Ayrıntılı bir çözümle çevrimiçi olarak Cramer yöntemiyle çözün. Doğrusal denklemler. Lineer denklem sistemlerini çözme. Cramer yöntemi. Lineer cebirsel denklem sistemleri

01.11.2019

Bu paragrafta ustalaşmak için "ikiye iki" ve "üçe üç" niteleyicilerini açabilmelisiniz. Elemeler kötüyse, lütfen dersi çalışın Determinant nasıl hesaplanır?

İlk önce iki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemi için Cramer kuralını ayrıntılı olarak ele alıyoruz. Ne için? “Sonuçta en basit sistem okul yöntemiyle, dönem dönem toplamayla çözülebilir!

Gerçek şu ki, bazen olsa bile, ancak böyle bir görev var - Cramer formüllerini kullanarak iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini çözmek. İkinci olarak, daha basit bir örnek, Cramer kuralını daha karmaşık bir durum için nasıl kullanacağınızı anlamanıza yardımcı olacaktır - üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir sistem.

Ek olarak, tam olarak Cramer kuralına göre çözülmesi tavsiye edilen iki değişkenli lineer denklem sistemleri vardır!

denklem sistemini düşünün

İlk adımda determinantı hesaplıyoruz, buna determinant deniyor. sistemin ana belirleyicisi.

Gauss yöntemi.

Eğer sistem benzersiz bir çözüme sahipse ve kökleri bulmak için iki belirleyici daha hesaplamamız gerekir:
ve

Uygulamada, yukarıdaki niteleyiciler Latin harfiyle de gösterilebilir.

Denklemin kökleri aşağıdaki formüllerle bulunur:
,

Örnek 7

Lineer denklem sistemini çözün

Çözüm: Denklemin katsayılarının oldukça büyük olduğunu görüyoruz, sağ tarafta virgüllü ondalık kesirler var. Virgül, matematikteki pratik görevlerde oldukça nadir bir konuktur; bu sistemi ekonometrik bir problemden aldım.

Böyle bir sistem nasıl çözülür? Bir değişkeni bir başkası cinsinden ifade etmeyi deneyebilirsiniz, ancak bu durumda, kesinlikle çalışmak için son derece elverişsiz olan korkunç süslü kesirler elde edeceksiniz ve çözümün tasarımı çok kötü görünecektir. İkinci denklemi 6 ile çarpabilir ve terimi terim ile çıkarabilirsiniz, ancak burada aynı kesirler görünecektir.

Ne yapalım? Bu gibi durumlarda Cramer'in formülleri kurtarmaya gelir.

;

Cevap: ,

Her iki kökün de sonsuz kuyrukları vardır ve yaklaşık olarak bulunur, bu da ekonometrik problemler için oldukça kabul edilebilir (hatta sıradandır).

Görev hazır formüllere göre çözüldüğü için burada yorumlara gerek yoktur, ancak bir uyarı vardır. Bu yöntemi kullanırken, zorunlu Atama parçası aşağıdaki parçadır: "böylece sistemin benzersiz bir çözümü var". Aksi takdirde, gözden geçiren kişi Cramer teoremine saygısızlık ettiğiniz için sizi cezalandırabilir.

Bir hesap makinesinde yapılması uygun olan kontrol etmek gereksiz olmayacaktır: sistemin her denkleminin sol tarafındaki yaklaşık değerleri değiştiririz. Sonuç olarak küçük bir hata ile sağ taraftaki sayılar elde edilmelidir.

Örnek 8

Cevabınızı adi uygunsuz kesirlerle ifade edin. Kontrol edin.

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (dersin sonundaki ince tasarım ve cevap örneği).

Üç bilinmeyenli üç denklemli bir sistem için Cramer kuralının değerlendirmesine dönüyoruz:

Sistemin ana belirleyicisini buluyoruz:

ise, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır veya tutarsızdır (çözümleri yoktur). Bu durumda Cramer kuralı yardımcı olmaz, Gauss yöntemini kullanmanız gerekir.

Eğer sistem benzersiz bir çözüme sahipse ve kökleri bulmak için üç belirleyici daha hesaplamamız gerekir:
, ,

Ve son olarak, cevap şu formüllerle hesaplanır:

Gördüğünüz gibi, “üçe üç” durumu temelde “ikiye iki” durumundan farklı değildir, serbest terimler sütunu sırayla ana belirleyicinin sütunları boyunca soldan sağa “yürür”.

Örnek 9

Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün.

Çözüm: Cramer formüllerini kullanarak sistemi çözelim.

, bu nedenle sistemin benzersiz bir çözümü var.

Cevap: .

Aslında, kararın hazır formüllere göre verildiği göz önüne alındığında, burada tekrar yorum yapmak için özel bir şey yok. Ama bir iki not var.

Hesaplamalar sonucunda “kötü” indirgenemez kesirler elde edilir, örneğin: .
Aşağıdaki "tedavi" algoritmasını öneriyorum. Elinizde bilgisayar yoksa, şunu yaparız:

1) Hesaplamalarda hata olabilir. “Kötü” bir atışla karşılaştığınız anda, hemen kontrol etmelisiniz. koşul doğru bir şekilde yeniden yazılmış mı. Koşul hatasız olarak yeniden yazılırsa, başka bir satırdaki (sütun) genişletmeyi kullanarak belirleyicileri yeniden hesaplamanız gerekir.

