Rozważmy wynik obserwacji pewnego lub tzw. deterministycznego PV Q jako zmienną losową (CV) przyjmującą wartości X ) w różnych obserwacjach.

Najbardziej uniwersalnym sposobem opisania SW jest znalezienie ich funkcji rozkładu całkowego lub różniczkowego

Integralną funkcją rozkładu wyników obserwacji jest zależność od wartości x prawdopodobieństwa R fakt, że wynik obserwacji X. będzie mniejszy jc. Jest napisany w następujący sposób:

Innymi słowy, funkcja rozkładu całkowego zmiennej losowej X nazywa się prawdopodobieństwem wypełnienia nierówności X

integralna funkcja F(x) ma następujące właściwości.

• 1. F(x) - funkcja niezmniejszająca się.
• 2. F(x) dąży do jedności jako jc -> +°°.
• 3. F(x) dąży do zera jako x -> -°o.
• 4. F(x) - funkcja jest ciągła, ponieważ wynik obserwacji w pewnym przedziale może przyjąć dowolną wartość.

Jednak czwarta właściwość zwykle nie jest realizowana w praktyce. Wynika to z faktu, że użyte SI mają skończoną rozdzielczość: w przypadku przyrządów wskaźnikowych jest to wartość podziału skali (kwant PV); w przypadku instrumentów cyfrowych jest to cena najmniejszej cyfry kodu. Dlatego w rzeczywistości funkcja rozkładu ma postać stopniową (rys. 4.4).

Mimo to w praktyce metrologicznej często przyjmuje się, że funkcja rozkładu całkowego jest ciągła, co znacznie upraszcza analizę.

Dla błędu losowego, jak również dla zmiennej losowej, istnieje również jego własna funkcja rozkładu całkowego:

integralna funkcja F(x), podobnie jak prawdopodobieństwo jest wielkością bezwymiarową.

Bardziej wygodne i wizualne jest opisanie właściwości wyników obserwacji za pomocą funkcji rozkładu różniczkowego, która nazywa się gęstość rozkładu prawdopodobieństwa. Należy zauważyć, że funkcje różniczkowe wyników obserwacji X i błąd losowy A dopasować, tylko początek wykresu dla A znajduje się w punkcie zerowym:

Wykres funkcji rozkładu różniczkowego lub krzywa rozkładu najczęściej jest funkcją symetryczną z maksimum w punkcie Q dla wyników obserwacji (ryc. 4.5). Krzywa rozkładu błędu losowego również jest najczęściej funkcją symetryczną, ale z maksimum w punkcie „O” (rys. 4.6).

Dla wyników obserwacji

W przypadku błędu losowego

W ten sposób różniczkowa funkcja rozkładu wyników obserwacji lub błędu losowego jest uzyskiwana przez zróżnicowanie funkcji rozkładu całkowego.

Istnieją również funkcje rozkładu asymetrycznego, na przykład funkcja Rayleigha (ryc. 4.7) lub funkcje, które nie mają maksimum (jednolite lub trapezowe) (ryc. 4.8, 4.9).

Funkcja całkowa jest powiązana z funkcją różniczkową w następujący sposób:

ponieważ wtedy , tj. kwadrat

pod krzywą funkcji rozkładu jest równy jeden. To jest tak zwany stan normalizacji.

Wymiar gęstości rozkładu prawdopodobieństwa jest odwrotny do wymiaru mierzonej wielkości fizycznej, ponieważ całkowa funkcja rozkładu jest bezwymiarowa. Korzystając z pojęcia dystrybuanty można otrzymać wyrażenie na prawdopodobieństwo, że wynik obserwacji znajduje się w przedziałach półotwartych [x, x 2 ] lub [А„А 2]:

To wyrażenie mówi, że prawdopodobieństwo trafienia w wynik obserwacji X lub losowy błąd pomiaru A w danym przedziale jest równy różnicy między wartościami funkcji rozkładu całkowego na wskazanych granicach tego przedziału.

