Matricas metode SLAU risinājumi izmanto, lai atrisinātu vienādojumu sistēmas, kurās vienādojumu skaits atbilst nezināmo skaitam. Šo metodi vislabāk izmantot zemas kārtas sistēmu risināšanai. Matricas metode lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai ir balstīta uz matricas reizināšanas īpašību pielietošanu.

Tādā veidā, citiem vārdiem sakot apgrieztās matricas metode, to sauc tā, jo risinājums tiek reducēts uz parasto matricas vienādojumu, kura risinājumam jāatrod apgrieztā matrica.

Matricas risinājuma metode SLAE ar determinantu, kas ir lielāks vai mazāks par nulli, ir šāds:

Pieņemsim, ka pastāv SLE (lineāro vienādojumu sistēma) ar n nezināms (virs patvaļīga lauka):

Tātad to ir viegli pārtulkot matricas formā:

AX=B, kur A ir sistēmas galvenā matrica, B un X- attiecīgi sistēmas brīvo dalībnieku un risinājumu kolonnas:

Reiziniet šo matricas vienādojumu kreisajā pusē ar A -1- apgrieztā matrica pret matricu A: A -1 (AX) = A -1 B.

Jo A −1 A=E, nozīmē, X=A–1 B. Vienādojuma labā puse dod sākotnējās sistēmas risinājumu kolonnu. Matricas metodes pielietojamības nosacījums ir matricas nedeģenerācija A. Nepieciešams un pietiekams nosacījums tam ir matricas determinants A:

detA≠0.

Priekš viendabīga lineāro vienādojumu sistēma, t.i. ja vektors B=0, darbojas pretējs noteikums: sistēma AX=0 ir netriviāls (t.i., nav vienāds ar nulli) risinājums tikai tad, ja detA=0. Šo saikni starp viendabīgu un nehomogēnu lineāro vienādojumu sistēmu atrisinājumiem sauc alternatīva Fredholmam.

Tādējādi SLAE risinājums ar matricas metodi tiek veikts pēc formulas . Vai arī SLAE risinājums tiek atrasts, izmantojot apgrieztā matrica A -1.

Ir zināms, ka kvadrātveida matrica BET pasūtījums n uz n ir apgrieztā matrica A -1 tikai tad, ja tā determinants nav nulle. Tādējādi sistēma n lineārie algebriskie vienādojumi ar n nezināmos ar matricas metodi risina tikai tad, ja sistēmas galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli.

Neskatoties uz to, ka šīs metodes izmantošanas iespēja ir ierobežota un pastāv aprēķinu grūtības lielām koeficientu vērtībām un augstas kārtas sistēmām, metodi var viegli ieviest datorā.

Nehomogēna SLAE risināšanas piemērs.

Vispirms pārbaudīsim, vai nezināmu SLAE koeficientu matricas determinants nav vienāds ar nulli.

Tagad mēs atrodam alianses matrica, transponē to un aizstāj to apgrieztās matricas noteikšanas formulā.

Mēs aizstājam mainīgos lielumus formulā:

Tagad mēs atrodam nezināmos, reizinot apgriezto matricu un brīvo terminu kolonnu.

Tātad, x=2; y=1; z=4.

Pārejot no parastās SLAE formas uz matricas formu, esiet uzmanīgi ar nezināmo mainīgo secību sistēmas vienādojumos. piemēram:

NERAKSTI kā:

Vispirms ir nepieciešams sakārtot nezināmos mainīgos katrā sistēmas vienādojumā un tikai pēc tam pāriet uz matricas apzīmējumu:

Turklāt jums jābūt uzmanīgiem ar nezināmu mainīgo apzīmēšanu, nevis x 1, x 2, …, x n var būt arī citi burti. Piemēram:

matricas formā mēs rakstām:

Izmantojot matricas metodi, labāk atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas, kurās vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo mainīgo skaitu un sistēmas galvenās matricas determinants nav vienāds ar nulli. Ja sistēmā ir vairāk nekā 3 vienādojumi, apgrieztās matricas atrašana prasīs vairāk skaitļošanas pūļu, tāpēc šajā gadījumā risināšanai ieteicams izmantot Gausa metodi.

Gausa metode, saukta arī par nezināmo secīgas likvidēšanas metodi, sastāv no sekojošā. Izmantojot elementārpārveidojumus, lineāro vienādojumu sistēma tiek veidota tādā formā, ka tās koeficientu matrica izrādās trapecveida (tāds pats kā trīsstūrveida vai pakāpienveida) vai tuvu trapecveida (tiešais Gausa metodes gaita, tad - tikai tieša kustība). Šādas sistēmas un tās risinājuma piemērs ir parādīts attēlā iepriekš.

Šādā sistēmā pēdējais vienādojums satur tikai vienu mainīgo, un tā vērtību var atrast unikāli. Tad šī mainīgā vērtība tiek aizstāta ar iepriekšējo vienādojumu ( Gausa reverss , tad - tikai apgrieztā kustība), no kuras tiek atrasts iepriekšējais mainīgais utt.

Trapecveida (trīsstūrveida) sistēmā, kā redzam, trešais vienādojums vairs nesatur mainīgos. y un x, un otrais vienādojums - mainīgais x .

Pēc tam, kad sistēmas matrica ir ieguvusi trapecveida formu, vairs nav grūti sakārtot jautājumu par sistēmas saderību, noteikt risinājumu skaitu un pašiem atrast risinājumus.

Metodes priekšrocības:

1. risinot lineāro vienādojumu sistēmas ar vairāk nekā trim vienādojumiem un nezināmajiem, Gausa metode nav tik apgrūtinoša kā Krāmera metode, jo, risinot Gausa metodi, ir nepieciešams mazāk aprēķinu;
2. izmantojot Gausa metodi, jūs varat atrisināt nenoteiktas lineāro vienādojumu sistēmas, tas ir, kam ir kopīgs risinājums (un mēs tos analizēsim šajā nodarbībā), un, izmantojot Cramer metodi, varat tikai norādīt, ka sistēma ir nenoteikta;
3. jūs varat atrisināt lineāro vienādojumu sistēmas, kurās nezināmo skaits nav vienāds ar vienādojumu skaitu (arī mēs tos analizēsim šajā nodarbībā);
4. metode ir balstīta uz pamatskolas (skolas) metodēm - nezināmo aizstāšanas metodi un vienādojumu saskaitīšanas metodi, kurai mēs pieskārāmies attiecīgajā rakstā.

Lai ikviens būtu pārņemts ar vienkāršību, ar kādu tiek atrisinātas trapecveida (trīsstūrveida, pakāpienveida) lineāro vienādojumu sistēmas, mēs piedāvājam šādas sistēmas risinājumu, izmantojot apgriezto gājienu. Šīs sistēmas ātrs risinājums tika parādīts attēlā nodarbības sākumā.

1. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot apgriezto kustību:

Lēmums. Šajā trapecveida sistēmā mainīgais z ir unikāli atrodams no trešā vienādojuma. Mēs aizstājam tā vērtību ar otro vienādojumu un iegūstam mainīgā vērtību y:

Tagad mēs zinām divu mainīgo vērtības - z un y. Mēs tos aizstājam ar pirmo vienādojumu un iegūstam mainīgā vērtību x:

No iepriekšējām darbībām mēs izrakstām vienādojumu sistēmas risinājumu:

Lai iegūtu šādu trapecveida lineāro vienādojumu sistēmu, kuru mēs atrisinājām ļoti vienkārši, ir jāpiemēro tiešs gājiens, kas saistīts ar lineāro vienādojumu sistēmas elementārajām transformācijām. Tas arī nav ļoti grūti.

Lineāro vienādojumu sistēmas elementārās transformācijas

Atkārtojot sistēmas vienādojumu algebriskās saskaitīšanas skolas metodi, noskaidrojām, ka vienam no sistēmas vienādojumiem var pievienot vēl vienu sistēmas vienādojumu, un katru no vienādojumiem var reizināt ar dažiem skaitļiem. Rezultātā mēs iegūstam lineāro vienādojumu sistēmu, kas ir ekvivalenta dotajai. Tajā vienā vienādojumā jau bija tikai viens mainīgais, kura vērtību aizstājot ar citiem vienādojumiem, mēs nonākam pie risinājuma. Šāda pievienošana ir viens no sistēmas elementārās transformācijas veidiem. Izmantojot Gausa metodi, varam izmantot vairāku veidu transformācijas.

Iepriekš redzamā animācija parāda, kā vienādojumu sistēma pakāpeniski pārvēršas par trapecveida sistēmu. Tas ir, to, kuru redzējāt pašā pirmajā animācijā un pārliecinājāties, ka tajā ir viegli atrast visu nezināmo vērtības. Kā veikt šādu transformāciju un, protams, piemēri, tiks apspriests tālāk.

Risinot lineāro vienādojumu sistēmas ar jebkuru vienādojumu un nezināmo skaitu vienādojumu sistēmā un sistēmas paplašinātajā matricā var:

1. apmainīt līnijas (tas tika minēts šī raksta pašā sākumā);
2. ja citu pārveidojumu rezultātā parādījās vienādas vai proporcionālas rindas, tās var dzēst, izņemot vienu;
3. dzēst "null" rindas, kur visi koeficienti ir vienādi ar nulli;
4. reizināt vai dalīt jebkuru virkni ar kādu skaitli;
5. pievienojiet jebkurai rindai citu rindu, kas reizināta ar kādu skaitli.

Pārveidojumu rezultātā iegūstam dotajam ekvivalentu lineāro vienādojumu sistēmu.

Algoritms un piemēri lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšanai ar Gausa metodi ar sistēmas kvadrātmatricu

Vispirms apsveriet lineāro vienādojumu sistēmu risinājumu, kurā nezināmo skaits ir vienāds ar vienādojumu skaitu. Šādas sistēmas matrica ir kvadrātveida, tas ir, rindu skaits tajā ir vienāds ar kolonnu skaitu.

2. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi

Risinot lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot skolas metodes, vienu no vienādojumiem reizinājām ar vienu no vienādojumiem ar noteiktu skaitli tā, lai abos vienādojumos pirmā mainīgā koeficienti būtu pretēji skaitļi. Pievienojot vienādojumus, šis mainīgais tiek izslēgts. Gausa metode darbojas līdzīgi.

Lai vienkāršotu risinājuma izskatu sastādīt sistēmas paplašināto matricu:

Šajā matricā nezināmo koeficienti atrodas kreisajā pusē pirms vertikālās joslas, bet brīvie elementi atrodas labajā pusē aiz vertikālās joslas.

Mainīgo koeficientu dalīšanas ērtībai (lai iegūtu dalījumu ar vienu) apmainīt sistēmas matricas pirmo un otro rindu. Iegūstam dotajai ekvivalentu sistēmu, jo lineāro vienādojumu sistēmā vienādojumus var pārkārtot:

Ar jauno pirmo vienādojumu izslēdz mainīgo x no otrā un visiem nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, pievienojiet pirmo rindu, kas reizināta ar (mūsu gadījumā ar ), matricas otrajai rindai un pirmo rindu, kas reizināta ar (mūsu gadījumā ar ), trešajai rindai.

Tas ir iespējams, jo

Ja mūsu sistēmā bija vairāk nekā trīs vienādojumi, tad pirmā rinda jāpievieno visiem nākamajiem vienādojumiem, reizinot ar atbilstošo koeficientu attiecību, kas ņemta ar mīnusa zīmi.

Rezultātā iegūstam dotajai jaunas vienādojumu sistēmas sistēmai ekvivalentu matricu, kurā visi vienādojumi, sākot no otrās nesatur mainīgo x :

Lai vienkāršotu iegūtās sistēmas otro rindu, mēs to reizinām ar un atkal iegūstam šai sistēmai līdzvērtīgas vienādojumu sistēmas matricu:

Tagad, saglabājot iegūtās sistēmas pirmo vienādojumu nemainīgu, izmantojot otro vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo y no visiem nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, sistēmas matricas trešajai rindai pievienojiet otro rindu, kas reizināta ar (mūsu gadījumā ar ).

Ja mūsu sistēmā bija vairāk nekā trīs vienādojumi, tad visiem nākamajiem vienādojumiem jāpievieno otrā rinda, reizinot ar atbilstošo koeficientu attiecību, kas ņemta ar mīnusa zīmi.

Rezultātā mēs atkal iegūstam sistēmas matricu, kas ir ekvivalenta dotajai lineāro vienādojumu sistēmai:

Esam ieguvuši trapecveida lineāro vienādojumu sistēmu, kas ir ekvivalenta dotajam:

Ja vienādojumu un mainīgo skaits ir lielāks nekā mūsu piemērā, tad mainīgo lielumu secīgas likvidēšanas process turpinās, līdz sistēmas matrica kļūst trapecveida, kā tas ir mūsu demo piemērā.

Atradīsim risinājumu “no gala” – otrādi. Priekš šī no pēdējā vienādojuma mēs nosakām z:
.
Aizstājot šo vērtību iepriekšējā vienādojumā, atrast y:

No pirmā vienādojuma atrast x:

Atbilde: šīs vienādojumu sistēmas risinājums - .

: šajā gadījumā tā pati atbilde tiks sniegta, ja sistēmai ir unikāls risinājums. Ja sistēmai ir bezgalīgi daudz risinājumu, tad būs arī atbilde, un tas ir šīs nodarbības piektās daļas priekšmets.

Pats atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi, un pēc tam apskatiet risinājumu

Mūsu priekšā atkal ir piemērs konsekventai un noteiktai lineāro vienādojumu sistēmai, kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu. Atšķirība no mūsu demonstrācijas piemēra no algoritma ir tāda, ka jau ir četri vienādojumi un četri nezināmie.

4. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi:

Tagad jums ir jāizmanto otrais vienādojums, lai izslēgtu mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Veiksim sagatavošanās darbus. Lai būtu ērtāk ar koeficientu attiecību, otrās rindas otrajā kolonnā jāiegūst vienība. Lai to izdarītu, no otrās rindas atņemiet trešo rindu un iegūto otro rindu reiziniet ar -1.

Tagad veiksim mainīgā faktisko izņemšanu no trešā un ceturtā vienādojuma. Lai to izdarītu, pievienojiet otro, kas reizināts ar , trešajai rindai un otro, kas reizināts ar , ceturtajai rindai.

Tagad, izmantojot trešo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no ceturtā vienādojuma. Lai to izdarītu, ceturtajai rindai pievienojiet trešo, reizinot ar . Mēs iegūstam trapecveida formas paplašinātu matricu.

Mēs esam ieguvuši vienādojumu sistēmu, kas ir līdzvērtīga dotajai sistēmai:

Tāpēc iegūtās un dotās sistēmas ir konsekventas un noteiktas. Mēs atrodam galīgo risinājumu "no beigām". No ceturtā vienādojuma mēs varam tieši izteikt mainīgā "x ceturtā" vērtību:

Mēs aizstājam šo vērtību ar trešo sistēmas vienādojumu un iegūstam

,

,

Visbeidzot, vērtību aizstāšana

Pirmajā vienādojumā dod

,

kur mēs atrodam "x first":

Atbilde: Šai vienādojumu sistēmai ir unikāls risinājums. .

Sistēmas risinājumu var pārbaudīt arī uz kalkulatora, kas risina ar Krāmera metodi: tādā gadījumā tiks sniegta tāda pati atbilde, ja sistēmai būs unikāls risinājums.

Lieto uzdevumu risinājums pēc Gausa metodes sakausējumu uzdevuma piemērā

Lineāro vienādojumu sistēmas tiek izmantotas, lai modelētu reālus fiziskās pasaules objektus. Atrisināsim vienu no šīm problēmām – sakausējumiem. Līdzīgi uzdevumi - uzdevumi maisījumiem, atsevišķu preču pašizmaksa vai īpatnējais svars preču grupā un tamlīdzīgi.

