Etykieta: trygonometryczne szeregi Fouriera. Szeregi numeryczne o zwiększonej złożoności Szeregi z odwrotną trygonometryczną
Szeregi trygonometryczne Definicja. Funkcja /(x) zdefiniowana na nieograniczonym zbiorze D nazywana jest okresową, jeśli istnieje liczba T ↦ 0 taka, że warunek jest spełniony dla każdego x.€ D. Najmniejszą z tych liczb T nazywamy okresem funkcji f(x). Przykład 1. Funkcja zdefiniowana na przedziale jest okresowa, ponieważ istnieje liczba T = 2*fO taka, że warunek jest spełniony dla wszystkich x. Zatem funkcja sin x ma okres T = 2x. To samo dotyczy funkcji Przykład 2. Funkcja zdefiniowana na zbiorze D liczb jest okresowa, ponieważ istnieje liczba T f 0, mianowicie T = taka, że dla x 6 D mamy Definicję. Szeregi funkcjonalne postaci ao SZEREG FOURIERA Szeregi trygonometryczne Układ ortogonometryczny układu trygonometrycznego Szeregi trygonometryczne Fouriera ). Sumy cząstkowe Sn(x) szeregu trygonometrycznego (1) są liniowymi kombinacjami funkcji z układu funkcji zwanego układem trygonometrycznym. Ponieważ członkami tego szeregu są funkcje okresowe o okresie 2n-, to w przypadku zbieżności szeregu (I) jego suma S(x) będzie funkcją okresową o okresie T = 2m: Definicja . Rozszerzenie funkcji okresowej f(x) o okresie T = 2n w szereg trygonometryczny (1) oznacza znalezienie zbieżnego szeregu trygonometrycznego, którego suma jest równa funkcji /(x). . Ortogonalność układu trygonometrycznego Definicja. Funkcje f(x) i g(x), ciągłe na odcinku [a, 6], nazywamy ortogonalnymi na tym odcinku, jeśli warunek jest spełniony, np. funkcje są ortogonalne na odcinku [-1,1], od definicji. Skończony lub nieskończony układ funkcji całkowalnych na przedziale [a, b] nazywamy układem ortogonalnym na przedziale [a, 6) jeśli dla dowolnych liczb takich, że ogólnie p Ф О mamy Używając znanych wzorów trygonometrycznych dla dowolnych naturalnych m i n, m Ф n znajdujemy: Wreszcie, na podstawie wzoru na dowolny typ całkowity, otrzymujemy szereg trygonometryczny Fouriera 2. Niech równość obowiązuje dla wszystkich wartości x, a szereg po prawej stronie równości zbiega się jednostajnie na przedziale [-zr, x]. Wtedy formuły są ważne.Zbieżność jednostajna szeregu (1) implikuje ciągłość, a co za tym idzie całkowalność funkcji f(x). Dlatego równości (2) mają sens. Ponadto szereg (1) można całkować wyraz po wyrazie. Mamy skąd i wynika z pierwszego ze wzorów (2) dla n = 0. Teraz mnożymy obie części równości (1) przez funkcję cos mi, gdzie m jest dowolną liczbą naturalną: Szereg (3), podobnie jak szereg (1 ), zbiega się jednolicie. W związku z tym może być całkowany wyraz po wyrazie.Wszystkie całki po prawej stronie, z wyjątkiem jednej, która jest otrzymana przy n = m, są równe zeru ze względu na ortogonalność układu trygonometrycznego. Stąd skąd Podobnie, mnożąc obie strony równości (1) przez sinmx i całkując od -r do m, otrzymujemy Nie wiadomo z góry, czy można ją przedstawić jako sumę pewnych zbieżnych szeregów trygonometrycznych. Jednak do obliczenia stałych an i bn można użyć formuł (2). Definicja. Szeregi trygonometryczne, których współczynniki oq, an, bn wyznacza się za pomocą funkcji f(x) ze wzorów SZEREG FOURIERA Szeregi trygonometryczne Ortogonalność układu trygonometrycznego Szeregi trygonometryczne Fouriera Warunki wystarczające do rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera nazywamy trygonometrycznym Fouriera szeregi funkcji f(x) oraz współczynniki a„, bnt wyznaczone tymi wzorami nazywamy współczynnikami Fouriera funkcji /(x). Każda funkcja f(x) całkowalna na przedziale [-m, -k] może być powiązana z jej szeregiem Fouriera, tj. szeregi trygonometryczne, których współczynniki określają wzory (2). Jeśli jednak od funkcji f(x) nie wymaga się niczego poza całkowalnością na przedziale [--n*, r], to znak zgodności w ostatniej relacji, ogólnie rzecz biorąc, nie może być zastąpiony znakiem równości. Komentarz. Często wymagane jest rozwinięcie funkcji f(x) na szereg trygonometryczny, który jest zdefiniowany tylko na odcinku (-*, n\, a zatem nie jest okresowy. Funkcje można również zapisać w szereg trygonometryczny Fouriera.Jeśli jednak kontynuujemy funkcję f(x) okresowo na całej osi Ox, to otrzymujemy funkcję F(x), okresową z okresem 2n, pokrywającą się z / (x) na przedziale (-ir, k): Ta funkcja F(x) nazywa się okresowym rozwinięciem funkcji f(x). Co więcej, funkcja F(x) nie ma jednoznacznej definicji w punktach x = ±n, ±3r, ±5r, .... szereg Szereg Fouriera dla funkcji F(x) jest identyczny z szeregiem Fouriera dla funkcji f(x) Ponadto, jeśli szereg Fouriera dla funkcji f(x) jest zbieżny do niego, to jego suma jest funkcją okresową , daje okresową kontynuację funkcji f(x) z odcinka |-jt, n\ na całą oś Ox. W tym sensie mówienie o szeregu Fouriera dla funkcji f(x) określonej na odcinku (-i-, jt| jest równoważne mówienie o szeregu Fouriera dla funkcji F(x), która jest okresową kontynuacją funkcji f(x) do całości 4. Warunki dostateczne rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera Przedstawiamy wystarczające kryterium zbieżności szeregu Fouriera, tj. szereg Fouriera zbieżny, i dowiemy się, w jaki sposób W tym przypadku zachowuje się suma tego szeregu. Należy podkreślić, że chociaż podana poniżej klasa odcinkowo monotonicznych funkcji jest dość szeroka, to funkcje, dla których szereg Fouriera jest zbieżny, nie są przez nią wyczerpane.Definicja.Funkcja f(x) nazywamy odcinkiem monotonicznym na odcinku [a, 6], jeśli odcinek ten można podzielić przez skończoną liczbę punktów na przedziały, z których na każdym f(x) jest monotoniczne, tj. albo nie maleje, albo nie rośnie (patrz rys. ... jeden). Przykład 1. Funkcja jest odcinkowo monotoniczna na przedziale (-oo, oo), ponieważ przedział ten można podzielić na dwa przedziały (-syu, 0) i (0, + oo), na pierwszym z których maleje (i stąd nie wzrasta), ale wzrasta z drugim (a zatem nie maleje). Przykład 2. Funkcja jest odcinkowo monotoniczna na odcinku [-zg, jt|, ponieważ odcinek ten można podzielić na dwa przedziały, z których na pierwszym cos i rośnie od -I do +1, a na drugim maleje od. Twierdzenie 3. Funkcja f(x), odcinkowo monotoniczna i ograniczona na odcinku (a, b], może mieć tylko punkty nieciągłości pierwszego rodzaju. Niech na przykład będzie punktem nieciągłości funkcji /(x Wówczas, ze względu na funkcję ograniczoności f(x) i monotoniczność, istnieją skończone jednostronne granice po obu stronach punktu c Oznacza to, że punkt c jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju (rys. 2). jest ograniczony na odcinku [-m, m), to jego szereg Fouriera zbiega się w każdym punkcie x tego odcinka, a suma tego szeregu spełnia równości: Funkcja /(z) okresu 2jt, określona na przedziale (-*,*) równością (rys. 3), spełnia warunki twierdzenia. Dzięki temu można go rozbudować w szereg Fouriera. Znajdujemy dla niej współczynniki Fouriera: Szereg Fouriera dla tej funkcji ma postać Przykład 4. Rozwiń funkcję do szeregu Fouriera (rys. 4) na przedziale Funkcja ta spełnia warunki twierdzenia. Znajdźmy współczynniki Fouriera. Korzystając z własności addytywności całki oznaczonej, otrzymamy SZEREG FOURIERA Szeregi trygonometryczne Ortogonalność układu trygonometrycznego Szereg trygonometryczny Fouriera Warunki wystarczające do rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera Dlatego szereg Fouriera ma następującą postać: Na końcach segment (-i, ir], tj. tj. w punktach x = -x i x = x, które są punktami nieciągłości pierwszego rodzaju, będziemy mieli uwagę. Jeśli w znalezionym szeregu Fouriera umieścimy x = 0, otrzymamy skąd
Pokażmy, że prawie każdą funkcję okresową można przedstawić jako szereg, którego członkami są proste harmoniczne, wykorzystując tzw. szereg trygonometryczny.
Definicja. Szereg trygonometryczny to szereg funkcjonalny postaci
gdzie są liczby rzeczywiste? a 0 , jakiś , b n nazywane są współczynnikami szeregu.
Czas wolny serii zapisywany jest w formie dla ujednolicenia otrzymanych później wzorów.
Należy odpowiedzieć na dwa pytania:
1) W jakich warunkach działa funkcja f(x) z okresem 2π można rozszerzyć w szereg (5.2.1)?
2) Jak obliczyć kursy a 0 ,… jakiś , b n ?
Zacznijmy od drugiego pytania. Niech funkcja f(x) jest ciągła w przedziale i ma okres T=2π. Poniżej przedstawiamy formuły, których będziemy potrzebować.
Dla dowolnej liczby całkowitej , ponieważ funkcja jest parzysta.
Na każdą całość.