Wyrażając to prawdopodobieństwo w postaci funkcji rozkładu różniczkowego lub gęstości rozkładu prawdopodobieństwa, otrzymujemy:

tych. prawdopodobieństwo trafienia w wynik obserwacji X lub błąd losowy D w danym przedziale jest liczbowo równa powierzchni pod krzywą gęstości prawdopodobieństwa ograniczonej granicami przedziału(Rys. 4.10).

Praca p x (x)dx nazywa element prawdopodobieństwa. W przypadku, gdy prawo rozkładu gęstości prawdopodobieństwa jest zbliżone do tzw. prawa normalnego, jak widać z wykresu funkcji rozkładu różniczkowego, najprawdopodobniej mały wartości błędów. Prawdopodobieństwo wystąpienia dużych błędów jest znacznie mniejsze. Wyniki obserwacji skupiony wokół prawdziwej wartości zmierzone PV, a gdy się do tego zbliżasz, elementy prawdopodobieństwa rosną. Daje to podstawę do przyjęcia odciętej środka ciężkości figury utworzonej przez oś odciętej i krzywej gęstości rozkładu jako oszacowania prawdziwej wartości PV. Ta cecha zmiennej losowej nazywa się matematyczne oczekiwanie (Rys. 4.11):

Teraz możemy podać matematycznie ścisłą definicję błędu losowego i systematycznego.

Błąd systematyczny 0 (ryc. 4.11) to odchylenie matematycznego oczekiwania wyników obserwacji od prawdziwej wartości mierzonej wielkości fizycznej:

błąd losowy A to różnica między wynikiem pojedynczej obserwacji a matematycznym oczekiwaniem wyników obserwacji:

Stąd rzeczywista wartość mierzonej wielkości fizycznej jest równa

pytania testowe

• 1. Co oznaczają dyskretne i ciągłe zmienne losowe?
• 2. Rozkład całkowy i jego własności.
• 3. Dystrybucja różniczkowa, związek między dystrybuantą całkową i różniczkową.
• 4. Warunek normalizacji funkcji rozkładu całkowego.
• 5. Jakie jest graficznie matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej?
• 6. Jak rozumieć składowe systematyczne i losowe błędu całkowitego z fizycznego i matematycznego punktu widzenia?
• 7. Co oznacza element prawdopodobieństwa?
• 8. Jak wyznaczyć prawdopodobieństwo, że wynik obserwacji X lub błąd losowy D wpadnie liczbowo do danego przedziału, mając wykres gęstości rozkładu prawdopodobieństwa ograniczonej granicami przedziału?

W warunkach lokalnego wzoru Moivre-Laplace'a prawdopodobieństwo, że liczba sukcesów m będzie zawierać się między m 1 i m 2, można w przybliżeniu znaleźć za pomocą wzoru całkowego Moivre-Laplace'a

gdzie x 1 =
, x 2 =
,
jest funkcją Laplace'a.

Wartości tych funkcji znajdują się w załącznikach podręczników z teorii prawdopodobieństwa.

Graficzne przypisanie prawa dystrybucji pokazano na ryc. jeden

Ryż. 1 Wielokąt rozkładu dyskretnej zmiennej losowej.

Sposób opisu rozkładu zmiennej losowej w postaci tabeli, w postaci wzoru lub graficznie ma zastosowanie tylko do dyskretnych zmiennych losowych.

1.5. Dystrybuanta

Funkcja rozkładu całkowego umożliwia określenie zarówno dyskretnej, jak i ciągłej zmiennej losowej.

Funkcja dystrybucji skumulowanej (IDF) to funkcja F(x), która określa, dla każdej możliwej wartości x, prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą niż x, tj.

Geometrycznym znaczeniem funkcji rozkładu całkowego jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość leżącą na lewo od punktu x na osi rzeczywistej.

Dla dyskretnej zmiennej losowej X, który może przyjmować wartości X 1 , X 2 , …,X n, funkcja rozkładu ma postać gdzie nierówność pod znakiem sumy oznacza, że ​​suma dotyczy wszystkich tych wartości X i, którego wartość jest mniejsza X. Wyjaśnijmy tę formułę na podstawie definicji funkcji F(x). Załóżmy, że argument x przyjął pewną określoną, ale taką, że nierówność jest spełniona x i <x≤x i+1 . Wtedy na lewo od liczby x na osi liczb będą tylko te wartości zmiennej losowej, które mają indeks 1, 2, 3, ..., i. Dlatego nierówność X<x jest wykonywany, jeśli wartość X przyjmie wartości X do, gdzie k = 1, 2, …, i. Tak więc wydarzenie X<x nadejdzie, jeśli w ogóle, bez względu na to, które z wydarzeń X = X 1 , X=X 2 , X=X 3 , …, X=X i. Ponieważ te zdarzenia są niezgodne, to z twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństwa mamy

Własności funkcji rozkładu skumulowanego:

1. Wartości funkcji rozkładu całkowego należą do przedziału

:
.

2. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość zawartą w przedziale (a, b) jest równe przyrostowi funkcji rozkładu całkowego na tym przedziale

3. Jeżeli wszystkie możliwe wartości x zmiennej losowej należą do przedziału (a, b), to

, jeśli

, jeśli

Wykres IGF ciągłej zmiennej losowej przedstawiono na ryc. 2

Ryż. 2 Wykres IGF ciągłej zmiennej losowej

Wykres IGF dyskretnej zmiennej losowej przedstawiono na ryc. 3

Ryż. 3 Wykres IGF dyskretnej zmiennej losowej

1.6. Funkcja dystrybucji różnicowej

Funkcja rozkładu różniczkowego służy do opisu rozkładu prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej.

Funkcja dystrybucji różnicowej (DDF)(lub gęstość prawdopodobieństwa) jest pierwszą pochodną funkcji całkowej.

Funkcja dystrybucji skumulowanej jest funkcją pierwotną dla funkcji dystrybucji różniczkowej. Następnie

Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa X przyjmie wartość należącą do przedziału (a, b) jest równe całce oznaczonej funkcji różniczkowej, od a do b:

Geometryczne znaczenie DFR jest następujące: prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa X przyjmie wartość należącą do przedziału (a, b) jest równe powierzchni trapezu krzywoliniowego ograniczonego osią x, krzywa rozkładu f(x) oraz proste x = a i x = b (rys. 4).

Ryż. 4 Wykres funkcji rozkładu różniczkowego jest powszechnie nazywany krzywą rozkładu.

Własności funkcji rozkładu różniczkowego:

1. Dystrybucja różniczkowa jest nieujemna, tj.

2. Jeżeli wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej należą do przedziału (a, b), to

Funkcja rozkładu różniczkowego jest często nazywana prawem rozkładu prawdopodobieństwa ciągłych zmiennych losowych.

Rozwiązując problemy aplikacyjne napotykamy na różne prawa rozkładu prawdopodobieństwa ciągłych zmiennych losowych. Często spotykane prawa rozkładu równomiernego i normalnego.

Różniczkowe i całkowe prawa dystrybucji

Prawo rozkładu zmiennej losowej ustala związek między możliwymi wartościami tej wielkości a prawdopodobieństwem ich wystąpienia odpowiadającym tym wartościom. Istnieją dwie formy opisu prawa rozkładu zmiennej losowej - różniczkowy i całkowy . Ponadto w metrologii stosuje się głównie formę różniczkową - prawo dystrybucji gęstości prawdopodobieństwa zmienna losowa.
Prawo dystrybucji różnicowej scharakteryzowany gęstość rozkładu gęstość rozkładu zmiennej losowej w tym przypadku prawdopodobieństwo P trafienie w zmienną losową w przedziale od x 1 zanim x2 :

Graficznie to prawdopodobieństwo jest stosunkiem powierzchni pod krzywą f(x) w przedziale od x 1 zanim x2 do całkowitego obszaru ograniczonego przez całą krzywą rozkładu.