2) Kontrol sonucunda herhangi bir hata bulunmazsa, büyük olasılıkla atama durumunda bir yazım hatası yapılmıştır. Bu durumda, görevi sakince ve DİKKATLİCE sonuna kadar çözün ve sonra kontrol ettiğinizden emin olun ve karardan sonra temiz bir nüshaya çizin. Elbette, kesirli bir cevabı kontrol etmek hoş olmayan bir iştir, ancak herhangi bir kötü şeye eksi koymayı gerçekten seven öğretmen için silahsızlaştırıcı bir argüman olacaktır. Kesirlerle nasıl başa çıkılacağı, Örnek 8'in cevabında ayrıntılı olarak açıklanmıştır.

Elinizde bir bilgisayarınız varsa, kontrol etmek için dersin en başında ücretsiz olarak indirilebilen otomatik bir program kullanın. Bu arada, programı hemen kullanmak en avantajlısıdır (çözüme başlamadan önce bile), hata yaptığınız ara adımı hemen göreceksiniz! Aynı hesap makinesi, matris yöntemini kullanarak sistemin çözümünü otomatik olarak hesaplar.

İkinci açıklama. Zaman zaman denklemlerinde bazı değişkenlerin eksik olduğu sistemler vardır, örneğin:

Burada birinci denklemde değişken yok, ikincide değişken yok. Bu gibi durumlarda ana belirleyiciyi doğru ve DİKKATLİ bir şekilde yazmak çok önemlidir:
– eksik değişkenlerin yerine sıfırlar konur.
Bu arada, belirgin şekilde daha az hesaplama olduğundan, sıfırın bulunduğu satırda (sütun) sıfırlı determinantları açmak mantıklıdır.

Örnek 10

Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün.

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (dersin sonundaki örnek ve cevap).

4 bilinmeyenli 4 denklemli bir sistem için Cramer formülleri benzer ilkelere göre yazılmıştır. Determinant Properties dersinde canlı bir örnek görebilirsiniz. Determinantın sırasını azaltmak - beş 4. dereceden determinant oldukça çözülebilir. Görev zaten çok şanslı bir öğrencinin göğsünde bir profesörün ayakkabısını andırıyor.

Ters matris kullanarak sistemin çözümü

Ters matris yöntemi aslında özel bir durumdur. matris denklemi(Belirtilen dersin 3 numaralı örneğine bakın).

Bu bölümü incelemek için determinantları genişletebilmeniz, ters matrisi bulabilmeniz ve matris çarpımı gerçekleştirebilmeniz gerekir. Açıklama ilerledikçe ilgili linkler verilecektir.

Örnek 11

Sistemi matris yöntemiyle çözün

Çözüm: Sistemi matris formunda yazıyoruz:
, nerede

Lütfen denklem sistemine ve matrislere bakın. Elemanları matrislere hangi prensibe göre yazıyoruz, sanırım herkes anlıyor. Tek yorum: eğer denklemlerde bazı değişkenler eksikse, o zaman matriste karşılık gelen yerlere sıfırlar konulması gerekirdi.

Ters matrisi şu formülle buluruz:
matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tümleyenlerinin yer değiştirmiş matrisi nerede .

İlk önce, determinantla ilgilenelim:

Burada determinant ilk satırla genişletilir.

Dikkat! ise, ters matris yoktur ve sistemi matris yöntemiyle çözmek imkansızdır. Bu durumda sistem bilinmeyenlerin elenmesiyle çözülür (Gauss yöntemi).

Şimdi 9 minör hesaplamanız ve bunları minör matrisine yazmanız gerekiyor.

Referans: Lineer cebirde çift indislerin anlamını bilmek faydalıdır. İlk hane, elemanın bulunduğu satır numarasıdır. İkinci basamak, öğenin bulunduğu sütunun numarasıdır:

Yani, bir çift alt simge, öğenin birinci satırda, üçüncü sütunda olduğunu, örneğin öğenin ise 3. satır, 2. sütunda olduğunu gösterir.

Çözme sırasında, küçüklerin hesaplanmasını ayrıntılı olarak açıklamak daha iyidir, ancak belirli bir deneyimle sözlü olarak hatalarla saymak için ayarlanabilirler.

İlk bölümde, sistem denklemlerinin terim terim toplama yönteminin yanı sıra bazı teorik materyalleri, ikame yöntemini ve ayrıca ele aldık. Bu sayfa üzerinden siteye gelen herkese ilk bölümü okumanızı tavsiye ederim. Belki bazı ziyaretçiler materyali çok basit bulacaklardır, ancak lineer denklem sistemlerini çözme sürecinde, genel olarak matematiksel problemlerin çözümü ile ilgili bir dizi çok önemli açıklama ve sonuç çıkardım.

Ve şimdi Cramer kuralını ve ayrıca ters matrisi (matris yöntemi) kullanarak bir doğrusal denklem sisteminin çözümünü analiz edeceğiz. Tüm materyaller basit, ayrıntılı ve net bir şekilde sunulur, hemen hemen tüm okuyucular yukarıdaki yöntemleri kullanarak sistemleri nasıl çözeceklerini öğrenebileceklerdir.

Ek olarak, tam olarak Cramer kuralına göre çözülmesi tavsiye edilen iki değişkenli lineer denklem sistemleri vardır!

denklem sistemini düşünün

İlk adımda determinantı hesaplıyoruz, buna determinant deniyor. sistemin ana belirleyicisi.

Gauss yöntemi.

