadu tūkstošus uz priekšu kļuva par matemātikas teorijas deduktīvās konstrukcijas modeli.

  17. gadsimtā dabaszinātņu un tehnikas prasības lika radīt metodes, kas ļauj matemātiski pētīt kustību, lielumu maiņas procesus un ģeometrisko figūru transformāciju. Izmantojot mainīgos lielumus analītiskajā ģeometrijā un veidojot diferenciālrēķinu un integrālrēķinu, sākas mainīgo matemātikas periods. 17. gadsimta lielie atklājumi ir Ņūtona un Leibnica ieviestais bezgalīgi maza lieluma jēdziens, bezgalīgi mazu lielumu analīzes pamatu radīšana (matemātiskā analīze).

  Priekšplānā izvirzās funkcijas jēdziens. Funkcija kļūst par galveno mācību priekšmetu. Funkcijas izpēte noved pie matemātiskās analīzes pamatjēdzieniem: robeža, atvasinājums, diferenciālis, integrālis.

  Šim laikam pieder arī R. Dekarta spožās idejas par koordinātu metodi parādīšanās. Izveidota analītiskā ģeometrija, kas ļauj pētīt ģeometriskus objektus ar algebras un analīzes metodēm. No otras puses, koordinātu metode pavēra iespēju algebrisko un analītisko faktu ģeometriskai interpretācijai.

  Turpmākā matemātikas attīstība 19. gadsimta sākumā noveda pie problēmas formulēšanas par iespējamo kvantitatīvo attiecību veidu un telpisko formu pētīšanu no diezgan vispārīga viedokļa.

  Saikne starp matemātiku un dabaszinātnēm kļūst arvien sarežģītāka. Jaunas teorijas rodas un rodas ne tikai dabaszinātņu un tehnoloģiju prasību, bet arī matemātikas iekšējās vajadzības rezultātā. Ievērojams šādas teorijas piemērs ir N. I. Lobačevska iedomātā ģeometrija. Matemātikas attīstība 19. un 20. gadsimtā ļauj to attiecināt uz mūsdienu matemātikas periodu. Pašas matemātikas attīstība, dažādu zinātņu jomu matematizācija, matemātisko metožu iespiešanās daudzās praktiskās darbības jomās, datortehnoloģiju attīstība ir novedusi pie jaunu matemātikas disciplīnu rašanās, piemēram, operāciju pētniecībā, spēļu teorijā, matemātiskā ekonomika un citi.

  Galvenās metodes matemātiskajos pētījumos ir matemātiskie pierādījumi – stingra loģiskā spriešana. Matemātiskā domāšana neaprobežojas tikai ar loģisko domāšanu. Matemātiskā intuīcija ir nepieciešama pareizai problēmas formulēšanai, tās risināšanas metodes izvēles izvērtēšanai.

  Matemātikā tiek pētīti objektu matemātiskie modeļi. Tas pats matemātiskais modelis var aprakstīt reālu parādību īpašības, kas atrodas tālu viena no otras. Tātad tas pats diferenciālvienādojums var aprakstīt populācijas pieauguma un radioaktīvo materiālu sabrukšanas procesus. Matemātiķim svarīga ir nevis apskatāmo objektu būtība, bet gan starp tiem esošās attiecības.

  Matemātikā ir divu veidu spriešanas veidi: dedukcija un indukcija.

  Indukcija ir pētījuma metode, kurā vispārīgs secinājums tiek veidots, pamatojoties uz konkrētām premisām.

  Dedukcija ir spriešanas metode, ar kuras palīdzību no vispārīgām premisām izriet noteikta rakstura secinājums.

  Matemātikai ir liela nozīme dabaszinātņu, inženierzinātņu un humanitāro zinātņu pētniecībā. Matemātikas iespiešanās dažādās zināšanu nozarēs iemesls ir tas, ka tā piedāvā ļoti skaidrus modeļus apkārtējās realitātes pētīšanai, atšķirībā no citu zinātņu piedāvātajiem mazāk vispārīgajiem un neskaidrākiem modeļiem. Bez mūsdienu matemātikas, ar tās attīstīto loģisko un skaitļošanas aparātu, progress dažādās cilvēka darbības jomās nebūtu iespējams.

  Matemātika ir ne tikai spēcīgs instruments lietišķo problēmu risināšanai un universāla zinātnes valoda, bet arī kopīgas kultūras elements.

  Matemātiskās domāšanas pamatiezīmes

• Šajā jautājumā īpaši interesē matemātiskās domāšanas īpašība, ko sniedza A. Ya. Khinchin, vai, drīzāk, tās specifiskā vēsturiskā forma - matemātiskās domāšanas stils. Atklājot matemātiskās domāšanas stila būtību, viņš izceļ četras visiem laikmetiem kopīgas iezīmes, kas manāmi atšķir šo stilu no citu zinātņu domāšanas stiliem.

  Pirmkārt, matemātiķi raksturo loģiskās spriešanas shēmas dominēšana līdz robežai. Matemātiķis, kurš vismaz uz laiku pazaudē šo shēmu, zaudē spēju domāt zinātniski. Šai savdabīgajai matemātiskās domāšanas stila iezīmei ir liela vērtība. Acīmredzot tas maksimāli ļauj uzraudzīt domu plūsmas pareizību un garantijas pret kļūdām; no otras puses, tas liek domātājam analīzes laikā turēt acu priekšā visu pieejamo iespēju kopumu un liek viņam ņemt vērā katru no tām, nepalaižot garām nevienu (šādas izlaidības ir diezgan iespējamas un patiesībā bieži tiek novērotas citos domāšanas stilos).

  Otrkārt, lakonisms, t.i. apzināta vēlme vienmēr atrast īsāko loģisko ceļu, kas ved uz doto mērķi, nežēlīga noraidīšana visam, kas ir absolūti nepieciešams argumenta nevainojamai pamatotībai. Laba stila matemātiska eseja, necieš nekādu “ūdeni”, nekādu izpušķošanu, vāvuļošanas loģiskās spriedzes vājināšanu, izklaidēšanos uz sāniem; ārkārtējs skopums, barga domas stingrība un tās izklāsts ir neatņemama matemātiskās domāšanas iezīme. Šai funkcijai ir liela vērtība ne tikai matemātiskai, bet arī jebkurai citai nopietnai spriešanai. Lakonisms, vēlme nepieļaut neko lieku, palīdz gan domātājam, gan viņa lasītājam vai klausītājam pilnībā koncentrēties uz domu gājienu, nenovirzoties no sekundāriem priekšstatiem un nezaudējot tiešu kontaktu ar galveno prāta virzienu.

  Zinātnes spīdekļi parasti domā un kodolīgi izsakās visās zināšanu jomās, pat ja viņu doma rada un izvirza principiāli jaunas idejas. Cik majestātisks iespaids, piemēram, dižāko fizikas veidotāju: Ņūtona, Einšteina, Nīla Bora cēlais domu un runas skopums! Varbūt ir grūti atrast spilgtāku piemēru tam, cik dziļu ietekmi uz zinātnes attīstību var atstāt tā veidotāju domāšanas stils.

  Matemātikai domu kodolīgums ir neapstrīdams likums, kas gadsimtiem ilgi ir kanonizēts. Jebkurš mēģinājums apgrūtināt prezentāciju ar ne vienmēr nepieciešamiem (pat ja klausītājiem patīkami un aizraujoši) attēliem, traucējošiem, oratoriskiem jautājumiem jau iepriekš tiek pakļauts pamatotām aizdomām un automātiski izraisa kritisku modrību.

  Treškārt, skaidrs argumentācijas gaitas sadalījums. Ja, piemēram, pierādot priekšlikumu, ir jāapsver četri iespējamie gadījumi, no kuriem katrs var tikt sadalīts vienā vai citā skaitā apakšgadījumu, tad katrā spriešanas brīdī matemātiķim skaidri jāatceras, kurā gadījumā un apakšgadījumā viņa doma tagad tiek apgūta un kuras lietas un apakšlietas viņam vēl jāapsver. Izmantojot jebkāda veida sazarotus uzskaitījumus, matemātiķim ik brīdi ir jāapzinās, kuram vispārējam jēdzienam viņš uzskaita sugu jēdzienus, kas to veido. Parastā, nezinātniskā domāšanā ļoti bieži šādos gadījumos novērojam apjukumu un lēcienus, kas izraisa apjukumu un kļūdas argumentācijā. Bieži gadās, ka cilvēks sāk uzskaitīt vienas ģints sugas un tad klausītājiem (un nereti arī pašam) nemanāmi, izmantojot argumentācijas nepietiekamo loģisko atšķirīgumu, ielec citā ģintī un beidzas ar apgalvojumu, ka abas dzimtas tagad ir klasificēti; un klausītāji vai lasītāji nezina, kur atrodas robeža starp pirmā un otrā veida sugām.

  Lai šādus apjukumus un lēcienus padarītu neiespējamus, matemātiķi jau sen ir plaši izmantojuši vienkāršas ārējās jēdzienu un spriedumu numerācijas metodes, kuras dažkārt (bet daudz retāk) izmanto citās zinātnēs. Tie iespējamie gadījumi vai vispārīgie jēdzieni, kas būtu jāņem vērā šajā pamatojumā, ir iepriekš pārnumurēti; katrā šādā gadījumā tiek pārnumurētas arī tās apakšlietas, kuras ir jāuzskata tajā ietvertas (dažkārt, lai atšķirtu, izmantojot kādu citu numerācijas sistēmu). Pirms katras rindkopas, kur sākas jaunas apakšlietas izskatīšana, tiek likts šai apakšlietai pieņemtais apzīmējums (piemēram: II 3 - tas nozīmē, ka šeit sākas otrā gadījuma trešās apakšlietas izskatīšana vai trešās apakšlietas apraksts otrā veida veids, ja mēs runājam par klasifikāciju). Un lasītājs zina, ka līdz brīdim, kad viņš saskaras ar jaunu skaitlisko rubriku, viss, kas tiek pasniegts, attiecas tikai uz šo gadījumu un apakšgadījumu. Pats par sevi saprotams, ka šāda numerācija ir tikai ārēja ierīce, ļoti noderīga, bet nekādā gadījumā nav obligāta, un lietas būtība slēpjas nevis tajā, bet gan tajā izteiktajā argumentācijas vai klasifikācijas dalījumā, ko tā gan stimulē, gan iezīmē. viens pats.

  Ceturtkārt, skrupuloza simbolu, formulu, vienādojumu precizitāte. Tas ir, "katram matemātiskajam simbolam ir stingri noteikta nozīme: tā aizstāšana ar citu simbolu vai pārkārtošana uz citu vietu, kā likums, izraisa šī apgalvojuma jēgas izkropļojumus un dažreiz arī pilnīgu iznīcināšanu."

  Izceļot matemātiskā domāšanas stila galvenās iezīmes, A.Ya.Khinchin atzīmē, ka matemātikai (īpaši mainīgo matemātikai) pēc savas būtības ir dialektisks raksturs, un tāpēc tā veicina dialektiskās domāšanas attīstību. Patiešām, matemātiskās domāšanas procesā notiek mijiedarbība starp vizuālo (konkrēto) un konceptuālo (abstrakto). "Mēs nevaram domāt par līnijām," rakstīja Kants, "ja to nezīmējam garīgi, mēs nevaram iedomāties sev trīs dimensijas, nenovelkot trīs līnijas, kas ir perpendikulāras viena otrai no viena punkta."

  Konkrētās un abstraktās matemātisko domāšanu „vadīja” līdz jaunu un jaunu jēdzienu un filozofisku kategoriju attīstībai. Senajā matemātikā (konstantu matemātikā) tie bija “skaitlis” un “telpa”, kas sākotnēji tika atspoguļoti aritmētiskajā un eiklīda ģeometrijā, vēlāk arī algebrā un dažādās ģeometriskās sistēmās. Mainīgo matemātika bija “balstīta” uz jēdzieniem, kas atspoguļoja matērijas kustību - “galīgs”, “bezgalīgs”, “nepārtrauktība”, “diskrēts”, “bezgalīgi mazs”, “atvasināts” utt.

  Ja runājam par pašreizējo matemātisko zināšanu attīstības vēsturisko posmu, tad tas saskan ar filozofisko kategoriju tālāko attīstību: varbūtības teorija “apvalda” iespējamā un nejaušā kategorijas; topoloģija - attiecību un nepārtrauktības kategorijas; katastrofu teorija - lēciena kategorija; grupu teorija - simetrijas un harmonijas kategorijas utt.

  Matemātiskajā domāšanā tiek izteikti formāli līdzīgu loģisko savienojumu veidošanas galvenie modeļi. Ar tās palīdzību tiek veikta pāreja no vienskaitļa (teiksim, no noteiktām matemātiskām metodēm - aksiomātiskām, algoritmiskām, konstruktīvām, kopteorētiskām un citām) uz speciālo un vispārīgo, uz vispārinātām deduktīvām konstrukcijām. Metožu un matemātikas priekšmeta vienotība nosaka matemātiskās domāšanas specifiku, ļauj runāt par īpašu matemātisko valodu, kas ne tikai atspoguļo realitāti, bet arī sintezē, vispārina un prognozē zinātniskās zināšanas. Matemātiskās domas spēks un skaistums slēpjas tās loģikas vislielākajā skaidrībā, konstrukciju elegancē un prasmīgā abstrakciju konstruēšanā.

  Līdz ar datora izgudrošanu, līdz ar mašīnmatemātikas radīšanu pavērās principiāli jaunas garīgās darbības iespējas. Matemātikas valodā notikušas būtiskas izmaiņas. Ja klasiskās skaitļošanas matemātikas valoda sastāvēja no algebras, ģeometrijas un analīzes formulām, kas vērsta uz dabas nepārtraukto procesu aprakstu, galvenokārt pētīta mehānikā, astronomijā, fizikā, tad tās mūsdienu valoda ir algoritmu un programmu valoda, t.sk. vecā formulu valoda kā konkrēts gadījums.

  Mūsdienu skaitļošanas matemātikas valoda kļūst arvien universālāka, kas spēj aprakstīt sarežģītas (vairāku parametru) sistēmas. Vienlaikus vēlos uzsvērt, ka, lai cik perfekta būtu matemātiskā valoda, ko paspilgtinājusi elektroniskās skaitļošanas tehnoloģija, tā nepārrauj saites ar daudzveidīgo “dzīvo”, dabisko valodu. Turklāt runātā valoda ir mākslīgās valodas pamats. Šajā ziņā interesanti ir zinātnieku nesenie atklājumi. Lieta tāda, ka senā aimaru indiāņu valoda, kurā runā aptuveni 2,5 miljoni cilvēku Bolīvijā un Peru, izrādījās ārkārtīgi ērta datortehnoloģijām. Jau 1610. gadā itāļu jezuītu misionārs Ludoviko Bertoni, kurš sastādīja pirmo aimaru vārdnīcu, atzīmēja tās veidotāju ģēniju, kas sasniedza augstu loģisko tīrību. Piemēram, aimaru valodā nav neregulāru darbības vārdu un nav izņēmumu dažiem skaidriem gramatikas noteikumiem. Šīs aimaru valodas iezīmes ļāva Bolīvijas matemātiķim Ivanam Guzmānam de Rojasam izveidot sinhronās datortulkošanas sistēmu no jebkuras no piecām programmā iekļautajām Eiropas valodām, starp kurām "tilts" ir aimaru valoda. Speciālisti augstu novērtēja Bolīvijas zinātnieka radīto datoru "Aymara". Apkopojot šo jautājuma daļu par matemātiskā domāšanas stila būtību, jāatzīmē, ka tā galvenais saturs ir dabas izpratne.

  Aksiomātiskā metode

• Aksiomātika ir galvenais teorijas konstruēšanas veids no senatnes līdz mūsdienām, kas apliecina tās universālumu un visu pielietojamību.

  Matemātiskās teorijas uzbūve balstās uz aksiomātisko metodi. Zinātniskā teorija balstās uz dažiem sākotnējiem noteikumiem, ko sauc par aksiomām, un visi pārējie teorijas nosacījumi tiek iegūti kā aksiomu loģiskas sekas.

  Aksiomātiskā metode parādījās Senajā Grieķijā, un šobrīd to izmanto gandrīz visās teorētiskajās zinātnēs un, galvenokārt, matemātikā.

  Salīdzinot trīs noteiktā ziņā komplementāras ģeometrijas: Eiklīda (paraboliskā), Lobačevska (hiperboliskā) un Rīmaņa (eliptiskā) ģeometrijas, jāatzīmē, ka līdzās dažām līdzībām pastāv liela atšķirība starp sfērisko ģeometriju, no vienas puses. roku, bet Eiklida un Lobačevska ģeometrijas - no otras puses.

  Būtiskā atšķirība starp mūsdienu ģeometriju ir tā, ka tā tagad aptver bezgala daudzu dažādu iedomātu telpu "ģeometrijas". Tomēr jāatzīmē, ka visas šīs ģeometrijas ir Eiklīda ģeometrijas interpretācijas un ir balstītas uz aksiomātisko metodi, ko pirmo reizi izmantoja Eiklīds.

  Uz pētījumu pamata ir izstrādāta un plaši izmantota aksiomātiskā metode. Kā īpašs šīs metodes pielietošanas gadījums ir trasēšanas metode stereometrijā, kas ļauj risināt daudzskaldņu posmu konstruēšanas problēmas un dažas citas pozicionālās problēmas.

  Aksiomātiskā metode, kas pirmo reizi tika izstrādāta ģeometrijā, tagad ir kļuvusi par svarīgu mācību līdzekli citās matemātikas, fizikas un mehānikas nozarēs. Šobrīd notiek darbs pie teorijas konstruēšanas aksiomātiskās metodes uzlabošanas un padziļinātas izpētes.

  Zinātniskās teorijas konstruēšanas aksiomātiskā metode sastāv no pamatjēdzienu izcelšanas, teoriju aksiomu formulēšanas, un visi pārējie apgalvojumi tiek atvasināti loģiskā veidā, paļaujoties uz tiem. Zināms, ka viens jēdziens ir jāskaidro ar citiem, kuri, savukārt, arī tiek definēti ar dažu labi zināmu jēdzienu palīdzību. Tādējādi mēs nonākam pie elementāriem jēdzieniem, kurus nevar definēt ar citiem. Šos jēdzienus sauc par pamata.

  Pierādot apgalvojumu, teorēmu, mēs paļaujamies uz premisām, kuras tiek uzskatītas par jau pierādītām. Bet arī šīs telpas tika pierādītas, tās bija jāpamato. Galu galā mēs nonākam pie nepierādāmiem apgalvojumiem un pieņemam tos bez pierādījumiem. Šos apgalvojumus sauc par aksiomām. Aksiomu kopai jābūt tādai, lai, paļaujoties uz to, varētu pierādīt turpmākos apgalvojumus.

  Izdalot galvenos jēdzienus un formulējot aksiomas, mēs loģiskā veidā atvasinām teorēmas un citus jēdzienus. Tāda ir ģeometrijas loģiskā struktūra. Aksiomas un pamatjēdzieni veido planimetrijas pamatus.

  Tā kā nav iespējams sniegt vienotu visu ģeometriju pamatjēdzienu definīciju, ģeometrijas pamatjēdzieni ir jādefinē kā jebkura rakstura objekti, kas atbilst šīs ģeometrijas aksiomām. Tādējādi ģeometriskās sistēmas aksiomātiskajā konstruēšanā mēs sākam no noteiktas aksiomu sistēmas jeb aksiomātikas. Šīs aksiomas apraksta ģeometriskās sistēmas pamatjēdzienu īpašības, un mēs varam attēlot pamatjēdzienus jebkuras dabas objektu formā, kuriem ir aksiomās norādītās īpašības.

  Pēc pirmo ģeometrisko apgalvojumu formulēšanas un pierādīšanas kļūst iespējams dažus apgalvojumus (teorēmas) pierādīt ar citu palīdzību. Daudzu teorēmu pierādījumi tiek attiecināti uz Pitagoru un Demokritu.

  Hipokrāts no Hiosa ir atzīts par pirmā sistemātiskā ģeometrijas kursa sastādīšanu, pamatojoties uz definīcijām un aksiomām. Šo kursu un tā turpmākās apstrādes sauca par "Elementiem".

  Zinātniskās teorijas konstruēšanas aksiomātiskā metode

• Deduktīvās vai aksiomātiskās zinātnes konstruēšanas metodes izveide ir viens no lielākajiem matemātiskās domas sasniegumiem. Tas prasīja daudzu zinātnieku paaudžu darbu.

  Ievērojama deduktīvās prezentācijas sistēmas iezīme ir šīs konstrukcijas vienkāršība, kas ļauj to aprakstīt dažos vārdos.

  Deduktīvā prezentācijas sistēma ir samazināta līdz:

  1) uz pamatjēdzienu sarakstu,

  2) uz definīciju izklāstu,

  3) uz aksiomu izklāstu,

  4) uz teorēmu izklāstu,

  5) šo teorēmu pierādīšanai.

  Aksioma ir apgalvojums, kas pieņemts bez pierādījumiem.

  Teorēma ir apgalvojums, kas izriet no aksiomām.

  Pierādīšana ir neatņemama deduktīvās sistēmas sastāvdaļa, tā ir argumentācija, kas parāda, ka apgalvojuma patiesums loģiski izriet no iepriekšējo teorēmu vai aksiomu patiesuma.

  Deduktīvās sistēmas ietvaros nevar atrisināt divus jautājumus: 1) par pamatjēdzienu nozīmi, 2) par aksiomu patiesumu. Bet tas nenozīmē, ka šie jautājumi kopumā ir neatrisināmi.

  Dabaszinātņu vēsture rāda, ka konkrētas zinātnes aksiomātiskas konstrukcijas iespēja parādās tikai diezgan augstā šīs zinātnes attīstības līmenī, pamatojoties uz lielu faktu materiāla daudzumu, kas ļauj skaidri identificēt galveno. savienojumi un attiecības, kas pastāv starp šīs zinātnes pētītajiem objektiem.

  Matemātikas zinātnes aksiomātiskās konstrukcijas piemērs ir elementārā ģeometrija. Ģeometrijas aksiomu sistēmu savā nozīmīgumā nepārspējamā darbā "Sākums" izklāstīja Eiklīds (apmēram 300.g.pmē.). Šī sistēma lielā mērā ir saglabājusies līdz mūsdienām.

  Pamatjēdzieni: punkts, līnija, plakne pamata attēli; gulēt starp, piederēt, pārvietoties.

  Elementārajai ģeometrijai ir 13 aksiomas, kas ir sadalītas piecās grupās. Piektajā grupā ir viena aksioma par paralēlēm (Eiklida V postulāts): caur punktu plaknē, kas nekrusto šo taisni, var novilkt tikai vienu taisni. Šī ir vienīgā aksioma, kas izraisīja vajadzību pēc pierādījumiem. Mēģinājumi pierādīt piekto postulātu nodarbināja matemātiķus vairāk nekā 2 tūkstošus gadu, līdz pat 19. gadsimta pirmajai pusei, t.i. līdz brīdim, kad Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis savos rakstos pierādīja šo mēģinājumu pilnīgu bezcerību. Šobrīd piektā postulāta nepierādāmība ir stingri pierādīts matemātisks fakts.

  Aksioma par paralēlo N.I. Lobačevskis aizstāja aksiomu: Dotajā plaknē ir dota taisne un punkts, kas atrodas ārpus taisnes. Caur šo punktu dotajai taisnei var novilkt vismaz divas paralēlas līnijas.

  No jaunās aksiomu sistēmas N.I. Lobačevskis ar nevainojamu loģisko stingrību secināja saskaņotu teorēmu sistēmu, kas veido ne-eiklīda ģeometrijas saturu. Abas Eiklida un Lobačevska ģeometrijas ir vienādas kā loģiskas sistēmas.

  Trīs lieli matemātiķi 19. gadsimtā gandrīz vienlaicīgi, neatkarīgi viens no otra, nonāca pie tiem pašiem rezultātiem par piektā postulāta nepierādāmību un ne-eiklīda ģeometrijas radīšanu.

  Nikolajs Ivanovičs Lobačevskis (1792-1856)

  Kārlis Frīdrihs Gauss (1777-1855)

  Jānis Bolyai (1802-1860)

  Matemātiskais pierādījums

• Matemātiskā pētījuma galvenā metode ir matemātiskais pierādījums - stingra loģiskā spriešana. Objektīvas nepieciešamības dēļ norāda Krievijas Zinātņu akadēmijas korespondējošais loceklis L.D. Kudrjavcevs Kudrjavcevs L.D. - Mūsdienu matemātika un tās mācīšana, Maskava, Nauka, 1985, loģiskā spriešana (kas pēc savas būtības, ja tā ir arī stingra) ir matemātikas metode, matemātika bez tiem nav iedomājama. Jāpiebilst, ka matemātiskā domāšana neaprobežojas tikai ar loģisko spriešanu. Problēmas pareizai formulēšanai, tās datu izvērtēšanai, nozīmīgāko no tiem atlasei un risināšanas metodes izvēlei nepieciešama arī matemātiskā intuīcija, kas ļauj iepriekš paredzēt vēlamo rezultātu. tas iegūts, ar ticamas argumentācijas palīdzību iezīmēt pētījuma ceļu. Taču aplūkojamā fakta pamatotība tiek pierādīta nevis pārbaudot to uz vairākiem piemēriem, nevis veicot vairākus eksperimentus (kam pašam ir liela nozīme matemātiskajos pētījumos), bet gan tīri loģiskā veidā, saskaņā ar formālās loģikas likumi.

  Tiek uzskatīts, ka matemātiskais pierādījums ir galīgā patiesība. Lēmums, kas balstīts uz tīru loģiku, vienkārši nevar būt nepareizs. Taču līdz ar zinātnes attīstību un uzdevumi matemātiķu priekšā kļūst arvien sarežģītāki.

  "Mēs esam iegājuši laikmetā, kad matemātiskais aparāts ir kļuvis tik sarežģīts un apgrūtinošs, ka no pirmā acu uzmetiena vairs nav iespējams pateikt, vai problēma ir patiesa," uzskata Kīts Devlins no Stenfordas universitātes Kalifornijā, ASV. Kā piemēru viņš min “vienkāršu galīgo grupu klasifikāciju”, kas tika formulēta tālajā 1980. gadā, bet pilnīgs precīzs pierādījums vēl nav sniegts. Visticamāk, teorēma ir patiesa, taču par to nav iespējams droši pateikt.

  Arī datorrisinājumu nevar nosaukt par precīzu, jo šādos aprēķinos vienmēr ir kļūda. 1998. gadā Heilss piedāvāja datorizētu risinājumu Keplera teorēmai, kas formulēta 1611. gadā. Šī teorēma apraksta blīvāko bumbiņu iesaiņojumu telpā. Pierādījums tika uzrādīts 300 lappusēs un saturēja 40 000 mašīnkoda rindu. 12 recenzenti pārbaudīja risinājumu gadu, taču viņi nekad nesasniedza 100% pārliecību par pierādījumu pareizību, un pētījums tika nosūtīts pārskatīšanai. Rezultātā tas tika publicēts tikai pēc četriem gadiem un bez recenzentu pilnīgas sertifikācijas.

  Visi jaunākie aprēķini pielietotajām problēmām tiek veikti datorā, taču zinātnieki uzskata, ka lielākai ticamībai matemātiskie aprēķini jāuzrāda bez kļūdām.

  Pierādījumu teorija ir izstrādāta loģikā un ietver trīs strukturālas sastāvdaļas: tēzi (kas ir jāpierāda), argumentus (attiecīgās zinātnes faktu kopums, vispārpieņemti jēdzieni, likumi utt.) un demonstrāciju (procedūra pašu pierādījumu izvietošana; secīga secinājumu ķēde, kad n-tais secinājums kļūst par vienu no n+1 secinājuma premisām). Tiek izdalīti pierādīšanas noteikumi, norādītas iespējamās loģiskās kļūdas.

  Matemātiskajam pierādījumam ir daudz kopīga ar formālās loģikas noteiktajiem principiem. Turklāt matemātiskie spriešanas un operāciju likumi, acīmredzot, kalpoja par vienu no pamatiem loģikas pierādīšanas procedūras attīstībā. Jo īpaši formālās loģikas veidošanās vēstures pētnieki uzskata, ka savulaik, kad Aristotelis spēra pirmos soļus likumu un loģikas noteikumu radīšanā, viņš pievērsās matemātikai un juridiskās darbības praksei. Šajos avotos viņš atrada materiālu iecerētās teorijas loģiskajām konstrukcijām.

  20. gadsimtā pierādījuma jēdziens zaudēja savu stingro nozīmi, kas notika saistībā ar kopu teorijā slēpto loģisko paradoksu atklāšanu un īpaši saistībā ar rezultātiem, ko nesa K. Gēdeļa teorēmas par formalizācijas nepabeigtību.

  Pirmkārt, tas skāra pašu matemātiku, saistībā ar kuru tika uzskatīts, ka terminam "pierādījums" nav precīzas definīcijas. Bet, ja šāds viedoklis (kurš ir spēkā arī šodien) skar pašu matemātiku, tad viņi nonāk pie secinājuma, ka pierādījums ir jāpieņem nevis loģimatemātiskā, bet psiholoģiskā nozīmē. Turklāt līdzīgs viedoklis ir atrodams arī pašam Aristotelim, kurš uzskatīja, ka pierādīt nozīmē vadīt argumentāciju, kas mūs pārliecina tādā mērā, ka, to izmantojot, mēs pārliecinām citus par kaut kā pareizību. Zināmu psiholoģiskās pieejas nokrāsu mēs atrodam A. E. Jeseņinā-Volpinā. Viņš asi iebilst pret patiesības pieņemšanu bez pierādījumiem, saistot to ar ticības aktu, un tālāk raksta: "Sprieduma pierādīšanu es saucu par godīgu metodi, kas padara šo spriedumu nenoliedzamu." Jeseņins-Volpins ziņo, ka viņa definīcija vēl ir jāprecizē. Tajā pašā laikā, vai pats pierādījumu raksturojums kā "godīga metode" nenorāda pievilcību morāli psiholoģiskam vērtējumam?

  Tajā pašā laikā kopu teorētisko paradoksu atklāšana un Gēdela teorēmu parādīšanās tikai veicināja matemātisko pierādījumu teorijas attīstību, ko uzsāka intuīcijas piekritēji, īpaši konstruktīvisma virziens, un D. Hilberts.

  Dažreiz tiek uzskatīts, ka matemātiskais pierādījums ir universāls un ir ideāla zinātniskā pierādījuma versija. Tomēr tā nav vienīgā metode, ir arī citas uz pierādījumiem balstītu procedūru un darbību metodes. Tiesa, matemātiskajam pierādījumam ir daudz kopīga ar dabaszinātnēs realizēto formālo loģisko un matemātiskajam pierādījumam ir noteikta specifika, kā arī paņēmienu-operāciju kopums. Šeit mēs apstāsimies, izlaižot vispārīgo, kas padara to saistītu ar citiem pierādījumu veidiem, tas ir, neizvietojot algoritmu, noteikumus, kļūdas utt. visos posmos (pat galvenajos). pierādīšanas process.

  Matemātiskais pierādījums ir argumentācija, kuras uzdevums ir pamatot apgalvojuma patiesumu (protams, matemātiskā, tas ir, kā secināmības, nozīmē).

  Pierādīšanā izmantotais noteikumu kopums veidojās līdz ar matemātiskās teorijas aksiomātisko konstrukciju parādīšanos. Visskaidrāk un pilnīgāk tas tika realizēts Eiklida ģeometrijā. Viņa "Principi" kļuva par sava veida paraugstandartu matemātikas zināšanu aksiomātiskajai organizācijai, un ilgu laiku tādi palika matemātiķiem.

  Noteiktas secības formā sniegtajiem apgalvojumiem jāgarantē secinājums, kas, ievērojot loģiskās darbības noteikumus, tiek uzskatīts par pierādītu. Jāuzsver, ka noteikta argumentācija ir pierādījums tikai attiecībā uz kādu aksiomātisku sistēmu.

  Raksturojot matemātisko pierādījumu, izšķir divas galvenās pazīmes. Pirmkārt, tas, ka matemātiskais pierādījums izslēdz jebkādas atsauces uz empīriskiem pierādījumiem. Visa secinājuma patiesuma pamatošanas procedūra tiek veikta pieņemtās aksiomātikas ietvaros. Šajā sakarā uzsver akadēmiķis A.D. Aleksandrovs. Trijstūra leņķus var izmērīt tūkstošiem reižu un pārliecināties, ka tie ir vienādi ar 2d. Bet matemātika neko nepierāda. Tu viņam to pierādīsi, ja no aksiomām secināsi augstāk minēto apgalvojumu. Atkārtosim. Šeit matemātika ir tuva sholastikas metodēm, kas arī principiāli noraida argumentāciju ar eksperimentāli dotiem faktiem.

  Piemēram, atklājot segmentu nesamērojamību, pierādot šo teorēmu, apelācija uz fizisku eksperimentu tika izslēgta, jo, pirmkārt, pašam "nesalīdzināmības" jēdzienam nav fiziskas nozīmes, un, otrkārt, matemātiķi nevarēja, risinot abstrakciju, ienest palīgā materiālos-betona paplašinājumus, izmērāmus ar sensori vizuālu ierīci. Jo īpaši kvadrāta malas un diagonāles nesalīdzināmība ir pierādīta, pamatojoties uz veselu skaitļu īpašību, izmantojot Pitagora teorēmu par hipotenūzas kvadrāta (attiecīgi diagonāles) vienādību ar kvadrāta kvadrātu summu. kājas (taisnstūra trīsstūra divas malas). Vai arī tad, kad Lobačevskis meklēja apstiprinājumu savai ģeometrijai, atsaucoties uz astronomisko novērojumu rezultātiem, tad šo apstiprinājumu viņš veica tīri spekulatīvi. Cayley-Klein un Beltrami interpretācijās par ne-eiklida ģeometriju arī parasti bija matemātiski, nevis fiziski objekti.

  Otra matemātiskā pierādījuma iezīme ir tā augstākā abstraktums, ar ko tas atšķiras no pierādīšanas procedūrām citās zinātnēs. Un atkal, tāpat kā matemātiskā objekta jēdziena gadījumā, runa nav tikai par abstrakcijas pakāpi, bet gan par tā būtību. Fakts ir tāds, ka pierādījumi sasniedz augstu abstrakcijas līmeni vairākās citās zinātnēs, piemēram, fizikā, kosmoloģijā un, protams, filozofijā, jo būtības un domāšanas galējās problēmas kļūst par pēdējo priekšmetu. Savukārt matemātika izceļas ar to, ka šeit funkcionē mainīgie, kuru nozīme ir abstrakcijā no jebkādām specifiskām īpašībām. Atgādiniet, ka pēc definīcijas mainīgie ir zīmes, kurām pašas par sevi nav nozīmes, un tās iegūst tikai tad, kad tos aizstāj ar noteiktu objektu nosaukumiem (individuālie mainīgie) vai kad ir norādītas konkrētas īpašības un attiecības (predikātu mainīgie), vai, visbeidzot, , gadījumos, kad mainīgais tiek aizstāts ar jēgpilnu paziņojumu (propozīcijas mainīgais).

  Atzīmētā pazīme nosaka matemātiskajā pierādījumā izmantoto zīmju, kā arī apgalvojumu ārkārtējās abstraktuma raksturu, kas, pateicoties mainīgo iekļaušanai to struktūrā, pārvēršas apgalvojumos.

  Pati pierādīšanas procedūra, kas loģikā definēta kā demonstrācija, notiek, pamatojoties uz secinājumu likumiem, uz kuru pamata tiek veikta pāreja no viena pierādīta apgalvojuma uz otru, veidojot konsekventu secinājumu ķēdi. Visizplatītākie ir divi noteikumi (secinājumu aizstāšana un atvasināšana) un dedukcijas teorēma.

  aizstāšanas noteikums. Matemātikā aizstāšanu definē kā katra dotās kopas elementa a aizstāšanu ar kādu citu elementu F(a) no tās pašas kopas. Matemātiskajā loģikā aizstāšanas noteikums ir formulēts šādi. Ja patiesā formula M priekšlikuma aprēķinā satur burtu, piemēram, A, tad, aizstājot to visur, kur tas notiek, ar patvaļīgu burtu D, mēs iegūstam formulu, kas ir patiesa arī kā sākotnējā. Tas ir iespējams un pieļaujams tieši tāpēc, ka priekšlikumu aprēķinos tiek abstrahēts no priekšlikumu (formulu) nozīmes... Tiek ņemtas vērā tikai vērtības "patiess" vai "nepatiess". Piemēram, formulā M: A--> (BUA) A vietā aizvietojam izteiksmi (AUB), kā rezultātā iegūstam jaunu formulu (AUB) -->[(BU(AUB) ]).

  Secinājumu izdarīšanas noteikums atbilst nosacīti kategoriskā siloģisma modus ponens (apstiprinošais režīms) struktūrai formālajā loģikā. Tas izskatās šādi:

  a .

  Dots priekšlikums (a-> b) un arī dots a. No tā izriet b.

  Piemēram: Ja līst lietus, tad bruģis ir slapjš, līst (a), tātad, bruģis ir slapjš (b). Matemātiskajā loģikā šo siloģismu raksta šādi (a-> b) a-> b.

  Secinājumu parasti definē, atdalot netieši. Ja ir dota implikācija (a-> b) un tās priekštecis (a), tad mums ir tiesības argumentācijai (pierādījumam) pievienot arī šīs implikācijas (b) konsekvenci. Siloģisms ir piespiedu raksturs, kas veido deduktīvu pierādīšanas līdzekļu arsenālu, tas ir, absolūti atbilst matemātiskās spriešanas prasībām.

  Svarīgu lomu matemātiskajā pierādījumā spēlē dedukcijas teorēma - vispārīgs nosaukums virknei teorēmu, kuras procedūra ļauj noteikt implikācijas pierādāmību: A-> B, ja ir loģisks atvasinājums formula B no formulas A. Visizplatītākajā propozicionālā aprēķina versijā (klasiskajā, intuīcionistiskajā un citos matemātikā) dedukcijas teorēma nosaka sekojošo. Ja ir dota telpu G sistēma un premisa A, no kuras saskaņā ar noteikumiem var izsecināt B Г, A B (- atvasināmības zīme), tad no tā izriet, ka tikai no G premisām var iegūt teikumu. A --> B.

  Mēs esam apsvēruši veidu, kas ir tiešs pierādījums. Tajā pašā laikā loģikā tiek izmantoti arī tā sauktie netiešie pierādījumi, ir netieši pierādījumi, kas tiek izmantoti saskaņā ar šādu shēmu. Tā kā vairāku iemeslu dēļ (pētāmā objekta nepieejamība, tā pastāvēšanas realitātes zudums utt.) nav iespējas veikt tiešu jebkura apgalvojuma, tēzes patiesuma pierādīšanu, viņi veido prettēzi. Viņi ir pārliecināti, ka antitēze noved pie pretrunām un tāpēc ir nepatiesa. Tad no antitēzes nepatiesības fakta - pamatojoties uz izslēgtā vidus (a v) likumu - tiek izdarīts secinājums par tēzes patiesumu.

  Matemātikā plaši tiek izmantota viena no netiešās pierādīšanas formām - pierādīšana ar pretrunu. Tas ir īpaši vērtīgs un faktiski neaizstājams, pieņemot matemātikas pamatjēdzienus un nosacījumus, piemēram, faktiskās bezgalības jēdzienu, ko nevar ieviest citādi.

  Pierādīšanas darbība ar pretrunu matemātiskajā loģikā tiek attēlota šādi. Dota formulu G secība un A noliegums (G , A). Ja tas nozīmē B un tā noliegumu (G , A B, non-B), tad varam secināt, ka A patiesums izriet no formulu G secības. Citiem vārdiem sakot, tēzes patiesums izriet no antitēzes nepatiesības. .

  Atsauces:

• 1. N. Š. Krēmers, B. A. Putko, I. M. Trišins, M. N. Frīdmens, Augstākā matemātika ekonomistiem, mācību grāmata, Maskava, 2002;

  2. L.D.Kudrjavcevs, Mūsdienu matemātika un tās mācīšana, Maskava, Nauka, 1985;

  3. O. I. Laričevs, Objektīvie modeļi un subjektīvie lēmumi, Maskava, Nauka, 1987;

  4. A.Ya.Halamizer, “Matemātika? - Tas ir smieklīgi! ”, Autorizdevums, 1989;

  5. P.K. Raševskis, Rīmaņa ģeometrija un tenzoru analīze, Maskava, 3. izdevums, 1967. gads;

  6. V.E.Gmurmans, Varbūtību teorija un matemātiskā statistika, Maskava, Augstskola, 1977. gads;

  7. Vispasaules tīkls Enternet.

Matemātika kā zinātne par kvantitatīvām attiecībām un realitātes telpiskajām formām pēta apkārtējo pasauli, dabas un sociālās parādības. Bet atšķirībā no citām zinātnēm matemātika pēta to īpašās īpašības, abstrahējoties no citām. Tātad, ģeometrija pēta objektu formu un izmērus, neņemot vērā to citas īpašības: krāsu, masu, cietību utt. Kopumā matemātiskos objektus (ģeometrisko figūru, skaitli, vērtību) rada cilvēka prāts un tie pastāv tikai cilvēka domāšanā, zīmēs un simbolos, kas veido matemātisko valodu.

Matemātikas abstraktums ļauj to pielietot visdažādākajās jomās, tas ir spēcīgs instruments dabas izpratnei.

Zināšanu formas iedala divās grupās.

pirmā grupa veido maņu izziņas formas, kas tiek veiktas ar dažādu maņu orgānu palīdzību: redze, dzirde, oža, tauste, garša.

Co. otrā grupa ietver abstraktās domāšanas formas, galvenokārt jēdzienus, apgalvojumus un secinājumus.

Sensorās izziņas formas ir Jūties, uztvere un pārstāvība.

Katram objektam ir nevis viena, bet daudzas īpašības, un mēs tās zinām ar sajūtu palīdzību.

Sajūta- tas ir materiālās pasaules objektu vai parādību individuālo īpašību atspoguļojums, kas tieši (t.i., šobrīd, šobrīd) ietekmē mūsu sajūtas. Tās ir sarkanas, siltas, apaļas, zaļas, saldas, gludas un citas objektu individuālās īpašības [Getmanova, p. 7].

No individuālajām sajūtām veidojas visa objekta uztvere. Piemēram, ābola uztveri veido šādas sajūtas: sfēriska, sarkana, saldskāba, smaržīga utt.

Uztvere ir holistisks ārēja materiāla objekta atspulgs, kas tieši ietekmē mūsu sajūtas [Getmanova, p. astoņi]. Piemēram, šķīvja, krūzes, karotes, citu piederumu attēls; upes attēls, ja mēs tagad kuģojam pa to vai atrodamies tās krastos; meža tēls, ja tagad esam tikuši līdz mežam utt.

Uztveres, lai gan tās ir maņu realitātes atspoguļojums mūsu prātā, lielā mērā ir atkarīgas no cilvēka pieredzes. Piemēram, biologs pļavu uztvers vienā veidā (redzēs dažāda veida augus), bet tūrists vai mākslinieks to uztvers pavisam savādāk.

Performance- tas ir juteklisks priekšmeta attēls, kuru mēs šobrīd neuztveram, bet ko mēs iepriekš uztvērām vienā vai otrā veidā [Getmanova, 1. lpp. desmit]. Piemēram, mēs varam vizuāli iztēloties paziņu sejas, savu istabu mājā, bērzu vai sēni. Šie ir piemēri reproducējot reprezentācijas, kā mēs esam redzējuši šos objektus.

Prezentācija var būt radošs, ieskaitot fantastisks. Piedāvājam skaisto princesi Gulbi jeb caru Saltānu, jeb Zelta Gaili un daudzus citus A.S. pasaku tēlus. Puškins, kuru mēs nekad neesam redzējuši un neredzēsim. Šie ir piemēri radošai prezentācijai, nevis verbālam aprakstam. Iztēlojamies arī Sniega meiteni, Ziemassvētku vecīti, nāru utt.

Tātad sensoro zināšanu formas ir sajūtas, uztveres un priekšstati. Ar viņu palīdzību mēs apgūstam objekta ārējos aspektus (tā pazīmes, tostarp īpašības).

Abstraktās domāšanas formas ir jēdzieni, apgalvojumi un secinājumi.

Jēdzieni. Jēdzienu apjoms un saturs

Termins "jēdziens" parasti tiek lietots, lai apzīmētu veselu patvaļīga rakstura objektu klasi, kam ir noteikta raksturīga (atšķirīga, būtiska) īpašība vai vesela šādu īpašību kopa, t.i. īpašības, kas ir unikālas šīs klases dalībniekiem.

No loģikas viedokļa jēdziens ir īpaša domāšanas forma, kuru raksturo: 1) jēdziens ir augsti organizētas matērijas produkts; 2) jēdziens atspoguļo materiālo pasauli; 3) jēdziens parādās apziņā kā vispārināšanas līdzeklis; 4) jēdziens nozīmē specifiski cilvēka darbību; 5) jēdziena veidošanās cilvēka prātā nav atdalāma no tā izpausmes ar runas, rakstības vai simbola palīdzību.

Kā mūsu prātos rodas jēdziens par jebkuru realitātes objektu?

Noteiktas koncepcijas veidošanas process ir pakāpenisks process, kurā var redzēt vairākus secīgus posmus. Apsveriet šo procesu, izmantojot vienkāršāko piemēru - skaitļa 3 jēdziena veidošanos bērniem.

1. Pirmajā izziņas posmā bērni iepazīstas ar dažādiem specifiskiem komplektiem, izmantojot priekšmetu attēlus un rādot dažādus trīs elementu komplektus (trīs āboli, trīs grāmatas, trīs zīmuļi utt.). Bērni ne tikai redz katru no šiem komplektiem, bet arī var pieskarties (pieskarties) objektiem, kas veido šīs kopas. Šis "redzēšanas" process bērna prātā rada īpašu realitātes atspoguļojuma formu, ko sauc uztvere (sajūta).

2. Noņemsim priekšmetus (objektus), kas veido katru komplektu, un aicināsim bērnus noteikt, vai ir kas kopīgs, kas raksturo katru komplektu. Objektu skaits katrā komplektā bija jāiespiež bērnu prātos, ka visur ir “trīs”. Ja tas tā ir, tad bērnu prātos ir radīta jauna forma - ideja par numuru trīs.

3. Nākamajā posmā, pamatojoties uz domu eksperimentu, bērniem vajadzētu redzēt, ka vārdā "trīs" izteiktā īpašība raksturo jebkuru dažādu formas elementu kopu (a; b; c). Tādējādi tiks izdalīta būtiska šādu komplektu kopīgā iezīme: "lai būtu trīs elementi". Tagad mēs varam teikt, ka bērnu prātos veidojas skaitļa 3 jēdziens.

koncepcija- šī ir īpaša domāšanas forma, kas atspoguļo objektu vai pētāmo objektu būtiskās (atšķirīgās) īpašības.

Jēdziena lingvistiskā forma ir vārds vai vārdu grupa. Piemēram, “trijstūris”, “numurs trīs”, “punkts”, “taisna līnija”, “viensānu trīsstūris”, “augs”, “skujkoku koks”, “Jeņisejas upe”, “galds” utt.

Matemātiskajiem jēdzieniem ir vairākas iezīmes. Galvenais ir tas, ka matemātiskie objekti, par kuriem jāveido jēdziens, patiesībā neeksistē. Matemātiskos objektus rada cilvēka prāts. Tie ir ideāli objekti, kas atspoguļo reālus objektus vai parādības. Piemēram, ģeometrijā tiek pētīta objektu forma un izmērs, neņemot vērā to pārējās īpašības: krāsu, masu, cietību utt. No tā visa viņi ir apjucis, abstrahēti. Tāpēc ģeometrijā vārda "objekts" vietā viņi saka "ģeometriskā figūra". Abstrakcijas rezultāts ir arī tādi matemātiski jēdzieni kā "skaitlis" un "vērtība".

Galvenās iezīmes jebkura jēdzieni iršādi: 1) apjoms; 2) saturu; 3) attiecības starp jēdzieniem.

Kad viņi runā par matemātisko jēdzienu, viņi parasti domā visu objektu kopu (kopu), ko apzīmē ar vienu terminu (vārdu vai vārdu grupu). Tātad, runājot par kvadrātu, tie nozīmē visas ģeometriskās formas, kas ir kvadrāti. Tiek uzskatīts, ka visu kvadrātu kopa ir jēdziena "kvadrāts" darbības joma.

Koncepcijas apjoms tiek izsaukta objektu vai objektu kopa, kurai šis jēdziens ir piemērojams.

Piemēram, 1) jēdziena "paralēlogramma" darbības joma ir četrstūri, piemēram, paralelograms, rombi, taisnstūri un kvadrāti; 2) jēdziena "viencipara naturāls skaitlis" darbības joma būs kopa - (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Jebkuram matemātiskam objektam ir noteiktas īpašības. Piemēram, kvadrātam ir četras malas, četri taisni leņķi, kas vienādi ar diagonālēm, diagonāles sadala uz pusēm ar krustošanās punktu. Varat norādīt citus tā rekvizītus, bet starp objekta īpašībām ir būtisks (atšķirīgs) un nav būtiski.

Īpašums sauc būtiski (atšķirīga) objektam, ja tas ir raksturīgs šim objektam un bez tā nevar pastāvēt; īpašums sauc nenozīmīgs priekšmetam, ja tas var pastāvēt bez tā.

Piemēram, kvadrātam visas iepriekš uzskaitītās īpašības ir būtiskas. Rekvizīts “AD mala ir horizontāla” kvadrātam ABCD nebūs nozīmes (1. att.). Ja šo kvadrātu pagriež, tad AD mala būs vertikāla.

Apsveriet piemēru pirmsskolas vecuma bērniem, izmantojot vizuālo materiālu (2. att.):

Aprakstiet figūru.

Mazs melns trīsstūris. Rīsi. 2

Liels balts trīsstūris.

Kā skaitļi ir līdzīgi?

Kā skaitļi atšķiras?

Krāsa, izmērs.

Kas ir trijstūrim?

3 malas, 3 stūri.

Tādējādi bērni uzzina jēdziena "trijstūris" būtiskās un nebūtiskās īpašības. Būtiskās īpašības - "ir trīs malas un trīs leņķi", nebūtiskas īpašības - krāsa un izmērs.

Tiek saukts visu šajā jēdzienā atspoguļoto objekta vai objekta būtisko (atšķirīgo) īpašību kopums jēdziena saturs .

Piemēram, jēdzienam "paralēlogramma" saturs ir īpašību kopums: tam ir četras malas, ir četri stūri, pretējās malas ir pa pāriem paralēlas, pretējās malas ir vienādas, pretējie leņķi ir vienādi, diagonāles krustojuma punktos ir sadalīts uz pusēm.

Pastāv saikne starp jēdziena apjomu un tā saturu: ja jēdziena apjoms palielinās, tad tā saturs samazinās un otrādi. Tā, piemēram, jēdziena "viensānu trīsstūris" darbības joma ir daļa no jēdziena "trijstūris", un jēdziena "vienādsānu trīsstūris" saturs ietver vairāk īpašību nekā jēdziena "trijstūris" saturs. vienādsānu trijstūrim ir ne tikai visas trīsstūra īpašības, bet arī citas, kas raksturīgas tikai vienādsānu trijstūriem (“divas malas ir vienādas”, “divi leņķi ir vienādi”, “divas mediānas ir vienādas” utt.).

Jēdzieni ir sadalīti vientuļš, kopīgs un kategorijām.

Tiek saukts jēdziens, kura tilpums ir vienāds ar 1 vienots jēdziens .

Piemēram, jēdzieni: "Jeņisejas upe", "Tuvas Republika", "Maskavas pilsēta".

Tiek saukti jēdzieni, kuru tilpums ir lielāks par 1 kopīgs .

Piemēram, jēdzieni: "pilsēta", "upe", "četrstūris", "skaitlis", "daudzstūris", "vienādojums".

Jebkuras zinātnes pamatu izpētes procesā bērni parasti veido vispārīgus jēdzienus. Piemēram, pamatklasēs skolēni iepazīstas ar tādiem jēdzieniem kā "skaitlis", "skaitlis", "viencipara skaitļi", "divciparu skaitļi", "daudzciparu skaitļi", "daļskaitlis", "dalība". ”, “saskaitīšana”, “termiņš” , “summa”, “atņemšana”, “atņemta”, “samazināta”, “starpība”, “reizināšana”, “reizinātājs”, “reizinājums”, “dalīšana”, “dalāms”, "dalītājs", "koeficients", "lode, cilindrs, konuss, kubs, paralēlskaldnis, piramīda, leņķis, trīsstūris, četrstūris, kvadrāts, taisnstūris, daudzstūris, aplis , "aplis", "līkne", "polilīnija", "segments" , "segmenta garums", "stars", "taisna līnija", "punkts", "garums", "platums", "augstums", "perimetrs", "figūras laukums", "apjoms", "laiks", " ātrums", "masa", "cena", "izmaksas" un daudzi citi. Visi šie jēdzieni ir vispārīgi jēdzieni.