Etiķete: trigonometriskā Furjē sērija. Paaugstinātas sarežģītības skaitliskās rindas Sērijas ar apgrieztu trigonometriju
Trigonometriskās sērijas Definīcija. Funkciju /(x), kas definēta neierobežotā kopā D, sauc par periodisku, ja pastāv tāds skaitlis T ↦ 0, ka nosacījums ir izpildīts katram x.€ D. Mazāko no šiem skaitļiem T sauc par funkcijas f(x) periodu. 1. piemērs. Intervālā definēta funkcija ir periodiska, jo ir tāds skaitlis T = 2* f O, ka nosacījums ir izpildīts visiem x. Tādējādi sin x funkcijai ir periods T = 2x. Tas pats attiecas uz funkciju 2. piemērs. Funkcija, kas definēta uz skaitļu kopas D, ir periodiska, jo ir skaitlis T f 0, proti, T = tāds, ka x 6 D mums ir Definīcija. Formas funkcionālās rindas ao FURJĀ SĒRIJA Trigonometriskā rinda Trigonometriskās sistēmas ortogonometriskā sistēma Trigonometriskā Furjē rinda ). Trigonometriskās rindas (1) daļējās summas Sp(x) ir lineāras funkciju kombinācijas no funkciju sistēmas, ko sauc par trigonometrisko sistēmu. Tā kā šīs rindas dalībnieki ir periodiskas funkcijas ar periodu 2n-, tad rindas (I) konverģences gadījumā tās summa S(x) būs periodiska funkcija ar periodu T = 2m: Definīcija. Periodiskas funkcijas f(x) ar periodu T = 2n izvēršana trigonometriskā virknē (1) nozīmē atrast konverģentu trigonometrisku rindu, kuras summa ir vienāda ar funkciju /(x). . Trigonometriskās sistēmas ortogonalitāte Definīcija. Funkcijas f(x) un g(x), kas ir nepārtrauktas segmentā [a, 6], tiek sauktas par ortogonālām šajā segmentā, ja nosacījums ir izpildīts. Piemēram, funkcijas ir ortogonālas segmentā [-1,1], kopš definīcijas. Galīgu vai bezgalīgu funkciju sistēmu, kas integrējama intervālā [a, b], sauc par ortogonālu sistēmu intervālā [a, 6), ja tādiem skaitļiem, ka Vispār mums ir p Ф О Izmantojot labi zināmās trigonometrijas formulas jebkuram naturālam m un n, m Ф n, mēs atrodam: Visbeidzot, izmantojot jebkura vesela skaitļa tipa formulu, mēs iegūstam trigonometrisko Furjē rindu. 2. Ļaujiet vienādībai spēkā visas x vērtības un rindas vienādības labajā pusē vienmērīgi saplūst intervālā [-zr, x]. Tad formulas ir derīgas.Vienmērīga rindas (1) konverģence nozīmē nepārtrauktību un līdz ar to funkcijas f(x) integrējamību. Tāpēc vienādībām (2) ir jēga. Turklāt sēriju (1) var integrēt pēc termina. Mums ir no kurienes un seko pirmā formula (2), ja n = 0. Tagad mēs reizinām abas vienādības (1) daļas ar funkciju cos mi, kur m ir patvaļīgs naturāls skaitlis: Sērija (3), tāpat kā sērija (1) ), saplūst vienmērīgi. Tāpēc to var integrēt pa terminam Visi labās puses integrāļi, izņemot vienu, kas iegūts pie n = m, trigonometriskās sistēmas ortogonalitātes dēļ ir vienādi ar nulli. Tāpēc, līdzīgi reizinot abas vienādības (1) puses ar sinmx un integrējot no -r uz m, mēs iegūstam Tas, vai to var attēlot kā dažu konverģentu trigonometrisko rindu summu, nav iepriekš zināms. Tomēr, lai aprēķinātu konstantes an un bn, var izmantot formulas (2). Definīcija. Trigonometriskās rindas, kuru koeficientus oq, an, bn nosaka ar funkciju f(x) ar formulām FURJĀ SĒRIJA Trigonometriskā rinda Trigonometriskās sistēmas ortogonalitāte Trigonometriskā Furjē rinda Pietiekamus nosacījumus funkcijas izvēršanai Furjē rindā sauc par trigonometrisko Furjē funkcijas f(x) rindas un ar šīm formulām noteiktos koeficientus a„ , bnt sauc par funkcijas /(x) Furjē koeficientiem. Katru funkciju f(x), kas integrējama intervālā [-m, -k], var saistīt ar tās Furjē sēriju, t.i. trigonometriskās rindas, kuru koeficientus nosaka ar (2) formulām. Taču, ja no funkcijas f(x) nekas netiek prasīts, izņemot integrējamību intervālā [--n*, r], tad atbilstības zīmi pēdējā attiecībā, vispārīgi runājot, nevar aizstāt ar vienādības zīmi. komentēt. Bieži vien ir nepieciešams izvērst funkciju f(x) trigonometriskā virknē, kas ir definēta tikai segmentā (-*, n\ un tāpēc nav periodiska. funkcijas var rakstīt arī trigonometriskā Furjē sērijā. Taču, ja mēs periodiski turpinām funkciju f (x) uz visas ass Ox, tad iegūstam funkciju F (x), periodisku ar periodu 2n, kas sakrīt ar / (x) intervālā (-ir, k): Šī funkcija F(x) sauc par f(x) periodisko izplešanos, un funkcijai F(x) nav unikālas definīcijas punktos x = ±n, ±3r, ±5r, .... Sērija Furjē virkne funkcijai F(x) ir identiska Furjē rindai funkcijai f(x) Turklāt, ja Furjē rinda funkcijai f(x) tai konverģē, tad tās summa, būdama periodiska funkcija, dod funkcijas f(x) periodisks turpinājums no segmenta |-jt, n\ uz visu asi Ox. Šajā ziņā runāt par Furjē sēriju funkcijai f(x), kas definēta segmentā (-i-, jt|), ir līdzvērtīga runāšanai par Furjē sēriju funkcijai F(x), kas ir periodisks turpinājums funkcija f(x) uz veselumu 4. Pietiekami nosacījumi funkcijas izvēršanai Furjē rindā Mēs piedāvājam pietiekamu Furjē rindas konverģences kritēriju, t.i., Furjē rindas konverģē, un noskaidrosim, kā Šīs rindas summa darbojas šajā gadījumā. Ir svarīgi uzsvērt, ka, lai gan tālāk norādītā pa daļām monotonu funkciju klase ir diezgan plaša, funkcijas, kurām Furjē rinda konverģē, tajā nav izsmeltas. Definīcija. Funkcija f( x) tiek saukts par gabalos monotonu segmentā [a, 6], ja šo nogriezni var sadalīt ar ierobežotu punktu skaitu intervālos, uz kuriem f(x) ir monotons, t.i., vai nu nesamazinās, vai nepalielinās (sk. att. .. viens). 1. piemērs. Funkcija ir pa daļām monotoniska uz intervāla (-oo, oo), jo šo intervālu var sadalīt divos intervālos (-syu, 0) un (0, + oo), no kuriem pirmajā tas samazinās (un tātad nepalielinās), bet otrajā palielinās (un tāpēc nesamazinās). 2. piemērs. Funkcija ir pa daļām monotoniska segmentā [-zg, jt|, jo šo segmentu var sadalīt divos intervālos, no kuriem pirmajā cos i palielinās no -I līdz +1, bet otrajā tas samazinās no. Teorēma 3. Funkcijai f(x), kas ir pa daļām monotona un ir ierobežota uz nogriežņa (a, b]), var būt tikai pirmā veida pārtraukuma punkti. ) Tad, pateicoties robežfunkcijai f(x) un monotonitātei, punkta c abās pusēs ir noteiktas vienpusējas robežas. Tas nozīmē, ka punkts c ir pirmā veida pārtraukuma punkts (2. att.). ir ierobežota ar nogriezni [-m, m), tad tās Furjē rinda saplūst katrā šī segmenta punktā x, un šīs rindas summa apmierina vienādības: Perioda 2jt funkcija /(z), kas intervālā (-*,*) definēta ar vienādību (3. att.), apmierina teorēmas nosacījumus. Tāpēc to var paplašināt Furjē sērijā. Mēs atrodam Furjē koeficientus: Furjē sērijas šai funkcijai ir 4. piemērs. Izvērsiet funkciju Furjē sērijā (4. att.) uz intervāla Šī funkcija atbilst teorēmas nosacījumiem. Atradīsim Furjē koeficientus. Izmantojot noteikta integrāļa aditivitātes īpašību, mēs iegūsim FURJĀ SĒRIJA Trigonometriskā rinda Trigonometriskās sistēmas ortogonalitāte Trigonometriskā Furjē rinda Pietiekami nosacījumi funkcijas izvēršanai Furjē sērijā Tāpēc Furjē sērijai ir šāda forma: segments (-i, ir], t.i., i., punktos x = -x un x = x, kas ir pirmā veida pārtraukuma punkti, mums būs piezīme. Ja atrastajā Furjē rindā ievietojam x = 0, tad mēs iegūstam no kurienes
Parādīsim, ka gandrīz jebkuru periodisko funkciju var attēlot kā virkni, kuras locekļi ir vienkāršas harmonikas, izmantojot tā sauktās trigonometriskās rindas.
Definīcija. Trigonometriskā sērija ir formas funkcionāla sērija
kur ir īstie skaitļi a 0 , a n , b n sauc par sērijas koeficientiem.
Sērijas brīvais termins ir ierakstīts vēlāk iegūto formulu vienveidības formā.
Ir jāatrisina divi jautājumi:
1) Kādos apstākļos šī funkcija darbojas f(x) ar periodu 2π var izvērst virknē (5.2.1)?
2) Kā aprēķināt izredzes a 0 ,… a n , b n ?
Sāksim ar otro jautājumu. Ļaujiet funkcijai f(x) ir nepārtraukts intervālā, un tam ir periods T=2π. Tālāk mēs piedāvājam formulas, kas mums būs vajadzīgas.
Jebkuram veselam skaitlim , jo funkcija ir pāra.
Jebkuram veselumam.
