Պիտակը` եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարք: Բարձրացված բարդության թվային շարք հակադարձ եռանկյունաչափական շարքով
Եռանկյունաչափական շարքի սահմանում. Անսահմանափակ D բազմության վրա սահմանված /(x) ֆունկցիան կոչվում է պարբերական, եթե գոյություն ունի T ↦ 0 այնպիսի թիվ, որ պայմանը բավարարված է յուրաքանչյուր x-ի համար:€ D: Այս թվերից ամենափոքրը T կոչվում է f(x) ֆունկցիայի ժամանակաշրջան։ Օրինակ 1. Ինտերվալի վրա սահմանված ֆունկցիան պարբերական է, քանի որ կա T = 2* f O այնպիսի թիվ, որ պայմանը բավարարված է բոլոր x-ի համար: Այսպիսով, sin x ֆունկցիան ունի T = 2x ժամանակաշրջան: Նույնը վերաբերում է օրինակ 2 ֆունկցիային: Թվերի D բազմության վրա սահմանված ֆունկցիան պարբերական է, քանի որ կա T f 0 թիվ, այն է՝ T = այնպիսին, որ x 6 D-ի համար ունենք Սահմանում: ՖՈՒՐԻԵ ՍԵՐԻԱ ձևի ֆունկցիոնալ շարքեր Եռանկյունաչափական շարք Եռանկյունաչափական համակարգի ուղղանկյունություն Եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարք Ֆունկցիայի ընդլայնման համար բավարար պայմանները կոչվում են եռանկյունաչափական շարք, իսկ a0, an, bn հաստատունները (n = 1, 2): , ...) կոչվում են եռանկյունաչափական շարքի գործակիցներ (1): Եռանկյունաչափական շարքի Sn(x) մասնակի գումարները (1) եռանկյունաչափական համակարգ կոչվող ֆունկցիաների համակարգի ֆունկցիաների գծային համակցություններ են։ Քանի որ այս շարքի անդամները 2n- պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիաներ են, ապա (I) շարքի կոնվերգենցիայի դեպքում նրա S(x) գումարը կլինի T = 2m պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա: Սահմանում: F(x) պարբերական ֆունկցիան T = 2n պարբերությամբ ընդլայնել եռանկյունաչափական շարքի (1) նշանակում է գտնել կոնվերգենտ եռանկյունաչափական շարք, որի գումարը հավասար է /(x) ֆունկցիային: . Եռանկյունաչափական համակարգի ուղղանկյունություն Սահմանում. f(x) և g(x) ֆունկցիաները, որոնք շարունակվում են [a, 6] հատվածի վրա, կոչվում են ուղղանկյուն այս հատվածի վրա, եթե պայմանը բավարարված է։ Օրինակ՝ ֆունկցիաները ուղղանկյուն են [-1,1] հատվածի վրա։ քանի որ Սահմանում. [a, b] ինտերվալի վրա ինտեգրվող ֆունկցիաների վերջավոր կամ անսահման համակարգը կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ [a, 6) միջակայքում, եթե այնպիսի թվերի համար, ինչպիսիք են, ընդհանուր առմամբ, p Ф О Օգտագործելով եռանկյունաչափության հայտնի բանաձևերը. Ցանկացած բնական m և n, m Ф n-ի համար մենք գտնում ենք. Վերջապես, ցանկացած ամբողջ տիպի բանաձևի հիման վրա մենք ստանում ենք Եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքը: 2. Թող հավասարությունը պահպանվի x-ի և շարքի բոլոր արժեքների համար: աջ կողմում հավասարությունը հավասարաչափ զուգակցվում է [-zr, x] միջակայքի վրա: Այնուհետև բանաձևերը վավեր են (1) շարքի միատեսակ կոնվերգենցիան ենթադրում է շարունակականություն, հետևաբար՝ f(x) ֆունկցիայի ինտեգրելիություն։ Հետևաբար, հավասարությունները (2) իմաստ ունեն: Ավելին, շարքը (1) կարող է ինտեգրվել տերմին առ տերմին: Մենք ունենք որտեղից և հետևում ենք (2) բանաձևերի առաջինին n = 0-ի համար: Այժմ մենք (1) հավասարության երկու մասերը բազմապատկում ենք cos mi ֆունկցիայով, որտեղ m-ը կամայական բնական թիվ է՝ Սերիա (3), ինչպես շարք (1): ), համընկնում է միատեսակ: Հետևաբար, այն կարող է ինտեգրվել տերմին առ անդամ:Աջ կողմի բոլոր ինտեգրալները, բացառությամբ մեկի, որը ստացվում է n=m-ով, հավասար են զրոյի՝ պայմանավորված եռանկյունաչափական համակարգի ուղղանկյունությամբ: Հետևաբար, որտեղից: Նմանապես, (1) հավասարության երկու կողմերը բազմապատկելով sinmx-ով և ինտեգրվելով -r-ից m, մենք ստանում ենք. Արդյո՞ք այն կարող է ներկայացվել որպես որոշ կոնվերգենտ եռանկյունաչափական շարքերի գումար, նախապես հայտնի չէ: Այնուամենայնիվ, բանաձևերը (2) կարող են օգտագործվել an և bn հաստատունները հաշվարկելու համար: Սահմանում. Եռանկյունաչափական շարքեր, որոնց oq, an, bn գործակիցները որոշվում են f(x) բանաձևերով ՖՈՒՐԻԵ ՍԵՐԻԱ Եռանկյունաչափական շարք Եռանկյունաչափական համակարգի ուղղանկյունությունը Եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքը Ֆուրյեի շարքի մեջ ֆունկցիայի ընդլայնման համար բավարար պայմանները կոչվում են եռանկյունաչափական Ֆուրիե: f(x) ֆունկցիայի շարքը, և այս բանաձևերով որոշված a„ , bnt գործակիցները կոչվում են /(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի գործակիցներ։ Յուրաքանչյուր f(x) ֆունկցիա, որը ինտեգրելի է [-m, -k] միջակայքում կարող է կապված լինել իր Ֆուրիեի շարքի հետ, այսինքն. եռանկյունաչափական շարքեր, որոնց գործակիցները որոշվում են (2) բանաձևերով։ Այնուամենայնիվ, եթե f(x) ֆունկցիայից բացի [--n*, r] միջակայքում ինտեգրելիությունից ոչինչ չի պահանջվում, ապա վերջին հարաբերության համապատասխանության նշանը, ընդհանուր առմամբ, չի կարող փոխարինվել հավասար նշանով: Մեկնաբանություն. Հաճախ պահանջվում է ընդլայնել f(x) ֆունկցիան եռանկյունաչափական շարքի, որը սահմանվում է միայն հատվածում (-*, n\ և, հետևաբար, պարբերական չէ: Ֆունկցիաները կարող են գրվել նաև եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքեր: Այնուամենայնիվ, եթե մենք պարբերաբար շարունակում ենք f (x) ֆունկցիան ամբողջ Ox առանցքի վրա, այնուհետև ստանում ենք F ֆունկցիան (x), պարբերական 2n պարբերությամբ, որը համընկնում է / (x)-ի հետ (-ir, k) միջակայքում. F(x) կոչվում է f(x) ֆունկցիայի պարբերական ընդլայնում: Ավելին, F(x) ֆունկցիան չունի եզակի սահմանում x = ±n, ±3r, ±5r, ... կետերում: շարք F(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը նույնական է f(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքին: Բացի այդ, եթե f(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը համընկնում է դրան, ապա դրա գումարը, լինելով պարբերական ֆունկցիա: , տալիս է f(x) ֆունկցիայի պարբերական շարունակությունը |-jt, n\ հատվածից մինչև Ox ամբողջ առանցքը։ Այս իմաստով, (-i-, jt|) հատվածում սահմանված f(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքի մասին խոսելը համարժեք է F(x ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքի մասին խոսելուն), որը պարբերական շարունակությունն է։ f(x) ֆունկցիան ամբողջին 4. Բավարար պայմաններ ֆունկցիայի ընդլայնման համար Ֆուրիեի շարքի Մենք ներկայացնում ենք բավարար չափանիշ Ֆուրիեի շարքի կոնվերգենցիայի համար, այսինքն. Ֆուրիեի շարքը համընկնում է, և մենք պարզելու ենք, թե ինչպես Այս շարքի գումարը գործում է այս դեպքում: Կարևոր է ընդգծել, որ թեև ստորև տրված հատվածական միատոն ֆունկցիաների դասը բավականին լայն է, այն ֆունկցիաները, որոնց համար Ֆուրիեի շարքը համընկնում է, դրանով չեն սպառվում: Սահմանում: F( x) ֆունկցիան կոչվում է հատվածական միատոն [a, 6] հատվածի վրա, եթե այս հատվածը կարելի է բաժանել վերջավոր թվով կետերով ընդմիջումների, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա f(x)-ը միատոն է, այսինքն՝ կամ չի նվազում կամ չի մեծանում (տես Նկ. ... մեկ): Օրինակ 1. Ֆունկցիան հատվածաբար միատոն է (-oo, oo), քանի որ այս ինտերվալը կարելի է բաժանել երկու ինտերվալների (-syu, 0) և (0, + oo), որոնցից առաջինում այն նվազում է (և հետևաբար, չի ավելանում), բայց երկրորդում ավելանում է (և հետևաբար չի նվազում): Օրինակ 2. [-zg, jt| հատվածի վրա ֆունկցիան մաս-մաս միապաղաղ է, քանի որ այս հատվածը կարելի է բաժանել երկու միջակայքի, որոնցից առաջինում cos i-ը -I-ից բարձրանում է +1, իսկ երկրորդում՝ նվազում է: Թեորեմ 3. F(x) ֆունկցիան, որը մաս-մաս միատոն է և սահմանափակված է (a, b] հատվածով, կարող է իր վրա ունենալ միայն առաջին տեսակի ընդհատման կետեր: Օրինակ, լինի f(x ֆունկցիայի դադարման կետը: Այնուհետև, f(x) սահմանափակության ֆունկցիայի և միապաղաղության պատճառով c կետի երկու կողմերում կան վերջավոր միակողմանի սահմաններ, ինչը նշանակում է, որ c կետը առաջին տեսակի անդադար կետ է (նկ. 2): սահմանափակված է [-m, m միջակայքով), այնուհետև նրա Ֆուրիեի շարքը համընկնում է այս հատվածի յուրաքանչյուր x կետում, և այս շարքի գումարի համար հավասարությունները կատարվում են. 2jt պարբերաշրջանի /(z) ֆունկցիան, որը սահմանվում է (-*,*) միջակայքում հավասարությամբ (նկ. 3), բավարարում է թեորեմի պայմանները։ Հետևաբար, այն կարող է ընդլայնվել Ֆուրիեի շարքում: Մենք գտնում ենք դրա համար Ֆուրիեի գործակիցները. Այս ֆունկցիայի Ֆուրյեի շարքը ունի օրինակ 4-ի ձևը: Գործառույթը ընդարձակել Ֆուրիեի շարքի (նկ. 4) միջակայքում Այս ֆունկցիան բավարարում է թեորեմի պայմանները: Գտնենք Ֆուրիեի գործակիցները։ Օգտագործելով որոշակի ինտեգրալի ավելացման հատկությունը՝ մենք կունենանք ՖՈՒՐԻԵ ՍԵՐԻԱ Եռանկյունաչափական շարք Եռանկյունաչափական համակարգի ուղղանկյունություն Եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարք Բավարար պայմաններ ֆունկցիայի ընդլայնման համար Ֆուրիեի շարք Հետևաբար Ֆուրիեի շարքն ունի հետևյալ ձևը. հատվածը (-i, ir], այսինքն. այսինքն, x = -x և x = x կետերում, որոնք առաջին տեսակի անդադար կետեր են, կունենանք դիտողություն. Եթե գտնված Ֆուրիեի շարքում դնենք x = 0, ապա կստանանք որտեղից
Եկեք ցույց տանք, որ գրեթե ցանկացած պարբերական ֆունկցիա կարող է ներկայացվել որպես շարք, որի անդամները պարզ ներդաշնակություն են՝ օգտագործելով այսպես կոչված եռանկյունաչափական շարքը։
Սահմանում. Եռանկյունաչափական շարքը ձևի ֆունկցիոնալ շարք է
որտեղ են իրական թվերը ա 0 , a n , b nկոչվում են շարքի գործակիցներ։
Շարքի ազատ տերմինը գրվում է հետագայում ստացված բանաձևերի միատեսակության ձևով։
Երկու հարց է պետք լուծել.
1) Ինչ պայմաններում է գործում f(x) 2π պարբերությամբ կարելի՞ է ընդլայնվել մի շարքով (5.2.1):
2) Ինչպես հաշվարկել հավանականությունը ա 0 ,… a n , b n ?
Սկսենք երկրորդ հարցից. Թող գործառույթը f(x)շարունակական է միջակայքում և ունի կետ T=2π. Ներկայացնում ենք այն բանաձևերը, որոնք մեզ անհրաժեշտ կլինեն ստորև.
