Uurimistöö matemaatikas "loogikaülesannete lahendamine". Abstraktne uurimistöö matemaatikas: Teema: "Matemaatika induktsiooni meetod" - minu õpilaste töö Vallaeelarveline õppeasutus

See meie veebisaidi jaotis tutvustab loogika alaste uurimistööde teemad loogikaülesannete, matemaatika sofismide ja paradokside näol, huvitavaid mänge loogika ja loogilise mõtlemise teemadel. Tööjuhendaja peaks õpilast uurimistöös otseselt juhendama ja abistama.

Allpool toodud loogika uurimis- ja kujundustööde teemad sobivad lastele, kes armastavad loogiliselt mõelda, lahendada ebastandardseid ülesandeid ja näiteid, uurida paradokse ja matemaatilisi ülesandeid ning mängida mittestandardseid loogikamänge.

Allolevast loendist saate valida loogikaprojekti teema keskkooli mis tahes klassi jaoks, alates põhikoolist kuni keskkoolini. Loogika ja loogilise mõtlemise matemaatikaprojekti korrektseks kujundamiseks võite kasutada töö kujundamisel välja töötatud nõudeid.

Järgmised loogikauuringute projektide teemad ei ole lõplikud ja neid võidakse muuta, tulenevalt enne projekti seatud nõuetest.

Loogikaalaste uurimistööde teemad:

Õpilaste loogikaalaste uurimistööde näidisteemad:

Huvitav loogika matemaatikas.
Algebra loogika
Loogika ja meie
Loogika. Loogika seadused
Loogikakast. Meelelahutuslike loogikaülesannete kogumik.
Loogilised ülesanded numbritega.
Loogika probleemid
Loogikaülesanded "Naljakas aritmeetika"
Loogikaülesanded matemaatikas.
Loogilised ülesanded geomeetriliste kujundite arvu määramiseks.
Loogilised ülesanded mõtlemise arendamiseks
Loogikaülesanded matemaatikatundides.
Loogikamängud
Loogilised paradoksid
Matemaatiline loogika.
Loogikaülesannete lahendamise meetodid ja nende koostamise meetodid.
Loogikaülesannete simuleerimine
Õpetlik ettekanne "Loogika alused".
Loogikaülesannete põhitüübid ja nende lahendamise meetodid.
Sherlock Holmesi jälgedes ehk Loogikaülesannete lahendamise meetodid.
Graafiteooria rakendamine loogikaülesannete lahendamisel.
Nelja värvi ülesanded.
Loogikaülesannete lahendamine
Loogikaülesannete lahendamine graafimeetodil.
Loogikaülesannete lahendamine erineval viisil.
Loogikaülesannete lahendamine graafikute abil
Loogikaülesannete lahendamine diagrammide ja tabelite abil.
Loogikaülesannete lahendamine.
Süllogismid. Loogilised paradoksid.

Loogikaprojektide teemad

Õpilaste loogikaprojektide näidisteemad:
Sofistika
Sofistika meie ümber
Sofismid ja paradoksid
Loogikaülesannete koostamise meetodid ja meetodid.
Loogikaülesannete lahendamise õppimine
Loogika algebra ja arvuti loogilised alused.
Loogilise mõtlemise ülesannete tüübid.
Loogikaülesannete lahendamiseks kaks võimalust.
Loogika ja matemaatika.
Loogika kui teadus
Loogilised mõistatused.

Tähelepanu õpilased! Kursusetöö sooritatakse iseseisvalt ranges kooskõlas valitud teemaga. Topeltteemad pole lubatud! Valitud teemast palume teavitada õpetajat igal sobival viisil kas individuaalselt või nimekirjana, kuhu on märgitud oma täisnimi, rühmanumber ja kursusetöö pealkiri.

Näidisteemad eriala kursuste jaoks
"Matemaatiline loogika"

1. Lahutusmeetod ja selle rakendamine lausealgebras ja predikaatalgebras.

2. Aksiomaatilised süsteemid.

3. Minimaalsed ja lühimad CNF-id ja DNF-id.

4. Matemaatilise loogika meetodite rakendamine formaalsete keelte teoorias.

5. Formaalsed grammatikad kui loogilised arvutused.

6. Tekstiloogikaülesannete lahendamise meetodid.

7. Loogilise programmeerimise süsteemid.

8. Loogikamäng.

9. Esimest järku loogika otsustamatus.

10. Aritmeetika mittestandardsed mudelid.

11. Diagonaliseerimismeetod matemaatilises loogikas.

12. Turingi masinad ja Churchi tees.

13. Arvutatavus abakus ja rekursiivsed funktsioonid.

14. Rekursiivsete funktsioonide esitatavus ja matemaatilise loogika negatiivsed tulemused.

15. Liitaritmeetika lahendatavus.

16. Teist järku loogika ja defineeritavus aritmeetikas.

17. Ultraproduktide meetod mudeliteoorias.

18. Gödeli teoreem formaalse aritmeetika ebatäielikkusest.

19. Lahendatavad ja otsustamatud aksiomaatilised teooriad.

20. Craigi interpolatsioonilemma ja selle rakendused.

21. Kõige lihtsamad infomuundurid.

22. Lülitusahelad.

24. Kontaktstruktuurid.

25. Boole'i ​​funktsioonide rakendamine relee kontaktahelatele.

26. Boole'i ​​funktsioonide rakendamine mustrituvastuse teoorias.

27. Matemaatiline loogika ja tehisintellekti süsteemid.

Kursusetöö peab koosnema 2 osast: teema teoreetiline sisu ja teemaülesannete kogum (vähemalt 10) koos lahendustega. Lubatud on ka uurimistöö tüüpi kursusetöö kirjutamine, asendades selle teise osa (ülesannete lahendamine) käsitletava teoreetilise materjali põhjal koostatud iseseisva arendusega (näiteks tööalgoritm, programm, näidis vms). töö esimeses osas.

1) Barwise J. (toim.) Matemaatilise loogika teatmik. - M.: Nauka, 1982.

2) Programmeerimiskeelte vennad. - M.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., arvutatavus ja loogika. - M.: Mir, 1994.

4) Hindikin loogika ülesannetes. - M., 1972.

5), Paljutini loogika. - M.: Nauka, 1979.

6) Ershovi lahendatavus ja konstruktiivsed mudelid. - M.: Nauka, 1980.

7), Taitslini teooria // Uspekhi Mat. Nauk, 1965, 20, nr 4, lk. 37-108.

8) Igoshin - matemaatilise loogika töötuba. - M.: Haridus, 1986.

9) Igoshini loogika ja algoritmide teooria. - Saratov: kirjastus Sarat. Ülikool, 1991.

10) In Ts., kasutades Turbo Prologi. - M.: Mir, 1993.

11) sissejuhatus metamatemaatikasse. - M., 1957.

12) atemaatiline loogika. - M.: Mir, 1973.

13) ogika probleemide lahendamisel. - M.: Nauka, 1990.

14) Kolmogorovi loogika: ülikoolide matemaatika õpik. erialad /, - M.: Kirjastus URSS, 2004. - 238 lk.

15) lugu sõlmedega / Tõlk. inglise keelest - M., 1973.

16) ogic game / Trans. inglise keelest - M., 1991.

17), Maksimov hulgateooriast, matemaatilisest loogikast ja algoritmide teooriast. - 4. väljaanne. - M., 2001.

18), Sukacheva loogika. Loengukursus. Praktiline probleemiraamat ja lahendused: Õppejuhend. 3. väljaanne, rev. - Peterburi.

19) Kirjastus "Lan", 2008. - 288 lk.

20) Lõskova arvutiteaduses / , . - M.: Algteadmiste labor, 2001. - 160 lk.

21) Matemaatiline loogika / Üldtoimetuse all ja teised - Minsk: Kõrgkool, 1991.

22) matemaatilise loogika sissejuhatus. - M.: Nauka, 1984.

23) Moštšenski matemaatilisest loogikast. - Minsk, 1973.

24) Nikolskaja matemaatilise loogikaga. - M.: Moskva Psühholoogiline ja Sotsiaalne Instituut: Flint, 1998. - 128 lk.

25) Nikolskaja loogika. - M., 1981.

26) Novikovi matemaatiline loogika. - M.: Nauka, 1973.

27) Rabiini teooria. Raamatus: Matemaatilise loogika teatmik, 3. osa. Rekursiooniteooria. - M.: Nauka, 1982. - lk. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. jt Loogiline lähenemine tehisintellektile. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. jt Loogiline lähenemine tehisintellektile. T. 2. - M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Matemaatiline loogika ja teoreemide automaatne tõestamine. - M.: Nauka, 1983.

31) matemaatilise loogika sissejuhatus. - M.: Mir, 1960.

32) Šabunini loogika. Propositsiooniloogika ja predikaadiloogika: õpik /, rep. toim. ; tšuvaši osariik Nime saanud ülikool . - Cheboksary: ​​Tšuvaši kirjastus. Ülikool, 2003. - 56 lk.

Munitsipaalharidusasutus -

Keskkool nr 51

Orenburg.

Projekt teemal:

matemaatika õpetaja

Egorcheva Victoria Andreevna

2017

Hüpotees : Kui graafiteooria praktikale lähemale tuua, on võimalik saada kõige kasulikumad tulemused.

Sihtmärk: Tutvuda graafikute mõistega ja õppida neid rakendama erinevate ülesannete lahendamisel.

Ülesanded:

1) Laiendage teadmisi graafikute koostamise meetodite kohta.

2) Tuvastage probleemide tüübid, mille lahendamine eeldab graafiteooria kasutamist.

3) Uurige graafikute kasutamist matemaatikas.

"Euler arvutas ilma nähtava pingutuseta välja, kuidas inimene hingab või kuidas kotkas maa kohal hõljub."

Dominic Arago.

I. Sissejuhatus. lk.

II . Põhiosa.

1. Graafi mõiste. Probleem Königsbergi sildadega. lk.

2. Graafikute omadused. lk.

3. Probleemid graafiteooria kasutamisel. lk.

Sh Järeldus.

Graafikute tähendus. lk.

IV. Bibliograafia. lk.

I . SISSEJUHATUS

Graafiteooria on suhteliselt noor teadus. "Graafik" on kreeka sõna "grapho" juur, mis tähendab "ma kirjutan". Sama juur on sõnades “graafik”, “biograafia”.

Oma töös vaatlen, kuidas graafiteooriat kasutatakse inimeste erinevates eluvaldkondades. Iga matemaatikaõpetaja ja peaaegu iga õpilane teab, kui raske on lahendada geomeetrilisi ülesandeid, aga ka algebra tekstülesandeid. Uurinud graafiteooria kasutamise võimalust koolimatemaatika kursusel, jõudsin järeldusele, et see teooria lihtsustab oluliselt probleemide mõistmist ja lahendamist.

II . PÕHIOSA.

1. Graafi mõiste.

Esimene graafiteooria töö kuulub Leonhard Eulerile. See ilmus 1736. aastal Peterburi Teaduste Akadeemia väljaannetes ja sai alguse Königsbergi sildade probleemi käsitlemisest.

Tõenäoliselt teate, et on olemas selline linn nagu Kaliningrad, mida varem kutsuti Koenigsbergiks. Läbi linna voolab Pregolya jõgi. See jaguneb kaheks haruks ja läheb ümber saare. 17. sajandil oli linnas seitse silda, mis olid paigutatud pildil näidatud viisil.

Nad räägivad, et ühel päeval küsis linnaelanik oma sõbralt, kas ta võiks kõndida üle kõigi sildade, et külastada neid ainult korra ja naasta kohta, kust jalutuskäik algas. Paljud linlased hakkasid selle probleemi vastu huvi tundma, kuid keegi ei osanud lahendust välja pakkuda. See probleem on pälvinud paljude riikide teadlaste tähelepanu. Kuulus matemaatik Leonhard Euler suutis probleemi lahendada. Baselist pärit Leonhard Euler sündis 15. aprillil 1707. aastal. Euleri teaduslikud saavutused on tohutud. Ta mõjutas peaaegu kõigi matemaatika ja mehaanika harude arengut nii fundamentaaluuringute kui ka nende rakenduste vallas. Leonhard Euler mitte ainult ei lahendanud seda konkreetset probleemi, vaid pakkus välja ka üldise meetodi nende probleemide lahendamiseks. Euler tegi järgmist: ta "pressis" maa punktideks ja "venitas" sillad joonteks. Tulemuseks on joonisel näidatud joonis.