W tym przypadku dystrybucja ciągły zmienna losowa. Oprócz nich istnieją oddzielny zmienne losowe, które przyjmują szereg określonych wartości, które można ponumerować.

Prawo rozkładu całkowego zmiennej losowej jest funkcją F(x), zdefiniowany przez formułę

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa będzie mniejsza x1 podana przez wartość funkcji F(x) w x = x 1:

F(X) jest funkcją niemalejacą i jako X → ∞ F(X)→1

Kiedy X → - ∞ F(X)→0

F(x) - funkcja jest ciągła, ponieważ wynik obserwacji w określonym przedziale może przyjąć dowolną wartość

Jednak czwarta właściwość zwykle nie jest realizowana w praktyce. Wynika to z faktu, że zastosowane układy SI mają skończoną rozdzielczość: dla urządzenia wskaźnikowego jest to cena podziałki skali (kwantowe FV), dla urządzeń cyfrowych jest to cena najmniejszej cyfry kodu. Dlatego w rzeczywistości funkcja rozkładu błędu ma postać stopniową.

Niemniej jednak w praktyce metrologicznej funkcja całki jest uważana za ciągłą, co upraszcza przetwarzanie błędów.

Jednolite prawo rozkładu ciągłej zmiennej losowej.

Ciągła zmienna losowa podlega prawu rozkładu równomiernego, jeśli jej możliwe wartości leżą w pewnym przedziale, w którym wszystkie wartości są jednakowo prawdopodobne, to znaczy mają tę samą gęstość prawdopodobieństwa. Innymi słowy, rozkład prawdopodobieństwa nazywamy jednostajnym, jeżeli na przedziale, do którego należą wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej, funkcja różniczkowa ma wartość stałą.

Zmienne losowe o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa,<<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

Znajdźmy funkcję różniczkową (gęstość) rozkładu jednostajnego, zakładając, że wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej X zamknięty pomiędzy , na którym funkcja różniczkowa pozostaje stała, tj.

f(x) = C

Według warunku X nie przyjmuje wartości spoza zakresu , Dlatego f(x) = 0 dla wszystkich x< a oraz x< b.

Znajdźmy wartość stałej Z . Ponieważ wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej należą do przedziału , to prawda:

Czyli prawo rozkładu równomiernego zmiennej losowej na przedziale (tutaj a< b ) można zapisać analitycznie w następujący sposób:

Znajdźmy teraz funkcję całkową rozkładu jednostajnego ciągłej zmiennej losowej. W tym celu korzystamy ze wzoru

jeśli x< a następnie f(x) = 0 i stąd F(x) = 0

jeśli a ≤ x ≤ b następnie i dlatego

jeśli x b następnie

Zatem pożądaną funkcję rozkładu całkowego można zapisać analitycznie w następujący sposób:

F(x) = 0 dla x< a

dla a ≤ x ≤ b

F(x) = 1 dla x ˃ b

Własności jednostajnego rozkładu ciągłego:

1. Pierwsza chwila (oczekiwanie)

2. Mediana: M = M(X)

3. Tryb - dowolna liczba na odcinku (tryb - najbardziej prawdopodobna wartość rozkładu);

Oznaczmy przez prawdopodobieństwo, że zmienna losowa x przyjmuje wartość mniejszą niż funkcja zwana funkcją całkowitego rozkładu x. Ponieważ każde prawdopodobieństwo musi leżeć między a 1, to dla wszystkich wartości mamy: Jeśli są takie, że prawdopodobieństwo jest większe lub równe prawdopodobieństwu, tj. Innymi słowy, funkcja nie może maleć wraz ze wzrostem

Typową postać funkcji rozkładu całkowego przedstawiono na ryc. 1, gdzie wykreślona jest oś pozioma i funkcja pionowa

Znając funkcję rozkładu całkowego, możemy łatwo określić dla dowolnego prawdopodobieństwa, że ​​Naprawdę, ponieważ zdarzenia są niezgodne, prawdopodobieństwo wystąpienia któregokolwiek z tych zdarzeń będzie równe sumie prawdopodobieństw wystąpienia każdego z tych zdarzeń. wydarzenia, tj.

(patrz skan)

Skoro prawdopodobieństwo zajścia któregokolwiek z tych dwóch zdarzeń lub pokrywa się z prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia, to zgodnie z zależnością (1.1) mamy

Dlatego pożądane prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia będzie równe

W przypadku, gdy zmienna losowa x jest wynikiem pomiaru jakiejś cechy obiektu losowo wybranego z grupy obiektów, można podać prostą interpretację funkcji rozkładu całkowego. przypadku prawdopodobieństwo, że obserwowana wartość x jakaś równość lub nierówność (powiedzmy lub jest równa względnej proporcji (w danej grupie obiektów) takich obiektów, dla których wartość x spełnia odpowiednią równość lub nierówność. Zatem po prostu określa względna proporcja tych obiektów, dla których przy takiej interpretacji prawdopodobieństw relacja (1.2 ) staje się oczywista. W rzeczywistości stwierdza się, że względna liczba obiektów dla których jest równa względnej liczbie obiektów dla których plus względna liczba obiektów dla które Grupa obiektów jest często nazywana populacją.Do tej pory rozważaliśmy tylko populacje zawierające skończone nowa liczba obiektów. Takie populacje nazywane są skończonymi.

Interpretacja prawdopodobieństwa zdarzenia, dla którego spełniony jest określony związek (równość lub nierówność) jako względny udział w danej populacji ogólnej takich elementów, dla których wartość x spełnia tę relację, okazuje się w wielu przypadkach bardzo przydatna i często będziemy z niego korzystać. Jednak taka interpretacja prawdopodobieństw nie zawsze jest możliwa, jeśli nie ograniczamy się do skończonych populacji. Rzeczywiście, funkcja rozkładu całkowego związana ze skończoną populacją ogólną ma swoją własną charakterystykę.

Załóżmy, że populacja ogólna składa się z pierwiastków. Wtedy zmienna losowa x może przyjmować nie więcej niż różne wartości. Niech różne wartości, które może przyjąć wartość x, a te wartości są ułożone w kolejności rosnącej. Jest jasne, że jeśli wartość x jest taka sama dla kilku elementów, to funkcja rozkładu skumulowanego w tym przypadek będzie miał postać krzywej schodkowej pokazanej na rys. 2.

Funkcja rozkładu będzie miała dokładnie skoki, a wielkość każdego skoku będzie równa albo liczbie całkowitej pomnożonej przez funkcję rozkładu skumulowanego, reprezentowaną przez ciągłą krzywą na ryc. 1 oczywiście nie jest tego typu.

Tak więc, jeśli funkcja całkowitego rozkładu jest krzywą ciągłą, to interpretacja prawdopodobieństw jako względnej proporcji pewnych elementów skończonej populacji ogólnej jest niemożliwa. Jednak dowolna ciągła funkcja dystrybucji skumulowanej może być aproksymowana z dowolną określoną dokładnością za pomocą funkcji stopniowej dystrybucji skumulowanej związanej ze skończoną populacją, pod warunkiem, że liczba elementów w tej ostatniej jest wystarczająco duża. Zatem każda ciągła funkcja dystrybucji skumulowanej może być uważana za postać graniczną funkcji dystrybucji skumulowanej związanej ze skończoną populacją. Limit zostaje osiągnięty dzięki nieskończonemu wzrostowi liczby elementów w tym generale

agregaty. Oznacza to, że jeśli pozwolimy na istnienie nieskończonej populacji (populacji z nieskończoną liczbą elementów), to wszelkie prawdopodobieństwo związane z tą populacją zawsze można interpretować jako względną proporcję odpowiednich elementów populacji. Oczywiście pojęcie nieskończonej populacji to tylko użyteczna abstrakcja, wprowadzona jedynie w celu uproszczenia teorii.

Jako przykład nieskończonej populacji ogólnej rozważmy eksperyment polegający na pomiarze długości pewnej laski. Wynik każdego pomiaru można uznać za zmienną losową, charakteryzującą się funkcją rozkładu całkowego.Wtedy nieskończona populacja ogólna będzie nieskończoną sekwencją powtarzanych pomiarów długości pręta, tak aby każdy faktycznie wykonany pomiar można uznać za element tej populacji. Czasem populacja ogólna jest skończona, ale liczba elementów tej populacji jest tak duża, że ​​okazuje się, że wygodniejsze okazuje się rozpatrywanie problemów związanych z tą populacją tak, jakby była nieskończona, czyli tak jakby populacja ogólna była nieskończona . Załóżmy na przykład, że interesuje nas rozkład wzrostu wszystkich kobiet w wieku 20 lat i starszych mieszkających w Stanach Zjednoczonych. Jest oczywiste, że liczba takich osobników jest tak duża, że ​​można liczyć na znaczne uproszczenia matematyczne, jeśli uznamy, że populacja takich osobników jest nieskończona.

Całkowa funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej

TZR-3. Całkowa funkcja rozkładu prawdopodobieństwa CB

To najbardziej uniwersalny sposób na ustalenie prawa dystrybucji. Może być stosowany zarówno do dyskretnego, jak i ciągłego SW. Często, gdy mówimy o tej metodzie, słowa „całka” i „prawdopodobieństwo” są odrzucane i używany jest termin ʼʼ. funkcja dystrybucji SVʼʼ.

Funkcja skumulowanego rozkładu prawdopodobieństwa to prawdopodobieństwo, że jakaś zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą niż bieżące x:

F(x) = P(X< х) (20)

Na przykład, jeśli dla takiego SW jak prąd w linii elektroenergetycznej funkcja dystrybucji F (90) = 0,3, to oznacza to, że prawdopodobieństwo, że prąd w linii elektroenergetycznej przyjmie wartość mniejszą niż 90 A wynosi 0,3.

Jeżeli dla napięcia w sieci funkcja dystrybucji F(215) = 0,4, to 0,4 jest prawdopodobieństwem, że napięcie w sieci jest mniejsze niż 215 V.

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa musi być określona analitycznie, tabelarycznie lub graficznie.

Przykład 27

Zgodnie z zadanym szeregiem rozkładów ocen studenta na egzaminie (Tabela 8, wiersze 1 i 2), zapisz funkcję rozkładu całkowego (Tabela 8, wiersz 3) i zbuduj jej wykres.

Tabela 8. Szereg i funkcja całkowa rozkładu ocen z egzaminu

Warto powiedzieć, że w celu znalezienia wartości funkcji rozkładu niezwykle ważne jest skorzystanie z jej definicji (20):

· dla X = 2 F(2)= P(X< 2) = 0, ponieważ z egzaminu nie ma ocen niższych niż 2;

· dla X= 3 F(3)= P(X< 3) \u003d P (X \u003d 2) \u003d 0,1, ponieważ mniej niż 3 to tylko 2 punkty;

· dla X = 4 F(4)= P(X< 4) = P( X= 2) + R(X= 3) = 0,1 + 0,5 = 0,6, ponieważ mniej niż 4 są dwie oceny - 2 lub 3 (ocena niższa niż 4 jest równoznaczna z otrzymaniem lub stopnie 2 lub wyniki 3 i za znalezienie F(4) możesz użyć wzoru na dodawanie prawdopodobieństw niezgodnych zdarzeń);

· dla X = 5 F(5)= P(X< 5) = R(X< 4) + R(X= 4) = 0,6 + 0,3 = 0,9, czyli to F(4) dodaje się prawdopodobieństwo, że wynik wynosi 4.

Analizując kolejność znajdowania wartości F(x), widzimy, że prawdopodobieństwo najmniejszej wartości CV dodaje się najpierw do prawdopodobieństwa drugiej wartości, potem trzeciej i tak dalej. Oznacza to, że prawdopodobieństwa wydają się kumulować. Z tego powodu funkcja rozkładu całkowego jest również nazywana funkcja skumulowanych prawdopodobieństwʼʼ.

W literaturze statystycznej dość często nazywa się funkcję prawdopodobieństw skumulowanych łączny.

Na podstawie tabeli danych. 8 należy wykreślić wykres funkcji całkowej oddzielny zmienna losowa (rys. 29). Ta funkcja to nieciągły. Skok pasuje oddzielne dyskretne wartości X, a wysokości krokiʼʼ - właściwe prawdopodobieństwa. W miejscach przerwy funkcja (ryc. 29) przyjmuje wartości oznaczone kropkami, ᴛ.ᴇ. lewo ciągły. Ogólnie dla SW dyskretnego możemy napisać: F(x) = P(X< х) = . (21)

Aby zrozumieć, jak będzie wyglądał wykres funkcji rozkładu całkowego dla ciągłego SW, możesz skorzystać z następującego rozumowania. Jeśli wyobrazimy sobie, że liczba dyskretnych wartości SW wzrasta, to przerw będzie więcej, a wysokość stopni zmniejszy się. W limicie, gdy liczba możliwych wartości staje się nieskończona (a jest to ciągłe CV), wykres schodkowy zamieni się w ciągły (ryc. 30).

O ile funkcja rozkładu prawdopodobieństwa całkowego CB ma ogromne znaczenie, rozważmy to bardziej szczegółowo nieruchomości:

Właściwość 1. Ten sposób ustalania prawa dystrybucji uniwersalny, ponieważ nadaje się do ustalenia prawa rozkładu zarówno dyskretnych, jak i ciągłych SW.

Nieruchomość 2 . Ponieważ funkcją rozkładu całkowego jest ϶ᴛᴏ prawdopodobieństwo, to jego wartości leżą w segmencie od 0 do 1.

Nieruchomość 3 . Funkcja dystrybucyjna bezwymiarowy, jak również wszelkie prawdopodobieństwo.

Nieruchomość 4 . Funkcja dystrybucji to funkcja niezmniejszająca się, czyli większa wartość argumentu odpowiada tej samej lub większej wartości funkcji: when x 2 > x 1 F(x 2) ≥ F(x 1).

Właściwość ta wynika z faktu (rys. 31), że prawdopodobieństwo trafienia w większy segment (od -∞ do x 2) nie powinno być w żadnym wypadku mniejsze niż prawdopodobieństwo trafienia w mniejszy segment (od -∞ do x 1).

W przypadku, gdy w okolicy od x 2 zanim x 1(Rys. 32) nie ma możliwych wartości SW (jest to możliwe dla dyskretnego SW), wtedy F(x 2) = F(x1).

Dla funkcji rozkładu ciągłej SW (ryc. 33) F(x 2) zawsze więcej F(x1).

Właściwość 4 ma dwie konsekwencje.

Następstwo 1

W prawdopodobieństwo, że wartość X przyjmie wartość w przedziale (x 1; x 2) jest równe różnicy między wartościami funkcji całkowej na granicach przedziału:

P(x 1 ≤ X< х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

Konsekwencję tę można wyjaśnić w następujący sposób (ryc. 31):

F (x 2) \u003d P (X< х 2) –

prawdopodobieństwo, że SW przyjmie wartości na lewo od punktu x 2 .

F (x 1) \u003d P (X< х 1) to prawdopodobieństwo, że SW przyjmie wartości na lewo od punktu x 1 .

Stąd różnica

P(X< х 2) - Р(Х < х 1) istnieje możliwość, że wartości SW znajdują się w obszarze od x 1 zanim x 2 (rys.34) .

Całkowa funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej - pojęcie i rodzaje. Klasyfikacja i cechy kategorii „Całka funkcji rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej” 2017, 2018.