(m un n veseli skaitļi)
Pie ( m un n veseli skaitļi) katrs no integrāļiem (III, IV, V) tiek pārveidots par integrāļu (I) vai (II) summu. Ja , tad formulā (IV) iegūstam:
Vienlīdzība (V) tiek pierādīta līdzīgi.
Tagad pieņemsim, ka funkcija izrādījās tāda, ka tai tika atrasts izvērsums par konverģentu Furjē sēriju, tas ir,
(Ņemiet vērā, ka summēšana pārsniedz indeksu n).
Ja rinda saplūst, tad apzīmē tās summu S(x).
Termiskā integrācija (likumīga, ņemot vērā pieņēmumu par rindu konverģenci) diapazonā no līdz dod
jo visi termini, izņemot pirmo, ir vienādi ar nulli (relācijas I, II). No šejienes mēs atrodam
Reizinot (5.2.2) ar ( m=1,2,…) un integrējot terminu pa vārdam diapazonā no līdz , atrodam koeficientu a n.
Vienādības labajā pusē visi termini ir vienādi ar nulli, izņemot vienu m=n(attiecības IV, V), Tādējādi mēs iegūstam
Reizinot (5.2.2) ar ( m\u003d 1,2, ...) un integrējot pa vārdam diapazonā no līdz , mēs līdzīgi atrodam koeficientu b n
Vērtības, kas noteiktas ar formulām (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5), sauc par Furjē koeficientiem, un trigonometriskā rinda (5.2.2) ir Furjē rinda noteiktai funkcijai. f(x).
Tātad, mēs saņēmām funkcijas sadalīšanos f(x) Furjē sērijā
Atgriezīsimies pie pirmā jautājuma un noskaidrosim, kādām īpašībām vajadzētu būt funkcijai f(x), lai konstruētā Furjē rinda būtu konverģenta un rindas summa būtu tieši vienāda ar f(x).
Definīcija. Funkciju f(x) sauc par nepārtrauktu, ja tas ir nepārtraukts vai tam ir ierobežots skaits pirmā veida pārtraukuma punktu.
Definīcija. Funkcija f(x), kas dots uz segmentu sauc pa daļām monotoni, ja segmentu var sadalīt ar punktiem ierobežotā skaitā intervālu, kuros katrā funkcija monotoni mainās (palielinās vai samazinās).
Mēs apsvērsim funkcijas f(x), kam ir mēnešreizes T=2π. Šādas funkcijas sauc 2π- periodisks.
Formulēsim teorēmu, kas atspoguļo pietiekamu nosacījumu funkcijas izvēršanai Furjē rindā.
Dirihleta teorēma(pieņemt bez pierādījumiem) . Ja 2π- periodiska funkcija f(x) segmentā ir pa daļām nepārtraukts un pa daļām monotons, tad funkcijai atbilstošā Furjē rinda saplūst šajā segmentā un šajā gadījumā:
1. Funkcijas nepārtrauktības punktos virknes summa sakrīt ar pašu funkciju S(x)=f(x);
2. Katrā punktā x 0 funkciju pārtraukums f(x) sērijas summa ir ,
tie. funkcijas robežu vidējais aritmētiskais pa kreisi un pa labi no punkta x 0 ;
3. Punktos (nozares galos) Furjē rindas summa ir ,
tie. funkcijas robežvērtību vidējais aritmētiskais segmenta galos, kad arguments tiecas uz šiem punktiem no intervāla iekšpuses.
Piezīme: ja funkcija f(x) ar periodu 2π ir nepārtraukta un diferencējama visā intervālā un tās vērtības intervāla galos ir vienādas, t.i., periodiskuma dēļ šī funkcija ir nepārtraukta pa visu reālo asi un jebkurai X tās Furjē rindas summa ir tāda pati kā f(x).
Tādējādi, ja funkcija ir integrējama intervālā f(x) apmierina Dirihlē teorēmas nosacījumus, tad vienādība notiek intervālā (paplašināšana Furjē rindā):
Koeficientus aprēķina pēc formulām (5.2.3) - (5.2.5).
Dirihleta nosacījumus izpilda lielākā daļa funkciju, kas sastopamas matemātikā un tās lietojumos.
Furjē rindas, tāpat kā pakāpju rindas, tiek izmantotas funkciju vērtību aptuvenai aprēķināšanai. Ja funkcijas paplašināšana f(x) trigonometriskā sērijā notiek, tad vienmēr var izmantot aptuveno vienādību , aizstājot šo funkciju ar vairāku harmoniku summu, t.i. daļēja summa (2 n+1) Furjē sērijas termiņš.
Trigonometriskās sērijas tiek plaši izmantotas elektrotehnikā, ar to palīdzību tās atrisina daudzas matemātiskās fizikas problēmas.
Furjē rindā izvērsiet funkciju ar periodu 2π, kas norādīta intervālā (-π; π).
Lēmums. Atrodiet Furjē sērijas koeficientus:
Mēs saņēmām funkcijas paplašināšanu Furjē sērijā
Nepārtrauktības punktos Furjē rindas summa ir vienāda ar funkcijas vērtību f(x)=S(x), punktā x=0 S(x)=1/2, punktos x=π,2π,… S(x)=1/2.
