Etiketti: trigonometrinen Fourier-sarja. Monimutkaisempi numeerinen sarja Sarja käänteisellä trigonometrisellä
Trigonometrinen sarja Määritelmä. Rajoittamattomalle joukolle D määritettyä funktiota /(x) kutsutaan jaksolliseksi, jos on olemassa luku T ↦ 0 siten, että ehto täyttyy jokaiselle x.€ D:lle. Pienintä näistä luvuista T kutsutaan funktion f(x) jaksoksi. Esimerkki 1. Välille määritetty funktio on jaksollinen, koska on olemassa luku T = 2* f O siten, että ehto täyttyy kaikille x:ille. Siten sin x -funktiolla on jakso T = 2x. Sama pätee funktioon Esimerkki 2. Lukujoukolle D määritetty funktio on jaksollinen, koska on olemassa luku T f 0, nimittäin T = sellainen, että x 6 D:lle on Määritelmä. Muodon funktionaalinen sarja ao FOURIER-SARJA Trigonometrinen sarja Trigonometrisen järjestelmän ortogonaalisuus Trigonometrinen Fourier-sarja Riittäviä ehtoja funktion laajentamiselle Fourier-sarjaksi kutsutaan trigonometriseksi sarjaksi ja vakioita a0, an, bn (n = 1, 2) , ...) kutsutaan trigonometrisen sarjan kertoimiksi (1 ). Trigonometrisen sarjan (1) osasummat Sp(x) ovat funktioiden lineaarisia yhdistelmiä trigonometriseksi järjestelmäksi kutsutusta funktiojärjestelmästä. Koska tämän sarjan jäsenet ovat jaksollisia funktioita, joiden jakso on 2n-, niin sarjan (I) konvergenssin tapauksessa sen summa S(x) on jaksollinen funktio, jonka jakso on T = 2m: Määritelmä. Jaksottaisen funktion f(x), jonka jakso on T = 2n, laajentaminen trigonometriseksi sarjaksi (1) tarkoittaa konvergentin trigonometrisen sarjan löytämistä, jonka summa on yhtä suuri kuin funktio /(x). . Trigonometrisen järjestelmän ortogonaalisuus Määritelmä. Janalla [a, 6] jatkuvia funktioita f(x) ja g(x) kutsutaan ortogonaalisiksi tässä segmentissä, jos ehto täyttyy. Esimerkiksi funktiot ovat ortogonaalisia janalla [-1,1], määritelmästä lähtien. Välillä [a, b] integroitavissa olevaa äärellistä tai ääretöntä funktioiden järjestelmää kutsutaan ortogonaaliksi välissä [a, 6) jos jollekin sellaiselle luvulle, että Yleisesti p Ф О meillä on Tunnettuja trigonometriakaavoja käyttäen mille tahansa luonnolliselle m:lle ja n:lle, m Ф n, löydämme: Lopuksi minkä tahansa kokonaislukutyypin kaavan perusteella saadaan trigonometrinen Fourier-sarja. 2. Pätee yhtälö kaikille x:n arvoille ja sarjalle yhtälön oikealla puolella konvergoi tasaisesti välillä [-zr, x]. Tällöin kaavat ovat voimassa Sarjan (1) tasainen konvergenssi merkitsee jatkuvuutta ja siten funktion f(x) integroitavuutta. Siksi yhtäläisyydet (2) ovat järkeviä. Lisäksi sarja (1) voidaan integroida termi kerrallaan. Meillä on mistä ja seuraa ensimmäinen kaavoista (2), kun n = 0. Nyt kerromme yhtälön (1) molemmat osat funktiolla cos mi, missä m on mielivaltainen luonnollinen luku: Sarja (3), kuten sarja (1) ), konvergoi tasaisesti. Siksi se voidaan integroida termi kerrallaan Kaikki oikean puolen integraalit, paitsi yksi, joka saadaan kohdassa n = m, ovat yhtä suuria kuin nolla johtuen trigonometrisen järjestelmän ortogonaalisuudesta. Siksi, mistä Samalla tavalla kertomalla yhtälön (1) molemmat puolet sinmx:llä ja integroimalla arvosta -r arvoon m, saadaan Ei tiedetä etukäteen, voidaanko se esittää jonkin konvergentin trigonometrisen sarjan summana. Kaavojen (2) avulla voidaan kuitenkin laskea vakiot an ja bn. Määritelmä. Trigonometriset sarjat, joiden kertoimet oq, an, bn määritetään funktion f(x) avulla kaavoilla FOURIER-SARJA Trigonometrinen sarja Trigonometrisen järjestelmän ortogonaalisuus Trigonometrinen Fourier-sarja Riittäviä ehtoja funktion laajentamiselle Fourier-sarjaksi kutsutaan trigonometriseksi Fourier-sarjaksi. funktion f(x) sarjaa ja näillä kaavoilla määritettyjä kertoimia a„ , bnt kutsutaan funktion f(x) Fourier-kertoimiksi. Jokainen välille [-m, -k] integroitavissa oleva funktio f(x) voidaan liittää Fourier-sarjaansa, ts. trigonometriset sarjat, joiden kertoimet määritetään kaavoilla (2). Jos funktiolta f(x) ei kuitenkaan vaadita muuta kuin integroitavuutta välissä [--n*, r], niin viimeisessä suhteessa olevaa vastaavuusmerkkiä ei voida yleisesti ottaen korvata yhtäläisyysmerkillä. Kommentti. Usein joudutaan laajentamaan funktio f(x) trigonometriseksi sarjaksi, joka määritellään vain segmentille (-*, n\ ja siksi ei ole jaksollinen. funktiot voidaan kirjoittaa myös trigonometrisiin Fourier-sarjoihin. Jos kuitenkin jatkamme funktiota f (x) määräajoin koko akselilla Ox, niin saadaan funktio F (x), jaksollinen jaksolla 2n, joka on yhtäpitävä / (x) kanssa välissä (-ir, k): Tämä funktio F(x) on f(x):n jaksollinen laajennus, eikä funktiolla F(x) ole yksilöllistä määritelmää pisteissä x = ±n, ±3r, ±5r, .... Sarja The Fourier funktion F(x) sarja on identtinen funktion f(x) Fourier-sarjan kanssa. Lisäksi, jos funktion f(x) Fourier-sarja konvergoi siihen, niin sen summa, joka on jaksollinen funktio, antaa funktion f(x) jaksollinen jatko janasta |-jt, n\ koko akselille Ox. Tässä mielessä Fourier-sarjasta puhuminen segmentille (-i-, jt|) määritellylle funktiolle f(x) vastaa puhumista Fourier-sarjasta funktiolle F(x), joka on jaksollinen jatko funktio f(x) kokonaisuuteen 4. Riittävät edellytykset funktion laajentamiselle Fourier-sarjaksi Esitetään riittävä kriteeri Fourier-sarjan konvergenssille eli Fourier-sarja konvergoituu ja selvitetään kuinka Tämän sarjan summa käyttäytyy tässä tapauksessa.On tärkeää korostaa, että vaikka alla esitetty paloittain monotonifunktioiden luokka on melko laaja, se ei tyhjennä funktioita, joille Fourier-sarja konvergoi. Määritelmä. Funktio f( x) kutsutaan palakohtaiseksi monotoniksi janalla [a, 6], jos tämä jana voidaan jakaa äärellisellä määrällä pisteitä intervalleiksi, joista jokaisessa f(x) on monotoninen, eli joko ei pienene tai ei kasva (ks. ... yksi). Esimerkki 1. Funktio on paloittain monotoninen välissä (-oo, oo), koska tämä intervalli voidaan jakaa kahteen väliin (-syu, 0) ja (0, + oo), joista ensimmäisessä se pienenee (ja näin ollen ei kasva), mutta kasvaa toisella (eikä siis vähene). Esimerkki 2. Funktio on paloittain monotoninen segmentillä [-zg, jt|, koska tämä segmentti voidaan jakaa kahteen väliin, joista ensimmäisessä cos i kasvaa arvosta -I arvoon +1 ja toisella se pienenee. Lause 3. Funktiolla f(x), joka on paloittain monotoninen ja joka on rajattu janaan (a, b]), voi sisältää vain ensimmäisen tyyppisiä epäjatkuvuuspisteitä.. Olkoon esimerkiksi funktion f(x) epäjatkuvuuspiste Tällöin rajausfunktiosta f(x) ja monotonisuudesta johtuen pisteen c molemmilla puolilla on äärelliset yksipuoliset rajat. Tämä tarkoittaa, että piste c on ensimmäisen tyyppinen epäjatkuvuuspiste (kuva 2). rajoittuu janaan [-m, m), sitten sen Fourier-sarja konvergoi tämän janan jokaisessa pisteessä x, ja tämän sarjan summa täyttää yhtäläisyydet: Jakson 2jt funktio /(z), joka on määritelty intervallilla (-*,*) yhtälöllä (kuva 3), täyttää lauseen ehdot. Siksi sitä voidaan laajentaa Fourier-sarjaan. Löydämme sille Fourier-kertoimet: Tämän funktion Fourier-sarja on muotoa Esimerkki 4. Laajenna funktio Fourier-sarjaksi (kuva 4) välissä Tämä funktio täyttää lauseen ehdot. Etsitään Fourier-kertoimet. Määrätyn integraalin additiivisuusominaisuutta käyttämällä saadaan FOURIER-SARJA Trigonometrinen sarja Trigonometrisen järjestelmän ortogonaalisuus Trigonometrinen Fourier-sarja Riittävät edellytykset funktion laajentamiselle Fourier-sarjaksi Siksi Fourier-sarjalla on seuraava muoto: segmentti (-i, ir], eli eli pisteissä x = -x ja x = x, jotka ovat ensimmäisen tyyppisiä epäjatkuvuuspisteitä, meillä on huomautus. Jos laitamme x = 0 löydettyyn Fourier-sarjaan, niin saamme mistä
Osoitetaan, että lähes mikä tahansa jaksollinen funktio voidaan esittää sarjana, jonka jäsenet ovat yksinkertaisia harmonisia, käyttämällä ns. trigonometrisiä sarjoja.
Määritelmä. Trigonometrinen sarja on muodon funktionaalinen sarja
missä ovat todelliset luvut a 0 , a n , b n kutsutaan sarjan kertoimiksi.
Sarjan vapaa termi kirjoitetaan muotoon myöhemmin saatujen kaavojen yhtenäisyyden vuoksi.
Kaksi kysymystä on ratkaistava:
1) Missä olosuhteissa toiminto toimii f(x) jaksolla 2π voidaan laajentaa sarjassa (5.2.1)?
2) Kuinka kertoimet lasketaan a 0 ,… a n , b n ?
Aloitetaan toisesta kysymyksestä. Anna toiminnon f(x) on jatkuva aikavälillä ja sillä on jakso T = 2π. Esittelemme seuraavassa kaavat, joita tarvitsemme.
Mille tahansa kokonaisluvulle , koska funktio on parillinen.
Kaikille kokonaisuuksille.
(m ja n kokonaislukuja)
klo ( m ja n kokonaislukuja) jokainen integraali (III, IV, V) muunnetaan integraalien (I) tai (II) summaksi. Jos , niin kaavassa (IV) saadaan:
Tasa-arvo (V) todistetaan samalla tavalla.
Oletetaan nyt, että funktio osoittautui sellaiseksi, että sille löydettiin laajennus suppenevaksi Fourier-sarjaksi, eli
(Huomaa, että summa on indeksin yläpuolella n).
Jos sarja konvergoi, merkitse sen summa S(x).
Termikohtainen integrointi (oikeutettu johtuen sarjojen konvergenssi-oletuksesta) välillä - antaa
koska kaikki termit ensimmäistä lukuun ottamatta ovat nollia (relaatiot I, II). Täältä löydämme
Kerrotaan (5.2.2):lla ( m=1,2,…) ja integroimalla termi kerrallaan välillä - , löydämme kertoimen a n.
Tasa-arvon oikealla puolella kaikki termit ovat yhtä kuin nolla yhtä lukuun ottamatta m = n(relaatiot IV, V), Siten saamme
Kerrotaan (5.2.2):lla ( m\u003d 1,2, ...) ja integroimalla termi kerrallaan välillä - , löydämme vastaavasti kertoimen b n
Kaavoilla (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) määritettyjä arvoja kutsutaan Fourier-kertoimiksi, ja trigonometrinen sarja (5.2.2) on Fourier-sarja tietylle funktiolle. f(x).
Joten, saimme funktion hajotuksen f(x) Fourier-sarjassa
Palataan ensimmäiseen kysymykseen ja selvitetään, mitä ominaisuuksia funktiolla tulisi olla f(x), jotta muodostettu Fourier-sarja on konvergentti ja sarjan summa olisi täsmälleen yhtä suuri kuin f(x).
Määritelmä. Funktiota f(x) kutsutaan paloittain jatkuvaksi, jos se on jatkuva tai sillä on äärellinen määrä ensimmäisen tyyppisiä epäjatkuvuuspisteitä.
Määritelmä. Funktio f(x), joka on annettu aikavälillä, kutsutaan pala kerrallaan monotoninen, jos jana voidaan jakaa pisteillä äärelliseen määrään intervalleja, joissa kussakin funktio muuttuu monotonisesti (kasvaa tai pienenee).
Harkitsemme toimintoja f(x), kuukautiset T = 2π. Tällaisia toimintoja kutsutaan 2π- määräajoin.
Muotoilkaamme lause, joka edustaa riittävää ehtoa funktion laajentamiselle Fourier-sarjaksi.
Dirichlet'n lause(hyväksy ilman todisteita) . Jos 2π- jaksollinen toiminta f(x) segmentillä on paloittain jatkuva ja paloittain monotoninen, silloin funktiota vastaava Fourier-sarja konvergoi tälle segmentille ja tässä tapauksessa:
1. Funktion jatkuvuuspisteissä sarjan summa on sama kuin itse funktio S(x)=f(x);
2. Joka pisteessä x 0 toimintokatkos f(x) sarjan summa on
nuo. pisteen vasemmalla ja oikealla puolella olevan funktion rajojen aritmeettinen keskiarvo x 0 ;
3. Pisteissä (janan päissä) Fourier-sarjan summa on ,
nuo. funktion raja-arvojen aritmeettinen keskiarvo janan päissä, kun argumentti suuntautuu näihin pisteisiin intervallin sisältä.
Huomautus: jos toiminto f(x) jaksolla 2π on jatkuva ja differentioituva koko aikavälillä ja sen arvot intervallin päissä ovat yhtä suuret, eli jaksollisuudesta johtuen tämä funktio on jatkuva koko reaaliakselilla ja mille tahansa X sen Fourier-sarjan summa on sama kuin f(x).
Eli jos funktio integroituu intervalliin f(x) täyttää Dirichlet-lauseen ehdot, silloin yhtälö tapahtuu välillä (laajennus Fourier-sarjassa):
Kertoimet lasketaan kaavoilla (5.2.3) - (5.2.5).
Dirichlet-ehdot täyttävät useimmat matematiikassa ja sen sovelluksissa esiintyvät funktiot.
Fourier-sarjoja, kuten potenssisarjoja, käytetään funktioarvojen likimääräiseen laskemiseen. Jos toiminnon laajentaminen f(x) trigonometriseksi sarjaksi tapahtuu, voit aina käyttää likimääräistä yhtälöä korvaamalla tämän funktion useiden harmonisten summalla, ts. osasumma (2 n+1) Fourier-sarjan termi.
Trigonometrisia sarjoja käytetään laajalti sähkötekniikassa, ja niiden avulla ne ratkaisevat monia matemaattisen fysiikan ongelmia.
Laajenna Fourier-sarjassa funktio, jonka jakso on 2π ja joka on annettu välillä (-π; π).
Päätös. Etsi Fourier-sarjan kertoimet:
Saimme funktion laajennuksen Fourier-sarjassa
Jatkuvuuspisteissä Fourier-sarjan summa on yhtä suuri kuin funktion arvo f(x)=S(x), pisteessä x = 0 S(x) = 1/2, kohdissa x=π,2π,… S(x)=1/2.
Useissa tapauksissa tutkimalla muotoa (C) olevien sarjojen kertoimia tai voidaan todeta, että nämä sarjat konvergoivat (ehkä yksittäisiä pisteitä lukuun ottamatta) ja ovat Fourier-sarjoja summaltaan (ks. esim. edellinen nro ), mutta kaikissa näissä tapauksissa kysymys herää luonnollisesti
kuinka löytää näiden sarjojen summat tai, tarkemmin sanottuna, miten ne ilmaistaan lopullisessa muodossa alkeisfunktioina, jos ne ylipäätään ilmaistaan sellaisessa muodossa. Jopa Euler (ja myös Lagrange) käytti menestyksekkäästi kompleksisen muuttujan analyyttisiä funktioita trigonometristen sarjojen summaamiseen lopullisessa muodossa. Eulerin menetelmän idea on seuraava.
Oletetaan, että tietyllä kerroinjoukolla sarja (C) ja suppenee funktioihin kaikkialla intervallissa, jättäen pois vain yksittäiset pisteet. Tarkastellaan nyt potenssisarjaa, jolla on samat kertoimet ja jotka on järjestetty kompleksisen muuttujan potenssiin
Yksikköympyrän kehällä, ts. pisteessä , tämä sarja konvergoi oletuksena, yksittäisiä pisteitä lukuun ottamatta:
Tässä tapauksessa potenssisarjojen tunnetun ominaisuuden mukaan sarja (5) konvergoi varmasti eli yksikköympyrän sisällä määrittäen siellä tietyn kompleksisen muuttujan funktion. Käyttämällä meille tunnettuja [katso. XII luvun 5 §] monimutkaisen muuttujan alkeisfunktioiden laajentamisesta, on usein mahdollista pelkistää funktio niihin. Silloin meillä on:
ja Abel-lauseen mukaan, heti kun sarja (6) konvergoi, saadaan sen summa rajana
Yleensä tämä raja on yksinkertaisesti sama kuin mikä mahdollistaa funktion laskemisen lopullisessa muodossa
Otetaan esimerkiksi sarja
Edellisessä kappaleessa todistetut väitteet johtavat siihen johtopäätökseen, että molemmat sarjat konvergoivat (ensimmäinen, pois lukien pisteet 0 ja
toimivat Fourier-sarjoina niiden määrittelemille funktioille, mutta mitä nämä funktiot ovat? Vastataksemme tähän kysymykseen teemme sarjan
Samankaltaisuuden perusteella logaritmisen sarjan kanssa sen summa on helppo määrittää:
siten,
Nyt helppo laskelma antaa:
joten tämän lausekkeen moduuli on , ja argumentti on .
ja näin lopulta
Nämä tulokset ovat meille tuttuja ja jopa kerran saatu "monimutkaisten" näkökohtien avulla; mutta ensimmäisessä tapauksessa aloitimme funktioista ja ja toisessa - analyyttisestä funktiosta. Tässä ensimmäistä kertaa itse sarja toimi lähtökohtana. Lukija löytää lisää tällaisia esimerkkejä seuraavasta osiosta.
Korostamme vielä kerran, että konvergenssista ja sarjasta (C) on oltava varma etukäteen sekä oikeus määrittää niiden summat rajoittavalla yhtälöllä (7). Pelkästään tämän yhtälön oikealla puolella olevan rajan olemassaolo ei vielä anna mahdollisuutta päätellä, että mainitut sarjat lähentyvät. Jos haluat näyttää tämän esimerkillä, harkitse sarjaa
Useiden kaarien kosineilla ja sineillä, eli muodon sarjalla
tai monimutkaisessa muodossa
missä a k,b k tai vastaavasti c k nimeltään kertoimet T. r.
Ensimmäistä kertaa T. r. tapaavat L. Eulerissa (L. Euler, 1744). Hän sai laajennuksia
Kaikki R. 1700-luvulla Merkkijonon vapaan värähtelyn ongelman tutkimisen yhteydessä heräsi kysymys mahdollisuudesta esittää merkkijonon alkuasemaa kuvaava funktio T. r:n summana. Tämä kysymys aiheutti kiivasta keskustelua, joka kesti useita vuosikymmeniä, tuon ajan parhaat analyytikot - D. Bernoulli, J. D. "Alembert, J. Lagrange, L. Euler (L. Euler). Toiminnan käsitteen sisältöön liittyvät kiistat. Tuolloin funktiot yhdistettiin yleensä niiden analytiikkaan. osoitus, joka johti vain analyyttisten tai paloittain analyyttisten funktioiden huomioon ottamiseen. Ja tässä tuli tarpeelliseksi funktiolle, jonka graafi on riittävän mielivaltainen, rakentamaan tätä funktiota edustava T.r. Mutta näiden kiistojen merkitys on suurempi. Itse asiassa ne keskustelivat tai nousivat esiin kysymysten yhteydessä, jotka liittyivät moniin matematiikan perustavanlaatuisiin käsitteisiin ja ideoihin. analyysi yleensä - funktioiden esittäminen Taylor-sarjoilla ja analyyttinen. funktioiden jatkaminen, divergenttien käyttö, rajat, äärettömät yhtälöjärjestelmät, polynomien funktiot jne.
Ja tulevaisuudessa, kuten tässä alkuperäisessä teoriassa, T. r. toimi uusien ideoiden lähteenä matematiikassa. Fourier-integraali, lähes jaksolliset funktiot, yleinen ortogonaalinen sarja, abstrakti . T.-joen tutkimukset. toimi lähtökohtana joukkoteorian luomiselle. T. r. ovat tehokas työkalu ominaisuuksien esittämiseen ja tutkimiseen.
Kysymyksen, joka johti kiistaan matemaatikoiden keskuudessa 1700-luvulla, ratkaisi vuonna 1807 J. Fourier, joka esitti kaavat T. r:n kertoimien laskemiseksi. (1), jonka on oltava. edustaa funktiota f(x):
ja soveltanut niitä lämmönjohtavuusongelmien ratkaisemiseen. Kaavoja (2) kutsutaan Fourier-kaavoiksi, vaikka ne kohtasivat aiemmin A. Clairaut (1754), ja L. Euler (1777) tuli niihin termikohtaista integraatiota käyttämällä. T. r. (1), jonka kertoimet määritetään kaavoilla (2), ns. lähellä Fourier-funktiota f ja numeroita a k, b k- Fourier-kertoimet.
Saatujen tulosten luonne riippuu siitä, kuinka funktion esitys ymmärretään sarjana, kuinka ymmärretään integraali kaavoissa (2). Moderni teoria T.-joesta. hankittu Lebesgue-integraalin ilmestymisen jälkeen.
Teoria T. r. voidaan jakaa ehdollisesti kahteen suureen osaan - teoriaan Fourier-sarja, jossa oletetaan, että sarja (1) on tietyn funktion Fourier-sarja, ja yleisen T. R.:n teoria, jossa tällaista oletusta ei tehdä. Alla on yleisen T. r:n teoriassa saadut päätulokset. (tässä tapauksessa joukot ja funktioiden mitattavuus ymmärretään Lebesguen mukaan).
Ensimmäinen systemaattinen tutkimus T. r., jossa ei oleteltu näiden sarjojen olevan Fourier-sarjoja, oli V. Riemannin väitöskirja (V. Riemann, 1853). Siksi teoria yleisestä T. r. nimeltään joskus Riemannilainen termodynamiikan teoria.
Tutkia mielivaltaisen T. r:n ominaisuuksia. (1) kertoimilla, jotka pyrkivät nollaan B. Riemann tarkasteli jatkuvaa funktiota F(x) ,
joka on tasaisesti suppenevan sarjan summa
saatu sarjan kaksinkertaisen termikohtaisen integroinnin jälkeen (1). Jos sarja (1) konvergoi jossain pisteessä x luvuksi s, niin tässä pisteessä on olemassa toinen symmetria ja se on yhtä suuri kuin s. F-toiminnot:
sitten tämä johtaa tekijöiden muodostaman sarjan (1) summaukseen 
nimeltään Riemannnin summausmenetelmällä. Funktion F avulla muotoillaan Riemannin lokalisointiperiaate, jonka mukaan sarjan (1) käyttäytyminen pisteessä x riippuu vain funktion F käyttäytymisestä tämän pisteen mielivaltaisen pienessä ympäristössä.
Jos T. r. konvergoi positiivisen suuren joukkoon, niin sen kertoimet ovat yleensä nolla (Cantor-Lebesgue). Taipumus nollakertoimiin T. r. seuraa myös sen lähentymisestä toisen kategorian joukkoon (W. Young, W. Young, 1909).
Yksi yleisen termodynamiikan teorian keskeisistä ongelmista on mielivaltaisen funktion T. r esittämisen ongelma. Vahvistaessaan N. N. Luzinin (1915) tuloksia T. R. funktioiden esittämisestä Abel-Poissonin ja Riemannin summausmenetelmillä D. E. Men'shov osoitti (1940) seuraavan lauseen, joka viittaa tärkeimpään tapaukseen, kun funktion f esitystapa ymmärretään T. r. kohtaan f(x) melkein kaikkialla. Jokaiselle mitattavalle ja äärelliselle lähes kaikkialla funktiolle f on olemassa T. R., joka suppenee siihen melkein kaikkialla (Men'shovin lause). On huomattava, että vaikka f olisi integroitavissa, niin yleisesti ottaen funktion f Fourier-sarjaa ei voida pitää sellaisena sarjana, koska on Fourier-sarjoja, jotka hajoavat kaikkialla.
Yllä oleva Men'shovin lause sallii seuraavan tarkennuksen: jos funktio f on mitattavissa ja äärellinen lähes kaikkialla, niin on olemassa sellainen, että 
lähes kaikkialla, ja funktion j termi kerrallaan differentioitu Fourier-sarja konvergoi f(x):iin lähes kaikkialla (N. K. Bari, 1952).
Ei tiedetä (1984), onko mahdollista jättää funktion f äärellisyysehto pois lähes kaikkialta Men'shovin lauseessa. Erityisesti ei tiedetä (1984), onko T. r. lähentyvät lähes kaikkialla
Siksi ongelmaa funktioiden esittämisestä, jotka voivat saada äärettömiä arvoja positiivisen suuren joukolla, pohdittiin siinä tapauksessa, että se korvataan heikommalla vaatimuksella - . Mittojen konvergenssi funktioihin, jotka voivat saada äärettömiä arvoja, määritellään seuraavasti: T. p. osittaissummat. s n(x) konvergoi mitattuna funktioon f(x) .
jos missä f n(x) konvergoi / (x) lähes kaikkialla, ja sekvenssi konvergoi nollaan. Tässä asetelmassa funktioiden esitysongelma on ratkaistu loppuun asti: jokaiselle mitattavissa olevalle funktiolle on olemassa T. R., joka suppenee siihen mitassa (D. E. Men'shov, 1948).
T. r.:n ainutlaatuisuuden ongelmalle on omistettu paljon tutkimusta: Voiko kaksi erilaista T.:tä poiketa samasta funktiosta? eri muotoilussa: jos T. r. konvergoi nollaan, seuraako siitä, että kaikki sarjan kertoimet ovat yhtä suuret kuin nolla. Tässä voidaan tarkoittaa konvergenssia kaikissa pisteissä tai kaikissa pisteissä tietyn joukon ulkopuolella. Vastaus näihin kysymyksiin riippuu olennaisesti sen joukon ominaisuuksista, joiden ulkopuolella konvergenssia ei oletetaan.
Seuraava terminologia on laadittu. Useita nimiä. ainutlaatuisuus asetettu tai U- asettaa jos, konvergenssista T. r. nollaan kaikkialla, paitsi ehkä joukon pisteitä E, tästä seuraa, että kaikki tämän sarjan kertoimet ovat yhtä suuret kuin nolla. Muuten Enaz. M-setti.
Kuten G. Cantor (1872) osoitti, sekä kaikki äärelliset ovat U-joukkoja. Mielivaltainen on myös U-joukko (W. Jung, 1909). Toisaalta jokainen positiivisten mittojen joukko on M-joukko.
M-mittajoukkojen olemassaolon totesi D. E. Men'shov (1916), joka rakensi ensimmäisen esimerkin täydellisestä joukosta näillä ominaisuuksilla. Tällä tuloksella on perustavanlaatuinen merkitys ainutlaatuisuusongelmassa. Nollamittaisten M-joukkojen olemassaolosta seuraa, että kun esitetään T.R:n funktioita, jotka konvergoivat lähes kaikkialla, nämä sarjat määritellään poikkeuksetta moniselitteisesti.
Täydelliset sarjat voivat olla myös U-sarjoja (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Nollamittajoukkojen erittäin hienovaraiset ominaisuudet ovat olennainen rooli ainutlaatuisuusongelmassa. Yleinen kysymys mittajoukkojen luokittelusta nolla M- ja U-setit jäävät (1984) auki. Se ei ole ratkaistu edes täydellisille sarjoille.
Seuraava ongelma liittyy ainutlaatuisuusongelmaan. Jos T. r. yhtyy funktioon 
sitten onko tämän sarjan oltava funktion / Fourier-sarja. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) antoi myönteisen vastauksen tähän kysymykseen, jos f on integroitavissa Riemannin mielessä ja sarja konvergoi f(x):iin kaikissa pisteissä. Tuloksista III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) viittaa siihen, että vastaus on myönteinen, vaikka sarja konvergoisi kaikkialla paitsi laskettavassa pistejoukossa ja sen summa on äärellinen.
Jos T. p suppenee absoluuttisesti jossain pisteessä x 0, niin tämän sarjan konvergenssipisteet sekä sen absoluuttisen konvergenssin pisteet sijaitsevat symmetrisesti pisteen x 0 suhteen
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Mukaan Denjoy - Luzinin lause absoluuttisesta konvergenssista T. r. (1) sarja konvergoi positiivisen suuren joukossa 
ja näin ollen sarjan (1) absoluuttinen konvergenssi kaikille X. Tämä ominaisuus on myös toisen luokan joukoilla sekä tietyillä nollamitan joukoilla.
Tämä tutkimus kattaa vain yksiulotteisen T. r. (yksi). On olemassa erilliset tulokset, jotka liittyvät yleiseen T. p. useista muuttujista. Täällä on monissa tapauksissa edelleen tarpeen löytää luonnollisia ongelmalauseita.
Lit.: Bari N. K., Trigonometric series, M., 1961; Sigmund A., Trigonometrinen sarja, käänn. englannista, osa 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Integral and trigonometric series, M.-L., 1951; Riemann B., Teokset, käänn. saksasta, M.-L., 1948, s. 225-61.
S. A. Teljakovsky.
Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Muista, että todellisessa analyysissä trigonometrinen sarja on sarja useiden kaarien kosineissa ja sinissä, ts. lomakkeen rivi
Hieman historiaa. Tällaisten sarjojen teorian alkukausi johtuu 1700-luvun puolivälistä jousivärähtelyongelman yhteydessä, jolloin haluttua funktiota haettiin sarjan summana (14.1). Kysymys tällaisen esityksen mahdollisuudesta aiheutti kiivasta keskustelua matemaatikoiden keskuudessa, joka kesti useita vuosikymmeniä. Toiminnan käsitteen sisältöön liittyvät kiistat. Tuolloin funktiot liitettiin yleensä niiden analyyttiseen osoitukseen, mutta tässä tuli tarpeelliseksi esittää funktio (14.1) viereen, jonka kuvaaja on melko mielivaltainen käyrä. Mutta näiden kiistojen merkitys on suurempi. Itse asiassa he herättivät kysymyksiä, jotka liittyivät moniin pohjimmiltaan tärkeisiin matemaattisen analyysin ideoihin.
Ja tulevaisuudessa, kuten tällä alkukaudella, trigonometristen sarjojen teoria toimi uusien ideoiden lähteenä. Niiden yhteydessä syntyi esimerkiksi joukkoteoria ja reaalimuuttujan funktioteoria.
Tässä loppuluvussa tarkastelemme materiaalia, joka jälleen kerran yhdistää todellisen ja monimutkaisen analyysin, mutta joka näkyy vain vähän TFCT:tä koskevissa oppikirjoissa. Analyysin aikana he lähtivät ennalta määrätystä funktiosta ja laajensivat sen trigonometriseksi Fourier-sarjaksi. Tässä tarkastellaan käänteistä ongelmaa: määritä tietyn trigonometrisen sarjan konvergenssi ja summa. Tätä varten Euler ja Lagrange käyttivät menestyksekkäästi analyyttisiä funktioita. Ilmeisesti Euler sai ensimmäistä kertaa (1744) yhtäläisyydet
Alla seuraamme Eulerin jalanjälkiä, rajoittuen vain sarjan (14.1) erikoistapauksiin, nimittäin trigonometrisiin sarjoihin
Kommentti. Seuraavaa tosiasiaa käytetään olennaisesti: jos positiivisten kertoimien sarja a p monotonisesti nollaan, niin nämä sarjat konvergoivat tasaisesti mille tahansa suljetulle välille, joka ei sisällä muodon pisteitä 2lx (gZ). Erityisesti välissä (0.2n -) tapahtuu pisteittäistä konvergenssia. Katso tästä työstä, s. 429-430.
Eulerin idea sarjan (14.4), (14.5) summaamisesta on, että käyttämällä substituutiota z = e a mene tehosarjaan
Jos yksikköympyrän sisältä sen summa löytyy eksplisiittisesti, niin ongelma ratkaistaan yleensä erottamalla siitä todellinen ja kuvitteellinen osa. Korostamme, että Eulerin menetelmää käyttäen tulee tarkistaa sarjan (14.4), (14.5) konvergenssi.
Katsotaanpa joitain esimerkkejä. Monissa tapauksissa geometrinen sarja on hyödyllinen
sekä siitä termi-termittäin erottelulla tai integroinnilla saadut sarjat. Esimerkiksi,
Esimerkki 14.1. Etsi sarjan summa
Päätös. Esittelemme samanlaisen sarjan kosinuksilla
Molemmat sarjat lähentyvät kaikkialla, siitä lähtien pääaineena geometrinen sarja 1 + r + r 2+... Olettaen z = e"x, saamme
Tässä fraktio pelkistetään muotoon
mistä saamme vastauksen ongelman kysymykseen:
Matkan varrella loimme tasa-arvon (14.2): Esimerkki 14.2. Summa rivit
Päätös. Yllä olevan huomautuksen mukaan molemmat sarjat konvergoivat määritellyllä aikavälillä ja toimivat Fourier-sarjoina määrittämilleen funktioille f(x) 9 g(x). Mitä nämä toiminnot ovat? Vastataksemme kysymykseen Eulerin menetelmän mukaisesti muodostamme sarjan (14.6) kertoimilla a p= -. Olla samaa mieltä-
mutta yhtäläisyyden (14.7) saamme
Jättäen pois yksityiskohdat (lukijan tulee toistaa ne), huomautamme, että logaritmimerkin alla oleva lauseke voidaan esittää
Tämän lausekkeen moduuli on yhtä suuri kuin - ja argumentti (tarkemmin sanottuna sen pääarvo on
- 2 synti-
arvo) on yhtä suuri, joten In ^ = -ln(2sin
Esimerkki 14.3. klo - Summaa rivit
Päätös. Molemmat sarjat konvergoivat kaikkialla, koska konvergentti hallitsee niitä
yhteisen jäsenen vieressä -! . Rivi (14.6)
n(n +1)
suoraan
J_ _\_ __1_
/?(/? +1) P /1 + 1
ns antaa tunnetun määrän. Sen perusteella edustamme sitä muodossa
tasa-arvo
Tässä suluissa oleva lauseke on ln(l + z) ja hakasulkeissa oleva lauseke on ^ ^ + ** ^--. Siten,
= (1 + -)ln(1 + z). Nyt pitäisi laittaa tänne z = eLX ja suorita samat vaiheet kuin edellisessä esimerkissä. Mainitsemme sen yksityiskohtia jättämättä Jäljelle jää avata sulut ja kirjoittaa vastaus. Jätämme tämän lukijan huoleksi. Tehtävät luvulle 14 Laske seuraavien rivien summat. 3.1.a). Jos w=u + iv, sitten ja= -r- -v = -^-^. Näin ollen l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d:) 2 Koordinaattien origo tulee jättää tämän ympyrän ulkopuolelle, koska (m, v) 9* (0; 0) V* e R, sävy ja= lim v = 0. x-yx>.v->oo a = 1, a = 2. z "=-! + -> z,=-l - niitä w = 2x; ei ole missään holomorfinen; St St riippuu muuttujasta "t. Cauchy-Riemannin ehdot viittaavat siihen, että nämä funktiot ovat myös riippumattomia y:stä. 4.5 Ajatellaanpa esimerkiksi tapausta Re f(z) = i(x, y) = konst. Kanssa käyttäen Cauchyn-Riemannin ehtoja, päättele tästä, että Im/(z) = v(x 9 v) = konst. derivaatan argumentti on nolla, silloin sen imaginaariosa on nolla ja reaaliosa on positiivinen. Tästä johdetaan vastaus: suora klo = -X-1 (X* 0). b) ympyrä z + i=j2. suluissa oleva ilmaisu sai saman merkityksen, silloin niillä olisi mikä on irrationaalisuuden vastaista a . klo= 0, -1 x 1 meillä on ja =--e [-1,1]" v = 0. Tarkastellaan rajan toista segmenttiä - puoliympyrää z=e u,tg. Tässä osiossa lauseke muunnetaan muotoon w=u=-- ,/* -. Välissä. Kohdan (8.6) mukaan haluttu integraali on yhtä suuri kuin
