Integrāļu tabula ir pilnīga un integrācijas noteikumi. Transcendentālo funkciju integrāļi
1. definīcija
Antiatvasinājums $F(x)$ funkcijai $y=f(x)$ segmentā $$ ir funkcija, kas ir diferencējama katrā šī segmenta punktā, un uz tās atvasinājumu attiecas šāda vienlīdzība:
2. definīcija
Visu noteiktās funkcijas $y=f(x)$ antiatvasinājumu kopu, kas definēta kādā segmentā, sauc par dotās funkcijas $y=f(x)$ nenoteikto integrāli. Nenoteikto integrāli apzīmē ar simbolu $\int f(x)dx $.
No atvasinājumu tabulas un 2. definīcijas iegūstam pamata integrāļu tabulu.
1. piemērs
Pārbaudiet formulas 7 derīgumu no integrāļu tabulas:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
Atšķirsim labo pusi: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
2. piemērs
Pārbaudiet formulas 8 derīgumu no integrāļu tabulas:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
Atšķiriet labo pusi: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Atvasinājums izrādījās vienāds ar integrandu. Tāpēc formula ir pareiza.
3. piemērs
Pārbaudiet formulas 11" derīgumu no integrāļu tabulas:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
Atšķiriet labo pusi: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Atvasinājums izrādījās vienāds ar integrandu. Tāpēc formula ir pareiza.
4. piemērs
Pārbaudiet formulas 12 derīgumu no integrāļu tabulas:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]
Atšķiriet labo pusi: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Atvasinājums ir vienāds ar integrandu. Tāpēc formula ir pareiza.
5. piemērs
Pārbaudiet formulas 13 derīgumu no integrāļu tabulas:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]
Atšķiriet labo pusi: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) \]
Atvasinājums izrādījās vienāds ar integrandu. Tāpēc formula ir pareiza.
6. piemērs
Pārbaudiet formulas 14 derīgumu no integrāļu tabulas:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=konst.\]
Atšķiriet labo pusi: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Atvasinājums izrādījās vienāds ar integrandu. Tāpēc formula ir pareiza.
7. piemērs
Atrodiet integrāli:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Izmantosim integrāļa summas teorēmu:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Izmantosim teorēmu par pastāvīgā faktora izņemšanu no integrālzīmes:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Saskaņā ar integrāļu tabulu:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
Aprēķinot pirmo integrāli, mēs izmantojam 3. noteikumu:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Sekojoši,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]
Izmantojot to, ka integrācija ir diferenciācijas apgrieztā puse. pamatintegrāļu tabulu iespējams iegūt, apgriežot atbilstošās diferenciālrēķina formulas (diferenciāļu tabula) un izmantojot nenoteiktā integrāļa īpašības. Piemēram, jo
d(grēks u) = cos u*du, tad, apsverot galvenās integrācijas metodes, tiks dota vairāku tabulu formulu atvasināšana.
Tālāk esošajā tabulā iekļautie integrāļi tiek saukti tabulas veidā. Tie būtu jāzina no galvas. Integrālajā aprēķinos nav vienkāršu un universālu noteikumu, kā atrast antiatvasinājumus no elementārajām funkcijām, kā tas ir diferenciālrēķinos. Metodes antiatvasinājumu atrašanai (t.i., funkcijas integrēšanai) tiek reducētas līdz metožu norādīšanai, kas ienes doto (vēlamo) integrāli tabulā. Tāpēc ir jāzina tabulu integrāļi un jāprot tos atpazīt.
Ņemiet vērā, ka pamatintegrāļu tabulā integrācijas mainīgais un var apzīmēt gan neatkarīgu mainīgo, gan neatkarīga mainīgā funkciju (atbilstoši integrācijas formulas invariances īpašībai).
Zemāk esošo formulu derīgumu var pārbaudīt, labajā pusē ņemot diferenciāli, kas būs vienāds ar integrandu formulas kreisajā pusē.
Pierādīsim, piemēram, formulas 2 derīgumu. Funkcija 1/ u definēts un nepārtraukts visām vērtībām u, izņemot nulli.
Ja u> 0. tad ln | u| =ln u, tad d ln | u| = d ln u = du/u. Tāpēc 
Pamatintegrāļu tabula 
Mēs uzskaitām elementāro funkciju integrāļus, kurus dažreiz sauc par tabulām:
Jebkuru no iepriekšminētajām formulām var pierādīt, ņemot labās puses atvasinājumu (rezultātā tiks iegūts integrands).
Integrācijas metodes
Apskatīsim dažas integrācijas pamatmetodes. Tie ietver:
1. Dekompozīcijas metode(tieša integrācija).
Šīs metodes pamatā ir tabulu integrāļu tieša pielietošana, kā arī nenoteiktā integrāļa 4. un 5. īpašību pielietošana (t.i., konstantā faktora izņemšana no iekavas un/vai integrāda attēlošana kā funkciju summa - paplašinot integrandu terminos).
1. piemērs Piemēram, lai atrastu (dx/x 4), var tieši izmantot tabulas integrāli x n dx. Patiešām, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Apskatīsim vēl dažus piemērus.
2. piemērs Lai atrastu, mēs izmantojam to pašu integrāli:
3. piemērs Lai atrastu, ir jāņem
4. piemērs Lai atrastu, mēs attēlojam integrandu formā 
un izmantojiet tabulas integrāli eksponenciālajai funkcijai:
Apsveriet iespēju izmantot konstantā faktora iekavās.
5. piemērs
Atradīsim, piemēram 
. Ņemot to vērā, mēs saņemam
6. piemērs Atradīsim. Tāpēc ka 
, mēs izmantojam tabulas integrāli 
gūt
Šajos divos piemēros varat izmantot arī iekavas un tabulu integrāļus:
7. piemērs
(mēs izmantojam un 
);
8. piemērs
(mēs izmantojam 
un 
).
Apskatīsim sarežģītākus piemērus, kuros tiek izmantots integrālis.
9. piemērs Piemēram, atradīsim 
. Lai skaitītājā izmantotu paplašināšanas metodi, mēs izmantojam summas kuba formulu un pēc tam sadalām iegūto polinoma terminu ar saucēju.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Jāņem vērā, ka risinājuma beigās tiek ierakstīta viena kopēja konstante C (nevis atsevišķas, integrējot katru terminu). Nākotnē tiek piedāvāts arī risināšanas procesā izlaist konstantes no atsevišķu terminu integrācijas, ja vien izteiksme satur vismaz vienu nenoteiktu integrāli (vienu konstanti rakstīsim risinājuma beigās).
10. piemērs Atradīsim 
. Lai atrisinātu šo problēmu, mēs skaitītāju faktorizējam (pēc tam varam samazināt saucēju).
11. piemērs. Atradīsim. Šeit var izmantot trigonometriskās identitātes.
Dažreiz, lai izteicienu sadalītu terminos, jums ir jāizmanto sarežģītāki paņēmieni.
12. piemērs. Atradīsim 
. Integrandā mēs atlasām daļskaitļa veselo skaitļu daļu 
. Tad
13. piemērs Atradīsim
2. Mainīgā aizstāšanas metode (aizvietošanas metode)
Metodes pamatā ir šāda formula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kur x =(t) ir aplūkotajā intervālā diferencējama funkcija.
Pierādījums. Atradīsim atvasinājumus attiecībā pret mainīgo t no formulas kreisās un labās puses.
Ņemiet vērā, ka kreisajā pusē ir sarežģīta funkcija, kuras starparguments ir x = (t). Tāpēc, lai to diferencētu attiecībā pret t, mēs vispirms diferencējam integrāli attiecībā pret x un pēc tam ņemam starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā pret t.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
Labās puses atvasinājums:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Tā kā šie atvasinājumi ir vienādi, pēc Lagranža teorēmas izriet, ka pierādāmās formulas kreisā un labā daļa atšķiras ar kādu konstanti. Tā kā paši nenoteiktie integrāļi ir definēti līdz nenoteiktam konstantes termiņam, šo konstanti var izlaist galīgajā pierakstā. Pierādīts.
Veiksmīga mainīgā maiņa ļauj vienkāršot sākotnējo integrāli un vienkāršākajos gadījumos samazināt to līdz tabulas veidam. Šīs metodes pielietošanā tiek izdalītas lineārās un nelineārās aizstāšanas metodes.
a) Lineārās aizstāšanas metode apskatīsim piemēru.
1. piemērs
. Lett= 1 – 2x, tad
dx=d(½ - ½t) = - ½ dt
Jāņem vērā, ka jaunais mainīgais nav skaidri jāizraksta. Šādos gadījumos runā par funkcijas pārveidošanu zem diferenciāļa zīmes vai par konstantu un mainīgo ievadīšanu zem diferenciāļa zīmes, t.i. par implicītā mainīgā aizstāšana.
2. piemērs Piemēram, atradīsim cos(3x + 2)dx. Pēc diferenciāļa īpašībām dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), tadcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Abos aplūkotajos piemēros integrāļu atrašanai tika izmantota lineārā aizstāšana t=kx+b(k0).
Vispārīgā gadījumā ir spēkā šāda teorēma.
Lineārās aizstāšanas teorēma. Lai F(x) ir kāds funkcijas f(x) antiatvasinājums. Tadf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kur k un b ir dažas konstantes,k0.
Pierādījums.
Pēc integrāļa f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C definīcijas. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Integrāļa zīmei izņemam konstanto koeficientu k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Tagad vienādības kreiso un labo daļu varam dalīt ar k un iegūt pierādāmo apgalvojumu līdz konstanta vārda apzīmējumam.
Šī teorēma nosaka, ka, ja integrāļa f(x)dx= F(x) + C definīcijā tiek aizstāta izteiksme (kx+b), tad priekšā parādīsies papildu faktors 1/k. no antiatvasinājuma.
Izmantojot pārbaudīto teorēmu, mēs atrisinām šādus piemērus.
3. piemērs
Atradīsim 
. Šeit kx+b= 3 –x, t.i., k= -1,b= 3. Tad
4. piemērs
Atradīsim. Šeit kx+b= 4x+ 3, t.i., k= 4,b= 3. Tad
5. piemērs
Atradīsim 
. Šeit kx+b= -2x+ 7, t.i., k= -2,b= 7. Tad
.
6. piemērs Atradīsim 
. Šeit kx+b= 2x+ 0, t.i., k= 2,b=0.
.
Salīdzināsim iegūto rezultātu ar 8. piemēru, kas tika atrisināts ar dekompozīcijas metodi. Atrisinot to pašu problēmu ar citu metodi, mēs saņēmām atbildi 
. Salīdzināsim rezultātus: Tādējādi šīs izteiksmes atšķiras viena no otras ar nemainīgu terminu 
, t.i. saņemtās atbildes nav pretrunā viena otrai.
7. piemērs Atradīsim 
. Mēs izvēlamies pilnu kvadrātu saucējā.
Dažos gadījumos mainīgā lieluma maiņa nereducē integrāli tieši uz tabulu, bet tā var vienkāršot risinājumu, dodot iespēju nākamajā darbībā izmantot sadalīšanas metodi.
8. piemērs Piemēram, atradīsim 
. Aizstāt t=x+ 2, tad dt=d(x+ 2) =dx. Tad
,
kur C \u003d C 1 - 6 (aizvietojot t vietā izteiksmi (x + 2), pirmo divu vārdu vietā mēs iegūstam ½x 2 -2x - 6).
9. piemērs Atradīsim 
. Pieņemsim, ka t= 2x+ 1, tad dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.
Mēs aizstājam izteiksmi (2x + 1) t vietā, atveram iekavas un dodam līdzīgas.
Ņemiet vērā, ka transformāciju procesā mēs pārgājām uz citu nemainīgu terminu, jo konstanto terminu grupu transformāciju procesā varētu izlaist.
b) Nelineārās aizstāšanas metode apskatīsim piemēru.
1. piemērs
. Pieņemsim, ka t= -x 2 . Tālāk var izteikt x ar t, pēc tam atrast izteiksmi dx un ieviest mainīgā lieluma maiņu vēlamajā integrālī. Bet šajā gadījumā ir vieglāk rīkoties citādi. Atrodiet dt=d(-x 2) = -2xdx. Ņemiet vērā, ka izteiksme xdx ir vajadzīgā integrāļa integrāda faktors. Mēs to izsakām no iegūtās vienādības xdx= - ½dt. Tad
Integrācija ir viena no matemātiskās analīzes pamatoperācijām. Zināmo antiatvasinājumu tabulas var būt noderīgas, taču tagad, pēc datoralgebras sistēmu parādīšanās, tās zaudē savu nozīmi. Zemāk ir saraksts ar visizplatītākajiem antiderivatīviem līdzekļiem.
Pamatintegrāļu tabula
Vēl viena kompakta versija
Trigonometrisko funkciju integrāļu tabula
No racionālām funkcijām
No neracionālām funkcijām
Transcendentālo funkciju integrāļi
"C" ir patvaļīga integrācijas konstante, ko nosaka, ja ir zināma integrāļa vērtība kādā punktā. Katrai funkcijai ir bezgalīgs antiatvasinājumu skaits.
Lielākajai daļai skolēnu un studentu ir problēmas ar integrāļu aprēķināšanu. Šī lapa satur integrāļu tabulas no trigonometriskām, racionālām, iracionālām un transcendentālām funkcijām, kas palīdzēs risināšanā. Jums palīdzēs arī atvasinājumu tabula.