Eğer sistem benzersiz bir çözüme sahipse ve kökleri bulmak için iki belirleyici daha hesaplamamız gerekir:
ve

Uygulamada, yukarıdaki niteleyiciler Latin harfiyle de gösterilebilir.

Denklemin kökleri aşağıdaki formüllerle bulunur:
,

Örnek 7

Lineer denklem sistemini çözün

Ne yapalım? Bu gibi durumlarda Cramer'in formülleri kurtarmaya gelir.

;

Cevap: ,

Her iki kökün de sonsuz kuyrukları vardır ve yaklaşık olarak bulunur, bu da ekonometrik problemler için oldukça kabul edilebilir (hatta sıradandır).

Örnek 8

Cevabınızı adi uygunsuz kesirlerle ifade edin. Kontrol edin.

Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir (dersin sonundaki ince tasarım ve cevap örneği).

Üç bilinmeyenli üç denklemli bir sistem için Cramer kuralının değerlendirmesine dönüyoruz:

Sistemin ana belirleyicisini buluyoruz:

ise, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır veya tutarsızdır (çözümleri yoktur). Bu durumda Cramer kuralı yardımcı olmaz, Gauss yöntemini kullanmanız gerekir.

Eğer sistem benzersiz bir çözüme sahipse ve kökleri bulmak için üç belirleyici daha hesaplamamız gerekir:
, ,

Ve son olarak, cevap şu formüllerle hesaplanır:

Örnek 9

Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün.

Çözüm: Cramer formüllerini kullanarak sistemi çözelim.

, bu nedenle sistemin benzersiz bir çözümü var.

Cevap: .

Aslında, kararın hazır formüllere göre verildiği göz önüne alındığında, burada tekrar yorum yapmak için özel bir şey yok. Ama bir iki not var.

Hesaplamalar sonucunda “kötü” indirgenemez kesirler elde edilir, örneğin: .
Aşağıdaki "tedavi" algoritmasını öneriyorum. Elinizde bilgisayar yoksa, şunu yaparız:

Örnek 10

Sistemi Cramer formüllerini kullanarak çözün.

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (dersin sonundaki örnek ve cevap).

Ters matris kullanarak sistemin çözümü

Ters matris yöntemi aslında özel bir durumdur. matris denklemi(Belirtilen dersin 3 numaralı örneğine bakın).

Bu bölümü incelemek için determinantları genişletebilmeniz, ters matrisi bulabilmeniz ve matris çarpımı gerçekleştirebilmeniz gerekir. Açıklama ilerledikçe ilgili linkler verilecektir.

Örnek 11

Sistemi matris yöntemiyle çözün

Çözüm: Sistemi matris formunda yazıyoruz:
, nerede

Ters matrisi şu formülle buluruz:
matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tümleyenlerinin yer değiştirmiş matrisi nerede .

İlk önce, determinantla ilgilenelim:

Burada determinant ilk satırla genişletilir.

Dikkat! ise, ters matris yoktur ve sistemi matris yöntemiyle çözmek imkansızdır. Bu durumda sistem bilinmeyenlerin elenmesiyle çözülür (Gauss yöntemi).

Şimdi 9 minör hesaplamanız ve bunları minör matrisine yazmanız gerekiyor.

Gabriel Kramer - İsviçreli matematikçi, doğrusal cebirin kurucularından Johann Bernoulli'nin öğrencisi ve arkadaşı. Cramer, kare matrisli rastgele sayıda doğrusal denklem sistemi olarak düşündü. Sistemin çözümünü, ortak bir payda - matrisin determinantı olan bir kesir sütunu şeklinde sundu. Cramer'in yöntemi, çözüm sürecini önemli ölçüde hızlandırabilen doğrusal denklem sistemlerinin çözümünde belirleyicilerin kullanımına dayanmaktadır. Bu yöntem, her denklemde bilinmeyen sayısı kadar lineer denklem sisteminin çözümünde uygulanabilir. Ana şey, sistemin determinantının "0" a eşit olmaması gerektiğidir, o zaman "0" ise çözümde Cramer yöntemi kullanılabilir - bu yöntem kullanılamaz. Ayrıca, bu yöntem, lineer denklem sistemlerini benzersiz bir çözümle çözmek için uygulanabilir.

Cramer teoremi. Sistemin determinantı sıfır değilse, lineer denklemler sisteminin tek bir çözümü vardır ve bilinmeyen, determinantların oranına eşittir. Payda, sistemin determinantını içerir ve pay, katsayıları bilinmeyenle serbest terimlerle değiştirerek sistemin determinantından elde edilen determinantı içerir. Bu teorem, herhangi bir mertebeden bir lineer denklem sistemi için geçerlidir.

Bize şöyle bir SLAE verildiğini varsayalım:

\[\left\(\begin(matrix) 3x_1 + 2x_2 =1\\ x_1 + 4x_2 = -3 \end(matris)\sağ.\]

Cramer teoremine göre şunları elde ederiz:

Cevap: \

Denklemi Cramer yöntemiyle çevrimiçi bir çözücü ile nerede çözebilirim?

Denklemi web sitemiz https://site üzerinden çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, herhangi bir karmaşıklığın çevrimiçi denklemini saniyeler içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken verilerinizi çözücüye girmek. Ayrıca videolu anlatımı izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini web sitemizden öğrenebilirsiniz. Ve herhangi bir sorunuz varsa, bunları Vkontakte grubumuza http://vk.com/pocketteacher sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size her zaman yardımcı olmaktan mutluluk duyarız.

