USE na poziomie profilu matematyki

Praca składa się z 19 zadań.
Część 1:
8 zadań z krótką odpowiedzią o podstawowym poziomie złożoności.
Część 2:
4 zadania z krótką odpowiedzią
7 zadań ze szczegółową odpowiedzią o wysokim poziomie złożoności.

Czas działania - 3 godziny 55 minut.

Przykłady zadań USE

Rozwiązywanie zadań USE w matematyce.

Dla samodzielnego rozwiązania:

1 kilowatogodzina energii elektrycznej kosztuje 1 rubel 80 kopiejek.
Licznik energii elektrycznej z 1 listopada wskazywał 12625 kilowatogodzin, a 1 grudnia 12802 kilowatogodzin.
Ile trzeba zapłacić za prąd w listopadzie?
Podaj odpowiedź w rublach.

Problem z rozwiązaniem:

W regularnej trójkątnej piramidzie ABCS z podstawą ABC krawędzie są znane: AB \u003d 5 korzeni na 3, SC \u003d 13.
Znajdź kąt utworzony przez płaszczyznę podstawy i linię prostą przechodzącą przez środek krawędzi AS i BC.

Decyzja:

1. Ponieważ SABC jest regularną piramidą, to ABC jest trójkątem równobocznym, a pozostałe ściany są równymi trójkątami równoramiennymi.
Oznacza to, że wszystkie boki podstawy mają rozmiar 5 sqrt(3), a wszystkie krawędzie boczne mają 13.

2. Niech D będzie środkiem BC, E środkiem AS, SH wysokością od punktu S do podstawy ostrosłupa, EP wysokością od punktu E do podstawy ostrosłupa.

3. Znajdź AD z prawego trójkąta CAD, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Otrzymujesz 15/2 = 7,5.

4. Ponieważ ostrosłup jest regularny, punkt H jest punktem przecięcia wysokości / median / dwusiecznych trójkąta ABC, co oznacza, że ​​dzieli AD w stosunku 2:1 (AH = 2 AD).

5. Znajdź SH z prawego trójkąta ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, przez twierdzenie Pitagorasa SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Trójkąty AEP i ASH są prostokątne i mają wspólny kąt A, a więc podobny. Z założenia AE = AS/2, stąd zarówno AP = AH/2, jak i EP = SH/2.

7. Pozostaje rozważyć prawy trójkąt EDP (interesuje nas tylko kąt EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Styczna kątowa EDP = EP/DP = 6/5,
Kąt EDP = arctg(6/5)

Odpowiedź:

USE 2019 w matematyce zadanie 17 z rozwiązaniem

Wersja demonstracyjna Unified State Examination 2019 z matematyki

Ujednolicony egzamin państwowy z matematyki 2019 w formacie pdf Poziom podstawowy | Poziom profilu

Zadania przygotowujące do egzaminu z matematyki: poziom podstawowy i profilowy z odpowiedziami i rozwiązaniami.

17 zadanie poziomu profilu egzaminu z matematyki to zadanie związane z finansami, a mianowicie zadanie to może dotyczyć odsetek, części długów itp. Trudność polega na tym, że konieczne jest obliczenie odsetek lub części ponad długi okres, więc zadanie to nie jest bezpośrednią analogią standardowych problemów z procentami. Aby nie mówić o generale, przejdźmy bezpośrednio do analizy typowego zadania.

Analiza typowych wariantów zadań nr 17 USE z matematyki na poziomie profilu

Pierwsza wersja zadania (wersja demo 2018)

Warunki jego zwrotu są następujące:

• Pierwszego dnia każdego miesiąca dług wzrasta o r procent w porównaniu do końca poprzedniego miesiąca, gdzie r jest liczbą całkowitą;
• od 2 do 14 każdego miesiąca część zadłużenia musi zostać spłacona;
• 15 dnia każdego miesiąca dług musi wynieść określoną kwotę zgodnie z poniższą tabelą.

Znajdź największą wartość r, dla której łączna kwota płatności będzie mniejsza niż 1,2 miliona rubli.