b). Alemmalla puoliympyrän yhtälöllä on muoto z(t) = e“,t e[l, 2n). Kaavan (8.8) mukaan integraali on yhtä suuri kuin z = t + i,te. Vastaus: - + - i. .1 .t+2/r e2,e 2. Tehtävän ehdoista seuraa, että puhumme juuren pääarvosta: Vz, ts. näistä ensimmäisestä. Sitten integraali on 8.3 Tehtävää ratkaistaessa piirustusta ei tarkoituksella anneta, mutta lukijan tulee täydentää se. Käytetään suoran janan yhtälöä, joka yhdistää kaksi annettua pistettä i, /> e C (a - Alkaa, b - loppu): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Jaetaan haluttu integraali neljään osaan: I = I AB + I BC + I CD +1
D.A. Segmentillä AB meillä on z- (1 -1)
? 1 +1
/, joten tämän segmentin integraali (8.8) on yhtä suuri kuin Jatketaan samalla tavalla, löydämme alue D sisältää Г ja ns sisältää a. Integraalilauseen mukaan /),/], haluttu integraali on yhtä suuri kuin nolla. geometrinen sarja 1 + q + q2 (|| edustaa muodossa /(z) = /(-^z). Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa sen pisteen 0 keskipisteen funktion Taylor-sarjan konvergenssisäde on suurempi kuin yksi. Meillä on: Funktion arvot ovat samat diskreetissä joukossa, jonka rajapiste kuuluu konvergenssiympyrään. Yksilöllisyyslauseen mukaan /(z) = konst. 11.3. Oletetaan, että haluttu analyyttinen funktio /(z) on olemassa. Verrataan sen arvoja funktioon (z) = z2 kuvauksissa E, koostuu pisteistä z n = - (n = 2,3,...). Niiden merkitykset ovat samat, ja siitä lähtien E on rajapiste, joka kuuluu annettuun ympyrään, niin uniikiteettilauseen /(z) = z 2 perusteella kaikille annetun ympyrän argumenteille. Mutta tämä on ristiriidassa ehdon kanssa /(1) = 0. Vastaus: ns ei ole olemassa. 12.2. a). Esitä funktio lomakkeessa ja laajenna sulkeita. yksinkertaiset pylväät 1,-1,/. Niissä olevien jäännösten summa on yhtä suuri kuin -- ja integraali on yhtä suuri kuin sisään). Napojen joukossa 2 Trki (kGZ) integrandista vain kaksi on annetun ympyrän sisällä. Se on 0 ja 2 minä molemmat ovat yksinkertaisia, jäännökset niissä ovat yhtä suuret 1:ssä. Vastaus: 4z7. kerro se 2/r/:lla. Jättäen pois yksityiskohdat, ilmoitamme vastauksen: / = -i . 13.2. a). Laitetaan sitten e"=z e"idt =dz
, dt= - .
Ho e" - e~" z-z~ x sin / =-=-, intefal pelkistetään muotoon Tässä nimittäjä kerrotaan (z-z,)(z-z 2), missä z, = 3 - 2 V2 / on ympyrän sisällä klo
, a z,=3 + 2V2 / on edellä. Vielä on löydettävä jäännös suhteessa yksinkertaiseen napaan z käyttämällä kaavaa (13.2) ja b) . Olettaen, kuten edellä, e" = z
, vähennämme intefalin muotoon Subintephal-funktiolla on kolme yksinkertaista napaa (mitkä?). Annamme lukijan laskea niissä olevat jäämät, osoitamme vastauksen: minä =
. on yhtä kuin 2(^-1- h-dt).
Merkitse integraali suluissa /. Sovellettaessa yhtälöä cos "/ = - (1 + cos2f) saadaan, että / = [- cit
. Analogisesti tapausten a), b) kanssa tehdään korvaus e 2,t
= z, vähennä integraali muotoon jossa integrointikäyrä on sama yksikköympyrä. Muut argumentit ovat samat kuin tapauksessa a). Vastaus: alkuperäinen, haettu integraali on yhtä suuri kuin /r(2-n/2). 13.3. a). Tarkastellaan apukompleksiintegraalia /(/?)=f f(z)dz, missä f(z) = - p-, G (I) - ääriviiva, joka koostuu puoliympyrät y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 ja kaikki halkaisijat (tee piirustus). Jaetaan tämä integraali kahteen osaan - intervallin [-/?,/?] ja mukaan y(R). niin. Vain yksinkertaiset navat ovat piirin sisällä z 0 \u003d e 4, z, = e 4 (kuvio 186). Niiden jäämien osalta havaitsemme: On vielä tarkistettava, että integraali on ohi y(R) yleensä nollaan R. Epäyhtälöstä |g + A|>||i|-|/>|| ja integraalin estimaatista for z e y(R) tästä seuraa, että