Lineer denklem sistemi, bağımsız değişken sayısı kadar denklem içersin, yani. forma sahip

Bu tür lineer denklem sistemlerine ikinci dereceden denir. Sistemin (1.5) bağımsız değişkenlerinin katsayılarından oluşan determinant, sistemin ana determinantı olarak adlandırılır. Bunu Yunanca D harfi ile göstereceğiz. Böylece,

. (1.6)

Ana belirleyicide keyfi bir ( j th) sütununu, sistemin ücretsiz üyeleri (1.5) sütunuyla değiştirin, o zaman daha fazlasını alabiliriz n yardımcı belirleyiciler:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramer kuralı ikinci dereceden lineer denklem sistemlerinin çözümü aşağıdaki gibidir. Sistemin (1.5) temel belirleyicisi D sıfırdan farklıysa, sistem aşağıdaki formüllerle bulunabilen benzersiz bir çözüme sahiptir:

(1.8)

Örnek 1.5. Cramer yöntemini kullanarak denklem sistemini çözün

Sistemin ana belirleyicisini hesaplayalım:

D¹0'dan beri sistem, formüller (1.8) kullanılarak bulunabilen benzersiz bir çözüme sahiptir:

Böylece,

Matris Eylemleri

1. Bir matrisin bir sayı ile çarpımı. Bir matrisi bir sayı ile çarpma işlemi aşağıdaki gibi tanımlanır.

2. Bir matrisi bir sayı ile çarpmak için tüm elemanlarını bu sayı ile çarpmanız gerekir. Yani

. (1.9)

Örnek 1.6. .

Matris ekleme.

Bu işlem yalnızca aynı sıradaki matrisler için tanıtılır.

İki matris eklemek için, diğer matrisin karşılık gelen öğelerini bir matrisin öğelerine eklemek gerekir:

(1.10)
Matris toplama işlemi, çağrışım ve değişme özelliklerine sahiptir.

Örnek 1.7. .

Matris çarpımı.

Matris sütunlarının sayısı ise ANCAK matris satırlarının sayısıyla eşleşir AT, daha sonra bu tür matrisler için çarpma işlemi tanıtılır:

Böylece matris çarpılırken ANCAK boyutlar m´ n matrise AT boyutlar n´ k bir matris elde ederiz İTİBAREN boyutlar m´ k. Bu durumda matrisin elemanları İTİBAREN aşağıdaki formüllere göre hesaplanır:

Sorun 1.8. Mümkünse matrislerin çarpımını bulun AB ve BA:

Çözüm. 1) Bir iş bulmak için AB, matris satırlarına ihtiyacınız var A matris sütunlarıyla çarp B:

2) sanat eseri BA mevcut değil, çünkü matrisin sütun sayısı B matris satırlarının sayısıyla eşleşmiyor A.

Ters matris. Lineer denklem sistemlerini matris yoluyla çözme

Matris A- 1, bir kare matrisin tersi olarak adlandırılır ANCAK eşitlik geçerliyse:

nereden ben matris ile aynı sıradaki kimlik matrisini belirtir ANCAK:

Bir kare matrisin tersi olması için determinantının sıfırdan farklı olması gerekli ve yeterlidir. Ters matris şu formülle bulunur:

, (1.13)

nerede bir ij- elemanlara cebirsel eklemeler aij matrisler ANCAK(matrisin satırlarına yapılan cebirsel eklemelerin ANCAK karşılık gelen sütunlar şeklinde ters matriste düzenlenir).

Örnek 1.9. Ters matrisi bulun A- 1'den matrise

Ters matrisi formül (1.13) ile buluyoruz, bu durum için n= 3 şuna benzer:

det bulalım A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Orijinal matrisin determinantı sıfırdan farklı olduğu için ters matris vardır.

1) Cebirsel eklemeleri bulun bir ij:

Ters matrisi bulma kolaylığı için, orijinal matrisin satırlarına cebirsel eklemeleri karşılık gelen sütunlara yerleştirdik.

Elde edilen cebirsel eklemelerden yeni bir matris oluşturuyoruz ve bunu determinant det'e bölüyoruz. A. Böylece ters matrisi elde ederiz:

Sıfır olmayan bir ana belirleyiciye sahip ikinci dereceden doğrusal denklem sistemleri, bir ters matris kullanılarak çözülebilir. Bunun için sistem (1.5) matris formunda yazılır:

nerede

Soldaki eşitliğin (1.14) her iki tarafını da ile çarpmak A- 1 , sistemin çözümünü alıyoruz:

, nerede

Dolayısıyla kare bir sisteme çözüm bulmak için sistemin ana matrisinin ters matrisini bulup sağda serbest terimlerin sütun matrisi ile çarpmanız gerekir.

Sorun 1.10. Lineer denklem sistemini çözün

ters matris kullanarak.

Çözüm. Sistemi matris formunda yazıyoruz: ,

nerede sistemin ana matrisidir, bilinmeyenler sütunudur ve serbest terimler sütunudur. Sistemin ana belirleyicisi olduğundan , daha sonra sistemin ana matrisi ANCAK ters matrisi var ANCAK-bir . Ters matrisi bulmak için ANCAK-1 , matrisin tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını hesapla ANCAK:

Elde edilen sayılardan bir matris oluştururuz (ayrıca, matrisin satırlarına cebirsel eklemeler ANCAK uygun sütunlara yazın) ve onu determinant D'ye bölün. Böylece ters matrisi bulduk:

Sistemin çözümünü formül (1.15) ile buluyoruz:

Böylece,

Lineer Denklem Sistemlerini Sıradan Jordan İstisnalarıyla Çözme

Rasgele (mutlaka kare olması gerekmeyen) bir lineer denklem sistemi verilsin:

(1.16)

Sisteme bir çözüm bulunması gerekiyor, yani. sistemin tüm eşitliklerini sağlayan böyle bir değişken kümesi (1.16). Genel durumda, sistem (1.16) sadece bir çözüme değil, aynı zamanda sonsuz sayıda çözüme de sahip olabilir. Ayrıca hiç çözümü olmayabilir.

Bu tür problemleri çözerken, sıradan Ürdün eleme yöntemi olarak da adlandırılan okul kursundan bilinmeyenleri ortadan kaldırmanın iyi bilinen yöntemi kullanılır. Bu yöntemin özü, sistemin (1.16) denklemlerinden birinde, değişkenlerden birinin diğer değişkenler cinsinden ifade edilmesi gerçeğinde yatmaktadır. Daha sonra bu değişken sistemin diğer denklemlerine ikame edilir. Sonuç, orijinal sistemden bir denklem ve bir daha az değişken içeren bir sistemdir. Değişkenin ifade edildiği denklem hatırlanır.

Bu işlem sistemde son bir denklem kalana kadar tekrarlanır. Bilinmeyenleri eleme sürecinde örneğin bazı denklemler gerçek özdeşliğe dönüşebilir. Bu tür denklemler, değişkenlerin herhangi bir değeri için geçerli oldukları ve bu nedenle sistemin çözümünü etkilemediği için sistemden çıkarılır. Bilinmeyenleri ortadan kaldırma sürecinde, en az bir denklem, değişkenlerin herhangi bir değeri için sağlanamayan bir eşitlik haline gelirse (örneğin, ), sistemin bir çözümü olmadığı sonucuna varırız.

Tutarsız denklemlerin çözümü sırasında ortaya çıkmadıysa, içinde kalan değişkenlerden biri son denklemden bulunur. Son denklemde yalnızca bir değişken kalırsa, sayı olarak ifade edilir. Son denklemde başka değişkenler kalırsa, bunlar parametre olarak kabul edilir ve bunlar aracılığıyla ifade edilen değişken bu parametrelerin bir fonksiyonu olacaktır. Daha sonra sözde "ters hareket" yapılır. Bulunan değişken, en son belleğe alınan denklemde değiştirilir ve ikinci değişken bulunur. Daha sonra bulunan iki değişken, sondan bir önceki belleğe alınan denklemde değiştirilir ve üçüncü değişken bulunur ve bu şekilde, ilk belleğe alınan denkleme kadar devam edilir.

Sonuç olarak, sistemin çözümünü elde ederiz. Bu çözüm, bulunan değişkenler sayı ise tek çözüm olacaktır. İlk bulunan değişken ve ardından diğerleri parametrelere bağlıysa, sistem sonsuz sayıda çözüme sahip olacaktır (her parametre seti yeni bir çözüme karşılık gelir). Belirli bir parametre kümesine bağlı olarak sisteme çözüm bulmayı sağlayan formüllere sistemin genel çözümü denir.

Örnek 1.11.

İlk denklemi ezberledikten sonra ve benzer terimleri ikinci ve üçüncü denklemlere getirerek sisteme ulaşırız:

İfade etmek y ikinci denklemden ve ilk denklemde yerine:

İkinci denklemi hatırla ve ilkinden bulduğumuz z:

Ters hareketi yaparak, art arda buluyoruz y ve z. Bunu yapmak için, önce bulduğumuz son ezberlenmiş denklemi yerine koyarız. y:

Sonra ve ilk ezberlenmiş denklemi yerine koyarız bulduğumuz yerden x:

Sorun 1.12. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bir lineer denklem sistemi çözün:

. (1.17)

Çözüm.İlk denklemdeki değişkeni ifade edelim x ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun:

İlk denklemi hatırla

Bu sistemde birinci ve ikinci denklemler birbiriyle çelişir. Nitekim ifade y , 14 = 17 elde ederiz. Değişkenlerin herhangi bir değeri için bu eşitlik sağlanmaz. x, y, ve z. Sonuç olarak, sistem (1.17) tutarsızdır, yani, çözümü yok.

Okuyucular, orijinal sistemin (1.17) ana belirleyicisinin sıfıra eşit olduğunu bağımsız olarak doğrulamaya davet edilir.

(1.17) sisteminden yalnızca bir serbest terim ile ayrılan bir sistem düşünün.

Sorun 1.13. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bir lineer denklem sistemi çözün:

. (1.18)

Çözüm. Daha önce olduğu gibi, ilk denklemdeki değişkeni ifade ediyoruz. x ve ikinci ve üçüncü denklemlerde yerine koyun:

İlk denklemi hatırla ve benzer terimleri ikinci ve üçüncü denklemlerde sunuyoruz. Sisteme geliyoruz:

ifade etmek y ilk denklemden ve ikinci denklemde yerine koyarak , sistemin çözümünü etkilemeyen 14 = 14 kimliğini alırız ve bu nedenle sistemden çıkarılabilir.

Son belleğe alınan eşitlikte, değişken z parametre olarak kabul edilecektir. İnanıyoruz . O zamanlar

Vekil y ve z ilk ezberlenmiş eşitlik içine ve bulmak x:

Böylece, sistem (1.18) sonsuz bir çözüm kümesine sahiptir ve herhangi bir çözüm, parametrenin keyfi bir değeri seçilerek formüllerden (1.19) bulunabilir. t:

(1.19)
Bu nedenle, örneğin sistemin çözümleri aşağıdaki değişken kümeleridir (1; 2; 0), (2; 26; 14), vb. Formüller (1.19) sistemin genel (herhangi bir) çözümünü ifade eder (1.18). ).

Orijinal sistemin (1.16) yeterince fazla sayıda denkleme ve bilinmeyene sahip olması durumunda, belirtilen sıradan Jordan eleme yöntemi hantal görünmektedir. Ancak öyle değil. Sistemin katsayılarını bir adımda yeniden hesaplamak için algoritmayı genel bir biçimde türetmek ve sorunun çözümünü özel Jordan tabloları biçiminde resmileştirmek yeterlidir.

Bir lineer formlar (denklemler) sistemi verilsin:

, (1.20)
nerede xj- bağımsız (istenen) değişkenler, aij- sabit katsayılar
(ben = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Sistemin doğru parçaları ben (ben = 1, 2,…, m) hem değişkenler (bağımlı) hem de sabitler olabilir. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bu sisteme çözüm bulmak gerekiyor.

Bundan böyle "sıradan Jordan istisnalarının bir adımı" olarak anılacak olan aşağıdaki işlemi ele alalım. İsteğe bağlı olarak ( r th) eşitlik, keyfi bir değişken ifade ediyoruz ( x s) ve diğer tüm eşitliklerde yerine koyun. Tabii ki, bu ancak mümkünse bir rs¹ 0. Katsayı bir rsçözümleyici (bazen yol gösterici veya ana) öğe olarak adlandırılır.

Aşağıdaki sistemi alacağız:

. (1.21)

İtibaren s sistemin eşitliği (1.21), daha sonra değişkeni bulacağız x s(diğer değişkenler bulunduktan sonra). S inci satır hatırlanır ve daha sonra sistemden çıkarılır. Kalan sistem, orijinal sistemden bir denklem ve bir daha az bağımsız değişken içerecektir.

Ortaya çıkan sistemin (1.21) katsayılarını orijinal sistemin (1.20) katsayıları cinsinden hesaplayalım. İle başlayalım r değişkeni ifade ettikten sonra denklem x s değişkenlerin geri kalanı aracılığıyla şöyle görünecektir:

Böylece yeni katsayılar r denklem aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

(1.23)
Şimdi yeni katsayıları hesaplayalım b ij(i¹ r) keyfi bir denklemin. Bunu yapmak için, (1.22)'de ifade edilen değişkeni yerine koyarız. x s içinde i sistemin denklemi (1.20):

Benzer terimleri getirdikten sonra şunu elde ederiz:

(1.24)
Eşitlikten (1.24), sistemin (1.21) kalan katsayılarının hesaplandığı formüller elde ederiz (bunun dışında: r denklem):

(1.25)
Sıradan Ürdün elemeleri yöntemiyle doğrusal denklem sistemlerinin dönüşümü tablolar (matrisler) şeklinde sunulur. Bu tablolara "Ürdün tabloları" denir.

Bu nedenle, problem (1.20) aşağıdaki Jordan tablosuyla ilişkilendirilir:

Tablo 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
ben=	bir ben 1	bir ben 2		aij		bir		bir
…………………………………………………………………..
y r=	bir r 1	bir r 2		bir rj		bir rs		bir rn
………………………………………………………………….
y n=	bir m 1	bir m 2		bir mj		bir ms		amn

Jordan tablosu 1.1, sistemin sağ kısımlarının (1.20) yazıldığı sol baş sütunu ve bağımsız değişkenlerin yazıldığı üst baş satırını içermektedir.

Tablonun geri kalan elemanları sistemin (1.20) katsayılarının ana matrisini oluşturur. matrisi çarparsak ANCAKüst başlık satırının elemanlarından oluşan matrise, sonra sol başlık sütununun elemanlarından oluşan matrisi elde ederiz. Yani, özünde, Ürdün tablosu, bir doğrusal denklem sistemi yazmanın bir matris biçimidir: . Bu durumda, aşağıdaki Jordan tablosu sistem (1.21)'e karşılık gelir:

Tablo 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
ben =	ben 1	ben 2		b ij		b		çöp Kutusu
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		brn
………………………………………………………………….
yn =	ben 1	ben 2		bmj		b ms		bmn

izin verilen öğe bir rs kalın harflerle vurgulayacağız. Jordan istisnalarının bir adımını uygulamak için çözümleme öğesinin sıfırdan farklı olması gerektiğini hatırlayın. İzin verilen bir öğe içeren bir tablo satırına izin verilen bir satır denir. Etkinleştirme öğesini içeren sütun, etkinleştirme sütunu olarak adlandırılır. Belirli bir tablodan sonraki tabloya geçerken bir değişken ( x s) tablonun üst başlık satırından sol başlık sütununa ve bunun tersine sistemin serbest üyelerinden birine taşınır ( y r) tablonun sol başlık sütunundan üst başlık satırına taşınır.

Jordan tablosundan (1.1) tabloya (1.2) geçerken katsayıları yeniden hesaplama algoritmasını açıklayalım, bu formül (1.23) ve (1.25)'ten sonra gelir.

