วิธีเมทริกซ์ โซลูชั่น SLAUใช้ในการแก้ระบบสมการซึ่งจำนวนสมการตรงกับจำนวนไม่ทราบค่า วิธีนี้ใช้ได้ดีที่สุดในการแก้ปัญหาระบบที่มีลำดับต่ำ วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้คุณสมบัติของการคูณเมทริกซ์

ด้วยวิธีนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีเมทริกซ์ผกผันเรียกอย่างนั้น เนื่องจากคำตอบถูกลดขนาดเป็นสมการเมทริกซ์ปกติ สำหรับคำตอบนั้น คุณต้องหาเมทริกซ์ผกผัน

วิธีการแก้ปัญหาเมทริกซ์ SLAE ที่มีดีเทอร์มีแนนต์มากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์มีดังนี้:

สมมติว่ามี SLE (ระบบสมการเชิงเส้น) ด้วย นไม่ทราบ (เหนือฟิลด์ใด ๆ ):

ดังนั้นจึงง่ายต่อการแปลเป็นรูปแบบเมทริกซ์:

ขวาน=B, ที่ไหน อาเป็นเมทริกซ์หลักของระบบ บีและ X- คอลัมน์ของสมาชิกอิสระและวิธีแก้ปัญหาของระบบ ตามลำดับ:

คูณสมการเมทริกซ์นี้ทางซ้ายด้วย เอ -1- เมทริกซ์ผกผันเป็นเมทริกซ์ A: A -1 (AX)=A -1 B.

เพราะ A -1 A=E, วิธี, X=A -1 B. ด้านขวาของสมการจะเป็นคอลัมน์ของคำตอบของระบบตั้งต้น เงื่อนไขสำหรับการบังคับใช้วิธีเมทริกซ์คือความไม่เสื่อมของเมทริกซ์ อา. เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับสิ่งนี้คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ อา:

detA≠0.

สำหรับ ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น, เช่น. ถ้าเวกเตอร์ B=0กฎตรงกันข้ามถือ: ระบบ ขวาน=0เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญ (เช่น ไม่เท่ากับศูนย์) เฉพาะเมื่อ detA=0. การเชื่อมต่อระหว่างการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการเชิงเส้นนี้เรียกว่า ทางเลือกแทน Fredholm

ดังนั้น การแก้ปัญหาของ SLAE โดยวิธีเมทริกซ์จึงถูกสร้างขึ้นตามสูตร . หรือพบวิธีแก้ปัญหา SLAE โดยใช้ เมทริกซ์ผกผัน เอ -1.

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเมทริกซ์กำลังสอง แต่คำสั่ง นบน นมีเมทริกซ์ผกผัน เอ -1เฉพาะในกรณีที่ดีเทอร์มีแนนต์ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นระบบ นสมการพีชคณิตเชิงเส้นด้วย นสิ่งที่ไม่ทราบจะได้รับการแก้ไขโดยวิธีเมทริกซ์ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เท่ากับศูนย์

แม้จะมีข้อ จำกัด เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการใช้วิธีนี้และมีปัญหาในการคำนวณสำหรับค่าสัมประสิทธิ์และระบบระดับสูงจำนวนมาก แต่วิธีการนี้สามารถนำไปใช้กับคอมพิวเตอร์ได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างของการแก้ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

ก่อนอื่น ให้ตรวจสอบว่าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับ SLAE ที่ไม่รู้จักนั้นไม่เท่ากับศูนย์หรือไม่

ตอนนี้เราพบว่า เมทริกซ์พันธมิตรย้ายมันแล้วแทนที่ลงในสูตรเพื่อหาเมทริกซ์ผกผัน

เราแทนที่ตัวแปรในสูตร:

ตอนนี้เราพบสิ่งที่ไม่รู้โดยการคูณเมทริกซ์ผกผันกับคอลัมน์ของเทอมอิสระ

ดังนั้น, x=2; y=1; ซ=4.

เมื่อย้ายจากรูปแบบปกติของ SLAE ไปยังรูปแบบเมทริกซ์ ให้ระวังลำดับของตัวแปรที่ไม่รู้จักในสมการระบบ ตัวอย่างเช่น:

อย่าเขียนเป็น:

อันดับแรก จำเป็นต้องเรียงลำดับตัวแปรที่ไม่รู้จักในแต่ละสมการของระบบ และหลังจากนั้น ให้ดำเนินการกับสัญกรณ์เมทริกซ์:

นอกจากนี้ คุณต้องระวังการกำหนดตัวแปรที่ไม่รู้จักแทน x 1 , x 2 , …, x นอาจมีตัวอักษรอื่น ตัวอย่างเช่น:

ในรูปแบบเมทริกซ์ เราเขียน:

การใช้วิธีเมทริกซ์ เป็นการดีกว่าที่จะแก้ระบบสมการเชิงเส้น โดยที่จำนวนสมการตรงกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบไม่เท่ากับศูนย์ เมื่อมีสมการมากกว่า 3 สมการในระบบ จะใช้ความพยายามในการคำนวณมากขึ้นในการหาเมทริกซ์ผกผัน ดังนั้น ในกรณีนี้ ขอแนะนำให้ใช้วิธีเกาส์แก้

วิธีเกาส์หรือที่เรียกว่าวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างต่อเนื่องประกอบด้วยดังต่อไปนี้ การใช้การแปลงเบื้องต้น ระบบของสมการเชิงเส้นถูกนำไปยังรูปแบบที่เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์กลายเป็น สี่เหลี่ยมคางหมู (เหมือนกับสามเหลี่ยมหรือขั้นบันได) หรือใกล้กับสี่เหลี่ยมคางหมู (เส้นทางตรงของวิธีเกาส์แล้ว - แค่การเคลื่อนไหวโดยตรง) ตัวอย่างของระบบดังกล่าวและวิธีแก้ปัญหาแสดงในรูปด้านบน

ในระบบดังกล่าว สมการสุดท้ายมีตัวแปรเพียงตัวเดียวและสามารถหาค่าได้โดยไม่ซ้ำกัน จากนั้นค่าของตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ในสมการก่อนหน้า ( เกาส์เซียนย้อนกลับ จากนั้น - เพียงแค่เคลื่อนที่ย้อนกลับ) ซึ่งพบตัวแปรก่อนหน้าเป็นต้น

ในระบบสี่เหลี่ยมคางหมู (สามเหลี่ยม) อย่างที่เราเห็น สมการที่สามไม่มีตัวแปรอีกต่อไป yและ xและสมการที่สอง - ตัวแปร x .