5. piemērs Trīs sakausējuma gabalu kopējā masa ir 150 kg. Pirmajā sakausējumā ir 60% vara, otrajā - 30%, trešajā - 10%. Tajā pašā laikā otrajā un trešajā sakausējumā kopā vara ir par 28,4 kg mazāk nekā pirmajā sakausējumā, bet trešajā sakausējumā vara ir par 6,2 kg mazāk nekā otrajā. Atrodiet katra sakausējuma gabala masu.

Lēmums. Mēs veidojam lineāru vienādojumu sistēmu:

Reizinot otro un trešo vienādojumu ar 10, iegūstam līdzvērtīgu lineāro vienādojumu sistēmu:

Mēs veidojam sistēmas paplašināto matricu:

Uzmanību, tieša kustība. Saskaitot (mūsu gadījumā atņemot) vienu rindu, kas reizināta ar skaitli (mēs to lietojam divreiz), ar sistēmas paplašināto matricu notiek šādas transformācijas:

Tiešais skrējiens ir beidzies. Mēs ieguvām trapecveida formas paplašinātu matricu.

Izmantosim otrādi. Mēs atrodam risinājumu no beigām. Mēs to redzam.

No otrā vienādojuma mēs atrodam

No trešā vienādojuma -

Sistēmas risinājumu var pārbaudīt arī uz kalkulatora, kas risina ar Krāmera metodi: tādā gadījumā tiks sniegta tāda pati atbilde, ja sistēmai būs unikāls risinājums.

Par Gausa metodes vienkāršību liecina tas, ka vācu matemātiķis Kārlis Frīdrihs Gauss tās izgudrošanai prasīja tikai 15 minūtes. Papildus viņa vārda metodei no Gausa darba diktāts “Mums nevajadzētu jaukt to, kas mums šķiet neticams un nedabisks, ar absolūti neiespējamo” ir sava veida īss norādījums atklājumu veikšanai.

Daudzās pielietotajās problēmās var nebūt trešā ierobežojuma, tas ir, trešā vienādojuma, tad ar Gausa metodi ir jāatrisina divu vienādojumu sistēma ar trim nezināmajiem, vai, tieši otrādi, nezināmo ir mazāk nekā vienādojumu. Tagad mēs sākam risināt šādas vienādojumu sistēmas.

Izmantojot Gausa metodi, varat noteikt, vai kāda sistēma ir konsekventa vai nekonsekventa n lineāri vienādojumi ar n mainīgie.

Gausa metode un lineāro vienādojumu sistēmas ar bezgalīgu atrisinājumu skaitu

Nākamais piemērs ir konsekventa, bet nenoteikta lineāro vienādojumu sistēma, tas ir, tai ir bezgalīgs skaits risinājumu.

Pēc transformāciju veikšanas sistēmas paplašinātajā matricā (rindu permutēšana, rindu reizināšana un dalīšana ar noteiktu skaitli, vienas rindas pievienošana citai), formas rindas

Ja visos vienādojumos ir forma

Brīvie locekļi ir vienādi ar nulli, tas nozīmē, ka sistēma ir nenoteikta, tas ir, tai ir bezgalīgs skaits risinājumu, un šāda veida vienādojumi ir “lieki” un tiek izslēgti no sistēmas.

6. piemērs

Lēmums. Sastādīsim sistēmas paplašināto matricu. Pēc tam, izmantojot pirmo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, otrajai, trešajai un ceturtajai rindai pievienojiet pirmo, attiecīgi reizinot ar :

Tagad pievienosim otro rindu trešajai un ceturtajai.

Rezultātā mēs nonākam pie sistēmas

Pēdējie divi vienādojumi ir kļuvuši par formas vienādojumiem. Šie vienādojumi ir izpildīti jebkurai nezināmā vērtībai, un tos var izmest.

Lai izpildītu otro vienādojumu, mēs varam izvēlēties patvaļīgas vērtības un , tad vērtība tiks noteikta nepārprotami: . No pirmā vienādojuma unikāli tiek atrasta arī vērtība: .

Gan dotā, gan pēdējā sistēma ir saderīgas, bet nenoteiktas, un formulas

par patvaļīgu un sniedz mums visus dotās sistēmas risinājumus.

Gausa metode un lineāro vienādojumu sistēmas, kurām nav atrisinājumu

Šis piemērs ir nekonsekventa lineāro vienādojumu sistēma, tas ir, tai nav atrisinājumu. Atbilde uz šādām problēmām ir formulēta šādi: sistēmai nav risinājumu.

Kā jau minēts saistībā ar pirmo piemēru, pēc transformāciju veikšanas sistēmas paplašinātajā matricā formas rindas

kas atbilst formas vienādojumam

Ja starp tiem ir vismaz viens vienādojums ar brīvu terminu, kas nav nulle (t.i. ), tad šī vienādojumu sistēma ir nekonsekventa, tas ir, tai nav atrisinājumu, un tas pabeidz tās risinājumu.

7. piemērs Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu, izmantojot Gausa metodi:

Lēmums. Mēs veidojam sistēmas paplašināto matricu. Izmantojot pirmo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Lai to izdarītu, pievienojiet pirmo, kas reizināts ar otro rindu, pirmo reizinot ar trešo rindu un pirmo reizinot ar ceturto rindu.

Tagad jums ir jāizmanto otrais vienādojums, lai izslēgtu mainīgo no nākamajiem vienādojumiem. Lai iegūtu koeficientu veselo skaitļu attiecības, mēs samainām sistēmas paplašinātās matricas otro un trešo rindu.

Lai izslēgtu no trešā un ceturtā vienādojuma, pievienojiet otro, reizinātu ar , trešajai rindai un otro, kas reizināts ar , ceturtajai rindai.

Tagad, izmantojot trešo vienādojumu, mēs izslēdzam mainīgo no ceturtā vienādojuma. Lai to izdarītu, ceturtajai rindai pievienojiet trešo, reizinot ar .

Tādējādi dotā sistēma ir līdzvērtīga šādai sistēmai:

Iegūtā sistēma ir nekonsekventa, jo tās pēdējo vienādojumu nevar izpildīt neviena nezināmā vērtība. Tāpēc šai sistēmai nav risinājumu.

kur x* - viens no nehomogēnās sistēmas (2) risinājumiem (piemēram, (4)), (E−A + A) veido matricas kodolu (nulles telpu). A.

Veiksim matricas skeleta dekompozīcijas (E−A + A):

E−A + A = Q S

kur J n × n-r- rangu matrica (Q)=n-r, S n−r × n-ranga matrica (S)=n-r.

Tad (13) var uzrakstīt šādā formā:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

kur k=Sz.

Tātad, vispārējā risinājuma procedūra Lineāro vienādojumu sistēmas, izmantojot pseidoinverso matricu, var attēlot šādā formā:

1. Aprēķināt pseidoinverso matricu A + .
2. Mēs aprēķinām konkrētu nehomogēnās lineāro vienādojumu sistēmas (2) risinājumu: x*=A + b.
3. Mēs pārbaudām sistēmas saderību. Šim nolūkam mēs aprēķinām AA + b. Ja AA + b≠b, tad sistēma ir nekonsekventa. Pretējā gadījumā mēs turpinām procedūru.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Veicot skeleta sadalīšanos E−A + A=Q·S.
6. Risinājuma izveide

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r .

Lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšana tiešsaistē

Tiešsaistes kalkulators ļauj atrast lineāro vienādojumu sistēmas vispārīgo risinājumu ar detalizētiem paskaidrojumiem.

Instrukcija

Aizvietošana jeb secīgās eliminācijas metode.Aizvietošanu izmanto sistēmā ar nelielu nezināmo skaitu. Šī ir vienkāršākā risinājuma metode vienkāršam . Pirmkārt, no pirmā vienādojuma mēs izsakām vienu nezināmo, izmantojot citus, un aizstājam šo izteiksmi ar otro vienādojumu. Mēs izsakām otro nezināmo no pārveidotā otrā vienādojuma, aizvietojam iegūto rezultātu ar trešo vienādojumu utt. līdz mēs aprēķinām pēdējo nezināmo. Tad mēs aizstājam tā vērtību ar iepriekšējo vienādojumu un uzzinām priekšpēdējo nezināmo utt. Apsveriet ar nezināmajiem.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Izsakiet no pirmā vienādojuma x: x = 3 - y. Aizstāt otrajā vienādojumā: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3–3 g = 0
y=1
Aizstāt pirmajā vienādojumā sistēmas(vai izteiksmē x, kas ir vienāda): x + 1 - 3 = 0. Mēs iegūstam, ka x = 2.

Atņemšana pa termiņam (vai saskaitīšana).Šī metode bieži saīsina risinājumus sistēmas un vienkāršot aprēķinus. Tas ietver nezināmo analīzi, lai pievienotu (vai atņemtu) vienādojumus sistēmas lai no vienādojuma izslēgtu dažus nezināmos. Apsveriet piemēru, ņemiet to pašu sistēmu kā pirmajā metodē.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Ir viegli redzēt, ka pie y koeficienti ir identiski absolūtā vērtībā, bet ar zīmi, tāpēc, ja mēs saskaitām divus vienādojumus pa vārdam, tad y varēs izslēgt y. Saskaitīsim: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 vai 3x - 6 = 0. Tādējādi x = 2. Aizstājot šo vērtību jebkurā vienādojumā, mēs atrodam y.
Alternatīvi x var tikt izslēgts. Koeficientiem pie x ir vienāda zīme, tāpēc mēs atņemsim vienu vienādojumu no otra. Bet pirmajā vienādojumā koeficients pie x ir 1, bet otrajā tas ir 2, tāpēc jūs vienkārši nevarat izslēgt x. Reizinot pirmo vienādojumu ar 2, mēs iegūstam šādu sistēmu:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Tagad, pa vārdam, atņemiet otro no pirmā vienādojuma: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 vai, dodot līdzīgus, 3y - 3 = 0. Tādējādi y = 0 1. Aizvietojot jebkurā vienādojumā, mēs atrodam x.

Saistītie video

2. padoms. Kā pierādīt lineāro vienādojumu sistēmas saderību

Viens no augstākās matemātikas uzdevumiem ir lineāro vienādojumu sistēmas savietojamības pierādīšana. Pierādījums jāveic saskaņā ar Kroncker-Capelli teorēmu, saskaņā ar kuru sistēma ir konsekventa, ja tās galvenās matricas rangs ir vienāds ar paplašinātās matricas rangu.

Instrukcija

Pierakstiet sistēmas galveno matricu. Lai to izdarītu, izveidojiet vienādojumus standarta formā (tas ir, salieciet visus koeficientus vienā secībā, ja kāda no tiem trūkst, pierakstiet tos vienkārši ar skaitlisko koeficientu "0"). Izrakstiet visus koeficientus tabulas veidā, ievietojiet to iekavās (neņemiet vērā brīvos terminus, kas pārnesti uz labo pusi).

Tādā pašā veidā pierakstiet sistēmas paplašināto matricu, tikai šajā gadījumā labajā pusē ielieciet vertikālu joslu un pierakstiet brīvo dalībnieku kolonnu.

Aprēķiniet galvenās matricas rangu, tas ir lielākais mazākais, kas nav nulle. Pirmās kārtas minors ir jebkurš matricas cipars, ir skaidrs, ka tas nav vienāds ar nulli. Lai aprēķinātu otrās kārtas minoritāti, ņemiet jebkuras divas rindas un jebkuras divas kolonnas (iegūsiet četrus ciparus). Aprēķiniet determinantu, reiziniet augšējo kreiso skaitli ar apakšējo labo pusi, no iegūtā skaitļa atņemiet kreisās apakšējās un augšējās labās puses reizinājumu. Jums ir otrās kārtas nepilngadīgais.

Grūtāk ir aprēķināt trešās kārtas nepilngadīgo. Lai to izdarītu, paņemiet jebkuras trīs rindas un trīs kolonnas, jūs iegūsit deviņu skaitļu tabulu. Aprēķiniet determinantu, izmantojot formulu: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (koeficienta pirmais cipars ir rindas numurs, otrais cipars ir kolonnas numurs). Jūs esat saņēmis trešās kārtas nepilngadīgo.

Līdzīgi atrodiet paplašinātās matricas rangu. Ņemiet vērā, ka, ja vienādojumu skaits jūsu sistēmā atbilst rangam (piemēram, trīs vienādojumi un rangs ir 3), nav jēgas aprēķināt paplašinātās matricas rangu - acīmredzot, tas arī būs vienāds ar šo skaitli. . Šajā gadījumā mēs varam droši secināt, ka lineāro vienādojumu sistēma ir savietojama.

Saistītie video

Uzdotais jautājums pilnībā aptver visa kursa "Lineārā algebra" galveno mērķi. Tāpēc atbildi var sniegt tikai saspiestā veidā, bez detalizētiem aprēķiniem un paskaidrojumiem. Kopumā lineārie vienādojumi ir interesanti, jo tos var atrisināt ar tīri algoritmiskām metodēm.

Instrukcija

M lineāro algebrisko vienādojumu sistēmai ar n nezināmajiem ir forma (sk. 1. att.).
Tajā aij ir sistēmas koeficienti, xj ir nezināmie, bi ir brīvbiedri (i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , p). Šādai sistēmai ir praktiska nozīme gadījumā, ja tās vienādojumu skaits nepārsniedz nezināmo skaitu, tas ir, kad m≤n. Fakts ir tāds, ka pretējā gadījumā "papildu" vienādojumiem ir jābūt pārējo lineārai kombinācijai. Tas ir tāds, ka viņi tos vienkārši atkārto. Ja nē, tad risinājums neeksistē (sistēma nav konsekventa).

Šādu sistēmu var kompakti ierakstīt matricas formā AX=B. Šeit A ir sistēmas koeficienti, X ir nezināmo kolonnu matrica, B ir brīvo dalībnieku kolonnas matrica (skat. 2. att.). Ja m=n, t.i. ir nezināmo skaits un vienādojumu skaits ir vienāds, tad matrica A ir kvadrāta. Tāpēc tai ir definēts matricas determinanta jēdziens ∆=|A|. Par |A|≠0 ir apgrieztā matrica A⁻¹. Tas ir balstīts uz vienādību AA⁻¹= A⁻¹A=E (E ir identitātes matrica). Aprēķina formula ir arī 2. attēlā. Jāpiebilst, ka elementi Aij Г, ko sauc par matricas A elementu aij algebriskajiem papildinājumiem, tiek aprēķināti šādi. Paņemiet determinantu |A| un izdzēsiet no tā rindu un kolonnu, kurā ir elements aij. Kā determinantu ierakstiet atlikušos koeficientus, kurus reiziniet ar (-1), ja i+j nav pāra. Atbilstošais numurs ir Aij. Algebriskie papildinājumi tiek rakstīti virs saistītās matricas kolonnām.

Atrast sistēmas risinājumu matricas veidā. Lai to izdarītu, reiziniet abas sistēmas daļas AX=B ar A⁻¹ kreisajā pusē. Iegūstiet (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B vai X=A⁻¹B. Visas detaļas ir parādītas attēlā. 3. Tas pats attēls parāda

Šajā nodarbībā mēs apskatīsim metodes, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu. Augstākās matemātikas kursā lineāro vienādojumu sistēmas ir jārisina gan atsevišķu uzdevumu veidā, piemēram, “Atrisiniet sistēmu, izmantojot Krāmera formulas”, gan citu uzdevumu risināšanas gaitā. Gandrīz visās augstākās matemātikas nozarēs ir jārisina lineāro vienādojumu sistēmas.

Pirmkārt, neliela teorija. Ko šajā gadījumā nozīmē matemātiskais vārds "lineārs"? Tas nozīmē, ka sistēmas vienādojumos visi mainīgie ir iekļauti pirmajā pakāpē: nav tādu izdomātu lietu kā tml., no kuriem priecē tikai matemātikas olimpiāžu dalībnieki.

Augstākajā matemātikā mainīgo apzīmēšanai izmanto ne tikai no bērnības pazīstamus burtus.
Diezgan populāra iespēja ir mainīgie ar indeksiem: .
Vai arī latīņu alfabēta sākuma burti, mazie un lielie:
Nav tik reti sastopami grieķu burti: - daudziem labi zināmi "alfa, beta, gamma". Un arī komplekts ar indeksiem, teiksim, ar burtu "mu":

Viena vai otra burtu kopas izmantošana ir atkarīga no augstākās matemātikas nozares, kurā mēs saskaramies ar lineāro vienādojumu sistēmu. Tā, piemēram, lineāro vienādojumu sistēmās, kas sastopamas, risinot integrāļus, diferenciālvienādojumus, tradicionāli ir ierasts izmantot apzīmējumu

Bet neatkarīgi no tā, kā tiek apzīmēti mainīgie, lineāro vienādojumu sistēmas risināšanas principi, metodes un metodes no tā nemainās. Tādējādi, ja jūs saskaraties ar kaut ko šausmīgu, piemēram, nesteidzieties ar bailēm aizvērt problēmu grāmatu, jo tā vietā varat uzzīmēt sauli, tā vietā - putnu un vietā - (skolotāja) seju. Un, dīvainā kārtā, var atrisināt arī lineāru vienādojumu sistēmu ar šiem apzīmējumiem.

Kaut kas man ir tāda priekšnojauta, ka raksts izrādīsies diezgan garš, tāpēc mazs satura rādītājs. Tātad secīgā "apspriešana" būs šāda:

– Lineāro vienādojumu sistēmas risināšana ar aizstāšanas metodi (“skolas metode”);
– Sistēmas atrisināšana ar sistēmas vienādojumu saskaitīšanas (atņemšanas) metodi.;
– Sistēmas risinājums pēc Krāmera formulām;
– Sistēmas risinājums, izmantojot apgriezto matricu;
– Sistēmas risinājums ar Gausa metodi.

Ikviens ir pazīstams ar lineāro vienādojumu sistēmām no skolas matemātikas kursa. Patiesībā mēs sākam ar atkārtošanu.

Lineāro vienādojumu sistēmas risināšana ar aizstāšanas metodi

Šo metodi var saukt arī par "skolas metodi" vai nezināmo novēršanas metodi. Tēlaini izsakoties, to var saukt arī par "puspabeigto Gausa metodi".

1. piemērs

Šeit mums ir divu vienādojumu sistēma ar diviem nezināmiem. Ņemiet vērā, ka brīvie termini (skaitļi 5 un 7) atrodas vienādojuma kreisajā pusē. Vispārīgi runājot, nav svarīgi, kur tie atrodas, pa kreisi vai pa labi, vienkārši augstākās matemātikas uzdevumos tie bieži atrodas tieši tā. Un šāds ieraksts nedrīkst būt mulsinošs, ja nepieciešams, sistēmā vienmēr var rakstīt "kā parasti":. Neaizmirstiet, ka, pārsūtot terminu no daļas uz daļu, jums ir jāmaina tā zīme.

Ko nozīmē atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu? Atrisināt vienādojumu sistēmu nozīmē atrast tās risinājumu kopu. Sistēmas risinājums ir visu tajā iekļauto mainīgo vērtību kopums, kas pārvērš KATRU sistēmas vienādojumu par patiesu vienlīdzību. Turklāt sistēma var būt nesaderīgi (nav risinājumu).Nekautrējieties, šī ir vispārīga definīcija =) Mums būs tikai viena "x" vērtība un viena "y" vērtība, kas apmierina katru vienādojumu ar-mēs.

Sistēmas risināšanai ir grafiskā metode, ar kuru var iepazīties nodarbībā. Vienkāršākās problēmas ar taisnu līniju. Tur es runāju par ģeometriskā sajūta divu lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmajiem. Bet tagad pagalmā ir algebras laikmets, un skaitļi-skaitļi, darbības-darbības.

Mēs izlemjam: no pirmā vienādojuma mēs izsakām:
Mēs aizstājam iegūto izteiksmi ar otro vienādojumu:

Mēs atveram iekavas, dodam līdzīgus terminus un atrodam vērtību:

Tālāk mēs atceramies, no kā viņi dejoja:
Mēs jau zinām vērtību, atliek atrast:

Atbilde:

Kad JEBKĀDA vienādojumu sistēma ir atrisināta JEBKĀRĀ veidā, es ļoti iesaku pārbaudīt (mutiski, uz melnraksta vai kalkulatora). Par laimi, tas tiek darīts ātri un vienkārši.

1) Aizvietojiet atrasto atbildi pirmajā vienādojumā:

- tiek iegūta pareizā vienlīdzība.

2) Atrasto atbildi aizstājam otrajā vienādojumā:

- tiek iegūta pareizā vienlīdzība.

Vai, vienkāršāk sakot, "viss sanāca"

Aplūkotā risinājuma metode nav vienīgā, no pirmā vienādojuma varēja izteikt , bet ne .
Varat arī otrādi - izteikt kaut ko no otrā vienādojuma un aizstāt to ar pirmo vienādojumu. Starp citu, ņemiet vērā, ka visneizdevīgākais no četriem veidiem ir izteikt no otrā vienādojuma:

Daļdaļas tiek iegūtas, bet kāpēc tā? Ir racionālāks risinājums.

Tomēr dažos gadījumos frakcijas joprojām ir neaizstājamas. Šajā sakarā es vēršu jūsu uzmanību uz to, KĀ es uzrakstīju izteicienu. Ne šādi: un nekādā gadījumā ne šādi: .

Ja augstākajā matemātikā jums ir darīšana ar daļskaitļiem, mēģiniet veikt visus aprēķinus parastās nepareizajās daļās.

Precīzi, ne vai!

Komatu var lietot tikai reizēm, jo ​​īpaši, ja - šī ir galīgā atbilde uz kādu problēmu, un ar šo numuru nav jāveic nekādas papildu darbības.

Daudzi lasītāji droši vien domāja, "kāpēc tik detalizēts skaidrojums, kā korekcijas klasei, un viss ir skaidrs". Nekas tamlīdzīgs, šķiet, ka tāds vienkāršs skolas piemērs, bet cik ĻOTI svarīgu secinājumu! Šeit ir vēl viens:

Jebkuru uzdevumu jācenšas izpildīt visracionālākajā veidā.. Kaut vai tāpēc, ka tas ietaupa laiku un nervus, kā arī samazina iespējamību kļūdīties.

Ja augstākās matemātikas uzdevumā jūs saskaraties ar divu lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem, tad vienmēr varat izmantot aizstāšanas metodi (ja vien nav norādīts, ka sistēma ir jāatrisina ar citu metodi) ".
Turklāt dažos gadījumos ir ieteicams izmantot aizstāšanas metodi ar lielāku mainīgo lielumu skaitu.

2. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem

Līdzīga vienādojumu sistēma bieži rodas, izmantojot tā saukto nenoteikto koeficientu metodi, kad atrodam racionālas daļfunkcijas integrāli. Attiecīgo sistēmu es paņēmu no turienes.

Atrodot integrāli - mērķi ātri atrodiet koeficientu vērtības un nepārdomājieties ar Krāmera formulām, apgrieztās matricas metodi utt. Tāpēc šajā gadījumā ir piemērota aizstāšanas metode.

Kad ir dota jebkura vienādojumu sistēma, vispirms ir vēlams noskaidrot, vai to ir iespējams NEKAVĒJOTIES kaut kā vienkāršot? Analizējot sistēmas vienādojumus, mēs pamanām, ka sistēmas otro vienādojumu var dalīt ar 2, ko mēs darām:

Atsauce: matemātiskais simbols nozīmē "no šī izriet", to bieži izmanto uzdevumu risināšanas gaitā.

Tagad mēs analizējam vienādojumus, mums ir jāizsaka daži mainīgie, izmantojot pārējos. Kuru vienādojumu izvēlēties? Jūs droši vien jau uzminējāt, ka vienkāršākais veids šim nolūkam ir ņemt sistēmas pirmo vienādojumu:

Šeit nav nozīmes, kuru mainīgo izteikt, tikpat labi var izteikt vai .

Tālāk mēs aizstājam izteiksmi sistēmas otrajā un trešajā vienādojumā:

Atveriet iekavas un pievienojiet līdzīgus terminus:

Trešo vienādojumu dalām ar 2:

No otrā vienādojuma mēs izsakām un aizstājam ar trešo vienādojumu:

Gandrīz viss ir gatavs, no trešā vienādojuma mēs atrodam:
No otrā vienādojuma:
No pirmā vienādojuma:

Pārbaude: katra sistēmas vienādojuma kreisajā pusē aizstājiet atrastās mainīgo vērtības:

1)
2)
3)

Tiek iegūtas atbilstošās vienādojumu labās puses, tāpēc risinājums tiek atrasts pareizi.

3. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu ar 4 nezināmajiem

Šis ir piemērs pašrisināšanai (atbilde nodarbības beigās).

Sistēmas atrisināšana, saskaitot (atņemot) sistēmas vienādojumus

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas gaitā jācenšas izmantot nevis “skolas metodi”, bet gan sistēmas vienādojumu saskaitīšanas (atņemšanas) metodi. Kāpēc? Tas ietaupa laiku un vienkāršo aprēķinus, tomēr tagad tas kļūs skaidrāks.

4. piemērs

Atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu:

Es izmantoju to pašu sistēmu kā pirmajā piemērā.
Analizējot vienādojumu sistēmu, redzams, ka mainīgā koeficienti ir identiski absolūtā vērtībā un pretēji pēc zīmes (–1 un 1). Šajā situācijā vienādojumus var pievienot pa vārdam:

Darbības, kas apvelktas ar sarkanu krāsu, tiek veiktas MENTĀLI.
Kā redzat, termiskās saskaitīšanas rezultātā mēs esam zaudējuši mainīgo . Tas patiesībā ir metodes būtība ir atbrīvoties no viena no mainīgajiem.