(m oraz n wszystkie liczby)
Na ( m oraz n liczb całkowitych) każda z całek (III, IV, V) jest przeliczana na sumę całek (I) lub (II). Jeżeli , to we wzorze (IV) otrzymujemy:
Równość (V) jest udowodniona podobnie.
Załóżmy teraz, że funkcja okazała się taka, że znaleziono dla niej rozwinięcie w zbieżny szereg Fouriera, czyli
(Zauważ, że suma jest nad indeksem n).
Jeżeli szereg jest zbieżny, należy oznaczyć jego sumę S(x).
Integracja termiczna (uprawniona ze względu na założenie zbieżności szeregu) w zakresie od do daje
ponieważ wszystkie wyrazy oprócz pierwszego są równe zeru (relacje I, II). Stąd znajdujemy
Mnożenie (5.2.2) przez ( m=1,2,…) i całkując człon po członie w zakresie od do , znajdujemy współczynnik jakiś.
Po prawej stronie równości wszystkie wyrazy są równe zeru, z wyjątkiem jednego m=n(relacje IV, V), stąd otrzymujemy
Mnożenie (5.2.2) przez ( m\u003d 1,2, ...) i całkując wyraz po wyrazie w zakresie od do , podobnie znajdujemy współczynnik b n
Wartości - określone wzorami (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) nazywane są współczynnikami Fouriera, a szereg trygonometryczny (5.2.2) jest szeregiem Fouriera dla danej funkcji f(x).
Tak więc otrzymaliśmy rozkład funkcji f(x) w serii Fouriera
Wróćmy do pierwszego pytania i dowiedzmy się, jakie właściwości powinna mieć funkcja f(x), tak aby skonstruowany szereg Fouriera był zbieżny, a suma szeregu byłaby dokładnie równa f(x).
Definicja. Funkcja f(x) nazywana jest odcinkowo ciągłą, jeśli jest ciągły lub ma skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju.
Definicja. Funkcja f(x), podany na przedziale nazywa się odcinkowo monotoniczne, jeśli odcinek można podzielić punktami na skończoną liczbę przedziałów, w każdym z których funkcja zmienia się jednostajnie (rosnąc lub malejąc).
Rozważymy funkcje f(x), mając okres T=2π. Takie funkcje nazywają się 2π- okresowe.
Sformułujmy twierdzenie przedstawiające warunek dostateczny rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera.
Twierdzenie Dirichleta(zaakceptuj bez dowodu) . Jeśli 2π-funkcja okresowa f(x) na odcinku jest odcinkowo ciągła i odcinkowo monotoniczna, to szereg Fouriera odpowiadający funkcji zbiega się na tym odcinku i:
1. W punktach ciągłości funkcji suma szeregu pokrywa się z samą funkcją S(x)=f(x);
2. W każdym punkcie x 0 przerwanie funkcji f(x) suma serii to ,
tych. średnia arytmetyczna granic funkcji po lewej i prawej stronie punktu x 0 ;
3. W punktach (na końcach odcinka) suma szeregu Fouriera wynosi ,
tych. średnia arytmetyczna wartości granicznych funkcji na końcach odcinka, gdy argument zmierza do tych punktów z wnętrza przedziału.
Uwaga: jeśli funkcja f(x) o okresie 2π jest ciągła i różniczkowalna w całym przedziale, a jej wartości na końcach przedziału są równe, czyli ze względu na okresowość funkcja ta jest ciągła na całej osi rzeczywistej i dla dowolnych X suma jego szeregu Fouriera jest taka sama jak f(x).
Tak więc, jeśli funkcja całkowalna na przedziale f(x) spełnia warunki twierdzenia Dirichleta, to równość zachodzi na przedziale (rozwinięcie w szereg Fouriera):
Współczynniki obliczane są według wzorów (5.2.3) - (5.2.5).
Większość funkcji występujących w matematyce i jej zastosowaniach spełnia warunki Dirichleta.
Szeregi Fouriera, podobnie jak szeregi potęgowe, służą do przybliżonego obliczania wartości funkcji. Jeśli rozszerzenie funkcji f(x) w szereg trygonometryczny, wtedy zawsze można użyć przybliżonej równości , zastępując tę funkcję sumą kilku harmonicznych, tj. suma częściowa (2 n+1) termin szeregu Fouriera.
Szeregi trygonometryczne są szeroko stosowane w elektrotechnice, przy ich pomocy rozwiązują wiele problemów fizyki matematycznej.
Rozwiń w szereg Fouriera funkcję o okresie 2π, podanym na przedziale (-π; π).
Decyzja. Znajdź współczynniki szeregu Fouriera:
Otrzymaliśmy rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera
W punktach ciągłości suma szeregu Fouriera jest równa wartości funkcji f(x)=S(x), w punkcie x=0 S(x)=1/2, w punktach x=π,2π,… S(x)=1/2.
W wielu przypadkach, badając współczynniki szeregów postaci (C) lub można ustalić, że szeregi te są zbieżne (być może z wyjątkiem pojedynczych punktów) i są dla ich sum szeregami Fouriera (patrz na przykład poprzedni nr ), ale we wszystkich tych przypadkach naturalnie pojawia się pytanie
jak znaleźć sumy tych szeregów, a dokładniej, jak wyrazić je w postaci końcowej w terminach funkcji elementarnych, jeśli w ogóle w takiej formie są wyrażone. Nawet Euler (a także Lagrange) z powodzeniem wykorzystał funkcje analityczne zmiennej zespolonej do zsumowania szeregów trygonometrycznych w ostatecznej postaci. Idea metody Eulera jest następująca.
Załóżmy, że dla pewnego zbioru współczynników szereg (C) i zbiegają się do funkcji wszędzie w przedziale, wyłączając tylko pojedyncze punkty. Rozważmy teraz szereg potęgowy o tych samych współczynnikach, ułożony w potęgi zmiennej zespolonej
Na obwodzie okręgu jednostkowego, tj. w , szereg ten zbiega się z założenia, wyłączając poszczególne punkty:
W tym przypadku, zgodnie ze znaną właściwością szeregów potęgowych, szereg (5) z pewnością zbiega się, tj. wewnątrz okręgu jednostkowego, definiując tam pewną funkcję zmiennej zespolonej. Korzystanie ze znanych nam [patrz. § 5 rozdziału XII] rozwinięcia funkcji elementarnych zmiennej zespolonej, często można tę funkcję sprowadzić do nich.Wtedy mamy:
a na podstawie twierdzenia Abela, gdy szereg (6) jest zbieżny, jego suma jest otrzymywana jako granica
Zwykle ta granica jest po prostu równa, co pozwala nam obliczyć funkcję w ostatecznej postaci
Niech na przykład seria
Stwierdzenia udowodnione w poprzednim akapicie prowadzą do wniosku, że oba te szeregi są zbieżne (pierwszy, z wyłączeniem punktów 0 i
służą jako szeregi Fouriera dla funkcji, które definiują, ale co to za funkcje? Aby odpowiedzieć na to pytanie, tworzymy serię
Dzięki podobieństwu z szeregiem logarytmicznym jego sumę można łatwo ustalić:
W związku z tym,
Teraz prosta kalkulacja daje:
więc moduł tego wyrażenia to , a argument to .
i tak w końcu
Wyniki te są nam znane i zostały nawet kiedyś uzyskane za pomocą „złożonych” rozważań; ale w pierwszym przypadku zaczęliśmy od funkcji i , aw drugim - od funkcji analitycznej.Tutaj po raz pierwszy sam szereg posłużył jako punkt wyjścia. Czytelnik znajdzie dalsze tego rodzaju przykłady w następnym rozdziale.
Podkreślamy raz jeszcze, że trzeba być pewnym przed zbieżnością i szeregiem (C) i żeby mieć prawo wyznaczania ich sum przy pomocy równości granicznej (7). Samo istnienie granicy po prawej stronie tej równości nie pozwala jeszcze wnioskować, że wspomniane szeregi są zbieżne. Aby pokazać to na przykładzie, rozważ serię
Przez cosinusy i sinusy łuków wielokrotnych, czyli szereg postaci
lub w złożonej formie
gdzie K,b k lub odpowiednio c k nazywa współczynniki T.r.
Po raz pierwszy T.r. spotykają się w L. Euler (L. Euler, 1744). Dostał rozszerzenia
Wszystkie R. 18 wiek W związku z badaniem problemu drgań swobodnych struny powstało pytanie o możliwość przedstawienia funkcji charakteryzującej początkowe położenie struny jako sumy T.r. To pytanie wywołało gorącą debatę, która trwała kilkadziesiąt lat, najlepsi analitycy tamtych czasów - D. Bernoulli, J. D "Alembert, J. Lagrange, L. Euler ( L. Euler). Spory związane z treścią pojęcia funkcji. W tamtych czasach funkcje były zwykle kojarzone z ich analityką. przypisanie, które doprowadziło do rozważenia tylko analitycznych lub fragmentarycznych funkcji analitycznych. I tutaj stało się konieczne dla funkcji, której wykres jest wystarczająco arbitralny, aby skonstruować TR reprezentujący tę funkcję. Ale znaczenie tych sporów jest większe. W rzeczywistości dyskutowali lub powstawali w związku z pytaniami dotyczącymi wielu fundamentalnie ważnych pojęć i idei matematyki. analiza ogólna - reprezentacja funkcji przez szereg Taylora i analityczna. kontynuacja funkcji, wykorzystanie szeregów rozbieżnych, granic, nieskończonych układów równań, funkcji wielomianowych itp.
A w przyszłości, podobnie jak w tej początkowej, teoria T.r. służył jako źródło nowych pomysłów w matematyce. Całka Fouriera, funkcje prawie okresowe, ogólne szeregi ortogonalne, abstrakcyjne. Badania nad rzeką T.. służył jako punkt wyjścia do stworzenia teorii mnogości. T.r. są potężnym narzędziem do reprezentowania i odkrywania funkcji.