Algorytm rozwiązania:

1. Bierzemy pod uwagę, jaka jest wysokość spłat kredytu miesięcznie.
2. Zadłużenie ustalamy na każdy miesiąc.
3. Znajdź wymagany procent.
4. Ustalamy wysokość wpłat za cały okres.
5. Obliczamy procent r kwoty spłaty zadłużenia.
6. Zapisujemy odpowiedź.

Decyzja:

1. Zgodnie z warunkiem zadłużenie wobec banku powinno zmniejszać się co miesiąc w następującej kolejności:

1; 0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,1; 0.

2. Niech k = 1 + r / 100, to dług każdego miesiąca wynosi:

k; 0,6 tys.; 0,4 tys.; 0,3 tys.; 0,2 tys.; 0,1 tys.

3. Tak więc płatności od 2 do 14 miesiąca to:

k - 0,6; 0,6k - 0,4; 0,4k - 0,3; 0,3k - 0,2; 0,2k - 0,1; 0.1k

4. Łączna kwota wpłat wynosi:

Warunkowo cała kwota płatności wynosi mniej niż 1,2 miliona rubli, dlatego

Największe całkowite rozwiązanie powstałej nierówności to 7. Wtedy jest to wymagane - 7.

Druga opcja (od Yaschenko, nr 1)

W lipcu 2020 r. planowane jest zaciągnięcie pożyczki w banku w wysokości 300 000 rubli. Warunki jego zwrotu są następujące:

• każdego stycznia zadłużenie rośnie o r% w stosunku do końca poprzedniego roku;
• Od lutego do czerwca każdego roku część zadłużenia należy spłacić w jednej płatności.

Znajdź r, jeśli wiadomo, że pożyczka zostanie spłacona w całości za dwa lata, aw pierwszym roku zostanie spłacone 160 000 rubli, aw drugim - 240 000 rubli.

Algorytm rozwiązania problemu:

1. Określ kwotę zadłużenia.
2. Wysokość zadłużenia obliczamy już po pierwszej racie.
3. Znalezienie kwoty zadłużenia po drugiej racie
4. Znajdź wymagany procent.
5. Zapisujemy odpowiedź.

Decyzja:

1. Pożyczono 300 000 rubli. Zgodnie z warunkiem kwota długu do spłaty wzrasta o r%, co oznacza czasy. Aby spłacić dług, musisz przekazać bankowi 300 000 ∙k.

2. Po dokonaniu wpłaty w wysokości 160 000 rubli. Saldo zadłużenia wynosi

Dzisiaj odejdziemy trochę od standardowych logarytmów, całek, trygonometrii itp. i wspólnie rozważymy bardziej istotne zadanie z Jednolitego Państwowego Egzaminu z matematyki, które jest bezpośrednio związane z naszą zacofaną rosyjską gospodarką opartą na zasobach. A konkretnie rozważymy problem depozytów, odsetek i kredytów. Bo to właśnie zadania z procentami zostały niedawno dodane do drugiej części ujednoliconego egzaminu państwowego z matematyki. Od razu zastrzegam, że za rozwiązanie tego problemu, zgodnie ze specyfikacją Unified State Examination, oferowane są od razu trzy podstawowe punkty, tj. egzaminatorzy uważają to zadanie za jedno z najtrudniejszych.

Jednocześnie, aby rozwiązać którekolwiek z tych zadań z Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki, musisz znać tylko dwie formuły, z których każda jest dość dostępna dla każdego absolwenta szkoły, jednak z powodów, których nie rozumiem, te formuły są całkowicie ignorowane zarówno przez nauczycieli szkolnych, jak i kompilatorów różnych zadań przygotowujących do egzaminu. Dlatego dzisiaj nie tylko opowiem Ci, czym są te formuły i jak je zastosować, ale wydedukuję każdą z tych formuł dosłownie na Twoich oczach, biorąc za podstawę zadania z otwartego banku USE w matematyce.

Dlatego lekcja okazała się dość obszerna, dość znacząca, więc usiądź wygodnie i zaczynamy.

Wpłacanie pieniędzy do banku

Przede wszystkim chciałbym zrobić małą liryczną dygresję związaną z finansami, bankami, kredytami i depozytami, na podstawie której otrzymamy formuły, którymi posłużymy się do rozwiązania tego problemu. Odsuńmy się więc trochę od egzaminów, od nadchodzących problemów szkolnych i spójrzmy w przyszłość.

Powiedzmy, że dorosłeś i zamierzasz kupić mieszkanie. Powiedzmy, że zamierzasz kupić nie złe mieszkanie na obrzeżach, ale dobre mieszkanie za 20 milionów rubli. Załóżmy jednocześnie, że masz mniej więcej normalną pracę i zarabiasz 300 tysięcy rubli miesięcznie. W takim przypadku za rok możesz zaoszczędzić około trzech milionów rubli. Oczywiście zarabiając 300 tysięcy rubli miesięcznie, za rok dostaniesz nieco większą kwotę - 3 600 000 - ale niech te 600 000 wydasz na jedzenie, ubrania i inne codzienne domowe przyjemności. Łączne dane wejściowe są następujące: trzeba zarobić dwadzieścia milionów rubli, podczas gdy do dyspozycji mamy tylko trzy miliony rubli rocznie. Powstaje naturalne pytanie: ile lat musimy odłożyć trzy miliony, aby otrzymać te same dwadzieścia milionów. Jest uważany za elementarny:

\[\frac(20)(3)=6,....\do 7\]

Jednak, jak już zauważyliśmy, zarabiasz 300 tysięcy rubli miesięcznie, co oznacza, że ​​jesteś inteligentnym człowiekiem i nie oszczędzasz pieniędzy „pod poduszką”, ale zabierasz je do banku. A zatem corocznie od tych depozytów, które wnosisz do banku, będą naliczane odsetki. Załóżmy, że wybierasz wiarygodny, ale jednocześnie mniej lub bardziej rentowny bank, dzięki czemu Twoje depozyty będą rosły o 15% rocznie. Innymi słowy, możemy powiedzieć, że kwota na Twoich rachunkach wzrośnie o 1,15 raza każdego roku. Przypomnę formułę:

Obliczmy, ile pieniędzy będzie na Twoich kontach po każdym roku:

W pierwszym roku, kiedy po prostu zaczniesz oszczędzać, odsetki nie będą się gromadzić, to znaczy pod koniec roku zaoszczędzisz trzy miliony rubli:

Pod koniec drugiego roku odsetki będą już naliczane od tych trzech milionów rubli, które pozostały z pierwszego roku, tj. musimy pomnożyć przez 1,15. Jednak w drugim roku zgłosiłeś również kolejne trzy miliony rubli. Oczywiście te trzy miliony nie narosły jeszcze odsetek, bo pod koniec drugiego roku te trzy miliony pojawiły się na koncie dopiero:

A więc trzeci rok. Pod koniec trzeciego roku od tej kwoty zostaną naliczone odsetki, czyli całą tę kwotę należy pomnożyć przez 1,15. I znowu, przez cały rok ciężko pracowałeś i odłożyłeś trzy miliony rubli:

\[\lewo(3m\cdot 1,15+3m \prawo)\cdot 1,15+3m\]

Obliczmy kolejny czwarty rok. Znowu cała kwota, którą mieliśmy na koniec trzeciego roku jest pomnożona przez 1,15, czyli Od całej kwoty zostaną naliczone odsetki. Obejmuje to odsetki od odsetek. A do tej kwoty dodawane są jeszcze trzy miliony, ponieważ w czwartym roku również pracowałeś i też oszczędzałeś pieniądze:

\[\lewo(\lewo(3m\cdot 1,15+3m \prawo)\cdot 1,15+3m \prawo)\cdot 1,15+3m\]

A teraz otwórzmy nawiasy i zobaczmy, jaką kwotę będziemy mieli do końca czwartego roku oszczędzania pieniędzy:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(wyrównaj)\]

Jak widać, w nawiasach mamy elementy ciągu geometrycznego, czyli mamy sumę elementów ciągu geometrycznego.

Przypomnę, że jeśli ciąg geometryczny da element $((b)_(1))$ oraz mianownik $q$, to suma elementów zostanie obliczona według wzoru:

Ta formuła musi być znana i jasno stosowana.

Uwaga: formuła n ten element brzmi tak:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Z powodu tego stopnia wielu studentów jest zdezorientowanych. W sumie mamy tylko n za kwotę n- elementy i n-ty element ma stopień $n-1$. Innymi słowy, jeśli teraz spróbujemy obliczyć sumę postępu geometrycznego, musimy wziąć pod uwagę następujące kwestie:

\[\begin(wyrównaj)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(wyrównaj)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Obliczmy licznik osobno:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right) ))^(2))=1.74900625\ok 1.75\]

W sumie wracając do sumy postępu geometrycznego otrzymujemy:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

W efekcie otrzymujemy, że w ciągu czterech lat oszczędności nasza początkowa kwota nie wzrośnie czterokrotnie, tak jakbyśmy nie zdeponowali pieniędzy w banku, ale pięciokrotnie, czyli piętnaście milionów. Napiszmy to osobno:

4 lata → 5 razy

Patrząc w przyszłość powiem, że gdybyśmy oszczędzali nie cztery lata, a pięć lat, to w efekcie nasza kwota oszczędności wzrosłaby 6,7 razy:

5 lat → 6,7 razy

Innymi słowy, do końca piątego roku mielibyśmy na koncie następującą kwotę:

Oznacza to, że do końca piątego roku oszczędności, biorąc pod uwagę odsetki od lokaty, otrzymalibyśmy już ponad dwadzieścia milionów rubli. Tym samym suma rachunków oszczędnościowych z odsetek bankowych zmniejszyłaby się z prawie siedmiu do pięciu lat, czyli o prawie dwa lata.

Tak więc nawet pomimo tego, że bank pobiera dość niskie oprocentowanie naszych depozytów (15%), po pięciu latach te same 15% dają wzrost znacznie przewyższający nasze roczne zarobki. Jednocześnie główny efekt mnożnikowy występuje w ostatnich latach, a nawet raczej w ostatnim roku oszczędności.

Dlaczego to wszystko napisałem? Oczywiście, żeby nie namawiać do wnoszenia pieniędzy do banku. Bo jeśli naprawdę chcesz zwiększyć swoje oszczędności, to musisz je zainwestować nie w bank, ale w realny biznes, gdzie te same procenty, czyli rentowność w warunkach gospodarki rosyjskiej rzadko spada poniżej 30%, czyli dwukrotnie tyle depozytów bankowych.

Ale to, co jest naprawdę przydatne w całym tym rozumowaniu, to formuła, która pozwala nam znaleźć ostateczną kwotę depozytu poprzez kwotę rocznych płatności, a także poprzez odsetki, które nalicza bank. Napiszmy więc:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Sam w sobie % jest obliczany według następującego wzoru:

Ta formuła również musi być znana, podobnie jak podstawowa formuła wysokości składki. A z kolei główna formuła może znacznie ograniczyć obliczenia w tych problemach z procentami, w których wymagane jest obliczenie składki.

Po co używać formuł zamiast tabel?

Wielu zapewne będzie miało pytanie, po co w ogóle te wszystkie trudności, czy można po prostu pisać co roku na tablecie, jak to się dzieje w wielu podręcznikach, obliczyć każdy rok osobno, a potem obliczyć łączną wysokość składki? Oczywiście można generalnie zapomnieć o sumie postępu geometrycznego i policzyć wszystko za pomocą klasycznych tabletów – robi się to w większości kolekcji, aby przygotować się do egzaminu. Jednak po pierwsze gwałtownie wzrasta ilość obliczeń, a po drugie w rezultacie wzrasta prawdopodobieństwo popełnienia błędu.

I ogólnie rzecz biorąc, używanie stołów zamiast tej wspaniałej formuły jest tym samym, co kopanie rowów rękami na placu budowy, zamiast korzystania z koparki stojącej w pobliżu i w pełni pracującej.

Cóż, lub to samo, co pomnożenie pięć przez dziesięć bez użycia tabliczki mnożenia, ale dodanie pięciu do siebie dziesięć razy z rzędu. Zrobiłem już jednak dygresję, więc jeszcze raz powtórzę najważniejszą myśl: jeśli jest jakiś sposób na uproszczenie i skrócenie obliczeń, to jest to sposób na wykorzystanie.

Odsetki od pożyczek

Ustaliliśmy depozyty, więc przechodzimy do następnego tematu, a mianowicie do odsetek od kredytów.

Kiedy więc oszczędzasz pieniądze, dokładnie planując budżet, myśląc o swoim przyszłym mieszkaniu, twój kolega z klasy, a teraz zwykły bezrobotny, postanowił żyć dzisiaj i właśnie wziął kredyt. Jednocześnie nadal będzie się z ciebie dokuczał i wyśmiewał, mówią, ma telefon kredytowy i używany samochód na kredyt, a ty nadal jeździsz metrem i używasz starego telefonu z przyciskami. Oczywiście za te wszystkie tanie „popisy” twój były kolega z klasy będzie musiał słono zapłacić. Jak drogie - to właśnie teraz obliczymy.

Najpierw krótkie wprowadzenie. Powiedzmy, że twój były kolega z klasy wziął na kredyt dwa miliony rubli. Jednocześnie zgodnie z umową musi płacić x rubli miesięcznie. Powiedzmy, że wziął pożyczkę w wysokości 20% w skali roku, co w obecnych warunkach wygląda całkiem przyzwoicie. Załóżmy również, że okres kredytowania wynosi tylko trzy miesiące. Spróbujmy połączyć wszystkie te wielkości w jedną formułę.

Tak więc na samym początku, jak tylko twój były kolega z klasy wyszedł z banku, ma w kieszeni dwa miliony i to jest jego dług. Jednocześnie nie minął ani rok, ani miesiąc, ale to dopiero początek:

Następnie po miesiącu od należnej kwoty zostaną naliczone odsetki. Jak już wiemy, aby obliczyć odsetki, wystarczy pomnożyć pierwotny dług przez współczynnik, który oblicza się według wzoru:

W naszym przypadku mówimy o stawce 20% w skali roku, czyli możemy napisać:

Jest to stosunek kwoty, która będzie pobierana rocznie. Jednak nasz kolega z klasy nie jest zbyt mądry i nie czytał umowy, aw rzeczywistości dostał pożyczkę nie na 20% rocznie, ale na 20% miesięcznie. A do końca pierwszego miesiąca od tej kwoty zostaną naliczone odsetki i wzrosną 1,2 razy. Zaraz po tym osoba będzie musiała zapłacić ustaloną kwotę, tj. x rubli miesięcznie:

\[\lewy(2m\cdot 1,2-x\prawy)\cdot 1,2-x\]

I znowu nasz chłopak dokonuje wpłaty w wysokości $x$ rubli.

Następnie pod koniec trzeciego miesiąca kwota jego długu ponownie wzrasta o 20%:

\[\lewo(\lewo(2m\cdot 1,2- x\prawo)\cdot 1,2- x\prawo)1,2-x\]

A zgodnie z warunkiem przez trzy miesiące musi zapłacić w całości, to znaczy po dokonaniu ostatniej trzeciej płatności jego kwota długu powinna wynosić zero. Możemy zapisać to równanie:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Zdecydujmy:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left(((() 1,2)^(2))+1,2+1 \prawo) \\\end(wyrównaj)\]

Przed nami znowu postęp geometryczny, a raczej suma trzech elementów postępu geometrycznego. Przepiszmy to w rosnącej kolejności elementów:

Teraz musimy znaleźć sumę trzech elementów postępu geometrycznego. Napiszmy:

\[\begin(wyrównaj)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\koniec(wyrównaj)\]

Teraz znajdźmy sumę postępu geometrycznego:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Należy przypomnieć, że sumę ciągu geometrycznego o takich parametrach $\left(((b)_(1));q \right)$ oblicza się ze wzoru:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

To jest formuła, której właśnie użyliśmy. Podstaw tę formułę do naszego wyrażenia:

Do dalszych obliczeń musimy dowiedzieć się, ile równa się $((1,2)^(3))$. Niestety w tym przypadku nie możemy już malować jak ostatnim razem w formie podwójnego kwadratu, ale możemy obliczyć tak:

\[\begin(wyrównaj)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1728 \\\end(wyrównaj)\]

Przepisujemy nasze wyrażenie:

To klasyczne wyrażenie liniowe. Wróćmy do następnej formuły:

W rzeczywistości, jeśli uogólnimy to, otrzymamy formułę łączącą odsetki, pożyczki, płatności i warunki. Wzór wygląda tak:

Oto najważniejsza formuła dzisiejszej lekcji wideo, za pomocą której brane jest pod uwagę co najmniej 80% wszystkich zadań ekonomicznych z Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki w drugiej części.

Najczęściej w realnych zadaniach zostaniesz poproszony o wpłatę, nieco rzadziej o pożyczkę, czyli całkowitą kwotę zadłużenia, którą nasz kolega z klasy miał na samym początku spłat. Przy bardziej złożonych zadaniach zostaniesz poproszony o znalezienie procentu, ale przy bardzo złożonych, które przeanalizujemy na osobnej lekcji wideo, zostaniesz poproszony o znalezienie przedziału czasowego, w którym przy podanych parametrach kredytu i płatności, nasz bezrobotny kolega z klasy będzie mógł w pełni spłacić bank.

Być może teraz ktoś pomyśli, że jestem zaciekłym przeciwnikiem kredytów, finansów i systemu bankowego w ogóle. Więc nic takiego! Wręcz przeciwnie, uważam, że instrumenty kredytowe są bardzo przydatne i niezbędne dla naszej gospodarki, ale tylko pod warunkiem zaciągnięcia kredytu na rozwój biznesu. W skrajnych przypadkach można zaciągnąć kredyt na zakup domu, czyli kredyt hipoteczny lub na doraźne leczenie – to tyle, po prostu nie ma innych powodów do zaciągnięcia kredytu. I najrozmaitsi bezrobotni, którzy biorą kredyty na „popisy”, a jednocześnie w ogóle nie myślą o konsekwencjach i stają się przyczyną kryzysów i problemów w naszej gospodarce.

Wracając do tematu dzisiejszej lekcji, chciałbym zauważyć, że konieczna jest również znajomość tego wzoru łączącego pożyczki, płatności i odsetki oraz wysokość progresji geometrycznej. To za pomocą tych formuł rozwiązuje się rzeczywiste problemy ekonomiczne z Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki. Cóż, teraz, gdy już to wszystko dobrze znasz, kiedy już rozumiesz, czym jest pożyczka i dlaczego nie powinieneś jej brać, przejdźmy do rozwiązywania rzeczywistych problemów ekonomicznych z Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki.

Rozwiązujemy realne problemy z egzaminu z matematyki

Przykład 1

Więc pierwsze zadanie to:

31 grudnia 2014 r. Aleksiej wziął z banku pożyczkę w wysokości 9 282 000 rubli w wysokości 10% rocznie. Schemat spłaty pożyczki wygląda następująco: 31 grudnia każdego następnego roku bank nalicza odsetki od pozostałej kwoty długu (czyli zwiększa dług o 10%), a następnie Aleksiej przekazuje bankowi X rubli. Jaka powinna być kwota X, aby Aleksiej spłacił dług w czterech równych ratach (tj. przez cztery lata)?

Jest to więc problem z pożyczką, więc od razu spisujemy naszą formułę:

Znamy pożyczkę - 9 282 000 rubli.

Zajmiemy się teraz procentami. Mówimy o 10% problemu. Dlatego możemy je przetłumaczyć:

Możemy zrobić równanie:

Otrzymaliśmy zwykłe równanie liniowe w odniesieniu do $x$, chociaż z dość dużymi współczynnikami. Spróbujmy to rozwiązać. Najpierw znajdźmy wyrażenie $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(wyrównaj)$

Teraz przepiszmy równanie:

\[\begin(wyrównaj)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

To wszystko, nasz problem z procentami został rozwiązany.

Oczywiście było to tylko najprostsze zadanie z procentami z Ujednoliconego Egzaminu Państwowego z matematyki. Na prawdziwym egzaminie najprawdopodobniej nie będzie takiego zadania. A jeśli tak, uważaj się za szczęściarza. Otóż ​​dla tych, którzy lubią liczyć i nie lubią ryzykować, przejdźmy do kolejnych trudniejszych zadań.

Przykład #2

31 grudnia 2014 r. Stepan pożyczył z banku 4 004 000 rubli na 20% rocznie. Schemat spłaty kredytu wygląda następująco: 31 grudnia każdego kolejnego roku bank nalicza odsetki od pozostałej kwoty zadłużenia (czyli zwiększa zadłużenie o 20%), następnie Stepan dokonuje płatności do banku. Stepan spłacił cały dług w 3 równych ratach. O ile rubli mniej oddałby bankowi, gdyby mógł spłacić dług w 2 równych ratach.

Przed nami problem z pożyczkami, dlatego spisujemy naszą formułę:

\[\]\

Co wiemy? Po pierwsze, znamy całkowity kredyt. Znamy też procenty. Znajdźmy stosunek:

Jeśli chodzi o $n$, musisz uważnie przeczytać stan problemu. Oznacza to, że najpierw musimy obliczyć, ile zapłacił za trzy lata, czyli $n=3$, a następnie ponownie wykonać te same kroki, ale obliczyć płatności za dwa lata. Napiszmy równanie dla przypadku, w którym płatność jest wypłacana przez trzy lata:

Rozwiążmy to równanie. Ale najpierw znajdźmy wyrażenie $((1,2)^(3))$:

\[\begin(wyrównaj)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1728 \\\end(wyrównaj)\]

Przepisujemy nasze wyrażenie:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\koniec(wyrównaj)\]

W sumie nasza płatność wyniesie 1900800 rubli. Zwróćcie jednak uwagę: w zadaniu musieliśmy znaleźć nie miesięczną wpłatę, ale ile Stepan zapłaciłby w sumie za trzy równe wpłaty, czyli za cały okres korzystania z kredytu. Dlatego otrzymaną wartość należy ponownie pomnożyć przez trzy. Policzmy:

W sumie Stepan zapłaci 5 702 400 rubli za trzy równe płatności. Tyle będzie go kosztowało korzystanie z kredytu przez trzy lata.

Rozważmy teraz drugą sytuację, kiedy Stepan zebrał się w sobie, przygotował i spłacił całą pożyczkę nie w trzech, ale w dwóch równych ratach. Zapisujemy tę samą formułę:

\[\begin(wyrównaj)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Ale to nie wszystko, bo teraz obliczyliśmy tylko jedną z dwóch płatności, więc w sumie Stepan zapłaci dokładnie dwa razy tyle:

Świetnie, teraz jesteśmy blisko ostatecznej odpowiedzi. Ale uwaga: w żadnym wypadku nie otrzymaliśmy jeszcze ostatecznej odpowiedzi, ponieważ za trzy lata płatności Stepan zapłaci 5 702 400 rubli, a za dwa lata płatności zapłaci 5 241 600 rubli, czyli trochę mniej. O ile mniej? Aby się dowiedzieć, musisz odjąć drugą kwotę płatności od pierwszej kwoty płatności:

Całkowita ostateczna odpowiedź to 460 800 rubli. Dokładnie, ile Stepan zaoszczędzi, jeśli zapłaci nie trzy lata, ale dwa.

Jak widać formuła łącząca odsetki, terminy i płatności znacznie upraszcza obliczenia w porównaniu z klasycznymi tabelami i niestety z niewiadomych przyczyn większość problematycznych kolekcji nadal jednak korzysta z tabel.

Osobno chciałbym zwrócić uwagę na okres, na jaki została zaciągnięta pożyczka oraz wysokość miesięcznych rat. Faktem jest, że związek ten nie jest bezpośrednio widoczny z spisanych przez nas formuł, ale jego zrozumienie jest niezbędne do szybkiego i skutecznego rozwiązywania rzeczywistych problemów na egzaminie. Tak naprawdę to powiązanie jest bardzo proste: im dłużej pożyczka jest zaciągana, tym mniejsza będzie kwota w miesięcznych ratach, ale im większa kwota kumuluje się przez cały okres korzystania z pożyczki. I odwrotnie: im krótszy okres, tym wyższa miesięczna rata, ale niższa ostateczna nadpłata i niższy całkowity koszt kredytu.

Oczywiście wszystkie te stwierdzenia będą sobie równe tylko pod warunkiem, że kwota kredytu i oprocentowanie w obu przypadkach będzie takie samo. Ogólnie rzecz biorąc, na razie pamiętaj o tym fakcie - posłuży do rozwiązania najtrudniejszych problemów na ten temat, ale na razie przeanalizujemy prostszy problem, w którym wystarczy znaleźć całkowitą kwotę oryginalnej pożyczki.

Przykład #3

A więc jeszcze jedno zadanie na pożyczkę i, w połączeniu, ostatnie zadanie w dzisiejszym samouczku wideo.

31 grudnia 2014 r. Wasilij wyciągnął z banku pewną kwotę na kredyt w wysokości 13% rocznie. Schemat spłaty kredytu jest następujący: 31 grudnia każdego następnego roku bank nalicza odsetki od pozostałej kwoty długu (to znaczy zwiększa dług o 13%), a następnie Wasilij przelewa do banku 5 107 600 rubli. Jaką kwotę pożyczył Wasilij z banku, jeśli spłacił dług w dwóch równych ratach (na dwa lata)?

Po pierwsze, ten problem znowu dotyczy pożyczek, więc spisujemy naszą wspaniałą formułę:

Zobaczmy, co wiemy ze stanu problemu. Po pierwsze, płatność - wynosi 5 107 600 rubli rocznie. Po drugie procenty, więc możemy znaleźć stosunek:

Ponadto, zgodnie ze stanem problemu, Wasilij wziął w banku pożyczkę na dwa lata, tj. spłacane w dwóch równych ratach, stąd $n=2$. Zastąpmy wszystko i zauważmy, że pożyczka jest nam nieznana, tj. kwotę, którą wziął, i oznaczmy ją jako $x$. Otrzymujemy:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Przepiszmy nasze równanie, mając na uwadze ten fakt:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(wyrównaj)\]

To wszystko, to jest ostateczna odpowiedź. Tę kwotę Wasilij wziął na kredyt na samym początku.

Teraz jasne jest, dlaczego w tym problemie jesteśmy proszeni o zaciągnięcie kredytu tylko na dwa lata, bo pojawiają się tu dwucyfrowe stopy procentowe, czyli 13%, co do kwadratu daje już dość „brutalną” liczbę. Ale to nie jest granica - w następnej osobnej lekcji rozważymy bardziej złożone zadania, w których wymagane będzie znalezienie okresu kredytowania, a stawka wyniesie jeden, dwa lub trzy procent.

Ogólnie rzecz biorąc, naucz się rozwiązywać problemy związane z depozytami i pożyczkami, przygotuj się do egzaminów i zdaj je „doskonale”. A jeśli coś nie jest jasne w materiałach dzisiejszej lekcji wideo, to nie wahaj się - napisz, zadzwoń, a postaram się Ci pomóc.

matematyka finansowa

Za poprawnie wykonane zadanie bez błędów otrzymasz 3 punkty.

Około 35 minut.

Aby rozwiązać zadanie 17 z matematyki na poziomie profilu, musisz wiedzieć:

1. Zadanie podzielone jest na kilka typów:
   • zadania związane z bankami, depozytami i kredytami;
   • zadania dla optymalnego wyboru.
2. Wzór na obliczenie miesięcznej raty: S kredyt = S/12t
3. Wzór do obliczania odsetek prostych: S=α (1 + obr./min)
4. Wzór do obliczania odsetek składanych: C \u003d x (1 + a%) n

Procent - to jedna setna wartości.

• x*(1 + p/100) - wartość x zwiększona o p%
• x*(1 - k/100) - wartość x zmniejszyła się o k%
• x*(1 + p/100) k - wartość x zwiększona o p% k raz
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – wartość X pierwszy zwiększony o p%, a następnie zmniejszona o k%

Zadania dotyczące spłaty kredytu w ratach równych:

Kwota pożyczki jest przyjmowana jako X. Odsetki bankowe - a. Spłata pożyczki - S.

Rok po naliczeniu odsetek i wpłacie kwoty S dług - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Dług po 2 latach: (xp-S)p-S
• Dług po 3 latach: ((xp - S)p - S)p - S
• Kwota zadłużenia przez n lata: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)