Ցանկացած ամբողջ թվի համար, քանի որ ֆունկցիան զույգ է:
Ցանկացած ամբողջության համար:
(մև nամբողջ թվեր)
ժամը ( մև nամբողջ թվեր) ինտեգրալներից յուրաքանչյուրը (III, IV, V) վերածվում է (I) կամ (II) ինտեգրալների գումարի։ Եթե , ապա (IV) բանաձևով մենք ստանում ենք.
Նմանապես ապացուցված է հավասարությունը (V):
Այժմ ենթադրենք, որ ֆունկցիան այնպիսին է ստացվել, որ դրա համար գտնվել է ընդլայնում դեպի կոնվերգենտ Ֆուրիեի շարք, այսինքն՝
(Նկատի ունեցեք, որ գումարումը ինդեքսից ավելի է n).
Եթե շարքը համընկնում է, ապա նշեք դրա գումարը S(x).
Ժամկետային ինտեգրումը (օրինական՝ շարքի կոնվերգենցիայի ենթադրության պատճառով) միջակայքում՝ տալիս է.
քանի որ բոլոր անդամները, բացի առաջինից, հավասար են զրոյի (I, II հարաբերություններ): Այստեղից մենք գտնում ենք
(5.2.2) բազմապատկելով ( մ=1,2,…) և տերմին առ տերմին ինտեգրելով մինչև տիրույթում, մենք գտնում ենք գործակիցը a n.
Հավասարության աջ կողմում բոլոր անդամները հավասար են զրոյի, բացառությամբ մեկի m=n(հարաբերություններ IV, V), հետևաբար մենք ստանում ենք
(5.2.2) բազմապատկելով ( մ\u003d 1,2, ...) և տերմին առ տերմին ինտեգրելով մինչև տիրույթում, մենք նմանապես գտնում ենք գործակիցը b n
Արժեքները, որոնք որոշվում են բանաձևերով (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) կոչվում են Ֆուրիեի գործակիցներ, իսկ եռանկյունաչափական շարքը (5.2.2) Ֆուրիեի շարք է տվյալ ֆունկցիայի համար։ f(x).
Այսպիսով, ստացանք ֆունկցիայի տարրալուծումը f(x)Ֆուրիեի շարքում
Վերադառնանք առաջին հարցին և պարզենք, թե ինչ հատկություններ պետք է ունենա ֆունկցիան f(x), այնպես որ կառուցված Ֆուրիեի շարքը կոնվերգենտ է, և շարքի գումարը ճիշտ կլինի հավասար. f(x).
Սահմանում. f(x) ֆունկցիան կոչվում է հատվածաբար շարունակական, եթե այն շարունակական է կամ ունի առաջին տեսակի վերջավոր թվով կետեր։
Սահմանում. f(x) ֆունկցիա, տրված հատվածի վրա կոչվում է մաս-մաս միապաղաղ, եթե հատվածը կարելի է կետերով բաժանել վերջավոր թվով ինտերվալների, որոնցից յուրաքանչյուրում ֆունկցիան փոխվում է միապաղաղ (մեծացող կամ պակասող)։
Մենք կդիտարկենք գործառույթները f(x), ունենալով ժամանակաշրջան T=2π. Նման գործառույթները կոչվում են 2պ- պարբերական.
Եկեք ձևակերպենք մի թեորեմ, որը ներկայացնում է ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքի ընդլայնման բավարար պայման:
Դիրիխլեի թեորեմ(ընդունել առանց ապացույցի) . Եթե 2պ- պարբերական ֆունկցիա f(x)Հատվածի վրա մաս-մաս շարունակական է և մաս-մաս միատոն, այնուհետև ֆունկցիային համապատասխանող Ֆուրիեի շարքը համընկնում է այս հատվածի վրա և այս դեպքում.
1. Ֆունկցիայի շարունակականության կետերում շարքի գումարը համընկնում է բուն ֆունկցիայի հետ. S(x)=f(x);
2. Ամեն կետում x 0ֆունկցիայի ընդմիջում f(x)շարքի գումարը,
դրանք. կետի ձախ և աջ ֆունկցիայի սահմանների թվաբանական միջինը x 0 ;
3. Կետերում (հատվածի ծայրերում) Ֆուրիեի շարքի գումարը հավասար է.
դրանք. ֆունկցիայի սահմանային արժեքների թվաբանական միջինը հատվածի ծայրերում, երբ արգումենտը ձգվում է դեպի այդ կետերը միջակայքի ներսից:
Նշում. եթե գործառույթը f(x) 2π պարբերությամբ շարունակական է և տարբերելի ամբողջ միջակայքում, և դրա արժեքները միջակայքի ծայրերում հավասար են, այսինքն՝ պարբերականության պատճառով այս ֆունկցիան շարունակական է ամբողջ իրական առանցքի վրա և ցանկացածի համար։ Xնրա Ֆուրիեի շարքի գումարը նույնն է, ինչ f(x).
Այսպիսով, եթե ֆունկցիան ինտեգրելի է ինտերվալի վրա f(x)բավարարում է Դիրիխլեի թեորեմի պայմանները, այնուհետև հավասարությունը տեղի է ունենում միջակայքում (ընդլայնում Ֆուրիեի շարքում).
Գործակիցները հաշվարկվում են (5.2.3) - (5.2.5) բանաձեւերով։
Դիրիխլեի պայմանները բավարարվում են մաթեմատիկայի և դրա կիրառական գործառույթների մեծ մասով:
Ֆուրյեի շարքերը, ինչպես և ուժային շարքերը, օգտագործվում են ֆունկցիայի արժեքների մոտավոր հաշվարկման համար։ Եթե ֆունկցիայի ընդլայնումը f(x)եռանկյունաչափական շարքի մեջ տեղի է ունենում, ապա միշտ կարող եք օգտագործել մոտավոր հավասարությունը՝ փոխարինելով այս ֆունկցիան մի քանի ներդաշնակությունների գումարով, այսինքն. մասնակի գումար (2 n+1) Ֆուրիեի շարքի ժամկետ.
Եռանկյունաչափական շարքերը լայնորեն կիրառվում են էլեկտրատեխնիկայում, որոնց օգնությամբ նրանք լուծում են մաթեմատիկական ֆիզիկայի բազմաթիվ խնդիրներ։
Ընդարձակե՛ք Ֆուրիեի շարքում 2π պարբերություն ունեցող ֆունկցիան, որը տրված է (-π; π) միջակայքում:
Որոշում. Գտե՛ք Ֆուրիեի շարքի գործակիցները.
Մենք ստացանք ֆունկցիայի ընդլայնումը Ֆուրիեի շարքում
Շարունակականության կետերում Ֆուրիեի շարքի գումարը հավասար է ֆունկցիայի արժեքին f(x)=S(x), կետում x=0 S(x)=1/2, կետերում x=π,2π,… S(x)=1/2.
Մի շարք դեպքերում, ուսումնասիրելով (C) ձևի շարքերի գործակիցները կամ կարելի է պարզել, որ այդ շարքերը համընկնում են (գուցե բացառությամբ առանձին կետերի) և իրենց գումարների համար Ֆուրիեի շարքեր են (տե՛ս, օրինակ, նախորդ n. ), բայց այս բոլոր դեպքերում բնականաբար հարց է առաջանում
ինչպես գտնել այս շարքերի գումարները կամ, ավելի ճիշտ, ինչպես դրանք վերջնական տեսքով արտահայտել տարրական ֆունկցիաներով, եթե դրանք ընդհանրապես արտահայտված են նման ձևով։ Նույնիսկ Էյլերը (և նաև Լագրանժը) հաջողությամբ օգտագործեց բարդ փոփոխականի վերլուծական ֆունկցիաները՝ վերջնական ձևով եռանկյունաչափական շարքերը ամփոփելու համար: Էյլերի մեթոդի գաղափարը հետևյալն է.
Ենթադրենք, որ գործակիցների որոշակի բազմության համար շարքը (C) և համընկնում են ֆունկցիաների հետ ամենուր միջակայքում՝ բացառելով միայն առանձին կետերը: Այժմ դիտարկենք նույն գործակիցներով հզորության շարքը, որը դասավորված է բարդ փոփոխականի հզորություններով
Միավոր շրջանագծի շրջագծի վրա, այսինքն. ժամը , այս շարքը զուգակցվում է ենթադրությամբ՝ բացառելով առանձին կետերը.
Այս դեպքում, ըստ հզորության շարքի հայտնի հատկության, (5) շարքը, անշուշտ, համընկնում է, այսինքն՝ միավորի շրջանակի ներսում՝ սահմանելով բարդ փոփոխականի որոշակի ֆունկցիա։ Օգտագործելով մեզ հայտնի [տես. XII գլխի § 5] կոմպլեքս փոփոխականի տարրական ֆունկցիաների ընդլայնման մասին, հաճախ հնարավոր է լինում ֆունկցիան կրճատել դրանց: Ապա մենք ունենք.
իսկ Աբելի թեորեմով, հենց որ (6) շարքը միանում է, դրա գումարը ստացվում է որպես սահման.
Սովորաբար այս սահմանը պարզապես հավասար է, որին թույլ է տալիս հաշվարկել ֆունկցիան վերջնական տեսքով
Եկեք, օրինակ, շարքը
Նախորդ պարբերությունում ապացուցված պնդումները հանգեցնում են այն եզրակացության, որ այս երկու շարքերը համընկնում են (առաջինը, բացառելով 0 և 0 կետերը.
ծառայում են որպես Ֆուրիեի շարք իրենց սահմանած ֆունկցիաների համար:Բայց որո՞նք են դրանք: Այս հարցին պատասխանելու համար մենք մի շարք ենք կազմում
Լոգարիթմական շարքի նմանությամբ դրա գումարը հեշտությամբ հաստատվում է.
հետևաբար,
Այժմ հեշտ հաշվարկը տալիս է.
այնպես որ այս արտահայտության մոդուլն է , իսկ արգումենտը՝ .
և այսպիսով, ի վերջո
Այս արդյունքները մեզ ծանոթ են և նույնիսկ մեկ անգամ ստացվել են «բարդ» նկատառումներով. բայց առաջին դեպքում մենք սկսել ենք ֆունկցիաներից, իսկ երկրորդում՝ վերլուծական ֆունկցիայից։Այստեղ առաջին անգամ որպես ելակետ ծառայել են հենց շարքերը։ Հաջորդ բաժնում ընթերցողը կգտնի նման այլ օրինակներ:
Եվս մեկ անգամ շեշտում ենք, որ պետք է նախօրոք վստահ լինել համընկնումի և (C) շարքի վրա, և որպեսզի իրավունք ունենաք որոշել դրանց գումարները՝ օգտագործելով սահմանափակող հավասարությունը (7): Այս հավասարության աջ կողմում միայն սահմանի առկայությունը դեռ թույլ չի տալիս եզրակացնել, որ նշված շարքերը համընկնում են։ Սա օրինակով ցույց տալու համար դիտարկենք շարքը
Բազմաթիվ աղեղների կոսինուսներով և սինուսներով, այսինքն՝ ձևի մի շարք
կամ բարդ ձևով
որտեղ ա կ,բ կկամ, համապատասխանաբար, գ kկանչեց գործակիցները T. r.
Առաջին անգամ T. r. հանդիպել L. Euler-ում (L. Euler, 1744): Նա ընդարձակումներ ստացավ
Բոլոր Ռ. 18-րդ դար Լարի ազատ թրթիռի խնդրի ուսումնասիրության հետ կապված հարց է ծագել լարային սկզբնական դիրքը բնութագրող ֆունկցիան որպես T. r-ի գումար ներկայացնելու հնարավորության մասին։ Այս հարցը բուռն բանավեճ առաջացրեց, որը տևեց մի քանի տասնամյակ, այն ժամանակվա լավագույն վերլուծաբաններ Դ. Բերնուլի, Ջ. Դ. «Ալեմբերտ, Ջ. Լագրանժ, Լ. Գործառույթ հասկացության բովանդակության հետ կապված վեճեր. Այն ժամանակ ֆունկցիաները սովորաբար կապված էին դրանց վերլուծության հետ։ հանձնարարություն, որը հանգեցրեց միայն վերլուծական կամ մասնակի վերլուծական գործառույթների դիտարկմանը: Եվ այստեղ անհրաժեշտ դարձավ մի ֆունկցիա, որի գրաֆիկը բավականաչափ կամայական է, որպեսզի կառուցի այս ֆունկցիան ներկայացնող T. r.: Բայց այս վեճերի նշանակությունն ավելի մեծ է։ Իրականում նրանք քննարկել կամ առաջացել են մաթեմատիկայի շատ սկզբունքորեն կարևոր հասկացությունների և գաղափարների հետ կապված հարցերի հետ կապված։ վերլուծություն ընդհանրապես - ֆունկցիաների ներկայացում ըստ Թեյլորի շարքի և վերլուծական: ֆունկցիաների շարունակություն, դիվերգենտ շարքերի, սահմանների, հավասարումների անվերջ համակարգերի, բազմանդամներով ֆունկցիաներ և այլնի օգտագործում։
Իսկ ապագայում, ինչպես այս սկզբնականում, տեսությունը Թ.ր. ծառայել է որպես մաթեմատիկայի նոր գաղափարների աղբյուր։ Ֆուրիեի ինտեգրալ, գրեթե պարբերական ֆունկցիաներ, ընդհանուր ուղղանկյուն շարքեր, վերացական . Հետազոտություններ գետի Տ. ելակետ է ծառայել բազմությունների տեսության ստեղծման համար։ T. r. հզոր գործիք են հատկանիշները ներկայացնելու և ուսումնասիրելու համար:
18-րդ դարում մաթեմատիկոսների միջև հակասությունների պատճառ դարձած հարցը լուծվել է 1807 թվականին Ջ.Ֆուրիեի կողմից, ով նշել է T.r-ի գործակիցների հաշվարկման բանաձևերը։ (1), որը պետք է. f(x) ֆունկցիայի վրա ներկայացնել.
և դրանք կիրառել ջերմահաղորդման խնդիրների լուծման ժամանակ։ Բանաձևերը (2) կոչվում են Ֆուրիեի բանաձևեր, թեև դրանց ավելի վաղ հանդիպել է Ա. Կլարաուտը (1754), իսկ Լ. Էյլերը (1777) եկել է դրանց՝ օգտագործելով տերմին առ տերմին ինտեգրումը։ T. r. (1), որի գործակիցները որոշվում են (2) բանաձևերով, որոնք կոչվում են. Ֆուրյեի ֆ ֆունկցիայի մոտ, և թվերը a k, b k- Ֆուրիեի գործակիցները.
Ստացված արդյունքների բնույթը կախված է նրանից, թե ինչպես է ընկալվում ֆունկցիայի ներկայացումը որպես շարք, ինչպես է ընկալվում (2) բանաձևերի ինտեգրալը։ Տ–ի ժամանակակից տեսությունը։ ձեռք է բերվել Լեբեգի ինտեգրալի հայտնվելուց հետո։
Տեսությունը T. r. կարելի է պայմանականորեն բաժանել երկու մեծ բաժինների՝ տեսության Ֆուրիեի շարք,որում ենթադրվում է, որ (1) շարքը որոշակի ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքն է, իսկ ընդհանուր T. R.-ի տեսությունը, որտեղ նման ենթադրություն չի արվում։ Ստորև բերված են ընդհանուր T. r տեսության մեջ ստացված հիմնական արդյունքները. (այս դեպքում բազմությունները և ֆունկցիաների չափելիությունը հասկացվում են ըստ Լեբեգուի):
Առաջին համակարգված հետազոտություն T. r.-ն, որտեղ չի ենթադրվում, որ այս շարքերը Ֆուրիեի շարքեր են, Վ. Ռիմանի ատենախոսությունն էր (V. Riemann, 1853): Հետեւաբար, տեսությունը ընդհանուր T. r. կանչեց երբեմն Ռիմանի թերմոդինամիկայի տեսությունը:
Ուսումնասիրել կամայական T. r.-ի հատկությունները. (1) զրոյի հակված գործակիցներով Բ. Ռիմանը դիտարկել է F(x) շարունակական ֆունկցիան: ,
որը հավասարաչափ կոնվերգենտ շարքի գումարն է
ստացվել է (1) շարքի երկակի տերմին առ տերմին ինտեգրումից հետո։ Եթե (1) շարքը ինչ-որ կետում միանում է s թվին, ապա այս կետում գոյություն ունի երկրորդ սիմետրիկ և հավասար է s-ին: F գործառույթները:
ապա դա հանգեցնում է գործոնների (1) շարքի գումարմանը 
կանչեց Ռիմանի գումարման մեթոդով։ Օգտագործելով F ֆունկցիան՝ ձևակերպվում է Ռիմանի տեղայնացման սկզբունքը, ըստ որի (1) շարքի վարքը x կետում կախված է միայն F ֆունկցիայի պահվածքից այս կետի կամայականորեն փոքր հարևանությամբ։
Եթե T. r. համընկնում է մի շարք դրական չափումների վրա, ապա նրա գործակիցները ձգտում են զրոյի (Կանտոր-Լեբեգ): Միտում դեպի զրոյական գործակիցներ T. r. բխում է նաև երկրորդ կարգի մի շարքի վրա նրա մերձեցումից (W. Young, W. Young, 1909):
Ընդհանուր թերմոդինամիկայի տեսության կենտրոնական խնդիրներից մեկը կամայական ֆունկցիայի ներկայացման խնդիրն է T. r. Ամրապնդելով Ն.Ն.Լուզինի (1915թ.) արդյունքները T.R.-ի ֆունկցիաները Աբել-Պուասոնի և Ռիմանի գումարելի մեթոդներով ներկայացնելու վերաբերյալ, Դ.Է.Մենշովն ապացուցեց (1940թ.) հետևյալ թեորեմը, որը վերաբերում է f ֆունկցիայի ներկայացման ամենակարևոր դեպքին. հասկացվում է որպես T. r. դեպի զ(x) գրեթե ամենուր: Յուրաքանչյուր չափելի և վերջավոր գրեթե ամենուր f ֆունկցիայի համար գոյություն ունի T. R., որը զուգակցվում է դրան գրեթե ամենուր (Մենշովի թեորեմ): Հարկ է նշել, որ եթե նույնիսկ f-ն ինտեգրելի է, ապա, ընդհանուր առմամբ, չի կարելի f ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը ընդունել որպես այդպիսի շարք, քանի որ կան Ֆուրիեի շարքեր, որոնք ամենուր շեղվում են։
Մենշովի վերոհիշյալ թեորեմն ընդունում է հետևյալ ճշգրտումը. եթե f ֆունկցիան չափելի է և վերջավոր գրեթե ամենուր, ապա գոյություն ունի այնպիսին, 
գրեթե ամենուր, և j ֆունկցիայի տերմին առ տերմին տարբերակված Ֆուրիեի շարքը գրեթե ամենուր համընկնում է f(x)-ին (N. K. Bari, 1952):
Հայտնի չէ (1984 թ.), թե արդյոք Մենշովի թեորեմում կարելի է գրեթե ամենուր բաց թողնել f ֆունկցիայի վերջավորության պայմանը։ Մասնավորապես, հայտնի չէ (1984 թ.), թե Թ. ռ. համընկնում են գրեթե ամենուր
Հետևաբար, ֆունկցիաների ներկայացման խնդիրը, որոնք կարող են ընդունել անսահման արժեքներ մի շարք դրական չափումների վրա, դիտարկվել է այն դեպքում, երբ այն փոխարինվում է ավելի թույլ պահանջով. Կոնվերգենցիան ֆունկցիաներին, որոնք կարող են ընդունել անսահման արժեքներ, սահմանվում է հետևյալ կերպ՝ T. p.-ի մասնակի գումարներ. s n(x) չափով միանում է f(x) ֆունկցիային .
եթե որտեղ f n(x) համընկնում է / (x)-ին գրեթե ամենուր, և հաջորդականությունը չափով զուգակցվում է զրոյի: Այս պարամետրում գործառույթների ներկայացման խնդիրը լուծված է մինչև վերջ. յուրաքանչյուր չափելի ֆունկցիայի համար գոյություն ունի T. R., որը չափով համընկնում է դրան (D. E. Men'shov, 1948):
Բազմաթիվ հետազոտություններ են նվիրված T. r.-ի եզակիության խնդրին. Կարո՞ղ են երկու տարբեր T. տարբերվել նույն ֆունկցիայից: այլ ձևակերպմամբ՝ եթե T. r. համընկնում է զրոյի, հետևում է արդյոք, որ շարքի բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի: Այստեղ կարելի է նկատի ունենալ կոնվերգենցիա բոլոր կետերում կամ որոշակի հավաքածուից դուրս բոլոր կետերում։ Այս հարցերի պատասխանն էապես կախված է այն բազմության հատկություններից, որոնցից դուրս կոնվերգենցիան չի ենթադրվում:
Ստեղծվել է հետևյալ տերմինաբանությունը. Շատ անուններ. եզակիության հավաքածուկամ U-սահմանել, եթե, T. r-ի կոնվերգենցիայից: զրոյի ամենուր, բացառությամբ, հավանաբար, բազմության կետերի Ե,հետևում է, որ այս շարքի բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի։ Թե չէ Էնազ։ M-set.
Ինչպես ցույց է տվել G. Cantor-ը (1872), ինչպես նաև ցանկացած վերջավոր U բազմություններ են։ Կամայական է նաև U-կոմպլեկտը (W. Jung, 1909): Մյուս կողմից, դրական չափումների յուրաքանչյուր հավաքածու M-կոմպլեկտ է:
Մ-ի չափումների բազմությունների գոյությունը հաստատվել է Դ.Է. Այս արդյունքը հիմնարար նշանակություն ունի եզակիության հարցում։ Զրո չափումների M բազմությունների առկայությունից հետևում է, որ T. R.-ի ֆունկցիաների ներկայացման մեջ, որոնք համընկնում են գրեթե ամենուր, այդ շարքերը սահմանվում են անփոփոխ միանշանակորեն:
Կատարյալ կոմպլեկտները կարող են լինել նաև U-կոմպլեկտներ (N. K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921): Զրո չափումների հավաքածուների շատ նուրբ բնութագրիչները էական դեր են խաղում եզակիության հարցում: Ընդհանուր հարցը զրո չափումների բազմությունների դասակարգման վերաբերյալ Մ-իսկ U-sets-ը (1984) բաց է մնում։ Այն չի լուծվում նույնիսկ կատարյալ հավաքածուների համար։
Հետևյալ խնդիրը կապված է եզակիության խնդրի հետ. Եթե T. r. համընկնում է ֆունկցիայի հետ 
ապա արդյոք այս շարքը պետք է լինի / ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը: Պ. Դյուբուա-Ռեյմոնդը (P. Du Bois-Reymond, 1877) դրական պատասխան տվեց այս հարցին, եթե f-ն ինտեգրելի է Ռիմանի իմաստով, և շարքը զուգակցվում է f(x)-ի բոլոր կետերում։ III արդյունքներից. J. Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) ենթադրում է, որ պատասխանը դրական է, նույնիսկ եթե շարքը համընկնում է ամենուր, բացառությամբ հաշվելի կետերի, և դրա գումարը վերջավոր է:
Եթե T. p-ը բացարձակապես զուգամիտվում է x 0 կետում, ապա այս շարքի կոնվերգենցիայի կետերը, ինչպես նաև նրա բացարձակ կոնվերգենցիայի կետերը, գտնվում են սիմետրիկորեն x 0 կետի նկատմամբ:
(P. Fatou, P. Fatou, 1906):
Համաձայն Դենջոյ - Լուզինի թեորեմՏ–ի բացարձակ կոնվերգենցիայից։ (1) մի շարք դրական չափումների վրա, շարքը համընկնում է 
և, հետևաբար, (1) շարքի բացարձակ կոնվերգենցիան բոլորի համար X.Այս հատկությունը տիրապետում են նաև երկրորդ կարգի բազմություններին, ինչպես նաև զրոյի չափման որոշակի խմբերին:
Այս հարցումն ընդգրկում է միայն միաչափ T. r. (մեկ): Առանձին արդյունքներ կան՝ կապված ընդհանուր Թ. պ. մի քանի փոփոխականներից: Այստեղ շատ դեպքերում դեռևս անհրաժեշտ է գտնել բնական խնդրի հայտարարություններ:
Լիտ. Bari N. K., Trigonometric series, M., 1961; Զիգմունդ Ա., Եռանկյունաչափական շարք, թարգմ. անգլերենից, հատոր 1-2, Մ., 1965; Luzin N. N., Ինտեգրալ և եռանկյունաչափական շարք, M.-L., 1951; Riemann B., Works, trans. գերմաներենից, M.-L., 1948, p. 225-61 թթ.
Ս.Ա.Տելյակովսկի.
Մաթեմատիկական հանրագիտարան. - Մ.: Սովետական հանրագիտարան. Ի.Մ.Վինոգրադով. 1977-1985 թթ.
Հիշեցնենք, որ իրական վերլուծության մեջ եռանկյունաչափական շարքը բազմակի աղեղների կոսինուսների և սինուսների շարք է, այսինքն. ձևի շարքը
Մի քիչ պատմություն. Նման շարքերի տեսության սկզբնական շրջանը վերագրվում է 18-րդ դարի կեսերին՝ կապված լարերի թրթռումների խնդրի հետ, երբ ցանկալի ֆունկցիան փնտրվում էր որպես շարքերի գումար (14.1)։ Նման ներկայացման հնարավորության հարցը մաթեմատիկոսների շրջանում բուռն բանավեճ առաջացրեց, որը տևեց մի քանի տասնամյակ։ Գործառույթ հասկացության բովանդակության հետ կապված վեճեր. Այն ժամանակ ֆունկցիաները սովորաբար ասոցացվում էին իրենց վերլուծական հանձնարարության հետ, սակայն այստեղ անհրաժեշտություն առաջացավ (14.1) կողքին ներկայացնել ֆունկցիա, որի գրաֆիկը բավականին կամայական կոր է։ Բայց այս վեճերի նշանակությունն ավելի մեծ է։ Իրականում նրանք հարցեր են բարձրացրել՝ կապված մաթեմատիկական վերլուծության շատ սկզբունքորեն կարևոր գաղափարների հետ։
Իսկ ապագայում, ինչպես այս սկզբնական շրջանում, եռանկյունաչափական շարքերի տեսությունը ծառայեց որպես նոր գաղափարների աղբյուր։ Հենց դրանց հետ կապված, օրինակ, առաջացավ բազմությունների տեսությունը և իրական փոփոխականի ֆունկցիաների տեսությունը։
Այս եզրափակիչ գլխում մենք կքննարկենք նյութը, որը ևս մեկ անգամ կապում է իրական և բարդ վերլուծությունները, բայց քիչ է արտացոլված TFCT-ի դասագրքերում: Վերլուծության ընթացքում նրանք ելնում են կանխորոշված ֆունկցիայից և ընդլայնում այն եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարքի։ Այստեղ մենք դիտարկում ենք հակադարձ խնդիրը. տրված եռանկյունաչափական շարքի համար սահմանեք դրա կոնվերգենցիան և գումարը: Դրա համար Էյլերն ու Լագրանժը հաջողությամբ օգտագործեցին վերլուծական ֆունկցիաները։ Ըստ երևույթին, Էյլերն առաջին անգամ (1744 թ.) ստացել է հավասարումներ
Ստորև մենք հետևում ենք Էյլերի հետքերին՝ սահմանափակվելով միայն շարքերի հատուկ դեպքերով (14.1), մասնավորապես՝ եռանկյունաչափական շարքերով։
Մեկնաբանություն.Ըստ էության կօգտագործվի հետևյալ փաստը՝ եթե դրական գործակիցների հաջորդականությունը a pմիապաղաղ կերպով հակված է զրոյի, այնուհետև այս շարքերը միատեսակ զուգակցվում են ցանկացած փակ ինտերվալի վրա, որը չի պարունակում ձևի կետեր 2lx (մինչև gZ):Մասնավորապես, (0.2n -) միջակայքում կլինի կետային կոնվերգենցիա։ Այս մասին տե՛ս աշխատության մեջ, էջ 429-430։
Էյլերի (14.4), (14.5) շարքը գումարելու գաղափարն այն է, որ օգտագործելով z = փոխարինումը. ե ագնալ իշխանության շարք
Եթե միավորի շրջանակի ներսում դրա գումարը կարելի է հստակորեն գտնել, ապա խնդիրը սովորաբար լուծվում է նրանից իրական և երևակայական մասերը բաժանելով: Շեշտում ենք, որ Էյլերի մեթոդի կիրառմամբ պետք է ստուգել շարքերի սերտաճումը (14.4), (14.5):
Դիտարկենք մի քանի օրինակ։ Շատ դեպքերում երկրաչափական շարքը օգտակար կլինի
ինչպես նաև դրանից ստացված շարքը` տերմին առ տերմին տարբերակման կամ ինտեգրման միջոցով: Օրինակ,
Օրինակ 14.1.Գտեք շարքի գումարը
Որոշում.Ներկայացնում ենք կոսինուսներով նմանատիպ շարք
Երկու շարքերն էլ համընկնում են ամենուր, քանի որ մեծանում է 1 + երկրաչափական շարքով r + r 2+.... Ենթադրելով զ = e"x, ստանում ենք
Այստեղ կոտորակը վերածվում է ձևի
որտեղ մենք ստանում ենք խնդրի հարցի պատասխանը.
Ճանապարհին մենք հավասարություն հաստատեցինք (14.2). Օրինակ 14.2.Գումարային տողեր
Որոշում.Համաձայն վերոհիշյալ նկատառման, երկու շարքերն էլ համընկնում են նշված ինտերվալի վրա և ծառայում են որպես Ֆուրիեի շարք իրենց կողմից սահմանված գործառույթների համար։ f(x) 9 գ (x).Որո՞նք են այս գործառույթները: Հարցին պատասխանելու համար, ըստ Էյլերի մեթոդի, մենք կազմում ենք (14.6) շարքը գործակիցներով. a p= -. Համաձայնվել-
բայց հավասարություն (14.7) մենք ստանում ենք
Բաց թողնելով մանրամասները (ընթերցողը պետք է վերարտադրի դրանք), մենք նշում ենք, որ լոգարիթմի նշանի տակ արտահայտությունը կարող է ներկայացվել որպես.
Այս արտահայտության մոդուլը հավասար է --ի, իսկ արգումենտը (ավելի ճիշտ՝ դրա հիմնական արժեքն է
- 2 sin-
արժեքը) հավասար է Հետեւաբար In ^ = -ln(2sin
Օրինակ 14.3.ժամը - l գումարել տողերը
Որոշում.Երկու շարքերն էլ համընկնում են ամենուր, քանի որ դրանցում գերակշռում է կոնվերգենտը
ընդհանուր անդամի կողքին -! . Տող (14.6)
n (n +1)
ուղղակիորեն
J_ _\_ __1_
/?(/? +1) Պ /1 + 1
ns-ը կտա հայտնի գումար. Հիմքի վրա մենք ներկայացնում ենք այն ձևով
հավասարություն
Այստեղ փակագծերում տրված արտահայտությունը ln(l + z) է, իսկ քառակուսի փակագծերի արտահայտությունը ^ ^ + ** ^--. Հետևաբար,
= (1 + -)ln(1 + z). Հիմա պետք է դրվի այստեղ z = eLXև կատարեք նույն քայլերը, ինչպես նախորդ օրինակում: Բաց թողնելով մանրամասները, նշում ենք, որ Մնում է բացել փակագծերն ու գրել պատասխանը։ Սա թողնում ենք ընթերցողին։ Առաջադրանքներ 14-րդ գլխի համար Հաշվե՛ք հետևյալ տողերի գումարները. 3.1.ա) Եթե w=u + iv,ապա և= -r- -v = -^-^ Ուստի l: 2 + (1-.g) 2 .t 2 + (1-d :) 2 Կոորդինատների ծագումը պետք է բացառվի այս շրջանակից, քանի որ (m, v) 9* (0; 0) V* e Ռ,տոնով և= lim v = 0: x-yx>.վ->օօ a = 1, a = 2: z "=-! + -> z,=-l - նրանց w = 2x; ոչ մի տեղ հոլոմորֆ չէ. Սբ կախված «t» փոփոխականից։ Կոշի-Ռիմանի պայմանները ենթադրում են, որ այս ֆունկցիաները նույնպես անկախ են y-ից: 4.5. Դիտարկենք, օրինակ, գործը Re f(z) = i (x, y) = հաստատ. Հետ օգտագործելով Cauchy-Riemann պայմանները, դրանից եզրակացրեք, որ Im/(z) = v(x 9 y) = հաստատ. ածանցյալի արգումենտը հավասար է զրոյի, ապա նրա երևակայական մասը զրո է, իսկ իրական մասը՝ դրական։ Այստեղից բխում է պատասխանը՝ ուղիղ ժամը = -X-1 (X * 0). բ) շրջան z + i=j2. փակագծերում տրված արտահայտությունը ստացել է նույն նշանակությունը, ապա դրանք կունենային ինչը հակասում է իռացիոնալությանը ա . ժամը= 0, -1 x 1 մենք ունենք և =--e [-1,1]" v = 0. Դիտարկենք սահմանի երկրորդ հատվածը` կիսաշրջանը z=e u, տգ. Այս բաժնում արտահայտությունը վերածվում է ձևի w=u=-- ,/* -. Միջեւ. Համաձայն (8.6) ցանկալի ինտեգրալը հավասար է
բ). Ստորին կիսաշրջանի հավասարումն ունի ձևը z(t) = e“,t e[l, 2n).Բանաձևով (8.8) ինտեգրալը հավասար է z = t + i,te. Պատասխան՝ - + - ես. .1 .t+2/r e 2, e 2. Խնդրի պայմաններից բխում է, որ խոսքը արմատի հիմնական արժեքի մասին է՝ Vz, այսինքն. դրանցից առաջինի մասին. Ապա ինտեգրալն է 8.3. Խնդիրը լուծելիս գծագիրը միտումնավոր չի տրվում, այլ ընթերցողը պետք է ավարտի այն։ Օգտագործվում է ուղիղ հատվածի հավասարումը, որը միացնում է երկու տրված կետեր i, /> e C (ա -Սկսել, բ -վերջ): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Եկեք բաժանենք ցանկալի ինտեգրալը չորսի. I = I AB + I BC + I CD +1
Դ.Ա. Սեգմենտի վրա ԱԲմենք ունենք զ- (1 -1)
? 1 +1
/, ուստի այս հատվածի ինտեգրալը, համաձայն (8.8), հավասար է Շարունակելով նույն կերպ՝ մենք գտնում ենք Գ պարունակող D տարածքը և ns պարունակող ա. /),/]-ին կիրառվող ինտեգրալ թեորեմով ցանկալի ինտեգրալը հավասար է զրոյի։ երկրաչափական շարք 1 + q + q2 (|| ներկայացնել /(z) = /(-^z) ձևով: Առանց ընդհանրության կորստի, մենք կարող ենք ենթադրել, որ 0 կետում կենտրոնացած ֆունկցիայի Թեյլորի շարքի կոնվերգենցիայի շառավիղը մեկից մեծ է։ Մենք ունենք: Ֆունկցիայի արժեքները նույնն են դիսկրետ բազմության վրա, որի սահմանային կետը պատկանում է կոնվերգենցիայի շրջանակին: Եզակիության թեորեմով /(z) = հաստատ. 11.3. Ենթադրենք, որ գոյություն ունի ցանկալի վերլուծական ֆունկցիան /(z): Եկեք համեմատենք դրա արժեքները ֆունկցիայի հետ (z) = z2նկարահանման հրապարակում Ե, կազմված կետերից z n = - (n = 2,3,...): Նրանց իմաստները նույնն են, և քանի որ Ե ունի տվյալ շրջանագծին պատկանող սահմանային կետ, ապա եզակիության թեորեմով /(z) = z 2 տվյալ շրջանագծի բոլոր արգումենտների համար։ Բայց սա հակասում է պայմանին /(1) = 0: Պատասխան՝ ns գոյություն չունի: 12.2. ա). Ներկայացրե՛ք ֆունկցիան ձևով և ընդլայնե՛ք փակագծերը։ պարզ բևեռներ 1,-1,/. Դրանցում մնացորդների գումարը հավասար է ---ի, իսկ ինտեգրալը հավասար է մեջ): Բևեռների թվում 2 Trki (kGZ)ինտեգրանդից միայն երկուսն են ընկած տվյալ շրջանագծի ներսում: Դա 0 և 2 է Իերկուսն էլ պարզ են, դրանցում մնացորդները հավասար են 1-ում: Պատասխան՝ 4z7: բազմապատկել այն 2/r/-ով: Մանրամասները բաց թողնելով՝ նշում ենք պատասխանը՝ / = -i . 13.2. ա). Եկեք դնենք e"=z, ապա e"idt =ձ
, dt= - .
Հո ե» - է~» զ-զ~ խ sin / =-=-, ինտեֆալը կկրճատվի ձևի Այստեղ հայտարարը գործոնացվում է (z-z,)(z-z 2), որտեղ z, = 3 - 2 V2 / գտնվում է շրջանագծի ներսում ժամը
, a z,=3 + 2V2 / գտնվում է վերևում: Մնում է գտնել մնացորդը պարզ բևեռի նկատմամբ՝ օգտագործելով (13.2) բանաձևը և բ) . Ենթադրելով, ինչպես վերևում, e» = z
, ինտեֆալը կրճատում ենք ձեւի Ենթաինտեֆալ ֆունկցիան ունի երեք պարզ բևեռ (որո՞նք): Ընթերցողին թողնելով դրանցում մնացորդների հաշվարկը՝ նշում ենք պատասխանը. Ես=
. հավասար է 2 (^-1- h-dt):
Նշեք փակագծերի ինտեգրալը /-ով: Կիրառելով cos «/ = - (1 + cos2f) հավասարությունը մենք ստանում ենք, որ / = [- cit
. ա), բ) դեպքերի համեմատությամբ կատարել փոխարինում e 2, t
= z, ինտեգրալը կրճատեք ձևին որտեղ ինտեգրման կորը նույն միավորի շրջանակն է: Հետագա փաստարկները նույնն են, ինչ ա) դեպքում: Պատասխան. բնօրինակը, որոնված ինտեգրալը հավասար է /r(2-n/2): 13.3. ա). Դիտարկենք օժանդակ համալիր ինտեգրալը /(/?)=զ զ(զ)ձ,որտեղ f(z) = - p-, G (I) - ուրվագիծ, որը կազմված է կիսաշրջաններ y (Ռ): | զ |= Ռ> 1, Imz > 0 և բոլոր տրամագծերը (կատարեք գծանկար): Եկեք այս ինտեգրալը բաժանենք երկու մասի՝ ըստ [-/?,/?] միջակայքի և ըստ. y (Ռ). դեպի. Յա. Շղթայի ներսում ընկած են միայն պարզ բևեռները z 0 \u003d e 4, z, = ե 4 (նկ. 186): Նրանց մնացորդների հետ կապված մենք գտնում ենք. Մնում է ստուգել, որ ինտեգրալն ավարտված է y(R)ձգտում է զրոյի, քանի որ Ռ. |g + A|>||i|-|/>|| անհավասարությունից և ինտեգրալի գնահատականից համար z e y(R)դրանից բխում է, որ
