Matriisimenetelmä SLAU:n ratkaisut käytetään ratkaisemaan yhtälöjärjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä vastaa tuntemattomien määrää. Menetelmä soveltuu parhaiten matalan järjestyksen järjestelmien ratkaisemiseen. Matriisimenetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi perustuu matriisin kertolaskujen ominaisuuksien soveltamiseen.

Tällä tavalla, toisin sanoen käänteismatriisimenetelmä, kutsutaan niin, koska ratkaisu pelkistetään tavalliseen matriisiyhtälöön, jonka ratkaisulle sinun on löydettävä käänteinen matriisi.

Matriisiratkaisumenetelmä SLAE, jonka determinantti on suurempi tai pienempi kuin nolla, on seuraava:

Oletetaan, että on olemassa SLE (lineaaristen yhtälöiden järjestelmä). n tuntematon (satunnaisen kentän yli):

Joten se on helppo kääntää matriisimuotoon:

AX=B, missä A on järjestelmän päämatriisi, B ja X- järjestelmän vapaiden jäsenten ja ratkaisujen sarakkeet:

Kerro tämä vasemmalla oleva matriisiyhtälö luvulla A -1- käänteismatriisista matriisiin A: A -1 (AX) = A -1 B.

Koska A −1 A=E, tarkoittaa, X=A −1 B. Yhtälön oikea puoli antaa sarakkeen ratkaisuja alkujärjestelmään. Matriisimenetelmän sovellettavuuden ehto on matriisin rappeutumattomuus A. Välttämätön ja riittävä ehto tälle on, että matriisin determinantti A:

detA≠0.

varten homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä, eli jos vektori B = 0, päinvastainen sääntö pätee: järjestelmä AX=0 on ei-triviaali (eli ei ole yhtä suuri kuin nolla) ratkaisu vain silloin, kun detA = 0. Tätä yhteyttä homogeenisten ja epähomogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisujen välillä kutsutaan vaihtoehto Fredholmille.

Siten SLAE:n ratkaisu matriisimenetelmällä tehdään kaavan mukaan . Tai SLAE-ratkaisu löytyy käyttämällä käänteinen matriisi A -1.

Tiedetään, että neliömatriisi MUTTA Tilaus n päällä n on käänteinen matriisi A -1 vain jos sen determinantti on nollasta poikkeava. Järjestelmä siis n lineaariset algebralliset yhtälöt n Tuntemattomat ratkaistaan ​​matriisimenetelmällä vain, jos järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla.

Huolimatta siitä, että tällaisen menetelmän käytölle on rajoituksia ja suurille kertoimien arvoille ja korkealuokkaisille järjestelmille on laskentavaikeuksia, menetelmä voidaan helposti toteuttaa tietokoneella.

Esimerkki epähomogeenisen SLAE:n ratkaisemisesta.

Ensin tarkistetaan, onko tuntemattomien SLAE:iden kertoimien matriisin determinantti nolla.

Nyt löydämme liittoumamatriisi, transponoi se ja korvaa se käänteismatriisin määrittämiskaavalla.

Korvaamme muuttujat kaavassa:

Nyt löydämme tuntemattomat kertomalla käänteismatriisi ja vapaiden termien sarake.

Niin, x = 2; y = 1; z = 4.

Kun siirryt tavallisesta SLAE-muodosta matriisimuotoon, ole varovainen tuntemattomien muuttujien järjestyksen kanssa järjestelmäyhtälöissä. Esimerkiksi:

ÄLÄ kirjoita seuraavasti:

Ensin on tarpeen järjestää tuntemattomat muuttujat jokaisessa järjestelmän yhtälössä ja vasta sen jälkeen edetä matriisimerkintään:

Lisäksi sinun on oltava varovainen tuntemattomien muuttujien nimeämisessä sen sijaan x 1, x 2, …, x n voi olla muitakin kirjaimia. Esimerkiksi:

matriisimuodossa kirjoitamme:

Matriisimenetelmällä on parempi ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla. Kun järjestelmässä on enemmän kuin 3 yhtälöä, käänteismatriisin löytäminen vaatii enemmän laskennallista työtä, joten tässä tapauksessa on suositeltavaa käyttää ratkaisuun Gaussin menetelmää.

Gaussin menetelmä, jota kutsutaan myös tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmäksi, koostuu seuraavista. Lineaariyhtälöjärjestelmä saatetaan alkeismuunnoksilla sellaiseen muotoon, että sen kerroinmatriisi osoittautuu puolisuunnikkaan muotoinen (sama kuin kolmiomainen tai porrastettu) tai lähellä puolisuunnikkaan muotoista (Gaussin menetelmän suora kurssi, sitten - vain suora liike). Esimerkki tällaisesta järjestelmästä ja sen ratkaisusta on esitetty yllä olevassa kuvassa.

Tällaisessa järjestelmässä viimeinen yhtälö sisältää vain yhden muuttujan ja sen arvo voidaan löytää yksiselitteisesti. Sitten tämän muuttujan arvo korvataan edelliseen yhtälöön ( Gaussin käänteinen , sitten - vain käänteinen liike), josta edellinen muuttuja löytyy ja niin edelleen.

Kuten näemme puolisuunnikkaan (kolmio) järjestelmässä, kolmas yhtälö ei enää sisällä muuttujia y ja x, ja toinen yhtälö - muuttuja x .

Kun järjestelmän matriisi on saanut puolisuunnikkaan muodon, ei ole enää vaikeaa selvittää järjestelmän yhteensopivuutta, määrittää ratkaisujen lukumäärä ja löytää itse ratkaisut.

Menetelmän edut:

1. kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa on enemmän kuin kolme yhtälöä ja tuntemattomia, Gauss-menetelmä ei ole yhtä hankala kuin Cramer-menetelmä, koska Gaussin menetelmää ratkaistaessa tarvitaan vähemmän laskelmia;
2. Gauss-menetelmän avulla voit ratkaista epämääräisiä lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, eli niillä on yhteinen ratkaisu (ja analysoimme ne tässä oppitunnissa), ja Cramer-menetelmää käyttämällä voit vain todeta, että järjestelmä on epävarma;
3. voit ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa tuntemattomien lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä (analysoimme niitä myös tässä oppitunnissa);
4. menetelmä perustuu alkeis- (koulu)menetelmiin - tuntemattomien korvausmenetelmään ja yhtälöiden lisäämismenetelmään, joita käsittelimme vastaavassa artikkelissa.

Jotta kaikki olisivat täynnä sitä yksinkertaisuutta, jolla puolisuunnikkaan (kolmio, askel) lineaariyhtälöjärjestelmät ratkaistaan, esittelemme tällaisen järjestelmän ratkaisun käänteisellä iskulla. Tämän järjestelmän nopea ratkaisu esitettiin oppitunnin alussa olevassa kuvassa.

Esimerkki 1 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä käänteisellä siirrolla:

Ratkaisu. Tässä puolisuunnikkaan muotoisessa järjestelmässä muuttuja z löytyy ainutlaatuisesti kolmannesta yhtälöstä. Korvaamme sen arvon toiseen yhtälöön ja saamme muuttujan arvon y:

Nyt tiedämme kahden muuttujan arvot - z ja y. Korvaamme ne ensimmäiseen yhtälöön ja saamme muuttujan arvon x:

Edellisistä vaiheista kirjoitamme yhtälöjärjestelmän ratkaisun:

Jotta saadaan tällainen puolisuunnikkaan muotoinen lineaariyhtälöjärjestelmä, jonka ratkaisimme hyvin yksinkertaisesti, on käytettävä suoraa liikettä, joka liittyy lineaariyhtälöjärjestelmän perusmuunnoksiin. Se ei myöskään ole kovin vaikeaa.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän alkeismuunnokset

Toistamalla järjestelmän yhtälöiden algebrallista yhteenlaskua, havaitsimme, että yhteen järjestelmän yhtälöön voidaan lisätä toinen järjestelmän yhtälö ja jokainen yhtälö voidaan kertoa joillakin luvuilla. Tuloksena saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka vastaa annettua yhtälöä. Siinä yksi yhtälö sisälsi jo vain yhden muuttujan, jonka arvon korvaamalla muilla yhtälöillä päästään ratkaisuun. Tällainen lisäys on yksi järjestelmän alkeismuunnostyypeistä. Gaussin menetelmää käytettäessä voimme käyttää useita muunnoksia.

Yllä oleva animaatio näyttää kuinka yhtälöjärjestelmä muuttuu vähitellen puolisuunnikkaan muotoiseksi. Eli se, jonka näit heti ensimmäisessä animaatiossa ja varmistit, että siitä on helppo löytää kaikkien tuntemattomien arvot. Miten tällainen muunnos suoritetaan, ja tietysti esimerkkejä käsitellään edelleen.

Kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa on mikä tahansa määrä yhtälöitä ja tuntemattomia yhtälöjärjestelmässä ja järjestelmän laajennetussa matriisissa voi:

1. vaihtaa rivejä (tämä mainittiin tämän artikkelin alussa);
2. jos muiden muunnosten seurauksena ilmestyi yhtä suuria tai suhteellisia viivoja, ne voidaan poistaa yhtä lukuun ottamatta;
3. poista "nolla" rivit, joissa kaikki kertoimet ovat nolla;
4. kerro tai jaa mikä tahansa merkkijono jollakin luvulla;
5. lisää mille tahansa riville toinen rivi kerrottuna jollakin luvulla.

Muutosten tuloksena saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka vastaa annettua yhtälöä.

Algoritmi ja esimerkkejä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä järjestelmän neliömatriisin kanssa

Tarkastellaan ensin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisua, joissa tuntemattomien lukumäärä on yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä. Tällaisen järjestelmän matriisi on neliö, eli siinä olevien rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä.

Esimerkki 2 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Ratkaisimme lineaarisia yhtälöjärjestelmiä koulumenetelmillä, kerroimme termi kerrallaan yhden yhtälön tietyllä luvulla siten, että kahden yhtälön ensimmäisen muuttujan kertoimet olivat vastakkaisia ​​lukuja. Kun lisäät yhtälöitä, tämä muuttuja eliminoidaan. Gaussin menetelmä toimii samalla tavalla.

Ratkaisun ulkonäön yksinkertaistamiseksi muodostaa järjestelmän lisätty matriisi:

Tässä matriisissa tuntemattomien kertoimet sijaitsevat vasemmalla ennen pystypalkkia ja vapaat jäsenet oikealla pystypalkin jälkeen.

Muuttujien kertoimien jakamisen helpottamiseksi (jaon saamiseksi yhdellä) vaihda järjestelmämatriisin ensimmäinen ja toinen rivi. Saamme järjestelmän, joka vastaa annettua, koska lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä yhtälöt voidaan järjestää uudelleen:

Uuden ensimmäisen yhtälön kanssa poista muuttuja x toisesta ja kaikista myöhemmistä yhtälöistä. Voit tehdä tämän lisäämällä ensimmäisen rivin kerrottuna (meissä tapauksessa ) matriisin toiseen riviin ja ensimmäinen rivi kerrottuna (meidän tapauksessamme:lla) kolmanteen riviin.

Tämä on mahdollista, koska

Jos järjestelmässämme oli enemmän kuin kolme yhtälöä, ensimmäinen rivi tulee lisätä kaikkiin seuraaviin yhtälöihin kerrottuna vastaavien kertoimien suhteella, otettuna miinusmerkillä.

Tuloksena saadaan matriisi, joka vastaa annettua uuden yhtälöjärjestelmän järjestelmää, jossa kaikki yhtälöt, alkaen toisesta eivät sisällä muuttujaa x :

Tuloksena olevan järjestelmän toisen rivin yksinkertaistamiseksi kerromme sen ja saamme jälleen tätä järjestelmää vastaavan yhtälöjärjestelmän matriisin:

Nyt, pitäen tuloksena olevan järjestelmän ensimmäinen yhtälö muuttumattomana, toista yhtälöä käyttämällä eliminoimme muuttujan y kaikista myöhemmistä yhtälöistä. Voit tehdä tämän lisäämällä järjestelmämatriisin kolmanteen riviin toisen rivin kerrottuna (meissä tapauksessa:lla).

Jos järjestelmässämme oli enemmän kuin kolme yhtälöä, toinen rivi tulisi lisätä kaikkiin seuraaviin yhtälöihin kerrottuna vastaavien kertoimien suhteella, otettuna miinusmerkillä.

Tämän seurauksena saamme jälleen järjestelmän matriisin, joka vastaa annettua lineaariyhtälöjärjestelmää:

Olemme saaneet puolisuunnikkaan muotoisen lineaariyhtälöjärjestelmän, joka vastaa annettua yhtälöä:

Jos yhtälöiden ja muuttujien määrä on suurempi kuin esimerkissämme, muuttujien peräkkäinen eliminointiprosessi jatkuu, kunnes järjestelmämatriisista tulee puolisuunnikkaan muotoinen, kuten demoesimerkissämme.

Löydämme ratkaisun "lopusta" - päinvastoin. Tätä varten viimeisestä yhtälöstä, jonka määritämme z:
.
Korvaa tämä arvo edelliseen yhtälöön, löytö y:

Ensimmäisestä yhtälöstä löytö x:

Vastaus: tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisu - .

: tässä tapauksessa sama vastaus annetaan, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Jos järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, niin on myös vastaus, ja tämä on tämän oppitunnin viidennen osan aihe.

Ratkaise itse lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä ja katso sitten ratkaisua

Edessämme on jälleen esimerkki johdonmukaisesta ja määrätystä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä, jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä. Ero demoesimerkistämme algoritmista on se, että yhtälöitä on jo neljä ja tuntematonta.

Esimerkki 4 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Nyt sinun on käytettävä toista yhtälöä muuttujan sulkemiseksi pois myöhemmistä yhtälöistä. Tehdään valmistelutyötä. Jotta kertoimien suhteen olisi helpompi käyttää, sinun on hankittava yksikkö toisen rivin toisessa sarakkeessa. Tee tämä vähentämällä kolmas rivi toisesta rivistä ja kertomalla tuloksena oleva toinen rivi -1:llä.

Suoritetaan nyt muuttujan todellinen eliminointi kolmannesta ja neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä kolmannelle riville toisen luvulla kerrottuna ja neljännen rivin toisen luvulla kerrottuna.

Nyt käyttämällä kolmatta yhtälöä poistamme muuttujan neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä neljännelle riville kolmannen kerrottuna . Saamme puolisuunnikkaan muotoisen laajennetun matriisin.

Olemme saaneet yhtälöjärjestelmän, joka vastaa annettua järjestelmää:

Siksi tuloksena saadut ja annetut järjestelmät ovat johdonmukaisia ​​ja määrättyjä. Löydämme lopullisen ratkaisun "lopusta". Neljännestä yhtälöstä voimme ilmaista suoraan muuttujan "x neljäs" arvon:

Korvaamme tämän arvon järjestelmän kolmanteen yhtälöön ja saamme

,

,

Lopuksi arvon korvaaminen

Ensimmäisessä yhtälössä antaa

,

mistä löydämme "x ensin":

Vastaus: Tällä yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. .

Voit myös tarkistaa järjestelmän ratkaisun laskimella, joka ratkaisee Cramerin menetelmällä: tässä tapauksessa annetaan sama vastaus, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Sovellettujen ongelmien ratkaisu Gaussin menetelmällä metalliseosten ongelman esimerkissä

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä käytetään fyysisen maailman todellisten esineiden mallintamiseen. Ratkaistaan ​​yksi näistä ongelmista - seoksille. Samanlaiset tehtävät - tehtävät sekoituksille, yksittäisten tavaroiden kustannukset tai ominaispaino tavararyhmässä ja vastaavat.

