Viena įdomiausių geometrijos temų iš mokyklos kurso yra „Keturkampiai“ (8 klasė). Kokių tipų tokios figūros egzistuoja, kokiomis ypatingomis savybėmis jos pasižymi? Kuo išskirtiniai keturkampiai su devyniasdešimties laipsnių kampais? Panagrinėkime visa tai.

Kokia geometrinė figūra vadinama keturkampiu

Daugiakampiai, sudaryti iš keturių kraštinių ir atitinkamai iš keturių viršūnių (kampų), Euklido geometrijoje vadinami keturkampiais.

Įdomi šio tipo figūrų pavadinimų istorija. Rusų kalboje daiktavardis „keturkampis“ susidaro iš frazės „keturi kampai“ (kaip ir „trikampis“ – trys kampai, „pentagonas“ – penki kampai ir kt.).

Tačiau lotyniškai (per kurią daugelis geometrinių terminų atkeliavo į daugumą pasaulio kalbų) jis vadinamas keturkampiu. Šis žodis sudarytas iš skaitvardžio quadri (keturi) ir daiktavardžio latus (šonas). Taigi galime daryti išvadą, kad tarp senovės šis daugiakampis buvo vadinamas tik „keturkampiu“.

Beje, toks pavadinimas (pabrėžiant, kad šio tipo figūrose yra keturios pusės, o ne kampai) buvo išsaugotas kai kuriose šiuolaikinėse kalbose. Pavyzdžiui, anglų kalba – quadrilateral, o prancūziškai – quadrilatère.

Tuo pačiu metu daugumoje slavų kalbų nagrinėjamas figūrų tipas vis dar identifikuojamas pagal kampų skaičių, o ne pagal puses. Pavyzdžiui, slovakų (štvoruholník), bulgarų ("chetirigalnik"), baltarusių ("chatyrokhkutnik"), ukrainiečių ("chotirikutnik"), čekų (čtyřúhelník), bet lenkų kalboje keturkampis vadinamas skaičiumi šonai – czworoboczny.

Kokie keturkampių tipai nagrinėjami mokyklos programoje

Šiuolaikinėje geometrijoje yra 4 tipų daugiakampiai su keturiomis kraštinėmis.

Tačiau dėl pernelyg sudėtingų kai kurių iš jų savybių geometrijos pamokose moksleiviai supažindinami tik su dviem tipais.

• Lygiagretainis. Tokio keturkampio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios viena kitai ir atitinkamai yra lygios poromis.
• Trapecija (trapecija arba trapecija).Šį keturkampį sudaro dvi priešingos kraštinės, lygiagrečios viena kitai. Tačiau kitos šonų poros šios funkcijos neturi.

Mokyklos geometrijos kurse nenagrinėti keturkampių tipai

Be to, kas išdėstyta pirmiau, yra dar du keturkampių tipai, su kuriais moksleiviai nėra supažindinami geometrijos pamokose dėl ypatingo sudėtingumo.

• Deltinė (aitvaras)- figūra, kurioje kiekviena iš dviejų gretimų kraštinių porų yra vienodo ilgio viena kitai. Toks keturkampis gavo savo pavadinimą dėl to, kad savo išvaizda jis labai primena graikų abėcėlės raidę - „delta“.
• Antiparalelograma– ši figūra tokia pat sudėtinga, kaip ir jos pavadinimas. Jame dvi priešingos pusės yra lygios, bet tuo pačiu metu jos nėra lygiagrečios viena kitai. Be to, ilgos priešingos šio keturkampio kraštinės kerta viena kitą, kaip ir kitų dviejų trumpesnių kraštinių plėtiniai.

Lygiagretainio tipai

Išnagrinėjus pagrindinius keturkampių tipus, verta atkreipti dėmesį į jo porūšius. Taigi visi lygiagretainiai, savo ruožtu, taip pat yra suskirstyti į keturias grupes.

• Klasikinis lygiagretainis.
• Rombas (rombas)- keturkampė figūra su lygiomis kraštinėmis. Jo įstrižainės susikerta stačiu kampu, padalydamos rombą į keturis vienodus stačiuosius trikampius.
• Stačiakampis. Pavadinimas kalba pats už save. Kadangi tai yra keturkampis su stačiais kampais (kiekvienas iš jų yra lygus devyniasdešimt laipsnių). Jo priešingos pusės yra ne tik lygiagrečios viena kitai, bet ir lygios.
• Kvadratas (kvadratas). Kaip ir stačiakampis, jis yra stačiakampis keturkampis, tačiau jo visos kraštinės yra lygios viena kitai. Ši figūra artima rombui. Taigi galima teigti, kad kvadratas yra rombo ir stačiakampio kryžius.

Stačiakampio specialiosios savybės

Atsižvelgiant į figūras, kuriose kiekvienas kampas tarp kraštinių yra lygus devyniasdešimt laipsnių, verta atidžiau pažvelgti į stačiakampį. Taigi, kokių ypatingų savybių jis išskiria iš kitų lygiagretainių?

Norint teigti, kad nagrinėjamas lygiagretainis yra stačiakampis, jo įstrižainės turi būti lygios viena kitai, o kiekvienas kampas turi būti tiesus. Be to, jo įstrižainių kvadratas turi atitikti dviejų gretimų šios figūros kraštinių kvadratų sumą. Kitaip tariant, klasikinis stačiakampis susideda iš dviejų stačiakampių trikampių, o juose, kaip žinoma, nagrinėjamo keturkampio įstrižainė veikia kaip hipotenuzė.

Paskutinis iš išvardytų šios figūros ženklų taip pat yra jo ypatinga savybė. Be to, yra ir kitų. Pavyzdžiui, tai, kad visos tiriamo keturkampio kraštinės su stačiais kampais yra kartu ir jo aukščiai.

Be to, jei aplink kurį nors stačiakampį nubrėžiamas apskritimas, jo skersmuo bus lygus įrašytos figūros įstrižai.

Be kitų šio keturkampio savybių, jis yra plokščias ir neegzistuoja ne euklido geometrijoje. Taip yra dėl to, kad tokioje sistemoje nėra keturkampių figūrų, kurių kampų suma lygi trims šimtams šešiasdešimt laipsnių.

Aikštė ir jos ypatybės

Išnagrinėjus stačiakampio ženklus ir savybes, verta atkreipti dėmesį į antrąjį mokslui žinomą keturkampį su stačiais kampais (tai kvadratas).

Ši figūra iš tikrųjų yra tas pats stačiakampis, bet su lygiomis kraštinėmis, todėl ji turi visas savo savybes. Tačiau skirtingai nei jis, kvadratas yra ne euklido geometrijoje.

Be to, ši figūra turi ir kitų išskirtinių bruožų. Pavyzdžiui, tai, kad kvadrato įstrižainės ne tik yra lygios viena kitai, bet ir susikerta stačiu kampu. Taigi, kaip rombas, kvadratas susideda iš keturių stačiakampių trikampių, į kuriuos jis padalintas įstrižainėmis.

Be to, ši figūra yra simetriškiausia tarp visų keturkampių.

Kokia yra keturkampio kampų suma

Atsižvelgiant į Euklido geometrijos keturkampių ypatybes, verta atkreipti dėmesį į jų kampus.

Taigi kiekviename iš aukščiau pateiktų skaičių, nepaisant to, ar jis turi stačių kampų, ar ne, jų bendra suma visada yra tokia pati - trys šimtai šešiasdešimt laipsnių. Tai išskirtinis šio tipo figūrų bruožas.

Keturkampių perimetras

Išsiaiškinę, kokia yra keturkampio kampų suma ir kitos ypatingos tokio tipo figūrų savybės, verta žinoti, kokias formules geriausia naudoti apskaičiuojant jų perimetrą ir plotą.

Norėdami nustatyti bet kurio keturkampio perimetrą, tereikia sudėti visų jo kraštinių ilgį.

Pavyzdžiui, KLMN paveiksle jo perimetrą galima apskaičiuoti naudojant formulę: P \u003d KL + LM + MN + KN. Jei čia pakeisite skaičius, gausite: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Tuo atveju, kai nagrinėjama figūra yra rombas arba kvadratas, norėdami rasti perimetrą, galite supaprastinti formulę tiesiog padaugindami vienos iš jos kraštinių ilgį iš keturių: P \u003d KL x 4. Pavyzdžiui: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Ploto keturkampio formulės

Išsiaiškinę, kaip rasti bet kurios figūros, turinčios keturis kampus ir šonus, perimetrą, verta apsvarstyti populiariausius ir paprasčiausius jos ploto nustatymo būdus.

Kitos keturkampių savybės: įbrėžtieji ir apibrėžtieji apskritimai

Atsižvelgus į keturkampio, kaip Euklido geometrijos figūros, ypatybes ir savybes, verta atkreipti dėmesį į galimybę apibūdinti aplink arba įrašyti apskritimus jo viduje:

• Jei figūros priešingų kampų sumos yra po šimtą aštuoniasdešimt laipsnių ir yra poromis lygios viena kitai, tai aplink tokį keturkampį galima laisvai apibūdinti apskritimą.
• Pagal Ptolemėjaus teoremą, jei apskritimas yra apibrėžtas už daugiakampio su keturiomis kraštinėmis, tai jo įstrižainių sandauga yra lygi duotosios figūros priešingų kraštinių sandaugų sumai. Taigi formulė atrodys taip: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Jei pastatysite keturkampį, kuriame priešingų kraštinių sumos yra lygios viena kitai, tada jame galima įrašyti apskritimą.

Išsiaiškinę, kas yra keturkampis, kokie jo tipai egzistuoja, kurie iš jų turi tik stačius kampus tarp šonų ir kokias savybes jie turi, verta prisiminti visą šią medžiagą. Visų pirma, formulės, kaip rasti svarstomų daugiakampių perimetrą ir plotą. Juk tokios formos figūros yra vienos labiausiai paplitusių, o šios žinios gali būti naudingos atliekant skaičiavimus realiame gyvenime.

Apibrėžimas. Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios.

Nuosavybė. Lygiagretainio priešingos kraštinės yra lygios, o priešingi kampai yra lygūs.

Nuosavybė. Lygiagretainio įstrižainės dalinamos per susikirtimo tašką.

1 lygiagretainio ženklas. Jei dvi keturkampio kraštinės yra lygios ir lygiagrečios, tai keturkampis yra lygiagretainis.

2 lygiagretainio ženklas. Jei keturkampio priešingos kraštinės yra lygios poromis, tai keturkampis yra lygiagretainis.

3 lygiagretainio ženklas. Jei keturkampyje įstrižainės susikerta, o susikirtimo taškas yra padalintas į pusę, tai šis keturkampis yra lygiagretainis.

Apibrėžimas. Trapecija yra keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nėra lygiagrečios. Lygiagrečios pusės vadinamos pagrindu.

Trapecija vadinama lygiašonis (lygiašonis) jei jo kraštinės lygios. Lygiašonės trapecijos kampai prie pagrindų yra lygūs.

stačiakampio formos.

trapecijos vidurio linija. Vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusei.

Stačiakampis

Apibrėžimas.

Nuosavybė. Stačiakampio įstrižainės lygios.

Stačiakampis ženklas. Jei lygiagretainio įstrižainės lygios, tai lygiagretainis yra stačiakampis.

Apibrėžimas.

Nuosavybė. Rombo įstrižainės yra viena kitai statmenos ir dalija jo kampus.

Apibrėžimas.

Kvadratas yra tam tikros rūšies stačiakampis, taip pat tam tikros rūšies rombas. Todėl jis turi visas savo savybes.

Savybės:
1. Visi kvadrato kampai yra teisingi

Keturkampis visos taisyklės

Raktiniai žodžiai:
keturkampis, išgaubtas, kampų suma, keturkampio plotas

keturkampis vadinama figūra, susidedanti iš keturių taškų ir keturių juos nuosekliai jungiančių atkarpų. Šiuo atveju trys iš šių taškų neturėtų būti vienoje tiesėje, o juos jungiančios atkarpos neturėtų susikirsti.

• Keturkampio viršūnės vadinamos kaimyninis jei jie yra vienos iš jos pusių galai.
• Viršūnės, kurios nėra kaimynės , paskambino priešingas .
• Vadinamos tiesių atkarpos, jungiančios priešingas keturkampio viršūnes įstrižainės .
• Keturkampio kraštinės, kilusios iš tos pačios viršūnės, vadinamos kaimyninis vakarėliams.
• Vadinamos tos pusės, kurios neturi bendro galo priešingas vakarėliams.
• Keturkampis vadinamas išgaubtas , jei jis yra vienoje pusplokštumoje tiesės, kurioje yra bet kuri jos kraštinė, atžvilgiu.

Keturkampių tipai

1. Lygiagretainis Keturkampis, kurio priešingos kraštinės lygiagrečios
   • Stačiakampis lygiagretainis su visais stačiais kampais
   • Rombas - lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios
   • Kvadratas - stačiakampis, kurio visos kraštinės lygios
2. Trapecija - keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės nėra lygiagrečios
3. Deltinė Keturkampis, kurio dvi gretimų kraštinių poros yra lygios

Keturkampiai

keturkampis vadinama figūra, susidedanti iš keturių taškų ir keturių juos nuosekliai jungiančių atkarpų. Šiuo atveju trys iš šių taškų nėra toje pačioje tiesėje, o juos jungiančios atkarpos nesikerta.

priešingas. priešingas.

Keturkampių tipai

Lygiagretainis

Lygiagretainis vadinamas keturkampiu, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios.

Lygiagretainės savybės

• priešingos pusės yra lygios;
• priešingi kampai yra lygūs;
• įstrižainių kvadratų suma yra lygi visų kraštinių kvadratų sumai:

Lygiagretainės savybės

Trapecija Vadinamas keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi nėra lygiagrečios.

Lygiagrečios trapecijos kraštinės vadinamos jos pagrindu ir nelygiagrečios pusės pusės. Atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus, vadinama vidurinė linija.

Trapecija vadinama lygiašoniai(arba lygiašoniai), jei jo kraštinės lygios.

Vadinama trapecija su vienu stačiu kampu stačiakampio formos.

Trapecijos savybės

Trapecijos požymiai

Stačiakampis

Stačiakampis Lygiagretainis vadinamas, jei visi kampai yra stačiakampiai.

Stačiakampio savybės

Stačiakampio ypatybės

Lygiagretainis yra stačiakampis, jei:

1. Vienas iš jo kampų yra teisingas.
2. Jo įstrižainės lygios.

Rombas Lygiagretainis vadinamas, jei visos kraštinės lygios.

Rombo savybės

• visos lygiagretainio savybės;
• įstrižainės yra statmenos;

Rombo ženklai

Kvadratas Vadinamas stačiakampis, kurio visos kraštinės yra lygios.

Kvadratinės savybės

• visi aikštės kampai yra teisingi;
• kvadrato įstrižainės lygios, viena kitai statmenos, susikirtimo taškas padalintas pusiau, o kvadrato kampai – pusiau.

Kvadratiniai ženklai

Pagrindinės formulės

S=d 1 d 2 nuodėmė

Lygiagretainis
a ir b- gretimos šalys; - kampas tarp jų; h a - aukštis į šoną a.

S = ab sin

S=d 1 d 2 nuodėmė

Trapecija
a ir b- pagrindai; h- atstumas tarp jų; l- vidurinė linija .

Stačiakampis

S=d 1 d 2 nuodėmė

S = a 2 nuodėmė

S=d 1 d 2

Kvadratas
d- įstrižainė.

www.univer.omsk.su

Keturkampių savybės. Keturkampių tipai. Savavališkų keturkampių savybės. Lygiagretainės savybės. Rombo savybės. Stačiakampio savybės. Kvadratinės savybės. trapecijos formos savybės. Maždaug 7-9 klasė (13-15 metų)

Keturkampių savybės. Keturkampių tipai. Savavališkų keturkampių savybės.
Lygiagretainės savybės. Rombo savybės. Stačiakampio savybės. Kvadratinės savybės. trapecijos formos savybės.

Keturkampių tipai:

• Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra lygiagrečios

• Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios.

• Stačiakampis yra lygiagretainis su visais stačiais kampais.

• Kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės lygios.

Savavališkų keturkampių savybės:

Lygiagretainės savybės:

Rombo savybės:

Stačiakampio savybės:

Kvadrato savybės:

Trapecijos savybės:

Konsultacijos ir techninės
svetainės palaikymas: Zavarka Team

Keturkampis visos taisyklės

Neeuklido geometrija, geometrija panaši į geometriją Euklidas tuo, kad apibrėžia figūrų judėjimą, bet skiriasi nuo euklido geometrijos tuo, kad vienas iš penkių jos postulatų (antrasis arba penktasis) pakeičiamas jo neigimu. Vieno iš Euklido postulatų (1825 m.) paneigimas buvo reikšmingas įvykis minties istorijoje, nes tai buvo pirmasis žingsnis link Reliatyvumo teorija.

Antrasis Euklido postulatas teigia, kad bet kurią linijos atkarpą galima pratęsti neribotą laiką. Euklidas, matyt, tikėjo, kad šiame postulate taip pat yra teiginys, kad tiesės ilgis yra begalinis. Tačiau "elipsinėje" geometrijoje bet kuri tiesė yra baigtinė ir, kaip apskritimas, yra uždara.

Penktasis postulatas teigia, kad jei tiesė kerta dvi nurodytas tieses taip, kad du vidiniai kampai vienoje jos pusėje yra mažesni už du stačiuosius kampus, tada šios dvi tiesės, jei jos pratęstos neribotai, susikirs toje pusėje, kur šių kampų suma yra mažesnė už dviejų tiesių sumą. Tačiau „hiperbolinėje“ geometrijoje gali egzistuoti tiesė CB (žr. pav.), kuri taške C yra statmena nurodytai tiesei r ir taške B smailiu kampu kerta kitą tiesę s, tačiau, nepaisant to, begalinės tiesės r ir s niekada nesusikirs.

Iš šių pataisytų postulatų išplaukė, kad trikampio kampų suma, lygi 180° Euklido geometrijoje, yra didesnė nei 180° elipsinėje geometrijoje ir mažesnė nei 180° hiperbolinėje geometrijoje.

Keturkampis

Keturkampis yra daugiakampis, turintis keturias viršūnes ir keturias kraštines.

Keturkampis, geometrinė figūra – daugiakampis su keturiais kampais, taip pat bet koks objektas, šios formos įtaisas.

Vadinamos dvi negretimos keturkampio kraštinės priešingas. Taip pat vadinamos dvi negretimos viršūnės priešingas.

Keturkampiai yra išgaubti (kaip ABCD) ir
neišgaubtas (A 1 B 1 C 1 D 1).

Keturkampių tipai

• Lygiagretainis- keturkampis, kurio visos priešingos kraštinės yra lygiagrečios;
• Stačiakampis- keturkampis su visais stačiais kampais;
• Rombas- keturkampis, kurio visos kraštinės lygios;
• Kvadratas- keturkampis, kurio visi kampai yra statūs ir visos kraštinės lygios;
• Trapecija- keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės lygiagrečios;
• Deltinė Keturkampis, kurio dvi gretimų kraštinių poros yra lygios.

Lygiagretainis

Lygiagretainis yra keturkampis, kurio priešingos kraštinės yra poromis lygiagrečios.

Lygiagretainė (iš graikų paralelos - lygiagreti ir grame - linija), ty guli ant lygiagrečių tiesių. Ypatingi lygiagretainio atvejai yra stačiakampis, kvadratas ir rombas.

• priešingos pusės yra lygios;
• priešingi kampai yra lygūs;
• susikirtimo taško įstrižainės dalijamos pusiau;
• kampų, besiribojančių su viena kraštine, suma yra 180°;
• įstrižainių kvadratų suma lygi visų kraštinių kvadratų sumai.

Keturkampis yra lygiagretainis, jei:

1. Jo dvi priešingos kraštinės yra lygios ir lygiagrečios.
2. Priešingos pusės yra lygios poromis.
3. Priešingi kampai poromis lygūs.
4. Susikirtimo taško įstrižainės dalijamos pusiau.

Stačiakampis

Stačiakampis yra lygiagretainis su visais stačiais kampais.

• priešingos pusės yra lygios;
• priešingi kampai yra lygūs;
• susikirtimo taško įstrižainės dalijamos pusiau;
• kampų, besiribojančių su viena kraštine, suma yra 180°;
• įstrižainės lygios.

Lygiagretainis yra stačiakampis, jei:

1. Vienas iš jo kampų yra teisingas.
2. Jo įstrižainės lygios.

Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra lygios.

• priešingos pusės yra lygios;
• priešingi kampai yra lygūs;
• susikirtimo taško įstrižainės dalijamos pusiau;
• kampų, besiribojančių su viena kraštine, suma yra 180°;
• įstrižainių kvadratų suma lygi visų kraštinių kvadratų sumai;
• įstrižainės yra statmenos;
• įstrižainės yra jos kampų pusiausvyros.

Lygiagretainis yra rombas, jei:

1. Dvi gretimos jo kraštinės yra lygios.
2. Jo įstrižainės yra statmenos.
3. Viena iš įstrižainių yra jos kampo pusiausvyra.

Kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės yra lygios.

• visi aikštės kampai yra teisingi;
• kvadrato įstrižainės lygios, viena kitai statmenos, susikirtimo taškas padalintas pusiau, o kvadrato kampai – pusiau.

1. Stačiakampis yra kvadratas, jei jis turi kokią nors rombo savybę.

Trapecija yra keturkampis, kurio dvi priešingos kraštinės yra lygiagrečios, o kitos dvi nėra lygiagrečios.

Lygiagrečios trapecijos kraštinės vadinamos jos pagrindais, o nelygiagrečios – kraštinėmis. Atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus, vadinama vidurio linija.

Trapecija vadinama lygiašone (arba lygiašone), jei jos kraštinės yra lygios.

Trapecija su vienu stačiu kampu vadinama stačiakampe trapecija.

• jo vidurio linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų pusei;
• jei trapecija lygiašonė, tai jos įstrižainės lygios, o kampai prie pagrindo lygūs;
• jei trapecija lygiašonė, tai aplink ją galima apibūdinti apskritimą;
• jei bazių suma lygi kraštinių sumai, tai į jį galima įrašyti apskritimą.

1. Keturkampis yra trapecija, jei jo lygiagrečios kraštinės nėra lygios

Deltinė Keturkampis su dviem tokio paties ilgio kraštinių poromis. Skirtingai nuo lygiagretainio, dvi poros gretimų kraštinių yra ne lygios, o dvi poros gretimų kraštinių. Deltinis raumuo yra aitvaro formos.

• Kampai tarp nevienodo ilgio kraštinių yra lygūs.
• Deltinio raumens įstrižainės (ar jų plėtiniai) susikerta stačiu kampu.
• Apskritimas gali būti įrašytas į bet kurį išgaubtą deltinį raumenį, be to, jei delta raumuo nėra rombas, tada yra kitas apskritimas, liečiantis visų keturių kraštinių plėtinius. Neišgaubtam deltiniam raumeniui galima sukurti apskritimą, liečiantį dvi didesnes kraštines ir dviejų mažesnių kraštinių plėtinius, ir apskritimą, liečiantį dvi mažesnes kraštines ir dviejų didesnių kraštinių plėtinius.

• Jeigu kampas tarp nelygių deltinio raumens kraštinių yra tiesi, tai joje galima įrašyti apskritimą (apibūdintą deltinį raumenį).
• Jei deltinio raumens priešingų kraštinių pora yra lygios, tai toks deltinis raumenynas yra rombas.
• Jei deltinio raumens priešingų kraštinių pora ir abi įstrižainės yra lygios, tai delta raumenys yra kvadratas. Įrašytas deltinis raumuo su lygiomis įstrižainėmis taip pat yra kvadratas.

Geometrijos atsiradimas siekia senovės laikus ir lėmė praktiniai žmogaus veiklos poreikiai (būtinybė matuoti žemę, matuoti įvairių kūnų tūrius ir kt.).

Paprasčiausia geometrinė informacija ir sąvokos buvo žinomos senovės Egipte. Šiuo laikotarpiu geometriniai teiginiai buvo formuluojami taisyklių, pateiktų be įrodymų, forma.

Nuo VII amžiaus prieš Kristų e. iki 1-ojo mūsų eros amžiaus e. geometrija kaip mokslas sparčiai vystėsi senovės Graikijoje. Šiuo laikotarpiu vyko ne tik įvairios geometrinės informacijos kaupimas, bet ir buvo parengta geometrinių teiginių įrodinėjimo metodika, pirmieji bandymai suformuluoti pagrindines pirmines geometrijos nuostatas (aksiomas), iš kurių daug įvairių geometrinių teiginiai išvedami grynai loginiu samprotavimu. Geometrijos išsivystymo lygis senovės Graikijoje atsispindi Euklido veikale „Pradžia“.

Šioje knygoje pirmą kartą buvo bandoma pateikti sistemingą planimetrijos konstravimą, remiantis pagrindinėmis neapibrėžtomis geometrinėmis sąvokomis ir aksiomomis (postulatais).

Ypatingą vietą matematikos istorijoje užima penktasis Euklido postulatas (lygiagrečių tiesių aksioma). Ilgą laiką matematikai nesėkmingai bandė penktąjį postulatą išvesti iš likusių Euklido postulatų ir tik XIX amžiaus viduryje N. I. Lobačevskio, B. Riemanno ir J. Bojaus studijų dėka paaiškėjo, kad penktasis postulatas negali būti kildinamas iš kitų, o Euklido pasiūlyta aksiomų sistema nėra vienintelė galima.

Euklido „Elementai“ turėjo didžiulę įtaką matematikos raidai. Daugiau nei du tūkstančius metų ši knyga buvo ne tik geometrijos vadovėlis, bet ir daugelio matematinių studijų atspirties taškas, dėl kurių atsirado naujų savarankiškų matematikos šakų.

Sistemingas geometrijos konstravimas paprastai atliekamas pagal šį planą:

aš. Išvardintos pagrindinės geometrinės sąvokos, kurios pateikiamos be apibrėžimų.

II. Pateikiama geometrijos aksiomų formuluotė.

III. Remiantis aksiomomis ir pagrindinėmis geometrinėmis sąvokomis, formuluojamos kitos geometrinės sąvokos ir teoremos.

1. Neeuklido geometrijos pavadinimo kilmė?
2. Kokios formos vadinamos keturkampiais?
3. Lygiagretainio savybės?
4. Keturkampių tipai?

Naudotų šaltinių sąrašas

1. A.G. Tsypkinas. Matematikos vadovas
2. „Vieningas valstybinis egzaminas 2006. Matematika. Mokomoji ir mokomoji medžiaga studentų rengimui / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. „M. I. Scanavi redaguoto rinkinio pagrindinių matematikos konkurencinių uždavinių sprendimas“

Darbas prie pamokos

Galite iškelti klausimą apie šiuolaikinį švietimą, išsakyti idėją ar išspręsti skubią problemą adresu Švietimo forumas kur tarptautiniu mastu susirenka šviežių minčių ir veiksmų švietimo taryba. Sukūrę dienoraštis, Jūs ne tik pagerinsite savo, kaip kompetentingo mokytojo, statusą, bet ir svariai prisidėsite prie ateities mokyklos kūrimo. Švietimo lyderių gildija atveria duris aukščiausio rango specialistams ir kviečia bendradarbiauti kuriant geriausias pasaulio mokyklas.

Populiaru:

• 282 straipsnis. Neapykantos ar priešiškumo kurstymas, taip pat žmogaus orumo žeminimas
• Pelno mokesčio skaičiuoklė Kaip apskaičiuoti pelno mokestį Pasikeitė avansinių mokėjimų apskaičiavimo forma. Pradedant nuo 2017 m. pirmojo pusmečio ataskaitų, skaičiuojant pelno mokesčio […]
• Ekologijos dėsniai Per daugiau nei 100 metų išsamiai tiriant populiacijas ir bendruomenes buvo sukaupta daugybė faktų. Tarp jų – didelis skaičius, atspindintis atsitiktinius ar netaisyklingus reiškinius ir procesus. Bet ne […]
• Pensijų aprūpinimo galimybės privalomojo pensijų draudimo sistemoje Iki 2015 m. pabaigos piliečiai, gimę 1967 m. ir jaunesni, galėjo pasirinkti, ar toliau kaupti pensiją […]
• Žemės ūkio ministerijos įsakymas 549 Įregistruotas Rusijos Federacijos teisingumo ministerijoje 2009 m. kovo 5 d. N 13476 RUSIJOS FEDERACIJOS ŽEMĖS ŪKIO MINISTERIJOS 2008 m. gruodžio 16 d. IR […]
• Nuo 2018 m. sausio 1 d. didinamos pensijos neįgaliems vaikams Piliečių aprūpinimas pensijomis yra valstybės pareiga. Tai nurodyta šalies įstatymų kodekse – Konstitucijoje. Tarp neįgaliųjų, kuriems reikia […]
• UAB „RUSSIAN RAILWAYS“ vidaus tvarkos taisyklės 2012 m. liepos 26 d. Įsakymas N 87 „DĖL VIDAUS DARBO REGLAMENTO REGIONINIŲ PASLAUGŲ IR KELEIVIŲ TRANSPORTO Plėtros departamento (SKYRIAUS)“ NUOSTATŲ PATVIRTINIMO
• 3 pozityvizmo, kaip filosofinio judėjimo, etapų dėsnis išplaukia iš nuostatos, kad didžioji dalis žinių apie pasaulį, žmogų ir visuomenę gaunama specialiuose moksluose, kad „pozityvus“ mokslas turėtų atsisakyti bandymų […]

Su keturiais kampais ir keturiomis pusėmis. Keturkampį sudaro uždara polilinija, susidedanti iš keturių grandžių, ir ta plokštumos dalis, kuri yra polilinijos viduje.

Keturkampio žymėjimas susideda iš raidžių jo viršūnėse, jas pavadinant eilės tvarka. Pavyzdžiui, jie sako arba rašo: keturkampis ABCD :

Keturkampyje ABCD taškų A, B, C ir D- Tai keturkampių viršūnių, segmentai AB, pr. Kr, CD ir DA - pusės.

Viršūnės, priklausančios tai pačiai pusei, vadinamos kaimyninis, vadinamos negretimos viršūnės priešingas:

Keturkampyje ABCD viršūnės A ir B, B ir C, C ir D, D ir A yra gretimos, o viršūnės A ir C, B ir D- priešingas. Kampai, esantys gretimose viršūnėse, taip pat vadinami kaimyniniais, o priešingose ​​viršūnėse - priešingais.

Keturkampio kraštinės taip pat gali būti skirstomos poromis į gretimas ir priešingas puses: kraštinės, turinčios bendrą viršūnę, vadinamos. kaimyninis(arba susijęs), pusės, kurios neturi bendrų viršūnių - priešingas:

Vakarėliai AB ir pr. Kr, pr. Kr ir CD, CD ir DA, DA ir AB yra greta, ir šonai AB ir DC, REKLAMA ir pr. Kr- priešingas.

Jei priešingos viršūnės yra sujungtos atkarpa, tada tokia atkarpa bus vadinama keturkampio įstrižainė. Atsižvelgiant į tai, kad keturkampyje yra tik dvi poros priešingų viršūnių, tada gali būti tik dvi įstrižainės:

Segmentai AC ir BD- įstrižainės.

