Integrallar jadvali to'liq va integrallash qoidalari. Transsendental funktsiyalarning integrallari
Ta'rif 1
$$ segmentidagi $y=f(x)$ funksiyasi uchun $F(x)$ antiderivativi ushbu segmentning har bir nuqtasida differensiallanuvchi funksiya bo‘lib, uning hosilasi uchun quyidagi tenglik bajariladi:
Ta'rif 2
Ayrim segmentda aniqlangan $y=f(x)$ funksiyaning barcha anti hosilalari to‘plami berilgan $y=f(x)$ funksiyaning noaniq integrali deyiladi. Noaniq integral $\int f(x)dx $ belgisi bilan belgilanadi.
Hosilalar jadvali va 2-ta’rifdan biz asosiy integrallar jadvalini olamiz.
1-misol
Integrallar jadvalidan 7-formulaning haqiqiyligini tekshiring:
\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]
O'ng tomonni farqlaylik: $-\ln |\cos x|+C$.
\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
2-misol
Integrallar jadvalidan 8-formulaning haqiqiyligini tekshiring:
\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]
O'ng tomonni farqlang: $\ln |\sin x|+C$.
\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]
Hosil integralga teng bo'lib chiqdi. Shuning uchun formula to'g'ri.
3-misol
Integrallar jadvalidan 11" formulaning haqiqiyligini tekshiring:
\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]
O'ng tomonni farqlang: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.
\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]
Hosil integralga teng bo'lib chiqdi. Shuning uchun formula to'g'ri.
4-misol
Integrallar jadvalidan 12-formulaning haqiqiyligini tekshiring:
\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \o'ng|+ C,\, \, C=const.\]
O'ng tomonni farqlang: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.
$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Hosila integralga teng. Shuning uchun formula to'g'ri.
5-misol
Integrallar jadvalidan 13 "formulaning haqiqiyligini tekshiring:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]
O'ng tomonni farqlang: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.
\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \o'ng)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]
Hosil integralga teng bo'lib chiqdi. Shuning uchun formula to'g'ri.
6-misol
Integrallar jadvalidan 14-formulaning haqiqiyligini tekshiring:
\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=const.\]
O'ng tomonni farqlang: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.
\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm) a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]
Hosil integralga teng bo'lib chiqdi. Shuning uchun formula to'g'ri.
7-misol
Integralni toping:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]
Yig'indi integral teoremasidan foydalanamiz:
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]
Doimiy koeffitsientni integral belgisidan chiqarish teoremasidan foydalanamiz:
\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]
Integrallar jadvaliga ko'ra:
\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]
Birinchi integralni hisoblashda biz 3-qoidadan foydalanamiz:
\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]
Demak,
\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1) ) +C_(2) \]
Integratsiya differensiatsiyaga teskari ekanligidan foydalanish. differensial hisoblashning mos formulalarini (differensiallar jadvali) teskari qilib, noaniq integralning xossalaridan foydalanib, asosiy integrallar jadvalini olish mumkin. misol uchun, kabi
d(gunoh u) = cos u*du, keyin integratsiyaning asosiy usullarini ko'rib chiqishda bir qator jadval formulalarini chiqarish beriladi.
Quyidagi jadvaldagi integrallar deyiladi jadvalli. Ularni yoddan bilish kerak. Integral hisoblashda differensial hisobdagi kabi elementar funksiyalardan antiderivativlarni topishning oddiy va universal qoidalari mavjud emas. Antiderivativlarni topish usullari (ya'ni, funktsiyani integrallash) berilgan (kerakli) integralni jadvalga keltiruvchi usullarni ko'rsatishga qisqartiriladi. Shuning uchun jadvalli integrallarni bilish va ularni taniy bilish kerak.
E'tibor bering, asosiy integrallar jadvalida integratsiya o'zgaruvchisi va mustaqil o'zgaruvchini ham, mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasini ham ko'rsatishi mumkin (integratsiya formulasining o'zgarmaslik xususiyatiga ko'ra).
Quyidagi formulalarning to'g'riligini o'ng tomonidagi differentsialni olish orqali tekshirish mumkin, bu formulaning chap tomonidagi integralga teng bo'ladi.
Masalan, 2-formulaning haqiqiyligini isbotlaymiz. 1/ funksiyasi. u barcha qiymatlar uchun belgilangan va uzluksiz u, noldan tashqari.
Agar a u> 0. keyin ln | u| =ln u, keyin d ln | u| = d ln u = du/u. Shunday qilib 
Asosiy integrallar jadvali 
Biz elementar funktsiyalarning integrallarini sanab o'tamiz, ular ba'zan jadval deb ataladi:
Yuqoridagi formulalarning istalganini o'ng tomonning hosilasini olish orqali isbotlash mumkin (natijada integratsiya olinadi).
Integratsiya usullari
Keling, integratsiyaning ba'zi asosiy usullarini ko'rib chiqaylik. Bularga quyidagilar kiradi:
1. Parchalanish usuli(bevosita integratsiya).
Ushbu usul jadvalli integrallarni to'g'ridan-to'g'ri qo'llashga, shuningdek noaniq integralning 4 va 5 xossalarini qo'llashga asoslangan (ya'ni, doimiy omilni qavsdan chiqarish va / yoki integratsiyani funktsiyalar yig'indisi sifatida ifodalash - integralni shartlarga kengaytirish).
1-misol Masalan, (dx/x 4) ni topish uchun bevosita x n dx uchun jadval integralidan foydalanish mumkin. Haqiqatan ham, (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.
Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
2-misol Topish uchun biz bir xil integraldan foydalanamiz:
3-misol Topish uchun siz olishingiz kerak
4-misol Topish uchun integralni shaklda ifodalaymiz 
va eksponensial funktsiya uchun jadval integralidan foydalaning:
Doimiy omilni qavslashdan foydalanishni ko'rib chiqing.
5-misol
Masalan, topamiz 
. Buni hisobga olsak, olamiz
6-misol Keling, topamiz. Shu darajada 
, biz jadval integralidan foydalanamiz 
Oling
Quyidagi ikkita misolda qavslar va jadval integrallaridan ham foydalanishingiz mumkin:
7-misol
(biz foydalanamiz va 
);
8-misol
(biz foydalanamiz 
va 
).
Keling, yig'indisi integralidan foydalanadigan murakkabroq misollarni ko'rib chiqaylik.
9-misol Masalan, topamiz 
. Numeratorda kengaytirish usulini qo'llash uchun yig'indisi kub formulasidan foydalanamiz va keyin hosil bo'lgan ko'phadni maxrajga bo'linadi.
=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx= 
Shuni ta'kidlash kerakki, yechim oxirida bitta umumiy doimiy C yoziladi (har bir atamani integrallashda alohida emas). Kelajakda ifodada kamida bitta noaniq integral bo'lsa (yechim oxirida bitta konstanta yozamiz) yechish jarayonida alohida atamalarni integrallashdan konstantalarni olib tashlash ham taklif etiladi.
10-misol Keling, topamiz 
. Bu masalani yechish uchun sonni faktorlarga ajratamiz (bundan keyin maxrajni kamaytirishimiz mumkin).
11-misol. Keling, topamiz. Bu erda trigonometrik identifikatsiyalardan foydalanish mumkin.
Ba'zan, iborani atamalarga ajratish uchun siz murakkabroq usullardan foydalanishingiz kerak.
12-misol. Keling, topamiz 
. Integralda biz kasrning butun qismini tanlaymiz 
. Keyin
13-misol Keling, topamiz
2. O'zgaruvchan almashtirish usuli (almashtirish usuli)
Usul quyidagi formulaga asoslanadi: f(x)dx=f((t))`(t)dt, bu yerda x =(t) ko’rib chiqilgan intervalda differentsiallanuvchi funktsiyadir.
Isbot. Formulaning chap va o‘ng qismlaridan t o‘zgaruvchisiga nisbatan hosilalarni topamiz.
E'tibor bering, chap tomonda oraliq argumenti x = (t) bo'lgan murakkab funksiya mavjud. Shuning uchun uni t ga nisbatan differensiallash uchun avval integralni x ga nisbatan differensiallaymiz, keyin esa oraliq argumentning t ga nisbatan hosilasini olamiz.
( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)
O'ng tomonning hosilasi:
(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)
Bu hosilalar teng bo'lganligi sababli, Lagranj teoremasining xulosasi bo'yicha, isbotlanayotgan formulaning chap va o'ng qismlari qandaydir doimiy bilan farq qiladi. Noaniq integrallarning o'zi noaniq doimiy hadgacha aniqlanganligi sababli, bu doimiyni yakuniy yozuvda olib tashlash mumkin. Tasdiqlangan.
O'zgaruvchining muvaffaqiyatli o'zgarishi bizga asl integralni soddalashtirishga imkon beradi va eng oddiy hollarda uni jadvalga qisqartiradi. Ushbu usulni qo'llashda chiziqli va chiziqli bo'lmagan almashtirish usullari farqlanadi.
a) Chiziqli almashtirish usuli bir misolni ko'rib chiqaylik.
1-misol
. Lett= 1 – 2x, keyin
dx=d(½ - ½t) = - ½dt
Shuni ta'kidlash kerakki, yangi o'zgaruvchini aniq yozish shart emas. Bunday hollarda funktsiyani differentsial belgisi ostida o'zgartirish yoki differensial belgisi ostida doimiylar va o'zgaruvchilarni kiritish haqida gapiriladi, ya'ni. haqida yashirin o'zgaruvchan almashtirish.
2-misol Masalan, cos(3x + 2)dx ni topamiz. Differensial xossalari bo'yicha dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), keyincos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x +) 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.
Har ikkala ko'rib chiqilgan misolda integrallarni topish uchun chiziqli almashtirish t=kx+b(k0) qo'llanildi.
Umumiy holatda quyidagi teorema amal qiladi.
Chiziqli almashtirish teoremasi. F(x) f(x) funksiya uchun qandaydir anti hosila bo‘lsin. U holdaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, bu yerda k va b ba'zi doimiylar,k0.
Isbot.
f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C integralning ta’rifi bo‘yicha. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Integral belgisi uchun k doimiy koeffitsientini chiqaramiz: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Endi biz tenglikning chap va o'ng qismlarini k ga bo'lib, doimiy hadning belgilanishigacha isbotlanadigan tasdiqni olishimiz mumkin.
Bu teorema shuni ko'rsatadiki, agar f(x)dx= F(x) + C integral ta'rifida (kx+b) ifoda o'rniga qo'yilgan bo'lsa, bu oldinda qo'shimcha 1/k omil paydo bo'lishiga olib keladi. antiderivativdan.
Isbotlangan teoremadan foydalanib, quyidagi misollarni yechamiz.
3-misol
Keling, topamiz 
. Bu yerda kx+b= 3 –x, ya’ni k= -1,b= 3. Keyin
4-misol
Keling, topamiz. Bu yerda kx+b= 4x+ 3, ya’ni k= 4,b= 3. U holda.
5-misol
Keling, topamiz 
. Bu yerda kx+b= -2x+ 7, ya’ni k= -2,b= 7. U holda.
.
6-misol Keling, topamiz 
. Bu yerda kx+b= 2x+ 0, ya’ni k= 2,b= 0.
.
Olingan natijani parchalanish usuli bilan yechilgan 8-misol bilan solishtiramiz. Xuddi shu muammoni boshqa usul bilan hal qilib, biz javob oldik 
. Keling, natijalarni taqqoslaylik: Shunday qilib, bu iboralar bir-biridan doimiy atama bilan farqlanadi 
, ya'ni. olingan javoblar bir-biriga zid emas.
7-misol Keling, topamiz 
. Biz maxrajda to'liq kvadratni tanlaymiz.
Ba'zi hollarda o'zgaruvchining o'zgarishi integralni to'g'ridan-to'g'ri jadvalga keltirmaydi, lekin keyingi bosqichda parchalanish usulini qo'llash imkonini berib, yechimni soddalashtirishi mumkin.
8-misol Masalan, topamiz 
. t=x+ 2 ni almashtiring, keyin dt=d(x+ 2) =dx. Keyin
,
bu erda C \u003d C 1 - 6 (t o'rniga (x + 2) iborani qo'shganda, birinchi ikkita atama o'rniga ½x 2 -2x - 6 ni olamiz).
9-misol Keling, topamiz 
. t= 2x+ 1, keyin dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2 boʻlsin.
Biz t o'rniga (2x + 1) ifodani qo'yamiz, qavslarni ochamiz va shunga o'xshashlarni beramiz.
E'tibor bering, transformatsiyalar jarayonida biz boshqa doimiy atamaga o'tdik, chunki transformatsiyalar jarayonida doimiy atamalar guruhini olib tashlash mumkin edi.
b) Chiziqli bo'lmagan almashtirish usuli bir misolni ko'rib chiqaylik.
1-misol
. t= -x 2 bo'lsin. Bundan tashqari, x ni t shaklida ifodalash, keyin dx uchun ifoda topish va kerakli integralda o'zgaruvchining o'zgarishini amalga oshirish mumkin. Ammo bu holda boshqacha qilish osonroq. dt=d(-x 2) = -2xdx ni toping. E'tibor bering, xdx ifodasi talab qilinadigan integralning koeffitsienti hisoblanadi. Uni hosil bo'lgan xdx= - ½dt tengligidan ifodalaymiz. Keyin
Integratsiya matematik tahlilning asosiy operatsiyalaridan biridir. Ma'lum bo'lgan antiderivativlar jadvallari foydali bo'lishi mumkin, ammo hozirda, kompyuter algebra tizimlari paydo bo'lgandan so'ng, ular o'z ahamiyatini yo'qotmoqda. Quyida eng keng tarqalgan antiderivativlar ro'yxati keltirilgan.
Asosiy integrallar jadvali
Yana bir ixcham versiya
Trigonometrik funksiyalardan integrallar jadvali
Ratsional funktsiyalardan
Irratsional funktsiyalardan
Transsendental funktsiyalarning integrallari
“C” ixtiyoriy integrasiya konstantasi bo’lib, u integralning qaysidir nuqtadagi qiymati ma’lum bo’lsa aniqlanadi. Har bir funktsiya cheksiz miqdordagi antiderivativlarga ega.
Ko'pgina maktab o'quvchilari va talabalar integrallarni hisoblashda muammolarga duch kelishadi. Ushbu sahifa mavjud integrallar jadvallari hal qilishda yordam beradigan trigonometrik, ratsional, irratsional va transsendental funktsiyalardan. Sanoat jadvali ham sizga yordam beradi.