Kwestię, która wywołała kontrowersje wśród matematyków w XVIII wieku, rozwiązał w 1807 r. J. Fourier, który wskazał formuły obliczania współczynników T.r. (1), który musi. reprezentują na funkcji f(x):
i zastosował je w rozwiązywaniu problemów związanych z przewodnictwem ciepła. Wzory (2) nazywane są formułami Fouriera, chociaż napotkali je wcześniej A. Clairaut (1754), a L. Euler (1777) doszedł do nich za pomocą całkowania wyraz po wyrazie. T.r. (1), których współczynniki określają wzory (2), tzw. w pobliżu funkcji Fouriera f, a liczby a k , b k- Współczynniki Fouriera.
Charakter uzyskanych wyników zależy od tego, jak rozumiana jest reprezentacja funkcji jako szereg, jak rozumiana jest całka we wzorach (2). Współczesna teoria rzeki T.. nabyte po pojawieniu się całki Lebesgue'a.
Teoria T.r. można warunkowo podzielić na dwie duże sekcje - teorię szereg Fouriera, w której zakłada się, że szereg (1) jest szeregiem Fouriera pewnej funkcji, oraz teorię ogólnego T.R., gdzie takiego założenia nie ma. Poniżej znajdują się główne wyniki uzyskane w teorii ogólnego T.r. (w tym przypadku zbiory i mierzalność funkcji są rozumiane według Lebesgue'a).
Pierwsza systematyczna badania T. r., w których nie zakładano, że szeregi te są szeregami Fouriera, była rozprawą V. Riemanna (V. Riemann, 1853). Dlatego teoria ogólnego T.r. nazywa czasami riemannowska teoria termodynamiki.
Aby zbadać właściwości arbitralnego T. r. (1) ze współczynnikami dążącymi do zera B. Riemann rozważył funkcję ciągłą F(x) ,
która jest sumą szeregu jednostajnie zbieżnego
otrzymane po dwukrotnym całkowaniu termin po terminie szeregu (1). Jeżeli szereg (1) zbiega się w pewnym punkcie x do liczby s, to w tym momencie istnieje druga symetryczna i jest równa s. Funkcje F:
to prowadzi to do sumowania szeregu (1) generowanego przez czynniki 
nazywa metodą sumowania Riemanna. Wykorzystując funkcję F formułuje się zasadę lokalizacji Riemanna, zgodnie z którą zachowanie szeregu (1) w punkcie x zależy tylko od zachowania funkcji F w dowolnie małym sąsiedztwie tego punktu.
Jeśli T.r. zbiega się na zbiorze miary dodatniej, to jej współczynniki dążą do zera (Cantor-Lebesgue). Tendencja do zerowych współczynników T. r. wynika również z jej zbieżności na zbiorze drugiej kategorii (W. Young, W. Young, 1909).
Jeden z głównych problemów teorii termodynamiki ogólnej jest problem reprezentacji dowolnej funkcji T. r. Wzmacniając wyniki N. N. Luzina (1915) dotyczące reprezentacji funkcji T. R. metodami sumarycznymi Abla-Poissona i Riemanna, D. E. Men'shov udowodnił (1940) następujące twierdzenie, które odnosi się do najważniejszego przypadku, gdy reprezentacja funkcji f jest rozumiany jako T.r. do f(x) prawie wszędzie. Dla każdej mierzalnej i skończonej prawie wszędzie funkcji f istnieje TR, który prawie wszędzie zbiega się do niej (twierdzenie Menshova). Należy zauważyć, że nawet jeśli f jest całkowalny, to ogólnie mówiąc, nie można przyjąć szeregu Fouriera funkcji f za taki szereg, ponieważ istnieją szeregi Fouriera, które są wszędzie rozbieżne.
Powyższe twierdzenie Menshova dopuszcza następujące udoskonalenie: jeśli funkcja f jest prawie wszędzie mierzalna i skończona, to istnieje taka, że 
prawie wszędzie, a szereg Fouriera funkcji j zróżnicowany wyraz po wyrazie jest prawie wszędzie zbieżny do f(x) (N.K. Bari, 1952).
Nie wiadomo (1984), czy możliwe jest pominięcie warunku skończoności funkcji f prawie wszędzie w twierdzeniu Men'shova. W szczególności nie wiadomo (1984), czy T.r. zbiegają się prawie wszędzie
Dlatego problem reprezentowania funkcji, które mogą przyjmować wartości nieskończone na zbiorze o miarach dodatnich, rozważano dla przypadku, gdy jest on zastępowany słabszym wymaganiem - . Zbieżność miary do funkcji, które mogą przyjmować wartości nieskończone, definiuje się następująco: sumy cząstkowe T.p. s nie(x) jest zbieżny w miarę do funkcji f(x) .
jeśli gdzie f n(x) zbiegają się do / (x) prawie wszędzie, a sekwencja w miarę zbliża się do zera. W tym układzie problem reprezentacji funkcji został rozwiązany do końca: dla każdej mierzalnej funkcji istnieje TR, który zbiega się z nią w miarę upływu (D. E. Men'shov, 1948).