Apsvarstykite pagrindinius išgaubtų keturkampių tipus:

• Trapecija- keturkampis, kuriame viena priešingų kraštinių pora yra lygiagreti viena kitai, o kita pora nėra lygiagreti.
  • Lygiašonis trapecija- trapecija, kurios kraštinės lygios.
  • Stačiakampė trapecija Trapecija su vienu iš stačiųjų kampų.
• Lygiagretainis Keturkampis, kuriame abi priešingų kraštinių poros yra lygiagrečios viena kitai.
  • Stačiakampis Lygiagretainis, kurio visi kampai lygūs.
  • Rombas Lygiagretainis, kurio visos kraštinės lygios.
  • Kvadratas Lygiagretainis su lygiomis kraštinėmis ir kampais. Kvadratas gali būti ir stačiakampis, ir rombas.

Išgaubtų keturkampių kampinės savybės

Visi išgaubti keturkampiai turi šias dvi savybes:

1. Bet koks vidinis kampas, mažesnis nei 180°.
2. Vidinių kampų suma yra 360°.

Pamokos tema

• Keturkampio apibrėžimas.

Pamokos tikslai

• Edukacinis - žinių kartojimas, apibendrinimas ir patikrinimas tema: „Keturkampiai“; pagrindinių įgūdžių ugdymas.
• Lavinantis – ugdyti mokinių dėmesį, užsispyrimą, užsispyrimą, loginį mąstymą, matematinį kalbėjimą.
• Mokomoji – per pamoką ugdyti dėmesingą požiūrį vienas į kitą, ugdyti gebėjimą išklausyti bendražygius, savitarpio pagalbą, savarankiškumą.

Pamokos tikslai

• Formuoti keturkampio kūrimo įgūdžius naudojant mastelio juostą ir piešimo trikampį.
• Patikrinkite mokinių gebėjimą spręsti problemas.

Pamokos planas

1. Istorijos nuoroda. Neeuklidinė geometrija.
2. Keturkampis.
3. Keturkampių tipai.

Neeuklidinė geometrija

Neeuklido geometrija, geometrija panaši į geometriją Euklidas tuo, kad apibrėžia figūrų judėjimą, bet skiriasi nuo euklido geometrijos tuo, kad vienas iš penkių jos postulatų (antrasis arba penktasis) pakeičiamas jo neigimu. Vieno iš Euklido postulatų (1825 m.) paneigimas buvo reikšmingas įvykis minties istorijoje, nes tai buvo pirmasis žingsnis link Reliatyvumo teorija.

Antrasis Euklido postulatas teigia, kad bet kurią linijos atkarpą galima pratęsti neribotą laiką. Euklidas, matyt, tikėjo, kad šiame postulate taip pat yra teiginys, kad tiesės ilgis yra begalinis. Tačiau "elipsinėje" geometrijoje bet kuri tiesė yra baigtinė ir, kaip apskritimas, yra uždara.

Penktasis postulatas teigia, kad jei tiesė kerta dvi nurodytas tieses taip, kad du vidiniai kampai vienoje jos pusėje yra mažesni už du stačiuosius kampus, tada šios dvi tiesės, jei jos pratęstos neribotai, susikirs toje pusėje, kur šių kampų suma yra mažesnė už dviejų tiesių sumą. Tačiau „hiperbolinėje“ geometrijoje gali egzistuoti tiesė CB (žr. pav.), kuri taške C yra statmena nurodytai tiesei r ir taške B smailiu kampu kerta kitą tiesę s, tačiau, nepaisant to, begalinės tiesės r ir s niekada nesusikirs.

Iš šių pataisytų postulatų išplaukė, kad trikampio kampų suma, lygi 180° Euklido geometrijoje, yra didesnė nei 180° elipsinėje geometrijoje ir mažesnė nei 180° hiperbolinėje geometrijoje.

Keturkampis

Dalykai > Matematika > Matematika 8 klasė

Išgaubtas keturkampis yra figūra, susidedanti iš keturių kraštinių, sujungtų viena su kita viršūnėse, sudarančių keturis kampus kartu su kraštinėmis, o pats keturkampis visada yra toje pačioje plokštumoje tiesės, kurioje yra viena iš jo kraštinių, atžvilgiu. Kitaip tariant, visa figūra yra vienoje iš bet kurios jos pusių pusės.

Susisiekus su

Kaip matote, apibrėžimą gana lengva prisiminti.

Pagrindinės savybės ir tipai

Beveik visos mums žinomos figūros, susidedančios iš keturių kampų ir šonų, gali būti priskirtos išgaubtiems keturkampiams. Galima išskirti šiuos dalykus:

1. lygiagretainis;
2. kvadratas;
3. stačiakampis;
4. trapecijos formos;
5. rombas.

Visas šias figūras vienija ne tik tai, kad jos yra keturkampės, bet ir tai, kad jos yra ir išgaubtos. Tiesiog pažiūrėkite į diagramą:

Paveiksle pavaizduota išgaubta trapecija. Čia matote, kad trapecija yra toje pačioje plokštumoje arba vienoje atkarpos pusėje. Jei atliksite panašius veiksmus, galite sužinoti, kad visų kitų pusių atveju trapecija yra išgaubta.

Ar lygiagretainis yra išgaubtas keturkampis?

Viršuje yra lygiagretainio vaizdas. Kaip matyti iš paveikslo, lygiagretainis taip pat yra išgaubtas. Jei pažvelgsite į figūrą tiesių, ant kurių yra atkarpos AB, BC, CD ir AD, atžvilgiu, paaiškėja, kad ji visada yra toje pačioje plokštumoje iš šių linijų. Pagrindiniai lygiagretainio bruožai yra tai, kad jo kraštinės yra poromis lygiagrečios ir lygios taip pat, kaip priešingi kampai yra lygūs vienas kitam.

Dabar įsivaizduokite kvadratą arba stačiakampį. Pagal savo pagrindines savybes jie taip pat yra lygiagretainiai, tai yra, visos jų pusės yra lygiagrečiai išdėstytos poromis. Tik stačiakampio atveju kraštinių ilgis gali būti skirtingas, o kampai yra stačiakampiai (lygūs 90 laipsnių), kvadratas yra stačiakampis, kurio visos kraštinės yra lygios ir kampai taip pat yra tiesūs, o ilgiai lygiagretainio kraštinių ir kampų gali būti skirtingi.

Dėl to visų keturių keturkampio kampų suma turi būti lygus 360 laipsnių. Lengviausias būdas tai nustatyti yra stačiakampis: visi keturi stačiakampio kampai yra tiesūs, tai yra, lygūs 90 laipsnių. Šių 90 laipsnių kampų suma duoda 360 laipsnių, kitaip tariant, 4 kartus pridėjus 90 laipsnių, gaunamas norimas rezultatas.

Išgaubto keturkampio įstrižainių savybė

Išgaubto keturkampio įstrižainės susikerta. Iš tiesų, šį reiškinį galima stebėti vizualiai, tiesiog pažiūrėkite į paveikslą:

Paveikslėlyje kairėje pavaizduotas neišgaubtas keturkampis arba keturkampis. Kaip nori. Kaip matote, įstrižainės nesikerta, bent jau ne visos. Dešinėje yra išgaubtas keturkampis. Čia jau pastebima įstrižainių savybė susikirsti. Ta pati savybė gali būti laikoma keturkampio išgaubimo ženklu.

Kitos keturkampio išgaubimo savybės ir požymiai

Konkrečiai, pagal šį terminą labai sunku įvardyti kokias nors konkrečias savybes ir ypatybes. Lengviau atskirti pagal įvairius tokio tipo keturkampius. Galite pradėti nuo lygiagretainio. Jau žinome, kad tai keturkampė figūra, kurios kraštinės poromis lygiagrečios ir lygios. Kartu čia taip pat įtraukiama lygiagretainio įstrižainių savybė susikirsti viena su kita, taip pat pačios figūros išgaubimo ženklas: lygiagretainis visada yra toje pačioje plokštumoje ir vienoje pusėje santykinis. į bet kurią jo pusę.

Taigi, žinomos pagrindinės savybės ir savybės:

1. keturkampio kampų suma lygi 360 laipsnių;
2. figūrų įstrižainės susikerta viename taške.

Stačiakampis. Ši figūra turi visas tas pačias savybes ir savybes kaip lygiagretainis, tačiau visi jo kampai yra lygūs 90 laipsnių. Taigi pavadinimas, stačiakampis.

Kvadratas, tas pats lygiagretainis, bet jo kampai yra teisingi, kaip stačiakampio. Dėl šios priežasties kvadratas retai vadinamas stačiakampiu. Tačiau pagrindinis kvadrato skiriamasis bruožas, be jau išvardintų aukščiau, yra tas, kad visos keturios jo kraštinės yra lygios.

Trapecija yra labai įdomi figūra.. Tai taip pat yra keturkampis ir taip pat išgaubtas. Šiame straipsnyje trapecija jau buvo svarstoma naudojant brėžinio pavyzdį. Aišku, kad ji ir išgaubta. Pagrindinis skirtumas ir atitinkamai trapecijos ženklas yra tas, kad jos kraštinės gali būti visiškai nelygios viena kitai ilgio, taip pat kampų vertės. Šiuo atveju figūra visada išlieka toje pačioje plokštumoje bet kurios tiesės, jungiančios bet kurias dvi jos viršūnes išilgai figūrą sudarančių atkarpų, atžvilgiu.

Rombas yra ne mažiau įdomi figūra. Iš dalies rombas gali būti laikomas kvadratu. Rombo ženklas yra tai, kad jo įstrižainės ne tik susikerta, bet ir dalija rombo kampus pusiau, o pačios įstrižainės susikerta stačiu kampu, tai yra, yra statmenos. Jei rombo kraštinių ilgiai lygūs, tai ir įstrižainės sankirtoje dalijamos pusiau.

Deltai arba išgaubti rombai (rombai) gali turėti skirtingą šonų ilgį. Tačiau tuo pačiu metu išlieka ir pagrindinės paties rombo savybės bei ypatybės, ir išgaubimo ypatybės bei savybės. Tai yra, galime pastebėti, kad įstrižainės dalija kampus ir susikerta stačiu kampu.

Šios dienos užduotis buvo apsvarstyti ir suprasti, kas yra išgaubti keturkampiai, kas jie yra ir kokios yra pagrindinės jų savybės ir savybės. Dėmesio! Verta dar kartą priminti, kad išgaubto keturkampio kampų suma yra 360 laipsnių. Pavyzdžiui, figūrų perimetras yra lygus visų figūrą sudarančių segmentų ilgių sumai. Keturkampių perimetro ir ploto apskaičiavimo formulės bus aptariamos tolesniuose straipsniuose.

Išgaubtų keturkampių tipai