>> เมทริกซ์

4.1 เมทริกซ์ การดำเนินงานเมทริกซ์

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด mxn คือชุดของตัวเลข mxn ที่จัดเรียงในตารางสี่เหลี่ยมที่มี m แถวและ n คอลัมน์ เราจะเขียนมันในแบบฟอร์ม

หรือย่อเป็น A = (a i j) (i = ; j = ) ตัวเลข a i j ถูกเรียกว่าองค์ประกอบ ดัชนีแรกชี้ไปที่หมายเลขแถว ดัชนีที่สองไปที่หมายเลขคอลัมน์ A = (a i j) และ B = (b i j) ที่มีขนาดเท่ากันจะเรียกว่าเท่ากัน หากองค์ประกอบในที่เดียวกันมีค่าเท่ากัน นั่นคือ A = B ถ้า a i j = b i j

เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยหนึ่งแถวหรือหนึ่งคอลัมน์เรียกว่าเวกเตอร์แถวหรือคอลัมน์ตามลำดับ เวกเตอร์คอลัมน์และเวกเตอร์แถวเรียกง่ายๆ ว่าเวกเตอร์

เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยตัวเลขหนึ่งตัวจะถูกระบุด้วยหมายเลขนี้ A ขนาด mxn ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่าศูนย์ และแสดงด้วย 0 องค์ประกอบที่มีดัชนีเดียวกันจะเรียกว่าองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก หากจำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์ เช่น m = n เมทริกซ์จะเรียกว่ากำลังสองของลำดับ n เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีเพียงองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลักเท่านั้นที่ไม่ใช่ศูนย์ เรียกว่าเมทริกซ์ในแนวทแยงและเขียนดังนี้:

.

หากองค์ประกอบทั้งหมด a i i ของเส้นทแยงมุมเท่ากับ 1 จะถูกเรียกว่าหน่วยและแสดงด้วยตัวอักษร E:

.

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่า สามเหลี่ยม ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดด้านบน (หรือด้านล่าง) เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ การย้ายระดับเสียงคือการเปลี่ยนแปลงที่แถวและคอลัมน์จะสลับกันโดยที่ยังคงตัวเลขไว้ การขนย้ายถูกระบุด้วย T ที่ด้านบน

หากใน (4.1) เราจัดเรียงแถวด้วยคอลัมน์ใหม่ เราจะได้

,

ซึ่งจะถูกทรานสโพสด้วยความเคารพ A โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การทรานสเฟอร์เวกเตอร์คอลัมน์ส่งผลให้เกิดเวกเตอร์แถวและในทางกลับกัน

ผลคูณของ A ด้วยจำนวน b คือเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบได้มาจากองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของ A โดยการคูณด้วยจำนวน b: b A = (b a i j)

ผลรวมของ A = (a i j) และ B = (b i j) ที่มีขนาดเท่ากันคือ C = (c i j) ที่มีขนาดเท่ากัน องค์ประกอบที่กำหนดโดยสูตร c i j = a i j + b i j .

ผลิตภัณฑ์ AB ถูกกำหนดโดยสมมติฐานว่าจำนวนคอลัมน์ใน A เท่ากับจำนวนแถวใน B

ผลคูณของ AB โดยที่ A = (a i j) และ B = (b j k) โดยที่ i = , j= , k= ให้ในลำดับที่แน่นอน AB คือ C = (ci k) องค์ประกอบที่กำหนดโดย กฎต่อไปนี้:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง องค์ประกอบของผลิตภัณฑ์ AB ถูกกำหนดดังนี้: องค์ประกอบของแถวที่ i และคอลัมน์ที่ k C เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวที่ i A โดย องค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์ที่ k B

ตัวอย่าง 2.1 ค้นหาผลิตภัณฑ์ของ AB และ .

การตัดสินใจ. เรามี: A ขนาด 2x3, B ขนาด 3x3 แล้วผลิตภัณฑ์ AB = C มีอยู่และองค์ประกอบของ C เท่ากัน

С 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

และไม่มีผลิตภัณฑ์ BA

ตัวอย่าง 2.2 ตารางแสดงจำนวนหน่วยของผลิตภัณฑ์ที่จัดส่งทุกวันจากโรงรีดนม 1 และ 2 ไปยังร้าน M 1, M 2 และ M 3 และการส่งมอบหน่วยการผลิตจากผลิตภัณฑ์นมแต่ละแห่งไปยังร้าน M 1 มีค่าใช้จ่าย 50 den หน่วยในร้านค้า M 2 - 70 และใน M ​​3 - 130 den หน่วย คำนวณค่าขนส่งรายวันของแต่ละโรงงาน

นม

การตัดสินใจ. แสดงโดย A เมทริกซ์ที่มอบให้เราในเงื่อนไขและโดย
B - เมทริกซ์ที่แสดงลักษณะต้นทุนของการส่งมอบหน่วยการผลิตไปยังร้านค้าเช่น

,

จากนั้นเมทริกซ์ต้นทุนการขนส่งจะมีลักษณะดังนี้:

.

ดังนั้น โรงงานแห่งแรกจึงใช้จ่าย 4750 den ต่อวันในการขนส่ง หน่วยที่สอง - 3680 den.un

ตัวอย่างที่ 2.3 องค์กรการตัดเย็บผลิตเสื้อหนาว เสื้อเดมี่ซีซัน และเสื้อกันฝน ผลลัพธ์ที่วางแผนไว้สำหรับทศวรรษนั้นมีลักษณะของเวกเตอร์ X = (10, 15, 23) ใช้ผ้าสี่ประเภท: T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . ตารางแสดงอัตราการใช้ผ้า (เป็นเมตร) สำหรับแต่ละผลิตภัณฑ์ เวกเตอร์ C = (40, 35, 24, 16) ระบุค่าใช้จ่ายของเมตรของผ้าแต่ละประเภทและเวกเตอร์ P = (5, 3, 2, 2) - ค่าใช้จ่ายในการขนส่งหนึ่งเมตรของผ้า พิมพ์.

	ปริมาณการใช้ผ้า
เสื้อกันหนาว
เดมิโค้ท

1. ต้องใช้ผ้าแต่ละประเภทกี่เมตรจึงจะสำเร็จ?

2. หาราคาผ้าที่ใช้ตัดเย็บสินค้าแต่ละประเภท

3. กำหนดต้นทุนของผ้าทั้งหมดที่จำเป็นในการดำเนินการตามแผน

การตัดสินใจ. ให้เราแทนด้วยเมทริกซ์ที่มอบให้เราในเงื่อนไขเช่น

,

จากนั้น ในการหาจำนวนเมตรของผ้าที่จำเป็นในการวางแผนให้สมบูรณ์ คุณต้องคูณเวกเตอร์ X ด้วยเมทริกซ์ A:

ต้นทุนของผ้าที่ใช้ในการตัดเย็บผลิตภัณฑ์แต่ละประเภทหาได้จากการคูณเมทริกซ์ A และเวกเตอร์ CT:

.

ราคาของผ้าทั้งหมดที่จำเป็นในการดำเนินการตามแผนจะกำหนดโดยสูตร:

สุดท้าย เมื่อคำนึงถึงต้นทุนการขนส่ง ยอดทั้งหมดจะเท่ากับต้นทุนของผ้า เช่น 9472 den หน่วยบวกมูลค่า

X A P T =
.

ดังนั้น X A C T + X A P T \u003d 9472 + 1037 \u003d 10509 (หน่วยหน่วย)

คำจำกัดความของเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์

ขนาดเมทริกซ์ m× นเรียกว่า สัมมาทิฏฐิ ม นตัวเลขเรียงเป็นตารางสี่เหลี่ยม มเส้นและ นคอลัมน์ ตารางนี้มักจะอยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์อาจมีลักษณะดังนี้:

เพื่อความกระชับ เมทริกซ์สามารถแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์ใหญ่เพียงตัวเดียว เช่น แต่หรือ ที่.

โดยทั่วไป เมทริกซ์ของขนาด ม× นเขียนแบบนี้

.

ตัวเลขที่ประกอบเป็นเมทริกซ์เรียกว่า องค์ประกอบเมทริกซ์. สะดวกในการจัดหาองค์ประกอบเมทริกซ์ที่มีสองดัชนี ไอจ: รายการแรกระบุหมายเลขแถว และรายการที่สองระบุหมายเลขคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น, 23– องค์ประกอบอยู่ในแถวที่ 2 คอลัมน์ที่ 3

หากจำนวนแถวในเมทริกซ์เท่ากับจำนวนคอลัมน์เมทริกซ์จะเรียกว่า สี่เหลี่ยมและจำนวนแถวหรือคอลัมน์เรียกว่า ตามลำดับเมทริกซ์ ในตัวอย่างข้างต้น เมทริกซ์ที่สองคือกำลังสอง - ลำดับของมันคือ 3 และเมทริกซ์ที่สี่ - ลำดับของมันคือ 1

เมทริกซ์ที่จำนวนแถวไม่เท่ากับจำนวนคอลัมน์เรียกว่า สี่เหลี่ยม. ในตัวอย่าง นี่คือเมทริกซ์แรกและเมทริกซ์ที่สาม

นอกจากนี้ยังมีเมทริกซ์ที่มีเพียงหนึ่งแถวหรือหนึ่งคอลัมน์

เมทริกซ์ที่มีแถวเดียวเรียกว่า เมทริกซ์ - แถว(หรือสตริง) และเมทริกซ์ที่มีเพียงคอลัมน์เดียว เมทริกซ์ - คอลัมน์.

เมทริกซ์ที่องค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า โมฆะและแสดงด้วย (0) หรือเพียงแค่ 0 ตัวอย่างเช่น

.

เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือเส้นทแยงมุมที่เคลื่อนจากมุมบนซ้ายไปมุมขวาล่าง

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์เรียกว่า สามเหลี่ยมเมทริกซ์

.

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นบางทีในแนวทแยงหลัก มีค่าเท่ากับศูนย์ เรียกว่า เส้นทแยงมุมเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่นหรือ.

เมทริกซ์เส้นทแยงมุมซึ่งเส้นทแยงมุมทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่งเรียกว่า เดี่ยวเมทริกซ์และเขียนแทนด้วยตัวอักษร E ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์เอกลักษณ์ลำดับที่ 3 มีรูปแบบ .

การดำเนินการกับเมทริกซ์

ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์. เมทริกซ์สองตัว อาและ บีเรียกว่าเท่ากันถ้ามีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากันและองค์ประกอบที่สอดคล้องกันเท่ากัน ไอจ = บีอิจ. ดังนั้นถ้า และ , แล้ว A=B, ถ้า a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21และ a 22 = b 22.

การขนย้าย. พิจารณาเมทริกซ์ตามอำเภอใจ อาจาก มเส้นและ นคอลัมน์ สามารถเชื่อมโยงกับเมทริกซ์ต่อไปนี้ บีจาก นเส้นและ มคอลัมน์ โดยที่แต่ละแถวเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์ อาด้วยตัวเลขเดียวกัน (ดังนั้น แต่ละคอลัมน์จึงเป็นแถวของเมทริกซ์ อาด้วยหมายเลขเดียวกัน) ดังนั้นถ้า , แล้ว .

เมทริกซ์นี้ บีเรียกว่า ขนย้ายเมทริกซ์ อาและการเปลี่ยนผ่านจาก อาถึง B การขนย้าย.

ดังนั้นการย้ายตำแหน่งคือการกลับรายการบทบาทของแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ เมทริกซ์เปลี่ยนเป็นเมทริกซ์ อามักจะเขียนว่า ที่.

การสื่อสารระหว่างเมทริกซ์ อาและทรานสโพสของมันสามารถเขียนเป็น .

ตัวอย่างเช่น.ค้นหาเมทริกซ์ที่ย้ายไปยังเมทริกซ์ที่กำหนด

การเพิ่มเมทริกซ์ให้เมทริกซ์ อาและ บีประกอบด้วยจำนวนแถวเท่ากันและจำนวนคอลัมน์เท่ากัน กล่าวคือ มี ขนาดเท่ากัน. จากนั้นเพื่อที่จะบวกเมทริกซ์ อาและ บีจำเป็นต้องมีองค์ประกอบเมทริกซ์ อาเพิ่มองค์ประกอบเมทริกซ์ บียืนอยู่ในที่เดียวกัน ดังนั้น ผลรวมของเมทริกซ์สองตัว อาและ บีเรียกว่าเมทริกซ์ คซึ่งกำหนดโดยกฎ เช่น

ตัวอย่าง.ค้นหาผลรวมของเมทริกซ์:

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าการบวกเมทริกซ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้: การสับเปลี่ยน A+B=B+Aและสมาคม ( A+B)+ค=อา+(B+C).

การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลขการคูณเมทริกซ์ อาต่อจำนวน kต้องการแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ อาคูณด้วยจำนวนนั้น ดังนั้นผลคูณเมทริกซ์ อาต่อจำนวน kมีเมทริกซ์ใหม่ซึ่งถูกกำหนดโดยกฎ หรือ .

สำหรับตัวเลขใด ๆ เอและ ขและเมทริกซ์ อาและ บีเติมเต็มความเท่าเทียมกัน:

ตัวอย่าง.

การคูณเมทริกซ์การดำเนินการนี้ดำเนินการตามกฎหมายเฉพาะ ก่อนอื่น เราสังเกตว่าขนาดของปัจจัยเมทริกซ์ต้องสอดคล้องกัน คุณสามารถคูณได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกตรงกับจำนวนแถวของเมทริกซ์ที่สอง (กล่าวคือ ความยาวของแถวแรกเท่ากับความสูงของคอลัมน์ที่สอง) งานเมทริกซ์ อาไม่ใช่เมทริกซ์ บีเรียกว่าเมทริกซ์ใหม่ C=ABซึ่งมีองค์ประกอบดังนี้

ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ (เช่น ในเมทริกซ์ ค) องค์ประกอบในแถวที่ 1 และคอลัมน์ที่ 3 ตั้งแต่ 13คุณต้องใช้แถวที่ 1 ในเมทริกซ์ที่ 1 คอลัมน์ที่ 3 ในคอลัมน์ที่ 2 แล้วคูณองค์ประกอบแถวด้วยองค์ประกอบคอลัมน์ที่เกี่ยวข้องและเพิ่มผลลัพธ์ที่ได้ และองค์ประกอบอื่นๆ ของเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์ได้มาจากผลคูณที่คล้ายคลึงกันของแถวของเมทริกซ์แรกโดยคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่สอง

โดยทั่วไป หากเราคูณเมทริกซ์ A = (ไอจ)ขนาด ม× นเป็นเมทริกซ์ B = (บิจ)ขนาด น× พีจากนั้นเราจะได้เมทริกซ์ คขนาด ม× พีซึ่งมีองค์ประกอบที่คำนวณได้ดังนี้ element ซีอิจได้มาจากผลคูณของธาตุ ฉันแถวที่ th ของเมทริกซ์ อาในองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง เจ- คอลัมน์ที่ของเมทริกซ์ บีและผลรวมของพวกเขา

จากกฎข้อนี้ คุณสามารถคูณเมทริกซ์กำลังสองของลำดับเดียวกันได้เสมอ ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้เมทริกซ์กำลังสองที่มีลำดับเดียวกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถคูณด้วยตัวมันเองได้เสมอ กล่าวคือ ยกกำลังสอง

กรณีที่สำคัญอีกกรณีหนึ่งคือการคูณของแถวเมทริกซ์ด้วยคอลัมน์เมทริกซ์ และความกว้างของอันแรกจะต้องเท่ากับความสูงของส่วนที่สอง ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้เมทริกซ์ของลำดับแรก (เช่น หนึ่งองค์ประกอบ) จริงๆ,

.

ตัวอย่าง.

ดังนั้น ตัวอย่างง่ายๆ เหล่านี้จึงแสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีการสับเปลี่ยนซึ่งกันและกัน กล่าวคือ A∙B ≠ B∙A . ดังนั้น เมื่อคูณเมทริกซ์ คุณต้องตรวจสอบลำดับของปัจจัยอย่างรอบคอบ

สามารถตรวจสอบได้ว่าการคูณเมทริกซ์เป็นไปตามกฎที่เชื่อมโยงและกฎการกระจาย นั่นคือ (AB)C=A(BC)และ (A+B)C=AC+BC.

นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบด้วยว่าเมื่อคูณเมทริกซ์กำลังสอง อาสู่เอกลักษณ์เมทริกซ์ อีในลำดับเดียวกัน เราจะได้เมทริกซ์อีกครั้ง อา, นอกจากนี้ AE=EA=A.

อาจมีการสังเกตข้อเท็จจริงที่น่าสงสัยดังต่อไปนี้ อย่างที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ผลคูณของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 ตัวจะไม่เท่ากับ 0 สำหรับเมทริกซ์ นี่อาจไม่ใช่กรณีนี้ เช่น ผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ 2 อาจเท่ากับเมทริกซ์ศูนย์

ตัวอย่างเช่น, ถ้า , แล้ว

.

แนวคิดของตัวกำหนด

ให้เมทริกซ์อันดับสอง - เมทริกซ์สี่เหลี่ยมประกอบด้วยสองแถวและสองคอลัมน์ .

ตัวกำหนดลำดับที่สองที่สอดคล้องกับเมทริกซ์นี้คือจำนวนที่ได้รับดังนี้: 11 ถึง 22 – 12 ถึง 21.

ดีเทอร์มีแนนต์แสดงด้วยสัญลักษณ์ .

ดังนั้น ในการหาดีเทอร์มีแนนต์อันดับสอง คุณต้องลบผลคูณขององค์ประกอบตามเส้นทแยงมุมที่สองออกจากผลคูณขององค์ประกอบในแนวทแยงหลัก

ตัวอย่าง.คำนวณตัวกำหนดลำดับที่สอง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาเมทริกซ์ของลำดับที่สามและดีเทอร์มีแนนต์ที่สอดคล้องกัน

ดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์กำลังสองที่กำหนดของลำดับที่สาม เป็นตัวเลขที่แสดงและได้รับดังนี้:

.

ดังนั้น สูตรนี้ให้การขยายตัวของดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก 11 , 12 , 13และลดการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์อันดับสามเป็นการคำนวณดีเทอร์มีแนนต์อันดับสอง

ตัวอย่าง.คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ลำดับที่สาม

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแนะนำแนวคิดของดีเทอร์มีแนนต์ของปัจจัยที่สี่ ห้า เป็นต้น คำสั่ง ลดลำดับโดยการขยายองค์ประกอบในแถวที่ 1 ในขณะที่เครื่องหมาย "+" และ "-" สำหรับเงื่อนไขสลับกัน

ดังนั้น ไม่เหมือนกับเมทริกซ์ ซึ่งเป็นตารางตัวเลข ดีเทอร์มีแนนต์คือตัวเลขที่กำหนดให้กับเมทริกซ์ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง

พีชคณิตเชิงเส้น 1

เมทริกซ์ 1

การดำเนินการเมทริกซ์2

ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ 6

เมทริกซ์ผกผัน13

เมทริกซ์อันดับ 16

อิสรภาพเชิงเส้น21

ระบบสมการเชิงเส้น 24

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น27

วิธีเมทริกซ์ผกผัน27

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์กำลังสองโดยใช้สูตรของแครมเมอร์29

วิธีเกาส์ (วิธีการกำจัดตัวแปรแบบต่อเนื่อง) 31

เมทริกซ์พีชคณิตเชิงเส้น

เมทริกซ์ size mxn คือตารางตัวเลขสี่เหลี่ยมที่มี m แถวและ n คอลัมน์ ตัวเลขที่ประกอบเป็นเมทริกซ์เรียกว่าองค์ประกอบเมทริกซ์

เมทริกซ์มักจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ และองค์ประกอบจะเหมือนกัน แต่อักษรตัวพิมพ์เล็กที่มีการจัดทำดัชนีสองครั้ง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ A 2 x 3:

เมทริกซ์นี้มีสองแถว (m= 2) และสามคอลัมน์ (n= 3) นั่นคือ ประกอบด้วยหกองค์ประกอบ a ij โดยที่ i คือหมายเลขแถว j คือหมายเลขคอลัมน์ ในกรณีนี้จะใช้ค่าตั้งแต่ 1 ถึง 2 และจากหนึ่งถึงสาม (เขียน
). กล่าวคือ 11 = 3; 12 = 0; 13 = -1; 21 = 0; 22 = 1.5; a 23 = 5

เมทริกซ์ A และ B ที่มีขนาดเท่ากัน (mxn) เรียกว่า เท่ากับ, ถ้ามันตรงกับองค์ประกอบโดยองค์ประกอบเช่น a ij =b ij for
, เช่น. สำหรับ ii และ j ใดๆ (คุณสามารถเขียน i, j)

เมทริกซ์แถวเป็นเมทริกซ์ที่มีหนึ่งแถว และ เมทริกซ์คอลัมน์เป็นเมทริกซ์ที่มีหนึ่งคอลัมน์

ตัวอย่างเช่น,
เป็นเมทริกซ์แถว และ
.

เมทริกซ์สี่เหลี่ยมลำดับที่ n คือเมทริกซ์ จำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์และเท่ากับ n

ตัวอย่างเช่น,
เป็นเมทริกซ์กำลังสองของลำดับที่สอง

เส้นทแยงมุมองค์ประกอบเมทริกซ์คือองค์ประกอบที่มีหมายเลขแถวเท่ากับหมายเลขคอลัมน์ (a ij ,i=j) รูปแบบองค์ประกอบเหล่านี้ เส้นทแยงมุมหลักเมทริกซ์ ในตัวอย่างที่แล้ว องค์ประกอบ a 11 = 3 และ 22 = 5 อยู่ในแนวทแยงหลัก

เมทริกซ์แนวทแยงเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งองค์ประกอบนอกแนวทแยงทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น,
เป็นเมทริกซ์แนวทแยงของลำดับที่สาม หากองค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมดเท่ากับหนึ่งเมทริกซ์จะเรียกว่า เดี่ยว(มักเขียนแทนด้วยตัวอักษร E) ตัวอย่างเช่น,
เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับที่สาม

เมทริกซ์เรียกว่า โมฆะถ้าองค์ประกอบทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

เมทริกซ์จตุรัสเรียกว่า สามเหลี่ยมถ้าองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ด้านล่าง (หรือสูงกว่า) เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น,
เป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมของลำดับที่สาม

การดำเนินงานเมทริกซ์

คุณสามารถดำเนินการต่อไปนี้กับเมทริกซ์:

1. การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข. ผลคูณของเมทริกซ์ A ตามจำนวน  คือเมทริกซ์ B = A องค์ประกอบคือ b ij = a ij สำหรับ ii และ j ใดๆ

ตัวอย่างเช่น if
, แล้ว
.

2. การบวกเมทริกซ์. ผลรวมของเมทริกซ์ A และ B ที่มีขนาดเท่ากัน m x n คือเมทริกซ์ C \u003d A + B องค์ประกอบที่มี ij \u003d a ij + b ij สำหรับ i,j

ตัวอย่างเช่น if
แล้ว

.

โปรดทราบว่าผ่านการดำเนินการก่อนหน้านี้ เราสามารถกำหนด การลบเมทริกซ์ขนาดเท่ากัน: ความแตกต่าง A-B \u003d A + (-1) * B.

3. การคูณเมทริกซ์. ผลคูณของเมทริกซ์ A ขนาด mxn โดยเมทริกซ์ B ขนาด nxp คือเมทริกซ์ C ซึ่งแต่ละองค์ประกอบที่มี ij เท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวที่ i ของเมทริกซ์ A และ องค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์ j-th ของเมทริกซ์ B นั่นคือ
.

ตัวอย่างเช่น if

จากนั้นขนาดของเมทริกซ์ผลิตภัณฑ์จะเป็น 2 x 3 และจะมีลักษณะดังนี้:

ในกรณีนี้ เมทริกซ์ A จะสอดคล้องกับเมทริกซ์ B

ขึ้นอยู่กับการดำเนินการของการคูณสำหรับเมทริกซ์กำลังสอง การดำเนินการถูกกำหนด การยกกำลัง. กำลังบวกจำนวนเต็ม A m (m > 1) ของเมทริกซ์กำลังสอง A คือผลคูณของ m เมทริกซ์เท่ากับ A นั่นคือ

เราเน้นย้ำว่าการบวก (การลบ) และการคูณของเมทริกซ์ไม่ได้กำหนดไว้สำหรับเมทริกซ์สองตัวใดๆ แต่สำหรับเมทริกซ์ที่ตรงตามข้อกำหนดบางประการสำหรับมิติของพวกมันเท่านั้น ในการหาผลรวมหรือผลต่างของเมทริกซ์ ขนาดของพวกมันต้องเท่ากัน ในการหาผลคูณของเมทริกซ์ จำนวนคอลัมน์ของคอลัมน์แรกจะต้องตรงกับจำนวนแถวของหน่วยที่สอง (เรียกว่าเมทริกซ์ดังกล่าว ตกลง).

ให้เราพิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของการดำเนินการที่พิจารณาซึ่งคล้ายคลึงกับคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข

1) กฎการเปลี่ยน (การกระจัด) ของการบวก:

A + B = B + A

2) กฎหมายเชื่อมโยง (เชื่อมโยง) ของการบวก:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) กฎการกระจาย (การกระจาย) ของการคูณด้วยการบวก:

(A + B) = A + B

A (B + C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

5) กฎการคูณ (เชื่อมโยง) ของการคูณ:

 (AB) \u003d ( A) B \u003d A ( B)

A(BC) = (AB)C

เราเน้นว่ากฎการคูณเชิงสับเปลี่ยนสำหรับเมทริกซ์ในกรณีทั่วไปนั้นไม่เป็นที่พอใจ กล่าวคือ เอบีเอบีเอ. ยิ่งไปกว่านั้น การมีอยู่ของ AB ไม่ได้หมายความถึงการมีอยู่ของ BA เสมอไป (เมทริกซ์อาจไม่สอดคล้องกัน และผลคูณของเมทริกซ์ก็ไม่มีการกำหนดไว้เลย ดังในตัวอย่างข้างต้นของการคูณเมทริกซ์) แม้ว่างานทั้งสองจะมีอยู่จริง แต่ก็มักจะแตกต่างกัน

ในบางกรณี ผลคูณของเมทริกซ์กำลังสอง A และเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับเดียวกันมีกฎการสับเปลี่ยน และผลคูณนี้เท่ากับ A (การคูณด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่นี่คล้ายกับการคูณด้วยหนึ่งเมื่อคูณตัวเลข):

AE = EA = A

อย่างแท้จริง,

ให้เราเน้นอีกหนึ่งความแตกต่างระหว่างการคูณเมทริกซ์และการคูณตัวเลข ผลคูณของตัวเลขสามารถเท่ากับศูนย์ได้ก็ต่อเมื่ออย่างน้อยหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์ สิ่งนี้ไม่สามารถพูดเกี่ยวกับเมทริกซ์ได้เช่น ผลคูณของเมทริกซ์ที่ไม่ใช่ศูนย์สามารถเท่ากับเมทริกซ์ศูนย์ได้ ตัวอย่างเช่น,

ให้เราพิจารณาการดำเนินการเกี่ยวกับเมทริกซ์ต่อไป

4. การขนย้ายเมทริกซ์เป็นการดำเนินการเปลี่ยนจากเมทริกซ์ A ขนาด mxn เป็นเมทริกซ์ A T ขนาด nxm โดยจะสลับแถวและคอลัมน์:

%.

คุณสมบัติของการดำเนินการขนย้าย:

1) จากคำนิยามที่ว่าถ้าเปลี่ยนเมทริกซ์สองครั้ง เราจะกลับไปที่เมทริกซ์เดิม: (A T) T = A

2) ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายขนย้ายได้: (А) T =А T .

3) การขนย้ายเป็นการแจกจ่ายตามการคูณเมทริกซ์และการบวก: (AB) T =B T A T และ (A+B) T =B T +A T

คู่มือนี้จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธี การดำเนินการเมทริกซ์: การบวก (การลบ) ของเมทริกซ์, การขนย้ายของเมทริกซ์, การคูณเมทริกซ์, การหาค่าผกผันของเมทริกซ์ เนื้อหาทั้งหมดถูกนำเสนอในรูปแบบที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้ มีการยกตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นแม้แต่คนที่ไม่ได้เตรียมตัวก็สามารถเรียนรู้วิธีดำเนินการกับเมทริกซ์ได้ สำหรับการควบคุมตนเองและการทดสอบตนเอง คุณสามารถดาวน์โหลดเครื่องคำนวณเมทริกซ์ได้ฟรี >>>

ฉันจะพยายามลดการคำนวณทางทฤษฎีให้น้อยที่สุดในบางแห่งสามารถอธิบาย "ด้วยนิ้ว" และใช้คำศัพท์ที่ไม่เป็นวิทยาศาสตร์ได้ ผู้ที่ชื่นชอบทฤษฎีที่มั่นคง โปรดอย่าวิจารณ์ หน้าที่ของเราคือ เรียนรู้วิธีการทำงานกับเมทริกซ์.

สำหรับการเตรียมการอย่างรวดเร็วในหัวข้อ (ใคร "เบิร์น") มี pdf-course แบบเข้มข้น เมทริกซ์ ดีเทอร์มีแนนต์ และออฟเซ็ต!

เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยมของบางส่วน องค์ประกอบ. เนื่องจาก องค์ประกอบเราจะพิจารณาตัวเลข นั่นคือ เมทริกซ์ตัวเลข องค์ประกอบเป็นคำศัพท์ เป็นที่พึงปรารถนาที่จะจำคำศัพท์มันมักจะเกิดขึ้นไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันใช้ตัวหนาเพื่อเน้นมัน

การกำหนด:เมทริกซ์มักจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่

ตัวอย่าง:พิจารณาเมทริกซ์สองต่อสาม:

เมทริกซ์นี้ประกอบด้วยหก องค์ประกอบ:

ตัวเลขทั้งหมด (องค์ประกอบ) ภายในเมทริกซ์มีอยู่ในตัวของมันเอง นั่นคือ ไม่มีปัญหาเรื่องการลบใดๆ:

เป็นแค่ตาราง (ชุด) ตัวเลข!

เราก็เห็นด้วย อย่าจัดเรียงใหม่เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในคำอธิบาย แต่ละหมายเลขมีตำแหน่งของตัวเอง และคุณไม่สามารถสับเปลี่ยนได้!

เมทริกซ์ที่เป็นปัญหามีสองแถว:

และสามคอลัมน์:

มาตรฐาน: เมื่อพูดถึงมิติของเมทริกซ์แล้ว ตอนแรกระบุจำนวนแถวและจากนั้น - จำนวนคอลัมน์ เราแยกย่อยเมทริกซ์สองต่อสามแล้ว

หากจำนวนแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากัน เมทริกซ์จะเรียกว่า สี่เหลี่ยม, ตัวอย่างเช่น: เป็นเมทริกซ์สามคูณสาม

หากเมทริกซ์มีหนึ่งคอลัมน์หรือหนึ่งแถว เมทริกซ์ดังกล่าวก็จะเรียกว่า เวกเตอร์.

อันที่จริง เรารู้แนวคิดของเมทริกซ์ตั้งแต่สมัยเรียน เช่น จุดที่มีพิกัด "x" และ "y": โดยพื้นฐานแล้ว พิกัดของจุดจะถูกเขียนเป็นเมทริกซ์หนึ่งต่อสอง นี่คือตัวอย่างสำหรับคุณว่าทำไมลำดับของตัวเลขจึงมีความสำคัญ: และเป็นจุดสองจุดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงของระนาบ

ตอนนี้เรามาดูการศึกษากันต่อ การดำเนินการเมทริกซ์:

1) การกระทำที่หนึ่ง การลบลบออกจากเมทริกซ์ (แนะนำลบเป็นเมทริกซ์).

กลับไปที่เมทริกซ์ของเรา . อย่างที่คุณคงสังเกตเห็น มีตัวเลขติดลบมากเกินไปในเมทริกซ์นี้ สิ่งนี้ไม่สะดวกมากในแง่ของการดำเนินการต่าง ๆ กับเมทริกซ์ ไม่สะดวกที่จะเขียน minuses จำนวนมาก และดูน่าเกลียดในการออกแบบ

ลองย้ายเครื่องหมายลบออกนอกเมทริกซ์โดยเปลี่ยนเครื่องหมายขององค์ประกอบ EACH ของเมทริกซ์:

ที่ศูนย์ตามที่คุณเข้าใจเครื่องหมายจะไม่เปลี่ยนแปลงศูนย์ - ในแอฟริกาก็เป็นศูนย์เช่นกัน

ตัวอย่างย้อนกลับ: . ดูน่าเกลียด

เราใส่เครื่องหมายลบลงในเมทริกซ์โดยเปลี่ยนเครื่องหมายขององค์ประกอบ EACH ของเมทริกซ์:

ก็สวยกว่าเยอะ และที่สำคัญที่สุด การดำเนินการใดๆ กับเมทริกซ์จะง่ายกว่า เพราะมีเครื่องหมายพื้นบ้านทางคณิตศาสตร์ดังกล่าว: minuses มากขึ้น - ความสับสนและข้อผิดพลาดมากขึ้น.

2) การกระทำที่สอง การคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข.

ตัวอย่าง:

ง่ายมาก ในการคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข คุณต้องมี ทุกคนคูณองค์ประกอบเมทริกซ์ด้วยจำนวนที่กำหนด ในกรณีนี้สาม

อีกตัวอย่างที่มีประโยชน์:

– การคูณเมทริกซ์ด้วยเศษส่วน

มาดูกันก่อนว่าต้องทำอย่างไร ไม่จำเป็น:

ไม่จำเป็นต้องใส่เศษส่วนลงในเมทริกซ์ ประการแรก มันทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมกับเมทริกซ์เป็นเรื่องยาก และประการที่สอง ทำให้ครูตรวจสอบคำตอบได้ยาก (โดยเฉพาะถ้า - คำตอบสุดท้ายของงาน)

และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง, ไม่จำเป็นหารแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ด้วยลบเจ็ด:

จากบทความ คณิตศาสตร์สำหรับหุ่นจำลองหรือจุดเริ่มต้นเราจำได้ว่าเศษส่วนทศนิยมที่มีเครื่องหมายจุลภาคในวิชาคณิตศาสตร์ระดับสูงกว่านั้นพยายามหลีกเลี่ยงทุกวิถีทาง

สิ่งเดียวเท่านั้น เป็นที่น่าพอใจในตัวอย่างนี้คือการแทรกเครื่องหมายลบลงในเมทริกซ์:

แต่ถ้า ทั้งหมดองค์ประกอบเมทริกซ์ถูกหารด้วย7 ไร้ร่องรอยมันก็จะเป็นไปได้ (และจำเป็น!) ที่จะแบ่ง

ตัวอย่าง:

ในกรณีนี้ คุณสามารถ ความต้องการคูณองค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ด้วย เนื่องจากตัวเลขทั้งหมดในเมทริกซ์นั้นหารด้วย 2 . ลงตัว ไร้ร่องรอย.

หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ชั้นสูง ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การแบ่ง" ของโรงเรียน แทนที่จะพูดว่า "นี่คือหารด้วยนี่" คุณสามารถพูดว่า "นี่คือการคูณด้วยเศษส่วน" กล่าวคือ หารเป็นกรณีพิเศษของการคูณ

3) การกระทำที่สาม การขนย้ายเมทริกซ์.

ในการทรานสโพสเมทริกซ์ คุณต้องเขียนแถวของมันลงในคอลัมน์ของเมทริกซ์ทรานสโพส

ตัวอย่าง:

ทรานสโพส เมทริกซ์

มีเพียงหนึ่งบรรทัดที่นี่และตามกฎแล้วจะต้องเขียนในคอลัมน์:

คือเมทริกซ์ทรานสโพส

เมทริกซ์ทรานสโพสมักจะแสดงโดยตัวยกหรือเส้นขีดที่มุมขวาบน

ตัวอย่างทีละขั้นตอน:

ทรานสโพส เมทริกซ์

อันดับแรก เราเขียนแถวแรกใหม่ในคอลัมน์แรก:

จากนั้นเราเขียนแถวที่สองลงในคอลัมน์ที่สอง:

และสุดท้าย เราเขียนแถวที่สามลงในคอลัมน์ที่สามใหม่:

พร้อม. พูดโดยคร่าว ๆ การเปลี่ยนผ่านหมายถึงการเปลี่ยนเมทริกซ์ไปด้านข้าง

4) การกระทำที่สี่ ผลรวม (ผลต่าง) ของเมทริกซ์.

ผลรวมของเมทริกซ์เป็นการดำเนินการอย่างง่าย
ไม่สามารถพับเมทริกซ์ทั้งหมดได้ ในการบวก (การลบ) ของเมทริกซ์ จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น หากให้เมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 2 ก็จะสามารถเพิ่มเมทริกซ์ขนาด 2 คูณ 2 ได้เท่านั้น และไม่มีเมทริกซ์อื่น!

ตัวอย่าง:

เพิ่มเมทริกซ์ และ

ในการเพิ่มเมทริกซ์ คุณต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง:

สำหรับผลต่างของเมทริกซ์ กฎจะคล้ายคลึงกัน จำเป็นต้องค้นหาความแตกต่างขององค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง.

ตัวอย่าง:

ค้นหาผลต่างของเมทริกซ์ ,

และวิธีแก้ตัวอย่างนี้ง่ายขึ้นเพื่อไม่ให้สับสน? ขอแนะนำให้กำจัด minuses ที่ไม่จำเป็น สำหรับสิ่งนี้เราจะเพิ่มเครื่องหมายลบลงในเมทริกซ์:

หมายเหตุ: ในทฤษฎีคณิตศาสตร์ชั้นสูง ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การลบ" ของโรงเรียน แทนที่จะพูดว่า "ลบสิ่งนี้ออกจากสิ่งนี้" คุณสามารถพูดว่า "บวกจำนวนลบในสิ่งนี้" ได้เสมอ กล่าวคือ การลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก

5) การกระทำที่ห้า การคูณเมทริกซ์.

เมทริกซ์ใดสามารถคูณได้?

เพื่อให้เมทริกซ์คูณด้วยเมทริกซ์ เพื่อให้จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์.

ตัวอย่าง:
เป็นไปได้ไหมที่จะคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์?

ดังนั้น คุณสามารถคูณข้อมูลของเมทริกซ์ได้

แต่ถ้าเมทริกซ์ถูกจัดเรียงใหม่ ในกรณีนี้ การคูณจะไม่สามารถทำได้อีกต่อไป!

ดังนั้นการคูณจึงเป็นไปไม่ได้:

ไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับงานที่มีกลอุบายเมื่อนักเรียนถูกขอให้คูณเมทริกซ์ซึ่งการคูณนั้นเป็นไปไม่ได้อย่างเห็นได้ชัด

ควรสังเกตว่าในบางกรณี เป็นไปได้ที่จะคูณเมทริกซ์ทั้งสองวิธี
ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ และทั้งการคูณและการคูณเป็นไปได้

ดังนั้น บริการสำหรับการแก้เมทริกซ์ออนไลน์:

บริการเมทริกซ์ช่วยให้คุณทำการแปลงเมทริกซ์เบื้องต้นได้
หากคุณมีงานที่ต้องทำการแปลงที่ซับซ้อนมากขึ้น บริการนี้ควรถูกใช้เป็นตัวสร้าง

ตัวอย่าง. ข้อมูลเมทริกซ์ อาและ บี, ต้องหา ค = อา -1 * บี + บีที ,

1. อันดับแรกคุณควรหา เมทริกซ์ผกผันA1 = อา-1 โดยใช้บริการเพื่อค้นหาเมทริกซ์ผกผัน;
2. นอกจากนี้ หลังจากหาเมทริกซ์แล้ว A1ทำมัน การคูณเมทริกซ์A2 = A1 * บีใช้บริการคูณเมทริกซ์
3. มาทำกัน การขนย้ายเมทริกซ์A3 = บี T (บริการสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ทรานสโพส);
4. และสุดท้าย - หาผลรวมของเมทริกซ์ กับ = A2 + A3(บริการคำนวณผลรวมของเมทริกซ์) - และเราได้คำตอบพร้อมวิธีแก้ปัญหาที่ละเอียดที่สุด!;

ผลคูณของเมทริกซ์

นี่คือบริการออนไลน์ สองขั้นตอน:

• ป้อนเมทริกซ์ปัจจัยแรก อา
• ป้อนเมทริกซ์ตัวประกอบที่สองหรือเวกเตอร์คอลัมน์ บี

การคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์

สามารถหาการคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์ได้โดยใช้บริการ การคูณเมทริกซ์
(ปัจจัยแรกจะเป็นเมทริกซ์ที่กำหนด ปัจจัยที่สองจะเป็นคอลัมน์ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของเวกเตอร์ที่กำหนด)

นี่คือบริการออนไลน์ สองขั้นตอน:

• ใส่เมทริกซ์ อาซึ่งคุณต้องหาเมทริกซ์ผกผัน
• รับคำตอบพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดเพื่อค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

ดีเทอร์มีแนนต์เมทริกซ์

นี่คือบริการออนไลน์ ก้าวเดียว:

• ใส่เมทริกซ์ อาซึ่งคุณต้องหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์

การขนย้ายเมทริกซ์

ที่นี่คุณสามารถทำตามอัลกอริธึมการขนย้ายเมทริกซ์และเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวด้วยตนเอง
นี่คือบริการออนไลน์ ก้าวเดียว:

• ใส่เมทริกซ์ อาซึ่งจำเป็นต้องย้าย

อันดับเมทริกซ์

นี่คือบริการออนไลน์ ก้าวเดียว:

• ใส่เมทริกซ์ อาซึ่งคุณต้องหาอันดับ

ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์

นี่คือบริการออนไลน์ ก้าวเดียว:

• ใส่เมทริกซ์ อาซึ่งคุณต้องค้นหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะ (ค่าลักษณะเฉพาะ)

การยกกำลังเมทริกซ์

นี่คือบริการออนไลน์ สองขั้นตอน:

• ใส่เมทริกซ์ อาซึ่งจะถูกยกให้เป็นอำนาจ
• ใส่จำนวนเต็ม q- ระดับ