Gravitatsiya bilan bajarilgan ish ga teng. Gravitatsiya ishi. Yerdan ko'tarilgan jismning potentsial energiyasi. Nazorat savollari va topshiriqlari

02.11.2019

Gravitatsiya ishi. tortishish kuchi R moddiy nuqta massasi t Yer yuzasiga yaqin doimiy, teng deb hisoblash mumkin mg

vertikal pastga yo'naltirilgan.

Ishlash LEKIN kuch R nuqtadan harakatda M 0 nuqtaga M

qayerda h = z 0 - z x - nuqtani tushirish balandligi.

Gravitatsiya ishi bu kuchning mahsulotiga va tushirish balandligiga (ish musbat) yoki ko'tarilish balandligiga (ish manfiy) tengdir. Gravitatsiya ishi nuqtalar orasidagi traektoriyaning shakliga bog'liq emas M 0 va M|, va agar bu nuqtalar bir-biriga to'g'ri kelsa, u holda tortishish ishi nolga teng bo'ladi (yopiq yo'l holati). Ballar bo'lsa, u ham nolga teng M 0 va M bir xil gorizontal tekislikda yotadi.

Elastiklikning chiziqli kuchining ishi. Chiziqli elastik kuch (yoki chiziqli tiklovchi kuch) Guk qonuniga muvofiq ta'sir qiluvchi kuchdir (63-rasm):

F = - bilanr,

qayerda r- kuch nolga teng bo'lgan statik muvozanat nuqtasidan ko'rib chiqilayotgan nuqtagacha bo'lgan masofa M; bilan- doimiy koeffitsient - qattiqlik koeffitsienti.

A=--().

Ushbu formula bo'yicha chiziqli elastik kuchning ishi hisoblanadi. Agar nuqta M 0 statik muvozanat nuqtasiga to'g'ri keladi O, shunday bo'lsa r 0 \u003d 0 va nuqtadan siljish bo'yicha kuchning ishi uchun O nuqtaga M bizda ... bor

Qiymat r- ko'rib chiqilayotgan nuqta va statik muvozanat nuqtasi orasidagi eng qisqa masofa. Biz uni l bilan belgilaymiz va deformatsiya deb ataymiz. Keyin

Chiziqli elastik kuchning statik muvozanat holatidan siljishdagi ishi doimo manfiy bo'lib, qattiqlik koeffitsienti va deformatsiya kvadratining yarmiga teng. Chiziqli elastik kuchning ishi siljish shakliga bog'liq emas va har qanday yopiq siljishdagi ish nolga teng. Ballar bo'lsa, u ham nolga teng Mo va M statik muvozanat nuqtasidan chegaralangan bir xil sharda yotadi.

Egri chiziqli harakatda o'zgaruvchan kuchning ishi.

Egri kesmada kuchning ishi

Qo'llash nuqtasi egri chiziqli traektoriya bo'ylab harakatlanadigan o'zgaruvchan kuchning ishini topishning umumiy holatini ko'rib chiqing. F o'zgaruvchan kuchning qo'llanilishi M nuqtasi ixtiyoriy uzluksiz egri chiziq bo'ylab harakatlansin. M nuqtaning cheksiz kichik siljishi vektori bilan belgilang. Bu vektor tezlik vektori bilan bir xil yo'nalishdagi egri chiziqqa tangensial yo'naltirilgan.

O'zgaruvchan F kuchning cheksiz kichik siljishdagi elementar ishi

ds F va vektorlarining skalyar mahsuloti deyiladi ds:

qayerda a- F va vektorlari orasidagi burchak ds

Ya'ni, kuchning elementar ishi kuch vektorlari modullari va cheksiz kichik siljishning ko'paytmasiga teng bo'lib, bu vektorlar orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytiriladi.

F kuch vektorini ikkita komponentga ajratamiz: - traektoriyaga tangens bo'ylab yo'naltirilgan - va - normal bo'ylab yo'naltirilgan. kuch chizig'i

nuqta harakatlanayotgan yoʻlga tangensga perpendikulyar boʻlib, uning ishi nolga teng. Keyin:

dA= Ftds.

dan egri chiziqning oxirgi kesimida o'zgaruvchan kuch F ishini hisoblash uchun a b ga qadar elementar ishning integralini hisoblash kerak:

Potentsial va kinetik energiya.

Potensial energiya P matketma-ket nuqta hisobga olinadimening kuch maydoni nuqtasi M qo'ng'iroq ish, kuchlar tomonidan amalga oshiriladila moddiy nuqtani nuqtadan ko'chirishda unga ta'sir qilishMboshlang'ich nuqtasigaM 0 , ya'ni

P = Umm 0

P = =-U=- U

S 0 doimiysi maydonning qaysi nuqtasi boshlang'ich sifatida tanlanganiga qarab, maydonning barcha nuqtalari uchun bir xil bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, potentsial energiya faqat ish nuqtalar orasidagi harakat shakliga bog'liq bo'lmagan potentsial kuch maydoni uchun kiritilishi mumkin. M va M 0 . Potensial bo'lmagan kuch maydoni potentsial energiyaga ega emas va u uchun kuch funktsiyasi mavjud emas.

dA = dU= -dP; LEKIN = U - U 0 = P 0 - P

Yuqoridagi formulalardan kelib chiqadiki P boshlang'ich nuqtani tanlashga bog'liq bo'lgan ixtiyoriy konstantagacha aniqlanadi, lekin bu ixtiyoriy doimiy potentsial energiya va bu kuchlarning ishi orqali hisoblangan kuchlarga ta'sir qilmaydi. Buni hisobga olgan holda:

P= - U+ const yoki P =- U.

Maydonning istalgan nuqtasidagi ixtiyoriy doimiygacha bo'lgan potentsial energiyani bir xil nuqtadagi kuch funktsiyasining minus belgisi bilan olingan qiymati sifatida aniqlash mumkin.

Kinetik energiya sistemaning barcha nuqtalarining kinetik energiyalari yig'indisiga teng bo'lgan skalyar qiymat T deyiladi:

Kinetik energiya tizimning ham translyatsion, ham aylanish harakatlariga xos xususiyatdir. Kinetik energiya skalyar miqdor va bundan tashqari, asosan ijobiydir. Shuning uchun u tizim qismlarining harakat yo'nalishlariga bog'liq emas va bu yo'nalishlardagi o'zgarishlarni tavsiflamaydi.

Keling, quyidagi muhim holatni ham ta'kidlaylik. Ichki kuchlar tizimning qismlariga o'zaro qarama-qarshi yo'nalishda ta'sir qiladi. Kinetik energiyaning o'zgarishiga tashqi va ichki kuchlarning ta'siri ta'sir qiladi.

Nuqtaning bir tekis harakati.

Nuqtaning bir tekis harakati- harakat, Krom kasat bilan. tezlanish ō t nuqta (to'g'ri chiziqli harakatda umumiy tezlanish ω )doimiy. Nuqtaning bir tekis harakatlanish qonuni va uning tezligini o'zgartirish qonuni υ bu harakat davomida tenglik bilan beriladi:

bu erda s - traektoriya yoyi bo'ylab o'lchangan nuqtaning traektoriyada tanlangan mos yozuvlar nuqtasidan masofasi, t- vaqt, s 0 - boshidagi s qiymati. vaqt momenti t = = 0. - beg. nuqta tezligi. Belgilar qachon υ va ω bir xil, bir xil harakat. tezlashtiriladi, boshqacha bo'lsa - sekinlashadi.

Aktyorlik qilayotganda. qattiq jismning bir tekis harakati, yuqorida aytilganlarning barchasi tananing har bir nuqtasiga taalluqlidir; qattiq burchak o'qi atrofida bir xil aylanish bilan. jismning tezlanishi e doimiy va aylanish qonuni va burchakning o'zgarishi qonuni. jismning ō tezliklari tenglik bilan berilgan

bu yerda ph - jismning burilish burchagi, ph 0 - boshidagi ph qiymati. vaqt momenti t= 0, ō 0 - iltimos. ang. tana tezligi. ō va e belgilari mos kelganda aylanish tezlashadi, mos kelmaganda esa sekinlashadi.

To'g'ri chiziqli harakatda doimiy kuchning ishi.

Ta'sir qiluvchi kuch kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lgan va uni qo'llash nuqtasi to'g'ri chiziqli traektoriya bo'ylab harakatlanadigan holat uchun ishni aniqlaylik. Qiymati va yo'nalishi bo'yicha doimiy kuch qo'llaniladigan moddiy C nuqtasini ko'rib chiqaylik (134-rasm, a).

Muayyan t vaqt oralig'ida C nuqta to'g'ri chiziqli traektoriya bo'ylab s masofada C1 holatiga o'tdi.

Uning qo'llanilishi nuqtasining to'g'ri chiziqli harakati paytida doimiy kuchning W ishi kuch modulining F marta masofa s va kuch yo'nalishi va harakat yo'nalishi orasidagi burchak kosinusining mahsulotiga teng, ya'ni.

Kuch yo'nalishi va harakat yo'nalishi o'rtasidagi a burchak 0 dan 180 ° gacha o'zgarishi mumkin. a uchun< 90° работа положительна, при α >90 ° salbiy, a = 90 ° da ish nolga teng.

Agar kuch harakat yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qilsa, u harakatlantiruvchi kuch deb ataladi, kuchning ishi har doim ijobiy bo'ladi. Agar kuch va harakat yo'nalishlari orasidagi burchak o'tmas bo'lsa, kuch harakatga qarshilik ko'rsatadi, salbiy ishni bajaradi va qarshilik kuchi deb ataladi. Qarshilik kuchlariga har doim harakatga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan kesish, ishqalanish, havo qarshiligi va boshqalar kuchlari misol bo'ladi.

a = 0° bo'lganda, ya'ni kuch yo'nalishi tezlik yo'nalishiga to'g'ri kelganda, W = F s bo'ladi, chunki cos 0° = 1. F cos a mahsuloti kuchning yo'nalishga proyeksiyasidir. moddiy nuqtaning harakati. Shuning uchun kuchning ishini siljish s va kuchning proyeksiyasi va nuqtaning harakat yo'nalishining mahsuloti sifatida aniqlash mumkin.

33. Qattiq jismning inersiya kuchlari

Klassik mexanikada kuchlarning tasviri va ularning xossalari Nyuton qonunlariga asoslanadi va inertial sanoq sistemasi tushunchasi bilan uzviy bog‘liqdir.

Darhaqiqat, kuch deb ataladigan jismoniy miqdor Nyutonning ikkinchi qonuni tomonidan hisobga olinadi, qonunning o'zi esa faqat inertial sanoq sistemalari uchun tuzilgan. Shunga ko'ra, kuch tushunchasi dastlab faqat shunday ma'lumot doiralari uchun ta'riflangan bo'lib chiqadi.

Moddiy nuqtaning tezlanishi va massasini unga ta’sir etuvchi kuch bilan bog‘lovchi Nyutonning ikkinchi qonuni tenglamasi quyidagicha yoziladi.

Bu tenglamadan to'g'ridan-to'g'ri kelib chiqadiki, jismlarning tezlashishiga faqat kuchlar sabab bo'ladi va aksincha: kompensatsiyalanmagan kuchlarning tanaga ta'siri, albatta, uning tezlashishiga sabab bo'ladi.

Nyutonning uchinchi qonuni ikkinchi qonunda kuchlar haqida aytilganlarni to'ldiradi va rivojlantiradi.

kuch - bu boshqa jismlarning berilgan moddiy tanasiga mexanik ta'sirining o'lchovidir

Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra, kuchlar faqat juft bo'lib mavjud bo'lishi mumkin va har bir bunday juftlikdagi kuchlarning tabiati bir xil.

jismga ta'sir etuvchi har qanday kuch boshqa jism shaklida kelib chiqish manbasiga ega. Boshqacha qilib aytganda, kuchlar, albatta, natijadir o'zaro ta'sirlar tel.

Mexanikada boshqa kuchlar hisobga olinmaydi yoki ishlatilmaydi. Mustaqil ravishda, o'zaro ta'sir qiluvchi jismlarsiz paydo bo'lgan kuchlarning mavjudligi mexanika tomonidan ruxsat etilmaydi.

Eyler va d'Alember inertsiya kuchlarining nomlari so'zni o'z ichiga olgan bo'lsa-da kuch, bu jismoniy miqdorlar mexanikada qabul qilingan ma'noda kuchlar emas.

34. Qattiq jismning tekis-parallel harakati haqida tushuncha

Qattiq jismning harakati tekis-parallel deyiladi, agar tananing barcha nuqtalari qandaydir qo'zg'almas tekislikka (asosiy tekislikka) parallel tekisliklarda harakat qilsa. Qandaydir tana V tekis harakat qilsin, p - asosiy tekislik. Tekis-parallel harakat va absolyut qattiq jismning xossalari ta’rifidan kelib chiqadiki, p tekislikka perpendikulyar bo‘lgan AB to‘g‘ri chiziqning istalgan kesimi ko‘chirma harakatni bajaradi. Ya'ni, AB segmentining barcha nuqtalarining traektoriyalari, tezligi va tezlanishlari bir xil bo'ladi. Shunday qilib, kesmaning har bir nuqtasi s tekisligi p tekislikka parallel harakati V jismning ushbu nuqtada kesmaga perpendikulyar segmentda yotgan barcha nuqtalarining harakatini aniqlaydi. Tekis-parallel harakatga misollar: g'ildirakning to'g'ri segment bo'ylab dumalab ketishi, chunki uning barcha nuqtalari g'ildirak o'qiga perpendikulyar tekislikka parallel tekisliklarda harakat qiladi; bunday harakatning alohida holati qattiq jismning sobit o'q atrofida aylanishidir, aslida aylanadigan jismning barcha nuqtalari aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lgan ba'zi bir qo'zg'almas tekislikka parallel tekisliklarda harakat qiladi.

35. Moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli va egri chiziqli harakatidagi inersiya kuchlari.

Harakatning o'zgarishiga nuqta qarshilik ko'rsatadigan kuchga moddiy nuqtaning inersiya kuchi deyiladi. Inersiya kuchi nuqta tezlanishiga teskari yo‘nalgan va massaning tezlanishni ko‘paytirishga teng.

To'g'ri chiziqda tezlanish yo'nalishi traektoriyaga to'g'ri keladi. Inertsiya kuchi tezlanishga teskari yo'nalishda yo'naltiriladi va uning son qiymati quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Tezlashtirilgan harakatda tezlanish va tezlik yo'nalishlari mos keladi va inersiya kuchi harakatga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltiriladi. Sekin harakatda, tezlanish tezlikka qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilganda, inersiya kuchi harakat yo'nalishi bo'yicha harakat qiladi.

Daegri chiziqli va notekisharakat tezlashuv normal holatga ajralishi mumkin a va tangens da komponentlar. Xuddi shunday nuqtaning inertsiya kuchi ham ikkita komponentdan iborat: normal va tangensial.

Oddiy inersiya kuchining komponenti nuqta massasi va normal tezlanishning mahsulotiga teng va bu tezlanishga teskari yo'naltirilgan:

Tangent inersiya kuchining komponenti nuqta massasi va tangensial tezlanishning mahsulotiga teng va bu tezlanishga qarama-qarshi yo'naltirilgan:

Shubhasiz, nuqtaning umumiy inersiya kuchi M normal va tangens komponentlarning geometrik yig'indisiga teng, ya'ni.

Tangensial va normal komponentlar o'zaro perpendikulyar ekanligini hisobga olsak, umumiy inersiya kuchi:

36. Murakkab harakatdagi nuqtaning tezliklari va tezlanishlarini qo‘shishga oid teoremalar

Tezlikni qo'shish teoremasi:

Mexanikada nuqtaning mutlaq tezligi uning nisbiy va translyatsiya tezligining vektor yig'indisiga teng:

Ruxsat etilgan sanoq sistemasiga nisbatan jismning tezligi bu jismning harakatlanuvchi sanoq sistemasiga nisbatan tezligining vektor yig‘indisiga va harakatlanuvchi ramka nuqtasining tezligiga (qattiq ramkaga nisbatan) teng. tanasi joylashgan.

murakkab harakatda nuqtaning mutlaq tezligi translatsiya va nisbiy tezliklarning geometrik yig'indisiga teng. Mutlaq tezlikning kattaligi qaerda aniqlanadi α vektorlar orasidagi burchak hisoblanadi va .

Tezlanishni qo‘shish teoremasi ( KORIOLIS TEOREMASI)

acor = aper + dan + akor

Formula tezlashtirilgan qo'shilish bo'yicha quyidagi Koriolis teoremasini ifodalaydi

reniy: 1 murakkab harakat uchun, nuqta tezlanishi geometrik teng

uchta tezlanishning yig'indisi: nisbiy, tarjima va aylanish yoki

Koriolis.

acor = 2(ō × ovoz)

37. d'Alember printsipi

Moddiy nuqta uchun d'Alember printsipi: moddiy nuqta harakatining har bir momentida faol kuchlar, bog'lanishlar reaktsiyalari va inersiya kuchi muvozanatli kuchlar tizimini hosil qiladi.

d'Alember printsipi- mexanikada: dinamikaning asosiy tamoyillaridan biri, unga ko'ra, agar mexanik tizimning nuqtalariga ta'sir qiluvchi kuchlarga va bir-biriga o'rnatilgan bog'lanishlarning reaktsiyalariga inersiya kuchlari qo'shilsa, muvozanatli kuchlar tizimi paydo bo'ladi. olinadi.

Ushbu tamoyilga ko'ra, tizimning har bir i-nuqtasi uchun tenglik

bu nuqtaga ta'sir etuvchi faol kuch, nuqtaga qo'yilgan bog'lanishning reaktsiyasi, nuqta massasi va uning tezlanishining mahsulotiga son jihatdan teng bo'lgan va shu tezlanishga teskari yo'naltirilgan inersiya kuchi ().

Darhaqiqat, biz Nyutonning ikkinchi qonunida () ma atamasini o'ngdan chapga o'tkazish haqida gapiramiz () har bir ko'rib chiqilayotgan moddiy nuqtalar uchun alohida bajariladi va bu atama d'Alembert inertsiya kuchi tomonidan tanqid qilinadi.

D'Alembert printsipi dinamika muammolarini hal qilishda statikaning oddiy usullarini qo'llash imkonini beradi, shuning uchun u muhandislik amaliyotida keng qo'llaniladi, deb ataladi. kinetostatik usul. Ayniqsa, davom etayotgan harakat qonuni ma'lum bo'lgan yoki tegishli tenglamalar yechimidan topilgan hollarda cheklovlarning reaktsiyalarini aniqlash uchun foydalanish qulay.

Ip \u003d mg (h n - h k) (14.19)

bu yerda h n va h k - massasi m bo'lgan moddiy nuqtaning boshlang'ich va oxirgi balandliklari (14.7-rasm), g - erkin tushish tezlanish moduli.

Gravitatsiya ishi A ip moddiy nuqtaning boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalari bilan belgilanadi va ular orasidagi traektoriyaga bog'liq emas.

Bu ijobiy, salbiy yoki nol bo'lishi mumkin:

a) ip > 0 - moddiy nuqtaning tushishi paytida,

b) og'ir< 0 - при подъеме материальной точки,

c) str = 0 - balandlik o'zgarmasligi sharti bilan yoki moddiy nuqtaning yopiq traektoriyasi bilan.

Ishqalanish kuchining ishi doimiy tezlikda b.w. ( v = const) va ishqalanish kuchlari ( F tr = const) t vaqt oralig'ida:

A tr = ( F tr, v)t, (14.20)

Ishqalanish kuchining ishi ijobiy, salbiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin. Misol uchun:

a
) yuqori novda tomondan pastki barga ta'sir qiluvchi ishqalanish kuchining ishi (14.8-rasm), A tr.2,1\u003e 0, chunki ustki novda tomondan pastki barga ta'sir qiluvchi kuch orasidagi burchak F tr.2.1 va tezlik v Pastki barning 2 tasi (Yer yuzasiga nisbatan) nolga teng;

b) A tr.1,2< 0 - угол между силой трения F tr.1,2 va tezlik v Yuqori chiziqning 1 tasi 180 ga teng (14.8-rasmga qarang);

c) A tr \u003d 0 - masalan, bar aylanadigan gorizontal diskda (diskga nisbatan, bar statsionar).

Ishqalanish kuchining ishi moddiy nuqtaning dastlabki va oxirgi pozitsiyalari orasidagi traektoriyaga bog'liq.

§o'n besh. mexanik energiya

Moddiy nuqtaning kinetik energiyasi K - SFV, b.w. massasining yarmi mahsulotiga teng. uning tezligi modulining kvadratiga:

(15.1)

Jismning harakatidan kelib chiqadigan kinetik energiya mos yozuvlar tizimiga bog'liq va manfiy bo'lmagan miqdordir:

Kinetik energiya birligi-joule: [K] = J.

Kinetik energiya teoremasi- kinetik energiyaning ortishi b.w. natijaviy kuchning A p ishiga teng:

K = A p. (15.3)

Natijaviy kuchning ishini barcha kuchlarning A i ishlari yig'indisi sifatida topish mumkin F i (i = 1,2,…n) b.w.ga nisbatan qo'llaniladi:

(15.4)

Moddiy nuqtaning tezlik moduli: A p > 0 da - ortadi; da A p< 0 - уменьшается; при A р = 0 - не изменяется.

Moddiy nuqtalar sistemasining kinetik energiyasi K c barcha K i kinetik energiyalar yig'indisiga teng n Ushbu tizimga tegishli b.w.:

(15.5)

bu yerda m i va v i - i-chi m.t.ning massa va tezlik moduli. bu tizim.

Sistemaning kinetik energiyasining ortishi b.t.K s hammaning A ri ishlari yig'indisiga teng n tizimning i-moddiy nuqtalariga qo'llaniladigan natijaviy kuchlar:

(15.6)

Quvvat maydoni- har bir nuqtada tanaga kuchlar ta'sir qiladigan fazo hududi.

Statsionar kuch maydoni- kuchlari vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydigan maydon.

Yagona kuchlar maydoni- barcha nuqtalarida kuchlari bir xil bo'lgan maydon.

Markaziy kuchlar maydoni- maydon, barcha kuchlarning ta'sir yo'nalishlari bir nuqtadan o'tadi, maydon markazi deb ataladi va kuchlar moduli faqat shu markazgacha bo'lgan masofaga bog'liq.

Konservativ bo'lmagan kuchlar (nx.sl)- ishi tananing boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalari orasidagi traektoriyaga bog'liq bo'lgan kuchlar .

Konservativ bo'lmagan kuchlarga ishqalanish kuchlari misol bo'la oladi. Umumiy holatda yopiq traektoriya bo'ylab ishqalanish kuchlarining ishi nolga teng emas.

Konservativ kuchlar (ks.sl)- kuchlar, ularning ishi m.t.ning dastlabki va oxirgi pozitsiyalari bilan belgilanadi. va ular orasidagi traektoriyaga bog'liq emas. Yopiq traektoriya bilan konservativ kuchlarning ishi nolga teng. Konservativ kuchlar maydoni potensial deb ataladi.

Konservativ kuchlarga misol sifatida tortishish va elastiklik kiradi.

Potensial energiya P - SPV, bu tizim (tana) qismlarining nisbiy joylashuvi funktsiyasidir.

Potensial energiya birligi-joule: [P] = J.

Potensial energiya teoremasi

Moddiy nuqtalar tizimining potentsial energiyasini yo'qotish konservativ kuchlarning ishiga teng:

–P s = P n – P c = A ks.sl (15.7 )

Potensial energiya doimiy qiymatgacha aniqlanadi va ijobiy, salbiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin.

Moddiy nuqtaning potentsial energiyasi P kuch maydonining istalgan nuqtasida - SPV, b.k.ni harakatlantirganda konservativ kuchlarning ishiga teng. maydonning berilgan nuqtasidan potentsial energiya nolga teng deb qabul qilinadigan nuqtaga:

P \u003d A ks.sl. (15,8)

Elastik deformatsiyalangan prujinaning potentsial energiyasi

(15.9)

G de x - prujinaning bo'sh uchining siljishi; k - prujinaning qattiqligi, C - ixtiyoriy doimiy (masalani yechishda qulaylik shartidan tanlangan).

Har xil konstantalar uchun P(x) grafiklar: a) C > 0, b) C = 0, c) C< 0  параболы (рис.15.1).

P (0) = 0 shartida doimiy C = 0 va

(15.10)

Ushbu darsda biz jismning tortishish kuchi ta'sirida turli harakatlarini ko'rib chiqamiz va bu kuchning ishini qanday topishni o'rganamiz. Shuningdek, biz jismning potentsial energiyasi tushunchasi bilan tanishamiz, bu energiyaning tortishish ishi bilan qanday bog'liqligini bilib olamiz va bu energiya topilgan formulani olamiz. Ushbu formuladan foydalanib, biz yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish uchun to'plamdan olingan muammoni hal qilamiz.

Oldingi darslarda biz tabiatdagi kuchlarning xilma-xilligini o'rgangan edik. Har bir kuch uchun ishni to'g'ri hisoblash kerak. Ushbu dars tortishish ishini o'rganishga bag'ishlangan.

Yer yuzasidan kichik masofalarda tortishish kuchi doimiy va modul ga teng, qayerda m- tana massasi, g- tortishishning tezlashishi.

Tana massasiga ruxsat bering m hisoblash bir xil darajadan yuqori balandlikka olinadigan har qanday darajadagi balandlikdan erkin tushadi (1-rasmga qarang).

Guruch. 1. Tananing balandlikdan balandlikka erkin tushishi

Bunday holda, tananing siljish moduli ushbu balandliklar orasidagi farqga teng bo'ladi:

Harakatning yo'nalishi va tortishish kuchi bir xil bo'lganligi sababli, tortishish tomonidan bajariladigan ish:

Ushbu formuladagi balandlik qiymati har qanday darajadan hisoblanishi mumkin (dengiz sathi, erga qazilgan teshikning pastki darajasi, stol yuzasi, zamin yuzasi va boshqalar). Har qanday holatda, bu sirtning balandligi nolga teng tanlangan, shuning uchun bu balandlikning darajasi deyiladi nol daraja.

Agar tana balandlikdan tushib qolsa h nolga teng bo'lsa, tortishish kuchi tomonidan bajarilgan ish quyidagicha bo'ladi:

Agar nol sathidan yuqoriga tashlangan jism shu darajadan yuqori h balandlikka chiqsa, tortishish kuchi bilan bajarilgan ish quyidagilarga teng bo'ladi:

Tana massasiga ruxsat bering m moyil tekislikda harakat qilish h va bir vaqtning o'zida harakatni amalga oshiradi, uning moduli eğimli tekislikning uzunligiga teng (2-rasmga qarang).

Guruch. 2. Jismning qiya tekislik bo'ylab harakatlanishi

Kuchning ishi kuch vektorining skalyar mahsulotiga va ushbu kuch ta'sirida qilingan tananing siljish vektoriga teng, ya'ni bu holda tortishish ishi teng bo'ladi:

tortishish va siljish vektorlari orasidagi burchak qayerda.

2-rasmda ko'rsatilgan joy almashish () to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va balandligi h- katet. To'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatiga ko'ra:

Shuning uchun

Biz tortishish ishi uchun ifodani oldik, bu tananing vertikal harakati bilan bir xil. Xulosa qilish mumkinki, agar tananing traektoriyasi to'g'ri chiziqli bo'lmasa va jism tortishish ta'sirida harakat qilsa, u holda tortishish ishi faqat tananing balandligining ma'lum bir nol darajadan yuqori o'zgarishi bilan belgilanadi va unga bog'liq emas. tananing traektoriyasi bo'yicha.

Guruch. 3. Jismning egri chiziqli traektoriya bo‘yicha harakati

Oldingi fikrni isbotlaylik. Tana qandaydir egri chiziqli traektoriya bo'ylab harakatlansin (3-rasmga qarang). Biz ushbu traektoriyani aqliy ravishda bir nechta kichik qismlarga ajratamiz, ularning har birini kichik eğimli tekislik deb hisoblash mumkin. Tananing butun traektoriya bo'ylab harakatlanishi eğimli tekisliklar to'plami bo'ylab harakat sifatida ifodalanishi mumkin. Bo'limlarning har biridagi tortishish kuchi tortishish kuchi va ushbu qismning balandligi mahsulotiga teng bo'ladi. Agar alohida bo'limlarda balandlik o'zgarishlari teng bo'lsa, ulardagi tortishish ishi teng bo'ladi:

Butun traektoriya bo'yicha umumiy ish alohida uchastkalardagi ishlarning yig'indisiga teng:

- tananing engib o'tgan umumiy balandligi,

Shunday qilib, tortishish ishi tananing traektoriyasiga bog'liq emas va har doim tortishish mahsuloti va boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalardagi balandliklar farqiga teng bo'ladi. Q.E.D.

Pastga siljishda ish ijobiy, yuqoriga ko'tarilishda salbiy.

Ba'zi jism yopiq traektoriya bo'ylab harakat qilsin, ya'ni u avval pastga tushdi va keyin boshqa traektoriya bo'ylab boshlang'ich nuqtasiga qaytdi. Tana dastlab bo'lgan nuqtada tugaganligi sababli, tananing boshlang'ich va oxirgi holati o'rtasidagi balandlik farqi nolga teng, shuning uchun tortishish ishi nolga teng bo'ladi. Demak, jism yopiq traektoriya bo'ylab harakatlanayotganda tortishish kuchi tomonidan bajariladigan ish nolga teng.

Gravitatsiya ishi formulasida (-1) qavsdan chiqaramiz:

Oldingi darslardan ma'lumki, jismga qo'llaniladigan kuchlarning ishi tananing kinetik energiyasining yakuniy va boshlang'ich qiymatlari o'rtasidagi farqga teng. Olingan formula shuningdek, tortishish ishi va ga teng bo'lgan ba'zi jismoniy miqdorlarning qiymatlari orasidagi farqni ko'rsatadi. Bunday qiymat deyiladi tananing potentsial energiyasi balandlikda joylashgan h nol darajadan yuqori.

Potensial energiyaning o'zgarishi, agar musbat ish tortishish kuchi bilan bajarilsa, kattaligi manfiy bo'ladi (buni formuladan ko'rish mumkin). Agar salbiy ish bajarilsa, potentsial energiyaning o'zgarishi ijobiy bo'ladi.

Agar tana balandlikdan tushib qolsa h nol darajaga, u holda tortishish ishi balandlikka ko'tarilgan tananing potentsial energiyasining qiymatiga teng bo'ladi. h.

Tananing potentsial energiyasi, nol sathidan ma'lum bir balandlikka ko'tarilgan, berilgan jism berilgan balandlikdan nol darajaga tushganda tortishish kuchi bajaradigan ishga teng.

Tananing tezligiga bog'liq bo'lgan kinetik energiyadan farqli o'laroq, potentsial energiya hatto tinch holatda bo'lgan jismlar uchun ham nolga teng bo'lmasligi mumkin.

Guruch. 4. Nol darajasidan past bo'lgan tana

Agar tana nol darajadan past bo'lsa, unda u salbiy potentsial energiyaga ega (4-rasmga qarang). Ya'ni, potentsial energiyaning belgisi va moduli nol darajani tanlashga bog'liq. Tanani harakatlantirishda bajariladigan ish nol darajani tanlashga bog'liq emas.

"Potentsial energiya" atamasi faqat jismlar tizimiga tegishli. Yuqoridagi barcha mulohazalarda bu tizim "Yer - Yerdan yuqori ko'tarilgan jism" edi.

Massali bir hil to'rtburchak parallelepiped m qovurg'alar bilan navbat bilan uchta yuzning har biriga gorizontal tekislikda joylashtiriladi. Ushbu pozitsiyalarning har birida parallelepipedning potentsial energiyasi qanday?

Berilgan:m- parallelepipedning massasi; - parallelepiped qirralarining uzunligi.

Topmoq:; ;

Qaror

Agar chekli o'lchamli jismning potentsial energiyasini aniqlash zarur bo'lsa, unda bunday jismning butun massasi bir nuqtada to'plangan deb taxmin qilish mumkin, bu jismning massa markazi deb ataladi.

Simmetrik geometrik jismlar uchun massa markazi geometrik markazga, ya'ni (bu masala bo'yicha) parallelepiped diagonallarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. Shunday qilib, bu nuqta parallelepipedning turli joylarida joylashgan balandlikni hisoblash kerak (5-rasmga qarang).

Guruch. 5. Muammo uchun rasm

Potensial energiyani topish uchun balandlikning olingan qiymatlarini parallelepipedning massasiga va erkin tushish tezlashishiga ko'paytirish kerak.

Javob:; ;

Ushbu darsda biz tortishish ishini qanday hisoblashni bilib oldik. Shu bilan birga, biz ko'rdikki, tananing traektoriyasidan qat'i nazar, tortishish ishi tananing qandaydir nol darajadan yuqori bo'lgan boshlang'ich va oxirgi holatining balandliklari orasidagi farq bilan belgilanadi. Biz potentsial energiya tushunchasini ham kiritdik va tortishish kuchining ishi qarama-qarshi belgi bilan olingan tananing potensial energiyasining o'zgarishiga teng ekanligini ko'rsatdik. Og'irligi 2 kg bo'lgan qop unni polga nisbatan 0,5 m balandlikda joylashgan tokchadan polga nisbatan 0,75 m balandlikda joylashgan stolga o'tkazish uchun qanday ishlarni bajarish kerak? Tokchada yotgan bir qop unning potentsial energiyasi va stol ustida turganda polga nisbatan potentsial energiyasi qanday?

Oldingi darslarda biz tabiatdagi kuchlarning xilma-xilligini o'rgangan edik. Har bir kuch uchun ishni to'g'ri hisoblash kerak. Ushbu dars tortishish ishini o'rganishga bag'ishlangan.

Yer yuzasidan kichik masofalarda tortishish kuchi doimiy va modul ga teng, qayerda m- tana massasi, g- tortishishning tezlashishi.

Tana massasiga ruxsat bering m hisoblash bir xil darajadan yuqori balandlikka olinadigan har qanday darajadagi balandlikdan erkin tushadi (1-rasmga qarang).

Guruch. 1. Tananing balandlikdan balandlikka erkin tushishi

Bunday holda, tananing siljish moduli ushbu balandliklar orasidagi farqga teng bo'ladi:

Harakatning yo'nalishi va tortishish kuchi bir xil bo'lganligi sababli, tortishish tomonidan bajariladigan ish:

Agar tana balandlikdan tushib qolsa h nolga teng bo'lsa, tortishish kuchi tomonidan bajarilgan ish quyidagicha bo'ladi:

Agar nol sathidan yuqoriga tashlangan jism shu darajadan yuqori h balandlikka chiqsa, tortishish kuchi bilan bajarilgan ish quyidagilarga teng bo'ladi:

Tana massasiga ruxsat bering m moyil tekislikda harakat qilish h va bir vaqtning o'zida harakatni amalga oshiradi, uning moduli eğimli tekislikning uzunligiga teng (2-rasmga qarang).

Guruch. 2. Jismning qiya tekislik bo'ylab harakatlanishi

Kuchning ishi kuch vektorining skalyar mahsulotiga va ushbu kuch ta'sirida qilingan tananing siljish vektoriga teng, ya'ni bu holda tortishish ishi teng bo'ladi:

tortishish va siljish vektorlari orasidagi burchak qayerda.

2-rasmda ko'rsatilgan joy almashish () to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va balandligi h- katet. To'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatiga ko'ra:

Shuning uchun

Guruch. 3. Jismning egri chiziqli traektoriya bo‘yicha harakati

Butun traektoriya bo'yicha umumiy ish alohida uchastkalardagi ishlarning yig'indisiga teng:

- tananing engib o'tgan umumiy balandligi,

Shunday qilib, tortishish ishi tananing traektoriyasiga bog'liq emas va har doim tortishish mahsuloti va boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalardagi balandliklar farqiga teng bo'ladi. Q.E.D.

Pastga siljishda ish ijobiy, yuqoriga ko'tarilishda salbiy.

Gravitatsiya ishi formulasida (-1) qavsdan chiqaramiz:

Agar tana balandlikdan tushib qolsa h nol darajaga, u holda tortishish ishi balandlikka ko'tarilgan tananing potentsial energiyasining qiymatiga teng bo'ladi. h.

Tananing potentsial energiyasi, nol sathidan ma'lum bir balandlikka ko'tarilgan, berilgan jism berilgan balandlikdan nol darajaga tushganda tortishish kuchi bajaradigan ishga teng.

Tananing tezligiga bog'liq bo'lgan kinetik energiyadan farqli o'laroq, potentsial energiya hatto tinch holatda bo'lgan jismlar uchun ham nolga teng bo'lmasligi mumkin.

Guruch. 4. Nol darajasidan past bo'lgan tana

"Potentsial energiya" atamasi faqat jismlar tizimiga tegishli. Yuqoridagi barcha mulohazalarda bu tizim "Yer - Yerdan yuqori ko'tarilgan jism" edi.

Berilgan:m- parallelepipedning massasi; - parallelepiped qirralarining uzunligi.

Topmoq:; ;

Qaror

Guruch. 5. Muammo uchun rasm

Potensial energiyani topish uchun balandlikning olingan qiymatlarini parallelepipedning massasiga va erkin tushish tezlashishiga ko'paytirish kerak.

Javob:; ;

Gravitatsiya ishi. Muammoni hal qilish

Darsning maqsadi: tortishish ishining formulasini aniqlang; tortishish ishi tananing traektoriyasiga bog'liq emasligini aniqlash; amaliy muammolarni hal qilish ko'nikmalarini rivojlantirish.

Darslar davomida.

1. Tashkiliy moment. Talabalar bilan salomlashish, qatnashmaganlarni tekshirish, dars maqsadini belgilash.

2. Uy vazifasini tekshirish.

3. Yangi materialni o'rganish. Oldingi darsda biz ishni aniqlash uchun formulani aniqladik. Doimiy kuch bajargan ishning formulasi qanday? (A=FScosa)

A nima vaS?

Keling, tortishish uchun ushbu formulani qo'llaymiz. Ammo birinchi navbatda, tortishish kuchi nima ekanligini eslaylik? (F= mg)

a) jismning vertikal pastga tushishi holatini ko'rib chiqing. Siz va men bilganimizdek, tortishish har doim to'g'ridan-to'g'ri pastga yo'naltiriladi. Yo'nalishni aniqlash uchunSta'rifni eslang. (Silinish - boshlang'ich va oxirgi nuqtalarni bog'laydigan vektor. U boshidan oxirigacha yo'naltiriladi)

Bu. aniqlash uchun, Harakat yo'nalishi va tortishish kuchi bir xil bo'lgani uchun a =0 va tortishish kuchi tomonidan bajariladigan ish:

B) holatni ko'rib chiqing, tana vertikal ravishda yuqoriga qarab harakat qiladi. Chunki tortishish va siljish yo'nalishi qarama-qarshi bo'lsa, unda a =0 va tortishish kuchi bajargan ish .

Bu. Shunday qilib, agar siz ikkita formulani modul bilan solishtirsangiz, ular bir xil bo'ladi.

c) tana qiya tekislik bo'ylab harakatlanishini ko'rib chiqing. Kuchning ishi kuch vektorining skalyar ko'paytmasiga va ushbu kuch ta'sirida qilingan tananing siljish vektoriga teng, ya'ni bu holda tortishish ishi teng bo'ladi., qayerda tortishish va siljish vektorlari orasidagi burchakdir. Rasmda ko'rinib turibdiki, siljish () to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi va balandligih- katet. To'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatiga ko'ra:

.Shuning uchun

Bu. qanday xulosaga kelish mumkin?(tortishish kuchi ishi harakat traektoriyasiga bog'liq emas.)

Oxirgi misolni ko'rib chiqaylik, qachon traektoriya harakat yopiq chiziq bo'ladi. Ish nimaga teng bo'lishini kim aytadi va nima uchun? (A=0, chunki siljish 0)

Eslatma!: jism yopiq traektoriya bo'ylab harakatlanayotganda tortishish kuchi tomonidan bajariladigan ish nolga teng.

4. Materialni mahkamlash.

Vazifa 1. Ovchi qoyadan ufqqa 40° burchak ostida otadi. O'q tushishi vaqtida tortishish kuchi 5 J ga teng.Agar o'q tog' jinsidan 250 m masofada yerga kirsa, u holda uning massasi qancha?

Vazifa 2. Neptunda bo'lganida, tana rasmda ko'rsatilganidek harakat qildi. Bu siljish bilan tortishish kuchining ishi 840 J ni tashkil etdi. Agar bu jismning massasi 5 kg bo'lsa, Neptunga erkin tushish tezlashishi nimaga teng?

5. Uyga vazifa.

Gravitatsiya bilan bajarilgan ish ga teng. Gravitatsiya ishi. Yerdan ko'tarilgan jismning potentsial energiyasi. Nazorat savollari va topshiriqlari

§o'n besh. mexanik energiya

Xato haqida xabar bering

Tahririyatimizga yuboriladigan matn:

Sizning sharhingiz (ixtiyoriy):