Gravitācijas veiktais darbs ir vienāds ar. Gravitācijas darbs. Virs zemes pacelta ķermeņa potenciālā enerģija. Kontroles jautājumi un uzdevumi

Gravitācijas darbs. smagums R materiāla punktu masa t netālu no Zemes virsmas var uzskatīt par konstanti, kas vienāda ar mg

vērsta vertikāli uz leju.

Darbs BET spēks R kustībā no punkta M 0 līdz punktam M

kur h = z 0 - z x - punkta nolaišanas augstums.

Smaguma spēks ir vienāds ar šī spēka un nolaišanas augstuma (darbs ir pozitīvs) vai pacēluma augstuma (darbs ir negatīvs) reizinājumu. Smaguma darbs nav atkarīgs no trajektorijas formas starp punktiem M 0 un M|, un, ja šie punkti sakrīt, tad gravitācijas darbs ir vienāds ar nulli (slēgta ceļa gadījums). Tas ir arī vienāds ar nulli, ja punkti M 0 un M atrodas tajā pašā horizontālajā plaknē.

Lineārā elastības spēka darbs. Lineārais elastīgais spēks (vai lineārais atjaunošanas spēks) ir spēks, kas darbojas saskaņā ar Huka likumu (63. att.):

F = - Arr,

kur r- attālums no statiskā līdzsvara punkta, kurā spēks ir nulle, līdz apskatāmajam punktam M; Ar- nemainīgs koeficients - stinguma koeficients.

A=--().

Pēc šīs formulas aprēķina lineārā elastīgā spēka darbu. Ja punkts M 0 sakrīt ar statiskā līdzsvara punktu O, tā tad r 0 \u003d 0 un spēka darbam, pārvietojoties no punkta O līdz punktam M mums ir

Vērtība r- īsākais attālums starp aplūkojamo punktu un statiskā līdzsvara punktu. Mēs to apzīmējam ar λ un saucam par deformāciju. Tad

Lineārā elastīgā spēka darbs, pārvietojoties no statiskā līdzsvara stāvokļa, vienmēr ir negatīvs un vienāds ar pusi no stinguma koeficienta un deformācijas kvadrāta reizinājuma. Lineārā elastīgā spēka darbs nav atkarīgs no nobīdes formas, un darbs pie jebkura slēgta pārvietojuma ir nulle. Tas ir arī vienāds ar nulli, ja punkti Mo un M atrodas uz tās pašas sfēras, kas norobežota no statiskā līdzsvara punkta.

Mainīga spēka darbs līknes kustībā.

Spēka darbs uz izliektu posmu

Apsveriet vispārēju mainīga spēka darba atrašanas gadījumu, kura pielietošanas punkts pārvietojas pa līknes trajektoriju. Ļaujiet mainīgā spēka F pielikšanas punktam M pārvietoties pa patvaļīgu nepārtrauktu līkni. Apzīmē ar punkta M bezgalīgi mazas nobīdes vektoru. Šis vektors ir vērsts tangenciāli līknei tajā pašā virzienā kā ātruma vektors.

Mainīga spēka F elementārs darbs uz bezgalīgi mazu nobīdi

ds sauc par vektoru F un skalāro reizinājumu ds:

kur a- leņķis starp vektoriem F un ds

Tas ir, spēka elementārais darbs ir vienāds ar spēka vektoru moduļu un bezgalīgi mazas nobīdes reizinājumu, kas reizināts ar leņķa kosinusu starp šiem vektoriem.

Mēs sadalām spēka vektoru F divās daļās: - vērsta pa trajektorijas pieskari - un - vērsta pa normālu. spēka līnija

ir perpendikulāra pieskarei ceļam, pa kuru punkts pārvietojas, un tā darbs ir nulle. Pēc tam:

dA= Ftds.

Lai aprēķinātu mainīgā spēka F darbu līknes beigu posmā no a līdz b, jāaprēķina elementārā darba integrālis:

Potenciālā un kinētiskā enerģija.

Potenciālā enerģija P matsērijas punktsmans spēka lauka punkts M izsauc darbu, ko veic spēkila iedarbojas uz materiālo punktu, pārvietojot to no punktaMuz sākuma punktuM 0 , t.i.

P = Umm 0

P = =-U=- U

Konstante С 0 ir vienāda visiem lauka punktiem, atkarībā no tā, kurš lauka punkts ir izvēlēts kā sākotnējais. Ir skaidrs, ka potenciālo enerģiju var ievadīt tikai tādam potenciālajam spēka laukam, kurā darbs nav atkarīgs no kustības formas starp punktiem M un M 0 . Nepotenciālajam spēka laukam nav potenciālās enerģijas, un tam nav spēka funkcijas.

dA = dU= -dP; BET = U - U 0 = P 0 - P

No iepriekš minētajām formulām izriet, ka P tiek noteikta līdz patvaļīgai konstantei, kas ir atkarīga no sākuma punkta izvēles, bet šī patvaļīgā konstante neietekmē spēkus, kas aprēķināti caur potenciālo enerģiju un šo spēku darbu. Ņemot vērā šo:

P= - U+ const vai P =- U.

Potenciālo enerģiju jebkurā lauka punktā līdz patvaļīgai konstantei var definēt kā spēka funkcijas vērtību tajā pašā punktā, ņemot vērā mīnusa zīmi.

Kinētiskā enerģija Sistēmu sauc par skalāro vērtību T, kas vienāda ar visu sistēmas punktu kinētisko enerģiju summu:

Kinētiskā enerģija ir raksturīga gan sistēmas translācijas, gan rotācijas kustībām. Kinētiskā enerģija ir skalārs lielums un turklāt būtībā pozitīva. Tāpēc tas nav atkarīgs no sistēmas daļu kustības virzieniem un neraksturo izmaiņas šajos virzienos.

Ņemsim vērā arī šādu svarīgu apstākli. Iekšējie spēki iedarbojas uz sistēmas daļām savstarpēji pretējos virzienos. Kinētiskās enerģijas izmaiņas ietekmē gan ārējo, gan iekšējo spēku darbība.

Vienota punkta kustība.

Vienota punkta kustība- kustība, ar Krom kasat. paātrinājums ω t punkts (taisnās kustības gadījumā kopējais paātrinājums ω ) pastāvīgi. Punkta vienmērīgas kustības likums un tā ātruma izmaiņu likums υ šīs kustības laikā tiek dotas vienādības:

kur s ir trajektorijas loka mērītā punkta attālums no trajektorijā izvēlētā atskaites punkta, t- laiks, s 0 - s vērtība sākumā. laika moments t = = 0. - beg. punkta ātrums. Kad zīmes υ un ω identiska, vienmērīga kustība. tiek paātrināts, un, kad tas atšķiras - palēnināts.

Darbojoties. stingra ķermeņa vienmērīga kustība, viss iepriekš minētais attiecas uz katru ķermeņa punktu; ar vienmērīgu rotāciju ap fiksētu leņķa asi. ķermeņa paātrinājums e ir nemainīgs, un rotācijas likums un leņķa maiņas likums. ķermeņa ātrumus ω dod vienādības

kur φ ir ķermeņa griešanās leņķis, φ 0 ir φ vērtība sākumā. laika moments t= 0, ω 0 - beg. ang. ķermeņa ātrums. Kad ω un ε zīmes sakrīt, rotācija tiek paātrināta, un, ja tās nesakrīt, tā ir lēna.

Pastāvīga spēka darbs taisnā kustībā.

Definēsim darbu gadījumam, kad iedarbīgajam spēkam ir nemainīgs lielums un virziens, un tā pielietojuma punkts virzās pa taisnu trajektoriju. Aplūkosim materiālu punktu C, kuram pieliek spēka konstantu vērtībā un virzienā (134. att., a).

Uz noteiktu laika periodu t punkts C ir pārvietojies pozīcijā C1 pa taisnu trajektoriju attālumā s.

Pastāvīga spēka darbs W tā pielietošanas punkta taisnas kustības laikā ir vienāds ar spēka moduļa F reizinājumu ar attālumu s un leņķa starp spēka virzienu un kustības virzienu kosinusu, t.i.

Leņķis α starp spēka virzienu un kustības virzienu var mainīties no 0 līdz 180°. Attiecībā uz α< 90° работа положительна, при α >90° ir negatīvs, pie α = 90° darbs ir nulle.

Ja spēks veido asu leņķi ar kustības virzienu, to sauc par virzošo spēku, spēka darbs vienmēr ir pozitīvs. Ja leņķis starp spēka un kustības virzieniem ir neass, spēks pretojas kustībai, veic negatīvu darbu un tiek saukts par pretestības spēku. Pretestības spēku piemēri ir griešanas, berzes, gaisa pretestības un citi spēki, kas vienmēr ir vērsti virzienā, kas ir pretējs kustībai.

Ja α = 0°, tas ir, kad spēka virziens sakrīt ar ātruma virzienu, tad W = F s, jo cos 0° = 1. Produkts F cos α ir spēka projekcija virzienā materiālā punkta kustība. Tāpēc spēka darbu var definēt kā nobīdes s un spēka projekcijas un punkta kustības virziena reizinājumu.

33.Stingra ķermeņa inerces spēki

Klasiskajā mehānikā spēku un to īpašību attēlojums balstās uz Ņūtona likumiem un ir nesaraujami saistīti ar inerciālās atskaites sistēmas jēdzienu.

Patiešām, fiziskais lielums, ko sauc par spēku, tiek ņemts vērā ar Ņūtona otro likumu, savukārt pats likums ir formulēts tikai inerciālām atskaites sistēmām. Attiecīgi spēka jēdziens sākotnēji izrādās definēts tikai šādām atskaites sistēmām.

Ņūtona otrā likuma vienādojums, kas saista materiāla punkta paātrinājumu un masu ar spēku, kas uz to iedarbojas, ir uzrakstīts kā

No vienādojuma tieši izriet, ka ķermeņu paātrinājuma cēlonis ir tikai spēki, un otrādi: nekompensētu spēku iedarbība uz ķermeni noteikti izraisa tā paātrinājumu.

Ņūtona trešais likums papildina un attīsta otrajā likumā teikto par spēkiem.

spēks ir citu ķermeņu mehāniskās iedarbības mērs uz noteiktu materiālu ķermeni

saskaņā ar Ņūtona trešo likumu spēki var pastāvēt tikai pa pāriem, un spēku raksturs katrā šādā pārī ir vienāds.

jebkuram spēkam, kas iedarbojas uz ķermeni, ir izcelsmes avots cita ķermeņa formā. Citiem vārdiem sakot, spēks noteikti ir rezultāts mijiedarbības tālr.

Nekādi citi spēki mehānikā netiek ņemti vērā vai izmantoti. Mehānika nepieļauj tādu spēku pastāvēšanas iespēju, kas radušies neatkarīgi, bez mijiedarbīgiem ķermeņiem.

Lai gan Eilera un d'Alemberta inerces spēku nosaukumos ir šis vārds spēks, šie fizikālie lielumi nav spēki mehānikā pieņemtajā nozīmē.

34. Cieta ķermeņa plaknes paralēlas kustības jēdziens

Stingra ķermeņa kustību sauc par plakni paralēli, ja visi ķermeņa punkti pārvietojas plaknēs, kas ir paralēlas kādai fiksētai plaknei (galvenajai plaknei). Ļaujiet kādam ķermenim V veikt plaknes kustību, π - galvenā plakne. No plaknes paralēlās kustības definīcijas un absolūti stingra ķermeņa īpašībām izriet, ka jebkurš taisnes AB segments, kas ir perpendikulārs plaknei π, veiks translācijas kustību. Tas ir, visu segmenta AB punktu trajektorijas, ātrumi un paātrinājumi būs vienādi. Tādējādi katra posma s punkta kustība paralēli plaknei π nosaka visu ķermeņa V punktu kustību, kas atrodas uz nogriežņa, kas ir perpendikulārs griezumam šajā punktā. Plaknes paralēlas kustības piemēri ir: riteņa ripošana pa taisnu segmentu, jo visi tā punkti pārvietojas plaknēs, kas ir paralēlas plaknei, kas ir perpendikulāra riteņa asij; īpašs šādas kustības gadījums ir stingra ķermeņa griešanās ap fiksētu asi, faktiski visi rotējoša ķermeņa punkti pārvietojas plaknēs, kas ir paralēlas kādai fiksētai plaknei, kas ir perpendikulāra griešanās asij.

35. Inerces spēki materiāla punkta taisnvirziena un līknes kustībā

Spēku, ar kādu punkts pretojas kustības izmaiņām, sauc par materiāla punkta inerces spēku. Inerces spēks ir vērsts pretēji punkta paātrinājumam un ir vienāds ar masu, kas reizināta ar paātrinājumu.

Taisnā līnijā paātrinājuma virziens sakrīt ar trajektoriju. Inerces spēks ir vērsts virzienā, kas ir pretējs paātrinājumam, un tā skaitlisko vērtību nosaka pēc formulas:

Paātrinot kustību, paātrinājuma un ātruma virzieni sakrīt un inerces spēks tiek virzīts kustībai pretējā virzienā. Lēnā kustībā, kad paātrinājums ir vērsts virzienā, kas ir pretējs ātrumam, inerces spēks darbojas kustības virzienā.

Plkstizliekta un nevienmērīgakustība paātrinājumu var sadalīt normālā an un tangenss plkst sastāvdaļas. Tāpat arī punkta inerces spēks sastāv no divām sastāvdaļām: normālā un tangenciālā.

Normāls inerces spēka komponents ir vienāds ar punkta masas un parastā paātrinājuma reizinājumu un ir vērsts pretēji šim paātrinājumam:

Pieskares inerces spēka komponents ir vienāds ar punkta masas un tangenciālā paātrinājuma reizinājumu un ir vērsts pretēji šim paātrinājumam:

Acīmredzot, punkta kopējais inerces spēks M ir vienāds ar normālās un pieskares komponentu ģeometrisko summu, t.i.

Ņemot vērā, ka tangenciālās un normālās sastāvdaļas ir savstarpēji perpendikulāras, kopējais inerces spēks ir:

36. Teorēmas par sarežģītās kustības punkta ātrumu un paātrinājumu saskaitīšanu

Ātruma saskaitīšanas teorēma:

Mehānikā punkta absolūtais ātrums ir vienāds ar tā relatīvo un translācijas ātrumu vektoru summu:

Ķermeņa ātrums attiecībā pret fiksēto atskaites sistēmu ir vienāds ar šī ķermeņa ātruma vektora summu attiecībā pret kustīgo atskaites sistēmu un tā kustīgā kadra punkta ātrumu (attiecībā pret fiksēto kadru), kurā ķermenis atrodas.

sarežģītā kustībā punkta absolūtais ātrums ir vienāds ar translācijas un relatīvā ātruma ģeometrisko summu. Absolūtā ātruma lielumu nosaka kur α ir leņķis starp vektoriem un .

Paātrinājuma saskaitīšanas teorēma ( KORIOLĪSA TEORĒMA)

acor = aper + afro + acor

Formula izsaka šādu Koriolisa teorēmu par paātrinātā pievienošanu

rēnijs: 1 sarežģītai kustībai punkta paātrinājums ir vienāds ar ģeometrisko

trīs paātrinājumu summa: relatīvais, translācijas un rotācijas paātrinājums vai

Koriolis.

acor = 2 (ω × balsis)

37. d'Alembert princips

d'Alemberta princips materiālam jautājumam: katrā materiāla punkta kustības brīdī aktīvie spēki, saišu reakcijas un inerces spēks veido līdzsvarotu spēku sistēmu.

d'Alemberta princips- mehānikā: viens no dinamikas pamatprincipiem, saskaņā ar kuru, ja dotajiem spēkiem, kas iedarbojas uz mehāniskās sistēmas punktiem un uzlikto saišu reakcijām, pieskaita inerces spēkus, tad izveidosies līdzsvarota spēku sistēma. iegūt.

Saskaņā ar šo principu katram sistēmas i-tam punktam vienādība

kur ir aktīvais spēks, kas iedarbojas uz šo punktu, ir savienojuma reakcija uz punktu, ir inerces spēks, kas skaitliski vienāds ar punkta masas un tā paātrinājuma reizinājumu un ir vērsts pretēji šim paātrinājumam ().

Faktiski mēs runājam par termina ma pārnešanu no labās uz kreiso Ņūtona otrajā likumā (), kas veikta atsevišķi katram no aplūkotajiem materiālajiem punktiem, un šī termina cenzēšanu ar d'Alemberta inerces spēku.

D'Alemberta princips dod iespēju pielietot vienkāršākas statikas metodes dinamikas uzdevumu risināšanā, tāpēc to plaši izmanto inženiertehniskajā praksē, t.s. kinetostatiskā metode. Īpaši ērti to izmantot ierobežojumu reakciju noteikšanai gadījumos, kad notiekošās kustības likums ir zināms vai atrodams no atbilstošo vienādojumu atrisinājuma.

A virkne \u003d mg (h n - h k) (14.19)

kur h n un h k ir materiāla punkta ar masu m sākuma un beigu augstums (14.7. att.), g ir brīvā kritiena paātrinājuma modulis.

Smaguma darbu A dzīslu nosaka materiālā punkta sākotnējās un beigu pozīcijas, un tas nav atkarīgs no trajektorijas starp tiem.

Tas var būt pozitīvs, negatīvs vai nulle:

a) dzīsla > 0 — materiāla punkta nolaišanās laikā,

b) smags< 0 - при подъеме материальной точки,

c) A str = 0 — ar nosacījumu, ka augstums nemainās, vai ar slēgtu materiāla punkta trajektoriju.

Berzes spēka darbs pie nemainīga ātruma b.w. ( v = konst) un berzes spēki ( F tr = konst) laika intervālā t:

A tr = ( F tr, v)t, (14.20)

Berzes spēka darbs var būt pozitīvs, negatīvs vai nulle. Piemēram:

a
) berzes spēka darbs, kas iedarbojas uz apakšējo stieni no augšējā stieņa puses (14.8. att.), A tr.2,1\u003e 0, jo leņķis starp spēku, kas iedarbojas uz apakšējo joslu no augšējās joslas puses F tr.2.1 un ātrums v 2 no apakšējās joslas (attiecībā pret Zemes virsmu) ir vienāda ar nulli;

b) A tr.1,2< 0 - угол между силой трения F tr.1,2 un ātrums v 1 no augšējās joslas ir vienāds ar 180 (sk. 14.8. att.);

c) A tr \u003d 0 - piemēram, stienis atrodas uz rotējoša horizontāla diska (attiecībā pret disku stienis ir nekustīgs).

Berzes spēka darbs ir atkarīgs no trajektorijas starp materiāla punkta sākuma un beigu stāvokli.

§ piecpadsmit. mehāniskā enerģija

Materiālā punkta kinētiskā enerģija K — SFV, kas vienāds ar pusi no ķermeņa masas reizinājuma. tā ātruma moduļa kvadrātā:

(15.1)

Ķermeņa kustības radītā kinētiskā enerģija ir atkarīga no atskaites sistēmas un ir nenegatīvs lielums:

Kinētiskās enerģijas mērvienība-džouls: [K] = J.

Kinētiskās enerģijas teorēma- kinētiskās enerģijas pieaugums b.w. ir vienāds ar rezultējošā spēka darbu A p:

K = A p. (15.3)

Rezultējošā spēka darbu var atrast kā visu spēku darbu A i summu F i (i = 1,2,…n) attiecas uz b.w.:

(15.4)

Materiāla punkta ātruma modulis: pie A p > 0 - palielinās; pie A p< 0 - уменьшается; при A р = 0 - не изменяется.

Materiālo punktu sistēmas kinētiskā enerģija K c ir vienāds ar visu kinētisko enerģiju K i summu n b.w., kas pieder šai sistēmai:

(15.5)

kur m i un v i ir i-tās m.t masas un ātruma modulis. šī sistēma.

Sistēmas kinētiskās enerģijas pieaugums b.t.K с ir vienāds ar visu darbu А рi summu n rezultējošie spēki, kas pielikti sistēmas i-tajam materiālajam punktam:

(15.6)

Spēka lauks- telpas apgabals, kura katrā punktā uz ķermeni iedarbojas spēki.

Stacionārs spēka lauks- lauks, kura spēki laika gaitā nemainās.

Vienots spēku lauks- lauks, kura spēki visos tā punktos ir vienādi.

Centrālais spēku lauks- lauks, kura visu spēku darbības virzieni iet caur vienu punktu, ko sauc par lauka centru, un spēku modulis ir atkarīgs tikai no attāluma līdz šim centram.

Nekonservatīvie spēki (nx.sl)- spēki, kuru darbs ir atkarīgs no trajektorijas starp ķermeņa sākotnējo un beigu stāvokli .

Nekonservatīvu spēku piemērs ir berzes spēki. Berzes spēku darbs pa slēgtu trajektoriju vispārējā gadījumā nav vienāds ar nulli.

Konservatīvie spēki (ks.sl)- spēki, kuru darbu nosaka sākuma un beigu pozīcijas m.t. un nav atkarīgs no trajektorijas starp tām. Ar slēgtu trajektoriju konservatīvo spēku darbs ir nulle. Konservatīvo spēku lauku sauc par potenciālu.

Konservatīvo spēku piemērs ir gravitācija un elastība.

Potenciālā enerģija P - SPV, kas ir sistēmas (ķermeņa) daļu relatīvā stāvokļa funkcija.

Potenciālās enerģijas vienība-džouls: [P] = J.

Potenciālās enerģijas teorēma

Materiālo punktu sistēmas potenciālās enerģijas zudums ir vienāds ar konservatīvo spēku darbu:

–P s = P n – P c = A ks.sl (15.7 )

Potenciālo enerģiju nosaka līdz nemainīgai vērtībai, un tā var būt pozitīva, negatīva vai vienāda ar nulli.

Materiālā punkta potenciālā enerģija P jebkurā spēka lauka punktā - SPV, vienāds ar konservatīvo spēku darbu, pārvietojot b.w. no noteikta lauka punkta līdz punktam, kurā tiek pieņemts, ka potenciālā enerģija ir nulle:

P \u003d A ks.sl. (15.8)

Elastīgi deformētas atsperes potenciālā enerģija

(15.9)

G de x - atsperes vaļīgā gala nobīde; k ir atsperes stingrība, C ir patvaļīga konstante (izvēlēta no ērtības stāvokļa problēmas risināšanā).

P(x) grafiki dažādām konstantēm: a) C > 0, b) C = 0, c) C< 0  параболы (рис.15.1).

Pie nosacījuma P (0) = 0, konstante C = 0 un

(15.10)

Šajā nodarbībā mēs aplūkosim dažādas ķermeņa kustības gravitācijas ietekmē un uzzināsim, kā atrast šī spēka darbību. Mēs arī iepazīstināsim ar ķermeņa potenciālās enerģijas jēdzienu, uzzināsim, kā šī enerģija ir saistīta ar gravitācijas darbu, un atvasināsim formulu, pēc kuras šī enerģija tiek atrasta. Izmantojot šo formulu, atrisināsim uzdevumu, kas ņemts no krājuma par sagatavošanos vienotajam valsts eksāmenam.

Iepriekšējās nodarbībās pētījām spēku šķirnes dabā. Katram spēkam ir pareizi jāaprēķina darbs. Šī nodarbība ir veltīta gravitācijas darba izpētei.

Nelielos attālumos no Zemes virsmas gravitācija ir nemainīga un modulis ir vienāds ar , kur m- ķermeņa masa, g- gravitācijas paātrinājums.

Ļaujiet ķermeņa masai m brīvi krīt no augstuma virs jebkura līmeņa, no kura skaitīšana tiek ņemta līdz augstumam virs tā paša līmeņa (sk. 1. att.).

Rīsi. 1. Ķermeņa brīvais kritiens no augstuma uz augstumu

Šajā gadījumā korpusa pārvietošanās modulis ir vienāds ar starpību starp šiem augstumiem:

Tā kā kustības virziens un gravitācija ir vienādi, gravitācijas darbs ir šāds:

Augstuma vērtību šajā formulā var aprēķināt no jebkura līmeņa (jūras līmeņa, zemē izraktas bedres apakšējā līmeņa, galda virsmas, grīdas virsmas utt.). Jebkurā gadījumā šīs virsmas augstums ir izvēlēts vienāds ar nulli, tāpēc tiek saukts šī augstuma līmenis nulles līmenis.

Ja ķermenis nokrīt no augstuma h līdz nullei, tad gravitācijas veiktais darbs būs:

Ja ķermenis, kas izmests uz augšu no nulles līmeņa, sasniedz augstumu h virs šī līmeņa, tad gravitācijas darbs būs vienāds ar:

Ļaujiet ķermeņa masai m pārvietojas slīpā plaknē h un tajā pašā laikā veic kustību, kuras modulis ir vienāds ar slīpās plaknes garumu (skat. 2. att.).

Rīsi. 2. Ķermeņa kustība pa slīpu plakni

Spēka darbs ir vienāds ar spēka vektora skalāro reizinājumu un ķermeņa nobīdes vektoru, kas izveidots šī spēka iedarbībā, tas ir, gravitācijas darbs šajā gadījumā būs vienāds ar:

kur ir leņķis starp gravitācijas un nobīdes vektoriem.

2. attēlā parādīts, ka pārvietojums () ir taisnleņķa trijstūra hipotenūza un augstums h- katets. Saskaņā ar taisnleņķa trijstūra īpašību:

sekojoši

Mēs esam ieguvuši izteiksmi gravitācijas darbam, kas ir tāda pati kā ķermeņa vertikālās kustības gadījumā. Var secināt, ka, ja ķermeņa trajektorija nav taisna un ķermenis pārvietojas gravitācijas ietekmē, tad gravitācijas darbu nosaka tikai ķermeņa augstuma izmaiņas virs noteikta nulles līmeņa un nav atkarīgs pa ķermeņa trajektoriju.

Rīsi. 3. Ķermeņa kustība pa līknes trajektoriju

Pierādīsim iepriekšējo apgalvojumu. Ļaujiet ķermenim pārvietoties pa kādu līknes trajektoriju (sk. 3. att.). Mēs garīgi sadalām šo trajektoriju vairākās mazās daļās, no kurām katru var uzskatīt par nelielu slīpu plakni. Ķermeņa kustību pa visu trajektoriju var attēlot kā kustību pa slīpu plakņu kopumu. Smaguma spēks katrā no sekcijām būs vienāds ar gravitācijas spēka un šīs sekcijas augstuma reizinājumu. Ja augstuma izmaiņas atsevišķās sekcijās ir vienādas, tad gravitācijas darbs uz tām ir vienāds:

Kopējais darbs visā trajektorijā ir vienāds ar atsevišķu posmu darba summu:

- kopējais augstums, ko ķermenis ir pārvarējis,

Tādējādi gravitācijas darbs nav atkarīgs no ķermeņa trajektorijas un vienmēr ir vienāds ar smaguma spēka un augstuma starpības reizinājumu sākuma un beigu pozīcijās. Q.E.D.

Virzoties uz leju, darbs ir pozitīvs, virzoties uz augšu – negatīvs.

Ļaujiet kādam ķermenim pārvietoties pa slēgtu trajektoriju, tas ir, tas vispirms nolaidās un pēc tam atgriezās sākuma punktā pa kādu citu trajektoriju. Tā kā ķermenis nonāca tajā pašā vietā, kur tas bija sākotnēji, augstuma starpība starp ķermeņa sākotnējo un galīgo stāvokli ir nulle, tāpēc gravitācijas darbs būs nulle. Sekojoši, gravitācijas darbs, ķermenim pārvietojoties pa slēgtu trajektoriju, ir nulle.

Gravitācijas darba formulā mēs izņemam (-1) no iekavas:

No iepriekšējām nodarbībām ir zināms, ka ķermenim pielikto spēku darbs ir vienāds ar starpību starp ķermeņa kinētiskās enerģijas galīgo un sākotnējo vērtību. Iegūtā formula parāda arī saistību starp gravitācijas darbu un atšķirību starp kāda fiziska lieluma vērtībām, kas vienādas ar . Tādu vērtību sauc ķermeņa potenciālā enerģija kas atrodas augstumā h virs kāda nulles līmeņa.

Potenciālās enerģijas izmaiņas ir negatīvas, ja pozitīvu darbu veic gravitācija (to var redzēt no formulas). Ja tiek veikts negatīvs darbs, tad potenciālās enerģijas izmaiņas būs pozitīvas.

Ja ķermenis nokrīt no augstuma h līdz nulles līmenim, tad gravitācijas darbs būs vienāds ar augstumā pacelta ķermeņa potenciālās enerģijas vērtību h.

Ķermeņa potenciālā enerģija, pacelts līdz noteiktam augstumam virs nulles līmeņa, ir vienāds ar darbu, ko veiks gravitācijas spēks, kad dotais ķermenis nokrīt no noteiktā augstuma līdz nulles līmenim.

Atšķirībā no kinētiskās enerģijas, kas ir atkarīga no ķermeņa ātruma, potenciālā enerģija var nebūt nulle pat miera stāvoklī esošiem ķermeņiem.

Rīsi. 4. Ķermenis zem nulles līmeņa

Ja ķermenis atrodas zem nulles līmeņa, tad tam ir negatīva potenciālā enerģija (skat. 4. att.). Tas ir, potenciālās enerģijas zīme un modulis ir atkarīgi no nulles līmeņa izvēles. Darbs, kas tiek veikts, pārvietojot ķermeni, nav atkarīgs no nulles līmeņa izvēles.

Termins "potenciālā enerģija" attiecas tikai uz ķermeņu sistēmu. Visā iepriekš minētajā argumentācijā šī sistēma bija "Zeme - ķermenis, kas pacelts virs Zemes".

Homogēns taisnstūra paralēlskaldnis ar masu m ar ribām ir novietoti uz horizontālas plaknes katrā no trim pusēm pēc kārtas. Kāda ir paralēlskaldņa potenciālā enerģija katrā no šīm pozīcijām?

Ņemot vērā:m- paralēlskaldņa masa; - paralēlskaldņa malu garums.

Atrast:; ;

Risinājums

Ja nepieciešams noteikt galīgo izmēru ķermeņa potenciālo enerģiju, tad varam pieņemt, ka visa šāda ķermeņa masa ir koncentrēta vienā punktā, ko sauc par šī ķermeņa masas centru.

Simetrisku ģeometrisku ķermeņu gadījumā masas centrs sakrīt ar ģeometrisko centru, tas ir (šajā uzdevumā) ar paralēlskaldņa diagonāļu krustošanās punktu. Tādējādi ir jāaprēķina augstums, kādā šis punkts atrodas dažādās paralēlskaldņa vietās (skat. 5. att.).

Rīsi. 5. Problēmas ilustrācija

Lai atrastu potenciālo enerģiju, iegūtās augstuma vērtības jāreizina ar paralēlskaldņa masu un brīvā kritiena paātrinājumu.

Atbilde:; ;

Šajā nodarbībā mēs uzzinājām, kā aprēķināt gravitācijas darbu. Tajā pašā laikā mēs redzējām, ka neatkarīgi no ķermeņa trajektorijas gravitācijas darbu nosaka ķermeņa sākotnējās un beigu pozīcijas augstuma starpība virs kāda nulles līmeņa. Mēs arī iepazīstinājām ar potenciālās enerģijas jēdzienu un parādījām, ka gravitācijas darbs ir vienāds ar ķermeņa potenciālās enerģijas izmaiņām, kas ņemtas ar pretēju zīmi. Kādi darbi jāveic, lai pārvietotu miltu maisu, kas sver 2 kg, no plaukta, kas atrodas 0,5 m augstumā attiecībā pret grīdu, uz galdu, kas atrodas 0,75 m augstumā attiecībā pret grīdu? Kāda ir uz plaukta guļoša miltu maisa potenciālā enerģija un tā potenciālā enerģija, kad tas atrodas uz galda, attiecībā pret grīdu?

Šajā nodarbībā mēs aplūkosim dažādas ķermeņa kustības gravitācijas ietekmē un uzzināsim, kā atrast šī spēka darbību. Mēs arī iepazīstināsim ar ķermeņa potenciālās enerģijas jēdzienu, uzzināsim, kā šī enerģija ir saistīta ar gravitācijas darbu, un atvasināsim formulu, pēc kuras šī enerģija tiek atrasta. Izmantojot šo formulu, atrisināsim uzdevumu, kas ņemts no krājuma par sagatavošanos vienotajam valsts eksāmenam.

Iepriekšējās nodarbībās pētījām spēku šķirnes dabā. Katram spēkam ir pareizi jāaprēķina darbs. Šī nodarbība ir veltīta gravitācijas darba izpētei.

Nelielos attālumos no Zemes virsmas gravitācija ir nemainīga un modulis ir vienāds ar , kur m- ķermeņa masa, g- gravitācijas paātrinājums.

Ļaujiet ķermeņa masai m brīvi krīt no augstuma virs jebkura līmeņa, no kura skaitīšana tiek ņemta līdz augstumam virs tā paša līmeņa (sk. 1. att.).

Rīsi. 1. Ķermeņa brīvais kritiens no augstuma uz augstumu

Šajā gadījumā korpusa pārvietošanās modulis ir vienāds ar starpību starp šiem augstumiem:

Tā kā kustības virziens un gravitācija ir vienādi, gravitācijas darbs ir šāds:

Augstuma vērtību šajā formulā var aprēķināt no jebkura līmeņa (jūras līmeņa, zemē izraktas bedres apakšējā līmeņa, galda virsmas, grīdas virsmas utt.). Jebkurā gadījumā šīs virsmas augstums ir izvēlēts vienāds ar nulli, tāpēc tiek saukts šī augstuma līmenis nulles līmenis.

Ja ķermenis nokrīt no augstuma h līdz nullei, tad gravitācijas veiktais darbs būs:

Ja ķermenis, kas izmests uz augšu no nulles līmeņa, sasniedz augstumu h virs šī līmeņa, tad gravitācijas darbs būs vienāds ar:

Ļaujiet ķermeņa masai m pārvietojas slīpā plaknē h un tajā pašā laikā veic kustību, kuras modulis ir vienāds ar slīpās plaknes garumu (skat. 2. att.).

Rīsi. 2. Ķermeņa kustība pa slīpu plakni

Spēka darbs ir vienāds ar spēka vektora skalāro reizinājumu un ķermeņa nobīdes vektoru, kas izveidots šī spēka iedarbībā, tas ir, gravitācijas darbs šajā gadījumā būs vienāds ar:

kur ir leņķis starp gravitācijas un nobīdes vektoriem.

2. attēlā parādīts, ka pārvietojums () ir taisnleņķa trijstūra hipotenūza un augstums h- katets. Saskaņā ar taisnleņķa trijstūra īpašību:

sekojoši

Mēs esam ieguvuši izteiksmi gravitācijas darbam, kas ir tāda pati kā ķermeņa vertikālās kustības gadījumā. Var secināt, ka, ja ķermeņa trajektorija nav taisna un ķermenis pārvietojas gravitācijas ietekmē, tad gravitācijas darbu nosaka tikai ķermeņa augstuma izmaiņas virs noteikta nulles līmeņa un nav atkarīgs pa ķermeņa trajektoriju.

Rīsi. 3. Ķermeņa kustība pa līknes trajektoriju

Pierādīsim iepriekšējo apgalvojumu. Ļaujiet ķermenim pārvietoties pa kādu līknes trajektoriju (sk. 3. att.). Mēs garīgi sadalām šo trajektoriju vairākās mazās daļās, no kurām katru var uzskatīt par nelielu slīpu plakni. Ķermeņa kustību pa visu trajektoriju var attēlot kā kustību pa slīpu plakņu kopumu. Smaguma spēks katrā no sekcijām būs vienāds ar gravitācijas spēka un šīs sekcijas augstuma reizinājumu. Ja augstuma izmaiņas atsevišķās sekcijās ir vienādas, tad gravitācijas darbs uz tām ir vienāds:

Kopējais darbs visā trajektorijā ir vienāds ar atsevišķu posmu darba summu:

- kopējais augstums, ko ķermenis ir pārvarējis,

Tādējādi gravitācijas darbs nav atkarīgs no ķermeņa trajektorijas un vienmēr ir vienāds ar smaguma spēka un augstuma starpības reizinājumu sākuma un beigu pozīcijās. Q.E.D.

Virzoties uz leju, darbs ir pozitīvs, virzoties uz augšu – negatīvs.

Ļaujiet kādam ķermenim pārvietoties pa slēgtu trajektoriju, tas ir, tas vispirms nolaidās un pēc tam atgriezās sākuma punktā pa kādu citu trajektoriju. Tā kā ķermenis nonāca tajā pašā vietā, kur tas bija sākotnēji, augstuma starpība starp ķermeņa sākotnējo un galīgo stāvokli ir nulle, tāpēc gravitācijas darbs būs nulle. Sekojoši, gravitācijas darbs, ķermenim pārvietojoties pa slēgtu trajektoriju, ir nulle.

Gravitācijas darba formulā mēs izņemam (-1) no iekavas:

No iepriekšējām nodarbībām ir zināms, ka ķermenim pielikto spēku darbs ir vienāds ar starpību starp ķermeņa kinētiskās enerģijas galīgo un sākotnējo vērtību. Iegūtā formula parāda arī saistību starp gravitācijas darbu un atšķirību starp kāda fiziska lieluma vērtībām, kas vienādas ar . Tādu vērtību sauc ķermeņa potenciālā enerģija kas atrodas augstumā h virs kāda nulles līmeņa.

Potenciālās enerģijas izmaiņas ir negatīvas, ja pozitīvu darbu veic gravitācija (to var redzēt no formulas). Ja tiek veikts negatīvs darbs, tad potenciālās enerģijas izmaiņas būs pozitīvas.

Ja ķermenis nokrīt no augstuma h līdz nulles līmenim, tad gravitācijas darbs būs vienāds ar augstumā pacelta ķermeņa potenciālās enerģijas vērtību h.

Ķermeņa potenciālā enerģija, pacelts līdz noteiktam augstumam virs nulles līmeņa, ir vienāds ar darbu, ko veiks gravitācijas spēks, kad dotais ķermenis nokrīt no noteiktā augstuma līdz nulles līmenim.

Atšķirībā no kinētiskās enerģijas, kas ir atkarīga no ķermeņa ātruma, potenciālā enerģija var nebūt nulle pat miera stāvoklī esošiem ķermeņiem.

Rīsi. 4. Ķermenis zem nulles līmeņa

Ja ķermenis atrodas zem nulles līmeņa, tad tam ir negatīva potenciālā enerģija (skat. 4. att.). Tas ir, potenciālās enerģijas zīme un modulis ir atkarīgi no nulles līmeņa izvēles. Darbs, kas tiek veikts, pārvietojot ķermeni, nav atkarīgs no nulles līmeņa izvēles.

Termins "potenciālā enerģija" attiecas tikai uz ķermeņu sistēmu. Visā iepriekš minētajā argumentācijā šī sistēma bija "Zeme - ķermenis, kas pacelts virs Zemes".

Homogēns taisnstūra paralēlskaldnis ar masu m ar ribām ir novietoti uz horizontālas plaknes katrā no trim pusēm pēc kārtas. Kāda ir paralēlskaldņa potenciālā enerģija katrā no šīm pozīcijām?

Ņemot vērā:m- paralēlskaldņa masa; - paralēlskaldņa malu garums.

Atrast:; ;

Risinājums

Ja nepieciešams noteikt galīgo izmēru ķermeņa potenciālo enerģiju, tad varam pieņemt, ka visa šāda ķermeņa masa ir koncentrēta vienā punktā, ko sauc par šī ķermeņa masas centru.

Simetrisku ģeometrisku ķermeņu gadījumā masas centrs sakrīt ar ģeometrisko centru, tas ir (šajā uzdevumā) ar paralēlskaldņa diagonāļu krustošanās punktu. Tādējādi ir jāaprēķina augstums, kādā šis punkts atrodas dažādās paralēlskaldņa vietās (skat. 5. att.).

Rīsi. 5. Problēmas ilustrācija

Lai atrastu potenciālo enerģiju, iegūtās augstuma vērtības jāreizina ar paralēlskaldņa masu un brīvā kritiena paātrinājumu.

Atbilde:; ;

Šajā nodarbībā mēs uzzinājām, kā aprēķināt gravitācijas darbu. Tajā pašā laikā mēs redzējām, ka neatkarīgi no ķermeņa trajektorijas gravitācijas darbu nosaka ķermeņa sākotnējās un beigu pozīcijas augstuma starpība virs kāda nulles līmeņa. Mēs arī iepazīstinājām ar potenciālās enerģijas jēdzienu un parādījām, ka gravitācijas darbs ir vienāds ar ķermeņa potenciālās enerģijas izmaiņām, kas ņemtas ar pretēju zīmi. Kādi darbi jāveic, lai pārvietotu miltu maisu, kas sver 2 kg, no plaukta, kas atrodas 0,5 m augstumā attiecībā pret grīdu, uz galdu, kas atrodas 0,75 m augstumā attiecībā pret grīdu? Kāda ir uz plaukta guļoša miltu maisa potenciālā enerģija un tā potenciālā enerģija, kad tas atrodas uz galda, attiecībā pret grīdu?

Gravitācijas darbs. Problēmu risināšana

Nodarbības mērķis: noteikt gravitācijas darba formulu; nosaka, ka gravitācijas darbs nav atkarīgs no ķermeņa trajektorijas; attīstīt praktiskās problēmu risināšanas prasmes.

Nodarbību laikā.

1. Organizatoriskais moments. Skolēnu sasveicināšanās, neesošo pārbaude, stundas mērķa noteikšana.

2. Mājas darbu pārbaude.

3. Jauna materiāla apguve. Iepriekšējā nodarbībā mēs definējām formulu darba noteikšanai. Kāda ir nemainīga spēka veiktā darba formula? (A=FScosα)

Kas ir A unS?

Tagad izmantosim šo gravitācijas formulu. Bet vispirms atcerēsimies, kas ir gravitācijas spēks? (F= mg)

Aplūkosim gadījumu a) ķermenis krīt vertikāli uz leju. Kā jūs un es zinām, gravitācija vienmēr ir vērsta tieši uz leju. Lai noteiktu virzienuSatcerieties definīciju. (Nobīde ir vektors, kas savieno sākuma un beigu punktu. Tas ir vērsts no sākuma līdz beigām)

Tas. lai noteiktu, Tā kā kustības virziens un gravitācijas spēks ir vienādi, tadα =0 un gravitācijas spēks ir šāds:

Apsveriet gadījumu b) ķermenis virzās vertikāli uz augšu. Jo gravitācijas virziens un pārvietojums ir pretējiα =0 un gravitācijas veiktais darbs ir .

Tas. Tādējādi, ja salīdzināsit divas formulas modulo, tās būs vienādas.

Aplūkosim gadījumu c) ķermenis pārvietojas pa slīpu plakni. Spēka darbs ir vienāds ar spēka vektora skalāro reizinājumu un ķermeņa nobīdes vektoru, kas izveidots šī spēka iedarbībā, tas ir, gravitācijas darbs šajā gadījumā būs vienāds ar, kur ir leņķis starp gravitācijas un nobīdes vektoriem. Attēlā redzams, ka pārvietojums () ir taisnleņķa trijstūra hipotenūza un augstumsh- katets. Saskaņā ar taisnleņķa trijstūra īpašību:

.Sekojoši

Tas. kādu secinājumu var izdarīt?(ka gravitācijas darbs nav atkarīgs no kustības trajektorijas.)

Apsveriet pēdējo piemēru, kad trajektorija kustība būs slēgta līnija. Kurš pateiks, kam darbs būs līdzvērtīgs un kāpēc? (A=0, jo pārvietojums ir 0)

Piezīme!: gravitācijas darbs, ķermenim pārvietojoties pa slēgtu trajektoriju, ir nulle.

4. Materiāla nostiprināšana.

1. uzdevums. Mednieks šauj no klints 40° leņķī pret horizontu. Lodes krišanas laikā gravitācijas darbs bija 5 J. Ja lode iekļuva zemē 250 m attālumā no klints, tad kāda ir tās masa?

2. uzdevums. Atrodoties Neptūnā, ķermenis pārvietojās, kā parādīts attēlā. Ar šo pārvietojumu gravitācijas darbs bija 840 J. Ja šī ķermeņa masa ir 5 kg, tad kāds ir brīvā kritiena paātrinājums uz Neptūna?

5. Mājas darbs.