Esimerkki 5 Kolmen metalliseoksen kappaleen kokonaismassa on 150 kg. Ensimmäinen seos sisältää 60% kuparia, toinen - 30%, kolmas - 10%. Samanaikaisesti toisessa ja kolmannessa lejeeringissä kuparia on yhteensä 28,4 kg vähemmän kuin ensimmäisessä lejeeringissä, ja kolmannessa lejeeringissä kuparia on 6,2 kg vähemmän kuin toisessa. Etsi jokaisen seoksen kappaleen massa.

Ratkaisu. Muodostamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän:

Kerrotaan toinen ja kolmas yhtälö 10:llä, saadaan vastaava lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Muodostamme järjestelmän laajennetun matriisin:

Huomio, suora liike. Lisäämällä (tässä tapauksessamme vähentämällä) yksi rivi, kerrottuna luvulla (soveltamme sitä kahdesti), seuraavat muunnokset tapahtuvat järjestelmän laajennetulla matriisilla:

Suora juoksu on ohi. Saimme puolisuunnikkaan muotoisen laajennetun matriisin.

Käytetään toisinpäin. Löydämme ratkaisun lopusta. Näemme sen.

Toisesta yhtälöstä löydämme

Kolmannesta yhtälöstä -

Voit myös tarkistaa järjestelmän ratkaisun laskimella, joka ratkaisee Cramerin menetelmällä: tässä tapauksessa annetaan sama vastaus, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Gaussin menetelmän yksinkertaisuuden todistaa se, että saksalainen matemaatikko Carl Friedrich Gauss kesti vain 15 minuuttia sen keksimiseen. Hänen nimensä menetelmän lisäksi Gaussin teosten sana ”Emme saa sekoittaa sitä, mikä näyttää meille uskomattomalta ja luonnottomalta, ehdottoman mahdottomaan” on eräänlainen lyhyt ohje löytöjen tekemiseen.

Monissa sovellettavissa ongelmissa ei ehkä ole kolmatta rajoitusta, eli kolmatta yhtälöä, silloin on tarpeen ratkaista kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta Gaussin menetelmällä, tai päinvastoin tuntemattomia on vähemmän kuin yhtälöitä. Nyt alamme ratkaista tällaisia ​​yhtälöjärjestelmiä.

Gaussin menetelmällä voit määrittää, onko jokin järjestelmä johdonmukainen vai epäjohdonmukainen n lineaariset yhtälöt kanssa n muuttujia.

Gaussin menetelmä ja lineaariset yhtälöt, joissa on ääretön määrä ratkaisuja

Seuraava esimerkki on johdonmukainen mutta epämääräinen lineaariyhtälöjärjestelmä, eli sillä on ääretön määrä ratkaisuja.

Kun muunnokset on tehty järjestelmän laajennetussa matriisissa (rivien permutointi, rivien kertominen ja jakaminen tietyllä numerolla, rivin lisääminen toiseen), lomakkeen rivit

Jos kaikissa yhtälöissä on muoto

Vapaat jäsenet ovat yhtä kuin nolla, mikä tarkoittaa, että järjestelmä on epämääräinen, eli sillä on ääretön määrä ratkaisuja, ja tämän tyyppiset yhtälöt ovat "tarpeetonta" ja jätetään järjestelmän ulkopuolelle.

Esimerkki 6

Ratkaisu. Muodostetaan järjestelmän laajennettu matriisi. Sitten, käyttämällä ensimmäistä yhtälöä, poistamme muuttujan seuraavista yhtälöistä. Voit tehdä tämän lisäämällä toiselle, kolmannelle ja neljännelle riville ensimmäinen, kerrottuna vastaavasti:

Lisätään nyt toinen rivi kolmanteen ja neljänteen.

Tämän seurauksena pääsemme järjestelmään

Kahdesta viimeisestä yhtälöstä on tullut muodon yhtälöitä. Nämä yhtälöt täyttyvät kaikille tuntemattomien arvoille ja ne voidaan hylätä.

Toisen yhtälön tyydyttämiseksi voimme valita mielivaltaiset arvot ja , jolloin arvo määritetään yksiselitteisesti: . Ensimmäisestä yhtälöstä arvo löytyy myös yksiselitteisesti: .

Sekä annettu että viimeinen järjestelmä ovat yhteensopivia, mutta epämääräisiä, ja kaavat

mielivaltaiselle ja anna meille kaikki annetun järjestelmän ratkaisut.

Gaussin menetelmä ja lineaariyhtälöjärjestelmät, joilla ei ole ratkaisuja

Seuraava esimerkki on epäjohdonmukainen lineaariyhtälöjärjestelmä, eli sillä ei ole ratkaisuja. Vastaus tällaisiin ongelmiin on muotoiltu seuraavasti: järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Kuten jo mainittiin ensimmäisen esimerkin yhteydessä, järjestelmän laajennetussa matriisissa muunnosten suorittamisen jälkeen muodon rivit

joka vastaa muodon yhtälöä

Jos niiden joukossa on ainakin yksi yhtälö, jossa on nollasta poikkeava vapaa termi (eli ), tämä yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja, ja tämä täydentää sen ratkaisun.

Esimerkki 7 Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Muodostamme järjestelmän laajennetun matriisin. Ensimmäisen yhtälön avulla jätämme muuttujan pois myöhemmistä yhtälöistä. Tee tämä lisäämällä ensimmäinen kerrottuna toiselle riville, ensimmäinen kerrottuna kolmannella rivillä ja ensimmäinen kerrottuna neljännellä rivillä.

Nyt sinun on käytettävä toista yhtälöä muuttujan sulkemiseksi pois myöhemmistä yhtälöistä. Saadaksemme kertoimien kokonaislukusuhteet, vaihdamme järjestelmän laajennetun matriisin toisen ja kolmannen rivin.

Jos haluat sulkea pois kolmannen ja neljännen yhtälön, lisää toinen, kerrottuna , kolmanteen riviin ja toinen, kerrottuna , neljännelle riville.

Nyt käyttämällä kolmatta yhtälöä poistamme muuttujan neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä neljännelle riville kolmannen kerrottuna .

Annettu järjestelmä vastaa siis seuraavaa:

Tuloksena oleva järjestelmä on epäjohdonmukainen, koska sen viimeistä yhtälöä ei voida täyttää millään tuntemattomien arvoilla. Siksi tällä järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

missä x* - yksi epähomogeenisen järjestelmän (2) ratkaisuista (esimerkiksi (4)), (E−A + A) muodostaa matriisin ytimen (nollatilan). A.

Tehdään matriisista luurankohajotus (E−A + A):

E−A + A = Q S

missä K n×n-r- sijoitusmatriisi (Q) = n-r, S n-r×n-rank matriisi (S) = n-r.

Sitten (13) voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

missä k = Sz.

Niin, yleinen ratkaisumenettely pseudoinversiomatriisia käyttävät lineaariyhtälöjärjestelmät voidaan esittää seuraavassa muodossa:

1. Laske pseudoinversiomatriisi A + .
2. Laskemme tietyn ratkaisun epähomogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle (2): x*=A + b.
3. Tarkistamme järjestelmän yhteensopivuuden. Tätä varten laskemme AA + b. Jos AA + b≠b, järjestelmä on epäjohdonmukainen. Muussa tapauksessa jatkamme menettelyä.
4. vyssylyaem E−A+A.
5. Suorittaa luuston hajoamista E−A + A=Q·S.
6. Ratkaisun rakentaminen

x=x*+Qk, ∀ k ∈ R n-r.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen verkossa

Online-laskimen avulla voit löytää lineaarisen yhtälöjärjestelmän yleisen ratkaisun yksityiskohtaisten selitysten kera.

Ohje

Substituutio tai peräkkäinen eliminaatiomenetelmä Substituutiota käytetään järjestelmässä, jossa on pieni määrä tuntemattomia. Tämä on yksinkertaisin ratkaisumenetelmä yksinkertaiselle . Ensin ensimmäisestä yhtälöstä ilmaisemme yhden tuntemattoman muiden kautta ja korvaamme tämän lausekkeen toisella yhtälöllä. Ilmaistamme toisen tuntemattoman muunnetusta toisesta yhtälöstä, korvaamme saadun tuloksen kolmannella yhtälöllä ja niin edelleen. kunnes laskemme viimeisen tuntemattoman. Sitten korvataan sen arvo edelliseen yhtälöön ja selvitetään toiseksi viimeinen tuntematon jne. Tarkastellaan tuntemattomien kanssa.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Ilmaise ensimmäisestä yhtälöstä x: x = 3 - y. Korvaa toisessa yhtälössä: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2v - y - 3 = 0
3-3v = 0
y = 1
Korvaa ensimmäisessä yhtälössä järjestelmät(tai lausekkeeksi x:lle, joka on sama): x + 1 - 3 = 0. Saamme, että x = 2.

Termi-termivähennys (tai yhteenlasku) Tämä menetelmä usein lyhentää ratkaisuja järjestelmät ja yksinkertaistaa laskelmia. Se koostuu tuntemattomien analysoinnista siten, että yhtälöt lisätään (tai vähennetään) järjestelmät poistamaan yhtälöstä joitain tuntemattomia. Harkitse esimerkkiä, ota sama järjestelmä kuin ensimmäisessä menetelmässä.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
On helppo nähdä, että kohdassa y kertoimet ovat absoluuttisesti identtisiä, mutta etumerkillä, joten jos lisäämme kaksi yhtälöä termi kerrallaan, niin y voi sulkea pois y:n. Lisätään: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 tai 3x - 6 = 0. Siten x = 2. Kun tämä arvo korvataan missä tahansa yhtälössä, saadaan y.
Vaihtoehtoisesti x voidaan sulkea pois. Kertoimilla x:ssä on sama etumerkki, joten vähennämme yhtälön toisesta. Mutta ensimmäisessä yhtälössä x:n kerroin on 1, ja toisessa se on 2, joten et yksinkertaisesti voi eliminoida x:ää. Kun ensimmäinen yhtälö kerrotaan kahdella, saadaan seuraava järjestelmä:
2x + 2v - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Nyt, termi kerrallaan, vähennä toinen ensimmäisestä yhtälöstä: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 tai antamalla samanlaisia, 3y - 3 = 0. Siten y = 1. Korvaamalla minkä tahansa yhtälön, löydämme x.

Liittyvät videot

Vihje 2: Kuinka todistaa lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuus

Yksi korkeamman matematiikan tehtävistä on todistaa lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuus. Todistus on suoritettava Kroncker-Capellin lauseen mukaan, jonka mukaan järjestelmä on johdonmukainen, jos sen päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo.

Ohje

Kirjoita muistiin järjestelmän päämatriisi. Tätä varten saa yhtälöt vakiomuotoon (eli laita kaikki kertoimet samaan järjestykseen, jos jokin niistä puuttuu, kirjoita ne muistiin yksinkertaisesti numeerisella kertoimella "0"). Kirjoita kaikki kertoimet taulukon muodossa, kirjoita se suluihin (älä ota huomioon oikealle siirrettyjä vapaita termejä).

Kirjoita samalla tavalla järjestelmän laajennettu matriisi, vain tässä tapauksessa laita oikealle pystypalkki ja kirjoita vapaan jäsenen sarake.

Laske päämatriisin sijoitus, tämä on suurin nollasta poikkeava sivu. Ensimmäisen kertaluvun molli on mikä tahansa matriisin numero, on selvää, että se ei ole yhtä suuri kuin nolla. Laskeaksesi toisen asteen sivuarvon, ota mitkä tahansa kaksi riviä ja mitkä tahansa kaksi saraketta (saat neljä numeroa). Laske determinantti, kerro vasemman yläkulman luku oikealla alareunalla, vähennä saadusta luvusta vasemman alakulman ja oikean yläkulman tulo. Sinulla on toisen asteen alaikäinen.

Kolmannen asteen molli on vaikeampi laskea. Voit tehdä tämän ottamalla mitkä tahansa kolme riviä ja kolme saraketta, saat yhdeksän numeron taulukon. Laske determinantti kaavalla: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (kertoimen ensimmäinen numero on rivin numero, toinen numero on sarakkeen numero). Olet saanut kolmannen asteen alaikäisen.

Samoin etsi lisätyn matriisin sijoitus. Huomaa, että jos järjestelmässäsi olevien yhtälöiden määrä vastaa arvoa (esimerkiksi kolme yhtälöä ja arvo on 3), ei ole järkevää laskea lisätyn matriisin arvoa - ilmeisesti se on myös sama kuin tämä luku. . Tässä tapauksessa voimme turvallisesti päätellä, että lineaarinen yhtälöjärjestelmä on johdonmukainen.

Liittyvät videot

Esitetty kysymys kattaa täysin koko kurssin "Lineaarinen algebra" päätavoitteen. Siksi vastaus voidaan antaa vain pakatussa muodossa ilman yksityiskohtaisia ​​laskelmia ja selityksiä. Yleisesti ottaen lineaariset yhtälöt ovat mielenkiintoisia, koska ne voidaan ratkaista puhtaasti algoritmisilla menetelmillä.

Ohje

M lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmällä, jossa on n tuntematonta, on muoto (ks. kuva 1).
Siinä aij ovat järjestelmäkertoimia, xj ovat tuntemattomia, bi ovat vapaita jäseniä (i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , p). Tällaisella järjestelmällä on käytännön merkitystä siinä tapauksessa, että sen yhtälöiden lukumäärä ei ylitä tuntemattomien määrää, eli kun m≤n. Tosiasia on, että muuten "ylimääräisten" yhtälöiden on oltava lineaarinen yhdistelmä lopuista. Kyse on siitä, että he vain toistavat niitä. Jos ei, niin ratkaisua ei ole olemassa (järjestelmä ei ole johdonmukainen).

Tällainen järjestelmä voidaan kirjoittaa kompaktisti matriisimuotoon AX=B. Tässä A ovat järjestelmän kertoimet, X on tuntemattomien sarakematriisi, B on vapaiden jäsenten sarakematriisi (katso kuva 2). Jos m = n, so. on tuntemattomien lukumäärä ja yhtälöiden lukumäärä on sama, silloin matriisi A on neliö. Siksi sille on määritelty matriisin ∆=|A| determinantin käsite. Kohdalle |A|≠0 on käänteismatriisi A⁻¹. Se perustuu yhtälöön AA⁻¹= A⁻¹A=E (E on identiteettimatriisi). Laskentakaava on myös esitetty kuvassa 2. On vain lisättävä, että alkiot Aij Г, joita kutsutaan matriisin A alkioiden aij algebrallisiksi komplementeiksi, lasketaan seuraavasti. Ota determinantti |A| ja poista siitä rivi ja sarake, jotka sisältävät elementin aij. Kirjoita determinantiksi loput kertoimet, jotka kerrot (-1):llä, jos i+j ei ole parillinen. Vastaava numero on Aij. Algebralliset lisäykset kirjoitetaan liittyvän matriisin sarakkeiden päälle.

Etsi järjestelmän ratkaisu matriisimenetelmällä. Voit tehdä tämän kertomalla molemmat järjestelmän osat AX=B vasemmalla olevalla A⁻¹:lla. Hanki (A-¹A)X=A-1B, EX=A-1B tai X=A-1B. Kaikki yksityiskohdat on kuvattu kuvassa. 3. Sama kuva näyttää

Tällä oppitunnilla tarkastelemme menetelmiä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi. Korkeamman matematiikan aikana lineaarisia yhtälöjärjestelmiä vaaditaan ratkaisemaan sekä erillisten tehtävien muodossa, esimerkiksi "Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla", että muiden ongelmien ratkaisemisen yhteydessä. Lähes kaikilla korkeamman matematiikan aloilla on käsiteltävä lineaarisia yhtälöjärjestelmiä.

Ensin vähän teoriaa. Mitä matemaattinen sana "lineaarinen" tarkoittaa tässä tapauksessa? Tämä tarkoittaa, että järjestelmän yhtälöissä kaikki muuttujat ovat mukana ensimmäisessä asteessa: ei mitään hienoja juttuja jne., joista vain matemaattisten olympialaisten osallistujat ovat iloisia.

Korkeammassa matematiikassa ei käytetä vain lapsuudesta tuttuja kirjaimia muuttujien osoittamiseen.
Melko suosittu vaihtoehto ovat muuttujat indekseillä: .
Tai latinalaisten aakkosten alkukirjaimet, pienet ja suuret:
Ei ole niin harvinaista löytää kreikkalaisia ​​kirjaimia: - monille tuttuja "alfa, beta, gamma". Ja myös sarja indekseillä, esimerkiksi kirjaimella "mu":

Yhden tai toisen kirjainjoukon käyttö riippuu korkeamman matematiikan haarasta, jossa kohtaamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän. Joten esimerkiksi integraalien, differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa esiintyvissä lineaarisissa yhtälöjärjestelmissä on perinteisesti tapana käyttää merkintää

Mutta riippumatta siitä, kuinka muuttujat on nimetty, lineaarisen yhtälöjärjestelmän periaatteet, menetelmät ja menetelmät eivät muutu tästä. Joten jos kohtaat jotain kauheaa, älä kiirehdi sulkemaan ongelmakirjaa pelossa, sen sijaan voit piirtää auringon, sen sijaan - linnun ja sen sijaan - (opettajan) kasvot. Ja kummallista kyllä, lineaarinen yhtälöjärjestelmä näillä merkinnöillä voidaan myös ratkaista.

Jotain minulla on sellainen aavistus, että artikkelista tulee melko pitkä, joten pieni sisällysluettelo. Joten peräkkäinen "selvitys" on seuraava:

– Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä ("koulumenetelmä");
– Järjestelmän ratkaisu menetelmällä, jossa järjestelmän yhtälöt lasketaan termi kerrallaan;
– Järjestelmän ratkaisu Cramerin kaavoilla;
– Järjestelmän ratkaisu käänteismatriisin avulla;
– Järjestelmän ratkaisu Gaussin menetelmällä.

Kaikki tuntevat lineaariset yhtälöt koulumatematiikan kurssilta. Itse asiassa aloitamme toistolla.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen substituutiomenetelmällä

Tätä menetelmää voidaan kutsua myös "koulumenetelmäksi" tai menetelmäksi tuntemattomien poistamiseksi. Kuvaannollisesti sitä voidaan kutsua myös "puolivalmiiksi Gauss-menetelmäksi".

Esimerkki 1

Tässä meillä on kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kaksi tuntematonta. Huomaa, että vapaat termit (numerot 5 ja 7) sijaitsevat yhtälön vasemmalla puolella. Yleisesti ottaen ei ole väliä missä ne ovat, vasemmalla vai oikealla, vaan korkeamman matematiikan tehtävissä ne usein sijoittuvat näin. Ja tällaisen tietueen ei pitäisi olla hämmentävä, tarvittaessa järjestelmä voidaan aina kirjoittaa "tavalliseen tapaan":. Älä unohda, että kun siirrät termiä osasta toiseen, sinun on vaihdettava sen merkki.

Mitä tarkoittaa lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen? Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa sen ratkaisujoukon löytämistä. Järjestelmän ratkaisu on joukko kaikkien siihen sisältyvien muuttujien arvoja, joka muuttaa JOKAINEN järjestelmän yhtälö todelliseksi tasa-arvoksi. Lisäksi järjestelmä voi olla yhteensopimaton (ei ratkaisuja).Älä ole ujo, tämä on yleinen määritelmä =) Meillä on vain yksi arvo "x" ja yksi arvo "y", jotka täyttävät jokaisen yhtälön kanssa-we.

Järjestelmän ratkaisemiseen on graafinen menetelmä, joka löytyy oppitunnilta. Yksinkertaisimmat ongelmat suoralla viivalla. Siellä puhuin geometrinen tunne kahden lineaarisen yhtälön järjestelmät, joissa on kaksi tuntematonta. Mutta nyt pihalla on algebran aikakausi, ja numerot-numerot, teot-toimet.

Me päätämme: ensimmäisestä yhtälöstä ilmaisemme:
Korvaamme tuloksena olevan lausekkeen toiseen yhtälöön:

Avaamme sulut, annamme samankaltaiset termit ja löydämme arvon:

Seuraavaksi muistetaan, mistä he tanssivat:
Tiedämme jo arvon, on vielä löydettävä:

Vastaus:

Kun JOKAINEN yhtälöjärjestelmä on ratkaistu millä tahansa tavalla, suosittelen tarkistamista (suullisesti, luonnoksella tai laskimella). Onneksi tämä onnistuu nopeasti ja helposti.

1) Korvaa löydetty vastaus ensimmäisessä yhtälössä:

- oikea tasa-arvo saavutetaan.

2) Korvaamme löydetyn vastauksen toisessa yhtälössä:

- oikea tasa-arvo saavutetaan.

Tai yksinkertaisemmin sanottuna "kaikki tuli yhteen"

Tarkasteltu ratkaisumenetelmä ei ole ainoa; ensimmäisestä yhtälöstä oli mahdollista ilmaista , mutta ei .
Voit päinvastoin - ilmaista jotain toisesta yhtälöstä ja korvaa se ensimmäisellä yhtälöllä. Muuten, huomaa, että epäedullisin neljästä tavasta on ilmaista toisesta yhtälöstä:

Murtoluvut saadaan, mutta miksi niin? On olemassa järkevämpi ratkaisu.

Joissakin tapauksissa murto-osat ovat kuitenkin edelleen välttämättömiä. Tässä yhteydessä kiinnitän huomiosi siihen, MITEN kirjoitin ilmaisun. Ei näin: eikä missään nimessä näin: .

Jos korkeammassa matematiikassa käsittelet murtolukuja, yritä suorittaa kaikki laskelmat tavallisilla väärillä murtoluvuilla.

Nimenomaan, ei tai!

Pilkkua voidaan käyttää vain satunnaisesti, varsinkin jos - tämä on lopullinen vastaus johonkin ongelmaan, eikä tällä numerolla tarvitse tehdä muita toimia.

Monet lukijat luultavasti ajattelivat "miksi niin yksityiskohtainen selitys kuin korjausluokassa, ja kaikki on selvää". Ei mitään sellaista, se näyttää olevan niin yksinkertainen kouluesimerkki, mutta kuinka monta ERITTÄIN tärkeää johtopäätöstä! Tässä toinen:

Kaikki tehtävät tulee pyrkiä saamaan päätökseen rationaalisimmalla tavalla.. Jos vain siksi, että se säästää aikaa ja hermoja ja vähentää myös virheen tekemisen todennäköisyyttä.

Jos korkeamman matematiikan tehtävässä törmäät kahden lineaarisen yhtälön järjestelmään, jossa on kaksi tuntematonta, voit aina käyttää korvausmenetelmää (ellei ole osoitettu, että järjestelmä on ratkaistava toisella menetelmällä) ".
Lisäksi joissakin tapauksissa on suositeltavaa käyttää korvausmenetelmää suuremmalla määrällä muuttujia.

Esimerkki 2

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme tuntematonta

Samanlainen yhtälöjärjestelmä syntyy usein käytettäessä niin kutsuttua epämääräisten kertoimien menetelmää, kun löydämme rationaalisen murtofunktion integraalin. Kyseisen järjestelmän otin sieltä.

Kun löydetään integraali - tavoite nopeasti löytää kertoimien arvot, äläkä ole kehittynyt Cramerin kaavoilla, käänteismatriisimenetelmällä jne. Siksi tässä tapauksessa korvausmenetelmä on sopiva.

Kun mikä tahansa yhtälöjärjestelmä on annettu, on ensinnäkin toivottavaa selvittää, mutta onko mahdollista yksinkertaistaa sitä jotenkin VÄLITTÖMÄSTI? Analysoimalla järjestelmän yhtälöitä huomaamme, että järjestelmän toinen yhtälö voidaan jakaa kahdella, minkä teemme:

Viite: matemaattinen symboli tarkoittaa "tästä seuraa tätä", sitä käytetään usein tehtävien ratkaisussa.

Nyt analysoimme yhtälöt, meidän on ilmaistava jokin muuttuja muiden kautta. Mikä yhtälö valita? Olet luultavasti jo arvannut, että helpoin tapa tähän tarkoitukseen on ottaa järjestelmän ensimmäinen yhtälö:

Tässä ei ole väliä mitä muuttujaa ilmaistaan, yhtä hyvin voidaan ilmaista tai .

Seuraavaksi korvaamme lausekkeen for järjestelmän toiseen ja kolmanteen yhtälöön:

Avaa sulut ja lisää vastaavat termit:

Jaamme kolmannen yhtälön kahdella:

Toisesta yhtälöstä ilmaisemme ja korvaamme kolmanteen yhtälöön:

Melkein kaikki on valmista, kolmannesta yhtälöstä löydämme:
Toisesta yhtälöstä:
Ensimmäisestä yhtälöstä:

Tarkista: Korvaa järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalla puolella olevien muuttujien löydetyt arvot:

1)
2)
3)

Yhtälöiden vastaavat oikeat puolet saadaan, joten ratkaisu löytyy oikein.

Esimerkki 3

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on 4 tuntematonta

Tämä on esimerkki itseratkaisusta (vastaus oppitunnin lopussa).

Järjestelmän ratkaisu järjestelmän yhtälöiden termi kerrallaan yhteenlaskemalla (vähennyksellä).

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä ratkaistaessa ei tulisi käyttää "koulumenetelmää", vaan järjestelmän yhtälöiden termikohtaista yhteenlasku- (vähennys) -menetelmää. Miksi? Tämä säästää aikaa ja yksinkertaistaa laskelmia, mutta nyt se selkenee.

Esimerkki 4

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Otin saman järjestelmän kuin ensimmäisessä esimerkissä.
Yhtälöjärjestelmää analysoimalla huomaamme, että muuttujan kertoimet ovat absoluuttisesti identtisiä ja etumerkillisesti päinvastaisia ​​(–1 ja 1). Tässä tilanteessa yhtälöt voidaan lisätä termi kerrallaan:

Punaisella ympyröidyt toiminnot suoritetaan HENKILÖSTÄ.
Kuten näet, termikohtaisen lisäyksen seurauksena olemme menettäneet muuttujan . Tämä itse asiassa on menetelmän ydin on päästä eroon yhdestä muuttujasta.