Էվկլիդեսի ալգորիթմ - գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը: Մաթեմատիկա Ինձ դուր է գալիս Էվկլիդեսի ալգորիթմը ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հաշվարկելու համար

Իր առաջին հրատարակության՝ «Հնարամտության ոլորտում» (1908) նախաբանում Է.Ի.Իգնատիևը գրում է. Արդյունքները վստահելի են միայն այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական գիտելիքների ներածությունը կատարվում է հեշտ և հաճելի ձևով, առօրյա և կենցաղային իրավիճակների առարկաների և օրինակների վրա՝ ընտրված պատշաճ խելքով և զվարճությամբ:

«Հիշողության դերը մաթեմատիկայի մեջ» 1911 թվականի հրատարակության նախաբանում Է.Ի. Իգնատիևը գրում է «...մաթեմատիկայում պետք է հիշել ոչ թե բանաձևերը, այլ մտածելու գործընթացը»։

Քառակուսի արմատը հանելու համար կան երկնիշ թվերի քառակուսիների աղյուսակներ, կարելի է թիվը տարրալուծել պարզ գործակիցների և արտադրյալից հանել քառակուսի արմատը։ Քառակուսիների աղյուսակը բավարար չէ, ֆակտորինգով արմատ հանելը ժամանակատար խնդիր է, որը նույնպես միշտ չէ, որ բերում է ցանկալի արդյունքի։ Փորձե՞ք հանել 209764 թվի քառակուսի արմատը։ Պարզ գործակիցների տարրալուծումը արտադրյալին տալիս է 2 * 2 * 52441: Փորձի և սխալի միջոցով ընտրություն - սա, իհարկե, կարելի է անել, եթե վստահ եք, որ սա ամբողջ թիվ է: Այն ճանապարհը, որը ես ուզում եմ առաջարկել, թույլ է տալիս ամեն դեպքում վերցնել քառակուսի արմատը։

Մի անգամ ինստիտուտում (Պերմի պետական ​​մանկավարժական ինստիտուտ) մեզ ներկայացրին այս մեթոդը, որի մասին հիմա ուզում եմ խոսել։ Ես երբեք չեմ մտածել այն մասին, թե արդյոք այս մեթոդը ապացույց ունի, ուստի հիմա ստիպված էի ինքս որոշ ապացույցներ բերել:

Այս մեթոդի հիմքը = թվի կազմությունն է:

=&, այսինքն. &2=596334.

1. Թիվը (5963364) բաժանեք զույգերի աջից ձախ (5`96`33`64)

2. Առաջին խմբի քառակուսի արմատն ենք հանում ձախից ( - թիվ 2): Այսպիսով, մենք ստանում ենք թվի առաջին նիշը և.

3. Գտեք առաջին թվանշանի քառակուսին (2 2 \u003d 4):

4. Գտի՛ր առաջին խմբի և առաջին թվանշանի քառակուսու տարբերությունը (5-4=1):

5. Քանդում ենք հաջորդ երկու թվանշանները (ստացել ենք 196 թիվը):

6. Մենք կրկնապատկում ենք մեր գտած առաջին պատկերը, այն գրում ենք տողի ձախ կողմում (2*2=4):

7. Այժմ դուք պետք է գտնեք թվի երկրորդ նիշը և. կրկնապատկված առաջին նիշը, որը մենք գտանք, դառնում է թվի տասնյակների թվանշանը, երբ բազմապատկվում ենք միավորների թվով, պետք է ստանալ 196-ից փոքր թիվ ( սա 4 թիվն է, 44 * 4 \u003d 176): 4-ը &-ի երկրորդ թվանշանն է:

8. Գտի՛ր տարբերությունը (196-176=20):

9. Քանդում ենք հաջորդ խումբը (ստացվում է 2033 թիվը):

10. Կրկնապատկել 24 թիվը, ստանում ենք 48։

11,48 տասնյակ մի շարք, երբ բազմապատկենք միավորների քանակով, մենք պետք է ստանանք 2033-ից փոքր թիվ (484 * 4 \u003d 1936): Մեր կողմից հայտնաբերված միավորների թվանշանը (4) & թվի երրորդ նիշն է։

Ապացույցը իմ կողմից տրված է դեպքերի համար.

1. Եռանիշ թվի քառակուսի արմատի հանում;

2. Քառանիշ թվի քառակուսի արմատի հանում:

Քառակուսի արմատը հանելու մոտավոր մեթոդներ (առանց հաշվիչի օգտագործման):

1. Հին բաբելոնացիները իրենց x թվի քառակուսի արմատի մոտավոր արժեքը գտնելու համար օգտագործել են հետևյալ մեթոդը. Նրանք x թիվը ներկայացրեցին որպես a 2 + b գումար, որտեղ a 2-ը ամենամոտ է x-ին a բնական թվի ճշգրիտ քառակուսին (a 2 ? x), և օգտագործեցին բանաձևը. . (1)

Օգտագործելով (1) բանաձևը, մենք քառակուսի արմատը հանում ենք, օրինակ, 28 թվից.

28-ի արմատը հանելու արդյունքը MK 5.2915026-ի միջոցով։

Ինչպես տեսնում եք, բաբելոնյան մեթոդը լավ մոտարկում է տալիս արմատի ճշգրիտ արժեքին:

2. Իսահակ Նյուտոնը մշակել է քառակուսի արմատի մեթոդ, որը թվագրվում է Հերոն Ալեքսանդրացու ժամանակով (մոտ 100 թ.): Այս մեթոդը (հայտնի է որպես Նյուտոնի մեթոդ) հետևյալն է.

Թող լինի ա 1- թվի առաջին մոտարկումը (որպես 1, կարող եք վերցնել բնական թվի քառակուսի արմատի արժեքները՝ ճշգրիտ քառակուսի, որը չի գերազանցում. X) .

Հաջորդ, ավելի ճշգրիտ մոտարկումը ա 2թվեր հայտնաբերված բանաձևով .

Չափը՝ px

Սկսել տպավորությունը էջից՝

սղագրություն

1 ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅՈՒՆ 2 ՄԵԾ ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ԲԱԺԱՆՄԱՆ ՀԱՇՎԱՐԿ Էվկլիդեսի ալգորիթմ Մեծ կոմպոզիտային թվերի հետ աշխատելիս դրանց տարրալուծումը պարզ գործոնների, որպես կանոն, անհայտ է։ Բայց թվերի տեսության շատ կիրառական խնդիրների համար թվի ֆակտորինգի որոնումը կարևոր, հաճախ հանդիպող գործնական խնդիր է: Թվերի տեսության մեջ կա երկու թվերի gcd-ն հաշվարկելու համեմատաբար արագ եղանակ, որը կոչվում է Էվկլիդյան ալգորիթմ։ Ալգորիթմ 1. Էվկլիդեսի ալգորիթմ. Մուտքը։ Ամբողջ թվեր a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0, Էվկլիդեսի ալգորիթմը կանգ է առնում, և նրա արտադրած d թիվը a և b թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Ապացույց . Մնացորդով բաժանման թեորեմով ցանկացած i 1-ի համար ունենք r i 1 = q i r i + r i+1, որտեղ 0 r i+1.< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0 սահմանափակված է ներքևից: Նման հաջորդականությունը չի կարող անվերջ լինել, հետևաբար Էվկլիդեսի ալգորիթմը կանգ է առնում։ Euclid's Binary Algorithm Euclid's Binary GCD ալգորիթմը պարզվում է, որ ավելի արագ է սա իրականացնելիս

2 ալգորիթմ համակարգչի վրա, քանի որ այն օգտագործում է a և b թվերի երկուական ներկայացումը: Երկուական Էվկլիդյան ալգորիթմը հիմնված է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հետևյալ հատկությունների վրա (մենք ենթադրում ենք, որ 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, ապա gcd (a, b) = gcd (a b, b); 4) եթե a = b, ապա gcd(a, b) = a. Ալգորիթմ 2. Երկուական Էվկլիդեսի ալգորիթմ. Մուտքը։ Ամբողջ թվեր a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >բ. Այնուհետև կան x և y այնպիսի ամբողջ թվեր, որ d = ax + by: Այլ կերպ ասած, երկու թվերի gcd-ն կարող է ներկայացվել

3-ը որպես այս թվերի գծային համակցություն ամբողջ թվային գործակիցներով: Ալգորիթմ 3. Ընդլայնված Էվկլիդյան ալգորիթմի սխեման. 1. Որոշեք = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b. 2. Թող q թիվը լինի a թվի քանորդը բաժանված b թվի վրա, իսկ r թիվը լինի այս թվերի բաժանման մնացորդը (այսինքն՝ a = qb + r): a = b; b = r; t =; //t = x i-1; = tq; // = x i աջ կողմի համար = x i+1 աջ կողմի համար; //t = y i-1; = tq; 5. Վերադարձեք քայլին Որոշեք x = x 0, y = y 0, d = αx + βy: Ընդլայնված Էվկլիդյան ալգորիթմի Log տարբերակ: Ամբողջ թվեր a, b; 0< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 ալգորիթմով հաշվարկված, ցույց է տալիս հետևյալ թեորեմը. Թեորեմ 4. Ալգորիթմի 3-ի յուրաքանչյուր կրկնության ժամանակ ax i + by i = r i հավասարությունը բավարարվում է, i 0-ի համար: Ապացույց. Եկեք օգտագործենք մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը. i = 0-ի և i = 1-ի համար պահանջվող հավասարությունը գործում է 3-րդ ալգորիթմի 1-ին քայլի շնորհիվ: Ենթադրենք, որ դա ճիշտ է i 1-ի և i-ի համար: Այնուհետև 3-րդ քայլում մենք ստանում ենք x i+1 = x i 1 x i և y i+1 = y i 1 y i: Հետևաբար, ax i+1 + ըստ i+1 = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + by i 1 (ax i + by i) = r i 1 r i = r i+1 . Օրինակ. Տրված է a = 1769, b = 551: Օգտագործելով ընդլայնված էվկլիդեսյան ալգորիթմը, գտե՛ք x և y այնպիսի ամբողջ թվեր, որ d = ax + by, որտեղ a և b թվերի d gcd: Հաշվարկների հաջորդականության I փուլ. 1. Որոշեք = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = Քաղորդ q = a / b = 1769/551 = 3, իսկ բաժանման մնացորդը r = 116. a = 551; b = 116; t = =0: = t q = 1 0 = 1 = 0; = t q = 3; հետևյալ միջանկյալ արժեքները

5 պարամետր՝ a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Քանի որ բաժանման մնացորդը r 0 է, վերադառնում ենք 2-րդ քայլին. Հաշվարկման հաջորդականության II փուլ: 1. Պարամետրի արժեքը՝ a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Քանակ q = a/b = 551/116 = 4, իսկ մնացորդ r = 87. a = 116; b = 87; t == 0; =1: = t q = = 4 = 3; = t q = 1 (3) 4 = 13; պարամետրերի հետևյալ միջանկյալ արժեքները՝ a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Քանի որ բաժանման մնացորդը r 0 է, մենք վերադառնում ենք 2-րդ քայլին: Հաշվարկման հաջորդականության III փուլ . 1. Պարամետրերի արժեքը՝ a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Q = a/b = 116/87 = 1, իսկ մնացորդը r = 29:

6 ա = 87; b = 29; t = = 4: = t q = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = t q = 3 (13) 1 = 16; պարամետրերի հետևյալ միջանկյալ արժեքները՝ a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Քանի որ բաժանման մնացորդը r 0 է, մենք վերադառնում ենք 2-րդ քայլին: Հաշվարկման հաջորդականության IV փուլ . 1. Պարամետրի արժեքը՝ a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = քանորդ q = a/b = 87/29 = 3, իսկ մնացորդ r = 0. a = 87; b = 29; t == 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = t q = 13 (16) 3 = 61; հետևյալ միջանկյալ պարամետրերի արժեքները. a= 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Քանի որ բաժանման մնացորդը r = 0 է, մենք կատարում ենք քայլ 6-ը:

7 6. Հաշվեք GCD-ն օգտագործելով d = αx + βy բանաձեւը, որտեղ x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α= 1769, β = 551: Փոխարինելով պարամետրերի արժեքը՝ ստանում ենք d = αx. + βy = = = 29 Ընդլայնված Էվկլիդյան ալգորիթմը կարող է իրականացվել նաև երկուական ձևով։ Ալգորիթմ 4. Ընդլայնված Երկուական Էվկլիդյան Ալգորիթմ. Մուտքը։ Ամբողջ թվեր a, b; 0< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Հավասարումների լուծում ամբողջ թվերով Գծային հավասարումներ. Ուղղակի թվարկման մեթոդ Օրինակ. Ճագարներն ու փասիանները նստած են վանդակում։ Նրանք ընդհանուր առմամբ 8 ոտք ունեն։ Պարզեք, թե դրանցից և մյուսներից քանիսն են խցում: Թվարկեք բոլոր լուծումները: Որոշում.

Դաս 7 D թիվը կոչվում է a և b թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD), եթե (1) d a և d b, ինչպես նաև (2) բոլոր x-ի համար x a-ից և x b-ից հետևում է x d-ին: Այս դեպքում մենք գրում ենք d = (a, b): Լեմմա 1. Ցանկացած թվերի համար

Առարկա. Տարրական թվերի տեսության հիմունքներ և կիրառություններ - Տեսական նյութ. Մոդուլային մնացորդների բազմություն, համընկնումների հատկություններ: Թող լինի բնական թիվ ավելի մեծ քան . Z-ով նշում ենք բոլոր դասերի բազմությունը

Ուգրայի ֆիզիկամաթեմատիկական ճեմարան Վ.Պ. Չուվակով ԹՎԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐ Դասախոսական նշումներ (0)(mod) (0)(mod) Բնական թվեր N, - բնական թվերի բազմություն, որն օգտագործվում է հաշվելու կամ հաշվելու համար։

Գլուխ 2 Ամբողջական, ռացիոնալ և իրական թվեր 2.. Ամբողջ թվեր Թվերը, 2, 3,... կոչվում են բնական: Բոլոր բնական թվերի բազմությունը նշանակվում է N-ով, այսինքն. N = (,2,3,...): Թվեր..., 3, 2,0,2,3,...

Շարունակվող կոտորակներ Վերջավոր շարունակվող կոտորակներ Սահմանում a 0 + a + a + + a m ձևի արտահայտությունը, որտեղ 0 Z a a m N a m N/() կոչվում է շարունակական կոտորակ, իսկ m-ը շարունակվող կոտորակի երկարությունն է a 0 a a m կլինի. կոչվում են շարունակվող կոտորակի գործակիցներ

ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅՈՒՆ 1 ԹՎԵՐԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՈՐՈՇ ՏԱՐՐԵՐ

Գորբաչով ՉԻ Բազմանդամները մեկ փոփոխականում Լուծելով աստիճանի հավասարումներ Բազմանդամների հայեցակարգը Թվաբանական գործողություններ բազմանդամների վրա Փոփոխականի նկատմամբ աստիճանի խորքային բազմանդամ (բազմանդամ)

Ամբողջ թվերի բաժանելիությունը a թիվը բաժանվում է b թվի վրա (կամ b-ն բաժանում է a), եթե կա այնպիսի c թիվ, որ a = bc Այս դեպքում c թիվը կոչվում է a-ի բ-ի բաժանման գործակից Նշում. a - a. բաժանվում է b-ի կամ ba b-ի բաժանվում է

ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅՈՒՆ 12 ԵՐԿՐՈՐԴ ԱՍՏԻՃԱՆԻ ՀԱՄԵՄԱՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՊԱՐԶ ՄՈԴՈՒԼԱՅԻՆ ԵՎ ՔԱՌԱՋՆԱԿԱՆ ՄՆԱՑՈՒՅՑՆԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ Երկրորդ աստիճանի մոդուլի p-ի համեմատության ընդհանուր ձևն ունի (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p. Համեմատության լուծում գտնելը (1)

Հրահանգներ, լուծումներ, պատասխաններ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ՈՂՋ ԹՎԵՐՈՎ. Հավասարում մեկ անհայտով Լուծում. Դնենք այն հավասարման մեջ։ Մենք ստանում ենք հավասարությունը (4a b 4) (a b 8) 0: A B 0 հավասարությունը, որտեղ A և B-ն ամբողջ թվեր են, բավարարված է.

Հանրահաշվական բազմանդամներ. 1 n աստիճանի հանրահաշվական բազմանդամներ դաշտի վրա K Սահմանում 1.1 n աստիճանի բազմանդամը, n N (0), z փոփոխականում թվային դաշտի վրա K-ն ձևի արտահայտություն է՝ fz = a n z n:

Դասախոսություն Քառակուսի մնացորդներ և ոչ մնացորդներ Դասախոս՝ Նյու Զոլոտիխ Ձայնագրեց՝ Է Զամարաևա?? Սեպտեմբեր 00 Բովանդակություն Քառակուսի մնացորդներ և ոչ մնացորդներ Լեժանդրի խորհրդանիշ Լեժանդրի նշանի հատկությունները Փոխադարձության քառակուսի օրենքը

Պետական ​​ուսումնական հաստատություն գիշերօթիկ դպրոց «Մտավոր» բնական թվերը որպես գծային համակցություն ամբողջ թվային գործակիցներով»

Մաթեմատիկական վերլուծություն Բաժին` Անորոշ ինտեգրալ Թեմա` Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում Դասախոս Պախոմովա Է.Գ. 0 5. Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է

4 Թվերի տեսություն 4 Ամբողջ թվեր 7 Սահմանում Թող, b Z Այնուհետև բաժանում է b, եթե կա այնպիսի ամբողջ թիվ, որ b (նշվում է b-ով) 73 Թեորեմ (բաժանում մնացորդով) Եթե, b Z և b, ապա կան այդպիսի ամբողջ թվեր.

Մաթեմատիկական վերլուծություն Բաժին` Անորոշ ինտեգրալ Թեմա` Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում Դասախոս Ռոժկովա Ս.Վ. 0 5. Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է

009-00 հաշիվ տարին։ 6, 9 բջիջ: Մաթեմատիկա. Թվերի տեսության տարրեր. 4. Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի և ամենափոքր ընդհանուր բազմակի հաշվարկը Պահենք նշումը պարբերությունից։ n բնական թվի համար n նշումը

ԿԻՐԱՌՎԱԾ ՀԱՇՎԻՐ. Մաս I. վերջավոր դաշտեր (Գալուայի դաշտեր): I 1 / 67 Մաս I Վերջնական դաշտեր (Գալուայի դաշտեր): ԵՍ ԿԻՐԱՌԵԼ եմ ՀԱՇՎԻՐԱՀԱՇԻՆ. Մաս I. վերջավոր դաշտեր (Գալուայի դաշտեր): I 2 / 67 Մնացորդային դաշտեր մոդուլի պրիմ

5 Ամբողջ թվերով հավասարումներ լուծելիս նույնիսկ այնպիսի պարզ հավասարումներ, ինչպիսին է գծային հավասարումը մեկ անհայտով, կան որոշ առանձնահատկություններ, եթե հավասարման գործակիցները ամբողջ թվեր են, և դա պահանջվում է.

Լաբորատոր աշխատանք 8 Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հաշվարկը Էվկլիդեսի ալգորիթմի միջոցով

Բաժին 1. Կրիպտոգրաֆիայի մաթեմատիկական հիմունքները 1 Դաշտի սահմանում Վերջավոր դաշտը GF q (կամ Գալուայի դաշտը) տարրերի վերջավոր կամայական բազմություն է, որոնց միջև նշված են գումարման և բազմապատկման գործողություններ:

XIX միջտարածաշրջանային օլիմպիադա դպրոցականների համար 11-րդ դասարանի մաթեմատիկայի և կրիպտոգրաֆիայի առաջադրանքների լուծում 1-ին խնդրի լուծում Նախ, մենք նշում ենք, որ եթե N = pq, որտեղ p և q-ն պարզ թվեր են, ապա բնական թվերի թիվը փոքր է.

Բազմանդամները և դրանց արմատները 2018 Գուշչինա Ելենա Նիկոլաևնա Սահմանում. n n N աստիճանի բազմանդամը ձևի ցանկացած արտահայտություն է՝ P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., որտեղ a & , a &+, a, a. R, a&

Դասախոսություն 4. ՍՏԱՆԴԱՐՏ ԱԷՍ. ՌԻԺՆԴԱԵԼ ԱԼԳՈՐԻԹՄ. AES-ը (Advnced Encrypton Stndrd) մեկ բանալիով գաղտնագրման նոր ստանդարտ է, որը փոխարինել է DES ստանդարտին: Rjndel ալգորիթմ (rhine-dal)

Բազմանդամները և դրանց արմատները Սահմանում. n (n N) աստիճանի բազմանդամը ձևի ցանկացած արտահայտություն է՝ P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, որտեղ a n, a n 1, a. 1, a 0 R, a n առաջատար գործակից, ա

1 Էվկլիդեսի ալգորիթմը և նրա բարդությունը Սահմանում 1. A և b թվերի ընդհանուր բաժանարարը c թիվ է, որպեսզի c a և c b. Սահմանում 2. a և b թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը նրանց ընդհանուր բաժանարարն է,

Դասախոսություն 14 Քառակուսի արմատների մոդուլային կոմպոզիտային հաշվարկ Վերը նշված տեսությունից հետևում է, որ եթե =, որտեղ և պարզ թվեր են, Z խումբը իզոմորֆ է Z Z տարածության նկատմամբ: Քանի որ իզոմորֆիզմը պահպանում է հատկությունները.

Դասախոսություն 3 Քառակուսի ԱՐՄԱՏՆԵՐԻ ՀԱՇՎԱՐԿ ՄՈԴՈՒԼԱՐ Պարզ մոդուլի դեպք Դիտարկենք համեմատությունը x a mod p, () որտեղ p թիվը պարզ է, իսկ a ամբողջ թիվը չի բաժանվում p-ի. Այս հավասարման x լուծման հաշվարկը հետևյալն է.

Դիսկրետ մաթեմատիկայի կոլոկվիումի ծրագիր (հիմնական հոսք) Կոլովիումի սկզբում դուք կստանաք տոմս, որը պարունակում է երեք հարց՝ սահմանումների հարց, առաջադրանք և ապացույցների հարց:

Շորի ալգորիթմ Յու.Լիֆշից. Դեկտեմբերի 1, 005 Դասախոսության ուրվագիծ 1. Նախապատրաստում (ա) Ֆակտորինգային թվեր (բ) Քվանտային հաշվարկ (գ) Դասական հաշվարկների էմուլացիա: Սայմոնի ալգորիթմ (ա) Քվանտային զուգահեռություն

Մաթեմատիկայի պատմությունից Առաջին բավականին ծավալուն գիրքը, որտեղ թվաբանությունը ներկայացվել է երկրաչափությունից անկախ, Նիկոմախոսի «Թվաբանության ներածությունն» էր (okne):

Համառոտ ներածություն տարրական թվերի տեսության սկզբներին Դենիս Կիրիենկոյի Համակարգչային ամառային դպրոց, 1 հունվարի, 2009թ. Ամբողջ թվերի բաժանում Թող տրվեն երկու ամբողջ թվեր a և b, b 0:

Թեմա 1-9. Բազմանդամներ. Բազմանդամների օղակի կառուցում. Բաժանելիության տեսություն. Ածանցյալ A. Ya. Ovsyannikov Ուրալի դաշնային համալսարանի մաթեմատիկայի և համակարգչային գիտության ինստիտուտի հանրահաշվի և դիսկրետի բաժին

Հանրահաշվական հավասարումներ, որտեղ Սահմանում. Հանրահաշիվը 0, P () 0 ձևի հավասարումն է, որոշ իրական թվեր: 0 0 Այս դեպքում փոփոխականը կոչվում է անհայտ, իսկ 0 թվերը

Դասախոսություն 6 Թվերի տեսության տարրեր 1 Խնդիր. Շարունակեք թվերի հաջորդականությունը 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 Ամբողջ թվաբանական Օգտագործում է ամբողջ թվեր՝ Z = (, - , -1, 0,

Բազմանդամներ n աստիճանի x մեկ փոփոխականով բազմանդամը այն ձևի արտահայտությունն է, որտեղ կան ցանկացած թվեր, որոնք կոչվում են բազմանդամի գործակիցներ, իսկ բազմանդամի առաջատար գործակիցը կոչվում է Եթե փոփոխականի փոխարեն:

1 2 Բովանդակություն. 1. Ներածություն. 4-6 1.1. Վերացական...4 1.2. Խնդիր 4 1.3. Աշխատանքի նպատակը 5 1.4. Վարկած..5 1.5. Հետազոտության առարկա... 5 1.6. Ուսումնասիրության օբյեկտ. 5 1.7. Նորություն... 5-6 1.8. Հետազոտության մեթոդներ...6

8.3, 8.4.2 դաս., Մաթեմատիկա (դասագիրք Մակարիչև) 2018-2019 ուս. տարի «Ամբողջ թվեր. Թվերի բաժանելիությունը. Աստիճան ամբողջ թվով ցուցիչով «Թեստում ստուգվում են տեսական և գործնական մասերը: ԹԵՄԱ Իմացեք

Դասախոսություն Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում Ռացիոնալ կոտորակներ Պարզ ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում Ռացիոնալ կոտորակի տարրալուծումը պարզ կոտորակների Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում Ռացիոնալ.

Www.cryptolymp.ru XIX միջտարածաշրջանային օլիմպիադա դպրոցականների համար մաթեմատիկայի և ծածկագրության մեջ (11-րդ դասարան) 1-ին խնդրի լուծում Նախ, մենք նշում ենք, որ եթե N pq, որտեղ p և q պարզ թվեր են, ապա բնական թվերի թիվը.

Գլուխ Ամբողջ թվեր Բաժանելիության տեսություն Ամբողջ թվերը կոչվում են թվեր, -3, -, -, 0, 3, այդ բնական թվերը, 3, 4, ինչպես նաև զրո և բացասական թվերը -, -, -3, -4, Բոլոր ամբողջ թվերի բազմությունը։ նշվում է

Ռուսաստանի Դաշնության Կրթության և գիտության նախարարության Ուրալի պետական ​​տնտեսագիտական ​​համալսարանի Յու. 4-րդ, rev. և լրացուցիչ էլ. փոստ: [էլփոստը պաշտպանված է],

(եռանկյունաչափական շարքի եռանկյունաչափական համակարգի օրինակներ - ընդլայնում [ -l; l ] ինտերվալի վրա կամայական ժամանակաշրջանի ֆունկցիաների համար - թերի շարքի ընդլայնում սինուսներում և կոսինուսներում զույգ և կենտ շարունակություններում)

Համակարգչային տեսական գիտություն II Դասախոսություն 5. Ամբողջ թվերի ալգորիթմներ. Ընդլայնված Էվկլիդեսի ալգորիթմ, հակադարձ տարրի մոդուլ, հզորության մոդուլ: Հանրային բանալին ծածկագրում, RSA արձանագրություն: Հավանական

5. Bose-Chaudhury-Hokvingham ծածկագրերը Ցիկլային կոդերի ուղղիչ հատկությունները կարելի է որոշել երկու թեորեմների հիման վրա։ Թեորեմ 1. Ցանկացած m-ի և t-ի համար գոյություն ունի n = 2 m 1 երկարության ցիկլային ծածկագիր՝ բազմապատիկությամբ:

ՄՈԴՈՒԼԱՅԻՆ ԹՎԱԲԱՆՈՒԹՅՈՒՆ Որոշ կիրառություններում հարմար է թվաբանական գործողություններ կատարել այսպես կոչված մոդուլային ներկայացման մեջ տրված ամբողջ թվերի վրա: Այս ներկայացումը ենթադրում է, որ ամբողջ թիվը

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՕԳՏԱԳՈՐԾՈՒՄ 00 Կորյանով Ա.Գ. Առաջադրանքներ Բրյանսկից Ուղարկեք մեկնաբանություններ և առաջարկություններ հետևյալ հասցեին՝ [էլփոստը պաշտպանված է]ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ԵՎ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՈՂՋ ԹՎԵՐՈՒՄ (Ուսումնական խնդիրներից մինչև օլիմպիադայի խնդիրներ) Գծային.

2.22. Փակագծերից հանել ընդհանուր գործակիցը (n-ը բնական թիվ է). 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5n + 4 + 2 5n + 2-3 5n + 1. 2.23. Յուրաքանչյուր համար նշանակված էր

Դասախոսություն 15 ԱՌԱՋԻՆ ԹՎԵՐ Մեկից մեծ p բնական թիվը կոչվում է պարզ, եթե այն բաժանվում է միայն 1-ի և իր վրա: Թեորեմ (Էվկլիդես). Պարզ թվերի բազմությունը անսահման է։ Նշեք π(x)-ով

Թեմա 3. Հանրահաշվական և անալիտիկ թվերի տեսության տարրեր Տեսական նյութ 1. Շարունակվող կոտորակներ. Վերջնական շարունակվող կոտորակը a +, (1) արտահայտությունն է, որտեղ a-ն ամբողջ թիվ է, a, i > 0, բնական թվեր,

Http: Ցանկացած ոչ զրոյական թիվ կարելի է համարել

Պենզայի պետական ​​մանկավարժական համալսարան Վ.Գ.Բելինսկու Մ.Վ.Գլեբովի Վ.Ֆ.Տիմերբուլատովայի անվան

Ամբողջ թվերի բաժանելիությունը մնացորդով Թող m լինի ամբողջ, իսկ n-ը՝ բնական թիվ

Ավդոշին Ս.Մ., Սավելիևա Ա.Ա. Մնացորդային օղակներում գծային հավասարումների համակարգերի լուծման ալգորիթմ Մշակվել է մնացորդային օղակներում գծային հավասարումների համակարգերի լուծման արդյունավետ ալգորիթմ, որն իր բարդությամբ համարժեք է.

ԿԻՐԱՌՎԱԾ ՀԱՇՎԻՐ. Մաս I. Վերջնական դաշտեր (Գալուայի դաշտեր) I 1 / 88 Մաս I Վերջնական դաշտեր (Գալուայի դաշտեր) I ԿԻՐԱՌՎԱԾ ՀԱՆՐԱՀԱՇԱՀԻՐ: Մաս I. վերջավոր դաշտեր (Գալուայի դաշտեր) I 2 / 88 Մնացորդային դաշտեր մոդուլով պարզ թիվ

5 Հանրահաշվական կառուցվածքներ 6 Սահմանում S բազմության վրա երկուական գործողությունը S S-ի S-ի քարտեզագրումն է

/E Թվերի տեսության տարրեր և. Ռոչև, օգոստոսի 28, 2018 ..... 1 1.2 Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար ..................................

Գլուխ Ամբողջական, ռացիոնալ և իրական թվեր: Բաժանում մնացորդով. ±23, ±4 թվերից յուրաքանչյուրը բաժանեք մնացորդի հետ ±5 թվերից յուրաքանչյուրի վրա։ 2. Գտի՛ր 42-ի բոլոր դրական բաժանարարները: 3. Հիմա ժամը 3-ն է:

Դիֆերենցիալ հավասարումներ դասախոսություն 4 Հավասարումներ ընդհանուր դիֆերենցիալներում: Ինտեգրող գործոն Դասախոս Աննա Իգորևնա Շերստնևա 9. Հավասարումներ ընդհանուր դիֆերենցիալներում d + d = 14 հավասարումը կոչվում է հավասարում.

Առարկա. Տարրական թվերի տեսության հիմունքներ և կիրառություններ. Պարզունակ արմատներ, ինդեքսներ. Տեսական նյութ Թող a, m-ը լինեն բնական համատեղ պարզ թվեր, իսկ m, ապա, ըստ Էյլերի թեորեմի՝ a m)

Բարձրագույն մաթեմատիկայի մաթեմատիկայի և ինֆորմատիկայի ամբիոն Ուսումնական և մեթոդական համալիր միջնակարգ մասնագիտական ​​կրթության ուսանողների համար, որոնք սովորում են հեռավար տեխնոլոգիաների կիրառմամբ Մոդուլ Սահմանների տեսություն Կազմող՝ դոց.

Բաժին 2. Թվային մեթոդներ գաղտնագրության մեջ Առաջադրանք անկախ աշխատանքի համար Կրիպտոգրաֆիայում լայնորեն կիրառվող ալգորիթմների ուսումնասիրություն: Թվերի տեսության տարրեր. Էվկլիդեսի ընդլայնված ալգորիթմ;

Թեմատիկ պլանի հիմքում ընկած է 206-207 ուսումնական տարվա ծրագրային նյութը՝ ըստ «Հանրահաշիվ 8» դասագրքի, խմբ. Ա.Գ. Մորդկովիչ, հաշվի առնելով կրթության առաջարկվող պարտադիր նվազագույն բովանդակությունը Թեմա

Դասախոսություն 2. Երկանդամ գործակիցների հատկությունները. Գումարումը և ֆունկցիաների գեներացման եղանակը (վերջնական դեպք): Բազմանդամ գործակիցներ. Երկանդամների և բազմանդամների գործակիցների գնահատականները: Գումարների հաշվարկներ

Դիտարկենք այս ալգորիթմը օրինակով։ Եկեք գտնենք

1-ին քայլ. Արմատի տակի թիվը բաժանում ենք երկու թվանշանի (աջից ձախ).

2-րդ քայլ. Առաջին դեմքից հանում ենք քառակուսի արմատը, այսինքն՝ 65 թվից ստանում ենք 8 թիվը։Առաջին դեմքի տակ գրում ենք 8 թվի քառակուսին և հանում։ Երկրորդ դեմքը (59) վերագրում ենք մնացածին.

(159 թիվը առաջին մնացորդն է):

3-րդ քայլ. Մենք կրկնապատկում ենք գտնված արմատը և արդյունքը գրում ձախ կողմում.

4-րդ քայլ. Մնացած (159) մեջ առանձնացնում ենք աջ կողմում մեկ թվանշան, ձախից ստանում ենք տասնյակների թիվը (հավասար է 15-ի)։ Այնուհետև 15-ը բաժանում ենք արմատի կրկնապատկված առաջին թվանշանի վրա, այսինքն՝ 16-ի, քանի որ 15-ը չի բաժանվում 16-ի, ապա քանորդում ստանում ենք զրո, որը գրում ենք որպես արմատի երկրորդ թվանշան։ Այսպիսով, քանորդում ստացանք 80 թիվը, որը նորից կրկնապատկում ենք և քանդում հաջորդ երեսը

(15901 թիվը երկրորդ մնացորդն է)։

5-րդ քայլ. Երկրորդ մնացորդում աջից առանձնացնում ենք մեկ թվանշան և ստացված 1590 թիվը բաժանում ենք 160-ի: Արդյունքը (թիվ 9) գրվում է որպես արմատի երրորդ նիշ և վերագրվում է 160 թվին: Ստացված 1609 թիվը բազմապատկվում է 9-ով: և մենք գտնում ենք հետևյալ մնացորդը (1420).

Հետագա գործողությունները կատարվում են ալգորիթմում նշված հաջորդականությամբ (արմատը կարելի է արդյունահանել անհրաժեշտ աստիճանի ճշգրտությամբ):

Մեկնաբանություն. Եթե ​​արմատային արտահայտությունը տասնորդական կոտորակ է, ապա դրա ամբողջական մասը բաժանվում է երկու նիշի աջից ձախ, կոտորակային մասը՝ ձախից աջ երկու նիշի, իսկ արմատը հանվում է նշված ալգորիթմի համաձայն։

ԴԻԴԱԿՏԻԿ ՆՅՈՒԹ

1. Վերցրեք թվի քառակուսի արմատը՝ ա) 32; բ) 32,45; գ) 249,5; դ) 0,9511.

Ողջույններ մեր կայքի ընթերցողներին և այցելուներին: Այս բաժնում մենք կվերլուծենք տարբեր ալգորիթմներ, ինչպես նաև դրանց իրականացումը Պասկալում։

Այսօրվա դասի նյութին տիրապետելու համար ձեզ անհրաժեշտ կլինեն գիտելիքներ և.

Այսօր մենք կդիտարկենք երեք ալգորիթմ (հինգից) երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար, որոնցից երկուսն ուղղակիորեն կապված են Էվկլիդեսի անվան հետ։ Հաջորդ բաժնում մենք կանդրադառնանք ևս երկուսին:
Երկու a և b թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (gcd) երկուսն էլ բաժանող ամենամեծ ամբողջ թիվն է։
Օրինակ՝ gcd(25, 5) = 5; gcd (12, 18) = 6:

Որոնման ալգորիթմ

Սկսենք նրանից դ-երկու թվերից ամենափոքրը. Սա նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի առաջին, ակնհայտ թեկնածուն է։ Եվ հետո, քանի դեռ d-ն չի բաժանում երկու թվերը, մենք այն փոքրացնում ենք մեկով։ Հենց նման բաժանում ապահովվի, դադարեցնում ենք դ-ի նվազումը.

Var a, b, d: ամբողջ թիվ; սկսել գրել ("Մուտքագրեք երկու թիվ. "); readln(a, b); Եթե< b then d:= a + 1 else d:= b + 1; {так как мы используем цикл с постусловием, необходимо минимальное значение увеличить на один, иначе цикл repeat, в силу своих конструктивных особенностей, не учтет это минимальное число и не сделает его кандидатом в НОД. Например, 5 и 25.} repeat d:= d - 1 until (a mod d = 0) and (b mod d = 0); write("NOD = ", d) end.

Անդրադառնանք այս ծրագրին, օրինակ՝ 30 և 18 թվերով: Այնուհետև պատասխանի ճանապարհին (թիվ 6) այն պետք է անցնի 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12 թվերը: , 11, 10, 9, 8, 7 .6.

Էվկլիդեսի ալգորիթմը «հանումով»

Թող a և b լինեն ամբողջ թվեր, ապա ճշմարիտ են հետևյալ պնդումները.

1. a և b զույգի բոլոր ընդհանուր բաժանարարները նույնպես a - b, b զույգի ընդհանուր բաժանարարներ են;
2. Ընդհակառակը, a - b և b զույգի բոլոր ընդհանուր բաժանարարները նույնպես a և b զույգի ընդհանուր բաժանարարներ են.
3. gcd (A, B) = gcd (A - B, B) եթե A > B;
4. gcd(A, 0) = A.

Ապացույց:

1. Եթե ​​t-ը a-ի և b-ի կամայական ընդհանուր բաժանարար է, ապա այն նաև բաժանում է a - b տարբերությունը: Իրոք, a = t * u և b = t * v-ից հետևում է, որ a - b = t * u - t * v = t * (u - v): Այսինքն t-ը նաև a - b և b ընդհանուր բաժանարար է։
2. Եվ հակառակը, եթե t-ը կամայական բաժանարար է, a - b և b ընդհանուր բաժանարարը, ապա այն նաև բաժանում է նրանց գումարը a - b + b = a: Սա կարելի է ապացուցել նախորդի նմանությամբ։ Հետևաբար t-ը նաև a-ի և b-ի ընդհանուր բաժանարարն է:
3. Մենք եզրակացնում ենք, որ a և b ընդհանուր բաժանարարների բազմությունը համընկնում է a - b և b բաժանարարների բազմության հետ։ Մասնավորապես, այս զույգերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարները նույնպես համընկնում են։
4. Ամենամեծ ամբողջ թիվը, որը բաժանում է a թիվը, ինքնին a թիվն է: 0 թիվը բաժանվում է ցանկացած թվի։ Այսպիսով, a-ի և 0-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը a-ն է:

Ապացուցված բանաձևը (3) թույլ է տալիս նվազեցնել մեկ զույգի ամենամեծ բաժանարարի հաշվարկը մյուս զույգի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հաշվարկին, որտեղ թվերն արդեն փոքր են։ Ակնհայտ բանաձևը (4) թույլ է տալիս մեզ իմանալ, թե երբ պետք է դադարեցնել:

Հակիրճ, Էվկլիդեսի «հանումով» ալգորիթմը կլինի հետևյալը. Մեծ թվից հանում ենք փոքր թիվը և մեծը փոխարինում տարբերությամբ, մինչև թվերից մեկը դառնա զրո։ Այնուհետև մնացած ոչ զրոյական թիվը ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

Օրինակ. Թող a = 82 և b = 60: GCD(82, 60) = GCD(22, 60) = GCD(22, 38) = GCD(22, 16) = GCD(6, 16) = GCD(6, 10) = gcd (6, 4) = gcd (2, 4) = gcd (2, 2) = gcd (2, 0) = 2:

Ալգորիթմի նախավերջին քայլում, մինչև 0-ի հայտնվելը, երկու թվերն էլ հավասար են, հակառակ դեպքում 0-ը չէր կարող առաջանալ, հետևաբար, մենք կհանենք GCD-ն հենց այս պահին։

Էվկլիդես «հանումով» ալգորիթմի բլոկ-սխեմա

Ծրագիր

var a, b: ամբողջ թիվ; սկսել գրել ("a ="); readln(a); գրել ("b ="); readln(b); մինչդեռ ա<>b անել, եթե a > b, ապա a:= a - b ուրիշ b:= b - a; writeln ("NOD = ", a); վերջ.

Էվկլիդեսի ալգորիթմը «բաժանմամբ»

Թող a-ն և b-ն ամբողջ թվեր լինեն, իսկ r-ը՝ a-ի բ-ի բաժանման մնացորդը: Այնուհետև gcd(a, b) = gcd(b, r):

Այս բանաձևը թույլ է տալիս նաև նվազեցնել թվերի մեկ զույգի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հաշվարկը մեկ այլ զույգ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հաշվարկին։

Օրինակ. gcd(82, 60) = gcd(22, 60) = gcd(22, 16) = gcd(6, 16) = gcd(6, 4) = gcd(2, 4) = gcd(0, 2) = 2 .

Var a, b: ամբողջ թիվ; սկսել գրել ("a ="); readln(a); գրել ("b ="); readln(b); մինչդեռ (ա<>0) և (բ<>0) անել, եթե a >= b, ապա a:= a mod b else b:= b mod a; գրել (a + b) վերջ.

Այսքանն է այսօրվա համար: Հաջորդ դասերին դուք կսովորեք Էվկլիդես ալգորիթմի ևս մի քանի փոփոխություններ և GCD գտնելու ուղիներ: