Euklidov algoritam - pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja. Matematika Sviđa mi se Euklidov algoritam za izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja

07.07.2020

U predgovoru svom prvom izdanju, U carstvu domišljatosti (1908), E. I. Ignatiev piše: Rezultati su pouzdani samo kada je uvod u oblast matematičkog znanja napravljen na lak i prijatan način, na predmetima i primjerima svakodnevnih i svakodnevnih situacija, odabranim sa odgovarajućom duhovitošću i zabavom.

U predgovoru izdanja iz 1911. godine “Uloga pamćenja u matematici”, E.I. Ignatiev piše "...u matematici ne treba pamtiti formule, već proces mišljenja."

Da biste izdvojili kvadratni korijen, postoje tablice kvadrata za dvocifrene brojeve, možete rastaviti broj na proste faktore i izvući kvadratni korijen iz proizvoda. Tablica kvadrata nije dovoljna, izdvajanje korijena faktoringom je dugotrajan zadatak, koji također ne dovodi uvijek do željenog rezultata. Pokušajte izvući kvadratni korijen broja 209764? Dekompozicija na proste faktore daje proizvod 2 * 2 * 52441. Probom i greškom, odabirom - to se, naravno, može učiniti ako ste sigurni da je to cijeli broj. Način na koji želim da predložim omogućava vam da uzmete kvadratni koren u svakom slučaju.

Jednom u institutu (Permski državni pedagoški institut) upoznali smo se sa ovom metodom, o kojoj sada želim da pričam. Nikada nisam razmišljao da li ova metoda ima dokaz, pa sam sada morao sam da izvedem neke dokaze.

Osnova ove metode je sastav broja =.

=&, tj. &2=596334.

1. Podijelite broj (5963364) u parove s desna na lijevo (5`96`33`64)

2. Izvlačimo kvadratni korijen prve grupe lijevo ( - broj 2). Tako dobijamo prvu cifru broja &.

3. Pronađite kvadrat prve znamenke (2 2 \u003d 4).

4. Pronađite razliku između prve grupe i kvadrata prve cifre (5-4=1).

5. Rušimo sljedeće dvije cifre (dobili smo broj 196).

6. Udvostručimo prvu pronađenu figuru, zapišemo je lijevo iza crte (2*2=4).

7. Sada morate pronaći drugu cifru broja &: udvostručena prva cifra koju smo pronašli postaje cifra desetice broja, kada se pomnoži sa brojem jedinica, trebate dobiti broj manji od 196 ( ovo je broj 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 je druga znamenka &.

8. Pronađite razliku (196-176=20).

9. Rušimo sljedeću grupu (dobijamo broj 2033).

10. Udvostručite broj 24, dobijamo 48.

11,48 desetica u broju, kada se pomnoži sa brojem jedinica, trebali bismo dobiti broj manji od 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Broj jedinica koje smo pronašli (4) je treća znamenka broja &.

Dokaz sam dao za slučajeve:

1. Izdvajanje kvadratnog korijena trocifrenog broja;

2. Izdvajanje kvadratnog korijena četverocifrenog broja.

Približne metode za vađenje kvadratnog korijena (bez korištenja kalkulatora).

1. Stari Babilonci su koristili sljedeću metodu da pronađu približnu vrijednost kvadratnog korijena njihovog x broja. Predstavili su broj x kao zbir a 2 + b, gdje je a 2 najbliži x tačan kvadrat prirodnog broja a (a 2 ? x), i koristili su formulu . (1)

Koristeći formulu (1), izvlačimo kvadratni korijen, na primjer, iz broja 28:

Rezultat vađenja korijena od 28 pomoću MK 5.2915026.

Kao što vidite, babilonska metoda daje dobru aproksimaciju tačne vrijednosti korijena.

2. Isak Newton je razvio metodu kvadratnog korijena koja datira još od Herona od Aleksandrije (oko 100. godine nove ere). Ova metoda (poznata kao Newtonova metoda) je sljedeća.

Neka bude a 1- prva aproksimacija broja (kao 1, možete uzeti vrijednosti kvadratnog korijena prirodnog broja - tačan kvadrat koji ne prelazi X) .

Sljedeća, preciznija aproksimacija a 2 brojevi pronađen po formuli .

Veličina: px

Započni utisak sa stranice:

transkript

1 PREDAVANJE 2 IZRAČUNANJE NAJVEĆEG ZAJEDNIČKOG DIJELA Euklidov algoritam Kada se radi sa velikim složenim brojevima, njihova dekompozicija na proste faktore, po pravilu, nije poznata. Ali za mnoge primijenjene probleme teorije brojeva, potraga za faktoriranjem broja je važan, koji se često susreće u praksi. U teoriji brojeva postoji relativno brz način izračunavanja gcd dva broja, koji se naziva Euklidov algoritam. Algoritam 1. Euklidov algoritam. Ulaz. Cijeli brojevi a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0, Euklid algoritam se zaustavlja i broj d koji proizvodi je najveći zajednički djelitelj brojeva a i b. Dokaz. Prema teoremi dijeljenja s ostatkom, za bilo koji i 1 imamo r i 1 = q i r i + r i+1, gdje je 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0 ograničeno odozdo. Takav niz ne može biti beskonačan, stoga se Euklidov algoritam zaustavlja. Euklidov binarni algoritam Ispostavilo se da je Euklidov binarni GCD algoritam brži kada se ovo implementira

2 algoritma na računaru, jer koristi binarni prikaz brojeva a i b. Binarni Euklid algoritam zasniva se na sljedećim svojstvima najvećeg zajedničkog djelitelja (pretpostavljamo da je 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, tada je gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) ako je a = b, onda je gcd(a, b) = a. Algoritam 2. Binarni Euklidov algoritam. Ulaz. Cijeli brojevi a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >b. Tada postoje cijeli brojevi x i y takvi da je d = ax + by. Drugim riječima, gcd dva broja može biti predstavljen u

3 kao linearna kombinacija ovih brojeva sa cjelobrojnim koeficijentima. Algoritam 3. Šema proširenog Euklidovog algoritma. 1. Odrediti = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b. 2. Neka je broj q količnik broja a podijeljenog brojem b, a broj r ostatak dijeljenja ovih brojeva (tj. a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = x i-1 ; = tq; // = x i za desnu stranu = x i+1 za desnu stranu; //t = y i-1 ; = tq; 5. Vratite se na korak Odredite x = x 0, y = y 0, d = αx + βy. Varijanta proširenog Euklidovog algoritma Log. Cijeli brojevi a, b; 0< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 izračunato algoritmom, pokazuje sljedeća teorema. Teorema 4. Na svakoj iteraciji algoritma 3, jednakost ax i + by i = r i je zadovoljena, za i 0. Dokaz. Koristimo se metodom matematičke indukcije. Za i = 0 i i = 1, tražena jednakost vrijedi zbog koraka 1 algoritma 3. Pretpostavimo da je to tačno za i 1 i za i. Tada u koraku 3 dobijamo x i+1 = x i 1 x i i y i+1 = y i 1 y i. Dakle, ax i+1 + po i+1 = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + po i 1 (ax i + po i) = r i 1 r i = r i+1 . Primjer. Dato je a = 1769, b = 551. Koristeći prošireni Euklidski algoritam, pronađite cijele brojeve x i y takve da je d = ax + by, gdje je d gcd brojeva a i b. I faza redosleda proračuna. 1. Odrediti = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = količnik q = a / b = 1769/551 = 3, a ostatak dijeljenja r = 116. a = 551; b = 116; t = =0: = t q = 1 0 = 1 = 0; = t q = 3; sljedeće međuvrijednosti

5 parametara: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Pošto je ostatak dijeljenja r 0, vraćamo se na korak 2. Faza II sekvence proračuna. 1. Vrijednost parametra: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = količnik q = a/b = 551/116 = 4, a ostatak r = 87. a = 116; b = 87; t == 0; =1: = t q = = 4 = 3; = t q = 1 (3) 4 = 13; sljedeće međuvrijednosti parametara: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Pošto je ostatak dijeljenja r 0, vraćamo se na korak 2. Faza III računske sekvence . 1. Vrijednost parametara: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = količnik q = a/b = 116/87 = 1, a ostatak r = 29.

