Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար (GCD): Սահմանում, օրինակներ և հատկություններ: Գտեք GCD-ն՝ օգտագործելով Էվկլիդյան ալգորիթմը և օգտագործելով պարզ ֆակտորիզացիա

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար

Սահմանում 2

Եթե ​​բնական a թիվը բաժանվում է $b$ բնական թվի վրա, ապա $b$-ը կոչվում է $a$-ի բաժանարար, իսկ $a$ թիվը՝ $b$-ի բազմապատիկ։

Թող $a$ և $b$ լինեն բնական թվեր։ $c$ թիվը կոչվում է ընդհանուր բաժանարար և $a$-ի և $b$-ի համար:

$a$ և $b$ թվերի ընդհանուր բաժանարարների բազմությունը վերջավոր է, քանի որ այս բաժանարարներից և ոչ մեկը չի կարող $a$-ից մեծ լինել։ Սա նշանակում է, որ այս բաժանարարների մեջ կա ամենամեծը, որը կոչվում է $a$ և $b$ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար, և այն նշելու համար օգտագործվում է նշում.

$gcd \ (a;b) \ ​​​​կամ \ D \ (a;b) $

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար.

1. Գտեք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

Օրինակ 1

Գտե՛ք $121$ և $132.$ թվերի gcd-ն

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Ընտրեք այն թվերը, որոնք ներառված են այս թվերի ընդլայնման մեջ

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Գտեք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

$gcd=2\cdot 11=22$

Օրինակ 2

Գտե՛ք $63$ և $81$ միանվագների GCD:

Մենք կգտնենք ըստ ներկայացված ալգորիթմի. Սրա համար:

Եկեք թվերը տարրալուծենք պարզ գործոնների

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Մենք ընտրում ենք այն թվերը, որոնք ներառված են այս թվերի ընդլայնման մեջ

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Գտնենք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

$gcd=3\cdot 3=9$

Դուք կարող եք գտնել երկու թվերի GCD-ն այլ կերպ՝ օգտագործելով թվերի բաժանարարների բազմությունը:

Օրինակ 3

Գտեք $48$ և $60$ թվերի gcd-ն։

Որոշում:

Գտեք $48$-ի բաժանարարների բազմությունը՝ $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Հիմա եկեք գտնենք $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\աջ\)$ բաժանարարների բազմությունը

Գտնենք այս բազմությունների խաչմերուկը՝ $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - այս բազմությունը կորոշի $48$ և $60 թվերի ընդհանուր բաժանարարների բազմությունը։ $. Այս հավաքածուի ամենամեծ տարրը կլինի $12$ թիվը: Այսպիսով, $48$-ի և $60$-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը $12$ է:

ԱՕԿ-ի սահմանումը

Սահմանում 3

բնական թվերի ընդհանուր բազմապատիկ$a$-ը և $b$-ը բնական թիվ են, որը և $a$-ի և $b$-ի բազմապատիկն է:

Թվերի ընդհանուր բազմապատիկները այն թվերն են, որոնք առանց մնացորդի բաժանվում են բնագրի վրա։ Օրինակ՝ $25$ և $50$ թվերի համար ընդհանուր բազմապատիկները կլինեն $50,100,150,200$ և այլն։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կկոչվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը և կնշանակվի LCM$(a;b)$ կամ K$(a;b).$-ով:

Երկու թվերի LCM-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Թվերը տարրալուծեք պարզ գործակիցների
2. Դուրս գրի՛ր առաջին թվի մաս կազմող գործոնները և դրանց ավելացրո՛ւ այն գործոնները, որոնք երկրորդի մաս են կազմում և չեն գնում առաջինին.

Օրինակ 4

Գտեք $99$ և $77$ թվերի LCM:

Մենք կգտնենք ըստ ներկայացված ալգորիթմի. Սրա համար

Թվերը տարրալուծեք պարզ գործակիցների

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Գրեք առաջինում ներառված գործոնները

դրանց ավելացրեք գործոններ, որոնք երկրորդի մաս են կազմում և չեն գնում առաջինին

Գտեք 2-րդ քայլում հայտնաբերված թվերի արտադրյալը: Ստացված թիվը կլինի ցանկալի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Թվերի բաժանարարների ցուցակներ կազմելը հաճախ շատ ժամանակատար է։ Գոյություն ունի GCD-ն գտնելու միջոց, որը կոչվում է Էվկլիդեսի ալգորիթմ:

Հայտարարություններ, որոնց վրա հիմնված է Էվկլիդեսի ալգորիթմը.

Եթե ​​$a$ և $b$-ը բնական թվեր են, և $a\vdots b$, ապա $D(a;b)=b$

Եթե ​​$a$ և $b$-ն այնպիսի բնական թվեր են, որ $b

Օգտագործելով $D(a;b)= D(a-b;b)$-ը, մենք կարող ենք հաջորդաբար նվազեցնել դիտարկվող թվերը, մինչև հասնենք այնպիսի թվերի, որ դրանցից մեկը բաժանվի մյուսի վրա: Այնուհետև այս թվերից փոքրը կլինի ցանկալի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը $a$ և $b$ թվերի համար:

GCD-ի և LCM-ի հատկությունները

1. $a$-ի և $b$-ի ցանկացած ընդհանուր բազմապատիկ բաժանվում է K$(a;b)$-ի
2. Եթե ​​$a\vdots b$, ապա K$(a;b)=a$

Եթե ​​K$(a;b)=k$ և $m$-բնական թիվ, ապա K$(am;bm)=km$

Եթե ​​$d$-ը $a$-ի և $b$-ի ընդհանուր բաժանարար է, ապա K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d): ) $

Եթե ​​$a\vdots c$ և $b\vdots c$, ապա $\frac(ab)(c)$-ը $a$-ի և $b$-ի ընդհանուր բազմապատիկն է:

Ցանկացած բնական թվերի համար $a$ և $b$ հավասարությունը

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$-ի և $b$-ի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար $D(a;b)$-ի բաժանարարն է

Բայց շատ բնական թվեր հավասարապես բաժանվում են այլ բնական թվերի։

օրինակ:

12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;

36 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի։

Այն թվերը, որոնցով թիվը բաժանվում է (12-ի համար դա 1, 2, 3, 4, 6 և 12 է) կոչվում են. թվերի բաժանարարներ. Բնական թվի բաժանարար ատրված թիվը բաժանող բնական թիվն է աառանց հետքի. Այն բնական թիվը, որն ունի ավելի քան երկու գործակից, կոչվում է կոմպոզիտային. Նշենք, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր բաժանարարներ։ Սրանք թվերն են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։

Երկու տրված թվերի ընդհանուր բաժանարար աև բայն թիվն է, որով տրված երկու թվերն էլ բաժանվում են առանց մնացորդի աև բ. Բազմաթիվ թվերի ընդհանուր բաժանարար (GCD)այն թիվն է, որը նրանցից յուրաքանչյուրի համար ծառայում է որպես բաժանարար։

Համառոտ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը աև բգրված են այսպես.

Օրինակ gcd (12; 36) = 12:

Լուծման նշման մեջ թվերի բաժանարարները նշանակում են մեծատառ«Դ».

Օրինակ:

gcd (7; 9) = 1

7 և 9 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1։ Նման թվերը կոչվում են coprimeչի սլամ.

Համապարփակ թվերբնական թվեր են, որոնք ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1։ Նրանց gcd-ն 1 է։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար (GCD), հատկություններ:

• Հիմնական հատկությունը՝ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը մև nբաժանվում է այս թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարարի վրա: Օրինակ 12 և 18 թվերի համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 6-ն է. այն բաժանվում է այս թվերի բոլոր ընդհանուր բաժանարարների վրա՝ 1, 2, 3, 6։
• Հետևություն 1. ընդհանուր բաժանարարների հավաքածու մև nհամընկնում է gcd բաժանարարների բազմության հետ ( մ, n).
• Եզրակացություն 2. ընդհանուր բազմապատիկների բազմություն մև nհամընկնում է բազմաթիվ LCM-ների բազմության հետ ( մ, n).

Սա, մասնավորապես, նշանակում է, որ կոտորակն անկրճատելի ձևի վերածելու համար անհրաժեշտ է նրա համարիչը և հայտարարը բաժանել իրենց gcd-ի վրա։

• Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը մև nկարելի է սահմանել որպես դրանց բոլոր գծային համակցությունների բազմության ամենափոքր դրական տարրը.

և հետևաբար ներկայացնում են որպես թվերի գծային համակցություն մև n:

Այս հարաբերակցությունը կոչվում է Բեզութի հարաբերակցությունը, և գործակիցները uև v — bezout գործակիցները. Bézout-ի գործակիցները արդյունավետորեն հաշվարկվում են ընդլայնված Էվկլիդյան ալգորիթմով: Այս պնդումը ընդհանրացված է բնական թվերի բազմություններին. դրա իմաստն այն է, որ բազմության կողմից ստեղծված խմբի ենթախումբը ցիկլային է և ստեղծվում է մեկ տարրով՝ gcd ( ա 1 , ա 2 , … , a n).

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի (gcd) հաշվարկը:

Երկու թվերի gcd-ն հաշվարկելու արդյունավետ եղանակներն են Էվկլիդեսի ալգորիթմըև երկուականալգորիթմ. Բացի այդ, GCD արժեքը ( մ,n) կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել, եթե հայտնի է թվերի կանոնական ընդլայնումը մև nհիմնական գործոնների համար.

որտեղ կան հստակ պարզ և և ոչ բացասական ամբողջ թվեր (դրանք կարող են զրո լինել, եթե համապատասխան պարզը տարրալուծման մեջ չէ): Հետո gcd ( մ,n) և LCM ( մ,n) արտահայտվում են բանաձևերով.

Եթե ​​կան ավելի քան երկու թվեր՝ , ապա դրանց GCD-ն հայտնաբերվում է հետևյալ ալգորիթմի համաձայն.

- սա ցանկալի GCD է:

Նաև գտնելու համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, տրված թվերից յուրաքանչյուրը կարող եք տարրալուծել պարզ գործակիցների։ Այնուհետև առանձին գրեք միայն այն գործոնները, որոնք ներառված են բոլոր թվերի մեջ: Այնուհետև մենք բազմապատկում ենք միմյանց միջև գրված թվերը. բազմապատկման արդյունքը ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է .

Եկեք քայլ առ քայլ վերլուծենք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հաշվարկը.

1. Թվերի բաժանարարները տարանջատի՛ր պարզ գործակիցների.

Հաշվարկները հարմար կերպով գրվում են՝ օգտագործելով ուղղահայաց սանդղակը: Գծի ձախ կողմում նախ գրեք դիվիդենտը, աջում՝ բաժանարարը: Այնուհետև ձախ սյունակում մենք գրում ենք մասնավորի արժեքները: Եկեք անմիջապես բացատրենք օրինակով. Եկեք գործոնացնենք 28 և 64 թվերը պարզ գործակիցների:

2. Երկու թվերում էլ ընդգծում ենք նույն պարզ գործոնները.

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Գտնում ենք միանման պարզ գործակիցների արտադրյալը և պատասխանը գրում.

GCD (28; 64) = 2: 2 = 4

Պատասխան՝ GCD (28; 64) = 4

Դուք կարող եք կազմակերպել GCD-ի գտնվելու վայրը երկու եղանակով՝ սյունակում (ինչպես արվեց վերևում) կամ «տողով»:

GCD գրելու առաջին եղանակը.

Գտեք GCD 48 և 36:

GCD (48; 36) = 2: 2. 3 = 12

GCD գրելու երկրորդ եղանակը.

Այժմ գրենք GCD որոնման լուծումը տողով։ Գտեք GCD 10 և 15:

D(10) = (1, 2, 5, 10)

D(15) = (1, 3, 5, 15)

D(10, 15) = (1, 5)

Այս հոդվածը վերաբերում է գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (gcd)երկու և ավելինթվեր։ Նախ, հաշվի առեք Էվկլիդյան ալգորիթմը, այն թույլ է տալիս գտնել երկու թվերի GCD: Դրանից հետո մենք կանդրադառնանք մի մեթոդի, որը թույլ է տալիս մեզ հաշվարկել թվերի GCD-ն որպես դրանց ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալ: Այնուհետև մենք կզբաղվենք երեք և ավելի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հայտնաբերմամբ, ինչպես նաև կբերենք բացասական թվերի GCD-ի հաշվարկման օրինակներ:

Էջի նավարկություն.

Էվկլիդեսի ալգորիթմը GCD գտնելու համար

Նկատենք, որ եթե հենց սկզբից դիմեինք պարզ թվերի աղյուսակին, ապա կպարզեինք, որ 661 և 113 թվերը պարզ են, որոնցից անմիջապես կարող ենք ասել, որ դրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 1-ն է։

Պատասխան.

gcd(661, 113)=1:

Գտեք GCD-ն՝ թվերը հիմնական գործոնների վերածելով

Մտածեք GCD-ն գտնելու մեկ այլ եղանակ: Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կարելի է գտնել՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով: Ձևակերպենք կանոնը. a և b երկու դրական ամբողջ թվերի gcd-ն հավասար է բոլոր ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալին a և b-ի գործակցման մեջ պարզ գործոնների:.

Բերենք օրինակ՝ բացատրելու GCD-ն գտնելու կանոնը: Իմացե՛ք 220 և 600 թվերի ընդարձակումները պարզ գործակիցների, դրանք ունեն 220=2 2 5 11 և 600=2 2 2 3 5 5 ձև: 220 և 600 թվերի ընդլայնման մեջ ներգրավված պարզ պարզ գործոններն են 2, 2 և 5: Հետևաբար gcd(220, 600)=2 2 5=20:

Այսպիսով, եթե a և b թվերը տարրալուծենք պարզ գործակիցների և գտնենք նրանց բոլոր ընդհանուր գործակիցների արտադրյալը, ապա դա կգտնի a և b թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

Դիտարկենք GCD-ն ըստ հայտարարված կանոնի գտնելու օրինակ:

Օրինակ.

Գտե՛ք 72-ի և 96-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

Որոշում.

Եկեք գործոնացնենք 72 և 96 թվերը.

Այսինքն՝ 72=2 2 2 3 3 և 96=2 2 2 2 2 3: Ընդհանուր պարզ գործոններն են 2-ը, 2-ը, 2-ը և 3-ը: Այսպիսով, gcd(72, 96)=2 2 2 3=24:

Պատասխան.

gcd(72, 96)=24:

Եզրափակելով այս հատվածը՝ մենք նշում ենք, որ gcd-ն գտնելու վերը նշված կանոնի վավերականությունը բխում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հատկությունից, որը նշում է. GCD(m a 1, m b 1)=m GCD(a 1, b 1), որտեղ m-ը ցանկացած դրական ամբողջ թիվ է:

Գտնելով երեք և ավելի թվերի GCD

Երեք և ավելի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելը կարող է կրճատվել երկու թվերի gcd-ի հաջորդական գտնելով: Մենք դա նշել ենք GCD-ի հատկությունները ուսումնասիրելիս։ Այնտեղ մենք ձևակերպեցինք և ապացուցեցինք թեորեմը՝ a 1, a 2,…, a k մի քանի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։ հավասար է թվին d k , որը գտնվում է հաջորդական հաշվարկում 1 , a k)=d k .

Տեսնենք, թե ինչպես է մի քանի թվերի GCD-ն գտնելու գործընթացը՝ դիտարկելով օրինակի լուծումը։

Օրինակ.

Գտե՛ք 78, 294, 570 և 36 չորս թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

Որոշում.

Այս օրինակում a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36:

Նախ, օգտագործելով Էվկլիդես ալգորիթմը, մենք որոշում ենք 78 և 294 առաջին երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը d 2: Բաժանելիս ստանում ենք 294=78 3+60 հավասարությունները ; 78=60 1+18 ; 60=18 3+6 և 18=6 3. Այսպիսով, d 2 =GCD(78, 294)=6:

Հիմա եկեք հաշվարկենք d 3 \u003d GCD (d 2, a 3) \u003d GCD (6, 570). Կրկին կիրառում ենք Էվկլիդեսի ալգորիթմը՝ 570=6·95, հետևաբար, d 3 =GCD(6, 570)=6:

Մնում է հաշվարկել d 4 \u003d GCD (d 3, a 4) \u003d GCD (6, 36). Քանի որ 36-ը բաժանվում է 6-ի, ապա d 4 \u003d GCD (6, 36) \u003d 6:

Այսպիսով, տրված չորս թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը d 4 =6 է, այսինքն՝ gcd(78, 294, 570, 36)=6:

Պատասխան.

gcd(78, 294, 570, 36)=6:

Թվերի տարրալուծումը պարզ գործոնների նաև թույլ է տալիս հաշվարկել երեք և ավելի թվերի GCD-ն: Այս դեպքում ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հայտնաբերվում է որպես տվյալ թվերի բոլոր ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալ։

Օրինակ.

Հաշվեք նախորդ օրինակի թվերի GCD-ն՝ օգտագործելով դրանց պարզ գործակցումները:

Որոշում.

78, 294, 570 և 36 թվերը տարրալուծում ենք պարզ գործակիցների, ստանում ենք 78=2 3 13, 294=2 3 7 7, 570=2 3 5 19, 36=2 2 3. 3: Բոլոր տրված չորս թվերի ընդհանուր պարզ գործակիցները 2 և 3 թվերն են: Հետևաբար, GCD(78, 294, 570, 36)=2 3=6.

Եկեք խնդիրը լուծենք։ Մենք ունենք երկու տեսակի թխուկներ։ Ոմանք շոկոլադե են, իսկ որոշները՝ պարզ: Առկա է 48 շոկոլադի կտոր, իսկ պարզը՝ 36։Այս թխվածքաբլիթներից անհրաժեշտ է հնարավորինս նվերներ պատրաստել և բոլորն օգտագործել։

Նախ, եկեք գրենք այս երկու թվերից յուրաքանչյուրի բոլոր բաժանարարները, քանի որ այս երկու թվերն էլ պետք է բաժանվեն նվերների թվի վրա։

Մենք ստանում ենք

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Բաժանարարների մեջ գտնենք այն ընդհանուրները, որոնք ունեն և՛ առաջին, և՛ երկրորդ թիվը։

Ընդհանուր բաժանարարները կլինեն՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 12-ն է։ Այս թիվը կոչվում է 36-ի և 48-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

Ելնելով արդյունքից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ բոլոր թխվածքաբլիթներից կարելի է պատրաստել 12 նվեր։ Նման նվերներից մեկը կպարունակի 4 շոկոլադե թխվածքաբլիթ և 3 սովորական թխվածքաբլիթ։

Գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

• Ամենամեծ բնական թիվը, որով երկու a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, կոչվում է այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար։

Երբեմն մուտքը կրճատելու համար օգտագործվում է GCD հապավումը:

Թվերի որոշ զույգերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը մեկն է: Նման թվերը կոչվում են համապարփակ թվեր.Օրինակ՝ 24 և 35 համարները: Ունեն GCD =1:

Ինչպես գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ դուրս գրել այս թվերի բոլոր բաժանարարները։

Դուք կարող եք այլ կերպ վարվել: Նախ, երկու թվերը դասավորեք պարզ գործակիցների մեջ:

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Այժմ, այն գործոններից, որոնք ներառված են առաջին թվի ընդլայնման մեջ, մենք ջնջում ենք բոլոր նրանք, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ։ Մեր դեպքում դրանք երկու դյութ են:

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Կմնան 2, 2 և 3 գործակիցները, որոնց արտադրյալը 12 է։ Այս թիվը կլինի 48 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

Այս կանոնը կարող է տարածվել երեքի, չորսի և այլնի դեպքում։ թվեր։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ընդհանուր սխեման

• 1. Թվերը տարրալուծիր պարզ գործակիցների:
• 2. Այս թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոններից ջնջիր նրանք, որոնք ներառված չեն այլ թվերի ընդլայնման մեջ:
• 3. Հաշվի՛ր մնացած գործոնների արտադրյալը: