શાળાના અભ્યાસક્રમમાંથી ભૂમિતિના સૌથી રસપ્રદ વિષયોમાંનો એક છે "ક્વાડેંગલ્સ" (ગ્રેડ 8). કયા પ્રકારનાં આકૃતિઓ અસ્તિત્વમાં છે, તેમની પાસે કઈ વિશેષ ગુણધર્મો છે? નેવું-અંશ ખૂણાવાળા ચતુષ્કોણ વિશે શું વિશિષ્ટ છે? ચાલો આ બધાની તપાસ કરીએ.

કઈ ભૌમિતિક આકૃતિને ચતુષ્કોણ કહેવાય છે

બહુકોણ, જેમાં ચાર બાજુઓ અને અનુક્રમે ચાર શિરોબિંદુઓ (ખૂણા) હોય છે, તેને યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે.

આ પ્રકારની આકૃતિઓના નામનો ઇતિહાસ રસપ્રદ છે. રશિયન ભાષામાં, સંજ્ઞા "ચતુષ્કોણીય" શબ્દ "ચાર ખૂણા" (જેમ કે "ત્રિકોણ" - ત્રણ ખૂણા, "પેન્ટાગોન" - પાંચ ખૂણા વગેરે) વાક્યમાંથી રચાય છે.

જો કે, લેટિનમાં (જેના દ્વારા વિશ્વની મોટાભાગની ભાષાઓમાં ઘણા ભૌમિતિક શબ્દો આવ્યા છે), તેને ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે. આ શબ્દ સંખ્યાત્મક ચતુર્થાંશ (ચાર) અને સંજ્ઞા લાટસ (બાજુ) પરથી બન્યો છે. તેથી આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ કે પ્રાચીન લોકોમાં આ બહુકોણને ફક્ત "ચાર બાજુવાળા" તરીકે ઓળખવામાં આવતો હતો.

માર્ગ દ્વારા, આવા નામ (આ પ્રકારની આકૃતિઓમાં ખૂણાને બદલે ચાર બાજુઓની હાજરી પર ભાર મૂકે છે) કેટલીક આધુનિક ભાષાઓમાં સાચવવામાં આવ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંગ્રેજીમાં - quadrilateral અને ફ્રેન્ચમાં - quadrilatère.

તે જ સમયે, મોટાભાગની સ્લેવિક ભાષાઓમાં, આકૃતિઓનો માનવામાં આવતો પ્રકાર હજી પણ ખૂણાઓની સંખ્યા દ્વારા ઓળખાય છે, બાજુઓથી નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, સ્લોવાકમાં (štvoruholník), બલ્ગેરિયનમાં (“chetirigalnik”), બેલારુસિયનમાં (“chatyrokhkutnik”), યુક્રેનિયનમાં (“chotirikutnik”), ચેકમાં (čtyřúhelník), પરંતુ પોલિશમાં ચતુષ્કોણને સંખ્યા દ્વારા કહેવામાં આવે છે. બાજુઓ - czworoboczny.

શાળાના અભ્યાસક્રમમાં કયા પ્રકારના ચતુષ્કોણનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે

આધુનિક ભૂમિતિમાં, ચાર બાજુઓ સાથે 4 પ્રકારના બહુકોણ છે.

જો કે, તેમાંના કેટલાકના ખૂબ જટિલ ગુણધર્મોને લીધે, ભૂમિતિના પાઠોમાં, શાળાના બાળકોને ફક્ત બે પ્રકારો સાથે પરિચય આપવામાં આવે છે.

• સમાંતરગ્રામ.આવા ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ એકબીજાની જોડીમાં સમાંતર હોય છે અને તે મુજબ, જોડીમાં પણ સમાન હોય છે.
• ટ્રેપેઝ (ટ્રેપેઝિયમ અથવા ટ્રેપેઝોઇડ).આ ચતુષ્કોણ એકબીજાની સમાંતર બે વિરુદ્ધ બાજુઓ ધરાવે છે. જો કે, બાજુઓની અન્ય જોડીમાં આ સુવિધા નથી.

શાળાના ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં ચતુષ્કોણના પ્રકારોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી

ઉપરોક્ત ઉપરાંત, ત્યાં વધુ બે પ્રકારના ચતુષ્કોણ છે જેનો શાળાના બાળકો તેમની ચોક્કસ જટિલતાને કારણે ભૂમિતિના પાઠોમાં પરિચય કરાવતા નથી.

• ડેલ્ટોઇડ (પતંગ)- એક આકૃતિ જેમાં અડીને બાજુઓની બે જોડીમાંથી દરેક એકબીજાની લંબાઈમાં સમાન હોય છે. આવા ચતુર્ભુજને તેનું નામ એ હકીકતને કારણે મળ્યું છે કે દેખાવમાં તે ગ્રીક મૂળાક્ષરો - "ડેલ્ટા" ના અક્ષર સાથે ખૂબ જ મજબૂત રીતે મળતું આવે છે.
• સમાંતર ચતુર્ભુજ- આ આંકડો તેના નામની જેમ જટિલ છે. તેમાં, બે વિરોધી બાજુઓ સમાન છે, પરંતુ તે જ સમયે તેઓ એકબીજાની સમાંતર નથી. વધુમાં, આ ચતુર્ભુજની લાંબી વિરુદ્ધ બાજુઓ એકબીજાને છેદે છે, જેમ કે અન્ય બે, ટૂંકી બાજુઓના વિસ્તરણ કરે છે.

સમાંતરગ્રામના પ્રકાર

ચતુષ્કોણના મુખ્ય પ્રકારો સાથે વ્યવહાર કર્યા પછી, તેની પેટાજાતિઓ પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે. તેથી, બધા સમાંતરગ્રામો, બદલામાં, પણ ચાર જૂથોમાં વહેંચાયેલા છે.

• ક્લાસિકલ સમાંતરગ્રામ.
• રોમ્બસ (રોમ્બસ)- સમાન બાજુઓ સાથે ચતુષ્કોણીય આકૃતિ. તેના કર્ણ કાટખૂણો પર છેદે છે, સમચતુર્ભુજને ચાર સમાન જમણા ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.
• લંબચોરસ.નામ પોતે જ બોલે છે. કારણ કે તે કાટખૂણો સાથેનો ચતુર્ભુજ છે (તેમાંના દરેક નેવું ડિગ્રી બરાબર છે). તેની વિરુદ્ધ બાજુઓ માત્ર એકબીજાની સમાંતર નથી, પણ સમાન છે.
• ચોરસ (ચોરસ).લંબચોરસની જેમ, તે કાટખૂણો સાથેનો ચતુર્ભુજ છે, પરંતુ તેની બધી બાજુઓ એકબીજાની સમાન છે. આ આંકડો સમચતુર્ભુજની નજીક છે. તેથી એવી દલીલ કરી શકાય છે કે ચોરસ એ સમચતુર્ભુજ અને લંબચોરસ વચ્ચેનો ક્રોસ છે.

લંબચોરસ વિશેષ ગુણધર્મો

આકૃતિઓ ધ્યાનમાં લેતા કે જેમાં બાજુઓ વચ્ચેનો દરેક ખૂણો નેવું ડિગ્રી જેટલો છે, તે લંબચોરસ પર વધુ નજીકથી રહેવા યોગ્ય છે. તો, તેની કઈ વિશેષ વિશેષતાઓ છે જે તેને અન્ય સમાંતરગ્રામોથી અલગ પાડે છે?

વિચારણા હેઠળનો સમાંતર ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે તે નિશ્ચિત કરવા માટે, તેના કર્ણ એકબીજાના સમાન હોવા જોઈએ, અને દરેક ખૂણો સાચો હોવો જોઈએ. વધુમાં, તેના કર્ણનો ચોરસ આ આકૃતિની બે અડીને બાજુઓના ચોરસના સરવાળાને અનુરૂપ હોવો જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્લાસિક લંબચોરસમાં બે જમણા-કોણ ત્રિકોણનો સમાવેશ થાય છે, અને તેમાં, જેમ જાણીતું છે, વિચારણા હેઠળના ચતુષ્કોણનું કર્ણ કર્ણાકાર તરીકે કાર્ય કરે છે.

આ આંકડોની સૂચિબદ્ધ ચિહ્નોમાંની છેલ્લી પણ તેની વિશેષ મિલકત છે. આ ઉપરાંત, અન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, હકીકત એ છે કે અભ્યાસ કરેલ ચતુર્ભુજની બધી બાજુઓ કાટખૂણો સાથે એક જ સમયે તેની ઊંચાઈ ધરાવે છે.

વધુમાં, જો કોઈપણ લંબચોરસની આસપાસ વર્તુળ દોરવામાં આવે, તો તેનો વ્યાસ અંકિત આકૃતિના કર્ણ જેટલો હશે.

આ ચતુષ્કોણના અન્ય ગુણધર્મોમાં, તે સપાટ છે અને બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં અસ્તિત્વમાં નથી. આ એ હકીકતને કારણે છે કે આવી સિસ્ટમમાં કોઈ ચતુષ્કોણીય આકૃતિઓ નથી, જેના ખૂણાઓનો સરવાળો ત્રણસો અને સાઠ ડિગ્રી જેટલો છે.

ચોરસ અને તેના લક્ષણો

લંબચોરસના ચિહ્નો અને ગુણધર્મો સાથે વ્યવહાર કર્યા પછી, વિજ્ઞાન માટે જાણીતા બીજા ચતુષ્કોણ પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે જે જમણા ખૂણા (આ એક ચોરસ છે).

હકીકતમાં સમાન લંબચોરસ હોવાને કારણે, પરંતુ સમાન બાજુઓ સાથે, આ આંકડો તેના તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે. પરંતુ તેનાથી વિપરીત, ચોરસ બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં હાજર છે.

વધુમાં, આ આંકડો તેના પોતાના અન્ય વિશિષ્ટ લક્ષણો ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, હકીકત એ છે કે ચોરસના કર્ણ માત્ર એકબીજા સાથે સમાન નથી, પણ કાટખૂણે પણ છેદે છે. આમ, સમચતુર્ભુજની જેમ, ચોરસમાં ચાર જમણા ખૂણાવાળા ત્રિકોણ હોય છે, જેમાં તે કર્ણ દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

વધુમાં, આ આંકડો તમામ ચતુષ્કોણમાં સૌથી વધુ સપ્રમાણ છે.

ચતુર્ભુજના ખૂણાઓનો સરવાળો કેટલો છે

યુક્લિડિયન ભૂમિતિ ચતુષ્કોણની વિશેષતાઓને ધ્યાનમાં લેતા, તેમના ખૂણાઓ પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે.

તેથી, ઉપરોક્ત દરેક આંકડામાં, તેના કાટખૂણો હોય કે ન હોય, તેમનો કુલ સરવાળો હંમેશા સમાન હોય છે - ત્રણસો અને સાઠ ડિગ્રી. આ આકૃતિની આ એક વિશિષ્ટ વિશિષ્ટતા છે.

ચતુષ્કોણની પરિમિતિ

ચતુર્ભુજના ખૂણાઓનો સરવાળો અને આ પ્રકારની આકૃતિઓના અન્ય વિશિષ્ટ ગુણધર્મો શું છે તે શોધી કાઢ્યા પછી, તેમની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે કયા સૂત્રોનો શ્રેષ્ઠ ઉપયોગ થાય છે તે જાણવું યોગ્ય છે.

કોઈપણ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ નક્કી કરવા માટે, તમારે ફક્ત તેની બધી બાજુઓની લંબાઈને એકસાથે ઉમેરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, KLMN આકૃતિમાં, તેની પરિમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે: P \u003d KL + LM + MN + KN. જો તમે અહીં સંખ્યાઓને બદલે છે, તો તમને મળશે: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

એવા કિસ્સામાં જ્યારે પ્રશ્નમાંની આકૃતિ સમચતુર્ભુજ અથવા ચોરસ હોય, પરિમિતિ શોધવા માટે, તમે ફક્ત તેની એક બાજુની લંબાઈને ચાર વડે ગુણાકાર કરીને સૂત્રને સરળ બનાવી શકો છો: P \u003d KL x 4. ઉદાહરણ તરીકે: 6 x 4 \u003d 24 (સેમી).

વિસ્તાર ચતુર્ભુજ સૂત્રો

ચાર ખૂણા અને બાજુઓ સાથે કોઈપણ આકૃતિની પરિમિતિ કેવી રીતે શોધવી તે શોધી કાઢ્યા પછી, તેના ક્ષેત્રને શોધવાની સૌથી લોકપ્રિય અને સરળ રીતો ધ્યાનમાં લેવી યોગ્ય છે.

ચતુષ્કોણના અન્ય ગુણધર્મો: અંકિત અને પરિમાણિત વર્તુળો

યુક્લિડિયન ભૂમિતિની આકૃતિ તરીકે ચતુર્ભુજની લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લીધા પછી, તેની આસપાસના વર્તુળોનું વર્ણન કરવાની અથવા તેને લખવાની ક્ષમતા પર ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે:

• જો આકૃતિના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો દરેક એકસો અને એંસી અંશ હોય અને એકબીજાની જોડીમાં સમાન હોય, તો આવા ચતુર્ભુજની આસપાસ વર્તુળ મુક્તપણે વર્ણવી શકાય છે.
• ટોલેમીના પ્રમેય મુજબ, જો કોઈ વર્તુળને બહુકોણની બહાર ચાર બાજુઓ સાથે પરિક્રમા કરવામાં આવે છે, તો તેના કર્ણનું ઉત્પાદન આપેલ આકૃતિની વિરુદ્ધ બાજુઓના ઉત્પાદનના સરવાળા જેટલું છે. આમ, સૂત્ર આના જેવું દેખાશે: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• જો તમે એક ચતુર્ભુજ બાંધો જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓના સરવાળો એકબીજા સાથે સમાન હોય, તો તેમાં એક વર્તુળ લખી શકાય છે.

ચતુર્ભુજ શું છે, તે કયા પ્રકારનું અસ્તિત્વ ધરાવે છે, તેમાંથી કોની બાજુઓ વચ્ચે માત્ર કાટખૂણો છે અને તેમની પાસે કયા ગુણધર્મો છે તે શોધી કાઢ્યા પછી, આ બધી સામગ્રીને યાદ રાખવા યોગ્ય છે. ખાસ કરીને, માનવામાં આવતા બહુકોણની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના સૂત્રો. છેવટે, આ ફોર્મના આંકડા સૌથી સામાન્ય છે, અને આ જ્ઞાન વાસ્તવિક જીવનમાં ગણતરીઓ માટે ઉપયોગી થઈ શકે છે.

વ્યાખ્યા.સમાંતર ચતુષ્કોણ એ એક ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડી પ્રમાણે સમાંતર હોય છે.

મિલકત.સમાંતરગ્રામમાં, વિરોધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને વિરોધી ખૂણા સમાન હોય છે.

મિલકત.સમાંતરગ્રામના કર્ણને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા દ્વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

સમાંતરગ્રામનું 1 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણની બે બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય, તો ચતુષ્કોણ એ સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતરગ્રામનું 2 ચિહ્ન.જો ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડીમાં સમાન હોય, તો ચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતરગ્રામનું 3 ચિહ્ન.જો ચતુર્ભુજમાં કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને આંતરછેદ બિંદુ દ્વિભાજિત છે, તો આ ચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે.

વ્યાખ્યા.ટ્રેપેઝોઇડ એ એક ચતુર્ભુજ છે જેમાં બે બાજુઓ સમાંતર હોય છે અને બીજી બે બાજુઓ સમાંતર હોતી નથી. સમાંતર બાજુઓ કહેવામાં આવે છે મેદાન.