1. Etkinleştirme elemanı, ters sayı ile değiştirilir:

2. İzin verilen çizginin kalan öğeleri, izin verilen öğeye bölünür ve işareti tersine çevirir:

3. Etkinleştirme sütununun kalan öğeleri, etkinleştirme öğelerine bölünür:

4. Çözümleme satırında ve çözümleme sütununda yer almayan öğeler aşağıdaki formüllere göre yeniden hesaplanır:

Kesri oluşturan öğelerin olduğunu fark ederseniz, son formülü hatırlamanız kolaydır. , kavşakta i-Oh ve r-inci satırlar ve j inci ve s-th sütunları (çözümlenen satır, çözümlenen sütun ve yeniden hesaplanacak öğenin bulunduğu kesişimdeki satır ve sütun). Daha doğrusu, formülü ezberlerken aşağıdaki tabloyu kullanabilirsiniz:

-21 -26 -13 -37

Ürdün istisnalarının ilk adımını gerçekleştirerek, sütunlarda yer alan Tablo 1.3'ün herhangi bir öğesi x 1 ,…, x 5 (belirtilen tüm öğeler sıfıra eşit değildir). Yalnızca son sütundaki etkinleştirme öğesini seçmemelisiniz, çünkü bağımsız değişkenleri bulma ihtiyacı x 1 ,…, x 5. Örneğin, katsayısını seçiyoruz 1 bir değişkenle x Tablo 1.3'ün üçüncü satırında 3 (etkinleştirme öğesi kalın olarak gösterilmiştir). Tablo 1.4'e geçerken, değişken xÜst başlık satırındaki 3, sol başlık sütununun (üçüncü satır) sabit 0'ı ile değiştirilir. Aynı zamanda, değişken x 3 kalan değişkenler cinsinden ifade edilir.

sicim x 3 (Tablo 1.4), önceden hatırlanırsa, Tablo 1.4'ten hariç tutulabilir. Tablo 1.4'ten, üst başlık satırında sıfır bulunan üçüncü sütun da hariç tutulmuştur. Mesele şu ki, bu sütunun katsayılarından bağımsız olarak ben 3 her denklemin kendisine karşılık gelen tüm terimleri 0 ben 3 sistem sıfıra eşit olacaktır. Bu nedenle, bu katsayılar hesaplanamaz. Bir değişkeni ortadan kaldırmak x 3 ve denklemlerden birini hatırlayarak, Tablo 1.4'e karşılık gelen bir sisteme ulaşırız (çizgi üzeri çizilmiş olarak). x 3). Çözümleme öğesi olarak tablo 1.4'te seçim b 14 = -5, tablo 1.5'e gidin. Tablo 1.5'te ilk satırı hatırlıyoruz ve dördüncü sütunla birlikte (en üstte sıfır olacak şekilde) tablodan çıkarıyoruz.

Tablo 1.5 Tablo 1.6

Son tablo 1.7'den şunu buluyoruz: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Halihazırda bulunan değişkenleri ezberlenmiş satırlara sırayla koyarak, kalan değişkenleri buluruz:

Böylece sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. değişken x 5, isteğe bağlı değerler atayabilirsiniz. Bu değişken parametre görevi görür x 5 = t. Sistemin uyumluluğunu kanıtladık ve genel çözümünü bulduk:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

parametre verilmesi t farklı değerler, orijinal sisteme sonsuz sayıda çözüm elde ederiz. Örneğin, sistemin çözümü aşağıdaki değişkenler kümesidir (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Cramer'in yöntemi, lineer denklem sistemlerinin çözümünde determinantların kullanımına dayanmaktadır. Bu, çözüm sürecini büyük ölçüde hızlandırır.

Cramer yöntemi, her denklemde bilinmeyen sayısı kadar lineer denklem sistemini çözmek için kullanılabilir. Sistemin determinantı sıfıra eşit değilse çözümde Cramer yöntemi kullanılabilir, sıfıra eşitse kullanılamaz. Ek olarak, Cramer yöntemi, benzersiz bir çözümü olan lineer denklem sistemlerini çözmek için kullanılabilir.

Tanım. Bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan determinant, sistemin determinantı olarak adlandırılır ve (delta) ile gösterilir.

belirleyiciler

karşılık gelen bilinmeyenlerdeki katsayıların serbest terimlerle değiştirilmesiyle elde edilir:

;

Cramer teoremi. Sistemin determinantı sıfır değilse, lineer denklemler sisteminin tek bir çözümü vardır ve bilinmeyen, determinantların oranına eşittir. Payda, sistemin determinantını içerir ve pay, katsayıları bilinmeyenle serbest terimlerle değiştirerek sistemin determinantından elde edilen determinantı içerir. Bu teorem, herhangi bir mertebeden bir lineer denklem sistemi için geçerlidir.

örnek 1 Lineer denklem sistemini çözün:

Göre Cramer teoremi sahibiz:

Böylece, sistemin (2) çözümü:

çevrimiçi hesap makinesi, Cramer'in çözüm yöntemi.

Lineer denklem sistemlerinin çözümünde üç durum

Göründüğü gibi Cramer teoremleri, bir lineer denklem sistemini çözerken üç durum ortaya çıkabilir:

İlk durum: lineer denklem sisteminin benzersiz bir çözümü var

(sistem tutarlı ve kesindir)

İkinci durum: lineer denklemler sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.

(sistem tutarlı ve belirsizdir)

** ,

şunlar. bilinmeyenlerin katsayıları ve serbest terimler orantılıdır.

Üçüncü durum: lineer denklem sisteminin çözümü yok

(sistem tutarsız)

yani sistem m lineer denklemler n değişkenler denir uyumsuzçözümü yoksa ve bağlantı en az bir çözümü varsa. Tek çözümü olan birleşik denklem sistemine denir. belirli, ve birden fazla belirsiz.

Cramer yöntemiyle lineer denklem sistemlerini çözme örnekleri

sistem olsun

Cramer teoremine dayanarak

………….
,

nerede
-

sistem tanımlayıcısı. Kalan belirleyiciler, sütunun karşılık gelen değişkenin (bilinmeyen) katsayıları ile serbest üyelerle değiştirilmesiyle elde edilir:

Örnek 2

Bu nedenle, sistem kesindir. Çözümünü bulmak için determinantları hesaplıyoruz.

Cramer'in formüllerine göre şunları buluruz:

Yani (1; 0; -1) sistemin tek çözümüdür.

3 X 3 ve 4 X 4 denklem sistemlerinin çözümlerini kontrol etmek için çevrimiçi hesap makinesi olan Cramer çözme yöntemini kullanabilirsiniz.

Bir veya daha fazla denklemde doğrusal denklem sisteminde değişken yoksa, determinantta bunlara karşılık gelen elemanlar sıfıra eşittir! Bu bir sonraki örnek.

Örnek 3 Lineer denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözün:

Çözüm. Sistemin determinantını buluyoruz:

Denklem sistemine ve sistemin determinantına dikkatlice bakın ve determinantın bir veya daha fazla elemanının sıfıra eşit olduğu durumlarda sorunun cevabını tekrarlayın. Yani, determinant sıfıra eşit değildir, bu nedenle sistem kesindir. Çözümünü bulmak için bilinmeyenlerin determinantlarını hesaplıyoruz.

Cramer'in formüllerine göre şunları buluruz:

O halde sistemin çözümü (2; -1; 1)'dir.

3 X 3 ve 4 X 4 denklem sistemlerinin çözümlerini kontrol etmek için çevrimiçi hesap makinesi olan Cramer çözme yöntemini kullanabilirsiniz.

Sayfanın başı

Cramer yöntemini kullanarak sistemleri birlikte çözmeye devam ediyoruz.

Daha önce de belirtildiği gibi, sistemin determinantı sıfıra eşitse ve bilinmeyenlerin determinantları sıfıra eşit değilse, sistem tutarsızdır, yani çözümü yoktur. Aşağıdaki örnekle açıklayalım.

Örnek 6 Lineer denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözün:

Çözüm. Sistemin determinantını buluyoruz:

Sistemin determinantı sıfıra eşittir, bu nedenle doğrusal denklemler sistemi ya tutarsız ve kesindir ya da tutarsızdır, yani çözümü yoktur. Açıklığa kavuşturmak için, bilinmeyenlerin belirleyicilerini hesaplıyoruz.

Bilinmeyenlerin belirleyicileri sıfıra eşit değildir, bu nedenle sistem tutarsızdır, yani çözümü yoktur.

3 X 3 ve 4 X 4 denklem sistemlerinin çözümlerini kontrol etmek için çevrimiçi hesap makinesi olan Cramer çözme yöntemini kullanabilirsiniz.

Lineer denklem sistemleri ile ilgili problemlerde, değişkenleri ifade eden harflere ek olarak başka harflerin de olduğu problemler vardır. Bu harfler, çoğu zaman gerçek bir sayı olan bir sayıyı temsil eder. Uygulamada, bu tür denklemler ve denklem sistemleri, herhangi bir fenomenin ve nesnenin genel özelliklerini bulmak için sorunlara yol açar. Yani, yeni bir malzeme veya cihaz icat ettiniz ve kopyaların boyutuna veya sayısına bakılmaksızın ortak olan özelliklerini tanımlamak için, değişkenler için bazı katsayılar yerine harflerin olduğu bir doğrusal denklem sistemini çözmeniz gerekiyor. Örnekleri uzaklarda aramaya gerek yok.

Bir sonraki örnek benzer bir problem içindir, sadece denklemlerin, değişkenlerin ve bazı gerçek sayıları ifade eden harflerin sayısı artar.

Örnek 8 Lineer denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözün:

Çözüm. Sistemin determinantını buluyoruz:

Bilinmeyenler için belirleyici bulma

Ayrıntılı bir çözümle çevrimiçi olarak Cramer yöntemiyle çözün. Doğrusal denklemler. Lineer denklem sistemlerini çözme. Cramer yöntemi. Lineer cebirsel denklem sistemleri

Ters matris kullanarak sistemin çözümü

Ters matris kullanarak sistemin çözümü

Denklemi Cramer yöntemiyle çevrimiçi bir çözücü ile nerede çözebilirim?

Matris Eylemleri

Matris ekleme.

Matris çarpımı.

Ters matris. Lineer denklem sistemlerini matris yoluyla çözme

Lineer Denklem Sistemlerini Sıradan Jordan İstisnalarıyla Çözme

Lineer denklem sistemlerinin çözümünde üç durum

Cramer yöntemiyle lineer denklem sistemlerini çözme örnekleri

Sayfanın başı

Cramer yöntemini kullanarak sistemleri birlikte çözmeye devam ediyoruz.

Yazım hatası bildir

Editörlerimize gönderilecek metin:

Yorumunuz (isteğe bağlı):