6 a = 87; b = 29; t = = 4: = t q = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = t q = 3 (13) 1 = 16; sljedeće međuvrijednosti parametara: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Pošto je ostatak dijeljenja r 0, vraćamo se na korak 2. Faza IV računske sekvence . 1. Vrijednost parametra: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = količnik q = a/b = 87/29 = 3, a ostatak r = 0. a = 87; b = 29; t == 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = t q = 13 (16) 3 = 61; sljedeće međuvrijednosti parametara: a= 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Pošto je ostatak dijeljenja r = 0, izvodimo korak 6.

7 6. Izračunajte GCD koristeći formulu d = αx + βy, gdje je x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α= 1769, β = 551. Zamjenom vrijednosti parametara dobijamo d = αx + βy = = = 29 Prošireni Euklid algoritam se također može implementirati u binarnom obliku. Algoritam 4. Prošireni binarni Euklid algoritam. Ulaz. Cijeli brojevi a, b; 0< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Rješenje jednadžbi u cijelim brojevima Linearne jednadžbe. Metoda direktnog nabrajanja Primjer. Zečevi i fazani sjede u kavezu. Imaju ukupno 8 nogu. Saznajte koliko je tih i drugih u ćeliji. Navedite sva rješenja. Odluka.

Lekcija 7 Broj d se naziva najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva a i b ako (1) d a i d b, a također (2) za sve x iz x a i x b slijedi x d. U ovom slučaju pišemo d = (a, b). Lema 1. Za bilo koje brojeve

Predmet. Osnove osnovne teorije brojeva i primjene - Teorijska građa. Skup modulo ostataka, svojstva kongruencija. Neka biti prirodan broj veći od . Sa Z označavamo skup svih klasa

Ugra Fizičko-matematički licej VP Čuvakov OSNOVE TEORIJE BROJEVA Bilješke s predavanja (0)(mod) (0)(mod) Prirodni brojevi N, - skup prirodnih brojeva koji se koriste za brojanje ili nabrajanje

Poglavlje 2 Cjelobrojni, racionalni i realni brojevi 2.. Cjelobrojni brojevi Brojevi, 2, 3,... nazivaju se prirodnim. Skup svih prirodnih brojeva označava se sa N, tj. N = (,2,3,...). Brojevi..., 3, 2,0,2,3,...

Konačni razlomci Konačni razlomci Definicija Izraz oblika a 0 + a + a + + a m gdje se a 0 Z a a m N a m N/() naziva kontinuirani razlomak, a m je dužina nastavljenog razlomka a 0 a a m će biti nazivaju koeficijenti kontinuiranog razlomka

PREDAVANJE 1 NEKI ELEMENTI TEORIJE BROJEVA

Gorbačov NE Polinomi u jednoj varijabli Rješavanje jednačina stepena Koncept polinoma Aritmetičke operacije nad polinomima Dep A polinom (polinom) th stepena u odnosu na varijablu

Djeljivost cijelih brojeva Broj a je djeljiv brojem b (ili b dijeli a) ako postoji takav broj c da je a = bc U ovom slučaju, broj c se naziva količnik dijeljenja a sa b. Oznaka: a - a je djeljiv sa b ili ba b dijele

PREDAVANJE 12 POREĐENJA DRUGOG STEPENA NA JEDNOSTAVNOM MODULARNOM I KVADRATNOM OSTATKU Opšti oblik poređenja drugog stepena po modulu p ima oblik (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p. Pronalaženje rješenja za poređenje (1)

Instrukcije, rješenja, odgovori JEDNAČINE U CIJELOM BROJU. Jednačina sa jednom nepoznatom. Rješenje. Stavimo to u jednačinu. Dobijamo jednakost (4a b 4) (a b 8) 0. Jednakost A B 0, gdje su A i B cijeli brojevi, je zadovoljena,

Algebarski polinomi. 1 Algebarski polinomi stepena n nad poljem K Definicija 1.1 Polinom stepena n, n N (0), u promenljivoj z nad brojevnim poljem K je izraz oblika: fz = a n z n

Predavanje Kvadratični ostaci i neostatci Predavač: Nyu Zolotykh Snimio: E Zamaraeva?? Septembar 00 Sadržaj Kvadratični ostaci i neostatci Legendrov simbol Svojstva Legendrovog simbola Kvadratni zakon reciprociteta

Državna obrazovna ustanova Internat "Intelektualni" prirodni brojevi kao linearna kombinacija sa cjelobrojnim koeficijentima"

Matematička analiza Sekcija: Neodređeni integral Tema: Integracija racionalnih razlomaka Predavač Pakhomova E.G. 0 5. Integracija racionalnih razlomaka DEFINICIJA. Racionalni razlomak se zove

4 Teorija brojeva 4 Cijeli brojevi 7 Definicija Neka, b Z Zatim dijeli b ako postoji cijeli broj takav da b (označeno sa b) 73 Teorema (podjela s ostatkom) Ako, b Z i b, onda postoje takvi cijeli brojevi

Matematička analiza Sekcija: Neodređeni integral Tema: Integracija racionalnih razlomaka Predavač Rozhkova S.V. 0 5. Integracija racionalnih razlomaka DEFINICIJA. Racionalni razlomak se zove

009-00 račun godine. 6, 9 ćelija. Matematika. Elementi teorije brojeva. 4. Izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja i najmanjeg zajedničkog višekratnika Zadržimo zapis iz pasusa. Za prirodni broj n, oznaka n

PRIMIJENJENA ALGEBRA. Dio I: Konačna polja (Galoisova polja). I 1 / 67 Dio I Konačna polja (Galois polja). PRIMIJENIO SAM ALGEBRU. Dio I: Konačna polja (Galoisova polja). I 2 / 67 Polja ostatka po modulu proste

5 Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima U rješavanju čak i tako jednostavnih jednadžbi kao što je linearna jednadžba s jednom nepoznatom, postoje neke posebnosti ako su koeficijenti jednadžbe cijeli brojevi, a to je potrebno

Laboratorijski rad 8 Izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja za dva broja pomoću Euklidovog algoritma

Odjeljak 1. Matematičke osnove kriptografije 1 Definicija polja Konačno polje GF q (ili Galoisovo polje) je konačni proizvoljni skup elemenata sa specificiranim operacijama sabiranja i množenja između njih

XIX Međuregionalna olimpijada za učenike iz matematike i kriptografije Zadaci za 11. razred Rješenje 1. zadatka Prvo napominjemo da ako je N = pq, gdje su p i q prosti brojevi, onda je broj prirodnih brojeva manji od

Polinomi i njihovi korijeni 2018 Gushchina Elena Nikolaevna Definicija: Polinom stepena n n N je bilo koji izraz oblika: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., gdje je a & , a &+, a, a. R, a&

Predavanje 4. STANDARD AES. RIJNDAEL ALGORITAM. AES (Advnced Encrypton Stndrd) je novi standard šifriranja s jednim ključem koji je zamijenio DES standard. Rjndel algoritam (rajn-dal)

Polinomi i njihovi korijeni Definicija: Polinom stepena n (n N) je bilo koji izraz oblika: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, gdje je a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n vodeći koeficijent, a

1 Euklidov algoritam i njegova složenost Definicija 1. Zajednički djelitelj brojeva a i b je broj c takav da su c a i c b. Definicija 2. Najveći zajednički djelitelj brojeva a i b je njihov zajednički djelitelj,

PREDAVANJE 14 Izračunavanje kvadratnog korijena po modulu. Iz gornje teorije slijedi da ako je =, gdje su i prosti brojevi, grupa Z je izomorfna prostoru Z Z. Pošto izomorfizam čuva svojstva

PREDAVANJE 3 MODULARNI IZRAČUN KVADRATNIH KORENA Slučaj jednostavnog modula Razmotrimo poređenje x a mod p, () gdje je broj p prost, a cijeli broj a nije djeljiv sa p. Izračunavanje rješenja x ove jednačine je

Program diskretnog matematičkog kolokvijuma (glavni tok) Na početku kolokvijuma dobit ćete kartu koja sadrži tri pitanja: pitanje o definiciji, zadatak i pitanje za dokaz.

Shorov algoritam Yu. Lifshits. 1. decembar 005. Plan predavanja 1. Priprema (a) Faktoring brojeva (b) Kvantno računanje (c) Emulacija klasičnog računarstva. Simonov algoritam (a) Kvantni paralelizam

Iz istorije matematike Prva prilično obimna knjiga u kojoj je aritmetika predstavljena nezavisno od geometrije bila je Nikomahov Uvod u aritmetiku (okne).

Kratak uvod u početke osnovne teorije brojeva Denis Kirienko Ljetna škola računara, 1. januar 2009. Cjelobrojno dijeljenje Neka su data dva cijela broja a i b, b 0.

Tema 1-9: Polinomi. Konstrukcija prstena polinoma. Teorija djeljivosti. Derivat A. Ya. Ovsyannikov Uralski federalni univerzitet Institut za matematiku i računarstvo Odsjek za algebru i diskretno

Algebarske jednadžbe gdje je Definicija. Algebarska je jednadžba oblika 0, P() 0, neki realni brojevi. 0 0 U ovom slučaju varijabla se naziva nepoznata, a brojevi 0 nazivaju se

Predavanje 6 Elementi teorije brojeva 1 Zadatak. Nastavi niz brojeva 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 Integer Aritmetika Koristi cijele brojeve: Z = (, -2 , -1, 0,

Polinomi Polinom sa jednom promenljivom x stepena n je izraz oblika, gde su bilo koji brojevi, koji se nazivaju koeficijenti polinoma, a vodeći koeficijent polinoma se zove If umesto varijable

1 2 Sadržaj. 1. Uvod. 4-6 1.1. Sažetak...4 1.2. Problem 4 1.3. Svrha rada 5 1.4. Hipoteza..5 1.5. Predmet istraživanja... 5 1.6. Predmet proučavanja. 5 1.7. Novost... 5-6 1.8. Metode istraživanja...6

8.3, 8.4.2 razred, Matematika (udžbenik Makaričev) 2018-2019 akademska godina Tema modula „Cijeli brojevi. Deljivost brojeva. Stepen sa cjelobrojnim indikatorom ”Teorijski i praktični dio se provjerava na testu. TEMA Znam

Predavanje INTEGRACIJA RACIONALNIH RAZLOMKA Racionalni razlomci Integracija jednostavnih racionalnih razlomaka Dekompozicija racionalnog razlomka na proste razlomke Integracija racionalnih razlomaka Racionalni

Www.cryptolymp.ru XIX Međuregionalna olimpijada za školsku decu iz matematike i kriptografije (11. razred) Rješenje zadatka 1 Prvo, napominjemo da ako su N pq, gdje su p i q prosti brojevi, onda broj prirodnih brojeva,

Poglavlje Cjeli brojevi Teorija djeljivosti Cijeli brojevi se nazivaju brojevi, -3, -, -, 0, 3, ti prirodni brojevi, 3, 4, kao i nula i negativni brojevi -, -, -3, -4, skup svih cijelih brojeva je označeno sa

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Uralski državni ekonomski univerzitet Yu. 4. rev. i dodatne e-mail: [email protected],

(primjeri trigonometrijskog niza trigonometrijskih sistema - proširenje na interval [ -l; l ] za funkcije proizvoljnog perioda - nepotpuno proširenje niza u sinusima i kosinusima parnim i neparnim nastavcima)

Teorijska informatika II Predavanje 5. Cjelobrojni algoritmi: prošireni Euklidov algoritam, inverzni modul, eksponencijalni modul. Kriptografija javnog ključa, RSA protokol. Probabilistički

5. Bose-Chaudhury-Hokvingham kodovi Korektivna svojstva cikličkih kodova mogu se odrediti na osnovu dvije teoreme. Teorema 1. Za bilo koje m i t postoji ciklički kod dužine n = 2 m 1, sa višestrukim

MODULARNA ARITHMETIKA U nekim je aplikacijama zgodno izvoditi aritmetičke operacije nad cijelim brojevima datim u takozvanom modularnom prikazu.Ovaj prikaz pretpostavlja da cijeli broj

UPOTREBA MATEMATIKA 00 Koryanov A.G. Zadaci iz Brjanska Pošaljite komentare i prijedloge na: [email protected] JEDNAČINE I NEJEDNAČINE U CIJELIM BROJEVIMA (od obrazovnih do olimpijskih zadataka) Linearni

2.22. Izbacite zajednički faktor (n je prirodan broj) iz zagrada: 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Svaki broj je dodijeljen

PREDAVANJE 15 PROSTI BROJEVI Prirodni broj p veći od jedan naziva se prosti ako je djeljiv samo sa 1 i samim sobom. Teorema (Euklid). Skup prostih brojeva je beskonačan. Označiti sa π(x)

Tema 3. Elementi algebarske i analitičke teorije brojeva Teorijski materijal 1. Kontinuirani razlomci. Konačni nastavljeni razlomak je izraz a +, (1) gdje je a cijeli broj, a, i > 0, prirodni brojevi,

Http://vk.ucoz.et/ Operacije nad polinomima k a k Polinom (polinom) stepena k je funkcija oblika a, pri čemu su promenljiva, a numerički koeficijenti (=,.k) i. Može se uzeti u obzir bilo koji broj različit od nule

Penza državni pedagoški univerzitet nazvan po V. G. Belinsky M. V. Glebov V. F. Timerbulatova

Deljivost celih brojeva sa ostatkom Neka je m ceo broj, a n prirodan broj

Avdoshin S.M., Savelieva A.A. Algoritam za rješavanje sistema linearnih jednačina u prstenovima ostatka Razvijen je efikasan algoritam za rješavanje sistema linearnih jednačina u prstenovima rezidua, koji je po složenosti ekvivalentan

PRIMIJENJENA ALGEBRA. Dio I: Konačna polja (Galois polja) I 1 / 88 Dio I Konačna polja (Galois polja) I PRIMIJENILA ALGEBU. Dio I: Konačna polja (Galois polja) I 2 / 88 Polja ostatka po modulu prostog broja

5 Algebarske strukture 6 Definicija Binarna operacija na skupu S je preslikavanje S S u S

/E Elementi teorije brojeva i. Ročev 28. avgusta 2018. ..... 1 1.2 Najveći zajednički djelitelj .................................

Poglavlje Cjelobrojni, racionalni i realni brojevi. Podjela s ostatkom. Podijelite svaki od brojeva ±23, ±4 sa ostatkom sa svakim od brojeva ±5. 2. Pronađite sve pozitivne djelitelje broja 42. 3. Sada je 3 sata.

Diferencijalne jednadžbe predavanje 4 Jednačine u totalnim diferencijalima. Integrirajući faktor Predavač Anna Igorevna Sherstneva 9. Jednačine u totalnim diferencijalima Jednačina d + d = 14 naziva se jednačina

Predmet. Osnove osnovne teorije brojeva i primjene. Primitivni korijeni, indeksi. Teorijski materijal Neka su a, m prirodni koprosti brojevi i m, tada je, prema Ojlerovoj teoremi, a m)

Departman za matematiku i informatiku Elementi više matematike Obrazovno-metodički kompleks za studente srednjeg stručnog obrazovanja koji studiraju korišćenjem daljinskih tehnologija Modul Teorija granica Sastavio: vanr.