ટ્રેપેઝોઇડ કહેવામાં આવે છે સમદ્વિબાજુ (સમદ્વિબાજુ)જો તેની બાજુઓ સમાન હોય. સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં, પાયા પરના ખૂણા સમાન હોય છે.

લંબચોરસ.

ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા. મધ્ય રેખા પાયાની સમાંતર છે અને તેમના અર્ધ સરવાળા જેટલી છે.

લંબચોરસ

વ્યાખ્યા.

મિલકત.લંબચોરસના કર્ણ સમાન છે.

લંબચોરસ ચિહ્ન.જો સમાંતરગ્રામના કર્ણ સમાન હોય, તો સમાંતરગ્રામ એક લંબચોરસ છે.

વ્યાખ્યા.

મિલકત.સમચતુર્ભુજના કર્ણ પરસ્પર લંબ હોય છે અને તેના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે.

વ્યાખ્યા.

ચોરસ એ એક ચોક્કસ પ્રકારનો લંબચોરસ છે, અને ચોક્કસ પ્રકારનો સમચતુર્ભુજ પણ છે. તેથી, તેમાં તેમની બધી મિલકતો છે.

ગુણધર્મો:
1. ચોરસના બધા ખૂણાઓ બરાબર છે

બધા નિયમોને ચતુષ્કોણ કરે છે

કીવર્ડ્સ:
ચતુર્ભુજ, બહિર્મુખ, ખૂણાઓનો સરવાળો, ચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ

ચતુર્ભુજએક આકૃતિ કહેવામાં આવે છે, જેમાં ચાર બિંદુઓ અને ચાર વિભાગો હોય છે જે તેમને શ્રેણીમાં જોડે છે. આ કિસ્સામાં, આમાંથી કોઈ ત્રણ બિંદુઓ એક સીધી રેખા પર ન હોવા જોઈએ, અને તેમને જોડતા ભાગો એકબીજાને છેદે ન જોઈએ.

• ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે પડોશી જો તેઓ તેની એક બાજુના છેડા છે.
• શિરોબિંદુઓ કે જે પડોશી નથી , કહેવાય છે વિરુદ્ધ .
• ચતુષ્કોણના વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓને જોડતા રેખાખંડો કહેવામાં આવે છે કર્ણ .
• ચતુર્ભુજની બાજુઓ જે સમાન શિરોબિંદુમાંથી ઉદ્ભવે છે તેને કહેવામાં આવે છે પડોશી પક્ષો
• સામાન્ય અંત ન હોય તેવી બાજુઓ કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ પક્ષો
• ચતુર્ભુજ કહેવાય છે બહિર્મુખ , જો તે તેની કોઈપણ બાજુ ધરાવતી સીધી રેખાની તુલનામાં એક અર્ધ-વિમાનમાં સ્થિત છે.

ચતુષ્કોણના પ્રકાર

1. સમાંતરગ્રામ સમાંતર વિરુદ્ધ બાજુઓ સાથેનો ચતુષ્કોણ
   • લંબચોરસ બધા કાટકોણો સાથેનો સમાંતરગ્રામ
   • રોમ્બસ - બધી બાજુઓ સમાન ધરાવતો સમાંતરગ્રામ
   • ચોરસ - બધી બાજુઓ સમાન સાથે એક લંબચોરસ
2. ટ્રેપેઝ - એક ચતુષ્કોણ જેમાં બે બાજુઓ સમાંતર હોય અને બીજી બે બાજુઓ સમાંતર ન હોય
3. ડેલ્ટોઇડ એક ચતુષ્કોણ જેની બાજુની બાજુઓની બે જોડી સમાન હોય

ચતુષ્કોણ

ચતુર્ભુજએક આકૃતિ કહેવામાં આવે છે, જેમાં ચાર બિંદુઓ અને ચાર વિભાગો હોય છે જે તેમને શ્રેણીમાં જોડે છે. આ કિસ્સામાં, આમાંથી કોઈ ત્રણ બિંદુઓ એક જ સીધી રેખા પર નથી, અને તેમને જોડતા ભાગો છેદે નથી.

વિરુદ્ધ. વિરુદ્ધ.

ચતુષ્કોણના પ્રકાર

સમાંતરગ્રામ

સમાંતરગ્રામચતુર્ભુજ કહેવાય છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડી પ્રમાણે સમાંતર હોય છે.

સમાંતરગ્રામ ગુણધર્મો

• વિરોધી બાજુઓ સમાન છે;
• વિરોધી ખૂણા સમાન છે;
• કર્ણના ચોરસનો સરવાળો બધી બાજુઓના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે:

સમાંતરગ્રામ લક્ષણો

ટ્રેપેઝએક ચતુર્ભુજ કહેવામાં આવે છે, જેમાં બે વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર હોય છે, અને અન્ય બે સમાંતર નથી.

ટ્રેપેઝોઇડની સમાંતર બાજુઓને તેની કહેવામાં આવે છે મેદાનઅને બિન-સમાંતર બાજુઓ બાજુઓબાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને કહેવામાં આવે છે મધ્ય રેખા.

ટ્રેપેઝોઇડ કહેવામાં આવે છે સમદ્વિબાજુ(અથવા સમદ્વિબાજુ) જો તેની બાજુઓ સમાન હોય.

એક જમણો ખૂણો ધરાવતો ટ્રેપેઝોઇડ કહેવાય છે લંબચોરસ

ટ્રેપેઝોઇડ ગુણધર્મો

ટ્રેપેઝોઇડના ચિહ્નો

લંબચોરસ

લંબચોરસજો બધા ખૂણા કાટખૂણો હોય તો તેને સમાંતર ચતુષ્કોણ કહેવામાં આવે છે.

લંબચોરસ ગુણધર્મો

લંબચોરસ લક્ષણો

સમાંતરગ્રામ એક લંબચોરસ છે જો:

1. તેનો એક ખૂણો સાચો છે.
2. તેના કર્ણ સમાન છે.

રોમ્બસજો બધી બાજુઓ સમાન હોય તો તેને સમાંતરગ્રામ કહેવામાં આવે છે.

રોમ્બસ પ્રોપર્ટીઝ

• સમાંતરગ્રામના તમામ ગુણધર્મો;
• કર્ણ કાટખૂણે છે;

રોમ્બસના ચિહ્નો

ચોરસએક લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય.

ચોરસ ગુણધર્મો

• ચોરસના બધા ખૂણા સાચા છે;
• ચોરસના કર્ણ સમાન છે, પરસ્પર લંબ છે, આંતરછેદ બિંદુ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે અને ચોરસના ખૂણા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે.

ચોરસ ચિહ્નો

મૂળભૂત સૂત્રો

S=d 1 ડી 2 પાપ

સમાંતરગ્રામ
aઅને b-અડીને પક્ષો; - તેમની વચ્ચેનો કોણ; h a -બાજુથી ઊંચાઈ a.

S = ab sin

S=d 1 ડી 2 પાપ

ટ્રેપેઝ
aઅને b- મેદાન; એચ-તેમની વચ્ચેનું અંતર; એલ-મધ્ય રેખા .

લંબચોરસ

S=d 1 ડી 2 પાપ

S = a 2 પાપ

S=d 1 ડી 2

ચોરસ
ડી- કર્ણ.

www.univer.omsk.su

ચતુર્ભુજના ગુણધર્મો. ચતુષ્કોણના પ્રકાર. મનસ્વી ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો. સમાંતરગ્રામ ગુણધર્મો. રોમ્બસ ગુણધર્મો. લંબચોરસ ગુણધર્મો. ચોરસ ગુણધર્મો. ટ્રેપેઝોઇડ ગુણધર્મો. આશરે 7-9 ગ્રેડ (13-15 વર્ષ જૂના)

ચતુર્ભુજના ગુણધર્મો. ચતુષ્કોણના પ્રકાર. મનસ્વી ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો.
સમાંતરગ્રામ ગુણધર્મો. રોમ્બસ ગુણધર્મો. લંબચોરસ ગુણધર્મો. ચોરસ ગુણધર્મો. ટ્રેપેઝોઇડ ગુણધર્મો.

ચતુષ્કોણના પ્રકારો:

• સમાંતરગ્રામએક ચતુર્ભુજ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર છે

• રોમ્બસબધી બાજુઓ સમાન ધરાવતો સમાંતરગ્રામ છે.

• લંબચોરસબધા કાટકોણો સાથેનો સમાંતરગ્રામ છે.

• ચોરસબધી બાજુઓ સમાન ધરાવતો લંબચોરસ છે.

મનસ્વી ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો:

સમાંતરગ્રામ ગુણધર્મો:

રોમ્બસ ગુણધર્મો:

લંબચોરસ ગુણધર્મો:

ચોરસ ગુણધર્મો:

ટ્રેપેઝ ગુણધર્મો:

કન્સલ્ટિંગ અને ટેક્નિકલ
સાઇટ સપોર્ટ: ઝવેરકા ટીમ

બધા નિયમોને ચતુષ્કોણ કરે છે

નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ, ભૂમિતિ સમાન ભૂમિતિ યુક્લિડતેમાં તે આકૃતિઓની હિલચાલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, પરંતુ યુક્લિડિયન ભૂમિતિથી અલગ છે કે તેના પાંચ પોસ્ટ્યુલેટ્સમાંથી એક (બીજો કે પાંચમો) તેના નકાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન પોસ્ટ્યુલેટ્સમાંના એકનો ઇનકાર (1825) એ વિચારના ઇતિહાસમાં એક મહત્વપૂર્ણ ઘટના હતી, કારણ કે તે આ તરફના પ્રથમ પગલા તરીકે સેવા આપી હતી. સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત.

યુક્લિડનું બીજું અનુમાન જણાવે છે કે કોઈપણ લાઇન સેગમેન્ટને અનિશ્ચિત સમય માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. યુક્લિડ દેખીતી રીતે માનતા હતા કે આ ધારણામાં એ નિવેદન પણ છે કે સીધી રેખા અનંત લંબાઈ ધરાવે છે. જોકે "લંબગોળ" ભૂમિતિમાં કોઈપણ સીધી રેખા મર્યાદિત હોય છે અને વર્તુળની જેમ બંધ હોય છે.

પાંચમી ધારણા જણાવે છે કે જો કોઈ રેખા બે આપેલ રેખાઓને એવી રીતે છેદે છે કે તેની એક બાજુના બે આંતરિક ખૂણાઓ સરવાળામાં બે કાટખૂણો કરતા ઓછા હોય, તો આ બે રેખાઓ, જો અનિશ્ચિત સમય સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે તો, તે બાજુ પર છેદે છે જ્યાં આ ખૂણાઓનો સરવાળો બે સીધી રેખાઓના સરવાળા કરતા ઓછો છે. પરંતુ "હાયપરબોલિક" ભૂમિતિમાં, આપેલ રેખા r ને બિંદુ C પર લંબરૂપ અને બિંદુ B પર એક તીવ્ર કોણ પર બીજી રેખા s ને છેદેતી રેખા CB (ફિગ જુઓ.) અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે, પરંતુ, તેમ છતાં, અનંત રેખાઓ r અને s ક્યારેય છેદશે નહીં.

આ સંશોધિત ધારણાઓમાંથી તે અનુસરવામાં આવ્યું છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો, યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં 180° જેટલો છે, જે લંબગોળ ભૂમિતિમાં 180° કરતા વધારે છે અને અતિપરવલય ભૂમિતિમાં 180° કરતા ઓછો છે.

ચતુર્ભુજ

ચતુર્ભુજચાર શિરોબિંદુઓ અને ચાર બાજુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે.

ચતુર્ભુજ, ભૌમિતિક આકૃતિ - ચાર ખૂણાઓ સાથેનો બહુકોણ, તેમજ કોઈપણ ઑબ્જેક્ટ, આ ફોર્મનું ઉપકરણ.

ચતુષ્કોણની બે બિન-સંલગ્ન બાજુઓને કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ.અડીને ન હોય તેવા બે શિરોબિંદુઓને પણ કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ.

ચતુષ્કોણ બહિર્મુખ (ABCD જેવા) અને
બિન-બહિર્મુખ (A 1 B 1 C 1 D 1).

ચતુષ્કોણના પ્રકાર

• સમાંતરગ્રામ- એક ચતુર્ભુજ જેમાં બધી વિરોધી બાજુઓ સમાંતર હોય છે;
• લંબચોરસ- બધા કાટકોણો સાથેનો ચતુષ્કોણ;
• રોમ્બસ- એક ચતુર્ભુજ જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે;
• ચોરસ- એક ચતુષ્કોણ જેમાં બધા ખૂણા સાચા હોય અને બધી બાજુઓ સમાન હોય;
• ટ્રેપેઝ- બે વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર સાથે ચતુર્ભુજ;
• ડેલ્ટોઇડએક ચતુષ્કોણ જેની બાજુની બાજુઓની બે જોડી સમાન હોય.

સમાંતરગ્રામ

સમાંતર ચતુષ્કોણ એ એક ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ જોડી પ્રમાણે સમાંતર હોય છે.

સમાંતરગ્રામ (ગ્રીક સમાંતર - સમાંતર અને ગ્રામે - રેખામાંથી) એટલે કે સમાંતર રેખાઓ પર આવેલું છે. સમાંતર ચતુષ્કોણના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ એક લંબચોરસ, ચોરસ અને સમચતુર્ભુજ છે.

• વિરોધી બાજુઓ સમાન છે;
• વિરોધી ખૂણા સમાન છે;
• આંતરછેદ બિંદુના કર્ણ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે;
• એક બાજુને અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે;
• કર્ણના ચોરસનો સરવાળો બધી બાજુઓના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે.

ચતુર્ભુજ એ સમાંતરગ્રામ છે જો:

1. તેની બે વિરોધી બાજુઓ સમાન અને સમાંતર છે.
2. વિરોધી બાજુઓ જોડીમાં સમાન છે.
3. વિરોધી ખૂણા જોડીમાં સમાન છે.
4. આંતરછેદ બિંદુના કર્ણ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે.

લંબચોરસ

લંબચોરસ એ બધા કાટકોણો સાથેનો સમાંતરગ્રામ છે.

• વિરોધી બાજુઓ સમાન છે;
• વિરોધી ખૂણા સમાન છે;
• આંતરછેદ બિંદુના કર્ણ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે;
• એક બાજુને અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે;
• કર્ણ સમાન છે.

સમાંતરગ્રામ એક લંબચોરસ છે જો:

1. તેનો એક ખૂણો સાચો છે.
2. તેના કર્ણ સમાન છે.

સમચતુર્ભુજ એક સમાંતરગ્રામ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

• વિરોધી બાજુઓ સમાન છે;
• વિરોધી ખૂણા સમાન છે;
• આંતરછેદ બિંદુના કર્ણ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે;
• એક બાજુને અડીને આવેલા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° છે;
• કર્ણના ચોરસનો સરવાળો બધી બાજુઓના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે;
• કર્ણ કાટખૂણે છે;
• કર્ણ તેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો છે.

સમાંતર ચતુષ્કોણ એ સમચતુર્ભુજ છે જો:

1. તેની બે અડીને બાજુઓ સમાન છે.
2. તેના કર્ણ લંબ છે.
3. કર્ણમાંથી એક તેના કોણનો દ્વિભાજક છે.

ચોરસ એક લંબચોરસ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે.

• ચોરસના બધા ખૂણા સાચા છે;
• ચોરસના કર્ણ સમાન છે, પરસ્પર લંબ છે, આંતરછેદ બિંદુ અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે અને ચોરસના ખૂણા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે.

