อัลกอริธึมของ Euclid - การหาตัวหารร่วมมาก คณิตศาสตร์ ฉันชอบอัลกอริทึมของยุคลิดในการคำนวณตัวหารร่วมมากสุด

ในคำนำของฉบับพิมพ์ครั้งแรก In the Realm of Ingenuity (1908), E. I. Ignatiev เขียนว่า: ผลลัพธ์จะเชื่อถือได้ก็ต่อเมื่อมีการแนะนำสาขาความรู้ทางคณิตศาสตร์ในวิธีที่ง่ายและน่าพอใจ กับวัตถุและตัวอย่างของสถานการณ์ในชีวิตประจำวันและในชีวิตประจำวัน โดยคัดเลือกด้วยไหวพริบและความบันเทิงที่เหมาะสม

ในคำนำของ "บทบาทของหน่วยความจำในคณิตศาสตร์" ฉบับปี 1911 E.I. Ignatiev เขียนว่า "... ในวิชาคณิตศาสตร์เราไม่ควรจำสูตร แต่เป็นกระบวนการคิด"

ในการแยกรากที่สองออก จะมีตารางสี่เหลี่ยมสำหรับตัวเลขสองหลัก คุณสามารถแยกตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะและแยกรากที่สองออกจากผลคูณได้ ตารางสี่เหลี่ยมไม่เพียงพอ การดึงรูทโดยแฟคตอริ่งเป็นงานที่ต้องใช้เวลามาก ซึ่งไม่ได้นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการเสมอไป ลองแยกรากที่สองของจำนวน 209764 หรือไม่? การสลายตัวเป็นปัจจัยเฉพาะให้ผลผลิต 2 * 2 * 52441 โดยการลองผิดลองถูก การเลือก - แน่นอนว่าสิ่งนี้สามารถทำได้หากคุณแน่ใจว่านี่คือจำนวนเต็ม วิธีที่ฉันต้องการแนะนำช่วยให้คุณสามารถหาสแควร์รูทได้ในทุกกรณี

ครั้งหนึ่งที่สถาบัน (Perm State Pedagogical Institute) เราเคยรู้จักวิธีนี้มาก่อน ซึ่งตอนนี้ฉันอยากจะพูดถึง ฉันไม่เคยคิดว่าวิธีนี้มีหลักฐานหรือไม่ ดังนั้นตอนนี้ฉันต้องสรุปหลักฐานด้วยตัวเอง

พื้นฐานของวิธีนี้คือองค์ประกอบของจำนวน =

=& เช่น &2=596334.

1. แยกตัวเลข (5963364) เป็นคู่จากขวาไปซ้าย (5`96`33`64)

2. เราแยกรากที่สองของกลุ่มแรกทางด้านซ้าย ( - หมายเลข 2) ดังนั้นเราจึงได้ตัวเลขตัวแรกของตัวเลข &

3. ค้นหากำลังสองของหลักแรก (2 2 \u003d 4)

4. ค้นหาความแตกต่างระหว่างกลุ่มแรกและกำลังสองของหลักแรก (5-4=1)

5. เรารื้อถอนตัวเลขสองหลักถัดไป (เราได้หมายเลข 196)

6. เราเพิ่มตัวเลขแรกที่เราพบเป็นสองเท่า เขียนลงไปทางซ้ายหลังบรรทัด (2*2=4)

7. ตอนนี้ คุณต้องหาหลักที่สองของตัวเลข &: หลักสองหลักที่เราพบกลายเป็นหลักสิบของตัวเลข เมื่อคูณด้วยจำนวนหน่วย คุณต้องได้ตัวเลขที่น้อยกว่า 196 ( นี่คือหมายเลข 4, 44 * 4 \u003d 176) 4 เป็นตัวเลขที่สองของ &

8. ค้นหาส่วนต่าง (196-176=20)

9. เรารื้อกลุ่มต่อไป (เราได้หมายเลข 2033)

10. เพิ่มจำนวน 24 สองเท่า เราได้ 48

11.48 สิบเป็นตัวเลข เมื่อคูณด้วยจำนวนหน่วย เราควรได้ตัวเลขที่น้อยกว่า 2033 (484 * 4 \u003d 1936) หลักของหน่วยที่เราพบ (4) คือหลักที่สามของตัวเลข &

หลักฐานที่ได้รับจากฉันสำหรับกรณี:

1. แยกรากที่สองของตัวเลขสามหลัก

2. แยกรากที่สองของตัวเลขสี่หลัก

วิธีการโดยประมาณในการแยกรากที่สอง (โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข)

1. ชาวบาบิโลนโบราณใช้วิธีต่อไปนี้เพื่อค้นหาค่าประมาณของรากที่สองของจำนวน x ของพวกเขา พวกเขาแทนจำนวน x เป็นผลรวม a 2 + b โดยที่ 2 นั้นใกล้เคียงที่สุดกับ x กำลังสองที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติ a (a 2 ? x) และใช้สูตร . (1)

โดยใช้สูตร (1) เราแยกรากที่สองออกจากตัวเลข 28:

ผลการสกัดรากของ 28 โดยใช้ MK 5.2915026

อย่างที่คุณเห็น วิธีบาบิโลนให้ค่าประมาณที่ดีกับค่ารูทที่แน่นอน

2. Isaac Newton ได้พัฒนาวิธีสแควร์รูทซึ่งมีขึ้นตั้งแต่สมัยนกกระสาแห่งอเล็กซานเดรีย (ค.ศ. 100) วิธีนี้ (เรียกว่าวิธีของนิวตัน) มีดังนี้

ปล่อยให้เป็น 1- การประมาณค่าตัวเลขแรก (เป็น 1 คุณสามารถใช้ค่าของรากที่สองของจำนวนธรรมชาติ - ค่ากำลังสองที่แน่นอนที่ไม่เกิน เอ็กซ์) .

ถัดไป การประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้น 2ตัวเลข พบโดยสูตร .

ขนาด: px

ความประทับใจเริ่มต้นจากหน้า:

การถอดเสียง

1 บทที่ 2 การคำนวณอัลกอริทึมการแบ่งส่วนที่ใหญ่ที่สุดของยุคลิด เมื่อทำงานกับจำนวนประกอบจำนวนมาก ตามกฎแล้วจะไม่ทราบการสลายตัวของปัจจัยสำคัญ แต่สำหรับปัญหาเชิงประยุกต์หลายๆ ประการของทฤษฎีจำนวน การค้นหาการแยกตัวประกอบจำนวนเป็นปัญหาที่สำคัญและมักพบปัญหาในทางปฏิบัติ ในทฤษฎีจำนวน มีวิธีที่ค่อนข้างเร็วในการคำนวณ gcd ของตัวเลขสองตัว ซึ่งเรียกว่าอัลกอริทึมแบบยุคลิด อัลกอริทึมที่ 1 อัลกอริทึมของยุคลิด ทางเข้า. จำนวนเต็ม a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0 อัลกอริทึมแบบยุคลิดหยุดทำงาน และจำนวน d สร้างเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข a และ b การพิสูจน์ . โดยทฤษฎีบทการหารด้วยเศษที่เหลือ สำหรับ i 1 ใดๆ เรามี r i 1 = q i r i + r i+1 โดยที่ 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0 ล้อมรอบจากด้านล่าง ลำดับดังกล่าวไม่สามารถเป็นอนันต์ได้ ดังนั้นอัลกอริธึมของยุคลิดจึงหยุดลง อัลกอริธึมไบนารีของ Euclid อัลกอริธึม Binary GCD ของ Euclid จะเร็วขึ้นเมื่อใช้สิ่งนี้

2 อัลกอริธึมบนคอมพิวเตอร์ เพราะใช้แทนเลขฐานสองของตัวเลข a และ b อัลกอริธึมยูคลิดแบบไบนารีอิงตามคุณสมบัติของตัวหารร่วมมากต่อไปนี้ (เราถือว่า0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b แล้ว gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) ถ้า a = b แล้ว gcd(a, b) = a อัลกอริทึมที่ 2 อัลกอริทึมของไบนารียูคลิด ทางเข้า. จำนวนเต็ม a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >ข. แล้วมีจำนวนเต็ม x และ y ซึ่ง d = ax + by กล่าวอีกนัยหนึ่ง gcd ของตัวเลขสองตัวสามารถแสดงเป็น

3 เป็นผลรวมเชิงเส้นของตัวเลขเหล่านี้กับสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม อัลกอริธึม 3 แบบแผนของอัลกอริธึม Euclid แบบขยาย 1. กำหนด = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b 2. ให้จำนวน q เป็นผลหารของจำนวน a หารด้วยจำนวน b และจำนวน r เป็นส่วนที่เหลือของการหารของตัวเลขเหล่านี้ (เช่น a = qb + r) ก = ข; ข = ร; เสื้อ = ; //t = x i-1 ; = ตร.ว. // = x i สำหรับด้านขวา = x i+1 สำหรับด้านขวา; //t = y i-1 ; = ตร.ว. 5. กลับไปที่ขั้นตอน กำหนด x = x 0, y = y 0, d = αx + βy ตัวแปรของบันทึกอัลกอริธึม Euclid แบบขยาย จำนวนเต็ม a, b; 0< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 คำนวณโดยอัลกอริทึม ทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดงให้เห็น ทฤษฎีบทที่ 4 ในการวนซ้ำของอัลกอริทึม 3 แต่ละครั้ง แกนความเท่าเทียมกัน i + โดย i = r i เป็นที่พอใจ สำหรับ i 0 การพิสูจน์ ลองใช้วิธีการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์กัน สำหรับ i = 0 และ i = 1 ความเท่าเทียมกันที่กำหนดจะคงอยู่เนื่องจากขั้นตอนที่ 1 ของอัลกอริทึม 3 ให้เราถือว่ามันเป็นความจริงสำหรับ i 1 และสำหรับ i จากนั้นในขั้นตอนที่ 3 เราจะได้ x i+1 = x i 1 x i และ y i+1 = y i 1 y i ดังนั้น ax i+1 + โดย i+1 = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + โดย i 1 (ax i + โดย i) = r i 1 r i = r i+1 . ตัวอย่าง. ให้ a = 1769, b = 551 ใช้อัลกอริธึมแบบยุคลิดแบบขยาย ค้นหาจำนวนเต็ม x และ y โดยที่ d = ax + โดย โดยที่ d gcd ของตัวเลข a และ b ฉันขั้นตอนของลำดับการคำนวณ 1. กำหนด = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = Quotient q = a / b = 1769/551 = 3 และส่วนที่เหลือของการหาร r = 116 a = 551; ข = 116; เสื้อ = =0: = เสื้อ q = 1 0 = 1 = 0; = เสื้อ q = 3; ค่ากลางต่อไปนี้

5 พารามิเตอร์: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = เนื่องจากส่วนที่เหลือของการหารคือ r 0 เรากลับไปที่ขั้นตอนที่ 2 ด่าน II ของลำดับการคำนวณ 1. ค่าพารามิเตอร์: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Quotient q = a/b = 551/116 = 4 และส่วนที่เหลือ r = 87 a = 116; ข = 87; เสื้อ == 0; =1: = t q = = 4 = 3; = t q = 1 (3) 4 = 13; ค่ากลางของพารามิเตอร์ต่อไปนี้: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = เนื่องจากส่วนที่เหลือของการหารคือ r 0 เรากลับไปที่ขั้นตอนที่ 2 ด่าน III ของลำดับการคำนวณ . 1. ค่าพารามิเตอร์: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Quotient q = a/b = 116/87 = 1, และส่วนที่เหลือ r = 29

6a = 87; ข = 29; เสื้อ = = 4: = เสื้อ q = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = เสื้อ q = 3 (13) 1 = 16; ค่ากลางของพารามิเตอร์ต่อไปนี้: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = เนื่องจากส่วนที่เหลือของการหารคือ r 0 เรากลับไปที่ขั้นตอนที่ 2 ด่าน IV ของลำดับการคำนวณ . 1. ค่าพารามิเตอร์: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Quotient q = a/b = 87/29 = 3 และส่วนที่เหลือ r = 0 a = 87; ข = 29; เสื้อ == 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = เสื้อ q = 13 (16) 3 = 61; ค่าพารามิเตอร์กลางต่อไปนี้: a= 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = เนื่องจากส่วนที่เหลือของการหารคือ r = 0 เราดำเนินการขั้นตอนที่ 6

7 6. คำนวณ GCD โดยใช้สูตร d = αx + βy โดยที่ x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α= 1769, β = 551 การแทนค่าของพารามิเตอร์ เราจะได้ d = αx + βy = = = 29 อัลกอริทึม Euclid แบบขยายสามารถนำไปใช้ในรูปแบบไบนารีได้ อัลกอริธึม 4. อัลกอริธึมยูคลิดไบนารีแบบขยาย ทางเข้า. จำนวนเต็ม a, b; 0< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

แก้สมการในจำนวนเต็ม สมการเชิงเส้น ตัวอย่างวิธีการแจงนับโดยตรง กระต่ายและไก่ฟ้ากำลังนั่งอยู่ในกรง พวกเขามีทั้งหมด 8 ขา ค้นหาจำนวนเหล่านั้นและอื่น ๆ ที่อยู่ในเซลล์ แสดงรายการโซลูชันทั้งหมด การตัดสินใจ.

บทที่ 7 หมายเลข d เรียกว่าตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลข a และ b ถ้า (1) d a และ d b และ (2) สำหรับ x ทั้งหมดจาก x a และ x b ที่ตามหลัง x d ในกรณีนี้ เราเขียน d = (a, b) เล็มมา 1. สำหรับตัวเลขใด ๆ

เรื่อง. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นและการประยุกต์ - เนื้อหาทางทฤษฎี ชุดโมดูโลเรซิดิว คุณสมบัติของคอนกรูเอนซ์ อนุญาต เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า เราแสดงโดย Z ชุดของทุกชั้นเรียน

Ugra Physics and Mathematics Lyceum VP Chuvakov พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน บันทึกบรรยาย (0)(mod) (0)(mod) ตัวเลขธรรมชาติ N - ชุดของตัวเลขธรรมชาติที่ใช้สำหรับการนับหรือการแจงนับ

บทที่ 2 จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะและจำนวนจริง 2.. เลขจำนวนเต็ม ตัวเลข 2, 3,... เรียกว่าธรรมชาติ เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดเขียนแทนด้วย N นั่นคือ ไม่มี = (,2,3,...). เบอร์..., 3, 2,0,2,3,...

เศษส่วนต่อเนื่อง เศษส่วนต่อเนื่อง คำจำกัดความ นิพจน์ของรูปแบบ a 0 + a + a + + a m โดยที่ 0 Z a a m N a m N/() เรียกว่าเศษส่วนต่อเนื่อง และ m คือความยาวของเศษส่วนต่อเนื่อง a 0 a a m จะเท่ากับ เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของเศษส่วนต่อเนื่อง

การบรรยาย 1 องค์ประกอบบางประการของทฤษฎีจำนวน

Gorbachev ไม่ใช่ พหุนามในตัวแปรเดียว การแก้สมการของดีกรี แนวคิดของการดำเนินการเลขคณิตพหุนามบนพหุนาม Dep A พหุนาม (พหุนาม) ของดีกรี th เทียบกับตัวแปร

การหารจำนวนเต็ม จำนวน a หารด้วยจำนวน b ลงตัว (หรือ b หาร a) หากมีตัวเลขดังกล่าว c ที่ a = bc ในกรณีนี้ ตัวเลข c เรียกว่า ผลหารของการหาร a ด้วย b สัญกรณ์: a - a หารด้วย b หรือ ba b หาร

บทที่ 12 การเปรียบเทียบของระดับที่สองบนโมดูลาร์อย่างง่ายและเศษเหลือเศษ รูปทั่วไปของการเปรียบเทียบของโมดูโลดีกรีที่สอง p มีรูปแบบ (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p การหาแนวทางเปรียบเทียบ (1)

คำแนะนำ วิธีแก้ปัญหา คำตอบ EQUATIONS IN INTEGER สมการที่ไม่รู้จัก คำตอบ ลองใส่ลงในสมการ เราจะได้ความเท่าเทียมกัน (4a b 4) (a b 8) 0 ความเท่าเทียมกัน AB 0 โดยที่ A และ B เป็นจำนวนเต็ม เป็นที่พอใจ

พหุนามพีชคณิต 1 พหุนามพีชคณิตของดีกรี n บนฟิลด์ K คำจำกัดความ 1.1 พหุนามของดีกรี n, n N (0) ในตัวแปร z เหนือฟิลด์ตัวเลข K คือนิพจน์ของรูปแบบ: fz = a n z n

บรรยาย เศษส่วนควอดราติกและสิ่งที่ไม่ตกค้าง วิทยากร : Nyu Zolotykh บันทึกโดย: E Zamaraeva?? 00 กันยายน สารบัญ สารตกค้างกำลังสองและไม่ใช่สิ่งตกค้าง สัญลักษณ์ Legendre คุณสมบัติของสัญลักษณ์ Legendre กฎหมายการแลกเปลี่ยนกำลังสอง

โรงเรียนประจำสถาบันการศึกษาของรัฐ "ปัญญา" ตัวเลขธรรมชาติเป็นชุดเชิงเส้นพร้อมสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม"

ส่วนการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ : อินทิกรัลไม่จำกัด หัวข้อ: การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะ อาจารย์ Pakhomova E.G. 0 5. การบูรณาการของเศษส่วนตรรกยะ เศษตรรกยะเรียกว่า

4 ทฤษฎีตัวเลข 4 จำนวนเต็ม 7 คำจำกัดความ ให้ b Z แล้วหาร b ถ้ามีจำนวนเต็มดังกล่าว b (แสดงโดย b) 73 ทฤษฎีบท (หารด้วยเศษ) ถ้า b Z และ b มีจำนวนเต็มดังกล่าว

ส่วนการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์: อินทิกรัลไม่มีกำหนด หัวข้อ: การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะ อาจารย์ Rozhkova S.V. 0 5. การบูรณาการของเศษส่วนตรรกยะ เศษตรรกยะเรียกว่า

009-00 บัญชี ปี. 6, 9 เซลล์ คณิตศาสตร์. องค์ประกอบของทฤษฎีจำนวน 4. การคำนวณตัวหารร่วมมากยิ่งและตัวคูณร่วมน้อย ให้เก็บสัญกรณ์ไว้จากย่อหน้า สำหรับจำนวนธรรมชาติ n สัญกรณ์ n

พีชคณิตประยุกต์ ส่วนที่ 1: ฟิลด์ไฟไนต์ (ฟิลด์กาลอย) I 1 / 67 ส่วนที่ 1 ฟิลด์จำกัด (เขตกาลอย) ฉันใช้พีชคณิต ส่วนที่ 1: ฟิลด์ไฟไนต์ (ฟิลด์กาลอย) I 2 / 67 ฟิลด์สารตกค้าง โมดูโล ไพรม์

5 การแก้สมการเป็นจำนวนเต็ม ในการแก้สมการง่ายๆ เช่น สมการเชิงเส้นที่ไม่ทราบค่า จะมีลักษณะเฉพาะบางอย่างถ้าสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นจำนวนเต็ม และต้องใช้

งานในห้องปฏิบัติการ 8 การคำนวณตัวหารร่วมมากสำหรับตัวเลขสองตัวโดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด

ส่วนที่ 1 พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของการเข้ารหัส 1 คำจำกัดความของฟิลด์ ฟิลด์จำกัด GF q (หรือฟิลด์ Galois) เป็นชุดขององค์ประกอบโดยพลการที่มีขอบเขตจำกัด โดยมีการบวกและการคูณที่ระบุระหว่างกัน

XIX Interregional Olympiad for Schoolchildren in Mathematics and Cryptography Tasks for Grade 11 Solution of Problem 1 อันดับแรก เราสังเกตว่าถ้า N = pq โดยที่ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ จำนวนธรรมชาติจะน้อยกว่า

พหุนามและรากศัพท์ 2018 Gushchina Elena Nikolaevna คำจำกัดความ: พหุนามของดีกรี n n N คือนิพจน์ใดๆ ของรูปแบบ: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a. โดยที่ ก & , ก &+, ก, ก. อาร์ เอ&

การบรรยาย 4. มาตรฐาน AES RIJNDAEL อัลกอริธึม AES (Advnced Encrypton Stndrd) เป็นมาตรฐานการเข้ารหัสแบบ single-key ใหม่ที่แทนที่มาตรฐาน DES อัลกอริทึม Rjndel (ไรน์-ดาล)

พหุนามและรากศัพท์ คำนิยาม: พหุนามของดีกรี n (n N) คือนิพจน์ใดๆ ของรูปแบบ: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 โดยที่ a n, a n 1, a 1, a 0 R, n สัมประสิทธิ์นำหน้า, a

1 อัลกอริธึมของ Euclid และความซับซ้อนของมัน คำจำกัดความ 1. ตัวหารร่วมของตัวเลข a และ b คือตัวเลข c โดยที่ c a และ c b คำจำกัดความ 2 ตัวหารร่วมมากของจำนวน a และ b คือตัวหารร่วมของพวกมัน

บทที่ 14 การคำนวณรากที่สองของโมดูโลคอมโพสิต จากทฤษฎีข้างต้นว่าถ้า = ที่ไหน และ เป็นจำนวนเฉพาะ กลุ่ม Z มีค่า isomorphic ต่อช่องว่าง Z Z เนื่องจาก isomorphism จะคงคุณสมบัติไว้

บทที่ 3 การคำนวณของโมดูลรูตสี่เหลี่ยม กรณีของโมดูลอย่างง่าย พิจารณาการเปรียบเทียบ x a mod p, () โดยที่หมายเลข p เป็นจำนวนเฉพาะและจำนวนเต็ม a หารด้วย p หารด้วย p ไม่ได้ การคำนวณคำตอบ x ของสมการนี้คือ

Discrete Mathematics Colloquium Program (สตรีมหลัก) ในช่วงเริ่มต้นของการสัมมนา คุณจะได้รับตั๋วที่มีคำถามสามข้อ ได้แก่ คำถามคำจำกัดความ งาน และคำถามพิสูจน์อักษร

อัลกอริธึมของ Shor Yu. Lifshits 1 ธันวาคม 005 โครงร่างการบรรยาย 1. การเตรียมการ (a) ตัวเลขแฟคตอริ่ง (b) การคำนวณควอนตัม (c) การจำลองการคำนวณแบบคลาสสิก อัลกอริธึมของไซม่อน (ก) ความเท่าเทียมกันของควอนตัม

จากประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ หนังสือที่มีเนื้อหาค่อนข้างมากเล่มแรกที่มีการนำเสนอเลขคณิตอย่างอิสระจากเรขาคณิตคือ Nicomachus' Introduction to Arithmetic (okne)

A Brief Introduction to the beginnings of Elementary Number Theory Denis Kirienko Computer Summer School, 1 มกราคม 2552 การแบ่งจำนวนเต็ม ให้จำนวนเต็มสองจำนวน a และ b, b 0

หัวข้อ 1-9: พหุนาม. การสร้างวงแหวนของพหุนาม ทฤษฎีการหาร. อนุพันธ์ A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University สถาบันคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ภาควิชาพีชคณิตและไม่ต่อเนื่อง

สมการพีชคณิตที่นิยาม พีชคณิตคือสมการของรูปแบบ 0, P () 0, จำนวนจริงบางจำนวน 0 0 ในกรณีนี้ จะเรียกตัวแปรว่าไม่ทราบ และเรียกตัวเลข 0 ว่า

บรรยาย 6 องค์ประกอบของทฤษฎีจำนวน 1 ปัญหา ต่อลำดับหมายเลข 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 จำนวนเต็มเลขคณิต ใช้จำนวนเต็ม: Z = (, -2 , -1, 0,

พหุนาม พหุนามที่มีตัวแปรเดียว x ของดีกรี n คือนิพจน์ของรูปแบบ โดยที่ตัวเลขใด ๆ เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม และสัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนามเรียกว่า if แทนที่จะเป็นตัวแปร

1 2 เนื้อหา 1. บทนำ. 4-6 1.1. บทคัดย่อ...4 1.2. ปัญหาที่ 4 1.3. วัตถุประสงค์ของงาน 5 1.4. สมมติฐาน..5 1.5. หัวข้อวิจัย... 5 1.6. วัตถุประสงค์ของการศึกษา 5 1.7. ความแปลกใหม่... 5-6 1.8. วิธีการวิจัย...6

คลาส 8.3, 8.4.2 คณิตศาสตร์ (ตำราเรียน Makarychev) ปีการศึกษา 2561-2562 ธีมของโมดูล "จำนวนเต็ม การหารตัวเลข. องศาพร้อมตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม ” มีการตรวจสอบชิ้นส่วนทางทฤษฎีและการปฏิบัติในการทดสอบ หัวข้อ รู้

บรรยาย การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะ เศษส่วนตรรกยะ การบูรณาการเศษส่วนตรรกยะอย่างง่าย

Www.cryptolymp.ru XIX Interregional Olympiad for Schoolchildren in Mathematics and Cryptography (เกรด 11) การแก้ปัญหาที่ 1 อันดับแรก เราทราบว่าถ้า N pq โดยที่ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วจำนวนของตัวเลขธรรมชาติ

บทที่ จำนวนเต็ม ทฤษฎีการหาร จำนวนเต็มเรียกว่าตัวเลข -3, -, -, 0, 3, ตัวเลขธรรมชาติเหล่านั้น, 3, 4, เช่นเดียวกับศูนย์และจำนวนลบ -, -, -3, -4, ชุดของจำนวนเต็มทั้งหมด แสดงโดย

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย Ural State University of Economics Yu. ครั้งที่ 4 และเพิ่มเติม อีเมล: [ป้องกันอีเมล],

(ตัวอย่างระบบตรีโกณมิติอนุกรมตรีโกณมิติ - การขยายตัวในช่วงเวลา [ -l; l ] สำหรับฟังก์ชันของคาบใด ๆ - การขยายอนุกรมที่ไม่สมบูรณ์ในไซน์และโคไซน์คู่และความต่อเนื่องคี่)

วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี II การบรรยาย 5. อัลกอริธึมจำนวนเต็ม: อัลกอริธึมของ Euclid แบบขยาย, โมดูโลผกผัน, โมดูโลการยกกำลัง การเข้ารหัสคีย์สาธารณะ โปรโตคอล RSA ความน่าจะเป็น

5. รหัส Bose-Chaudhury-Hokvingham คุณสมบัติการแก้ไขของรหัสวัฏจักรสามารถกำหนดได้บนพื้นฐานของสองทฤษฎีบท ทฤษฎีบทที่ 1 สำหรับ m และ t ใดๆ มีรหัสวัฏจักรที่มีความยาว n = 2 m 1 ซึ่งมีหลายหลาก

MODULAR ARITHMETIC ในบางแอปพลิเคชัน จะสะดวกที่จะทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์กับจำนวนเต็มที่กำหนดในการแทนค่าแบบโมดูลาร์ที่เรียกว่า การแทนค่านี้ถือว่าจำนวนเต็ม

คณิตศาสตร์ใช้ 00 Koryanov A.G. การมอบหมายจาก Bryansk ส่งความคิดเห็นและข้อเสนอแนะไปที่: [ป้องกันอีเมล]สมการและอสมการในจำนวนเต็ม (จากปัญหาการศึกษาไปจนถึงปัญหาโอลิมปิก) เชิงเส้น

2.22. นำตัวประกอบร่วม (n คือจำนวนธรรมชาติ) ออกจากวงเล็บ: 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23 แต่ละหมายเลขได้รับมอบหมาย

การบรรยาย 15 ไพรม์นัมเบอร์ จำนวนธรรมชาติ p ที่มากกว่าหนึ่งเรียกว่าจำนวนเฉพาะถ้าหารด้วย 1 ลงตัวเท่านั้น ทฤษฎีบท (ยุคลิด). เซตของจำนวนเฉพาะไม่มีที่สิ้นสุด แสดงโดย π(x)

หัวข้อที่ 3 องค์ประกอบของทฤษฎีพีชคณิตและเลขวิเคราะห์ เนื้อหาทางทฤษฎี 1. เศษส่วนต่อเนื่อง เศษส่วนต่อเนื่องสุดท้ายคือนิพจน์ a +, (1) โดยที่ a เป็นจำนวนเต็ม, a, i > 0, ตัวเลขธรรมชาติ,

Http://vk.ucoz.et/ การดำเนินการกับพหุนาม k a k พหุนาม (พหุนาม) ของดีกรี k เป็นฟังก์ชันของรูปแบบ a โดยที่ตัวแปร a เป็นสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลข (=,.k) และ ตัวเลขใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถถือได้

Penza State Pedagogical University ตั้งชื่อตาม V. G. Belinsky M. V. Glebov V. F. Timerbulatova

การหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือ ให้ m เป็นจำนวนเต็ม และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ

Avdoshin S.M. , Savelieva A.A. อัลกอริธึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นในวงแหวนตกค้าง มีการพัฒนาอัลกอริธึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นในวงแหวนตกค้าง ซึ่งมีความซับซ้อนเทียบเท่ากับ

พีชคณิตประยุกต์ ส่วนที่ 1: ฟิลด์ไฟไนต์ (ฟิลด์กาลอย) 1 / 88 ส่วนที่ 1 ฟิลด์ไฟไนต์ (ฟิลด์กาลูส) ฉันใช้พีชคณิต ส่วนที่ 1 : ทุ่งไฟไนต์ (ทุ่งกาลอย) I 2 / 88 ทุ่งตกค้าง โมดูโลเป็นจำนวนเฉพาะ

5 โครงสร้างพีชคณิต 6 คำจำกัดความ การดำเนินการแบบไบนารีในชุด S เป็นการแมปของ S S เข้ากับ S

/E องค์ประกอบของทฤษฎีจำนวนและ. Rochev 28 สิงหาคม 2018 ..... 1 1.2 ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ..................................

บทที่ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะและจำนวนจริง หารด้วยเศษ. หารตัวเลขแต่ละตัว ±23, ±4 กับเศษที่เหลือด้วยตัวเลข ±5 แต่ละตัว 2. หาตัวหารบวกของ 42 ทั้งหมด 3. ตอนนี้ 3 โมงแล้ว

สมการเชิงอนุพันธ์บรรยาย 4 สมการในส่วนอนุพันธ์ทั้งหมด การรวมปัจจัย อาจารย์ Anna Igorevna Sherstneva 9. สมการในดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมด สมการ d + d = 14 เรียกว่าสมการ

เรื่อง. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นและการประยุกต์ รากดึกดำบรรพ์ดัชนี วัสดุตามทฤษฎี ให้ a, m เป็นจำนวนโคไพรม์ธรรมชาติ, และ m, ตามทฤษฎีบทของออยเลอร์, a m)

ภาควิชาคณิตศาสตร์และองค์ประกอบสารสนเทศของคณิตศาสตร์ชั้นสูง ความซับซ้อนทางการศึกษาและระเบียบวิธีสำหรับนักเรียนอาชีวศึกษาระดับมัธยมศึกษาที่กำลังศึกษาโดยใช้เทคโนโลยีทางไกล ทฤษฎีโมดูลแห่งขีดจำกัด เรียบเรียงโดย: รองศาสตราจารย์

ส่วนที่ 2 วิธีการเชิงตัวเลขในการเข้ารหัส การมอบหมายงานอิสระ เพื่อศึกษาอัลกอริธึมที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการเข้ารหัส องค์ประกอบของทฤษฎีจำนวน: ขยายอัลกอริทึมของยุคลิด

แผนเฉพาะเรื่องจะขึ้นอยู่กับเนื้อหาของโปรแกรมของปีการศึกษา 206-207 ตามตำรา "พีชคณิต 8", ed. A.G. Mordkovich โดยคำนึงถึงเนื้อหาขั้นต่ำที่แนะนำของหัวข้อการศึกษา

การบรรยาย 2. คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ทวินาม ผลรวมและวิธีการสร้างฟังก์ชัน (กรณีสุดท้าย) สัมประสิทธิ์พหุนาม การประมาณค่าสัมประสิทธิ์ทวินามและพหุนาม ประมาณการจำนวนเงิน

ลองพิจารณาอัลกอริทึมนี้ด้วยตัวอย่าง มาหากัน

ขั้นตอนที่ 1 เราแบ่งตัวเลขใต้รูทออกเป็นสองหลัก (จากขวาไปซ้าย):

ขั้นตอนที่ 2 เราแยกรากที่สองออกจากหน้าแรก นั่นคือ จากเลข 65 เราได้เลข 8 ภายใต้หน้าแรก เราเขียนกำลังสองของเลข 8 แล้วลบ เราถือว่าใบหน้าที่สอง (59) เป็นส่วนที่เหลือ:

(เลข 159 เป็นเลขตัวแรกที่เหลือ)

ขั้นตอนที่ 3 เราเพิ่มรูทที่พบเป็นสองเท่าและเขียนผลลัพธ์ทางด้านซ้าย:

ขั้นตอนที่ 4 เราแยกตัวเลขทางขวาที่เหลือ (159) ทางขวา ทางซ้ายเราจะได้จำนวนหลักสิบ (เท่ากับ 15) จากนั้นเราหาร 15 ด้วยตัวเลขแรกของรูทสองเท่า นั่นคือ 16 เนื่องจาก 15 ไม่หารด้วย 16 ไม่ลงตัว จากนั้นในผลหารเราจะได้ศูนย์ ซึ่งเราเขียนเป็นตัวเลขหลักที่สองของรูท ดังนั้นในผลหาร เราได้หมายเลข 80 ซึ่งเราเพิ่มเป็นสองเท่าอีกครั้ง และทำลายหน้าถัดไป

(เลข 15901 เป็นเลขตัวที่สอง)

ขั้นตอนที่ 5 เราแยกตัวเลขหนึ่งหลักจากด้านขวาในส่วนที่เหลือที่สองและหารจำนวนผลลัพธ์ 1590 ด้วย 160 ผลลัพธ์ (หมายเลข 9) ถูกเขียนเป็นหลักที่สามของรูทและกำหนดให้กับหมายเลข 160 หมายเลขผลลัพธ์ 1609 คูณด้วย 9 และเราพบเศษที่เหลือ (1420):

การดำเนินการเพิ่มเติมจะดำเนินการตามลำดับที่ระบุในอัลกอริธึม (สามารถแยกรูทด้วยระดับความแม่นยำที่ต้องการ)

ความคิดเห็น หากนิพจน์รากเป็นเศษส่วนทศนิยม ส่วนจำนวนเต็มจะถูกแบ่งออกเป็นสองหลักจากขวาไปซ้าย ส่วนที่เป็นเศษส่วนจะถูกแบ่งออกเป็นสองหลักจากซ้ายไปขวา และรากจะถูกแยกออกตามอัลกอริทึมที่ระบุ

สื่อการสอน

1. หารากที่สองของตัวเลข: a) 32; ข) 32.45; ค) 249.5; ง) 0.9511

สวัสดีผู้อ่านและผู้เยี่ยมชมเว็บไซต์ของเรา! ในส่วนนี้ เราจะวิเคราะห์อัลกอริธึมต่างๆ รวมถึงการนำไปใช้ใน Pascal

คุณจะต้องมีความรู้และ

วันนี้เราจะพิจารณาอัลกอริธึมสามประการ (จากห้า) เพื่อค้นหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่งสองจำนวนนั้นเกี่ยวข้องโดยตรงกับชื่อของยุคลิด เราจะดูอีกสองส่วนในหัวข้อถัดไป
ตัวหารร่วมมาก (gcd) ของตัวเลขสองตัว a และ b คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารทั้งสองจำนวน
ตัวอย่าง: gcd(25, 5) = 5; gcd(12, 18) = 6

อัลกอริทึมการค้นหา

มาเริ่มกันที่ ง-ตัวเลขที่น้อยที่สุดของสองตัวเลข นี่เป็นตัวเลือกแรกที่ชัดเจนสำหรับตัวหารร่วมมากของพวกมัน จากนั้น จนกระทั่ง d หารจำนวนทั้งสอง เราก็ลดมันลงหนึ่ง ทันทีที่การแบ่งดังกล่าวเกิดขึ้น เราจะหยุดการลดลงใน d

Var a, b, d: จำนวนเต็ม; เริ่มเขียน ("ป้อนตัวเลขสองตัว: "); readln(a, b); ถ้า< b then d:= a + 1 else d:= b + 1; {так как мы используем цикл с постусловием, необходимо минимальное значение увеличить на один, иначе цикл repeat, в силу своих конструктивных особенностей, не учтет это минимальное число и не сделает его кандидатом в НОД. Например, 5 и 25.} repeat d:= d - 1 until (a mod d = 0) and (b mod d = 0); write("NOD = ", d) end.

มาที่โปรแกรมนี้กัน เช่น เลข 30 กับ 18 จากนั้นทางมาเฉลย (เลข 6) จะต้องผ่านเลข 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12 , 11, 10, 9, 8, 7 .6.

อัลกอริทึมของ Euclid "พร้อมการลบ"

ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นข้อความต่อไปนี้จึงเป็นจริง:

1. ตัวหารร่วมทั้งหมดของคู่เงิน a และ b เป็นตัวหารร่วมของคู่เงิน a - b, b;
2. ในทางกลับกัน ตัวหารร่วมทั้งหมดของคู่เงิน a - b และ b เป็นตัวหารร่วมของคู่เงิน a และ b;
3. gcd(A, B) = gcd(A - B, B) ถ้า A > B;
4. gcd(A, 0) = A.

การพิสูจน์:

1. ถ้า t เป็นตัวหารร่วมทั่วไปของ a และ b มันก็หารผลต่าง a - b ด้วย แน่นอน จาก a = t * u และ b = t * v ตามด้วย a - b = t * u - t * v = t * (u - v) นั่นคือ t เป็นตัวหารร่วมของ a - b และ b ด้วย
2. ในทางกลับกัน ถ้า t เป็นตัวหารตามอำเภอใจ ตัวหารร่วมของ a - b และ b มันก็หารผลรวมของ a - b + b = a ด้วย นี้สามารถพิสูจน์ได้คล้ายคลึงกับก่อนหน้านี้ ดังนั้น t จึงเป็นตัวหารร่วมของ a และ b ด้วย
3. เราสรุปได้ว่าเซตของตัวหารร่วม a และ b ตรงกับเซตของตัวหาร a - b และ b โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวหารร่วมมากของคู่เหล่านี้ก็เหมือนกัน
4. จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่หารจำนวน a คือจำนวน a เอง จำนวน 0 หารด้วยจำนวนใด ๆ ดังนั้นตัวหารร่วมมากของ a และ 0 คือ a

สูตรที่พิสูจน์แล้ว (3) ช่วยให้เราลดการคำนวณตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของคู่หนึ่งเป็นการคำนวณตัวหารร่วมมากของอีกคู่หนึ่ง ซึ่งตัวเลขนั้นน้อยกว่าอยู่แล้ว สูตรที่ชัดเจน (4) ช่วยให้เรารู้ว่าควรหยุดเมื่อใด

โดยสังเขป อัลกอริทึม "พร้อมการลบ" ของ Euclid จะเป็นดังนี้ เราลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่าและแทนที่จำนวนที่มากกว่าด้วยผลต่างจนกว่าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งจะกลายเป็นศูนย์ จากนั้นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ที่เหลือเป็นตัวหารร่วมมาก

ตัวอย่าง. ให้ a = 82 และ b = 60 GCD(82, 60) = GCD(22, 60) = GCD(22, 38) = GCD(22, 16) = GCD(6, 16) = GCD(6, 10) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(2, 2) = gcd(2, 0) = 2

ที่ขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม ก่อนที่ 0 จะปรากฏ ตัวเลขทั้งสองจะเท่ากัน มิฉะนั้น จะเกิด 0 ไม่ได้ ดังนั้น เราจะแยก GCD ออกในเวลานี้

บล็อกไดอะแกรมของอัลกอริทึม Euclid "พร้อมการลบ"

โปรแกรม

var a, b: จำนวนเต็ม; เริ่มเขียน ("a = "); readln(ก); เขียน ("b = "); readln(b); ในขณะที่<>b do if a > b แล้ว a:= a - b else b:= b - a; writeln("NOD = ", ก); จบ.

อัลกอริทึมของ Euclid พร้อม "ดิวิชั่น"

ให้ a กับ b เป็นจำนวนเต็ม และ r เป็นเศษของการหาร a ด้วย b จากนั้น gcd(a, b) = gcd(b, r)

สูตรนี้ยังช่วยให้คุณลดการคำนวณตัวหารร่วมมากที่สุดของคู่ตัวเลขหนึ่งคู่ให้เหลือการคำนวณตัวหารร่วมมากของตัวเลขอีกคู่หนึ่ง

ตัวอย่าง. gcd(82, 60) = gcd(22, 60) = gcd(22, 16) = gcd(6, 16) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(0, 2) = 2 .

Var a, b: จำนวนเต็ม; เริ่มเขียน ("a = "); readln(ก); เขียน ("b = "); readln(b); ในขณะที่ (a<>0) และ (b<>0) ทำถ้า a >= b แล้ว a:= a mod b อื่น b:= b mod a; เขียน (a + b) จบ

นั่นคือทั้งหมดสำหรับวันนี้! คุณจะได้เรียนรู้การปรับเปลี่ยนอัลกอริทึม Euclid อีกสองสามวิธีและวิธีค้นหา GCD ในบทเรียนถัดไป