Vairākos gadījumos, pētot formas (C) rindu koeficientus vai var konstatēt, ka šīs rindas saplūst (varbūt izņemot atsevišķus punktus) un to summām ir Furjē rindas (skat., piemēram, iepriekšējo nr. ), taču visos šajos gadījumos dabiski rodas jautājums
kā atrast šo sēriju summas vai, precīzāk, kā tās izteikt galīgajā formā elementārfunkciju izteiksmē, ja tās vispār tiek izteiktas šādā formā. Pat Eilers (un arī Lagranžs) veiksmīgi izmantoja kompleksa mainīgā analītiskās funkcijas, lai summētu trigonometriskās rindas galīgajā formā. Eilera metodes ideja ir šāda.
Pieņemsim, ka noteiktai koeficientu kopai rinda (C) un saplūst ar funkcijām visā intervālā, izslēdzot tikai atsevišķus punktus. Apsveriet tagad pakāpju virkni ar vienādiem koeficientiem, kas sakārtoti kompleksa mainīgā pakāpēs
Uz vienības apļa apkārtmēra, t.i., pie , šī sērija saplūst ar pieņēmumu, izslēdzot atsevišķus punktus:
Šajā gadījumā, saskaņā ar labi zināmo pakāpju rindu īpašību, sērija (5) noteikti konverģē pie ti vienības apļa iekšpusē, definējot tur noteiktu kompleksa mainīgā funkciju. Izmantojot mums zināmos [skat. XII nodaļas 5.§] kompleksa mainīgā elementāro funkciju paplašināšanu, bieži vien ir iespējams funkciju reducēt uz tām.Tad mums ir:
un pēc Ābela teorēmas, tiklīdz sērija (6) saplūst, tās summu iegūst kā robežu
Parasti šī robeža ir vienkārši vienāda ar to, kas ļauj aprēķināt funkciju galīgajā formā
Ļaujiet, piemēram, sērijas
Iepriekšējā rindkopā pierādītie apgalvojumi liek secināt, ka abas šīs rindas saplūst (pirmā, izslēdzot punktus 0 un
kalpo kā Furjē rinda definētajām funkcijām. Bet kas ir šīs funkcijas? Lai atbildētu uz šo jautājumu, mēs veidojam sēriju
Pēc līdzības ar logaritmisko sēriju tās summu var viegli noteikt:
tātad,
Tagad vienkāršs aprēķins sniedz:
tātad šīs izteiksmes modulis ir , un arguments ir .
un līdz ar to visbeidzot
Šie rezultāti mums ir pazīstami un pat kādreiz tika iegūti ar "sarežģītu" apsvērumu palīdzību; bet pirmajā gadījumā mēs sākām no funkcijām un, bet otrajā - no analītiskās funkcijas.Šeit pirmo reizi par sākumpunktu kalpoja pašas sērijas. Papildu šāda veida piemērus lasītājs atradīs nākamajā sadaļā.
Vēlreiz uzsveram, ka ir jābūt pārliecinātiem jau iepriekš par konverģenci un sēriju (C) un lai būtu tiesības noteikt to summas, izmantojot ierobežojošo vienādību (7). Tas vien, ka ir robeža šīs vienādības labajā pusē, vēl neļauj secināt, ka minētās rindas saplūst. Lai to parādītu ar piemēru, apsveriet sēriju
Ar vairāku loku kosinusiem un sinusiem, t.i., formas virkni
vai sarežģītā formā
kur a k,b k vai attiecīgi c k sauca koeficienti T. r.
Pirmo reizi T. r. tikties pie L. Eilera (L. Euler, 1744). Viņš ieguva paplašinājumus
Visi R. 18. gadsimts Saistībā ar stīgas brīvās vibrācijas problēmas izpēti radās jautājums par iespēju stīgas sākotnējo stāvokli raksturojošo funkciju attēlot kā T. r summu. Šis jautājums izraisīja asas debates, kas ilga vairākus gadu desmitus, tā laika labākie analītiķi - D. Bernulli, J. D. Alemberts, Dž. Lagrenžs, L. Eilers ( L. Eilers). Strīdi, kas saistīti ar funkcijas jēdziena saturu. Tajā laikā funkcijas parasti bija saistītas ar to analīzi. uzdevums, kā rezultātā tika apsvērtas tikai analītiskās vai pa daļām analītiskās funkcijas. Un šeit kļuva nepieciešams funkcijai, kuras grafiks ir pietiekami patvaļīgs, lai izveidotu T. r., kas attēlo šo funkciju. Taču šo strīdu nozīme ir lielāka. Faktiski tie apsprieda vai radās saistībā ar jautājumiem, kas saistīti ar daudziem būtiski svarīgiem matemātikas jēdzieniem un idejām. analīze kopumā - funkciju attēlošana pēc Teilora sērijas un analītiskā. funkciju turpinājums, diverģentu rindu izmantošana, robežas, bezgalīgas vienādojumu sistēmas, funkcijas pēc polinomiem u.c.
Un turpmāk, tāpat kā šajā sākotnējā, teorija par T. r. kalpoja par jaunu ideju avotu matemātikā. Furjē integrālis, gandrīz periodiskas funkcijas, vispārīgas ortogonālas rindas, abstrakts . Pētījumi par T. upi. kalpoja par sākumpunktu kopu teorijas radīšanai. T. r. ir spēcīgs rīks funkciju attēlošanai un izpētei.
Jautājumu, kas izraisīja domstarpības matemātiķu vidū 18. gadsimtā, 1807. gadā atrisināja Dž. Furjē, norādot formulas T. r. koeficientu aprēķināšanai. (1), kam jābūt. attēlo uz funkciju f(x):
un pielietoja tos siltuma vadīšanas problēmu risināšanā. Formulas (2) sauc par Furjē formulām, lai gan ar tām agrāk saskārās A. Klēro (1754), un L. Eilers (1777) nonāca pie tām, izmantojot terminu integrāciju. T. r. (1), kuru koeficientus nosaka ar formulām (2), saukta. netālu no Furjē funkcijas f un skaitļiem a k , b k- Furjē koeficienti.
Iegūto rezultātu raksturs ir atkarīgs no tā, kā funkcijas attēlojums tiek saprasts kā sērija, kā tiek saprasts integrālis formulās (2). Mūsdienu teorija par T. upi. iegūta pēc Lēbesga integrāļa parādīšanās.
Teorija par T. r. nosacīti var iedalīt divās lielās sadaļās – teorijā Furjē sērija, kurā pieņemts, ka rinda (1) ir noteiktas funkcijas Furjē rinda, un vispārīgā T. R. teorija, kur šāds pieņēmums nav izdarīts. Zemāk ir galvenie rezultāti, kas iegūti vispārējā T. r. teorijā. (šajā gadījumā kopas un funkciju izmērāmība tiek saprasta saskaņā ar Lebesgue).
Pirmā sistemātiskā pētījums T. r., kurā netika pieņemts, ka šīs sērijas ir Furjē rindas, bija V. Rīmaņa disertācija (V. Riemann, 1853). Tāpēc teorija par vispārējo T. r. sauca dažreiz Rīmaņa termodinamikas teorija.
Izpētīt patvaļīgas T. r. īpašības. (1) ar koeficientiem, kas sliecas uz nulli B. Rīmans uzskatīja nepārtraukto funkciju F(x) ,
kas ir vienmērīgi konverģentas rindas summa
iegūti pēc divkāršas sērijas (1) integrācijas pa termiņam. Ja rinda (1) kādā punktā x saplūst ar skaitli s, tad šajā punktā pastāv otrā simetrija un ir vienāda ar s. F funkcijas:
tad tas noved pie faktoru ģenerētās sērijas (1) summēšanas 
sauca ar Rīmaņa summēšanas metodi. Izmantojot funkciju F, tiek formulēts Rīmaņa lokalizācijas princips, saskaņā ar kuru sērijas (1) uzvedība punktā x ir atkarīga tikai no funkcijas F uzvedības patvaļīgi mazā šī punkta apkārtnē.
Ja T. r. saplūst uz pozitīvu mēru kopu, tad tā koeficientiem ir tendence uz nulli (Kantors-Lēbesgs). Tendence uz nulles koeficientiem T. r. izriet arī no tās konverģences otrās kategorijas kopai (W. Young, W. Young, 1909).
Viena no galvenajām vispārējās termodinamikas teorijas problēmām ir patvaļīgas funkcijas attēlošanas problēma T. r. Nostiprinot N. N. Lūzina (1915) rezultātus par T. R. funkciju attēlošanu ar Ābela Puasona un Rīmaņa summējamām metodēm, D. E. Menšovs pierādīja (1940) šādu teorēmu, kas attiecas uz svarīgāko gadījumu, kad tiek attēlota funkcija f. tiek saprasts kā T. r. uz f(x) gandrīz visur. Katrai gandrīz visur izmērāmai un ierobežotai funkcijai f pastāv T. R., kas tai saplūst gandrīz visur (Menšova teorēma). Jāatzīmē, ka pat tad, ja f ir integrējams, tad, vispārīgi runājot, funkcijas f Furjē rindas nevar uzskatīt par tādu sēriju, jo ir Furjē rindas, kas visur atšķiras.
Iepriekš minētā Menšova teorēma pieļauj šādu precizējumu: ja funkcija f ir izmērāma un ierobežota gandrīz visur, tad pastāv tāda, 
gandrīz visur un funkcijas j pa termiņam diferencētā Furjē rinda gandrīz visur saplūst ar f(x) (N. K. Bari, 1952).
Nav zināms (1984), vai gandrīz visur Menšova teorēmā ir iespējams izlaist funkcijas f ierobežotības nosacījumu. Jo īpaši nav zināms (1984), vai T. r. saplūst gandrīz visur
Tāpēc problēma, kas saistīta ar funkciju attēlošanu, kas var iegūt bezgalīgas vērtības uz pozitīvu mēru kopu, tika apsvērta gadījumā, ja to aizstāj ar vājāku prasību - . Mēru konverģence ar funkcijām, kas var iegūt bezgalīgas vērtības, tiek definēta šādi: daļējas summas T. p. s n(x) mērogā konverģē uz funkciju f(x) .
ja kur f n(x) gandrīz visur saplūst ar / (x), un secība mērogā saplūst līdz nullei. Šajā iestatījumā funkciju attēlojuma problēma ir atrisināta līdz galam: katrai izmērāmai funkcijai pastāv T. R., kas tai saplūst mērā (D. E. Men'shov, 1948).
T. r. unikalitātes problēmai ir veltīts daudz pētījumu: vai divi dažādi T. var atšķirties vienai un tai pašai funkcijai? citā formulējumā: ja T. r. konverģē uz nulli, vai no tā izriet, ka visi sērijas koeficienti ir vienādi ar nulli. Šeit var domāt konverģenci visos punktos vai visos punktos ārpus noteiktas kopas. Atbilde uz šiem jautājumiem būtībā ir atkarīga no kopas īpašībām, ārpus kurām konverģence netiek pieņemta.
Ir izveidota šāda terminoloģija. Daudzi vārdi. unikalitātes komplekts vai U- noteikt, ja, no konverģences T. r. līdz nullei visur, izņemot, iespējams, kopas punktus E, no tā izriet, ka visi šīs sērijas koeficienti ir vienādi ar nulli. Citādi Enaz. M-komplekts.
Kā parādīja G. Kantors (1872), tāpat kā jebkuras galīgas ir U-kopas. Patvaļīga ir arī U veida kopa (W. Jung, 1909). No otras puses, katra pozitīvā mēra kopa ir M kopa.
M mēru kopu esamību konstatēja D. E. Menšovs (1916), kurš izveidoja pirmo ideālas kopas piemēru ar šīm īpašībām. Šim rezultātam ir fundamentāla nozīme unikalitātes problēmā. No nulles mēru M kopu esamības izriet, ka T. R. funkciju attēlojumā, kas saplūst gandrīz visur, šīs rindas ir definētas vienmēr neviennozīmīgi.
Perfekti komplekti var būt arī U veida komplekti (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Ļoti smalkām nulles mērvienību kopu īpašībām ir būtiska loma unikalitātes problēmā. Vispārējs jautājums par nulles mēru kopu klasifikāciju M- un U-sets paliek atvērts (1984). Tas nav atrisināts pat perfektiem komplektiem.
Sekojošā problēma ir saistīta ar unikalitātes problēmu. Ja T. r. saplūst ar funkciju 
tad vai šai sērijai ir jābūt funkcijas / Furjē sērijai. P. Dibuā-Reimonds (P. Du Bois-Reymond, 1877) uz šo jautājumu sniedza pozitīvu atbildi, ja f ir integrējams Rīmaņa izpratnē un virkne visos punktos konverģē uz f(x). No rezultātiem III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) norāda, ka atbilde ir pozitīva, pat ja rinda saplūst visur, izņemot saskaitāmu punktu kopu un to summa ir ierobežota.
Ja T. p saplūst absolūti kādā punktā x 0, tad šīs rindas konverģences punkti, kā arī tās absolūtās konverģences punkti atrodas simetriski attiecībā pret punktu x 0
(P. Fatū, P. Fatū, 1906).
Saskaņā ar Denjoy - Luzina teorēma no absolūtās konverģences T. r. (1) uz pozitīvo mērījumu kopas rindas konverģē 
un līdz ar to (1) sērijas absolūtā konverģence visiem X.Šis īpašums piemīt arī otrās kategorijas kopām, kā arī noteiktām nulles mēru kopām.
Šī aptauja aptver tikai viendimensiju T. r. (viens). Ir atsevišķi rezultāti, kas saistīti ar vispārīgo T. lpp. no vairākiem mainīgajiem. Šeit daudzos gadījumos joprojām ir jāatrod dabiski problēmas formulējumi.
Lit.: Bari N. K., Trigonometric series, M., 1961; Zigmunds A., Trigonometriskā rinda, tulk. no angļu val., 1.-2.sēj., M., 1965; Luzin N. N., Integrālā un trigonometriskā sērija, M.-L., 1951; Rīmanis B., Darbi, tulk. no vācu val., M.-L., 1948, lpp. 225-61.
S. A. Teļakovskis.
Matemātiskā enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. I. M. Vinogradovs. 1977-1985.
Atgādinām, ka reālajā analīzē trigonometriskā sērija ir virkne vairāku loku kosinusos un sinusos, t.i. veidlapas rinda
Mazliet vēstures. Šādu sēriju teorijas sākotnējais periods tiek attiecināts uz 18. gadsimta vidu saistībā ar stīgu vibrāciju problēmu, kad vēlamā funkcija tika meklēta kā rindu summa (14.1). Jautājums par šāda attēlojuma iespējamību izraisīja asas diskusijas matemātiķu vidū, kas ilga vairākus gadu desmitus. Strīdi, kas saistīti ar funkcijas jēdziena saturu. Tolaik funkcijas parasti saistīja ar to analītisko piešķiršanu, taču šeit radās nepieciešamība attēlot funkciju blakus (14.1), kuras grafiks ir diezgan patvaļīga līkne. Taču šo strīdu nozīme ir lielāka. Patiesībā viņi izvirzīja jautājumus, kas saistīti ar daudzām fundamentāli svarīgām matemātiskās analīzes idejām.
Un nākotnē, tāpat kā šajā sākotnējā periodā, trigonometrisko sēriju teorija kalpoja par jaunu ideju avotu. Tieši ar tiem, piemēram, radās kopu teorija un reāla mainīgā funkciju teorija.
Šajā noslēguma nodaļā mēs apskatīsim materiālu, kas atkal savieno reālu un sarežģītu analīzi, bet ir maz atspoguļots TFCT mācību grāmatās. Analīzes gaitā viņi balstījās uz iepriekš noteiktu funkciju un paplašināja to trigonometriskā Furjē sērijā. Šeit mēs aplūkojam apgriezto problēmu: noteiktai trigonometriskajai rindai nosakiet tās konverģenci un summu. Šim nolūkam Eilers un Lagranžs veiksmīgi izmantoja analītiskās funkcijas. Acīmredzot Eilers pirmo reizi (1744) ieguva vienādības
Tālāk mēs sekojam Eilera pēdām, aprobežojoties tikai ar īpašiem sēriju gadījumiem (14.1), proti, trigonometriskām sērijām.
komentēt. Būtībā tiks izmantots šāds fakts: ja pozitīvo koeficientu secība a p monotoni tiecas uz nulli, tad šīs rindas vienmērīgi saplūst jebkurā slēgtā intervālā, kurā nav formas punktu 2lx (uz gZ). Jo īpaši intervālā (0,2n -) būs punktu konverģence. Par to skatīt darbā, 429.-430.lpp.
Eilera ideja par sēriju (14.4), (14.5) summēšanu ir tāda, ka, izmantojot aizstāšanu z = e a doties uz jaudas sēriju
Ja vienības apļa iekšpusē tās summu var skaidri atrast, tad problēma parasti tiek atrisināta, atdalot no tā reālo un iedomāto daļu. Uzsveram, ka, izmantojot Eilera metodi, jāpārbauda rindu (14.4), (14.5) konverģence.
Apskatīsim dažus piemērus. Daudzos gadījumos ģeometriskā sērija būs noderīga
kā arī sērijas, kas iegūtas no tā, diferencējot vai integrējot pa terminiem. Piemēram,
Piemērs 14.1. Atrodiet sērijas summu
Lēmums. Mēs ieviešam līdzīgu sēriju ar kosinusiem
Abas sērijas saplūst visur, kopš ģeometriskā sērija 1+ r + r 2+.... Pieņemot z = e"x, saņemam
Šeit frakcija tiek samazināta līdz formai
kur mēs saņemam atbildi uz problēmas jautājumu:
Pa ceļam mēs izveidojām vienlīdzību (14.2): Piemērs 14.2. Summē rindas
Lēmums. Saskaņā ar iepriekš minēto piezīmi abas rindas saplūst norādītajā intervālā un kalpo kā Furjē rindas funkcijām, kuras tās definē. f(x) 9 g(x). Kādas ir šīs funkcijas? Lai atbildētu uz jautājumu, saskaņā ar Eilera metodi mēs veidojam rindu (14.6) ar koeficientiem a p= -. Piekrītu-
bet vienādību (14.7) iegūstam
Izlaižot detaļas (lasītājam tās jāreproducē), mēs norādām, ka izteiksmi zem logaritma zīmes var attēlot kā
Šīs izteiksmes modulis ir vienāds ar - un argumentu (precīzāk, tā galvenā vērtība ir
- 2 grēks-
vērtība) ir vienāda Tāpēc In ^ = -ln(2sin
Piemērs 14.3. Plkst -summē rindas
Lēmums. Abas sērijas saplūst visur, jo tajās dominē konverģents
blakus kopējam biedram -! . Rinda (14.6)
n(n +1)
tieši
J_ _\_ __1_
/?(/? +1) P /1 + 1
ns sniegs zināmu summu. Pamatojoties uz to, mēs to attēlojam formā
vienlīdzība
Šeit izteiksme iekavās ir ln(l + z) un izteiksme kvadrātiekavās ir ^ ^ + ** ^--. Tāpēc
= (1 + -)ln(1 + z). Tagad jāliek šeit z = eLX un veiciet tās pašas darbības kā iepriekšējā piemērā. Izlaižot detaļas, mēs to norādām Atliek atvērt iekavas un uzrakstīt atbildi. Mēs to atstājam lasītāja ziņā. Uzdevumi 14. nodaļai Aprēķiniet šādu rindu summas. 3.1.a) Ja w=u+iv, tad un= -r- -v = -^-^. Tātad l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2 No šī apļa ir jāizslēdz koordinātu sākumpunkts, jo (m, v) 9* (0; 0) V* e R, tonis un= lim v = 0. x-yx>.v->oo a = 1, a = 2. z "=-! + -> z,=-l - viņiem w = 2x; nekur nav holomorfs; Sv ir atkarīgi no mainīgā "t. Košī-Riemana nosacījumi nozīmē, ka arī šīs funkcijas nav atkarīgas no y. 4.5. Apsveriet, piemēram, lietu Re f(z) = i(x, y) = konst. Ar izmantojot Košī-Riemana nosacījumus, no tā seciniet, ka Im/(z) = v (x 9 g) = konst. atvasinājuma arguments ir vienāds ar nulli, tad tā iedomātā daļa ir nulle, bet reālā daļa ir pozitīva. No šejienes izriet atbilde: taisni plkst = -X-1 (X* 0). b) aplis z + i=j2. izteiciens iekavās ieguva to pašu nozīmi, tad tiem būtu kas ir pretrunā ar iracionalitāti a . plkst= 0, -1 x 1 mums ir un =--e [-1,1]" v = 0. Apsveriet robežas otro segmentu - pusloku z=e u,tg. Šajā sadaļā izteiksme tiek pārveidots formā w=u=-- ,/* -. Starp. Saskaņā ar (8.6) vēlamais integrālis ir vienāds ar