Wiele badań poświęcono problemowi wyjątkowości T. r.: Czy dwa różne T. mogą odbiegać od tej samej funkcji? w innym sformułowaniu: jeśli T. r. jest zbieżny do zera, czy wynika z tego, że wszystkie współczynniki szeregu są równe zeru. Tutaj można mówić o zbieżności we wszystkich punktach lub we wszystkich punktach poza pewnym zbiorem. Odpowiedź na te pytania zasadniczo zależy od własności zbioru, poza którym nie zakłada się zbieżności.
Ustalono następującą terminologię. Wiele nazwisk. zestaw wyjątkowości lub U- ustawić jeśli, ze zbieżności T.r. do zera wszędzie, z wyjątkiem, być może, punktów zbioru MI, z tego wynika, że wszystkie współczynniki tego szeregu są równe zeru. Inaczej Enaz. Zestaw M.
Jak wykazał G. Cantor (1872), podobnie jak wszelkie skończone są U-zbiory. Dowolny jest również U-set (W. Jung, 1909). Z drugiej strony, każdy zbiór miar dodatnich jest zbiorem M.
Istnienie M-zbiorów miar ustalił D. E. Men'shov (1916), który skonstruował pierwszy przykład zbioru doskonałego z tymi własnościami. Wynik ten ma fundamentalne znaczenie w problemie wyjątkowości. Z istnienia M-zbiorów miary zero wynika, że w reprezentacji funkcji TR, które są zbieżne prawie wszędzie, szeregi te są definiowane niezmiennie niejednoznacznie.
Doskonałymi zestawami mogą być również U-zbiory (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921). Bardzo subtelne charakterystyki zbiorów miary zerowej odgrywają istotną rolę w problemie jednoznaczności. Ogólne pytanie o klasyfikację zbiorów miar zero on M- a U-sets pozostaje otwarty (1984). Nie jest to rozwiązane nawet w przypadku perfekcyjnych zestawów.
Poniższy problem dotyczy problemu unikalności. Jeśli T.r. zbiega się z funkcją 
to czy ten szereg musi być szeregiem Fouriera funkcji /. P. Dubois-Reymond (P. Du Bois-Reymond, 1877) udzielił pozytywnej odpowiedzi na to pytanie, jeśli f jest całkowalna w sensie Riemanna i szereg zbiega się we wszystkich punktach do f(x). Z wyników III. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) sugeruje, że odpowiedź jest pozytywna, nawet jeśli szereg jest zbieżny wszędzie z wyjątkiem policzalnego zbioru punktów, a jego suma jest skończona.
Jeżeli a T. p zbiega się bezwzględnie w jakimś punkcie x 0, to punkty zbieżności tego szeregu, jak również punkty jego zbieżności bezwzględnej, znajdują się symetrycznie względem punktu x 0
(P. Fatou, P. Fatou, 1906).
Według Twierdzenie Denjoya - Luzina z absolutnej konwergencji T.r. (1) na zbiorze miary dodatniej szereg jest zbieżny 
i w konsekwencji bezwzględna zbieżność szeregu (1) dla wszystkich X. Własność tę posiadają również zbiory drugiej kategorii, a także pewne zbiory miary zero.
Niniejsze badanie obejmuje tylko jednowymiarowe T. r. (jeden). Oddzielne wyniki dotyczą ogólnego T.p. z kilku zmiennych. W wielu przypadkach nadal konieczne jest znalezienie naturalnych stwierdzeń problemu.
Oświetlony.: Bari N. K., Seria trygonometryczna, M., 1961; Zygmunt A., Szeregi trygonometryczne, przeł. z angielskiego, t. 1-2, M., 1965; Luzin N. N., Szeregi całkowe i trygonometryczne, M.-L., 1951; Riemann B., Dzieła, przeł. z niemieckiego, M.-L., 1948, s. 225-61.
S. A. Teliakowski.
Encyklopedia matematyczna. - M.: Encyklopedia radziecka. I.M. Winogradow. 1977-1985.
Przypomnijmy, że w rzeczywistej analizie szereg trygonometryczny jest szeregiem w cosinusach i sinusach wielu łuków, tj. wiersz formularza
Trochę historii. Początkowy okres teorii takich szeregów przypisuje się połowie XVIII wieku w związku z problemem drgań struny, kiedy to poszukiwano pożądanej funkcji jako sumy szeregów (14.1). Pytanie o możliwość takiej reprezentacji wywołało wśród matematyków gorącą dyskusję, która trwała kilkadziesiąt lat. Spory związane z treścią pojęcia funkcji. W tamtym czasie funkcje były zwykle kojarzone z ich przypisaniem analitycznym, ale tutaj konieczne stało się przedstawienie funkcji obok (14.1), której wykres jest raczej arbitralną krzywą. Ale znaczenie tych sporów jest większe. W rzeczywistości podnieśli pytania związane z wieloma fundamentalnie ważnymi ideami analizy matematycznej.
A w przyszłości, podobnie jak w tym początkowym okresie, teoria szeregów trygonometrycznych służyła jako źródło nowych pomysłów. W związku z nimi powstała np. teoria mnogości i teoria funkcji zmiennej rzeczywistej.
W tym końcowym rozdziale rozważymy materiał, który po raz kolejny łączy analizę rzeczywistą i złożoną, ale jest w niewielkim stopniu odzwierciedlony w podręcznikach dotyczących TFCT. W trakcie analizy wyszli z określonej funkcji i rozszerzyli ją na szereg trygonometryczny Fouriera. Tutaj rozważamy problem odwrotny: dla danego szeregu trygonometrycznego ustal jego zbieżność i sumę. W tym celu Euler i Lagrange z powodzeniem wykorzystali funkcje analityczne. Podobno Euler po raz pierwszy (1744) uzyskał równouprawnienie
Poniżej podążamy śladami Eulera, ograniczając się tylko do szczególnych przypadków szeregów (14.1), czyli szeregów trygonometrycznych
Komentarz. Zasadniczo zostanie użyty następujący fakt: jeśli ciąg dodatnich współczynników PI monotonicznie dąży do zera, to szeregi te zbiegają się jednostajnie na dowolnym przedziale domkniętym nie zawierającym punktów postaci 2lx (do gZ). W szczególności na przedziale (0,2n -) wystąpi zbieżność punktowa. Zobacz o tym w pracy, s. 429-430.
Pomysł Eulera na zsumowanie szeregu (14.4), (14.5) jest taki, że przy użyciu podstawienia z = ja przejdź do serii mocy
Jeśli wewnątrz okręgu jednostkowego można wyraźnie znaleźć jego sumę, to problem zwykle rozwiązuje się poprzez oddzielenie od niego części rzeczywistej i urojonej. Podkreślamy, że stosując metodę Eulera należy sprawdzić zbieżność szeregu (14.4), (14.5).
Spójrzmy na kilka przykładów. W wielu przypadkach szereg geometryczny będzie przydatny
jak również szeregi otrzymane z niego przez różniczkowanie lub całkowanie termin po termie. Na przykład,
Przykład 14.1. Znajdź sumę szeregu
Decyzja. Wprowadzamy podobną serię z cosinusami
Obie serie zbiegają się wszędzie, ponieważ zdominowany przez szereg geometryczny 1 + r + r 2+.... Zakładając z = były, dostajemy
Tutaj ułamek sprowadza się do postaci
gdzie otrzymujemy odpowiedź na pytanie problemu:
Po drodze ustanowiliśmy równość (14.2): Przykład 14.2. Sumuj wiersze
Decyzja. Zgodnie z powyższą uwagą, oba szeregi są zbieżne na określonym przedziale i służą jako szeregi Fouriera dla funkcji, które definiują f(x) 9 g(x). Jakie są te funkcje? Aby odpowiedzieć na pytanie, zgodnie z metodą Eulera składamy szeregi (14,6) ze współczynnikami PI= -. Zgodzić się-
ale równość (14,7) otrzymujemy
Pomijając szczegóły (czytelnik powinien je odtworzyć), zwracamy uwagę, że wyrażenie pod znakiem logarytmu można przedstawić jako
Moduł tego wyrażenia jest równy -, a argumentem (dokładniej jego główną wartością jest
- 2 sin-
wartość) jest równa Dlatego In ^ = -ln(2sin
Przykład 14.3. Na -l suma wierszy
Decyzja. Obie serie zbiegają się wszędzie, ponieważ są zdominowane przez zbieżne
obok wspólnego członka -! . Wiersz (14,6)
n(n +1)
bezpośrednio
J_ _\_ __1_
/?(/? +1) P /1 + 1
ns da znaną ilość. Na tej podstawie przedstawiamy to w formie
równość
Tutaj wyrażenie w nawiasach to ln(l + z), a wyrażenie w nawiasach kwadratowych to ^ ^ + ** ^--. Stąd,
= (1 + -) ln (1 + z). Teraz powinien być umieszczony tutaj z = eLX i wykonaj te same czynności, co w poprzednim przykładzie. Pomijając szczegóły zwracamy uwagę, że Pozostaje otworzyć nawiasy i napisać odpowiedź. Pozostawiamy to czytelnikowi. Zadania do rozdziału 14 Oblicz sumy kolejnych wierszy. 3.1.a).Jeśli w=u + iv, następnie oraz= -r- -v = -^-^ Stąd l: 2 + (1-.g) 2.t 2 + (1-d:) 2 Początek współrzędnych należy wyłączyć z tego okręgu, ponieważ (m, v) 9* (0; 0) V* e R, ton oraz= lim v = 0. x-yx>.v->oo a = 1, a = 2. z "=-! + -> z,=-l - ich w = 2x; nigdzie nie jest holomorficzny; St St zależą od zmiennej „t. Warunki Cauchy'ego-Riemanna implikują, że te funkcje są również niezależne od y. 4.5. Rozważmy na przykład sprawę Re F z) = ja(x, y) = stały. Z używając warunków Cauchy'ego-Riemanna, wywnioskuj z tego, że Im/(z) = v(x 9 lat) = stały. argument pochodnej jest równy zero, wtedy jej część urojona wynosi zero, a część rzeczywista jest dodatnia. Stąd czerpiemy odpowiedź: prosto w = -X-1 (X * 0). b) koło z + i=j2. wyrażenie w nawiasach miałoby to samo znaczenie, wtedy mieliby co jest sprzeczne z irracjonalnością a . w= 0, -1 x 1 mamy i =--e [-1,1]" v = 0. Rozważmy drugi odcinek granicy - półokrąg z=e tytg. W tej sekcji wyrażenie jest konwertowany do postaci w=u=-- ,/* -. Pomiędzy. Zgodnie z (8.6), pożądana całka jest równa
b). Równanie dolnego półkola ma postać z(t) = e", t e[l, 2n). Według wzoru (8.8) całka jest równa z = t + i,te. Odpowiedź: - + - i. .1 .t+2/r e 2 , e 2. Z warunków problemu wynika, że mówimy o głównej wartości pierwiastka: Vz, tj. o pierwszym z nich. Wtedy całka to 8.3. W rozwiązaniu problemu rysunek celowo nie jest podany, ale czytelnik powinien go uzupełnić. Wykorzystywane jest równanie odcinka prostej łączącej dwa dane punkty i, /> e C (a - Początek, b - koniec): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Podzielmy pożądaną całkę na cztery: I = I AB + I BC + I CD +1
D.A. Na segmencie AB mamy z- (1 -1)
? 1 +1
/, więc całka na tym odcinku, zgodnie z (8.8), jest równa Postępując w podobny sposób, stwierdzamy obszar D zawierający Г i ns zawierający a. Według twierdzenia o całce zastosowanego do /),/], pożądana całka jest równa zeru. seria geometryczna 1 + q + q2 (|| reprezentować w postaci /(z) = /(-^z). Bez utraty ogólności możemy założyć, że promień zbieżności szeregu Taylora funkcji wyśrodkowanej w punkcie 0 jest większy niż jeden. Mamy: Wartości funkcji są takie same na zbiorze dyskretnym z punktem granicznym należącym do okręgu zbieżności. Według twierdzenia o jednoznaczności /(z) = stały. 11.3. Załóżmy, że istnieje pożądana funkcja analityczna /(z). Porównajmy jego wartości z funkcją (z) = z2 na planie MI, składający się z kropek z n = - (n = 2,3,...). Ich znaczenia są takie same, a ponieważ mi ma punkt graniczny należący do danego okręgu, to według twierdzenia o jednoznaczności /(z) = z 2 dla wszystkich argumentów danego okręgu. Ale to jest sprzeczne z warunkiem /(1) = 0. Odpowiedź: ns nie istnieje. 12.2. a). Przedstaw funkcję w formularzu i rozwiń nawiasy. proste słupy 1,-1,/. Suma reszt w nich jest równa --, a całka równa się w). Wśród Polaków 2 Trki (kGZ) całki, tylko dwa leżą wewnątrz danego okręgu. To 0 i 2 I oba są proste, reszty w nich są równe w 1. Odpowiedź: 4z7. pomnóż to przez 2/r/. Pomijając szczegóły wskazujemy odpowiedź: / = -i . 13.2. a). Postawmy e"=z, więc e"idt =dz
, dt= - .
Ho e" - e~" z-z~ x sin / =-=-, intefal zostanie zredukowany do postaci Tutaj mianownik jest faktoryzowany (z-z,)(z-z 2), gdzie z, = 3 - 2 V2 / leży wewnątrz okręgu w
, a z,=3 + 2V2 / leży powyżej. Pozostaje znaleźć resztę w odniesieniu do prostego bieguna z, korzystając ze wzoru (13.2) i b) . Zakładając, jak wyżej, e" = z
sprowadzamy intefal do postaci Funkcja subintefalna ma trzy proste bieguny (które?). Pozostawiając czytelnikowi obliczenie w nich pozostałości, wskazujemy odpowiedź: I=
. równa się 2(^-1- h-dt).
Oznacz całkę w nawiasie przez /. Stosując równość cos "/ = - (1 + cos2f) otrzymujemy, że / = [- cit
. Analogicznie do przypadków a), b) dokonaj podstawienia e 2,t
= z, zmniejsz całkę do postaci gdzie krzywa całkowania jest tym samym okręgiem jednostkowym. Dalsze argumenty są takie same jak w przypadku a). Odpowiedź: pierwotna, poszukiwana całka jest równa /r(2-n/2). 13.3. a). Rozważ pomocniczą całkę zespoloną /(/?)= f f(z)dz, gdzie f(z) = - p-, G (I) - kontur złożony z półkole y(R): | z |= R> 1, Imz > 0 i wszystkie średnice (zrób rysunek). Podzielmy tę całkę na dwie części - według przedziału [-/?,/?] i według y(R). do. Wewnątrz obwodu leżą tylko proste bieguny z 0 \u003d e 4, z, = mi 4 (rys. 186). W odniesieniu do ich pozostałości stwierdzamy: Pozostaje sprawdzić, czy całka przewyższa y(R) dąży do zera, ponieważ R. Z nierówności |g + A|>||i|-|/>|| i z oszacowania całki dla ze y(R) wynika, że