Sellist kujundit, mis koosneb punktidest ja neid punkte ühendavatest joontest, nimetatakseloendama. Punktid A, B, C, D nimetatakse graafi tippudeks ja tippe ühendavaid sirgeid nimetatakse graafi servadeks. Tippude joonisel B, C, D 3 ribi tulevad välja ja ülevalt A - 5 ribi. Nimetatakse tippe, millest väljub paaritu arv servipaaritud tipud, ja tipud, millest väljub paarisarv servi, onisegi.

2. Graafiku omadused.

Königsbergi sildade probleemi lahendamisel määras Euler eelkõige graafiku omadused:

1. Kui kõik graafiku tipud on paaritud, siis saab graafiku joonistada ühe tõmbega (st pliiatsit paberilt tõstmata ja kaks korda samale joonele joonistamata). Sel juhul võib liikumine alata suvalisest tipust ja lõppeda samas tipus.

2. Kahe paaritu tipuga graafikut saab joonistada ka ühe tõmbega. Liikumine peab algama suvalisest paaritust tipust ja lõppema mõne teise paaritu tipuga.

3. Rohkem kui kahe paaritu tipuga graafikut ei saa ühe tõmbega joonistada.

4. Graafi paaritute tippude arv on alati paaris.

5. Kui graafil on paarituid tippe, siis on väikseim joonte arv, mida saab graafi joonistamiseks kasutada, poolega selle graafi paaritute tippude arvust.

Näiteks kui joonisel on neli paaritut numbrit, siis saab selle joonistada vähemalt kahe tõmbega.

Königsbergi seitsme silla ülesandes on vastava graafi kõik neli tippu paaritud, s.o. Kõiki sildu ei saa üks kord ületada ja teekonda lõpetada sealt, kus see algas.

3. Ülesannete lahendamine graafikute abil.

1. Ülesanded figuuride joonistamisel ühe tõmbega.

Kui proovite joonistada kõiki järgmisi kujundeid ühe pliiatsitõmbega, on tulemuseks erinevad tulemused.

Kui joonisel pole paarituid punkte, saab selle alati ühe pliiatsitõmbega joonistada, olenemata sellest, kust joonistamist alustate. Need on joonised 1 ja 5.

Kui joonisel on ainult üks paar paarituid punkte, siis saab sellise kujundi joonistada ühe tõmbega, alustades joonistamist ühest paaritutest punktidest (pole oluline, millisest). On lihtne mõista, et joonis peaks lõppema teises paaritu punktis. Need on joonised 2, 3, 6. Näiteks joonisel 6 tuleb joonistada kas punktist A või punktist B.

Kui joonisel on rohkem kui üks paar paarituid punkte, siis ei saa seda üldse ühe tõmbega joonistada. Need on joonised 4 ja 7, mis sisaldavad kahte paari paarituid punkte. Öeldust piisab, et täpselt ära tunda, milliseid kujundeid ei saa ühe tõmbega joonistada ja milliseid saab joonistada, samuti sellest, millisest punktist peaks joonistamine algama.

Teen ettepaneku joonistada järgmised joonised ühe joonega.

2. Loogikaülesannete lahendamine.

ÜLESANNE nr 1.

Lauatennise klassi meistrivõistlustel on 6 osalejat: Andrey, Boris, Victor, Galina, Dmitri ja Jelena. Meistrivõistlused peetakse ringsüsteemis – iga osaleja mängib iga teisega ühe korra. Tänaseks on mõned mängud juba mängitud: Andrei mängis koos Borisi, Galina, Jelenaga; Boris - koos Andrei, Galinaga; Victor - koos Galina, Dmitri, Jelenaga; Galina - koos Andrei, Viktori ja Borisiga. Mitu mängu on praeguseks mängitud ja kui palju on jäänud?

LAHENDUS:

Koostame graafiku, nagu on näidatud joonisel.

7 mängu mängitud.

Sellel joonisel on graafikul 8 serva, seega on veel mängida 8 mängu.

ÜLESANNE nr 2

Sisehoovis, mis on ümbritsetud kõrge aiaga, on kolm maja: punane, kollane ja sinine. Aial on kolm väravat: punane, kollane ja sinine. Punasest majast tõmmake tee punase väravani, kollasest majast kollase väravani, sinisest majast siniseni, et need teed ei ristuks.

LAHENDUS:

Probleemi lahendus on näidatud joonisel.

3. Tekstülesannete lahendamine.

Probleemide lahendamiseks graafikumeetodi abil peate teadma järgmist algoritmi:

1.Millisest protsessist me probleemi puhul räägime?2.Millised kogused iseloomustavad seda protsessi?3.Milline seos on nende koguste vahel?4.Mitu erinevat protsessi on ülesandes kirjeldatud?5.Kas elementide vahel on seos?

Nendele küsimustele vastates analüüsime probleemi seisukorda ja paneme selle skemaatiliselt kirja.

Näiteks . Buss sõitis 2 tundi kiirusega 45 km/h ja 3 tundi kiirusega 60 km/h. Kui kaugele buss selle 5 tunni jooksul läbis?

S
¹=90 km V ¹=45 km/h t ¹=2h

S = VT

S²=180 km V²=60 km/h t²=3 h

S ¹ + S ² = 90 + 180

Lahendus:

1) 45x 2 = 90 (km) - buss sõitis 2 tunniga.

2) 60x 3 = 180 (km) - buss sõitis 3 tunniga.

3)90 + 180 = 270 (km) - buss sõitis 5 tunniga.

Vastus: 270 km.

III . KOKKUVÕTE.

Projekti kallal töötamise tulemusena sain teada, et Leonhard Euler oli graafiteooria rajaja ja lahendas ülesandeid graafiteooria abil. Järeldasin enda jaoks, et graafiteooriat kasutatakse tänapäeva matemaatika erinevates valdkondades ja selle arvukates rakendustes. Pole kahtlustki, et meile, üliõpilastele, graafiteooria põhimõisteid on kasulik tutvustada. Paljude matemaatiliste ülesannete lahendamine muutub lihtsamaks, kui saate kasutada graafikuid. Andmete esitlus V graafiku vorm annab neile selguse. Paljud tõendid on ka lihtsustatud ja muutuvad veenvamaks, kui kasutada graafikuid. See kehtib eriti selliste matemaatika valdkondade kohta nagu matemaatiline loogika ja kombinatoorika.

Seega on selle teema uurimisel suur üldhariduslik, üldkultuuriline ja üldmatemaatiline tähendus. Igapäevaelus kasutatakse üha enam graafilisi illustratsioone, geomeetrilisi kujutisi ja muid visuaalseid tehnikaid ja meetodeid. Selleks on kasulik juurutada graafiteooria elementide õpe põhikoolis ja gümnaasiumis, vähemalt klassivälises tegevuses, kuna matemaatika õppekavas seda teemat ei ole.

V . BIBLIOGRAAFIA:

2008

Ülevaade.

Projekti teemal “Graafik meie ümber” lõpetas Krasnõi Kuti munitsipaalharidusasutuse nr 3 7. “A” klassi õpilane Nikita Zaytsev.

Nikita Zaitsevi loomingu eripäraks on selle asjakohasus, praktiline suunitlus, teema käsitlemise sügavus ja võimalus seda tulevikus kasutada.

Töö on loominguline, infoprojekti vormis. Üliõpilane valis selle teema, et näidata graafiteooria seost praktikaga koolibussi marsruudi näitel, et näidata, et graafiteooriat kasutatakse tänapäeva matemaatika erinevates valdkondades ja selle arvukates rakendustes, eriti majandusteaduses, matemaatilises loogikas ja kombinatoorikas. . Ta näitas, et ülesannete lahendamine on oluliselt lihtsustatud, kui on võimalik kasutada graafikuid, andmete esitamine graafiku kujul annab neile selguse, paljud tõestused ka lihtsustuvad ja muutuvad veenvaks.

Töö käsitleb selliseid probleeme nagu:

1. Graafi mõiste. Probleem Königsbergi sildadega.

2. Graafikute omadused.

3. Probleemid graafiteooria kasutamisel.

4. Graafikute tähendus.

5. Koolibussi marsruudi variant.

Oma töö tegemisel kasutas N. Zaitsev:

1. Alkhova Z.N., Makeeva A.V. "Kooliväline töö matemaatikas."

2. Ajakiri “Matemaatika koolis”. Lisa “Esimene september” nr 13

2008

3. Ya.I.Perelman “Meelelahutuslikud ülesanded ja katsed.” - Moskva: Haridus, 2000.

Töö tehtud asjatundlikult, materjal vastab antud teema nõuetele, on lisatud vastavad joonised.

Sissejuhatus. 3

1. Matemaatiline loogika (mõttetu loogika) ja "terve mõistuse" loogika 4

2. Matemaatilised otsused ja järeldused. 6

3. Matemaatiline loogika ja “terve mõistus” 21. sajandil. üksteist

4. Ebaloomulik loogika matemaatika alustes. 12

Järeldus. 17

Viited… 18

Loogiliste huvide valdkonna laienemine on seotud üldiste suundumustega teaduslike teadmiste arengus. Seega oli matemaatilise loogika tekkimine 19. sajandi keskel matemaatikute ja loogikute sajanditepikkuste püüdluste tulemus luua universaalne sümbolkeel, mis oleks vaba loomuliku keele „puudustest” (eeskätt selle polüseemiast, s.o polüseemiast). .

Loogika edasine areng on seotud klassikalise ja matemaatilise loogika kombineeritud kasutamisega rakendusvaldkondades. Mitteklassikalised loogikad (deontiline, relevantne, juriidiline loogika, otsustusloogika jne) tegelevad sageli uuritavate objektide ebakindluse ja hägususega, nende arengu mittelineaarsusega. Seega, tehisintellektisüsteemide küllaltki keerulisi probleeme analüüsides kerkib sama probleemi lahendamisel esile eri tüüpi arutluskäikude sünergia probleem. Loogika arendamise väljavaated kooskõlas arvutiteaduse lähenemisega on seotud võimalike arutlusmudelite teatud hierarhia loomisega, sealhulgas loomulikus keeles arutlemine, usutav arutluskäik ja formaliseeritud deduktiivsed järeldused. Seda saab lahendada klassikalise, matemaatilise ja mitteklassikalise loogika abil. Seega ei räägi me erinevatest “loogikatest”, vaid erinevast mõtlemise formaliseerituse astmest ja loogiliste tähenduste “dimensioonist” (kaheväärtuslik, mitmeväärtuslik jne loogika).

Kaasaegse loogika põhisuundade väljaselgitamine:

1. üldine või klassikaline loogika;

2. sümboolne või matemaatiline loogika;

3. mitteklassikaline loogika.

Matemaatiline loogika on üsna ebamäärane mõiste, mis tuleneb sellest, et matemaatilisi loogikaid on ka lõpmatult palju. Siin käsitleme mõnda neist, avaldades rohkem austust traditsioonile kui tervele mõistusele. Sest täiesti võimalik, et see on terve mõistus... Loogiline?

Matemaatiline loogika õpetab loogiliselt arutlema mitte rohkem kui ükski teine ​​matemaatika haru. See on tingitud asjaolust, et loogika arutlemise “loogilisuse” määrab loogika ise ja seda saab õigesti kasutada ainult loogikas endas. Elus kasutame loogiliselt mõeldes reeglina erinevaid loogikaid ja erinevaid loogilise arutlemise meetodeid, segades häbitult deduktsiooni induktsiooniga... Pealegi ehitame elus oma arutluskäigu üles vastuolulistele eeldustele, näiteks "Don". "Ärge lükkake homsesse seda, mida saab täna teha" ja "Kiirustades ajate inimesi naerma." Sageli juhtub, et loogiline järeldus, mis meile ei meeldi, viib esialgsete eelduste (aksioomide) ülevaatamiseni.

Võib-olla on aeg öelda loogika kohta, võib-olla kõige olulisema asja kohta: klassikaline loogika ei tegele tähendusega. Ei terve ega mõni muu! Terve mõistuse uurimiseks on muide psühhiaatria. Aga psühhiaatrias on loogika pigem kahjulik.

Muidugi, kui me eristame loogikat mõttest, siis peame silmas eelkõige klassikalist loogikat ja igapäevast arusaamist tervest mõistusest. Matemaatikas pole keelatud valdkondi, seetõttu on tähenduse uurimine loogika abil ja vastupidi mitmel kujul olemas paljudes kaasaegsetes loogikateadustes.

(Viimane lause õnnestus hästi, kuigi ma ei püüa terminit "loogikateadus" isegi ligikaudselt defineerida). Tähendusega või kui soovite, semantikaga tegeleb näiteks mudeliteooria. Ja üldiselt asendatakse termin semantika sageli mõistega interpretatsioon. Ja kui nõustume filosoofidega, et objekti tõlgendamine (kuvamine!) on selle mõistmine mingis etteantud aspektis, siis muutuvad matemaatika piirisfäärid, mille abil saab loogikas tähendust rünnata, arusaamatuks!

Praktilises plaanis on teoreetiline programmeerimine sunnitud tundma huvi semantika vastu. Ja selles on lisaks lihtsalt semantikale ka operatiivne, denotatsiooniline ja protseduuriline jne. ja nii edasi. semantika...

Mainigem vaid apoteoosi – KATEGOORIATEOORIAT, mis viis semantika formaalsesse, ebaselgesse süntaksisse, kus tähendus on juba nii lihtne – laotud riiulitele, et lihtsurelikul on täiesti võimatu selle põhjani jõuda. ... See on eliidile.

Mida siis loogika teeb? Vähemalt selle kõige klassikalisemas osas? Loogika teeb ainult seda, mida ta teeb. (Ja ta määratleb selle äärmiselt rangelt). Loogikas on peamine see rangelt määratleda! Seadke aksiomaatika. Ja siis peaksid loogilised järeldused olema (!) suures osas automaatsed...

Nende järelduste põhjendamine on teine ​​asi! Aga need argumendid väljuvad juba loogika piiridest! Seetõttu nõuavad nad ranget matemaatilist taju!

Võib tunduda, et see on lihtne verbaalne tasakaalustamine. EI! Teatud loogilise (aksiomaatilise) süsteemi näitena võtame üldtuntud mängu 15. Määrame (segame) ruutude algse paigutuse. Siis saab mängu (loogiline järeldus!) ja täpsemalt žetoonide liikumist tühjale kohale toimetada mõne mehaanilise seadmega ning saab kannatlikult jälgida ja rõõmustada, kui võimalike liigutuste tulemusena tekib jada 1-15. kastis moodustub.Aga keegi ei keela juhtida mehhaanilist seadet ja seda protsessi kiirendamiseks TERVE MÕISTUSE ALUSEL kiibide õigete liigutustega sundida. Või võib-olla isegi tõestada, kasutades loogiliseks arutlemiseks näiteks sellist matemaatika haru nagu KOMBINAATOORIKA, et antud kiipide algse paigutusega pole üldse võimalik vajalikku lõppkombinatsiooni saada!

Loogika selles osas, mida nimetatakse LOOGILISEKS ALGEBRAKS, pole enam tervet mõistust. Siin tutvustatakse LOOGIKATEHTEID ja määratletakse nende omadused. Nagu praktika on näidanud, võivad selle algebra seadused mõnel juhul vastata eluloogikale, teistel aga mitte. Sellise ebakindluse tõttu ei saa loogikaseadusi elupraktika seisukohalt seadusteks pidada. Nende teadmised ja mehaaniline kasutamine ei saa mitte ainult aidata, vaid ka kahjustada. Eriti psühholoogid ja juristid. Olukorra teeb keeruliseks asjaolu, et koos loogika algebra seadustega, mis mõnikord vastavad või ei vasta elumõtlemisele, eksisteerivad loogilised seadused, mida mõned loogikud kategooriliselt ei tunnista. See kehtib eeskätt nn EKSKLUSIIVSE KOLMANDA ja VASTUVÕTU seaduste kohta.

2. Matemaatilised otsused ja järeldused

Mõtlemises ei esine mõisted eraldi, need on omavahel teatud viisil seotud. Mõistete omavahelise seose vorm on kohtuotsus. Igas kohtuotsuses tehakse kindlaks mingi seos või mingi seos mõistete vahel ja see kinnitab seose või suhte olemasolu vastavate mõistetega hõlmatud objektide vahel. Kui hinnangud peegeldavad õigesti neid objektiivselt eksisteerivaid sõltuvusi asjade vahel, siis me nimetame selliseid hinnanguid tõeseks, vastasel juhul on hinnangud valed. Nii on näiteks lause "iga romb on rööpkülik" tõene propositsioon; lause "iga rööpkülik on romb" on vale väide.

Seega on hinnang mõtlemisvorm, mis peegeldab objekti enda olemasolu või puudumist (selle tunnuse ja seoste olemasolu või puudumist).

Mõtlemine tähendab hinnangute andmist. Kohtuotsuste abil saavad mõte ja kontseptsioon oma edasise arengu.

Kuna iga mõiste peegeldab teatud objektide, nähtuste või nendevaheliste suhete klassi, võib iga hinnangut käsitleda kui ühe mõiste kaasamist või mittekaasamist (osalist või täielikku) teise mõiste klassi. Näiteks väide "iga ruut on romb" näitab, et mõiste "ruut" sisaldub mõistes "romb"; lause "ristuvad sirged ei ole paralleelsed" näitab, et ristuvad sirged ei kuulu paralleelsete sirgete hulka.

Kohtuotsusel on oma keeleline kest – lause, kuid mitte iga lause pole kohtuotsus.

Kohtuotsuse iseloomulik tunnus on tõe või vale kohustuslik esinemine seda väljendavas lauses.

Näiteks lause “kolmnurk ABC on võrdhaarne” väljendab mingit hinnangut; lause "Kas ABC on võrdhaarne?" ei avalda hinnangut.

Iga teadus esindab sisuliselt teatud hinnangute süsteemi objektide kohta, mis on selle uurimise objektiks. Iga otsus vormistatakse teatud ettepaneku kujul, mis on väljendatud sellele teadusele omaste terminite ja sümbolitena. Matemaatika esindab ka teatud hinnangute süsteemi, mida väljendatakse matemaatilistes lausetes matemaatiliste või loogiliste terminite või neile vastavate sümbolite kaudu. Matemaatilised terminid (või sümbolid) tähistavad neid mõisteid, mis moodustavad matemaatilise teooria sisu, loogikaterminid (või sümbolid) tähistavad loogilisi tehteid, mille abil konstrueeritakse mõnest matemaatilisest lausest teisi matemaatilisi väiteid, mõnest hinnangust moodustatakse teisi hinnanguid. , mille tervik moodustab matemaatika kui teaduse.

Üldiselt kujuneb hinnangud mõtlemises kahel põhilisel viisil: otseselt ja kaudselt. Esimesel juhul väljendatakse taju tulemust kohtuotsuse abil, näiteks "see kujund on ring". Teisel juhul tekib otsustus erilise vaimse tegevuse, mida nimetatakse järeldamiseks, tulemusena. Näiteks „tasapinna antud punktide hulk on selline, et nende kaugus ühest punktist on sama; See tähendab, et see kujund on ring.

Selle vaimse tegevuse käigus tehakse tavaliselt üleminek ühelt või mitmelt omavahel seotud otsuselt uuele otsusele, mis sisaldab uusi teadmisi uuritava objekti kohta. See üleminek on järeldus, mis esindab mõtlemise kõrgeimat vormi.

Järeldus on protsess, mille käigus saadakse ühest või mitmest antud otsusest uus järeldus. Näiteks rööpküliku diagonaal jagab selle kaheks kongruentseks kolmnurgaks (esimene väide).

Kolmnurga sisenurkade summa on 2d (teine ​​väide).

Rööpküliku sisenurkade summa võrdub 4d (uus järeldus).

Matemaatiliste järelduste kognitiivne väärtus on äärmiselt suur. Need laiendavad meie teadmiste piire reaalse maailma objektide ja nähtuste kohta, kuna enamik matemaatilisi väiteid on suhteliselt väikese arvu põhiotsuste järeldus, mis saadakse reeglina otsese kogemuse kaudu ja mis peegeldavad meie kogemusi. kõige lihtsamad ja üldisemad teadmised selle objektide kohta.

Järeldus erineb (mõtlemise vormina) kontseptsioonidest ja hinnangutest selle poolest, et see on loogiline operatsioon üksikute mõtetega.

Mitte iga kohtuotsuste kombinatsioon ei kujuta endast järeldust: otsuste vahel peab olema teatav loogiline seos, mis peegeldab tegelikkuses eksisteerivat objektiivset seost.

Näiteks lausetest “kolmnurga sisenurkade summa on 2d” ja “2*2=4” ei saa teha järeldust.

On selge, milline tähtsus meie matemaatiliste teadmiste süsteemis on oskusel erinevaid matemaatilisi lauseid õigesti konstrueerida või arutlusprotsessis järeldusi teha. Kõnekeel sobib halvasti teatud hinnangute väljendamiseks, veel vähem arutluskäigu loogilise struktuuri tuvastamiseks. Seetõttu on loomulik, et arutlusprotsessis kasutatavat keelt oli vaja täiustada. Selleks osutus sobivaimaks matemaatiline (õigemini sümboolne) keel. 19. sajandil tekkinud teaduse erivaldkond matemaatiline loogika mitte ainult ei lahendanud täielikult matemaatilise tõestuse teooria loomise probleemi, vaid avaldas suurt mõju ka matemaatika kui terviku arengule.

Formaalne loogika (mis tekkis iidsetel aegadel Aristotelese töödes) ei ole samastatud matemaatilise loogikaga (mis tekkis 19. sajandil inglise matemaatiku J. Boole'i ​​töödes). Formaalse loogika aineks on hinnangute ja mõistete seoste seaduste uurimine järeldustes ja tõendusreeglites. Matemaatiline loogika erineb formaalsest loogikast selle poolest, et see uurib formaalse loogika põhiseadustest lähtuvalt loogiliste protsesside mustreid matemaatiliste meetodite kasutamisel: „Loogilised seosed, mis eksisteerivad hinnangute, mõistete jms vahel, väljenduvad valemid, mille tõlgendamine on vaba mitmetähenduslikkusest, mis võib kergesti tekkida verbaalsest väljendusest. Seega iseloomustab matemaatilist loogikat loogikatehete formaliseerimine, täielikum abstraktsioon lausete konkreetsest sisust (mis tahes hinnangu väljendamine).

Illustreerime seda ühe näitega. Mõelge järgmisele järeldusele: "Kui kõik taimed on punased ja kõik koerad on taimed, on kõik koerad punased."

Kõik siin kasutatud kohtuotsused ja vaoshoitud järelduste tulemusel saadud kohtuotsused näivad olevat ilmselge jama. Matemaatilise loogika seisukohalt on siin aga tegemist tõese lausega, kuna matemaatilises loogikas sõltub järelduse tõesus või väärus ainult selle moodustavate eelduste tõesusest või väärusest, mitte aga nende konkreetsest sisust. Seega, kui formaalse loogika üheks põhimõisteks on kohtuotsus, siis matemaatilise loogika analoogseks mõisteks on väide-väite mõiste, mille puhul on vaid mõtet öelda, kas see on tõene või väär. Ei maksa arvata, et iga väidet iseloomustab “terve mõistuse” puudumine selle sisus. Lihtsalt lause tähenduslik osa, mis selle või teise väite moodustab, jääb matemaatilises loogikas tagaplaanile ega oma tähtsust selle või teise järelduse loogilise konstrueerimise või analüüsi jaoks. (Kuigi loomulikult on see oluline, et mõista selle teema käsitlemisel arutatava sisu.)

On selge, et matemaatikas endas peetakse tähendusrikkaid väiteid. Luues erinevaid seoseid ja suhteid mõistete vahel, kinnitavad või eitavad matemaatilised hinnangud tegelikkuse objektide ja nähtuste vahelisi seoseid.

3. Matemaatiline loogika ja “terve mõistus” 21. sajandil.

Loogika pole mitte ainult puhtalt matemaatiline, vaid ka filosoofiline teadus. 20. sajandil osutusid need kaks omavahel seotud loogikahüpostaasi eri suundades eraldatuks. Ühelt poolt mõistetakse loogika all teadust õige mõtlemise seaduspärasustest, teisalt aga esitatakse seda lõdvalt seotud tehiskeelte kogumina, mida nimetatakse formaalseteks loogilisteks süsteemideks.

Paljude jaoks on ilmne, et mõtlemine on keeruline protsess, mille abil lahendatakse igapäevaseid, teaduslikke või filosoofilisi probleeme ning sünnivad geniaalsed ideed või saatuslikud luulud. Paljud mõistavad keelt lihtsalt kui vahendit, mille abil saab mõtlemise tulemusi edasi anda kaasaegsetele või jätta järeltulijatele. Kuid olles oma teadvuses ühendanud mõtlemise mõistega “protsess” ja keele “vahendi” mõistega, lakkame sisuliselt märkamast muutumatut tõsiasja, et antud juhul ei ole “vahend” täielikult “protsessile” allutatud. , kuid olenevalt meie sihipärasest või alateadlikust valikust teatud või sõnaliste klišeede vahel on sellel tugev mõju "protsessi" enda kulgemisele ja tulemusele. Pealegi on palju juhtumeid, kus selline “vastupidine mõju” ei osutu mitte ainult õige mõtlemise takistuseks, vaid mõnikord isegi selle hävitajaks.

Loogilise positivismi raames püstitatud ülesanne ei saanud filosoofilisest vaatenurgast kunagi täidetud. Eelkõige jõudis oma hilisemates õpingutes üks selle suuna rajajaid Ludwig Wittgenstein järeldusele, et loomulikku keelt ei saa reformida positivistide väljatöötatud programmi järgi. Isegi matemaatika keel tervikuna pidas vastu võimsale "loogilisuse" survele, kuigi paljud positivistide pakutud keele terminid ja struktuurid sisenesid mõnesse diskreetse matemaatika sektsiooni ja täiendasid neid oluliselt. Loogilise positivismi kui filosoofilise suundumuse populaarsus 20. sajandi teisel poolel langes märgatavalt – paljud filosoofid jõudsid järeldusele, et loomuliku keele paljude “ebaloogilisuse” tagasilükkamine, katse suruda see põhiprintsiipide raamidesse. Loogiline positivism hõlmab tunnetusprotsessi dehumaniseerimist ja samal ajal inimkultuuri kui terviku dehumaniseerimist.

Paljusid loomulikus keeles kasutatavaid arutlusmeetodeid on sageli väga raske üheselt matemaatilise loogika keelde kaardistada. Mõnel juhul viib selline kaardistamine loomuliku arutluskäigu olemuse olulise moonutamiseni. Ja on alust arvata, et need probleemid on analüütilise filosoofia ja positivismi algse metodoloogilise positsiooni tagajärg loomuliku keele ebaloogilisuse ja selle radikaalse reformimise vajaduse kohta. Ka positivismi väga originaalne metodoloogiline seade ei kannata kriitikat. Süüdistada kõnekeelt ebaloogilisuses on lihtsalt absurdne. Tegelikult ei iseloomusta ebaloogilisus keelt ennast, vaid paljusid selle keele kasutajaid, kes lihtsalt ei oska või ei taha loogikat kasutada ja kompenseerivad seda viga avalikkuse mõjutamise psühholoogiliste või retooriliste võtetega või oma arutluskäikudes kasutavad. loogikana süsteem, mida loogikaks nimetatakse ainult arusaamatuse tõttu. Samas on palju inimesi, kelle kõnet eristab selgus ja loogilisus ning neid omadusi ei määra matemaatilise loogika aluste tundmine või teadmatus.

Seadusandjateks või matemaatilise loogika formaalse keele järgijateks liigitatavate arutlustes ilmneb sageli omamoodi “pimedus” elementaarsete loogikavigade suhtes. Üks suuri matemaatikuid, Henri Poincaré, juhtis sellele pimedusele tähelepanu meie sajandi alguses G. Cantori, D. Hilberti, B. Russelli, J. Peano jt põhitöödes.

Üks näide sellisest ebaloogilisest arutluskäsitlusest on kuulsa Russelli paradoksi sõnastus, kus kaks puhtalt heterogeenset mõistet “element” ja “kogum” on põhjendamatult segi aetud. Paljudes nüüdisaegsetes loogika- ja matemaatikateostes, milles on märgata Hilberti programmi mõju, jäävad paljud loomuliku loogika seisukohalt selgelt absurdsed väited lahti seletamata. "Elemendi" ja "komplekti" suhe on sedalaadi lihtsaim näide. Paljud sellesuunalised tööd väidavad, et teatud hulk (nimetagem seda A-ks) võib olla teise hulga (nimetagem seda B-ks) element.

Näiteks ühest tuntud matemaatilise loogika käsiraamatust leiame järgmise fraasi: "Hulgad ise võivad olla hulkade elemendid, nii et näiteks kõigi täisarvude hulga elementideks on hulgad." Pange tähele, et see väide ei ole lihtsalt lahtiütlus. See sisaldub "varjatud" aksioomina nii formaalses hulgateoorias, mida paljud eksperdid peavad kaasaegse matemaatika alustalaks, kui ka formaalses süsteemis, mille matemaatik K. Gödel ehitas, tõestades oma kuulsat teoreemi formaalsete süsteemide ebatäielikkuse kohta. See teoreem viitab üsna kitsale formaalsete süsteemide klassile (nende hulka kuuluvad formaalne hulgateooria ja formaalne aritmeetika), mille loogiline struktuur ei vasta ilmselgelt loomuliku arutluse ja põhjenduse loogilisele struktuurile.

Ent enam kui pool sajandit on see üldise teadmisteooria kontekstis loogikute ja filosoofide seas teravate arutelude objektiks olnud. Selle teoreemi nii laiaulatusliku üldistamisega selgub, et paljud elementaarsed mõisted on põhimõtteliselt tundmatud. Kuid kainema lähenemisega selgub, et Gödeli teoreem näitas ainult D. Hilberti pakutud ja paljude matemaatikute, loogikute ja filosoofide poolt kasutusele võetud matemaatika formaalse õigustamise programmi ebakõla. Vaevalt saab Gödeli teoreemi laiemat metodoloogilist aspekti pidada vastuvõetavaks enne, kui pole vastatud järgmisele küsimusele: kas Hilberti programm matemaatika põhjendamiseks on ainuvõimalik? Väite "hulk A on hulga B element" mitmetähenduslikkuse mõistmiseks piisab, kui esitada lihtne küsimus: "Millistest elementidest moodustatakse sel juhul hulk B?" Loomuliku loogika seisukohalt on võimalikud vaid kaks teineteist välistavat seletust. Selgitus üks. Hulga B elemendid on mõne hulga nimed ja eelkõige hulga A nimi või tähistus. Näiteks kõigi paarisarvude hulk sisaldub elemendina kõigi nimede (või tähiste) hulgas. hulk, mis on eraldatud mõne tunnusega kõigi täisarvude hulgast. Et tuua selgem näide: kõigi kaelkirjakute komplekt sisaldub elemendina kõigi teadaolevate loomaliikide hulgas. Laiemas kontekstis võib hulga B moodustada ka hulga kontseptuaalsetest definitsioonidest või viidetest hulkadele. Selgitus kaks. Hulga B elemendid on mõne teise hulga elemendid ja eelkõige hulga A kõik elemendid. Näiteks on iga paarisarv kõigi täisarvude hulga element või iga kaelkirjak on arvude hulga element. komplekt kõigist loomadest. Siis aga selgub, et mõlemal juhul pole väljendil “hulk A on hulga B element” mõtet. Esimesel juhul selgub, et hulga B elemendiks ei ole hulk A ise, vaid selle nimi (või tähistus või viide sellele). Sel juhul kehtestatakse hulga ja selle tähistuse vahel vaikimisi ekvivalentsussuhe, mis ei ole vastuvõetamatu ei tavalise terve mõistuse ega matemaatilise intuitsiooni seisukohalt, mis ei sobi kokku liigse formalismiga. Teisel juhul selgub, et hulk A sisaldub komplektis B, s.t. on selle alamhulk, kuid mitte element. Ka siin on ilmne mõistete asendus, kuna hulkade kaasamise seosel ja kuuluvussuhtel (olemas hulga elemendiks) on matemaatikas põhimõtteliselt erinev tähendus. Russelli kuulus paradoks, mis õõnestas loogikute usaldust hulga mõiste vastu, põhineb sellel absurdil – paradoks põhineb mitmetähenduslikul eeldusel, et hulk võib olla teise hulga element.

Võimalik on ka teine ​​võimalik seletus. Olgu hulk A defineeritud selle elementide lihtsa loendusega, näiteks A = (a, b). Hulk B omakorda täpsustatakse mõne hulga loendamisega, näiteks B = ((a, b), (a, c)). Sel juhul tundub ilmne, et B element ei ole hulga A nimi, vaid hulk A ise. Kuid ka sel juhul ei ole hulga A elemendid hulga B elemendid ja hulk A-d käsitletakse siin kui lahutamatut kogu, mida saab hästi asendada selle nimega. Aga kui lugeda kõiki selles sisalduvate hulkade elemente B elementideks, siis sel juhul oleks hulk B võrdne hulgaga (a, b, c) ja hulk A ei oleks sel juhul B element, vaid selle alamhulk. Seega selgub, et see seletuse versioon, olenevalt meie valikust, taandub eelnevalt loetletud valikutele. Ja kui valikut ei pakuta, siis tekib elementaarne mitmetähenduslikkus, mis sageli viib “seletamatute” paradoksideni.

Neile terminoloogilistele nüanssidele oleks võimalik mitte erilist tähelepanu pöörata, kui mitte üks asjaolu. Selgub, et paljud kaasaegse loogika ja diskreetse matemaatika paradoksid ja ebakõlad on selle mitmetähenduslikkuse otsene tagajärg või jäljendus.

Näiteks kaasaegses matemaatilises arutluskäigus kasutatakse sageli mõistet "iserakendatavus", mis on Russelli paradoksi aluseks. Selle paradoksi sõnastuses eeldab iserakendatavus komplektide olemasolu, mis on iseenda elemendid. See väide viib kohe paradoksini. Kui arvestada kõigi "isekohalduvate" komplektide kogumiga, selgub, et see on nii "isekohalduv" kui ka "isekohalduv".

Infotehnoloogia kiirele arengule 20. sajandil aitas palju kaasa matemaatiline loogika, kuid juba Aristotelese päevil loogikasse ilmunud mõiste “kohtuotsus”, millele tugineb loomuliku keele loogiline alus. , kukkus vaateväljast välja. Selline väljajätmine ei aidanud üldse kaasa loogilise kultuuri kujunemisele ühiskonnas ja tekitas paljudes isegi illusiooni, et arvutid on võimelised mõtlema mitte halvemini kui inimesed ise. Paljudele ei tekita piinlikkust isegi asjaolu, et kolmanda aastatuhande eel üldise arvutistamise taustal on loogilised absurdid teaduses endas (rääkimata poliitikast, seadusloomest ja pseudoteadusest) veelgi tavalisemad kui 19. sajandi lõpus. . Ja selleks, et mõista nende absurdide olemust, pole vaja pöörduda keerukate matemaatiliste struktuuride poole, millel on mitmekohalised seosed ja rekursiivsed funktsioonid, mida kasutatakse matemaatilises loogikas. Selgub, et nende absurdsuste mõistmiseks ja analüüsimiseks piisab täiesti palju lihtsama matemaatilise hinnangustruktuuri rakendamisest, mis mitte ainult ei lähe vastuollu tänapäevase loogika matemaatiliste alustega, vaid neid mingil moel täiendab ja laiendab.

Bibliograafia

1. Vassiljev N. A. Kujutletav loogika. Valitud teosed. - M.: Teadus. 1989; - lk 94-123.

2. Kulik B.A. Terve mõistuse filosoofia põhiprintsiibid (kognitiivne aspekt) // Tehisintellekti uudised, 1996, nr 3, lk. 7-92.

3. Kulik B.A. Terve mõistuse loogilised alused / Toimetanud D.A. Pospelov. - Peterburi, polütehnikum, 1997. 131 lk.

4. Kulik B.A. Terve mõistuse loogika. - Terve mõistus, 1997, nr 1(5), lk. 44-48.

5. Styazhkin N.I. Matemaatilise loogika kujunemine. M.: Nauka, 1967.

6. Solovjov A. Diskreetne matemaatika ilma valemiteta. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html