Odjeljak 2. Numeričke metode u kriptografiji Zadatak za samostalni rad Proučiti algoritme koji se široko koriste u kriptografiji. Elementi teorije brojeva: prošireni Euklidov algoritam;

Tematski plan je zasnovan na programskom materijalu 206-207. školske godine prema udžbeniku "Algebra 8", ur. A.G. Mordkovich, uzimajući u obzir preporučeni obavezni minimum sadržaja obrazovanja Tema

Predavanje 2. Osobine binomnih koeficijenata. Sumiranje i metoda generisanja funkcija (konačni slučaj). Polinomski koeficijenti. Procjene za binomne i polinomske koeficijente. Procjene iznosa

Razmotrimo ovaj algoritam na primjeru. Hajde da nađemo

1. korak. Broj ispod korijena dijelimo na dvije cifre (s desna na lijevo):

2. korak. Iz prvog lica izvlačimo kvadratni korijen, odnosno iz broja 65, dobijamo broj 8. Ispod prvog lica upisujemo kvadrat broja 8 i oduzimamo. Drugo lice (59) pripisujemo ostatku:

(broj 159 je prvi ostatak).

3. korak. Udvostručimo pronađeni korijen i zapišemo rezultat lijevo:

4. korak. U ostatku (159) odvojimo jednu cifru na desnoj strani, lijevo dobijemo broj desetica (jednako je 15). Zatim 15 podijelimo sa udvostručenom prvom cifrom korijena, odnosno sa 16, pošto 15 nije djeljivo sa 16, tada u količniku dobijemo nulu, koju zapisujemo kao drugu cifru korijena. Dakle, u količniku smo dobili broj 80, koji ponovo udvostručimo i rušimo sljedeće lice

(broj 15901 je drugi ostatak).

5. korak. U drugom ostatku odvajamo jednu cifru zdesna i rezultujući broj 1590 podijelimo sa 160. Rezultat (broj 9) zapisuje se kao treća znamenka korijena i dodjeljuje se broju 160. Dobijeni broj 1609 množi se sa 9 i nalazimo sljedeći ostatak (1420):

Dalje radnje se izvode u redoslijedu naznačenom u algoritmu (korijen se može izdvojiti sa potrebnim stepenom tačnosti).

Komentar. Ako je korijenski izraz decimalni razlomak, tada se njegov cijeli dio dijeli na dvije znamenke s desna na lijevo, razlomak se dijeli na dvije znamenke s lijeva na desno, a korijen se izdvaja prema navedenom algoritmu.

DIDAKTIČKI MATERIJAL

1. Uzmi kvadratni korijen broja: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Pozdrav čitateljima i posjetiteljima naše stranice!. U ovom dijelu ćemo analizirati različite algoritme, kao i njihovu implementaciju u Pascal-u.

Da biste savladali materijal današnje lekcije, trebat će vam znanje i.

Danas ćemo razmotriti tri algoritma (od pet) za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja dva cijela broja, od kojih su dva direktno povezana s imenom Euklida. Pogledaćemo još dva u sledećem odeljku.
Najveći zajednički djelitelj (gcd) dva broja a i b je najveći cijeli broj koji ih oba dijeli.
Primjer: gcd(25, 5) = 5; gcd(12, 18) = 6.

Algoritam pretraživanja

Počnimo sa d- najmanji od dva broja. Ovo je prvi očigledan kandidat za njihov najveći zajednički djelitelj. I onda, dok d ne podijeli oba broja, smanjujemo ga za jedan. Čim se osigura takva podjela, zaustavljamo smanjenje d.

Var a, b, d: cijeli broj; begin write("Unesite dva broja: "); readln(a, b); ako a< b then d:= a + 1 else d:= b + 1; {так как мы используем цикл с постусловием, необходимо минимальное значение увеличить на один, иначе цикл repeat, в силу своих конструктивных особенностей, не учтет это минимальное число и не сделает его кандидатом в НОД. Например, 5 и 25.} repeat d:= d - 1 until (a mod d = 0) and (b mod d = 0); write("NOD = ", d) end.

Okrenimo se ovom programu, na primjer, sa brojevima 30 i 18. Zatim će na putu do odgovora (broj 6) morati proći kroz brojeve: 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12 , 11, 10, 9, 8, 7 .6.

Euklidov algoritam "sa oduzimanjem"

Neka su a i b cijeli brojevi, tada su tačne sljedeće tvrdnje:

Svi zajednički djelitelji para a i b također su zajednički djelitelji para a - b, b;
Obrnuto, svi zajednički djelitelji para a - b i b su također zajednički djelitelji para a i b;
gcd(A, B) = gcd(A - B, B) ako je A > B;
gcd(A, 0) = A.

dokaz:

Ako je t proizvoljan zajednički djelitelj a i b, onda on također dijeli razliku a - b. Zaista, iz a = t * u i b = t * v slijedi da je a - b = t * u - t * v = t * (u - v). To jest, t je također zajednički djelitelj a - b i b.
Obrnuto, ako je t proizvoljan djelitelj, zajednički djelitelj a - b i b, onda on također dijeli njihov zbir a - b + b = a. Ovo se može dokazati analogno prethodnom. Stoga je t također zajednički djelitelj a i b.
Zaključujemo da se skup zajedničkih djelitelja a i b poklapa sa skupom djelitelja a - b i b. Konkretno, najveći zajednički djelitelji ovih parova također se poklapaju.
Najveći cijeli broj koji dijeli broj a je sam broj a. Broj 0 je djeljiv bilo kojim brojem. Stoga je najveći zajednički djelitelj a i 0 a.

Dokazana formula (3) nam omogućava da izračun najvećeg djelitelja jednog para svedemo na izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja drugog para, u kojem su brojevi već manji. Očigledna formula (4) nam daje do znanja kada treba stati.

Ukratko, Euklidov algoritam "sa oduzimanjem" bi bio sljedeći. Od većeg broja oduzimamo manji broj i zamjenjujemo veći s razlikom sve dok jedan od brojeva ne postane nula. Tada je preostali broj različit od nule najveći zajednički djelitelj.

Primjer. Neka je a = 82 i b = 60. GCD(82, 60) = GCD(22, 60) = GCD(22, 38) = GCD(22, 16) = GCD(6, 16) = GCD(6, 10) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(2, 2) = gcd(2, 0) = 2.

U pretposljednjem koraku algoritma, prije pojave 0, oba broja su jednaka, inače ne bi mogao nastati 0. Stoga ćemo u ovom trenutku izdvojiti GCD.

Blok dijagram Euklidovog algoritma "sa oduzimanjem".

Program

var a, b: cijeli broj; begin write("a = "); readln(a); write("b = "); readln(b); dok a<>b uradi ako je a > b onda a:= a - b else b:= b - a; writeln("NOD = ", a); kraj.

Euklidov algoritam sa "podjelom"

Neka su a i b cijeli brojevi, a r ostatak dijeljenja a sa b. Tada je gcd(a, b) = gcd(b, r).

Ova formula vam također omogućava da smanjite izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja jednog para brojeva na izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja drugog para brojeva.

Primjer. gcd(82, 60) = gcd(22, 60) = gcd(22, 16) = gcd(6, 16) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(0, 2) = 2 .

Var a, b: cijeli broj; begin write("a = "); readln(a); write("b = "); readln(b); dok (a<>0) i (b<>0) uradi ako a >= b onda a:= a mod b else b:= b mod a; napisati (a + b) kraj.

To je sve za danas! U narednim lekcijama naučit ćete još nekoliko modifikacija Euklidovog algoritma i načine za pronalaženje GCD.