1. લંબચોરસ એ ચોરસ છે જો તેમાં સમચતુર્ભુજની કેટલીક લાક્ષણિકતા હોય.

ટ્રેપેઝોઇડ એ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં બે વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર હોય છે અને અન્ય બે સમાંતર હોતી નથી.

ટ્રેપેઝોઇડની સમાંતર બાજુઓને તેના પાયા કહેવામાં આવે છે, અને બિન-સમાંતર બાજુઓને તેની બાજુઓ કહેવામાં આવે છે. બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને મધ્યરેખા કહેવામાં આવે છે.

ટ્રેપેઝોઇડને સમદ્વિબાજુ (અથવા સમદ્વિબાજુ) કહેવામાં આવે છે જો તેની બાજુઓ સમાન હોય.

એક જમણો ખૂણો ધરાવતો ટ્રેપેઝોઈડને કાટકોણવાળો ટ્રેપેઝોઈડ કહેવામાં આવે છે.

• તેની મધ્ય રેખા પાયાની સમાંતર અને તેમના અર્ધ સરવાળા જેટલી છે;
• જો ટ્રેપેઝોઇડ સમદ્વિબાજુ છે, તો તેના કર્ણ સમાન છે અને આધાર પરના ખૂણા સમાન છે;
• જો ટ્રેપેઝોઇડ સમદ્વિબાજુ છે, તો તેની આસપાસ એક વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે;
• જો પાયાનો સરવાળો બાજુઓના સરવાળા જેટલો હોય, તો તેમાં એક વર્તુળ લખી શકાય છે.

1. ચતુષ્કોણ એ ટ્રેપેઝોઇડ છે જો તેની સમાંતર બાજુઓ સમાન ન હોય

ડેલ્ટોઇડસમાન લંબાઈની બાજુઓની બે જોડી સાથેનો ચતુષ્કોણ. સમાંતર ચતુષ્કોણથી વિપરીત, સંલગ્ન બાજુઓની બે જોડી સમાન નથી, પરંતુ અડીને બાજુઓની બે જોડી છે. ડેલ્ટોઇડનો આકાર પતંગ જેવો હોય છે.

• અસમાન લંબાઈની બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણા સમાન છે.
• ડેલ્ટોઇડ (અથવા તેમના વિસ્તરણ) ના કર્ણ કાટખૂણો પર છેદે છે.
• કોઈપણ બહિર્મુખ ડેલ્ટોઇડમાં વર્તુળ લખી શકાય છે, આ ઉપરાંત, જો ડેલ્ટોઇડ એક સમચતુર્ભુજ નથી, તો ત્યાં બીજું વર્તુળ છે જે ચારેય બાજુઓના વિસ્તરણને સ્પર્શે છે. બિન-બહિર્મુખ ડેલ્ટોઇડ માટે, વ્યક્તિ બે મોટી બાજુઓ અને બે નાની બાજુઓના વિસ્તરણ માટે વર્તુળ સ્પર્શક અને બે નાની બાજુઓ માટે વર્તુળ સ્પર્શક અને બે મોટી બાજુઓનું વિસ્તરણ બનાવી શકે છે.

• જો ડેલ્ટોઇડની અસમાન બાજુઓ વચ્ચેનો કોણ સીધી રેખા હોય, તો તેમાં એક વર્તુળ લખી શકાય છે (વર્ણવેલ ડેલ્ટોઇડ).
• જો ડેલ્ટોઇડની વિરુદ્ધ બાજુઓની જોડી સમાન હોય, તો આવા ડેલ્ટોઇડ એક સમચતુર્ભુજ છે.
• જો ડેલ્ટોઇડની વિરુદ્ધ બાજુઓની જોડી અને બંને કર્ણ સમાન હોય, તો ડેલ્ટોઇડ એક ચોરસ છે. સમાન કર્ણ સાથેનો અંકિત ડેલ્ટોઇડ પણ એક ચોરસ છે.

ભૂમિતિનો ઉદભવ પ્રાચીન કાળનો છે અને તે માનવ પ્રવૃત્તિની વ્યવહારિક જરૂરિયાતોને કારણે હતો (જમીન માપવાની જરૂરિયાત, વિવિધ સંસ્થાઓના જથ્થાને માપવા વગેરે).

સૌથી સરળ ભૌમિતિક માહિતી અને ખ્યાલો પ્રાચીન ઇજિપ્તમાં જાણીતા હતા. આ સમયગાળા દરમિયાન, ભૌમિતિક નિવેદનો પુરાવા વિના આપવામાં આવેલા નિયમોના સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવ્યા હતા.

પૂર્વે 7મી સદીથી ઇ. 1લી સદી એડી સુધી ઇ. પ્રાચીન ગ્રીસમાં વિજ્ઞાન તરીકે ભૂમિતિનો ઝડપથી વિકાસ થયો. આ સમયગાળા દરમિયાન, માત્ર વિવિધ ભૌમિતિક માહિતીનો સંચય જ થયો ન હતો, પરંતુ ભૌમિતિક નિવેદનોને સાબિત કરવા માટેની પદ્ધતિ પણ બનાવવામાં આવી હતી, અને ભૂમિતિની મૂળભૂત પ્રાથમિક જોગવાઈઓ (સ્વયંતુઓ) ઘડવાનો પ્રથમ પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમાંથી ઘણી વિવિધ ભૌમિતિક નિવેદનો સંપૂર્ણ તાર્કિક તર્ક દ્વારા લેવામાં આવે છે. પ્રાચીન ગ્રીસમાં ભૂમિતિના વિકાસનું સ્તર યુક્લિડના "બિગિનિંગ્સ" ના કાર્યમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે.

આ પુસ્તકમાં, પ્રથમ વખત, મૂળભૂત અવ્યાખ્યાયિત ભૌમિતિક વિભાવનાઓ અને સ્વયંસિદ્ધ (પોસ્ટ્યુલેટ્સ) ના આધારે પ્લાનિમેટ્રીનું વ્યવસ્થિત બાંધકામ આપવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

ગણિતના ઇતિહાસમાં એક વિશિષ્ટ સ્થાન યુક્લિડ (સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ) ના પાંચમા પોસ્ટ્યુલેટ દ્વારા કબજે કરવામાં આવ્યું છે. લાંબા સમય સુધી, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ યુક્લિડની બાકીની ધારણાઓમાંથી પાંચમી ધારણા મેળવવાનો અસફળ પ્રયાસ કર્યો, અને માત્ર 19મી સદીના મધ્યમાં, એન.આઈ. લોબાચેવ્સ્કી, બી. રીમેન અને જે. બોયાઈના અભ્યાસને કારણે, તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે પાંચમી ધારણા બાકીનામાંથી મેળવી શકાતી નથી, અને યુક્લિડ દ્વારા પ્રસ્તાવિત સ્વયંસિદ્ધ પ્રણાલી એકમાત્ર શક્ય નથી.

યુક્લિડના "તત્વો" ની ગણિતના વિકાસ પર ભારે અસર પડી હતી. બે હજારથી વધુ વર્ષોથી, આ પુસ્તક માત્ર ભૂમિતિ પરનું પાઠ્યપુસ્તક જ નહોતું, પણ ઘણા ગાણિતિક અભ્યાસો માટે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે પણ કામ કર્યું હતું, જેના પરિણામે ગણિતની નવી સ્વતંત્ર શાખાઓ ઊભી થઈ હતી.

ભૂમિતિનું વ્યવસ્થિત બાંધકામ સામાન્ય રીતે નીચેની યોજના અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે:

આઈ.મુખ્ય ભૌમિતિક ખ્યાલો સૂચિબદ્ધ છે, જે વ્યાખ્યાઓ વિના રજૂ કરવામાં આવે છે.

II.ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધ સૂત્રની રચના આપવામાં આવી છે.

III.સ્વયંસિદ્ધ અને મૂળભૂત ભૌમિતિક ખ્યાલોના આધારે, અન્ય ભૌમિતિક ખ્યાલો અને પ્રમેય ઘડવામાં આવે છે.

1. નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ નામનું મૂળ?
2. કયા આકારોને ચતુષ્કોણ કહેવામાં આવે છે?
3. સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો?
4. ચતુષ્કોણના પ્રકારો?

વપરાયેલ સ્ત્રોતોની યાદી

1. એ.જી. Tsypkin. ગણિતની હેન્ડબુક
2. "યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2006. ગણિત. વિદ્યાર્થીઓની તૈયારી માટે શૈક્ષણિક અને તાલીમ સામગ્રી / રોસોબ્રનાડઝોર, આઇએસઓપી - એમ.: ઇન્ટેલેક્ટ-સેન્ટર, 2006 "
3. મઝુર કે. આઈ. "એમ. આઈ. સ્કેનાવી દ્વારા સંપાદિત સંગ્રહના ગણિતમાં મુખ્ય સ્પર્ધાત્મક સમસ્યાઓનું નિરાકરણ"

પાઠ પર કામ

તમે આધુનિક શિક્ષણ વિશે કોઈ પ્રશ્ન ઉઠાવી શકો છો, કોઈ વિચાર વ્યક્ત કરી શકો છો અથવા તાત્કાલિક સમસ્યાનું નિરાકરણ કરી શકો છો એજ્યુકેશન ફોરમજ્યાં તાજા વિચાર અને કાર્યની શૈક્ષણિક પરિષદ આંતરરાષ્ટ્રીય સ્તરે મળે છે. બનાવીને બ્લોગતમે માત્ર એક સક્ષમ શિક્ષક તરીકે તમારી સ્થિતિને સુધારશો નહીં, પરંતુ ભવિષ્યની શાળાના વિકાસમાં પણ મહત્વપૂર્ણ યોગદાન કરશો. એજ્યુકેશન લીડર્સ ગિલ્ડટોચના ક્રમાંકિત નિષ્ણાતો માટે દરવાજા ખોલે છે અને તમને વિશ્વની શ્રેષ્ઠ શાળાઓ બનાવવાની દિશામાં સહકાર આપવા આમંત્રણ આપે છે.

પ્રખ્યાત:

• કલમ 282. તિરસ્કાર અથવા દુશ્મનાવટની ઉશ્કેરણી, તેમજ માનવ ગૌરવનું અપમાન
• કોર્પોરેટ પ્રોપર્ટી ટેક્સ કેલ્ક્યુલેટર કોર્પોરેટ પ્રોપર્ટી ટેક્સની ગણતરી કેવી રીતે કરવી એડવાન્સ પેમેન્ટ માટે ગણતરી ફોર્મ બદલાઈ ગયું છે. 2017ના પ્રથમ અર્ધવાર્ષિક અહેવાલ સાથે શરૂ કરીને, કોર્પોરેટ પ્રોપર્ટી ટેક્સની ગણતરી […]
• ઇકોલોજીના કાયદાઓ વસ્તી અને સમુદાયોના 100 વર્ષથી વધુના વ્યાપક અભ્યાસ માટે, મોટી સંખ્યામાં તથ્યો એકઠા કરવામાં આવ્યા છે. તેમાંથી - મોટી સંખ્યા, રેન્ડમ અથવા અનિયમિત ઘટનાઓ અને પ્રક્રિયાઓને પ્રતિબિંબિત કરે છે. પણ નહીં […]
• ફરજિયાત પેન્શન વીમા પ્રણાલીમાં પેન્શનની જોગવાઈના વિકલ્પો 2015ના અંત સુધી, 1967માં જન્મેલા અને તેનાથી નાની વયના નાગરિકો પેન્શન બનાવવાનું ચાલુ રાખવું કે કેમ તે પસંદ કરી શકે છે […]
• 5 માર્ચ, 2009 ના રોજ રશિયન ફેડરેશનના ન્યાય મંત્રાલયમાં નોંધાયેલ કૃષિ મંત્રાલયનો ઓર્ડર 549 એન 13476 રશિયન ફેડરેશનના કૃષિ મંત્રાલયની તારીખ 16 ડિસેમ્બર, 2008 એન 532 ની મંજૂરી પર ટેક્લાર ઓફ કાઉન્સિલ અને […]
• 1 જાન્યુઆરી, 2018 થી વિકલાંગ બાળકો માટે પેન્શનમાં વધારો કરવો એ નાગરિકોની પેન્શનની જોગવાઈ એ રાજ્યની ફરજ છે. આ દેશના કાયદાની સંહિતા - બંધારણમાં જણાવવામાં આવ્યું છે. વિકલાંગોમાં જેમને જરૂર છે […]
• JSC RZD JSC "રશિયન રેલ્વે" ઓર્ડરની તારીખ 26 જુલાઇ, 2012 N 87 ના આંતરિક હુકમના નિયમ પ્રાદેશિક સેવાઓ (વિભાગ) ના પ્રાદેશિક શ્રમ નિયમન નિયમો […]
• દાર્શનિક ચળવળ તરીકે કોમ્ટે સકારાત્મકતાના 3 તબક્કાઓનો કાયદો એ ખ્યાલથી આગળ વધે છે કે વિશ્વ, માણસ અને સમાજ વિશેનું મોટાભાગનું જ્ઞાન વિશેષ વિજ્ઞાનમાં પ્રાપ્ત થાય છે, કે "સકારાત્મક" વિજ્ઞાને પ્રયાસો છોડી દેવા જોઈએ […]

ચાર ખૂણા અને ચાર બાજુઓ સાથે. એક ચતુષ્કોણ બંધ પોલિલાઇન દ્વારા રચાય છે, જેમાં ચાર લિંક્સ હોય છે, અને પ્લેનનો તે ભાગ જે પોલિલાઇનની અંદર હોય છે.

ચતુર્ભુજનું હોદ્દો તેના શિરોબિંદુઓ પરના અક્ષરોથી બનેલું છે, તેમને ક્રમમાં નામ આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ કહે છે અથવા લખે છે: ચતુષ્કોણ એ બી સી ડી :

ચતુર્ભુજમાં એ બી સી ડીપોઈન્ટ એ, બી, સીઅને ડી- આ ચતુર્ભુજ શિરોબિંદુઓ, સેગમેન્ટ્સ એબી, પૂર્વે, સીડીઅને ડીએ - બાજુઓ.

સમાન બાજુના શિરોબિંદુઓ કહેવામાં આવે છે પડોશી, અડીને ન હોય તેવા શિરોબિંદુઓ કહેવાય છે વિરુદ્ધ:

ચતુર્ભુજમાં એ બી સી ડીશિખરો એઅને બી, બીઅને સી, સીઅને ડી, ડીઅને એઅડીને છે, અને શિરોબિંદુઓ એઅને સી, બીઅને ડી- વિરુદ્ધ. નજીકના શિરોબિંદુઓ પર પડેલા ખૂણાઓને પડોશી પણ કહેવામાં આવે છે, અને વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓ પર - વિરુદ્ધ.

ચતુર્ભુજની બાજુઓને જોડીમાં અડીને અને વિરુદ્ધ બાજુઓમાં પણ વિભાજિત કરી શકાય છે: જે બાજુઓ સામાન્ય શિરોબિંદુ ધરાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે. પડોશી(અથવા સંબંધિત), બાજુઓ કે જેમાં સામાન્ય શિરોબિંદુઓ નથી - વિરુદ્ધ:

પક્ષો એબીઅને પૂર્વે, પૂર્વેઅને સીડી, સીડીઅને ડીએ, ડીએઅને એબીઅડીને છે, અને બાજુઓ છે એબીઅને ડીસી, ઈ.સઅને પૂર્વે- વિરુદ્ધ.

જો વિરોધી શિરોબિંદુઓ સેગમેન્ટ દ્વારા જોડાયેલા હોય, તો આવા સેગમેન્ટને કહેવામાં આવશે ચતુષ્કોણનો કર્ણ. ચતુર્ભુજમાં વિરોધી શિરોબિંદુઓની માત્ર બે જોડી છે તે ધ્યાનમાં લેતા, ત્યાં ફક્ત બે કર્ણ હોઈ શકે છે:

સેગમેન્ટ્સ એસીઅને બી.ડી- કર્ણ.

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના મુખ્ય પ્રકારોને ધ્યાનમાં લો:

• ટ્રેપેઝ- એક ચતુર્ભુજ જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓની એક જોડી એકબીજાની સમાંતર હોય છે, અને બીજી જોડી સમાંતર નથી હોતી.
  • આઇસોસેલ્સ ટ્રેપેઝિયમ- એક ટ્રેપેઝોઇડ જેની બાજુઓ સમાન હોય છે.
  • લંબચોરસ ટ્રેપેઝોઇડજમણા ખૂણાઓમાંથી એક સાથેનો ટ્રેપેઝોઇડ.
• સમાંતરગ્રામએક ચતુષ્કોણ જેમાં વિરુદ્ધ બાજુઓની બંને જોડી એકબીજાની સમાંતર હોય છે.
  • લંબચોરસએક સમાંતરગ્રામ જેમાં બધા ખૂણા સમાન હોય છે.
  • રોમ્બસબધી બાજુઓ સમાન ધરાવતો સમાંતરગ્રામ.
  • ચોરસસમાન બાજુઓ અને ખૂણાઓ સાથેનો સમાંતરગ્રામ. લંબચોરસ અને સમચતુર્ભુજ બંને એક ચોરસ હોઈ શકે છે.

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના ખૂણાના ગુણધર્મો

તમામ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં નીચેના બે ગુણધર્મો છે:

1. 180° કરતા ઓછો કોઈપણ આંતરિક ખૂણો.
2. આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 360° છે.

પાઠ વિષય

• ચતુર્ભુજની વ્યાખ્યા.

પાઠ ઉદ્દેશ્યો

• શૈક્ષણિક - પુનરાવર્તન, સામાન્યીકરણ અને વિષય પર જ્ઞાનનું પરીક્ષણ: "ચતુષ્કોણ"; મૂળભૂત કુશળતાનો વિકાસ.
• વિકાસશીલ - વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન, દ્રઢતા, દ્રઢતા, તાર્કિક વિચારસરણી, ગાણિતિક ભાષણ વિકસાવવા.
• શૈક્ષણિક - પાઠ દ્વારા એકબીજા પ્રત્યે સચેત વલણ કેળવવું, સાથીઓને સાંભળવાની ક્ષમતા, પરસ્પર સહાયતા, સ્વતંત્રતા કેળવવી.

પાઠ હેતુઓ

• સ્કેલ બાર અને ડ્રોઇંગ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને ચતુષ્કોણ બનાવવાની કુશળતા રચવા માટે.
• વિદ્યાર્થીઓની સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા તપાસો.

પાઠ ની યોજના

1. ઇતિહાસ સંદર્ભ. નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ.
2. ચતુર્ભુજ.
3. ચતુષ્કોણના પ્રકાર.

નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ

નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ, ભૂમિતિ સમાન ભૂમિતિ યુક્લિડતેમાં તે આકૃતિઓની હિલચાલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, પરંતુ યુક્લિડિયન ભૂમિતિથી અલગ છે કે તેના પાંચ પોસ્ટ્યુલેટ્સમાંથી એક (બીજો કે પાંચમો) તેના નકાર દ્વારા બદલવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન પોસ્ટ્યુલેટ્સમાંના એકનો ઇનકાર (1825) એ વિચારના ઇતિહાસમાં એક મહત્વપૂર્ણ ઘટના હતી, કારણ કે તે આ તરફના પ્રથમ પગલા તરીકે સેવા આપી હતી. સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત.

યુક્લિડનું બીજું અનુમાન જણાવે છે કે કોઈપણ લાઇન સેગમેન્ટને અનિશ્ચિત સમય માટે વિસ્તૃત કરી શકાય છે. યુક્લિડ દેખીતી રીતે માનતા હતા કે આ ધારણામાં એ નિવેદન પણ છે કે સીધી રેખા અનંત લંબાઈ ધરાવે છે. જોકે "લંબગોળ" ભૂમિતિમાં કોઈપણ સીધી રેખા મર્યાદિત હોય છે અને વર્તુળની જેમ બંધ હોય છે.

પાંચમી ધારણા જણાવે છે કે જો કોઈ રેખા બે આપેલ રેખાઓને એવી રીતે છેદે છે કે તેની એક બાજુના બે આંતરિક ખૂણાઓ સરવાળામાં બે કાટખૂણો કરતા ઓછા હોય, તો આ બે રેખાઓ, જો અનિશ્ચિત સમય સુધી વિસ્તૃત કરવામાં આવે તો, તે બાજુ પર છેદે છે જ્યાં આ ખૂણાઓનો સરવાળો બે સીધી રેખાઓના સરવાળા કરતા ઓછો છે. પરંતુ "હાયપરબોલિક" ભૂમિતિમાં, આપેલ રેખા r ને બિંદુ C પર લંબરૂપ અને બિંદુ B પર એક તીવ્ર કોણ પર બીજી રેખા s ને છેદેતી રેખા CB (ફિગ જુઓ.) અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે, પરંતુ, તેમ છતાં, અનંત રેખાઓ r અને s ક્યારેય છેદશે નહીં.

આ સંશોધિત ધારણાઓમાંથી તે અનુસરવામાં આવ્યું છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો, યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં 180° જેટલો છે, જે લંબગોળ ભૂમિતિમાં 180° કરતા વધારે છે અને અતિપરવલય ભૂમિતિમાં 180° કરતા ઓછો છે.

ચતુર્ભુજ

વિષયો > ગણિત > ગણિત ગ્રેડ 8

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ એ એક આકૃતિ છે જેમાં શિરોબિંદુઓ પર એકબીજા સાથે જોડાયેલ ચાર બાજુઓનો સમાવેશ થાય છે, જે બાજુઓ સાથે મળીને ચાર ખૂણા બનાવે છે, જ્યારે ચતુર્ભુજ હંમેશા સીધી રેખાની તુલનામાં સમાન સમતલમાં હોય છે જેના પર તેની એક બાજુ રહે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સમગ્ર આકૃતિ તેની કોઈપણ બાજુની એક બાજુ પર છે.

ના સંપર્કમાં છે

જેમ તમે જોઈ શકો છો, વ્યાખ્યા યાદ રાખવા માટે એકદમ સરળ છે.

મૂળભૂત ગુણધર્મો અને પ્રકારો

લગભગ તમામ આકૃતિઓ જે આપણને ઓળખાય છે, જેમાં ચાર ખૂણા અને બાજુઓનો સમાવેશ થાય છે, તે બહિર્મુખ ચતુષ્કોણને આભારી હોઈ શકે છે. નીચેનાને ઓળખી શકાય છે:

1. સમાંતરગ્રામ;
2. ચોરસ;
3. લંબચોરસ;
4. ટ્રેપેઝોઇડ;
5. સમચતુર્ભુજ

આ તમામ આકૃતિઓ માત્ર એ હકીકત દ્વારા જ એકીકૃત નથી કે તેઓ ચતુષ્કોણીય છે, પણ હકીકત એ છે કે તેઓ બહિર્મુખ પણ છે. ફક્ત આકૃતિ જુઓ:

આકૃતિ બહિર્મુખ ટ્રેપેઝોઇડ બતાવે છે. અહીં તમે જોઈ શકો છો કે ટ્રેપેઝોઈડ એ જ પ્લેન પર અથવા સેગમેન્ટની એક બાજુ પર છે. જો તમે સમાન ક્રિયાઓ કરો છો, તો તમે શોધી શકો છો કે અન્ય તમામ બાજુઓના કિસ્સામાં, ટ્રેપેઝોઇડ બહિર્મુખ છે.

શું સમાંતર ચતુષ્કોણ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે?

ઉપર સમાંતરગ્રામની છબી છે. આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે, સમાંતરગ્રામ પણ બહિર્મુખ છે. જો તમે રેખાઓ કે જેના પર AB, BC, CD અને AD સેગમેન્ટ્સ આવેલા છે તેના સંદર્ભમાં આકૃતિ જુઓ, તો તે સ્પષ્ટ થાય છે કે આ રેખાઓમાંથી તે હંમેશા સમાન પ્લેનમાં હોય છે. સમાંતરગ્રામની મુખ્ય વિશેષતાઓ એ છે કે તેની બાજુઓ જોડીની રીતે સમાંતર અને સમાન હોય છે જે રીતે વિરોધી ખૂણા એકબીજાના સમાન હોય છે.

હવે, ચોરસ અથવા લંબચોરસની કલ્પના કરો. તેમના મુખ્ય ગુણધર્મો અનુસાર, તેઓ સમાંતરગ્રામ પણ છે, એટલે કે, તેમની બધી બાજુઓ સમાંતરમાં જોડીમાં ગોઠવાયેલી છે. માત્ર લંબચોરસના કિસ્સામાં, બાજુઓની લંબાઈ અલગ હોઈ શકે છે, અને ખૂણાઓ જમણા (90 અંશના બરાબર) હોય છે, ચોરસ એ એક લંબચોરસ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને ખૂણાઓ પણ જમણા હોય છે, જ્યારે લંબાઈ સમાંતરગ્રામની બાજુઓ અને ખૂણાઓ અલગ અલગ હોઈ શકે છે.

પરિણામે, ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાઓનો સરવાળો 360 ડિગ્રી બરાબર હોવું જોઈએ. આને નક્કી કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો લંબચોરસ છે: લંબચોરસના તમામ ચાર ખૂણા જમણા છે, એટલે કે 90 ડિગ્રીની બરાબર છે. આ 90-ડિગ્રી ખૂણાઓનો સરવાળો 360 ડિગ્રી આપે છે, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો તમે 4 વખત 90 ડિગ્રી ઉમેરો છો, તો તમને ઇચ્છિત પરિણામ મળશે.

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના કર્ણની મિલકત

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના કર્ણ એકબીજાને છેદે છે. ખરેખર, આ ઘટના દૃષ્ટિની રીતે અવલોકન કરી શકાય છે, ફક્ત આકૃતિ જુઓ:

ડાબી બાજુની આકૃતિ બિન-બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ અથવા ચતુષ્કોણ દર્શાવે છે. જેવી તમારી ઈચ્છા. જેમ તમે જોઈ શકો છો, કર્ણ એકબીજાને છેદતા નથી, ઓછામાં ઓછા તે બધા નથી. જમણી બાજુએ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ છે. અહીં છેદવાના કર્ણની મિલકત પહેલેથી જ જોવામાં આવી છે. સમાન ગુણધર્મને ચતુષ્કોણની બહિર્મુખતાની નિશાની ગણી શકાય.

અન્ય ગુણધર્મો અને ચતુષ્કોણની બહિર્મુખતાના ચિહ્નો

ખાસ કરીને, આ શબ્દ અનુસાર, કોઈપણ વિશિષ્ટ ગુણધર્મો અને વિશેષતાઓને નામ આપવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. આ પ્રકારના ચતુષ્કોણના વિવિધ પ્રકારો અનુસાર અલગ પાડવું સરળ છે. તમે સમાંતરગ્રામ સાથે પ્રારંભ કરી શકો છો. આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ કે આ એક ચતુષ્કોણીય આકૃતિ છે, જેની બાજુઓ જોડી પ્રમાણે સમાંતર અને સમાન છે. તે જ સમયે, એકબીજા સાથે છેદવા માટે સમાંતરગ્રામના કર્ણની મિલકત, તેમજ આકૃતિની બહિર્મુખતાની નિશાની પણ અહીં સમાવવામાં આવેલ છે: સમાંતરગ્રામ હંમેશા સમાન સમતલમાં અને એક બાજુ સંબંધિત હોય છે. તેની કોઈપણ બાજુએ.

તેથી, મુખ્ય લક્ષણો અને ગુણધર્મો જાણીતા છે:

1. ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 360 ડિગ્રી છે;
2. આકૃતિઓના કર્ણ એક બિંદુ પર છેદે છે.

લંબચોરસ. આ આંકડો સમાંતરગ્રામની સમાન ગુણધર્મો અને લક્ષણો ધરાવે છે, પરંતુ તેના તમામ ખૂણા 90 ડિગ્રીના સમાન છે. તેથી નામ, લંબચોરસ.

ચોરસ, એ જ સમાંતર ચતુષ્કોણ, પરંતુ તેના ખૂણા લંબચોરસની જેમ જમણા છે. આ કારણે, ચોરસને ભાગ્યે જ લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે. પરંતુ ચોરસની મુખ્ય વિશિષ્ટ વિશેષતા, જે ઉપર પહેલાથી સૂચિબદ્ધ છે તે ઉપરાંત, તેની ચારેય બાજુઓ સમાન છે.

ટ્રેપેઝોઇડ એક ખૂબ જ રસપ્રદ આકૃતિ છે.. આ ચતુર્ભુજ પણ છે અને બહિર્મુખ પણ છે. આ લેખમાં, ડ્રોઇંગના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ટ્રેપેઝોઇડને પહેલેથી જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું છે. તે સ્પષ્ટ છે કે તેણી બહિર્મુખ પણ છે. મુખ્ય તફાવત, અને, તે મુજબ, ટ્રેપેઝોઇડની નિશાની એ છે કે તેની બાજુઓ લંબાઈમાં એકબીજાની બરાબર નથી, તેમજ મૂલ્યમાં તેના ખૂણાઓ પણ હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં, આકૃતિ હંમેશા એ જ પ્લેન પર રહે છે જે આકૃતિ બનાવતા ભાગો સાથે તેના કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓને જોડતી કોઈપણ સીધી રેખાઓના સંદર્ભમાં.

રોમ્બસ એક સમાન રસપ્રદ આકૃતિ છે. અંશતઃ સમચતુર્ભુજને ચોરસ ગણી શકાય. સમચતુર્ભુજની નિશાની એ હકીકત છે કે તેના કર્ણ માત્ર છેદે જ નથી, પણ સમચતુર્ભુજના ખૂણાઓને અડધા ભાગમાં પણ વિભાજિત કરે છે, અને કર્ણ પોતે કાટખૂણે છેદે છે, એટલે કે, તે લંબરૂપ છે. જો સમચતુર્ભુજની બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોય, તો કર્ણ પણ આંતરછેદ પર અડધા ભાગમાં વિભાજિત થાય છે.

ડેલ્ટોઇડ્સ અથવા બહિર્મુખ રોમ્બોઇડ્સ (રોમ્બસ)વિવિધ બાજુની લંબાઈ હોઈ શકે છે. પરંતુ તે જ સમયે, રોમ્બસના મુખ્ય ગુણધર્મો અને લક્ષણો અને બહિર્મુખતાના લક્ષણો અને ગુણધર્મો બંને હજી પણ સચવાયેલા છે. એટલે કે, આપણે અવલોકન કરી શકીએ છીએ કે કર્ણ ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે અને કાટખૂણો પર છેદે છે.

આજનું કાર્ય બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ શું છે, તેઓ શું છે અને તેમની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ અને ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવાનું અને સમજવાનું હતું. ધ્યાન આપો! તે ફરી એકવાર યાદ કરવા યોગ્ય છે કે બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 360 ડિગ્રી છે. આકૃતિઓની પરિમિતિ, ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ બનાવતા તમામ વિભાગોની લંબાઈના સરવાળા જેટલી છે. ચતુષ્કોણની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેના સૂત્રોની ચર્ચા નીચેના લેખોમાં કરવામાં આવશે.

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના પ્રકાર