b). Apakšējā pusloka vienādojumam ir forma z(t) = e“,t e[l, 2n). Pēc formulas (8.8) integrālis ir vienāds ar z = t + i,te. Atbilde: - + - i. .1 .t+2/r e 2, e 2. No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka runa ir par saknes galveno vērtību: Vz, t.i. par pirmo no šiem. Tad integrālis ir 8.3. Problēmas risināšanā zīmējums apzināti netiek dots, bet lasītājam tas jāpabeidz. Tiek izmantots taisnes posma vienādojums, kas savieno divus dotos punktus i, /> e C (a - Sākt, b - beigas): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Sadalīsim vēlamo integrāli četrās daļās: I = I AB + I BC + I CD +1
D.A. Uz segmentu AB mums ir z- (1 -1)
? 1 +1
/, tāpēc šī segmenta integrālis saskaņā ar (8.8) ir vienāds ar Rīkojoties līdzīgi, mēs atklājam apgabals D, kas satur Г un ns, kas satur a. Ar integrāļa teorēmu, kas tiek piemērota /),/], vēlamais integrālis ir vienāds ar nulli. ģeometriskā sērija 1 + q + q2 (|| attēlo formā /(z) = /(-^z). Nezaudējot vispārīgumu, mēs to varam pieņemt 0 punktā centrētas funkcijas Teilora rindas konverģences rādiuss ir lielāks par vienu. Mums ir: Funkcijas vērtības ir vienādas diskrētā kopā ar robežpunktu, kas pieder pie konverģences apļa. Pēc unikalitātes teorēmas /(z) = konst. 11.3. Pieņemsim, ka vēlamā analītiskā funkcija /(z) pastāv. Salīdzināsim tā vērtības ar funkciju (z) = z2 filmēšanas laukumā E, kas sastāv no punktiem z n = - (n = 2,3,...). To nozīme ir vienāda, un kopš tā laika E ir robežpunkts, kas pieder dotajam aplim, tad pēc unikalitātes teorēmas /(z) = z 2 visiem dotā apļa argumentiem. Bet tas ir pretrunā ar nosacījumu /(1) = 0. Atbilde: ns neeksistē. 12.2. a). Atveidojiet funkciju formā un izvērsiet iekavas. vienkārši stabi 1,-1,/. Tajos esošo atlikumu summa ir vienāda ar --, un integrālis ir vienāds ar in). Starp stabiem 2 Trki (kGZ) no integrandas tikai divi atrodas dotajā aplī. Tas ir 0 un 2 es abi ir vienkārši, atlikumi tajos ir vienādi ar 1. Atbilde: 4z7. reiziniet to ar 2/r/. Izlaižot detaļas, mēs norādām atbildi: / = -i . 13.2. a). Tad liksim e"=z e"idt =dz
, dt= - .
Ho e" - e~" z-z~ x sin / =-=-, intefal tiks samazināts līdz formai Šeit saucējs ir faktorizēts (z-z,)(z-z 2), kur z, = 3 - 2 V2 / atrodas apļa iekšpusē plkst
, a z,=3 + 2V2 / atrodas augstāk. Atliek atrast atlikumu attiecībā pret vienkāršo polu z, izmantojot formulu (13.2) un b) . Pieņemot, kā iepriekš, e" = z
, mēs samazinām intefal līdz formai Subintefālajai funkcijai ir trīs vienkārši stabi (kuri no tiem?). Ļaujot lasītājam aprēķināt tajos esošos atlikumus, mēs norādām atbildi: es =
. vienāds ar 2(^-1- h-dt).
Apzīmējiet integrāli iekavās ar /. Piemērojot vienādību cos "/ = - (1 + cos2f), mēs iegūstam, ka / = [- cit
. Pēc analoģijas ar gadījumiem a), b) veiciet aizstāšanu e 2,t
= z, samaziniet integrāli līdz formai kur integrācijas līkne ir tā pati vienības aplis. Citi argumenti ir tādi paši kā a) gadījumā. Atbilde: sākotnējais, meklētais integrālis ir vienāds ar /r(2-n/2). 13.3. a). Apsveriet palīgkompleksa integrāli /(/?)=f f(z)dz, kur f(z) = - p-, G (I) - kontūra, kas sastāv no pusloki y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 un visi diametri (izveidojiet zīmējumu). Sadalīsim šo integrāli divās daļās – pēc intervāla [-/?,/?] un pēc y(R). uz. Jā. Ķēdes iekšpusē atrodas tikai vienkārši stabi z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (186. att.). Attiecībā uz to atliekām mēs atklājam: Atliek pārbaudīt, vai integrālis ir beidzies y(R) tiecas uz nulli kā R. No nevienādības |g + A|>||i|-|/>|| un no integrāļa aplēses par z e y(R) no tā izriet, ka