หลังจากที่เมทริกซ์ของระบบมีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู ก็ไม่ยากที่จะแยกแยะคำถามเกี่ยวกับความเข้ากันได้ของระบบ กำหนดจำนวนโซลูชันและค้นหาวิธีแก้ปัญหาด้วยตนเอง

ข้อดีของวิธีการ:

1. เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีสมการและค่าไม่ทราบค่ามากกว่าสามสมการ วิธีเกาส์นั้นไม่ยุ่งยากเท่าวิธีแครมเมอร์ เนื่องจากต้องใช้การคำนวณน้อยกว่าเมื่อแก้วิธีเกาส์
2. ด้วยวิธีการเกาส์ คุณสามารถแก้สมการเชิงเส้นไม่แน่นอนได้ กล่าวคือ มีคำตอบร่วมกัน (และเราจะวิเคราะห์มันในบทนี้) และใช้วิธีแครมเมอร์ คุณสามารถระบุได้เพียงว่าระบบมีความไม่แน่นอน
3. คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งจำนวนไม่ทราบค่าไม่เท่ากับจำนวนสมการ (เราจะวิเคราะห์ในบทเรียนนี้ด้วย)
4. วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการระดับประถมศึกษา (โรงเรียน) - วิธีการแทนที่สิ่งที่ไม่รู้จักและวิธีการเพิ่มสมการที่เราได้กล่าวถึงในบทความที่เกี่ยวข้อง

เพื่อให้ทุกคนตื้นตันกับความเรียบง่ายซึ่งระบบสมการเชิงเส้นสี่เหลี่ยมคางหมู (สามเหลี่ยม ขั้นตอน) ได้รับการแก้ไข เราจึงนำเสนอวิธีแก้ปัญหาของระบบดังกล่าวโดยใช้จังหวะย้อนกลับ วิธีแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วสำหรับระบบนี้ถูกแสดงในภาพที่จุดเริ่มต้นของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้การเคลื่อนที่แบบย้อนกลับ:

การตัดสินใจ. ในระบบสี่เหลี่ยมคางหมูนี้ ตัวแปร zหาได้เฉพาะจากสมการที่สาม เราแทนค่าลงในสมการที่สองและรับค่าของตัวแปร y:

ตอนนี้เรารู้ค่าของสองตัวแปรแล้ว - zและ y. เราแทนที่พวกมันในสมการแรกและรับค่าของตัวแปร x:

จากขั้นตอนก่อนหน้านี้ เราเขียนคำตอบของระบบสมการ:

เพื่อให้ได้ระบบสมการเชิงเส้นสี่เหลี่ยมคางหมูดังกล่าว ซึ่งเราแก้ได้ง่ายมาก จำเป็นต้องใช้การเคลื่อนที่โดยตรงที่เกี่ยวข้องกับการแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น ก็ไม่ยากมากเช่นกัน

การแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น

ทำซ้ำวิธีการโรงเรียนของการเพิ่มพีชคณิตของสมการของระบบ เราพบว่าสมการอื่นของระบบสามารถเพิ่มลงในสมการใดสมการหนึ่งของระบบ และสมการแต่ละสมการสามารถคูณด้วยตัวเลขบางตัวได้ เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นเทียบเท่ากับที่กำหนด ในสมการนั้น สมการหนึ่งมีตัวแปรเพียงตัวเดียว โดยแทนที่ค่าของสมการอื่น เราจะได้คำตอบ การเพิ่มดังกล่าวเป็นหนึ่งในประเภทของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของระบบ เมื่อใช้วิธี Gauss เราสามารถใช้การแปลงได้หลายประเภท

ภาพเคลื่อนไหวด้านบนแสดงให้เห็นว่าระบบสมการค่อยๆ เปลี่ยนเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไร นั่นคือสิ่งที่คุณเห็นในแอนิเมชั่นแรกและทำให้แน่ใจว่ามันง่ายที่จะหาค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดจากมัน วิธีการทำการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวและแน่นอนจะมีการอภิปรายตัวอย่างเพิ่มเติม

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสมการและค่าไม่ทราบจำนวนเท่าใดก็ได้ในระบบสมการและในเมทริกซ์ขยายของระบบ สามารถ:

1. สลับบรรทัด (ซึ่งถูกกล่าวถึงในตอนต้นของบทความนี้);
2. หากเป็นผลมาจากการแปลงอื่น ๆ ที่เท่ากันหรือเส้นสัดส่วนปรากฏขึ้นพวกเขาสามารถลบได้ยกเว้นหนึ่ง;
3. ลบแถว "null" โดยที่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์
4. คูณหรือหารสตริงใด ๆ ด้วยจำนวนหนึ่ง
5. บวกกับบรรทัดอื่นคูณด้วยจำนวนหนึ่ง

จากการแปลงรูป เราจะได้ระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา

อัลกอริธึมและตัวอย่างการแก้สมการเกาส์ ระบบสมการเชิงเส้นพร้อมเมทริกซ์กำลังสองของระบบ

ให้เราพิจารณาการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยที่จำนวนไม่ทราบค่าเท่ากับจำนวนสมการก่อน เมทริกซ์ของระบบดังกล่าวเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั่นคือจำนวนแถวในนั้นเท่ากับจำนวนคอลัมน์

ตัวอย่าง 2แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีการของโรงเรียน เราคูณเทอมด้วยเทอมหนึ่งของสมการด้วยจำนวนหนึ่ง ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวแรกในสมการทั้งสองจึงเป็นตัวเลขตรงข้ามกัน เมื่อเพิ่มสมการ ตัวแปรนี้จะถูกตัดออก วิธีเกาส์ทำงานในลักษณะเดียวกัน

เพื่อทำให้รูปลักษณ์ของการแก้ปัญหาง่ายขึ้น เขียนเมทริกซ์เสริมของระบบ:

ในเมทริกซ์นี้ สัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบค่าจะอยู่ทางด้านซ้ายก่อนแถบแนวตั้ง และสมาชิกอิสระจะอยู่ทางด้านขวาหลังแถบแนวตั้ง

เพื่อความสะดวกในการหารค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร (เพื่อนำมาหารด้วยหนึ่ง) สลับแถวที่หนึ่งและสองของเมทริกซ์ระบบ. เราได้รับระบบที่เทียบเท่ากับระบบที่ให้มา เนื่องจากในระบบสมการเชิงเส้น เราสามารถจัดเรียงสมการใหม่ได้:

ด้วยสมการแรกใหม่ กำจัดตัวแปร xจากสมการที่สองและสมการต่อมาทั้งหมด. ในการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มแถวแรกที่คูณด้วย (ในกรณีของเราด้วย ) ในแถวที่สองของเมทริกซ์ และแถวแรกคูณด้วย (ในกรณีของเราด้วย ) กับแถวที่สาม

เป็นไปได้เพราะ

หากมีสมการมากกว่าสามสมการในระบบของเรา ควรเพิ่มบรรทัดแรกในสมการที่ตามมาทั้งหมด คูณด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน นำด้วยเครื่องหมายลบ

เป็นผลให้เราได้รับเมทริกซ์ที่เทียบเท่ากับระบบที่กำหนดของระบบสมการใหม่ซึ่งสมการทั้งหมดเริ่มต้นจากวินาที ไม่มีตัวแปร x :

ในการทำให้แถวที่สองของระบบผลลัพธ์ง่ายขึ้น เราคูณมันด้วยแล้วรับเมทริกซ์ของระบบสมการที่เทียบเท่ากับระบบนี้อีกครั้ง:

ตอนนี้ โดยรักษาสมการแรกของระบบผลลัพธ์ไม่เปลี่ยนแปลง โดยใช้สมการที่สอง เรากำจัดตัวแปร y จากสมการถัดมาทั้งหมด เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้เพิ่มแถวที่สองคูณด้วย (ในกรณีของเราคือ ) ไปยังแถวที่สามของเมทริกซ์ระบบ

หากมีสมการมากกว่าสามสมการในระบบของเรา ควรเพิ่มบรรทัดที่สองในสมการที่ตามมาทั้งหมด คูณด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน นำด้วยเครื่องหมายลบ

เป็นผลให้เราได้รับเมทริกซ์ของระบบอีกครั้งเทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้นที่กำหนด:

เราได้รับระบบสี่เหลี่ยมคางหมูของสมการเชิงเส้นเทียบเท่ากับระบบที่ให้มา:

หากจำนวนสมการและตัวแปรมากกว่าในตัวอย่างของเรา กระบวนการกำจัดตัวแปรตามลำดับจะดำเนินต่อไปจนกว่าเมทริกซ์ระบบจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู ดังในตัวอย่างสาธิตของเรา

เราจะพบทางออก "จากจุดสิ้นสุด" - ย้อนกลับ. สำหรับสิ่งนี้ จากสมการสุดท้ายที่เรากำหนด z:
.
แทนค่านี้ลงในสมการก่อนหน้า หา y:

จากสมการแรก หา x:

คำตอบ: คำตอบของระบบสมการนี้ - .

: ในกรณีนี้ คำตอบเดียวกันจะได้รับหากระบบมีโซลูชันเฉพาะ หากระบบมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน คำตอบก็จะเป็นเช่นนั้น และนี่คือหัวข้อของส่วนที่ห้าของบทเรียนนี้

แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ด้วยตัวเอง แล้วดูที่คำตอบ

ก่อนหน้าเราเป็นตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นที่สม่ำเสมอและแน่นอนอีกครั้ง ซึ่งจำนวนสมการจะเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบค่า ความแตกต่างจากตัวอย่างสาธิตของเราจากอัลกอริทึมคือมีสมการสี่สมการและไม่ทราบสี่สมการอยู่แล้ว

ตัวอย่างที่ 4แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์:

ตอนนี้ คุณต้องใช้สมการที่สองเพื่อแยกตัวแปรออกจากสมการถัดมา มาทำงานเตรียมการกันเถอะ เพื่อให้สะดวกยิ่งขึ้นด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ คุณต้องได้หน่วยในคอลัมน์ที่สองของแถวที่สอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบแถวที่สามออกจากแถวที่สอง แล้วคูณแถวที่สองที่เป็นผลลัพธ์ด้วย -1

ให้เราดำเนินการกำจัดตัวแปรจริงจากสมการที่สามและสี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มอันที่สอง คูณด้วย ลงในบรรทัดที่สาม และที่สอง คูณด้วย ลงในบรรทัดที่สี่

ตอนนี้ ใช้สมการที่สาม เรากำจัดตัวแปรออกจากสมการที่สี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในบรรทัดที่สี่ ให้เพิ่มบรรทัดที่สาม คูณด้วย . เราได้เมทริกซ์ขยายของรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู

เราได้รับระบบสมการซึ่งเทียบเท่ากับระบบที่กำหนด:

ดังนั้นระบบผลลัพธ์และที่ได้รับมีความสอดคล้องและแน่นอน เราพบทางออกสุดท้าย "จากจุดสิ้นสุด" จากสมการที่สี่ เราสามารถแสดงค่าของตัวแปร "x ที่สี่" ได้โดยตรง:

เราแทนค่านี้ลงในสมการที่สามของระบบและรับ

,

,

สุดท้ายการทดแทนค่า

ในสมการแรกให้

,

ที่เราพบ "x ก่อน":

คำตอบ: ระบบสมการนี้มีคำตอบเฉพาะ .

คุณยังสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของระบบด้วยเครื่องคิดเลขที่แก้โดยวิธีของ Cramer ได้ ในกรณีนี้ จะได้รับคำตอบเดียวกันหากระบบมีคำตอบที่ไม่ซ้ำใคร

วิธีแก้ปัญหาโดยวิธี Gauss กับตัวอย่างปัญหาของโลหะผสม

ระบบสมการเชิงเส้นใช้เพื่อจำลองวัตถุจริงของโลกทางกายภาพ มาแก้ปัญหาเหล่านี้กัน - สำหรับโลหะผสม งานที่คล้ายคลึงกัน - งานสำหรับส่วนผสม ราคาหรือความถ่วงจำเพาะของสินค้าแต่ละชิ้นในกลุ่มสินค้า และอื่นๆ ในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 5โลหะผสมสามชิ้นมีมวลรวม 150 กิโลกรัม โลหะผสมแรกประกอบด้วยทองแดง 60% ที่สอง - 30% ที่สาม - 10% ในเวลาเดียวกัน ในโลหะผสมที่สองและสามที่นำมารวมกัน ทองแดงจะน้อยกว่าโลหะผสมแรก 28.4 กก. และในโลหะผสมที่สาม ทองแดงน้อยกว่าในโลหะผสมที่สอง 6.2 กก. หามวลของโลหะผสมแต่ละชิ้น

การตัดสินใจ. เราเขียนระบบสมการเชิงเส้น:

การคูณสมการที่สองและสามด้วย 10 เราจะได้ระบบสมการเชิงเส้นที่เท่ากัน:

เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ:

ความสนใจ การเคลื่อนไหวโดยตรง โดยการเพิ่ม (ในกรณีของเรา การลบ) หนึ่งแถว คูณด้วยตัวเลข (เราใช้สองครั้ง) การแปลงต่อไปนี้เกิดขึ้นกับเมทริกซ์ที่ขยายของระบบ:

การวิ่งทางตรงสิ้นสุดลงแล้ว เราได้เมทริกซ์ขยายของรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู

ลองใช้ย้อนกลับ เราพบวิธีแก้ปัญหาจากจุดสิ้นสุด เราเห็นว่า.

จากสมการที่สองเราพบว่า

จากสมการที่สาม -

คุณยังสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของระบบด้วยเครื่องคิดเลขที่แก้โดยวิธีของ Cramer ได้ ในกรณีนี้ จะได้รับคำตอบเดียวกันหากระบบมีคำตอบที่ไม่ซ้ำใคร

ความเรียบง่ายของวิธีเกาส์พิสูจน์ได้จากข้อเท็จจริงที่ว่านักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ใช้เวลาเพียง 15 นาทีในการประดิษฐ์มัน นอกเหนือจากวิธีการตั้งชื่อของเขา จากผลงานของเกาส์แล้ว ภาษิตที่ว่า "เราไม่ควรสับสนระหว่างสิ่งที่ดูเหมือนเหลือเชื่อและผิดธรรมชาติสำหรับเรากับสิ่งที่เป็นไปไม่ได้อย่างยิ่ง" เป็นคำสั่งสั้นๆ สำหรับการค้นพบ

ในปัญหาที่ประยุกต์ใช้จำนวนมาก อาจไม่มีข้อจำกัดที่สาม นั่นคือ สมการที่สาม จากนั้นจึงจำเป็นต้องแก้ระบบสมการสองสมการที่มีสามไม่ทราบค่าโดยวิธีเกาส์ หรือในทางกลับกัน ไม่ทราบค่ามีน้อยกว่าสมการ ตอนนี้เราเริ่มแก้ระบบสมการดังกล่าว

ด้วยวิธีการเกาส์ คุณสามารถระบุได้ว่าระบบใดมีความสอดคล้องหรือไม่สอดคล้องกัน นสมการเชิงเส้นด้วย นตัวแปร

วิธีเกาส์และระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบเป็นอนันต์

ตัวอย่างต่อไปคือระบบสมการเชิงเส้นที่สม่ำเสมอแต่ไม่มีกำหนด กล่าวคือ มีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์

หลังจากทำการแปลงในเมทริกซ์แบบขยายของระบบ (เรียงแถว คูณและหารแถวด้วยจำนวนที่แน่นอน เพิ่มหนึ่งแถวไปยังอีกแถวหนึ่ง) แถวของแบบฟอร์ม

ถ้าในทุกสมการมีรูปแบบ

สมาชิกอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าระบบไม่มีกำหนด นั่นคือ มีคำตอบเป็นอนันต์ และสมการประเภทนี้ "ฟุ่มเฟือย" และถูกแยกออกจากระบบ

ตัวอย่างที่ 6

การตัดสินใจ. ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ จากนั้น ใช้สมการแรก เราจะกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดแรก คูณด้วย ตามลำดับ:

ทีนี้ มาเพิ่มแถวที่สองกับแถวที่สามและสี่กัน

ส่งผลให้เรามาถึงระบบ

สมการสองสมการสุดท้ายกลายเป็นสมการของรูปแบบ สมการเหล่านี้เป็นที่พอใจสำหรับค่าใด ๆ ของสิ่งที่ไม่รู้และสามารถละทิ้งได้

เพื่อให้เป็นไปตามสมการที่สอง เราสามารถเลือกค่าตามอำเภอใจสำหรับ และ จากนั้นค่าสำหรับ จะถูกกำหนดอย่างชัดเจน: . จากสมการแรก จะพบค่าเฉพาะ: .

ทั้งระบบที่กำหนดและระบบสุดท้ายเข้ากันได้ แต่ไม่แน่นอนและสูตร

โดยพลการและให้คำตอบทั้งหมดของระบบที่กำหนดแก่เรา

วิธีเกาส์และระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างต่อไปนี้คือระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ไม่มีคำตอบ คำตอบของปัญหาดังกล่าวกำหนดไว้ดังนี้ ระบบไม่มีวิธีแก้ไข

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วในตัวอย่างแรก หลังจากทำการแปลงในเมทริกซ์ขยายของระบบ เส้นของแบบฟอร์ม

สอดคล้องกับสมการของรูปแบบ

หากในหมู่พวกเขามีสมการอย่างน้อยหนึ่งสมการที่มีเทอมไม่ว่างเป็นศูนย์ (เช่น ) ระบบของสมการนี้ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ มันไม่มีคำตอบ และสิ่งนี้จะทำให้คำตอบของมันสมบูรณ์

ตัวอย่าง 7แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์:

การตัดสินใจ. เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ โดยใช้สมการแรก เราแยกตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มแถวแรกคูณด้วยแถวที่สอง แถวแรกคูณด้วยแถวที่สาม และแถวแรกคูณด้วยแถวที่สี่

ตอนนี้ คุณต้องใช้สมการที่สองเพื่อแยกตัวแปรออกจากสมการถัดมา เพื่อให้ได้อัตราส่วนจำนวนเต็มของสัมประสิทธิ์ เราสลับแถวที่สองและสามของเมทริกซ์ขยายของระบบ

หากต้องการแยกจากสมการที่สามและสี่ ให้เพิ่มที่สอง คูณด้วย ไปที่แถวที่สาม และที่สอง คูณด้วย ไปที่สี่

ตอนนี้ ใช้สมการที่สาม เรากำจัดตัวแปรออกจากสมการที่สี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในบรรทัดที่สี่ ให้เพิ่มบรรทัดที่สาม คูณด้วย .

ระบบที่กำหนดจึงเทียบเท่ากับต่อไปนี้:

ระบบผลลัพธ์ไม่สอดคล้องกัน เนื่องจากสมการสุดท้ายของมันไม่สมบรูณ์แบบด้วยค่าของนิรนามใดๆ ดังนั้นระบบนี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ที่ไหน x* - หนึ่งในวิธีแก้ปัญหาของระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (2) (เช่น (4)) (E−A + A)สร้างเคอร์เนล (ช่องว่างศูนย์) ของเมทริกซ์ อา.

มาสร้างการสลายตัวของโครงกระดูกของเมทริกซ์กัน (E−A + A):

E−A + A=Q S

ที่ไหน คิว n×n−r- อันดับเมทริกซ์ (Q)=n−r, ส n−r×n- อันดับเมทริกซ์ (ส)=n−r.

จากนั้น (13) สามารถเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

x=x*+Qk, ∀ k ∈ อาร์ เอ็น-อาร์

ที่ไหน k=Sz.

ดังนั้น, ขั้นตอนการแก้ปัญหาทั่วไประบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ pseudoinverse สามารถแสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

1. คำนวณเมทริกซ์ผกผันเทียม อา + .
2. เราคำนวณวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบสมการเชิงเส้น (2): x*=อา + ข.
3. เราตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ สำหรับสิ่งนี้เราคำนวณ AA + ข. ถ้า AA + ข≠ขแสดงว่าระบบไม่สอดคล้องกัน มิฉะนั้น เราจะดำเนินการตามขั้นตอนต่อไป
4. vyssylyaem E−A+A.
5. ทำการสลายโครงกระดูก E−A + A=Q·S
6. การสร้างโซลูชัน

x=x*+Qk, ∀ k ∈ อาร์ เอ็น-อาร์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นออนไลน์

เครื่องคิดเลขออนไลน์ช่วยให้คุณค้นหาคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้นพร้อมคำอธิบายโดยละเอียด

คำแนะนำ

วิธีการทดแทนหรือการกำจัดแบบต่อเนื่อง การทดแทน ใช้ในระบบที่ไม่ทราบจำนวนเล็กน้อย นี่เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดสำหรับ simple อย่างแรก จากสมการแรก เราแทนค่าที่ไม่รู้จักผ่านสมการอื่น และแทนที่นิพจน์นี้ลงในสมการที่สอง เราแสดงค่าที่ไม่รู้จักที่สองจากสมการที่สองที่แปลงแล้ว แทนที่ผลลัพธ์ที่ได้ลงในสมการที่สาม และอื่นๆ จนกว่าเราจะคำนวณล่าสุดที่ไม่รู้จัก จากนั้นเราแทนที่ค่าของมันลงในสมการก่อนหน้าและหาค่าที่ไม่รู้จักสุดท้าย ฯลฯ พิจารณาด้วย unknowns.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
แสดงจากสมการแรก x: x = 3 - y แทนที่ในสมการที่สอง: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y=1
แทนที่ในสมการแรก ระบบ(หรือนิพจน์สำหรับ x ซึ่งเหมือนกัน): x + 1 - 3 = 0 เราจะได้ x = 2

การลบแบบเทอมต่อเทอม (หรือบวก) วิธีนี้มักจะทำให้วิธีแก้ปัญหาสั้นลง ระบบและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ประกอบด้วยการวิเคราะห์หาสิ่งที่ไม่รู้ในลักษณะที่จะบวก (หรือลบ) สมการ ระบบเพื่อขจัดสิ่งแปลกปลอมบางส่วนออกจากสมการ พิจารณาตัวอย่าง ใช้ระบบเดียวกับวิธีแรก
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าที่ y สัมประสิทธิ์มีค่าสัมบูรณ์เหมือนกัน แต่มีเครื่องหมาย ดังนั้นหากเราบวกสมการสองเทอมด้วยเทอม y จะสามารถยกเว้น y ได้ ลองบวก: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 หรือ 3x - 6 = 0 ดังนั้น x = 2 การแทนค่านี้ในสมการใดๆ เราจะพบ y
หรือจะยกเว้น x ก็ได้ สัมประสิทธิ์ที่ x มีเครื่องหมายเหมือนกัน ดังนั้นเราจะลบสมการหนึ่งออกจากอีกสมการหนึ่ง แต่ในสมการแรก สัมประสิทธิ์ที่ x คือ 1 และในสมการที่สองคือ 2 ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถกำจัด x ได้ การคูณสมการแรกด้วย 2 เราจะได้ระบบดังนี้:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
ทีนี้ ต่อเทอม ลบอันที่สองออกจากสมการแรก: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 หรือ อ้างถึงค่าที่คล้ายกัน 3y - 3 = 0 ดังนั้น y = 1 แทนสมการใด ๆ เราพบ x

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

เคล็ดลับ 2: วิธีพิสูจน์ความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น

งานหนึ่งของคณิตศาสตร์ชั้นสูงคือการพิสูจน์ความเข้ากันได้ของระบบสมการเชิงเส้น การพิสูจน์จะต้องดำเนินการตามทฤษฎีบท Kronker-Capelli ตามที่ระบบมีความสอดคล้องหากอันดับของเมทริกซ์หลักเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย

คำแนะนำ

เขียนเมทริกซ์หลักของระบบ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้นำสมการมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน (กล่าวคือ ใส่สัมประสิทธิ์ทั้งหมดให้อยู่ในลำดับเดียวกัน ถ้าตัวใดตัวหนึ่งหายไป ให้จดไว้ โดยใช้สัมประสิทธิ์ตัวเลข "0") เขียนสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในรูปแบบของตารางแล้วใส่ไว้ในวงเล็บ (อย่าคำนึงถึงเงื่อนไขฟรีที่โอนไปทางด้านขวา)

ในทำนองเดียวกัน ให้จดเมทริกซ์ขยายของระบบ ในกรณีนี้ ให้วางแถบแนวตั้งทางด้านขวาแล้วจดคอลัมน์ของสมาชิกอิสระ

คำนวณอันดับของเมทริกซ์หลัก นี่คือค่ารองที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่ใช่ศูนย์ ลำดับรองลงมาคือตัวเลขใดๆ ของเมทริกซ์ เห็นได้ชัดว่ามันไม่เท่ากับศูนย์ ในการคำนวณลำดับรองลงมา ให้นำสองแถวใดๆ และสองคอลัมน์ใดๆ (คุณจะได้ตัวเลขสี่หลัก) คำนวณดีเทอร์มีแนนต์ คูณตัวเลขบนซ้ายกับขวาล่าง ลบผลคูณของด้านล่างซ้ายและขวาบนจากจำนวนผลลัพธ์ คุณมีลำดับรองลงมาของลำดับที่สอง

การคำนวณลำดับรองลงมายากกว่าในลำดับที่สาม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ใช้สามแถวและสามคอลัมน์ใดๆ คุณจะได้ตารางที่มีตัวเลขเก้าตัว คำนวณดีเทอร์มีแนนต์โดยใช้สูตร: ∆=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a12a21a33-a11a23a32 (หลักแรกของสัมประสิทธิ์คือหมายเลขแถว หลักที่สองคือหมายเลขคอลัมน์) คุณได้รับคำสั่งซื้อรองจากลำดับที่สาม

ในทำนองเดียวกัน จงหาอันดับของเมทริกซ์เสริม โปรดทราบว่าหากจำนวนสมการในระบบของคุณตรงกับอันดับ (เช่น สมการสามสมการ และอันดับคือ 3) มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะคำนวณอันดับของเมทริกซ์เสริม - แน่นอนว่าจะเท่ากับตัวเลขนี้ด้วย . ในกรณีนี้ เราสามารถสรุปได้อย่างปลอดภัยว่าระบบสมการเชิงเส้นเข้ากันได้

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

คำถามที่ถามครอบคลุมเป้าหมายหลักของหลักสูตร "พีชคณิตเชิงเส้น" ทั้งหมด ดังนั้น คำตอบจะได้รับในรูปแบบบีบอัดเท่านั้น โดยไม่มีการคำนวณและคำอธิบายโดยละเอียด โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นนั้นน่าสนใจเพราะสามารถแก้ไขได้โดยวิธีอัลกอริธึมล้วนๆ

คำแนะนำ

ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น m กับ n ไม่ทราบค่ามีรูปแบบ (ดูรูปที่ 1)
ในนั้น aij คือสัมประสิทธิ์ระบบ xj คือไม่ทราบค่า bi เป็นสมาชิกอิสระ (i=1, 2, ... , m; j=1, 2, ... , p) ระบบดังกล่าวมีความหมายในทางปฏิบัติในกรณีที่จำนวนสมการไม่เกินจำนวนที่ไม่รู้จักนั่นคือเมื่อm≤n ความจริงก็คือไม่เช่นนั้น สมการ "พิเศษ" จะต้องเป็นผลรวมเชิงเส้นของสมการที่เหลือ มันคือพวกเขาเพียงแค่ทำซ้ำพวกเขา หากไม่มี แสดงว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ระบบไม่สอดคล้องกัน)

ระบบดังกล่าวสามารถเขียนอย่างกระชับในรูปแบบเมทริกซ์ AX=B A คือสัมประสิทธิ์ของระบบ X คือเมทริกซ์คอลัมน์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก B คือเมทริกซ์คอลัมน์ของสมาชิกอิสระ (ดูรูปที่ 2) ถ้า m=n คือ คือจำนวนไม่ทราบค่าและจำนวนสมการเท่ากัน แล้วเมทริกซ์ A จะเป็นกำลังสอง ดังนั้น แนวคิดของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ ∆=|A| จึงถูกกำหนดไว้ สำหรับ |A|≠0 จะมีเมทริกซ์ผกผัน A⁻¹ มันขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน AA⁻¹= A⁻¹A=E (E คือเมทริกซ์เอกลักษณ์) สูตรการคำนวณยังมีอยู่ในรูปที่ 2 ควรเพิ่มเฉพาะว่าองค์ประกอบ Aij Г ที่เรียกว่าการเติมเต็มเชิงพีชคณิตขององค์ประกอบ aij ของเมทริกซ์ A ถูกคำนวณดังนี้ นำดีเทอร์มิแนนต์ |A| และลบออกจากแถวและคอลัมน์ที่มีองค์ประกอบ aij เขียนสัมประสิทธิ์ที่เหลือเป็นตัวดีเทอร์มีแนนต์ ซึ่งคูณด้วย (-1) ถ้า i+j ไม่เป็นคู่ หมายเลขที่สอดคล้องกันคือ Aij การเพิ่มพีชคณิตเขียนทับคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง

หาคำตอบของระบบด้วยวิธีเมทริกซ์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณทั้งสองส่วนของระบบ AX=B ด้วย A⁻¹ ทางด้านซ้าย รับ (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B หรือ X=A⁻¹B รายละเอียดทั้งหมดแสดงไว้ในรูปที่ 3. ตัวเลขเดียวกันแสดงให้เห็น

ในบทนี้ เราจะพิจารณาวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง ระบบของสมการเชิงเส้นจะต้องได้รับการแก้ไขทั้งในรูปแบบของงานที่แยกจากกัน เช่น "แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์" และในการแก้ปัญหาอื่นๆ เราต้องจัดการกับระบบสมการเชิงเส้นในเกือบทุกสาขาของคณิตศาสตร์ชั้นสูง

ประการแรกทฤษฎีเล็กน้อย คำทางคณิตศาสตร์ "เชิงเส้น" ในกรณีนี้หมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าในสมการของระบบ ทั้งหมดตัวแปรรวมอยู่ด้วย ในระดับแรก: ไม่มีของฟุ่มเฟือยอย่าง ฯลฯ ซึ่งมีเพียงผู้เข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกเท่านั้นที่มีความยินดี

ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง ไม่เพียงแต่ตัวอักษรที่คุ้นเคยจากวัยเด็กเท่านั้นที่ถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดตัวแปร
ตัวเลือกที่นิยมพอสมควรคือตัวแปรที่มีดัชนี:
หรืออักษรตัวแรกของอักษรละตินตัวเล็กและตัวใหญ่:
หาอักษรกรีกได้ไม่บ่อยนัก: - รู้จัก "อัลฟา เบต้า แกมมา" หลายตัว และยังมีชุดที่มีดัชนีพูดด้วยตัวอักษร "mu":

การใช้ตัวอักษรชุดใดชุดหนึ่งขึ้นอยู่กับสาขาของคณิตศาสตร์ชั้นสูงที่เราต้องเผชิญกับระบบสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น ในระบบของสมการเชิงเส้นที่พบในการแก้ปริพันธ์ สมการอนุพันธ์ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญกรณ์

แต่ไม่ว่าจะกำหนดตัวแปรอย่างไร หลักการ วิธีการ และวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นจะไม่เปลี่ยนแปลงไปจากนี้ ดังนั้น หากคุณเจอเรื่องแย่ๆ เช่น อย่ารีบปิดหนังสือปัญหาด้วยความกลัว เพราะคุณสามารถวาดดวงอาทิตย์แทน - นก และ - ใบหน้า (ของครู) แทน และที่แปลกก็คือ ระบบสมการเชิงเส้นพร้อมสัญกรณ์เหล่านี้สามารถแก้ไขได้ด้วย

บางสิ่งที่ฉันมีลางสังหรณ์ว่าบทความจะค่อนข้างยาว จึงเป็นสารบัญขนาดเล็ก ดังนั้น "การซักถาม" ตามลำดับจะเป็นดังนี้:

– การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีทดแทน (“วิธีโรงเรียน”);
– การแก้สมการระบบโดยวิธีบวกระยะต่อเทอมของสมการระบบ;
– การแก้ปัญหาของระบบด้วยสูตรของแครมเมอร์;
– คำตอบของระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน;
– การแก้ปัญหาของระบบโดยวิธีเกาส์.

ทุกคนคุ้นเคยกับระบบสมการเชิงเส้นจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน อันที่จริง เราเริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีแทนค่า

วิธีนี้เรียกอีกอย่างว่า "วิธีการของโรงเรียน" หรือวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก พูดเปรียบเปรยเรียกอีกอย่างว่า "วิธีเกาส์แบบกึ่งสำเร็จรูป"

ตัวอย่างที่ 1

ที่นี่เรามีระบบสมการสองสมการที่มีสองนิรนาม โปรดทราบว่าคำศัพท์อิสระ (หมายเลข 5 และ 7) จะอยู่ที่ด้านซ้ายของสมการ โดยทั่วไปแล้ว ไม่สำคัญว่าพวกเขาจะอยู่ที่ไหน ทางซ้ายหรือทางขวา เพียงแต่ในปัญหาทางคณิตศาสตร์ระดับสูง พวกเขามักจะอยู่อย่างนั้น และบันทึกดังกล่าวไม่ควรสร้างความสับสนหากจำเป็นระบบสามารถเขียน "ตามปกติ" ได้เสมอ: อย่าลืมว่าเมื่อโอนเทอมจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่ง คุณต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นหมายความว่าอย่างไร การแก้ระบบสมการหมายถึงการหาเซตของคำตอบ การแก้ปัญหาของระบบคือชุดของค่าของตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้น ซึ่งเปลี่ยนสมการทุก ๆ ของระบบให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง นอกจากนี้ ระบบยังสามารถ เข้ากันไม่ได้ (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา).อย่าอาย นี่คือคำจำกัดความทั่วไป =) เราจะมีค่า "x" เพียงค่าเดียวและค่า "y" ค่าเดียว ซึ่งตรงกับแต่ละสมการด้วย-เรา

มีวิธีการแบบกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาระบบ ซึ่งสามารถพบได้ในบทเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับเส้นตรง. ที่นั่นฉันพูดถึง ความรู้สึกทางเรขาคณิตระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีสองนิรนาม แต่ตอนนี้ ในบ้านเป็นยุคของพีชคณิต และตัวเลข-ตัวเลข การกระทำ-การกระทำ

เราตัดสินใจ: จากสมการแรกที่เราแสดง:
เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สอง:

เราเปิดวงเล็บ ให้เงื่อนไขเหมือนและค้นหาค่า:

ต่อไป เราจำสิ่งที่พวกเขาเต้นได้จาก:
เรารู้คุณค่าแล้ว ยังคงต้องค้นหา:

ตอบ:

หลังจากที่ระบบสมการใดๆ ได้รับการแก้ไขแล้ว ขอแนะนำให้ตรวจสอบ (ปากเปล่าบนร่างหรือเครื่องคิดเลข). โชคดีที่ทำได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย

1) แทนที่คำตอบที่พบในสมการแรก:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

2) เราแทนที่คำตอบที่พบในสมการที่สอง:

- ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

หรือพูดง่ายๆ ก็คือ "ทุกอย่างมารวมกัน"

วิธีการแก้ปัญหาที่พิจารณาแล้วไม่ใช่วิธีเดียวเท่านั้น จากสมการแรก มันเป็นไปได้ที่จะแสดงออก แต่ไม่ใช่
คุณสามารถในทางกลับกัน - แสดงบางอย่างจากสมการที่สองและแทนที่ลงในสมการแรก อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าวิธีที่เสียเปรียบที่สุดในสี่วิธีคือการแสดงออกจากสมการที่สอง:

เศษส่วนได้มา แต่ทำไมมันถึงได้? มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลมากขึ้น

อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี เศษส่วนก็ยังขาดไม่ได้ ในเรื่องนี้ ฉันดึงความสนใจของคุณไปที่วิธีที่ฉันเขียนนิพจน์ ไม่ใช่แบบนี้: และไม่ใช่แบบนี้: .

หากในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงกว่านั้น คุณกำลังจัดการกับตัวเลขเศษส่วน ให้ลองทำการคำนวณทั้งหมดในเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมธรรมดา

แม่นแล้วไม่ใช่หรือ!

สามารถใช้เครื่องหมายจุลภาคได้เป็นครั้งคราวเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งหาก - นี่คือคำตอบสุดท้ายของปัญหา และไม่จำเป็นต้องดำเนินการใดๆ กับตัวเลขนี้อีก

ผู้อ่านหลายคนคงคิดว่า "ทำไมคำอธิบายโดยละเอียดเช่นนี้ ระดับการแก้ไข และทุกอย่างชัดเจน" ดูเหมือนว่าจะไม่ใช่ตัวอย่างง่ายๆ ของโรงเรียน แต่มีข้อสรุปที่สำคัญมากเพียงใด! นี่คืออีกหนึ่ง:

งานใด ๆ ควรพยายามทำให้สำเร็จอย่างมีเหตุผลที่สุด. ถ้าเพียงเพราะจะช่วยประหยัดเวลาและประสาทและยังช่วยลดโอกาสของการทำผิดพลาด

หากในงานคณิตศาสตร์ชั้นสูง คุณเจอระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีสองไม่ทราบค่า คุณสามารถใช้วิธีการทดแทนได้เสมอ (เว้นแต่จะมีการระบุว่าระบบจำเป็นต้องแก้ไขด้วยวิธีอื่น) "
นอกจากนี้ ในบางกรณี แนะนำให้ใช้วิธีการทดแทนกับตัวแปรจำนวนมากขึ้น

ตัวอย่าง 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีสามไม่ทราบค่า

ระบบสมการที่คล้ายคลึงกันมักเกิดขึ้นเมื่อใช้วิธีที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เมื่อเราพบอินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วนตรรกยะ ฉันนำระบบที่เป็นปัญหามาจากที่นั่น

เมื่อหาอินทิกรัล - เป้าหมาย เร็วค้นหาค่าสัมประสิทธิ์และไม่ซับซ้อนด้วยสูตรของ Cramer วิธีเมทริกซ์ผกผัน ฯลฯ ดังนั้น ในกรณีนี้ วิธีการทดแทนจึงเหมาะสม

เมื่อมีการให้ระบบสมการใด ๆ อย่างแรกเลยเป็นที่พึงปรารถนาที่จะค้นหา แต่เป็นไปได้ไหมที่จะทำให้มันง่ายขึ้นในทันที? เมื่อวิเคราะห์สมการของระบบ เราสังเกตว่าสมการที่สองของระบบสามารถหารด้วย 2 ได้ ซึ่งเราทำได้ดังนี้

อ้างอิง:สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์หมายถึง "จากสิ่งนี้ตามนี้" มักใช้ในการแก้ปัญหา

ตอนนี้เราวิเคราะห์สมการ เราจำเป็นต้องแสดงตัวแปรบางส่วนผ่านส่วนที่เหลือ สมการไหนให้เลือก? คุณคงเดาไปแล้วว่าวิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับจุดประสงค์นี้คือการหาสมการแรกของระบบ:

ในที่นี้ ไม่สำคัญว่าจะแสดงตัวแปรใด ตัวแปรใดค่าหนึ่งก็ได้เช่นกัน express หรือ .

ต่อไป เราแทนนิพจน์เป็นสมการที่สองและสามของระบบ:

เปิดวงเล็บและเพิ่มคำที่ชอบ:

เราหารสมการที่สามด้วย 2:

จากสมการที่สอง เราแสดงและแทนที่เป็นสมการที่สาม:

เกือบทุกอย่างพร้อมแล้ว จากสมการที่สาม เราพบว่า:
จากสมการที่สอง:
จากสมการแรก:

ตรวจสอบ: แทนที่ค่าที่พบของตัวแปรทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ:

1)
2)
3)

ทางขวามือของสมการจะได้มา ดังนั้นจึงหาคำตอบได้ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 3

แก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มี 4 ค่าไม่ทราบค่า

นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเอง (คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

คำตอบของระบบโดยการบวกเทอมต่อเทอมของสมการระบบ

ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น เราควรพยายามไม่ใช้ "วิธีโรงเรียน" แต่เป็นวิธีการบวก (การลบ) แบบภาคต่อเทอมของสมการของระบบ ทำไม ซึ่งช่วยประหยัดเวลาและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น แต่ตอนนี้จะมีความชัดเจนขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

ฉันใช้ระบบเดียวกับตัวอย่างแรก
จากการวิเคราะห์ระบบสมการ เราสังเกตว่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรมีค่าสัมบูรณ์เท่ากันและอยู่ตรงข้ามในเครื่องหมาย (–1 และ 1) ในสถานการณ์นี้ สามารถบวกสมการด้วยเทอมได้ดังนี้

การกระทำในวงกลมสีแดงจะดำเนินการทางจิตใจ
อย่างที่คุณเห็น จากการบวกตามระยะ เราได้สูญเสียตัวแปรไป อันที่จริงนี่คือ สาระสำคัญของวิธีการคือการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง.