Diskreetse juhusliku suuruse matemaatilise ootuse arvutused. Matemaatilise ootuse valem. Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus

Tõenäosusteooria on matemaatika eriharu, mida õpivad ainult kõrgkoolide üliõpilased. Kas teile meeldivad arvutused ja valemid? Kas te ei karda normaaljaotuse, ansambli entroopia, matemaatilise ootuse ja diskreetse juhusliku suuruse dispersiooniga tutvumise väljavaateid? Siis pakub see teema teile suurt huvi. Tutvume selle teaduse osa olulisemate põhimõistetega.

Meenutagem põhitõdesid

Isegi kui mäletate tõenäosusteooria lihtsamaid kontseptsioone, ärge jätke tähelepanuta artikli esimesi lõike. Fakt on see, et ilma põhitõdedest selge arusaamiseta ei saa te allpool käsitletud valemitega töötada.

Niisiis, on mingi juhuslik sündmus, mingi eksperiment. Teostatud toimingute tulemusena võime saada mitu tulemust – ühed neist on levinumad, teised vähem levinud. Sündmuse tõenäosus on ühte tüüpi tegelikult saadud tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu suhe. Teades ainult selle mõiste klassikalist määratlust, võite hakata uurima pidevate juhuslike muutujate matemaatilisi ootusi ja hajuvust.

Keskmine

Kooliajal, matemaatikatundides, hakkasite töötama aritmeetilise keskmisega. Seda mõistet kasutatakse tõenäosusteoorias laialdaselt ja seetõttu ei saa seda ignoreerida. Meie jaoks on hetkel peamine, et me seda juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni valemites kohtame.

Meil on arvude jada ja me tahame leida aritmeetilise keskmise. Meilt on vaja vaid kõik saadaolev summeerida ja jagada jada elementide arvuga. Olgu meil arvud 1 kuni 9. Elementide summaks saab 45 ja me jagame selle väärtuse 9-ga. Vastus: - 5.

Dispersioon

Teaduslikus mõttes on dispersioon saadud tunnuste väärtuste aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete keskmine ruut. Üks on tähistatud suure ladina tähega D. Mida on selle arvutamiseks vaja? Jada iga elemendi jaoks arvutame olemasoleva arvu ja aritmeetilise keskmise erinevuse ning ruudume selle. Väärtusi on täpselt nii palju, kui võib olla selle sündmuse tulemusi, mida kaalume. Järgmisena võtame kokku kõik saadud ja jagame jada elementide arvuga. Kui meil on viis võimalikku tulemust, jagage viiega.

Dispersioonil on ka omadusi, mida peate meeles pidama, et seda probleemide lahendamisel rakendada. Näiteks kui juhuslikku suurust suurendatakse X korda, suureneb dispersioon X korda ruudu võrra (st X*X). See ei ole kunagi väiksem kui null ega sõltu väärtuste nihutamisest võrdse väärtuse võrra üles või alla. Samuti on sõltumatute katsete korral summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga.

Nüüd peame kindlasti kaaluma näiteid diskreetse juhusliku suuruse dispersioonist ja matemaatilisest ootusest.

Oletame, et teeme 21 katset ja saame 7 erinevat tulemust. Vaatlesime igaüht neist vastavalt 1,2,2,3,4,4 ja 5 korda. Mis dispersioon saab olema?

Kõigepealt arvutame välja aritmeetilise keskmise: elementide summa on loomulikult 21. Jagame selle 7-ga, saades 3. Nüüd lahutame igast algses järjestuses olevast arvust 3, paneme iga väärtuse ruutu ja liidame tulemused kokku. . Selgub, et 12. Nüüd jääb meil arv jagada elementide arvuga ja tundub, et see on kõik. Kuid siin on konks! Arutame seda.

Sõltuvus katsete arvust

Selgub, et dispersiooni arvutamisel võib nimetaja olla üks kahest arvust: kas N või N-1. Siin on N sooritatud katsete arv või jada elementide arv (mis on sisuliselt sama asi). Millest see oleneb?

Kui testide arvu mõõdetakse sadades, siis nimetajasse tuleb panna N. Kui ühikutes, siis N-1. Teadlased otsustasid piiri tõmmata üsna sümboolselt: täna jookseb see mööda numbrit 30. Kui tegime vähem kui 30 katset, siis jagame summa N-1-ga ja kui rohkem, siis N-ga.

Ülesanne

Pöördume tagasi meie dispersiooni- ja ootusprobleemi lahendamise näite juurde. Saime vahearvuks 12, mis tuli jagada N või N-1-ga. Kuna tegime 21 katset, mis on vähem kui 30, siis valime teise variandi. Seega on vastus: dispersioon on 12/2 = 2.

Oodatud väärtus

Liigume edasi teise kontseptsiooni juurde, mida peame selles artiklis käsitlema. Matemaatiline ootus on kõigi võimalike tulemuste liitmise tulemus, mis on korrutatud vastavate tõenäosustega. Oluline on mõista, et nii saadud väärtus kui ka dispersiooni arvutamise tulemus saadakse kogu ülesande kohta ainult üks kord, olenemata sellest, kui palju tulemusi see arvesse võtab.

Matemaatilise ootuse valem on üsna lihtne: me võtame tulemuse, korrutame selle tõenäosusega, liidame sama teise, kolmanda tulemuse jne jaoks. Kõike selle mõistega seonduvat on lihtne arvutada. Näiteks matemaatiliste ootuste summa on võrdne summa matemaatilise ootusega. Sama kehtib ka töö kohta. Mitte iga suurus tõenäosusteoorias ei võimalda selliseid lihtsaid tehteid sooritada. Võtame ülesande ja arvutame kahe uuritud mõiste väärtuse korraga. Lisaks segas meid teooria – aeg on harjutada.

Üks näide veel

Tegime 50 katset ja saime 10 erinevat tüüpi tulemust – numbrid 0 kuni 9 –, mis esinesid erineva protsendimääraga. Need on vastavalt: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Tuletage meelde, et tõenäosuste saamiseks peate protsendiväärtused jagama 100-ga. Seega saame 0,02; 0,1 jne. Toome näite juhusliku suuruse dispersiooni ja matemaatilise ootuse ülesande lahendamisest.

Arvutame aritmeetilise keskmise valemiga, mida mäletame põhikoolist: 50/10 = 5.

Tõlgime nüüd tõenäosused tulemuste arvuks "tükkidena", et oleks mugavam loendada. Saame 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ja 9. Lahutage igast saadud väärtusest aritmeetiline keskmine, misjärel ruudustame kõik saadud tulemused. Vaadake, kuidas seda teha näitena esimese elemendiga: 1 - 5 = (-4). Edasi: (-4) * (-4) = 16. Muude väärtuste puhul tehke need toimingud ise. Kui tegite kõik õigesti, saate pärast kõike lisamist 90.

Jätkame dispersiooni ja keskmise arvutamist, jagades 90 N-ga. Miks valime N, mitte N-1? See on õige, kuna tehtud katsete arv ületab 30. Seega: 90/10 = 9. Saime dispersiooni. Kui saate teistsuguse numbri, ärge heitke meelt. Tõenäoliselt tegite arvutustes banaalse vea. Kontrollige veel kord üle, mida kirjutasite, ja kindlasti läheb kõik oma kohale.

Lõpetuseks tuletame meelde matemaatilise ootuse valemit. Me ei anna kõiki arvutusi, kirjutame ainult vastuse, mida saate kontrollida pärast kõigi vajalike protseduuride sooritamist. Eeldatav väärtus on 5,48. Tuletame meelde ainult, kuidas toiminguid teha, kasutades esimeste elementide näidet: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... ja nii edasi. Nagu näete, korrutame tulemuse väärtuse lihtsalt selle tõenäosusega.

Hälve

Teine dispersiooni ja matemaatilise ootusega tihedalt seotud mõiste on standardhälve. Seda tähistatakse kas ladina tähtedega sd või kreeka väiketähtedega "sigma". See kontseptsioon näitab, kuidas keskmiselt erinevad väärtused kesksest tunnusest. Selle väärtuse leidmiseks peate arvutama dispersiooni ruutjuure.

Kui joonistate normaaljaotuse ja soovite ruudus hälvet otse sellel näha, saab seda teha mitme sammuna. Võtke pool pildist režiimist vasakule või paremale (keskväärtus), tõmmake horisontaalteljega risti nii, et saadud kujundite alad oleksid võrdsed. Jaotuse keskkoha ja sellest tuleneva horisontaaltelje projektsiooni vahelise lõigu väärtus on standardhälve.

Tarkvara

Nagu valemite kirjeldustest ja toodud näidetest näha, ei ole dispersiooni ja matemaatilise ootuse arvutamine aritmeetilisest seisukohast kõige lihtsam protseduur. Et aega mitte raisata, on mõttekas kasutada kõrghariduses kasutatavat programmi – selle nimi on "R". Sellel on funktsioonid, mis võimaldavad arvutada paljude mõistete väärtusi statistikast ja tõenäosusteooriast.

Näiteks määrate väärtuste vektori. Seda tehakse järgmiselt: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Lõpuks

Dispersioon ja matemaatiline ootus on ilma milleta on raske tulevikus midagi välja arvutada. Ülikoolide loengute põhikursusel arvestatakse nendega juba aine õppimise esimestel kuudel. Just nende lihtsate mõistete mittemõistmise ja arvutamisoskuse tõttu hakkavad paljud tudengid kohe programmis maha jääma ja saavad hiljem sessioonil kehva hinde, mis jätab nad ilma stipendiumidest.

Harjutage vähemalt üks nädal pool tundi päevas, lahendades ülesandeid, mis on sarnased käesolevas artiklis esitatud ülesannetega. Seejärel saate mis tahes tõenäosusteooria testis näidetega hakkama ilma kõrvaliste näpunäidete ja petulehtedeta.

DSW omadused ja nende omadused. Matemaatiline ootus, dispersioon, standardhälve

Jaotusseadus iseloomustab juhuslikku suurust täielikult. Kui aga jaotusseadust ei ole võimalik leida või seda ei nõuta, võib piirduda väärtuste leidmisega, mida nimetatakse juhusliku suuruse arvulisteks tunnusteks. Need väärtused määravad mõne keskmise väärtuse, mille ümber juhusliku suuruse väärtused rühmitatakse, ja nende hajumise astme selle keskmise väärtuse ümber.

matemaatiline ootus Diskreetne juhuslik suurus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutiste summa.

Matemaatiline ootus on olemas, kui võrdsuse paremal küljel olevad jadad lähenevad absoluutselt.

Tõenäosuse seisukohalt võime öelda, et matemaatiline ootus on ligikaudu võrdne juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega.

Näide. Diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadus on teada. Leidke matemaatiline ootus.

X
lk	0.2	0.3	0.1	0.4

Otsus:

9.2 Ootuste omadused

1. Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga.

2. Ootusmärgist saab välja võtta konstantse teguri.

3. Kahe sõltumatu juhusliku muutuja korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega.

See omadus kehtib suvalise arvu juhuslike muutujate puhul.

4. Kahe juhusliku suuruse summa matemaatiline ootus on võrdne terminite matemaatiliste ootuste summaga.

See omadus kehtib ka suvalise arvu juhuslike muutujate puhul.

Olgu tehtud n sõltumatut katset, mille sündmuse A toimumise tõenäosus on võrdne p-ga.

Teoreem. Sündmuse A esinemiste arvu matemaatiline ootus M(X) n sõltumatus katses on võrdne katsete arvu ja sündmuse toimumise tõenäosuse korrutisega igas katses.

Näide. Leidke juhusliku suuruse Z matemaatiline ootus, kui X ja Y matemaatilised ootused on teada: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Otsus:

9.3 Diskreetse juhusliku suuruse dispersioon

Kuid matemaatiline ootus ei suuda juhuslikku protsessi täielikult iseloomustada. Lisaks matemaatilisele ootusele on vaja sisse tuua väärtus, mis iseloomustab juhusliku suuruse väärtuste kõrvalekallet matemaatilisest ootusest.

See hälve on võrdne juhusliku suuruse ja selle matemaatilise ootuse erinevusega. Sel juhul on kõrvalekalde matemaatiline ootus null. Seda seletatakse asjaoluga, et mõned võimalikud kõrvalekalded on positiivsed, teised negatiivsed ja nende vastastikuse tühistamise tulemusena saadakse null.

Dispersioon (hajumine) Diskreetset juhuslikku muutujat nimetatakse matemaatiliseks ootuseks juhusliku suuruse ruudus kõrvalekalde kohta selle matemaatilisest ootusest.

Praktikas on see dispersiooni arvutamise meetod ebamugav, kuna toob kaasa tülikad arvutused suure hulga juhusliku muutuja väärtuste jaoks.

Seetõttu kasutatakse teist meetodit.

Teoreem. Dispersioon on võrdne juhusliku suuruse X ruudu matemaatilise ootuse ja selle matemaatilise ootuse ruudu vahega.

Tõestus. Võttes arvesse asjaolu, et matemaatiline ootus M (X) ja matemaatilise ootuse ruut M 2 (X) on konstantsed väärtused, võime kirjutada:

Näide. Leidke jaotusseadusega antud diskreetse juhusliku suuruse dispersioon.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Otsus:.

9.4 Dispersiooniomadused

1. Konstantse väärtuse dispersioon on null. .

2. Konstantse teguri saab dispersioonimärgist välja võtta selle ruudustamisel. .

3. Kahe sõltumatu juhusliku suuruse summa dispersioon on võrdne nende muutujate dispersioonide summaga. .

4. Kahe sõltumatu juhusliku suuruse erinevuse dispersioon on võrdne nende muutujate dispersioonide summaga. .

Teoreem. Sündmuse A esinemiste arvu dispersioon n sõltumatus katses, millest igaühes sündmuse toimumise tõenäosus p on konstantne, on võrdne katsete arvu ning toimumise ja mittetoimumise tõenäosuste korrutisega igas katses.

9.5 Diskreetse juhusliku suuruse standardhälve

Standardhälve juhuslikku muutujat X nimetatakse dispersiooni ruutjuureks.

Teoreem. Lõpliku arvu vastastikku sõltumatute juhuslike suuruste summa standardhälve on võrdne nende muutujate standardhälbete ruudu summa ruutjuurega.

Matemaatiline ootus on definitsioon

Mat ootab matemaatilise statistika ja tõenäosusteooria üks olulisemaid mõisteid, mis iseloomustavad väärtuste jaotust või tõenäosused juhuslik muutuja. Tavaliselt väljendatakse juhusliku suuruse kõigi võimalike parameetrite kaalutud keskmisena. Seda kasutatakse laialdaselt tehnilises analüüsis, numbriridade uurimisel, pidevate ja pikaajaliste protsesside uurimisel. See on oluline riskide hindamisel, hinnanäitajate prognoosimisel finantsturgudel kaubeldes ning seda kasutatakse mängutaktika strateegiate ja meetodite väljatöötamisel. hasartmängude teooria.

Matt ootab- See juhusliku suuruse keskmine väärtus, jaotus tõenäosused tõenäosusteoorias käsitletakse juhuslikku muutujat.

Mat ootab juhusliku suuruse keskmise väärtuse mõõt tõenäosusteoorias. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus x tähistatud M(x).

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Mat ootab

Mat ootab tõenäosusteoorias kõigi võimalike väärtuste kaalutud keskmine, mida see juhuslik suurus võib võtta.

Mat ootab juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste korrutiste summa nende väärtuste tõenäosuste järgi.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Mat ootab keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab käsitleda suurte arvude ja pika vahemaa teooria raames.

Mat ootab hasartmängude teoorias võitude summa, mille spekulant võib iga panuse puhul keskmiselt teenida või kaotada. Hasartmängude keeles spekulandid seda nimetatakse mõnikord "eeliseks". spekulant” (kui see on spekulandi jaoks positiivne) või „maja eelis” (kui see on spekulandi jaoks negatiivne).

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Mat ootab kasum võidu kohta korrutatuna keskmisega kasumit, miinus kaotus korrutatuna keskmise kaoga.

Juhusliku suuruse matemaatiline ootus matemaatilises teoorias

Juhusliku muutuja üheks oluliseks numbriliseks tunnuseks on ootus. Tutvustame juhuslike muutujate süsteemi mõistet. Vaatleme juhuslike muutujate kogumit, mis on sama juhusliku katse tulemused. Kui on üks süsteemi võimalikest väärtustest, siis vastab sündmus teatud tõenäosusele, mis rahuldab Kolmogorovi aksioome. Funktsiooni, mis on määratletud juhuslike muutujate mis tahes võimalike väärtuste jaoks, nimetatakse ühisjaotusseaduseks. See funktsioon võimaldab teil arvutada mis tahes sündmuste tõenäosused. Eelkõige ühine seadus juhuslike muutujate jaotus, mis võtavad väärtused hulgast ja, on antud tõenäosustega.

Mõiste "matt. ootus” võttis kasutusele Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) ja sai alguse mõistest “väljamakse eeldatav väärtus”, mis ilmus esmakordselt 17. sajandil hasartmängude teoorias Blaise Pascali ja Christian Huygensi teostes. Esimese täieliku teoreetilise arusaama ja hinnangu sellele kontseptsioonile andis aga Pafnuti Lvovitš Tšebõšev (19. sajandi keskpaik).

Seadus juhuslike arvmuutujate jaotused (jaotusfunktsioon ja jaotusrida ehk tõenäosustihedus) kirjeldavad täielikult juhusliku suuruse käitumist. Kuid mitme ülesande puhul piisab, kui tead uuritava suuruse mõningaid arvulisi omadusi (näiteks selle keskmist väärtust ja võimalikku kõrvalekallet sellest), et vastata püstitatud küsimusele. Juhuslike muutujate peamised numbrilised karakteristikud on ootus, dispersioon, moodus ja mediaan.

Diskreetse juhusliku muutuja matemaatiline ootus on selle võimalike väärtuste ja nende vastavate tõenäosuste korrutiste summa. Mõnikord matt. ootust nimetatakse kaalutud keskmiseks, kuna see on ligikaudu võrdne juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega suure hulga katsete jooksul. Ootusmati definitsioonist järeldub, et selle väärtus ei ole väiksem kui juhusliku suuruse väikseim võimalik väärtus ja mitte suurem kui suurim. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on mittejuhuslik (konstantne) muutuja.

Matemaatilisel ootusel on lihtne füüsikaline tähendus: kui massühik asetatakse sirgele, asetades teatud punktidesse massi (diskreetse jaotuse jaoks) või “määrides” seda teatud tihedusega (absoluutselt pideva jaotuse jaoks), siis mati ootusele vastav punkt on koordinaat "raskuskese" sirge.

Juhusliku muutuja keskmine väärtus on teatud arv, mis on justkui selle "esindaja" ja asendab selle ligikaudsetes arvutustes. Kui me ütleme: "lambi keskmine tööaeg on 100 tundi" või "keskmine löögipunkt on sihtmärgi suhtes nihutatud 2 m võrra paremale", osutame sellega juhusliku suuruse teatud arvulisele tunnusele, mis kirjeldab selle suurust. asukoht numbriteljel, s.o. positsiooni kirjeldus.

Olukorra tunnustest tõenäosusteoorias on kõige olulisem roll juhusliku suuruse ootusel, mida mõnikord nimetatakse lihtsalt juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks.

Vaatleme juhuslikku muutujat X, millel on võimalikud väärtused x1, x2, …, xn tõenäosustega p1, p2, …, pn. Peame mõne numbriga iseloomustama juhusliku suuruse väärtuste asukohta x-teljel võttes arvesse et nendel väärtustel on erinevad tõenäosused. Sel eesmärgil on loomulik kasutada väärtuste nn "kaalutud keskmist". xi, ja iga väärtust xi tuleks keskmistamise ajal arvesse võtta selle väärtuse tõenäosusega võrdelise "kaaluga". Seega arvutame juhusliku suuruse keskmise X, mida me tähistame M|X|:

Seda kaalutud keskmist nimetatakse juhusliku suuruse matootuseks. Seega võtsime vaatluse alla ühe kõige olulisema tõenäosusteooria mõiste – mati mõiste. ootustele. Mat. Juhusliku muutuja ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutiste summa.

Mat. juhusliku suuruse ootus X omapärase sõltuvuse tõttu suure arvu katsetega juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilisest keskmisest. See sõltuvus on sama tüüpi kui sageduse ja tõenäosuse vaheline sõltuvus, nimelt: suure arvu katsete korral läheneb juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (tõenäosusega läheneb) selle matile. ootamas. Sageduse ja tõenäosuse vahelise seose olemasolust võib järeldada sarnase seose olemasolu aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel. Tõepoolest, kaaluge juhuslikku muutujat X, mida iseloomustab jaotuste seeria:

Las toodetakse N sõltumatud katsed, millest igaühes on väärtus X omandab teatud väärtuse. Oletame, et väärtus x1 ilmunud m1 korda, väärtust x2 ilmunud m2 korda, üldine tähendus xi ilmus mi korda. Arvutame X vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmise, mis erinevalt ootusmattidest M|X| me tähistame M*|X|:

Eksperimentide arvu suurenemisega N sagedused pi läheneb (tõenäosuses läheneb) vastavatele tõenäosustele. Seetõttu on juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine M|X| katsete arvu suurenemisega läheneb see (tõenäosus läheneb) oma ootustele. Eespool sõnastatud seos aritmeetilise keskmise ja mati vahel. ootus on suurte arvude seaduse ühe vormi sisu.

Teame juba, et suurte arvude seaduse kõik vormid kinnitavad tõsiasja, et teatud keskmised on paljude katsete puhul stabiilsed. Siin räägime sama väärtusega vaatluste rea aritmeetilise keskmise stabiilsusest. Väikese arvu katsete korral on nende tulemuste aritmeetiline keskmine juhuslik; katsete arvu piisava suurenemisega muutub see "peaaegu mitte juhuslikuks" ja stabiliseerudes läheneb konstantsele väärtusele - mat. ootamas.

Paljude katsete keskmiste stabiilsuse omadust on lihtne katseliselt kontrollida. Näiteks laboris täpsetel kaaludel suvalist keha kaaludes saame kaalumise tulemusena iga kord uue väärtuse; vaatlusvea vähendamiseks kaalume keha mitu korda ja kasutame saadud väärtuste aritmeetilist keskmist. On hästi näha, et katsete (kaalumiste) arvu edasisel suurenemisel reageerib aritmeetiline keskmine sellele tõusule üha vähem ja piisavalt suure katsete arvu korral praktiliselt lakkab muutumast.

Tuleb märkida, et juhusliku suuruse asukoha kõige olulisem tunnus on mat. ootus – ei eksisteeri kõigi juhuslike muutujate puhul. Sellistest juhuslikest suurustest on võimalik tuua näiteid, mille jaoks mat. ootus puudub, kuna vastav summa või integraal lahkneb. Kuid praktika jaoks ei paku sellised juhtumid märkimisväärset huvi. Tavaliselt on juhuslikel muutujatel, millega me tegeleme, piiratud võimalike väärtuste vahemik ja loomulikult on neil teatud ootused.

Lisaks kõige olulisematele juhusliku suuruse asukoha tunnustele - ootusväärtusele - kasutatakse praktikas mõnikord ka muid positsiooni tunnuseid, eelkõige juhusliku suuruse moodust ja mediaani.

Juhusliku muutuja moodus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mõiste "kõige tõenäolisem väärtus" kehtib rangelt võttes ainult katkendlike koguste kohta; pideva suuruse puhul on moodus väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne. Joonistel on näidatud vastavalt katkendlike ja pidevate juhuslike muutujate režiim.

Kui jaotuspolügoonil (jaotuskõveral) on rohkem kui üks maksimum, siis öeldakse, et jaotus on polümodaalne.

Mõnikord on distributsioone, mille keskel on mitte maksimum, vaid miinimum. Selliseid jaotusi nimetatakse "antimodaalseteks".

Üldjuhul juhusliku suuruse mood ja ootus ei lange kokku. Erijuhul, kui jaotus on sümmeetriline ja modaalne (st omab režiimi) ja on olemas matt. ootus, siis langeb see kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.

Sageli kasutatakse teist positsiooni tunnust - juhusliku suuruse nn mediaani. Seda tunnust kasutatakse tavaliselt ainult pidevate juhuslike muutujate jaoks, kuigi seda saab formaalselt määratleda ka katkendliku muutuja jaoks. Geomeetriliselt on mediaan selle punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga piiratud ala poolitatakse.

Sümmeetrilise modaaljaotuse korral langeb mediaan matiga kokku. ootus ja mood.

Matemaatiline ootus on keskmine väärtus, juhuslik muutuja – juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse arvtunnus. Kõige üldisemalt juhusliku suuruse matootus X(w) on defineeritud kui Lebesgue'i integraal tõenäosusmõõdu suhtes R algses tõenäosusruumis:

Mat. ootust saab arvutada ka Lebesgue'i integraalina X tõenäosusjaotuse järgi px kogused X:

Loomulikul viisil saab defineerida lõpmatu ootusega juhusliku suuruse mõiste. Tüüpiline näide on mõne juhusliku jalutuskäigu puhul repatrieerimise ajad.

Mati abil. ootusi defineerivad paljud jaotuse numbrilised ja funktsionaalsed karakteristikud (juhusliku suuruse vastavate funktsioonide matemaatilise ootusena), näiteks genereeriv funktsioon, tunnusfunktsioon, mis tahes järku momendid, eelkõige dispersioon, kovariatsioon.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Matemaatiline ootus on juhusliku muutuja väärtuste asukoha tunnus (selle jaotuse keskmine väärtus). Selles funktsioonis toimib matemaatiline ootus mõne "tüüpilise" jaotusparameetrina ja selle roll on sarnane staatilise momendi - massijaotuse raskuskeskme koordinaadi - rolliga mehaanikas. Teistest asukoha tunnustest, mille abil jaotust kirjeldatakse üldsõnaliselt - mediaanid, moodused, erineb ootus selle suurema väärtuse poolest, mis sellel ja vastaval hajuvuskarakteristikul - dispersioonil - tõenäosusteooria piirteoreemides on. Suurima täielikkusega paljastavad ootusmattide tähenduse suurte arvude seadus (Tšebõševi ebavõrdsus) ja tugevdatud suurte arvude seadus.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus

Olgu mõni juhuslik muutuja, mis võib võtta ühe mitmest arvväärtusest (näiteks võib täringuviske punktide arv olla 1, 2, 3, 4, 5 või 6). Sageli tekib praktikas sellise väärtuse puhul küsimus: millist väärtust see "keskmiselt" võtab suure hulga testide korral? Kui suur on meie keskmine tulu (või kahjum) igast riskantsest toimingust?

Oletame, et on mingi loterii. Tahame aru saada, kas selles osalemine (või isegi korduvalt, regulaarselt) on tulus või mitte. Oletame, et iga neljas pilet võidab, auhind on 300 rubla ja iga pilet - 100 rubla. Lõpmatu arvu osaluste puhul see juhtubki. Kolmel neljandikul juhtudest me kaotame, iga kolme kaotuse eest tuleb maksta 300 rubla. Igal neljandal juhul võidame 200 rubla. (auhind miinus maksumus), see tähendab, et nelja osalemise korral kaotame keskmiselt 100 rubla, ühe eest - keskmiselt 25 rubla. Kokku tuleb meie vareme keskmine hind 25 rubla pileti kohta.

Viskame täringut. Kui see pole petmine (ilma raskuskeset nihutamata jne), siis mitu punkti meil keskmiselt korraga on? Kuna iga variant on võrdselt tõenäoline, siis võtame lolli aritmeetilise keskmise ja saame 3,5. Kuna see on KESKMINE, siis ei maksa pahandada, et ükski konkreetne vise 3,5 punkti ei anna - no ei ole sellel kuubil sellise numbriga nägu!

Nüüd võtame oma näited kokku:

Vaatame üleval olevat pilti. Vasakul on juhusliku suuruse jaotuse tabel. X väärtus võib võtta ühe n võimalikust väärtusest (antud ülemises reas). Muid väärtusi ei saa olla. Iga võimaliku väärtuse all on allpool märgitud selle tõenäosus. Paremal on valem, kus M(X) nimetatakse matiks. ootamas. Selle väärtuse tähendus seisneb selles, et suure arvu katsete korral (suure valimiga) kaldub keskmine väärtus just sellele ootusele.

Läheme tagasi sama mängukuubi juurde. Mat. punktide arvu ootus viskamisel on 3,5 (kui ei usu, arvuta ise valemiga). Oletame, et viskasid seda paar korda. Välja kukkusid 4 ja 6. Keskmiselt tuli välja 5 ehk kaugeltki mitte 3,5. Viskasid uuesti, 3 kukkus välja ehk siis keskmiselt (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Kuidagi kaugel matist. ootustele. Tee nüüd hull katse – veereta kuubikut 1000 korda! Ja kui keskmine ei ole täpselt 3,5, siis see on selle lähedal.

Loeme mat. oodates ülalkirjeldatud loterii. Tabel näeb välja selline:

Siis on ootuste matt, nagu oleme eespool kindlaks teinud.:

Teine asi on see, et see on ka "näppude peal", ilma valemita oleks raske, kui oleks rohkem võimalusi. Noh, oletame, et 75% kaotas pileteid, 20% võitis pileteid ja 5% võitis pileteid.

Nüüd mõned ootusmati omadused.

Mat. ootamine on lineaarne. Seda on lihtne tõestada:

Püsikordaja on lubatud matti märgist välja võtta. ootused, see tähendab:

See on ootusmattide lineaarsusomaduse erijuht.

Veel üks mati lineaarsuse tagajärg. ootused:

see on matt. juhuslike suuruste summa ootus on võrdne juhuslike suuruste matemaatiliste ootuste summaga.

Olgu X, Y sõltumatud juhuslikud muutujad, siis:

Seda on ka lihtne tõestada) XY ise on juhuslik muutuja, samas kui algväärtused võiksid võtta n ja m väärtused, siis XY võib võtta nm väärtusi. iga väärtus arvutatakse selle põhjal, et sõltumatute sündmuste tõenäosused on korrutatud. Selle tulemusena saame selle:

Pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus

Pidevatel juhuslikel muutujatel on selline tunnus nagu jaotustihedus (tõenäosustihedus). Tegelikult iseloomustab see olukorda, et juhuslik muutuja võtab mõned väärtused reaalarvude hulgast sagedamini, mõned - harvemini. Näiteks vaadake seda diagrammi:

Siin X- tegelikult juhuslik suurus, f(x)- jaotustihedus. Selle graafiku järgi otsustades katsete ajal väärtus X on sageli nullilähedane arv. võimalusi ületada 3 või olla vähem -3 pigem puhtalt teoreetiline.

Kui jaotustihedus on teada, otsitakse ootusmatti järgmiselt:

Olgu näiteks ühtlane jaotus:

Otsime mati. ootus:

See on üsna kooskõlas intuitiivse arusaamaga. Oletame, et kui saame palju ühtlase jaotusega juhuslikke reaalarve, siis iga segment |0; 1| , siis peaks aritmeetiline keskmine olema umbes 0,5.

Siin kehtivad ka diskreetsete juhuslike suuruste puhul rakendatavad ootusmattide omadused – lineaarsus jne.

Matemaatilise ootuse seos teiste statistiliste näitajatega

AT statistiline analüüs, koos mati ootusega, on olemas üksteisest sõltuvate näitajate süsteem, mis peegeldab nähtuste homogeensust ja stabiilsust protsessid. Tihti ei ole variatsiooninäitajatel iseseisvat tähendust ja neid kasutatakse andmete edasiseks analüüsiks. Erandiks on variatsioonikordaja, mis iseloomustab homogeensust andmeid mis on väärtuslik statistiline iseloomulik.

Muutuse või stabiilsuse aste protsessid statistikateaduses saab mõõta mitme näitaja abil.

Kõige olulisem iseloomustav näitaja varieeruvus juhuslik muutuja, on Dispersioon, mis on matiga kõige tihedamalt ja otsesemalt seotud. ootamas. Seda parameetrit kasutatakse aktiivselt muud tüüpi statistilises analüüsis (hüpoteeside testimine, põhjus-tagajärg seoste analüüs jne). Nagu keskmine lineaarne hälve, peegeldab dispersioon ka leviku mõõtu andmeid keskmise ümber.

Kasulik on tõlkida märkide keel sõnade keelde. Selgub, et dispersioon on hälvete keskmine ruut. See tähendab, et kõigepealt arvutatakse keskmine väärtus, seejärel võetakse iga algse ja keskmise väärtuse vahe, ruudustatakse, liidetakse ja jagatakse seejärel selle populatsiooni väärtuste arvuga. Erinevusühe väärtuse ja keskmise vahel peegeldab hälbe mõõtu. See on ruudus tagamaks, et kõik kõrvalekalded muutuksid eranditult positiivseteks numbriteks ja et vältida positiivsete ja negatiivsete kõrvalekallete vastastikust tühistamist nende summeerimisel. Seejärel arvutame ruudus hälbeid arvestades lihtsalt aritmeetilise keskmise. Keskmised – ruudus – kõrvalekalded. Kõrvalekalded ruudustatakse ja võetakse arvesse keskmist. Vastus võlusõnale "dispersioon" on vaid kolm sõna.

Kuid selle puhtal kujul, nagu näiteks aritmeetiline keskmine või , dispersiooni ei kasutata. See on pigem abi- ja vahenäitaja, mida kasutatakse muud tüüpi statistilise analüüsi jaoks. Tal pole isegi tavalist mõõtühikut. Valemi järgi otsustades on see algse andmeühiku ruut.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Mõõdame juhuslikku suurust N korda, näiteks mõõdame tuule kiirust kümme korda ja tahame leida keskmist väärtust. Kuidas on keskmine väärtus seotud jaotusfunktsiooniga?

Või viskame täringuid palju kordi. Punktide arv, mis täringule iga viske ajal langeb, on juhuslik suurus ja võib võtta mis tahes loomulikud väärtused vahemikus 1 kuni 6. N see kipub väga konkreetsele numbrile – mat. ootus Mx. Sel juhul Mx = 3,5.

Kuidas see väärtus tekkis? Laske sisse N katsumused n1 kui 1 punkt langeb, n2 korda - 2 punkti ja nii edasi. Seejärel tulemuste arv, mille puhul üks punkt langes:

Samamoodi ka tulemuste puhul, kui välja langesid 2, 3, 4, 5 ja 6 punkti.

Oletame nüüd, et teame juhusliku suuruse x jaotusi, st teame, et juhuslik suurus x võib võtta väärtused x1, x2,..., xk tõenäosustega p1, p2,... , pk.

Juhusliku suuruse x mati ootus Mx on:

Matemaatiline ootus ei ole alati mõne juhusliku muutuja mõistlik hinnang. Seega on keskmise palga hindamisel mõistlikum kasutada mediaani mõistet ehk sellist väärtust, et inimeste arv, kes saavad vähem kui mediaan palk ja suur, tikk.

Tõenäosus p1, et juhuslik suurus x on väiksem kui x1/2 ja tõenäosus p2, et juhuslik suurus x on suurem kui x1/2, on sama ja võrdne 1/2-ga. Mediaan ei ole kõigi jaotuste jaoks üheselt määratud.

Standard või standardhälve statistikas nimetatakse vaatlusandmete või kogumite kõrvalekalde astet KESKMISEST väärtusest. Tähistatakse s- või s-tähtedega. Väike standardhälve näitab, et andmed on rühmitatud keskmise ümber, ja suur standardhälve näitab, et algandmed on sellest kaugel. Standardhälve on võrdne suuruse, mida nimetatakse dispersiooniks, ruutjuurega. See on keskmisest kõrvalekalduvate algandmete ruudu erinevuste summa keskmine. Juhusliku muutuja standardhälve on dispersiooni ruutjuur:

Näide. Katsetingimustes sihtmärki tulistades arvutage juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve:

Variatsioon- tunnuse väärtuse kõikumine, varieeruvus üldkogumi ühikutes. Uuritavas populatsioonis esinevaid tunnuse eraldiseisvaid arvväärtusi nimetatakse väärtusvariantideks. Keskmise väärtuse ebapiisavus populatsiooni täielikuks iseloomustamiseks tingib vajaduse täiendada keskmisi väärtusi näitajatega, mis võimaldavad hinnata nende keskmiste tüüpilisust, mõõtes uuritava tunnuse kõikumist (variatsiooni). Variatsioonikoefitsient arvutatakse järgmise valemiga:

Laiuse variatsioon(R) on erinevuse tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahel uuritud populatsioonis. See näitaja annab kõige üldisema ettekujutuse uuritava tunnuse kõikumisest, nagu see näitab erinevus ainult variantide piirväärtuste vahel. Sõltuvus atribuudi äärmuslikest väärtustest annab variatsioonivahemikule ebastabiilse juhusliku iseloomu.

Keskmine lineaarne hälve on analüüsitud populatsiooni kõigi väärtuste absoluutsete (moodulite) kõrvalekallete aritmeetiline keskmine nende keskmisest väärtusest:

Matemaatiline ootus hasartmängude teoorias

Mat ootab keskmine rahasumma, mille hasartmänguspekulant võib antud panusega võita või kaotada. See on spekulandi jaoks väga oluline kontseptsioon, kuna see on enamiku mängusituatsioonide hindamisel põhiline. Kaaslaseootus on ka parim vahend põhiliste kaartide paigutuste ja mänguolukordade analüüsimiseks.

Oletame, et mängite sõbraga münti, tehes iga kord võrdse 1-dollarilise panuse, olenemata sellest, mis juhtub. Sabad – võitsid, pead – kaotasid. Tõenäosus, et see langeb, on üks ühele ja panustate $1 kuni $1. Seega on teie mattiootus null, sest matemaatiliselt öeldes ei saa sa teada, kas juhid või kaotad pärast kahte viset või pärast 200.

Teie tunnikasum on null. Tunni väljamakse on rahasumma, mille loodate ühe tunni jooksul võita. Saate ühe tunni jooksul münti visata 500 korda, kuid te ei võida ega kaota sellepärast teie koefitsiendid ei ole positiivsed ega negatiivsed. Kui vaadata, siis tõsise spekulandi seisukohalt pole selline tariifide süsteem halb. Aga see on lihtsalt aja raiskamine.

Kuid oletame, et keegi soovib samas mängus panustada 2 dollarit teie 1 dollari vastu. Siis on sul kohe positiivne ootus 50 senti igalt panuselt. Miks 50 senti? Keskmiselt võidad ühe panuse ja kaotad teise. Panusta esimesele ja kaota 1 dollar, panusta teisele ja võida 2 dollarit. Olete panustanud kaks korda 1 dollari ja olete 1 dollariga ees. Nii et iga teie ühe dollari panus andis teile 50 senti.

Kui münt kukub ühe tunni jooksul 500 korda, on teie tunnikasum juba 250 dollarit, sest. keskmiselt kaotasid ühe dollarit 250 korda ja võitis kaks dollarit 250 korda. $500 miinus $250 võrdub $250, mis on koguvõit. Pange tähele, et eeldatav väärtus, mis on summa, mille ühe panusega keskmiselt võidate, on 50 senti. Võitsite 250 dollarit, panustades ühe dollari 500 korda, mis võrdub 50 sendiga teie panusest.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Mat. ootustel pole lühiajaliste tulemustega mingit pistmist. Teie vastane, kes otsustas teie vastu 2 dollarit panustada, võis teid võita esimesel kümnel viskel järjest, kuid teie 2-1 panustamise eelisega, kui kõik muu on võrdne, teete 50 senti iga 1-dollarise panuse eest mis tahes korral. asjaolud. Pole vahet, kas võidad või kaotad ühe panuse või mitu panust, vaid ainult tingimusel, et sul on piisavalt raha kulude hõlpsaks hüvitamiseks. Kui jätkate panustamist samal viisil, lähenevad teie võidud pikema aja jooksul eeldatavate väärtuste summale üksikutes veeredes.

Iga kord, kui teete parima panuse (panus, mis võib olla pikas perspektiivis kasumlik), kui koefitsiendid on teie kasuks, võidate sellel kindlasti midagi, olenemata sellest, kas kaotate selle antud jaotuses või mitte. Ja vastupidi, kui tegite halvema panuse (pikemas perspektiivis kahjumlik panus), kui koefitsiendid pole teie kasuks, kaotate midagi, olenemata sellest, kas võidate või kaotate käe.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Panustate parima tulemusega, kui teie ootused on positiivsed, ja see on positiivne, kui koefitsiendid on teie kasuks. Kui panustate halvima tulemusega, on teil negatiivne ootus, mis juhtub siis, kui koefitsiendid on teie vastu. Tõsised spekulandid panustavad ainult parima tulemusega, halvima tulemusega - nad loobuvad. Mida tähendab koefitsient teie kasuks? Võite lõpuks võita rohkem, kui tegelik koefitsient toob. Tegelik saba tabamise koefitsient on 1:1, kuid panuste suhte tõttu saate 2:1. Sel juhul on tõenäosus teie kasuks. Parima tulemuse saate kindlasti positiivse ootusega 50 senti panuse kohta.

Siin on keerulisem näide. ootustele. Sõber kirjutab üles numbrid ühest viieni ja panustab 5 dollarit teie 1 dollari vastu, et te ei vali numbrit. Kas olete sellise kihlveoga nõus? Mis on siin ootus?

Keskmiselt eksite neli korda. Selle põhjal on tõenäosus, et te arvu arvate 4:1. Tõenäosus on, et kaotate ühe dollari ühe katsega. Küll aga võidad 5:1, võimalusega kaotada 4:1. Seetõttu on koefitsiendid sinu kasuks, võid panuse vastu võtta ja loota parimale tulemusele. Kui teete selle panuse viis korda, kaotate keskmiselt neli korda 1 dollari ja võidate üks kord 5 dollarit. Selle põhjal teenite kõigi viie katse eest 1 dollari positiivse matemaatilise ootusega 20 senti panuse kohta.

Spekulant, kes võidab rohkem, kui ta panustab, nagu ülaltoodud näites, püüab koefitsiente püüda. Ja vastupidi, ta rikub võimalusi, kui loodab võita vähem, kui ta panustab. Kihlveospekulandil võivad olla positiivsed või negatiivsed ootused olenevalt sellest, kas ta püüab kinni või rikub koefitsiente.

Kui panustate 50 dollariga, et võita 10 dollarit võiduvõimalusega 4:1, on teil negatiivne ootus 2 dollarit, sest keskmiselt võidate neli korda 10 dollarit ja kaotate ühe korra 50 dollarit, mis näitab, et kaotus panuse kohta on 10 dollarit. Aga kui panustate 30 dollariga, et võita 10 dollarit sama võidukoefitsiendiga 4:1, siis sel juhul on teil positiivne ootus 2 dollarit, sest võidate jälle neli korda 10 dollarit ja kaotate üks kord 30 dollarit, mis on kasumit 10 dollari juures. Need näited näitavad, et esimene panus on halb ja teine ​​hea.

Mat. ootus on iga mänguolukorra keskpunkt. Kui kihlvedude vahendaja julgustab jalgpallifänne panustama 11 dollarile, et võita 10 dollarit, on neil positiivne ootus 50 senti iga 10 dollari kohta. Kui kasiino maksab Craps passi realt isegi raha välja, siis on maja positiivne ootus ligikaudu 1,40 $ iga 100 $ kohta; see mäng on üles ehitatud nii, et kõik, kes sellele reale panustavad, kaotavad keskmiselt 50,7% ja võidavad 49,3% ajast. Kahtlemata toob just see pealtnäha minimaalne positiivne ootus tohutut kasumit kasiinoomanikele üle maailma. Nagu Vegas Worldi kasiinoomanik Bob Stupak märkis: "Tuhandik protsenti negatiivne tõenäosus piisavalt pika vahemaa tagant viib maailma rikkaima mehe pankrotti.

Matemaatiline ootus pokkerit mängides

Pokkerimäng on kõige illustreerivam ja illustreerivam näide ootemati teooria ja omaduste kasutamisest.

Mat. Oodatav väärtus pokkeris – keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab kaaluda suurte numbrite ja pika vahemaa teooria raames. Edukas pokker seisneb selles, et võetakse alati positiivse matemaatilise ootusega liigutused vastu.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Matemaatiline tähendus. ootus pokkerit mängides seisneb selles, et otsuse langetamisel puutume sageli kokku juhuslike muutujatega (me ei tea, millised kaardid on vastasel käes, millised kaardid tulevad järgmistel voorudel kaubandus). Peame käsitlema iga lahendust suurte arvude teooria seisukohast, mis ütleb, et piisavalt suure valimi korral kaldub juhusliku suuruse keskmine väärtus oma keskmisele.

Konkreetsetest ootusmattide arvutamise valemitest on pokkeris kõige enam kasutatav järgmine:

Pokkerimatti mängides. ootust saab arvutada nii panuste kui ka kõnede puhul. Esimesel juhul tuleks arvesse võtta fold equity'i, teisel juhul panga enda koefitsiente. Mati hindamisel. selle või teise käigu ootus, tuleb meeles pidada, et fold on alati nulli ootusega. Seega on kaartide äraviskamine alati tulusam otsus kui mis tahes negatiivne samm.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Ootus ütleb teile, mida võite oodata (või kaotada) iga võetud riski puhul. Kasiinod teenivad raha sest matki ootus kõikidest mängudest, mida neis harrastatakse, on kasiino kasuks. Piisavalt pika mänguseeria puhul võib eeldada, et klient kaotab oma raha sest "tõenäosus" on kasiino kasuks. Professionaalsed kasiinospekulandid aga piiravad oma mänge lühikeste perioodidega, suurendades seeläbi koefitsiente enda kasuks. Sama kehtib ka investeerimise kohta. Kui teie ootused on positiivsed, võite teenida rohkem raha, tehes lühikese aja jooksul palju tehinguid. periood aega. Ootus on teie kasumi protsent võidu kohta, mis on korrutatud teie keskmise kasumiga, millest lahutatakse teie kaotuse tõenäosus korrutatuna teie keskmise kahjumiga.

Pokkerit saab vaadata ka matti mõistes. Võite eeldada, et teatud käik on tulus, kuid mõnel juhul ei pruugi see olla parim, sest mõni teine ​​käik on tulusam. Oletame, et tabasite viie kaardi tõmbepokkeris täismaja. Sinu vastane panustab. Teate, et kui olete valmis, siis ta helistab. Seega tundub tõstmine olevat parim taktika. Kui aga panust tõstad, siis ülejäänud kaks spekulanti kindlasti loobuvad. Aga kui maksate panuse, olete täiesti kindel, et teised kaks spekulanti pärast teid teevad sama. Panuse tõstmisel saad ühe ühiku ja lihtsalt callides - kaks. Seega annab helistamine teile suurema positiivse eeldatava väärtuse ja on parim taktika.

Mat. ootamine võib anda aimu ka sellest, millised pokkeritaktikad on vähem tulusad ja millised tulusamad. Näiteks kui mängite kindlat kätt ja arvate, et teie keskmine kaotus on 75 senti koos antega, siis peaksite seda jaotust mängima, sest see on parem kui voltimine, kui ante on $1.

Veel üks oluline põhjus mati olemuse mõistmiseks. Eeldatakse, et see annab teile meelerahu, kas võitsite panuse või mitte: kui tegite hea panuse või loobusite õigel ajal, teate, et olete teeninud või säästnud teatud rahasumma, mida nõrgem spekulant võiks ei salvesta. Märksa raskem on loobuda, kui oled pettunud, et vastasel on loosimisel parem käsi. Kõige selle juures lisandub teie öö või kuu võitudele see, mida säästate panustamise asemel mitte mängides.

Pidage meeles, et kui vahetate kätt, helistab vastane teile ja nagu näete pokkeri alusteoreemi artiklist, on see vaid üks teie eelistest. Peaksite rõõmustama, kui see juhtub. Võite isegi õppida kaotatud kätt nautima, sest teate, et teised spekulandid teie asemel kaotaksid palju rohkem.

Nagu alguses mündimängu näites mainitud, on tunnikasumi suhe seotud matemaatika ootusega ning see kontseptsioon on eriti oluline professionaalsete spekulantide jaoks. Kui kavatsete pokkerit mängida, peate vaimselt hindama, kui palju võite mängutunni jooksul võita. Enamikul juhtudel peate tuginema oma intuitsioonile ja kogemustele, kuid võite kasutada ka matemaatilisi arvutusi. Näiteks kui mängite lowballi loosimist ja näete, et kolm mängijat panustavad 10 dollarit ja tõmbavad seejärel kaks kaarti, mis on väga halb taktika, saate ise arvutada, et iga kord, kui nad panustavad 10 dollarit, kaotavad nad umbes 2 dollarit. Igaüks neist teeb seda kaheksa korda tunnis, mis tähendab, et kõik kolm kaotavad umbes 48 dollarit tunnis. Olete üks ülejäänud neljast spekulandist, mis on ligikaudu võrdsed, nii et need neli spekulanti (ja teie nende seas) peavad jagama 48 dollarit ja igaüks teenib 12 dollarit tunnis kasumit. Teie tunnitasu on sel juhul lihtsalt teie osa kolme halva spekulandi poolt tunni jooksul kaotatud rahast.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Pika aja jooksul on spekulandi kogukasum tema matemaatiliste ootuste summa eraldi jaotustes. Mida rohkem sa mängid positiivsete ootustega, seda rohkem sa võidad ja vastupidi, mida rohkem käsi mängid negatiivse ootusega, seda rohkem sa kaotad. Selle tulemusena peaksite eelistama mängu, mis võib teie positiivseid ootusi maksimeerida või negatiivseid ootusi ümber lükata, et saaksite oma tunnikasumit maksimeerida.

Positiivne matemaatiline ootus mängustrateegias

Kui tead, kuidas kaarte lugeda, võib sul olla kasiino ees eelis, kui nad ei märka ja sind välja ei löö. Kasiinod armastavad purjus spekulante ja vihkavad kaardilugejaid. Eelis võimaldab teil võita rohkem kordi kui kaotada aja jooksul. Hea rahahaldus, kasutades mattiarvutusi, aitab teil oma eelistest rohkem kasu saada ja kaotusi vähendada. Ilma eeliseta on parem raha heategevuseks anda. Mängus börsil annab eelise mängu süsteem, mis loob rohkem kasumit kui kahjumit, vahe hinnad ja komisjonitasud. Mitte ühtegi kapitali juhtimine ei päästa halba mängusüsteemi.

Positiivne ootus on defineeritud nullist suurema väärtusega. Mida suurem see arv, seda tugevam on statistiline ootus. Kui väärtus on väiksem kui null, siis ka ootus on negatiivne. Mida suurem on negatiivse väärtuse moodul, seda halvem on olukord. Kui tulemus on null, siis on ootus nullist. Võita saab ainult siis, kui sul on positiivne matemaatiline ootus, mõistlik mängusüsteem. Intuitsioonile mängimine viib katastroofini.

Matemaatiline ootus ja

Matemaatiline ootus on finantsturgudel börsikauplemise rakendamisel üsna laialt nõutud ja populaarne statistiline näitaja. turud. Esiteks kasutatakse seda parameetrit edu analüüsimiseks kaubandus. Pole raske arvata, et mida suurem on see väärtus, seda rohkem on põhjust pidada uuritavat tehingut edukaks. Muidugi analüüs tööd kauplejat ei saa teha ainult selle parameetri abil. Arvutatud väärtus aga koos teiste kvaliteedi hindamise meetoditega tööd, võib oluliselt parandada analüüsi täpsust.

Tihti arvutatakse kauplemiskonto monitooringu teenustes matootus, mis võimaldab kiiresti hinnata hoiuse kallal tehtud tööd. Erandina võime nimetada strateegiaid, mis kasutavad kaotavate tehingute "ülejäämist". Kauplejaõnn võib teda mõnda aega saada ja seetõttu ei pruugi tema töös üldse kaotusi tekkida. Sel juhul ei saa orienteeruda ainult ootuse järgi, sest töös kasutatavaid riske ei võeta arvesse.

Kauplemisel turul mat ootust kasutatakse kõige sagedamini kauplemisstrateegia tasuvuse ennustamisel või tulude prognoosimisel kaupleja tema eelmise statistika põhjal pakkumine.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Seoses rahahaldusega on väga oluline mõista, et negatiivse ootusega tehingute tegemisel puudub skeem juhtimine raha, mis võib kindlasti tuua suurt kasumit. Kui jätkate mängimist Börs nendel tingimustel, olenemata meetodist juhtimine raha, kaotate kogu oma konto, olenemata sellest, kui suur see alguses oli.

See aksioom ei kehti mitte ainult negatiivsete ootustega mängude või tehingute puhul, vaid ka paariskoefitsientidega mängude puhul. Seetõttu on ainus juhtum, kus teil on võimalus pikemas perspektiivis kasu saada, kui sõlmite tehinguid positiivse matemaatilise ootusega.

Erinevus negatiivse ootuse ja positiivse ootuse vahel on erinevus elu ja surma vahel. Pole tähtis, kui positiivne või negatiivne ootus on; oluline on see, kas see on positiivne või negatiivne. Seetõttu enne juhtimisküsimuste kaalumist kapitali peate leidma positiivsete ootustega mängu.

Kui teil seda mängu pole, ei päästa teid ükski rahahaldus maailmas. Teisest küljest, kui teil on positiivne ootus, siis on õige rahahalduse abil võimalik muuta see eksponentsiaalseks kasvufunktsiooniks. Pole tähtis, kui väike on positiivne ootus! Ehk siis pole vahet, kui tulus on ühel lepingul põhinev kauplemissüsteem. Kui teil on süsteem, mis võidab ühe tehingu pealt 10 dollarit lepingu kohta (pärast vahendustasusid ja libisemist), saate kasutada juhtimistehnikaid kapitali viisil, mis muudab selle tulusamaks kui süsteem, mis näitab keskmiselt 1000 dollari suurust kasumit tehingu kohta (pärast tasusid ja libisemist).

Tähtis pole see, kui tulus süsteem oli, vaid see, kui kindlalt saab väita, et süsteem näitab tulevikus vähemalt minimaalset kasumit. Seetõttu on kõige olulisem ettevalmistus, mida saab teha, veenduda, et süsteem näitaks tulevikus positiivset oodatavat väärtust.

Et omada tulevikus positiivset eeldatavat väärtust, on väga oluline mitte piirata oma süsteemi vabadusastmeid. See saavutatakse mitte ainult optimeeritavate parameetrite kõrvaldamise või vähendamisega, vaid ka võimalikult paljude süsteemireeglite vähendamisega. Iga lisatav parameeter, iga tehtud reegel, iga väike muudatus süsteemis vähendab vabadusastmete arvu. Ideaalis soovite ehitada üsna primitiivse ja lihtsa süsteemi, mis tooks pidevalt väikest kasumit peaaegu igal turul. Jällegi on oluline mõista, et süsteemi kasumlikkusel pole vahet, kui see on kasumlik. mida teenite kauplemisel, teenite tõhusa rahahalduse kaudu.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Kauplemissüsteem on lihtsalt tööriist, mis annab teile positiivse matemaatilise ootuse, et rahahaldust saaks kasutada. Süsteemid, mis töötavad (näitavad vähemalt minimaalset kasumit) ainult ühel või mõnel turul või millel on erinevate turgude jaoks erinevad reeglid või parameetrid, ei tööta suure tõenäosusega kaua reaalajas. Enamiku tehniliste kauplejate probleem seisneb selles, et nad kulutavad liiga palju aega ja vaeva kauplemissüsteemi erinevate reeglite ja parameetrite optimeerimisele. See annab täiesti vastupidised tulemused. Selle asemel, et raisata energiat ja arvutiaega kauplemissüsteemi kasumi suurendamisele, suunake oma energia minimaalse kasumi saamise usaldusväärsuse taseme tõstmisele.

Teades seda kapitali juhtimine- see on lihtsalt numbrimäng, mis nõuab positiivsete ootuste kasutamist, kaupleja võib lõpetada börsil kauplemise "püha graali" otsimise. Selle asemel võib ta hakata testima oma kauplemismeetodit, uurida, kui loogiline see meetod on, kas see annab positiivseid ootusi. Õiged rahahaldusmeetodid, mida rakendatakse mis tahes, isegi väga keskpäraste kauplemismeetodite puhul, teevad ülejäänud töö ära.

Et iga kaupleja oleks oma töös edukas, peab ta lahendama kolm kõige olulisemat ülesannet: Tagada, et edukate tehingute arv ületaks vältimatuid vigu ja valearvestusi; Seadistage oma kauplemissüsteem nii, et raha teenimise võimalus oleks võimalikult sageli; Saavutage oma operatsioonide stabiilne positiivne tulemus.

Ja siin, meile, töötavatele kauplejatele, võib matt olla heaks abiks. ootus. See termin tõenäosusteoorias on üks võtmetähtsusega. Selle abil saate anda mõne juhusliku väärtuse keskmise hinnangu. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on sarnane raskuskeskmega, kui kujutada kõiki võimalikke tõenäosusi erineva massiga punktidena.

Seoses kauplemisstrateegiaga kasutatakse selle tõhususe hindamiseks kõige sagedamini kasumi (või kahjumi) ootust. See parameeter on määratletud kui antud kasumi- ja kahjumitasemete produktide ja nende esinemise tõenäosuse summa. Näiteks eeldatakse väljatöötatud kauplemisstrateegias, et 37% kõigist tehingutest toovad kasumit ja ülejäänud - 63% - on kahjumlikud. Samas keskmine tulu edukast tehingust on 7 dollarit ja keskmine kahjum on 1,4 dollarit. Arvutame mati. sellise süsteemiga kauplemise ootus:

Mida see number tähendab? Seal on kirjas, et selle süsteemi reegleid järgides saame igalt suletud tehingult keskmiselt 1,708 dollarit. Kuna saadud efektiivsusskoor on suurem kui null, saab sellist süsteemi kasutada reaalseks tööks. Kui mati arvutamise tulemusena osutub ootus negatiivseks, siis see viitab juba keskmisele kaotusele ja see toob kaasa hävingu.

Kasumi suurust tehingu kohta saab väljendada ka suhtelise väärtusena % kujul. Näiteks:

Sissetuleku protsent 1 tehingu kohta - 5%;

Edukate kauplemistoimingute protsent - 62%;

Kahjumi protsent 1 tehingu kohta - 3%;

Ebaõnnestunud tehingute osakaal - 38%;

Sel juhul mat. ootus on:

See tähendab, et keskmine tehing toob 1,96%.

Võimalik on välja töötada süsteem, mis hoolimata kaotavate tehingute ülekaalust annab positiivse tulemuse, kuna selle MO>0.

Siiski ei piisa ainult ootamisest. Raha on raske teenida, kui süsteem annab väga vähe kauplemissignaale. Sel juhul on see võrreldav pangaintressiga. Iga toiming toogu keskmiselt sisse vaid 0,5 dollarit, aga mis siis, kui süsteem eeldab 1000 tehingut aastas? See on suhteliselt lühikese aja jooksul väga tõsine summa. Sellest järeldub loogiliselt, et hea kauplemissüsteemi teiseks tunnuseks võib pidada lühikest hoidmisperioodi.

Allikad ja lingid

dic.academic.ru - akadeemiline veebisõnastik

mathematics.ru - matemaatikat käsitlev haridussait

nsu.ru - Novosibirski Riikliku Ülikooli haridusveebisait

webmath.ru - haridusportaal üliõpilastele, taotlejatele ja koolilastele.

exponenta.ru hariduslik matemaatiline sait

ru.tradimo.com – tasuta veebipõhine kauplemiskool

crypto.hut2.ru - multidistsiplinaarne teabeallikas

poker-wiki.ru - tasuta pokkeri entsüklopeedia

sernam.ru – valitud loodusteaduslike publikatsioonide teaduslik raamatukogu

reshim.su – veebisait

unfx.ru – Forex UNFX-is: koolitus, kauplemissignaalid, usalduse haldamine

- - matemaatiline ootus Juhusliku suuruse üks arvulisi tunnuseid, mida sageli nimetatakse selle teoreetiliseks keskmiseks. Diskreetse juhusliku suuruse X korral matemaatiline ... ... Tehnilise tõlkija käsiraamat

OODATUD VÄÄRTUS- (oodatav väärtus) Majandusmuutuja jaotuse keskmine väärtus, mida see võib võtta. Kui pt on kauba hind ajahetkel t, tähistatakse selle matemaatilist ootust Ept-ga. Et näidata ajahetke, milleni ... ... Majandussõnastik

Oodatud väärtus- juhusliku suuruse keskmine väärtus. Matemaatiline ootus on deterministlik suurus. Juhusliku suuruse realisatsioonide aritmeetiline keskmine on matemaatilise ootuse hinnang. Keskmine… … Ametlik terminoloogia on juhusliku suuruse (keskväärtus) juhusliku suuruse numbriline tunnus. Kui tõenäosusruumil antud juhuslik suurus (vt Tõenäosusteooria), siis selle M. o. MX (või EX) on defineeritud kui Lebesgue'i integraal: kus... Füüsiline entsüklopeedia

OODATUD VÄÄRTUS- juhuslik suurus on selle arvuline tunnus. Kui juhuslikul suurusel X on jaotusfunktsioon F(x), siis selle M. o. tahe: . Kui X jaotus on diskreetne, siis М.о.: , kus x1, x2, ... on diskreetse juhusliku suuruse X võimalikud väärtused; p1 ... Geoloogiline entsüklopeedia

OODATUD VÄÄRTUS- Inglise. oodatud väärtus; saksa keel Erwartung matemaatika. Juhusliku suuruse stohhastiline keskmine ehk dispersioonikese. Antinazi. Sotsioloogia entsüklopeedia, 2009 ... Sotsioloogia entsüklopeedia

Oodatud väärtus- Vaata ka: Tingimuslik ootus Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskväärtus, tõenäosusteoorias käsitletakse juhusliku suuruse tõenäosusjaotust. Ingliskeelses kirjanduses ja matemaatilises ... ... Vikipeedias

Oodatud väärtus- 1,14 matemaatiline ootus E (X), kus diskreetse juhusliku suuruse xi väärtused; p = P (X = xi); f(x) on pideva juhusliku muutuja tihedus * Kui see avaldis eksisteerib absoluutse konvergentsi tähenduses Allikas ... Normatiivse ja tehnilise dokumentatsiooni terminite sõnastik-teatmik

Raamatud

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Veebileht weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. Okei

- poiste arv 10 vastsündinu hulgas.

On üsna selge, et see arv pole ette teada ja järgmise kümne jooksul võib sündida:

Või poisid - üks ja ainus loetletud valikutest.

Ja vormis hoidmiseks väike kehaline kasvatus:

- kaugushüppe kaugus (mõnedes ühikutes).

Seda ei oska isegi spordimeister ette ennustada :)

Samas, millised on teie hüpoteesid?

2) Pidev juhuslik muutuja – võtab kõik arvväärtused mõnest lõplikust või lõpmatust vahemikust.

Märge : õppekirjanduses on populaarsed lühendid DSV ja NSV

Esiteks analüüsime diskreetset juhuslikku muutujat, seejärel - pidev.

Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus

- See vastavus selle suuruse võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste vahel. Enamasti on seadus kirjutatud tabelisse:

Mõiste on üsna levinud rida levitamine, kuid mõnes olukorras kõlab see mitmetähenduslikult ja seetõttu pean ma "seadusest" kinni.

Ja nüüd väga oluline punkt: kuna juhuslik suurus tingimata võtab vastu üks väärtustest, siis moodustuvad vastavad sündmused täisgrupp ja nende esinemise tõenäosuste summa on võrdne ühega:

või, kui see on volditud:

Näiteks täringul olevate punktide tõenäosuste jaotuse seadus on järgmisel kujul:

Kommentaarid puuduvad.

Teile võib jääda mulje, et diskreetne juhuslik muutuja võib omandada ainult "häid" täisarvulisi väärtusi. Hajutame illusiooni – need võivad olla ükskõik millised:

Näide 1

Mõnel mängul on järgmine väljamaksete jaotamise seadus:

...ilmselt oled sellistest ülesannetest juba ammu unistanud :) Annan sulle saladuse - mina ka. Eriti pärast töö lõpetamist väljateooria.

Otsus: kuna juhuslik muutuja võib võtta ainult ühe kolmest väärtusest, moodustuvad vastavad sündmused täisgrupp, mis tähendab, et nende tõenäosuste summa on võrdne ühega:

Me paljastame "partisani":

– seega on kokkuleppeliste ühikute võitmise tõenäosus 0,4.

Kontroll: mida peate veenduma.

Vastus:

Ei ole harvad juhud, kui jaotusseadus tuleb koostada iseseisvalt. Selle kasutuse jaoks klassikaline tõenäosuse määratlus, sündmuste tõenäosuste korrutamise / liitmise teoreemid ja muud kiibid tervera:

Näide 2

Karbis on 50 loteriipiletit, millest 12 on võidukad ja 2 neist võidavad igaüks 1000 rubla ja ülejäänud - igaüks 100 rubla. Koostage juhusliku suuruse jaotusseadus - võidu suurus, kui kastist on juhuslikult välja tõmmatud üks pilet.

Otsus: nagu märkasite, on tavaks paigutada juhusliku suuruse väärtused kasvavas järjekorras. Seetõttu alustame väikseimate võitudega, nimelt rubladega.

Kokku on selliseid pileteid 50 - 12 = 38 ja vastavalt klassikaline määratlus:
on tõenäosus, et juhuslikult loositud pilet ei võida.

Ülejäänud juhtumid on lihtsad. Tõenäosus rublade võitmiseks on:

Kontrollimine: - ja see on selliste ülesannete jaoks eriti meeldiv hetk!

Vastus: nõutav väljamaksete jaotamise seadus:

Järgmine ülesanne iseseisvaks otsuseks:

Näide 3

Tõenäosus, et laskur tabab sihtmärki, on . Tee juhuslikule suurusele jaotusseadus – tabamuste arv pärast 2 lööki.

... ma teadsin, et sa igatsed teda :) Mäletame korrutamise ja liitmise teoreemid. Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Jaotusseadus kirjeldab juhuslikku muutujat täielikult, kuid praktikas on kasulik (ja mõnikord kasulikum) sellest ainult osa teada. numbrilised omadused .

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus

Lihtsamalt öeldes, see keskmine eeldatav väärtus korduva testimisega. Laske juhuslikul muutujal võtta väärtused tõenäosustega vastavalt. Siis on selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus võrdne tööde summa kõik selle väärtused vastavate tõenäosustega:

või volditud kujul:

Arvutame näiteks juhusliku suuruse matemaatilise ootuse – täringule langenud punktide arvu:

Tuletagem nüüd meelde oma hüpoteetilist mängu:

Tekib küsimus: kas seda mängu on üldse tasuv mängida? ... kellel on muljeid? Nii et te ei saa öelda "välispidiselt"! Kuid sellele küsimusele saab hõlpsasti vastata matemaatilise ootuse arvutamisega, sisuliselt - kaalutud keskmine võidu tõenäosus:

Seega selle mängu matemaatiline ootus kaotamas.

Ära usalda muljeid – usalda numbreid!

Jah, siin võib võita 10 või isegi 20-30 korda järjest, aga pikas perspektiivis oleme paratamatult laos. Ja ma ei soovitaks sul selliseid mänge mängida :) No võib-olla ainult lõbu pärast.

Kõigest eelnevast järeldub, et matemaatiline ootus EI OLE JUHUSLIK väärtus.

Loominguline ülesanne iseseisvaks uurimistööks:

Näide 4

Hr X mängib Euroopa ruletti järgmise süsteemi järgi: ta panustab pidevalt 100 rubla punasele. Koostage juhusliku suuruse jaotuse seadus - selle tasuvus. Arvutage matemaatiline võiduootus ja ümardage see kopikateks. Kui palju keskmine kas mängija kaotab iga saja panuse eest?

Viide : Euroopa rulett sisaldab 18 punast, 18 musta ja 1 rohelist sektorit ("null"). "Punase" väljalangemise korral makstakse mängijale topeltpanus, vastasel juhul läheb see kasiino tuludesse

On palju muid ruletisüsteeme, mille jaoks saate luua oma tõenäosustabeleid. Aga see on nii, kui me ei vaja mingeid jaotusseadusi ja tabeleid, sest on kindel, et mängija matemaatiline ootus on täpselt sama. Muutused ainult süsteemiti

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on kõigi selle võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutiste summa.

Olgu juhuslik suurus, mille tõenäosused on vastavalt võrdsed, siis määratakse juhusliku suuruse matemaatiline ootus võrdsusega

Kui diskreetne juhuslik suurus võtab loendatava hulga võimalikke väärtusi, siis

Veelgi enam, matemaatiline ootus on olemas, kui võrdsuse paremal poolel olevad jadad lähenevad absoluutselt.

kommenteerida. Definitsioonist järeldub, et diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on mittejuhuslik (konstantne) muutuja.

Matemaatilise ootuse definitsioon üldjuhul

Defineerime sellise juhusliku suuruse matemaatilise ootuse, mille jaotus ei pruugi olla diskreetne. Alustame mittenegatiivsete juhuslike muutujate juhtumist. Idee on lähendada diskreetsete abil selliseid juhuslikke suurusi, mille jaoks on matemaatiline ootus juba määratud, ja seada matemaatiline ootus võrdseks seda lähendavate diskreetsete juhuslike suuruste matemaatiliste ootuste piiriga. Muide, see on väga kasulik üldidee, mis seisneb selles, et lihtsate objektide jaoks määratakse esmalt mõni omadus, seejärel aga keerukamate objektide puhul, lähendades neid lihtsamatele.

Lemma 1. Olgu suvaline mittenegatiivne juhuslik suurus. Siis on diskreetsete juhuslike muutujate jada selline, et

Tõestus. Jagame pooltelje võrdseteks pikkusteks segmentideks ja defineerime

Siis tulenevad juhusliku suuruse definitsioonist kergesti omadused 1 ja 2 ning

Lemma 2. Olgu mittenegatiivne juhuslik suurus ja kaks diskreetsete juhuslike suuruste jada omadustega 1-3 Lemmast 1. Seejärel

Tõestus. Pange tähele, et mittenegatiivsete juhuslike muutujate puhul lubame

Atribuudi 3 järgi on lihtne näha, et on olemas positiivsete arvude jada, nii et

Sellest järeldub

Kasutades diskreetsete juhuslike suuruste matemaatiliste ootuste omadusi, saame

Üleminek piirini, kui saame Lemma 2 väite.

Definitsioon 1. Olgu mittenegatiivne juhuslik suurus, diskreetsete juhuslike suuruste jada omadustega 1-3 Lemmast 1. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on arv

Lemma 2 garanteerib, et see ei sõltu lähendava jada valikust.

Olgu nüüd suvaline juhuslik muutuja. Teeme kindlaks

Definitsioonist ja sellest järeldub kergesti

Definitsioon 2. Suvalise juhusliku suuruse matemaatiline ootus on arv

Kui vähemalt üks selle võrrandi paremal küljel olevatest arvudest on lõplik.

Ootuste omadused

Omadus 1. Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga:

Tõestus. Käsitleme konstanti diskreetse juhusliku muutujana, millel on üks võimalik väärtus ja mis võtab selle tõenäosusega, seetõttu

Märkus 1. Diskreetse juhusliku suuruse konstantse väärtuse korrutis määratleme diskreetse juhusliku suuruse, mille võimalikud väärtused on võrdsed konstandi korrutistega võimalike väärtuste järgi; võimalike väärtuste tõenäosused on võrdsed vastavate võimalike väärtuste tõenäosustega. Näiteks kui võimaliku väärtuse tõenäosus on võrdne, siis on ka tõenäosus, et väärtus saab väärtuse, võrdne

Omadus 2. Ootusmärgist võib välja võtta konstantse teguri:

Tõestus. Olgu juhuslik suurus antud tõenäosusjaotuse seadusega:

Arvestades 1. märkust, kirjutame juhusliku suuruse jaotuse seaduse

Märkus 2. Enne järgmise omaduse juurde asumist juhime tähelepanu sellele, et kahte juhuslikku muutujat nimetatakse sõltumatuks, kui neist ühe jaotusseadus ei sõltu sellest, milliseid võimalikke väärtusi teine ​​muutuja on võtnud. Vastasel juhul on juhuslikud suurused sõltuvad. Mitmeid juhuslikke muutujaid nimetatakse üksteisest sõltumatuteks, kui nende suvalise arvu jaotusseadused ei sõltu sellest, milliseid võimalikke väärtusi teised muutujad on võtnud.

Märkus 3. Määratleme sõltumatute juhuslike suuruste korrutise ja juhusliku suurusena, mille võimalikud väärtused on võrdsed iga võimaliku väärtuse korrutisega korrutise võimalike väärtuste tõenäosuste iga võimaliku väärtusega on võrdsed tegurite võimalike väärtuste tõenäosuste korrutistele. Näiteks kui võimaliku väärtuse tõenäosus on, võimaliku väärtuse tõenäosus on siis võimaliku väärtuse tõenäosus on

Omadus 3. Kahe sõltumatu juhusliku muutuja korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega:

Tõestus. Olgu sõltumatud juhuslikud muutujad antud nende endi tõenäosusjaotuse seadustega:

Koostage kõik väärtused, mida juhuslik suurus võib võtta. Selleks korrutame kõik võimalikud väärtused iga võimaliku väärtusega; selle tulemusena saame ja, võttes arvesse märkust 3, kirjutame jaotusseaduse, eeldades lihtsuse huvides, et toote kõik võimalikud väärtused on erinevad (kui see nii ei ole, siis teostatakse tõendamine sarnaselt):

Matemaatiline ootus võrdub kõigi võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutistega:

Tagajärg. Mitme üksteisest sõltumatu juhusliku muutuja korrutise matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega.

Omadus 4. Kahe juhusliku suuruse summa matemaatiline ootus on võrdne terminite matemaatiliste ootuste summaga:

Tõestus. Olgu juhuslikud muutujad ja antud järgmiste jaotusseadustega:

Koguse kõigi võimalike väärtuste koostamine Selleks lisage iga võimalik väärtus igale võimalikule väärtusele; saame Lihtsuse mõttes Oletame, et need võimalikud väärtused on erinevad (kui see nii ei ole, siis toimub tõestus sarnaselt) ja tähistame nende tõenäosusi vastavalt ja

Väärtuse matemaatiline ootus on võrdne võimalike väärtuste korrutiste summaga nende tõenäosuste järgi:

Tõestame, et sündmusega, mis seisneb väärtuse võtmises (selle sündmuse tõenäosus on võrdne), kaasneb sündmus, mis seisneb väärtuse või võtmises (selle sündmuse tõenäosus on liitmise teoreemiga võrdne) ja vastupidi. Siit järeldub, et võrdsused

Asendades nende võrduste õiged osad suhtega (*), saame

või lõpuks

Dispersioon ja standardhälve

Praktikas on sageli vaja hinnata juhusliku suuruse võimalike väärtuste hajumist selle keskmise väärtuse ümber. Näiteks suurtükiväes on oluline teada, kui lähedalt mürsud tabatava sihtmärgi lähedale langevad.

Esmapilgul võib tunduda, et kõige lihtsam viis hajumist hinnata on arvutada kõik võimalikud juhusliku suuruse hälbe väärtused ja seejärel leida nende keskmine väärtus. See tee ei anna aga midagi, kuna hälbe keskmine väärtus, s.o. iga juhusliku muutuja puhul on null. See omadus on seletatav asjaoluga, et mõned võimalikud kõrvalekalded on positiivsed, teised aga negatiivsed; nende vastastikuse tühistamise tulemusena on hälbe keskmine väärtus null. Need kaalutlused näitavad, kui otstarbekas on asendada võimalikud kõrvalekalded nende absoluutväärtuste või ruutudega. Nii nad seda praktikas teevad. Tõsi, juhul, kui võimalikud kõrvalekalded asendatakse nende absoluutväärtustega, tuleb opereerida absoluutväärtustega, mis mõnikord toob kaasa tõsiseid raskusi. Seetõttu lähevad nad enamasti teist teed, st. arvutada ruudu hälbe keskmine väärtus, mida nimetatakse dispersiooniks.