Դիտարկենք որոշակի կամ այսպես կոչված դետերմինիստական ​​ՖՎ-ի դիտարկման արդյունքը Քորպես պատահական փոփոխական (CV)՝ հաշվի առնելով արժեքները X)տարբեր դիտարկումներում։

SW-ի նկարագրության ամենահամընդհանուր ձևը դրանց ինտեգրալ կամ դիֆերենցիալ բաշխման գործառույթները գտնելն է

Դիտարկումների արդյունքների բաշխման անբաժանելի ֆունկցիան կախվածությունն է հավանականության x արժեքից Ռայն, որ դիտարկումների արդյունքը X. ավելի քիչ կլինի ժկ. Գրված է այսպես.

Այլ կերպ ասած, պատահական փոփոխականի ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան Xկոչվում է անհավասարության կատարման հավանականություն X

ինտեգրալ ֆունկցիա F(x) ունի հետևյալ հատկությունները.

• 1. F(x) -չնվազող ֆունկցիա.
• 2. F(x)հակված է միասնության որպես jc -> +°°:
• 3. F(x)ձգտում է զրոյի, քանի որ x -> -°o:
• 4. F(x) -Ֆունկցիան շարունակական է, քանի որ որոշակի միջակայքում կատարված դիտարկումների արդյունքը կարող է ցանկացած արժեք վերցնել:

Այնուամենայնիվ, չորրորդ գույքը սովորաբար գործնականում չի իրականացվում: Դա պայմանավորված է նրանով, որ օգտագործված SI-ն ունի վերջավոր լուծաչափ. սլաքի գործիքների համար սա սանդղակի բաժանման արժեքն է (PV quantum); թվային գործիքների համար սա ամենափոքր ծածկագրի արժեքն է: Հետևաբար, իրականում բաշխման ֆունկցիան ունի փուլային ձև (նկ. 4.4):

Չնայած դրան, չափագիտական ​​պրակտիկայում ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան հաճախ ենթադրվում է շարունակական, ինչը մեծապես հեշտացնում է վերլուծությունը:

Պատահական սխալի, ինչպես նաև պատահական փոփոխականի համար կա նաև իր ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան.

ինտեգրալ ֆունկցիա F (x),ինչպես հավանականությունը, այն անչափ մեծություն է:

Ավելի հարմար և տեսողական է նկարագրել դիտարկումների արդյունքների հատկությունը՝ օգտագործելով դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան, որը կոչվում է. հավանականության բաշխման խտությունը.Հարկ է նշել, որ դիտարկումների արդյունքների դիֆերենցիալ գործառույթները Xև պատահական սխալ Ա համընկնում,միայն A-ի գրաֆիկի սկզբնաղբյուրը գտնվում է զրոյական կետում.

Դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկ կամ բաշխման կորըամենից հաճախ սիմետրիկ ֆունկցիա է, որի առավելագույնը կետում է Քդիտարկումների արդյունքների համար (նկ. 4.5): Պատահական սխալի բաշխման կորը նույնպես հաճախ սիմետրիկ ֆունկցիա է, բայց առավելագույնը «O» կետում (նկ. 4.6):

Դիտարկման արդյունքների համար

Պատահական սխալի համար

Այսպիսով, դիտումների արդյունքների դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան կամ պատահական սխալը ստացվում է ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայի տարբերակմամբ։

Կան նաև ասիմետրիկ բաշխման ֆունկցիաներ, օրինակ՝ Rayleigh ֆունկցիան (նկ. 4.7), կամ ֆունկցիաներ, որոնք չունեն առավելագույն (միատեսակ կամ տրապեզոիդ) (նկ. 4.8, 4.9):

Ինտեգրալ ֆունկցիան կապված է դիֆերենցիալ ֆունկցիայի հետ հետևյալ կերպ.

որովհետև, ուրեմն , այսինքն. քառակուսի

բաշխման ֆունկցիայի կորի տակ հավասար է մեկի: Սա այսպես կոչված նորմալացման վիճակը.

Հավանականության բաշխման խտության չափը հակադարձ է չափված ֆիզիկական մեծության չափմանը, քանի որ ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան չափազուրկ է: Օգտագործելով բաշխման ֆունկցիայի հասկացությունը՝ կարելի է ստանալ այն հավանականության արտահայտությունը, որ դիտարկումների արդյունքը գտնվում է կիսաբաց միջակայքում [x, x 2] կամ [А„А 2]:

Այս արտահայտությունն ասում է, որ դիտարկման արդյունքին հարվածելու հավանականությունը Xկամ պատահական չափման սխալը A տվյալ միջակայքում հավասար է ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայի արժեքների տարբերությանը այս միջակայքի նշված սահմաններում:

Եթե ​​մենք արտահայտենք այս հավանականությունը դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիայի կամ հավանականության բաշխման խտության տեսքով, ապա կստանանք.

դրանք. X-ի կամ պատահական սխալի արդյունքին հարվածելու հավանականությունըԴ տրված միջակայքում թվայինորեն հավասար է հավանականության խտության կորի տակ գտնվող տարածքին, որը սահմանափակված է միջակայքի սահմաններով(նկ. 4.10):

Աշխատանք p x (x)dxկանչեց հավանականության տարր. Այն դեպքում, երբ հավանականության խտության բաշխման օրենքը մոտ է, այսպես կոչված, նորմալ օրենքին, ինչպես երևում է դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկից, ամենայն հավանականությամբ. փոքրսխալի արժեքներ. Մեծ սխալների առաջացման հավանականությունը շատ ավելի քիչ է։ Դիտարկման արդյունքները կենտրոնացած է իրական արժեքի շուրջչափված ՖՎ, և երբ մոտենում ես դրան, հավանականության տարրերը մեծանում են: Սա հիմք է տալիս աբսցիսայի առանցքով ձևավորված գործչի ծանրության կենտրոնի աբսցիսան և բաշխման խտության կորը վերցնել որպես ՖՎ-ի իրական արժեքի գնահատում: Պատահական փոփոխականի այս հատկանիշը կոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք (նկ. 4.11):

Այժմ մենք կարող ենք տալ պատահական և համակարգված սխալի մաթեմատիկորեն խիստ սահմանումը:

Համակարգային սխալ 0 (նկ. 4.11) դիտումների արդյունքների մաթեմատիկական ակնկալիքի շեղումն է չափված ֆիզիկական մեծության իրական արժեքից.

պատահական սխալ A-ն մեկ դիտարկման արդյունքի և դիտարկումների արդյունքների մաթեմատիկական ակնկալիքի տարբերությունն է.

Այսպիսով, չափված ֆիզիկական մեծության փաստացի արժեքը հավասար է

թեստի հարցեր

• 1. Ի՞նչ է նշանակում դիսկրետ և շարունակական պատահական փոփոխականներ:
• 2. Ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան և դրա հատկությունները:
• 3. Դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիա, ինտեգրալ եւ դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիաների միացում։
• 4. Ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայի նորմալացման պայման.
• 5. Գրաֆիկորեն ո՞րն է պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը:
• 6. Ինչպե՞ս հասկանալ ընդհանուր սխալի համակարգված և պատահական բաղադրիչները ֆիզիկամաթեմատիկական տեսանկյունից:
• 7. Ի՞նչ է նշանակում հավանականության տարր:
• 8. Ինչպե՞ս որոշել X դիտումների արդյունքը կամ D պատահական սխալը թվայինորեն տվյալ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը՝ ունենալով հավանականության բաշխման խտության գրաֆիկ՝ սահմանափակված միջակայքի սահմաններով:

Տեղական Moivre-Laplace բանաձևի պայմաններում հավանականությունը, որ հաջողության m թիվը կլինի m 1-ի և m 2-ի միջև, կարելի է մոտավորապես գտնել Moivre-Laplace-ի ինտեգրալ բանաձևով:

որտեղ x 1 =
, x 2 =
,
Լապլասի ֆունկցիան է։

Այս ֆունկցիաների արժեքները գտնվում են հավանականության տեսության դասագրքերի հավելվածներում։

Բաշխման օրենքի գրաֆիկական հանձնարարությունցույց է տրված նկ. մեկ

Բրինձ. 1 Դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման բազմանկյուն:

Պատահական փոփոխականի բաշխումը աղյուսակի, բանաձևի կամ գրաֆիկական ձևով նկարագրելու մեթոդը կիրառելի է միայն դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար։

1.5. Կուտակային բաշխման ֆունկցիա

Ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան թույլ է տալիս նշել ինչպես դիսկրետ, այնպես էլ շարունակական պատահական փոփոխական:

Կուտակային բաշխման ֆունկցիան (IDF) F(x) ֆունկցիան է, որը որոշում է յուրաքանչյուր x արժեքի համար հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականը կստանա x-ից պակաս արժեք, այսինքն.

Ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայի երկրաչափական նշանակությունն այն հավանականությունն է, որ պատահական X փոփոխականը կստանա արժեք, որը գտնվում է իրական առանցքի x կետից ձախ:

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար X, որը կարող է վերցնել արժեքները X 1 , X 2 , …,X n, բաշխման ֆունկցիան ունի ձև որտեղ գումարի նշանի տակ անհավասարությունը նշանակում է, որ գումարումը վերաբերում է բոլոր այդ արժեքներին X ես, որի արժեքը ավելի քիչ է X. Եկեք բացատրենք այս բանաձևը՝ հիմնվելով ֆունկցիայի սահմանման վրա F(x) Ենթադրենք, որ x արգումենտն ընդունել է որոշ որոշակի, բայց այնպիսին, որ անհավասարությունը բավարարված է x ես <x≤x ես+1. Այնուհետև թվի առանցքի x թվի ձախ կողմում կլինեն միայն պատահական փոփոխականի այն արժեքները, որոնք ունեն 1, 2, 3, ... ինդեքսը, ես. Հետեւաբար, անհավասարությունը X<xկատարվում է, եթե արժեքը Xկվերցնի արժեքները X դեպի, որտեղ կ = 1, 2, …, ես. Այսպիսով, իրադարձությունը X<xկգա, եթե լինի, անկախ նրանից, թե որ իրադարձություններից X = X 1 , X=X 2 , X=X 3 , …, X=X ես. Քանի որ այս իրադարձությունները անհամատեղելի են, ուրեմն հավանականության գումարման թեորեմով մենք ունենք

Կուտակային բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները:

1. Ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայի արժեքները պատկանում են միջակայքին

:
.

2. Հավանականությունը, որ X պատահական փոփոխականը կընդունի (a, b) միջակայքում պարունակվող արժեքը, հավասար է այս ինտերվալի վրա ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայի աճին։

3. Եթե պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները պատկանում են (a, b), ապա

, եթե

, եթե

Շարունակական պատահական փոփոխականի IGF-ի գրաֆիկը ներկայացված է նկ. 2

Բրինձ. 2 Շարունակական պատահական փոփոխականի IGF-ի գրաֆիկը

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի IGF-ի գրաֆիկը ներկայացված է նկ. 3

Բրինձ. 3 Դիսկրետ պատահական փոփոխականի IGF-ի գրաֆիկը

1.6. Դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիա

Դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան օգտագործվում է շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումը նկարագրելու համար։

Դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիա (DDF)(կամ հավանականության խտությունը) ինտեգրալ ֆունկցիայի առաջին ածանցյալն է։

Կուտակային բաշխման ֆունկցիան հակաածանցյալ է դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիայի համար: Հետո

Հավանականությունը, որ շարունակական պատահական X փոփոխականը վերցնում է (a, b) միջակայքին պատկանող արժեք, հավասար է դիֆերենցիալ ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալին՝ վերցված a-ից b.

DFR-ի երկրաչափական նշանակությունը հետևյալն է. հավանականությունը, որ շարունակական պատահական X փոփոխականը վերցնում է (a, b) միջակայքին պատկանող արժեք, հավասար է x առանցքով սահմանափակված կորագծային տրապեզիի մակերեսին, բաշխման կորի: f(x) և x = a և x = b ուղիղները (նկ. 4):

Բրինձ. 4 Դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը սովորաբար կոչվում է բաշխման կոր։

Դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիայի հատկությունները.

1. Դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան ոչ բացասական է, այսինքն.

2. Եթե պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները պատկանում են (a, b) միջակայքին, ապա

Դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան հաճախ անվանում են շարունակական պատահական փոփոխականների հավանականության բաշխման օրենք։

Կիրառական խնդիրներ լուծելիս հանդիպում են շարունակական պատահական փոփոխականների հավանականության բաշխման տարբեր օրենքներ։ Հաճախ հայտնաբերված միատեսակ և նորմալ բաշխման օրենքները.

Բաշխման դիֆերենցիալ և ինտեգրալ օրենքներ

Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը կապ է հաստատում այս մեծության հնարավոր արժեքների և այդ արժեքներին համապատասխան դրանց առաջացման հավանականությունների միջև: Պատահական փոփոխականի բաշխման օրենքը նկարագրելու երկու ձև կա. դիֆերենցիալ և ինտեգրալ . Ընդ որում, չափագիտության մեջ հիմնականում օգտագործվում է դիֆերենցիալ ձևը՝ բաշխման օրենքը հավանականության խտությունը պատահական փոփոխական.
Դիֆերենցիալ բաշխման օրենքը բնութագրվում է բաշխման խտություն Պատահական փոփոխականի բաշխման խտություն այս դեպքում հավանականությունը Պհարվածելով պատահական փոփոխականին սկսած միջակայքում x 1նախքան x2 :

Գրաֆիկորեն այս հավանականությունը կորի տակ գտնվող տարածքի հարաբերակցությունն է f(x)սկսած միջակայքում x 1նախքան x2բաշխման ամբողջ կորով սահմանափակված ընդհանուր տարածքին:

Այս դեպքում բաշխումը շարունակական պատահական փոփոխական. Նրանցից բացի կան դիսկրետ պատահական փոփոխականներ, որոնք ընդունում են մի շարք հատուկ արժեքներ, որոնք կարելի է համարակալել:

Պատահական փոփոխականի ինտեգրալ բաշխման օրենքըֆունկցիա է F (x),սահմանված բանաձևով

Հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականը ավելի քիչ կլինի x1տրված է ֆունկցիայի արժեքով F(x)ժամը x = x 1:

F(X)չնվազող ֆունկցիա է և որպես X → ∞ F(X)→1

Երբ X → - ∞ F(X)→0

F(x) -ֆունկցիան շարունակական է, քանի որ Դիտարկումների արդյունքը որոշակի ընդմիջումով կարող է ցանկացած արժեք ստանալ

Այնուամենայնիվ, չորրորդ գույքը սովորաբար գործնականում չի իրականացվում: Դա պայմանավորված է նրանով, որ օգտագործված SI-ն ունի վերջավոր լուծաչափ. սլաքի սարքի համար սա մասշտաբի բաժանման գինն է (քվանտային FV), թվային սարքերի համար՝ ամենափոքր ծածկագրի արժեքն է: Հետևաբար, իրականում սխալի բաշխման ֆունկցիան ունի փուլային ձև:

Այնուամենայնիվ, չափագիտական ​​պրակտիկայում ինտեգրալ ֆունկցիան համարվում է շարունակական, ինչը հեշտացնում է սխալների մշակումը։

Շարունակական պատահական փոփոխականի բաշխման միասնական օրենքը:

Շարունակական պատահական փոփոխականը ենթարկվում է բաշխման միատեսակ օրենքին, եթե դրա հնարավոր արժեքները գտնվում են որոշակի միջակայքում, որի ընթացքում բոլոր արժեքները հավասարապես հավանական են, այսինքն՝ ունեն նույն հավանականության խտությունը: Այլ կերպ ասած, հավանականության բաշխումը կոչվում է միատեսակ, եթե այն միջակայքում, որին պատկանում են պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները, դիֆերենցիալ ֆունկցիան ունի հաստատուն արժեք:

Պատահական փոփոխականներ, որոնք ունեն հավանականության միասնական բաշխում,<<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

Եկեք գտնենք միատեսակ բաշխման դիֆերենցիալ ֆունկցիան (խտությունը)՝ ենթադրելով, որ պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները X արանքում փակված , որի վրա դիֆերենցիալ ֆունկցիան մնում է հաստատուն, այսինքն.

f(x) = C

Ըստ պայմանի X միջակայքից դուրս արժեքներ չի վերցնում , Ահա թե ինչու f(x) = 0բոլորի համար x< a և x< b.

Գտնենք հաստատունի արժեքը ԻՑ . Քանի որ պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները պատկանում են միջակայքին , ուրեմն ճշմարիտ է.

Այսպիսով, ինտերվալի վրա պատահական փոփոխականի միատեսակ բաշխման օրենքը (այստեղ ա< b ) կարելի է վերլուծական կերպով գրել հետևյալ կերպ.

Այժմ գտնենք շարունակական պատահական փոփոխականի միատեսակ բաշխման ինտեգրալ ֆունկցիան։ Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը

եթե x< a ապա f(x) = 0և հետևաբար F(x) = 0

եթե ա ≤ x ≤ բապա եւ, հետեւաբար

եթե x ˃bապա

Այսպիսով, ցանկալի ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան կարող է վերլուծական կերպով գրվել հետևյալ կերպ.

F(x) = 0 x-ի համար< a

a ≤ x ≤ բ

F(x) = 1 x ˃ b

Միատեսակ շարունակական բաշխման հատկությունները.

1. Առաջին պահը (ակնկալիք)

2. Միջին: M = M (X)

3. Ռեժիմ՝ հատվածի ցանկացած թիվ (ռեժիմ՝ բաշխման ամենահավանական արժեքը);

Նշեք այն հավանականությամբ, որ պատահական x փոփոխականը վերցնում է ավելի փոքր արժեք, քան այն ֆունկցիան, որը կոչվում է x-ի ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիա: Քանի որ ցանկացած հավանականություն պետք է լինի 1-ի և 1-ի միջև, ապա բոլոր արժեքների համար մենք ունենք. Եթե այդպիսի հավանականությունը մեծ է կամ հավասար է հավանականությանը, այսինքն.

Ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայի բնորոշ ձևը ներկայացված է նկ. 1, որտեղ գծագրված է հորիզոնական առանցքը և ուղղահայաց ֆունկցիան

Իմանալով ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան, մենք կարող ենք հեշտությամբ որոշել ցանկացած տրված հավանականության համար, որ Իրոք, քանի որ իրադարձություններն անհամատեղելի են, այս իրադարձություններից որևէ մեկի առաջացման հավանականությունը հավասար կլինի յուրաքանչյուրի առաջացման հավանականությունների գումարին: իրադարձություններ, այսինքն.

(տես սկանավորում)

Քանի որ այս երկու իրադարձություններից որևէ մեկի առաջացման հավանականությունը կամ համընկնում է իրադարձության հավանականության հետ, ապա, համաձայն (1.1) հարաբերության, մենք ունենք.

Հետևաբար, իրադարձության առաջացման ցանկալի հավանականությունը հավասար կլինի

Այն դեպքում, երբ x պատահական փոփոխականը օբյեկտների խմբից պատահականորեն ընտրված օբյեկտի որոշ բնութագրերի չափման արդյունք է, հնարավոր է տալ ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայի պարզ մեկնաբանություն: Ինչպես նշված է 1.1.1 պարագրաֆում, սույն. դեպքում հավանականությունը, որ դիտարկվող արժեքը x որոշ հավասարություն կամ անհավասարություն (ասենք, կամ հավասար է այնպիսի օբյեկտների հարաբերական համամասնությանը (առարկաների տվյալ խմբում), որոնց համար x արժեքը բավարարում է համապատասխան հավասարությունը կամ անհավասարությունը: Այսպիսով, պարզապես որոշում է այն օբյեկտների հարաբերական համամասնությունը, որոնց համար հավանականությունների այս մեկնաբանությամբ ակնհայտ է դառնում (1.2) կապը: Այն փաստորեն նշում է, որ առարկաների հարաբերական թիվը հավասար է այն առարկաների հարաբերական թվին, որոնց համար, գումարած օբյեկտների հարաբերական թիվը: որը Օբյեկտների խումբը հաճախ անվանում են բնակչություն։Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք միայն վերջավոր պարունակող պոպուլյացիաներ նոր թվով օբյեկտներ. Նման պոպուլյացիաները կոչվում են վերջավոր։

Իրադարձության հավանականության մեկնաբանումը, որի համար բավարարված է որոշակի հարաբերություն (հավասարություն կամ անհավասարություն), որպես այդպիսի տարրերի տվյալ ընդհանուր պոպուլյացիայի հարաբերական համամասնությունը, որի համար x-ի արժեքը բավարարում է այս հարաբերությունը, շատ դեպքերում պարզվում է, որ շատ օգտակար է: , և մենք հաճախ այն կօգտագործենք։ Այնուամենայնիվ, հավանականությունների նման մեկնաբանությունը միշտ չէ, որ հնարավոր է, եթե մենք չսահմանափակվենք վերջավոր պոպուլյացիաներով: Իրոք, ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան, որը կապված է վերջավոր ընդհանուր բնակչության հետ, ունի իր առանձնահատկությունները:

Ենթադրենք, որ ընդհանուր բնակչությունը բաղկացած է տարրերից։ Այնուհետև x պատահական փոփոխականը կարող է վերցնել ոչ ավելի, քան տարբեր արժեքներ: Թող տարբեր արժեքները, որոնք կարող է վերցնել x-ի արժեքը, և այդ արժեքները դասավորված են աճող կարգով, պարզ է, որ եթե x-ի արժեքը նույնն է մի քանի տարրերի համար, ապա այսում կուտակային բաշխման ֆունկցիան գործը կունենա քայլի կորի ձև, որը ներկայացված է Նկ. 2.

Բաշխման ֆունկցիան կունենա ճշգրիտ ցատկեր, և յուրաքանչյուր ցատկի մեծությունը հավասար կլինի որևէ մեկին կամ մի ամբողջ թվի բազմապատկված Կուտակային բաշխման ֆունկցիայով, որը ներկայացված է Նկ. 1-ն ակնհայտորեն այս տեսակի չէ:

Այսպիսով, եթե ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան շարունակական կոր է, ապա հավանականությունների մեկնաբանումը որպես վերջավոր ընդհանուր բնակչության որոշակի տարրերի հարաբերական համամասնություն անհնար է։ Այնուամենայնիվ, ցանկացած շարունակական կուտակային բաշխման ֆունկցիա կարող է մոտավորվել ցանկացած տրված ճշգրտությամբ փուլային կուտակային բաշխման ֆունկցիայի միջոցով, որը կապված է վերջավոր բնակչության հետ, պայմանով, որ վերջինիս տարրերի թիվը բավականաչափ մեծ է: Այսպիսով, ցանկացած շարունակական կուտակային բաշխման ֆունկցիա կարելի է համարել վերջավոր պոպուլյացիայի հետ կապված կուտակային բաշխման ֆունկցիայի սահմանափակող ձև։ Սահմանը հասնում է այս ընդհանուրի տարրերի քանակի անսահման աճով

ագրեգատներ. Սա նշանակում է, որ եթե մենք թույլ տանք անսահման պոպուլյացիայի գոյությունը (անսահման թվով տարրերով պոպուլյացիա), ապա այս պոպուլյացիայի հետ կապված ցանկացած հավանականություն միշտ կարող է մեկնաբանվել որպես բնակչության համապատասխան տարրերի հարաբերական համամասնություն։ Անշուշտ, անսահման պոպուլյացիայի հասկացությունը պարզապես օգտակար աբստրակցիա է, որը ներկայացվել է միայն տեսությունը պարզեցնելու համար։

Որպես անսահման ընդհանուր բնակչության օրինակ՝ դիտարկենք մի փորձ, որը բաղկացած է որոշակի ձողի երկարությունը չափելուց: Յուրաքանչյուր չափման արդյունքը կարելի է համարել պատահական փոփոխական, որը բնութագրվում է ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայով: Այնուհետև անսահման ընդհանուր պոպուլյացիան կլինի ձողի երկարության կրկնվող չափումների անսահման հաջորդականությունը, այնպես որ իրականում կատարված յուրաքանչյուր չափում կարող է համարվել տարր: այս բնակչության. Երբեմն ընդհանուր պոպուլյացիան վերջավոր է, բայց այս պոպուլյացիայի տարրերի թիվն այնքան մեծ է, որ պարզվում է, որ ավելի հարմար է այս պոպուլյացիայի հետ կապված խնդիրները դիտարկել որպես անսահման, այսինքն, կարծես ընդհանուր բնակչությունը անսահման է: . Ենթադրենք, օրինակ, որ մեզ հետաքրքրում է ԱՄՆ-ում ապրող 20 և ավելի տարեկան բոլոր կանանց հասակի բաշխումը։ Ակնհայտ է, որ նման անհատների թիվն այնքան մեծ է, որ կարելի է հույս դնել զգալի մաթեմատիկական պարզեցումների վրա, եթե այդպիսի անհատների ընդհանուր պոպուլյացիան անսահման համարենք։

Պատահական փոփոխականի ինտեգրալ հավանականության բաշխման ֆունկցիա

TZR-3. Հավանականության ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիա ԿԲ

Սա բաշխման օրենքը սահմանելու ամենահամընդհանուր ձևն է: Այն կարող է օգտագործվել ինչպես դիսկրետ, այնպես էլ շարունակական SW-ի համար: Հաճախ, երբ խոսում ենք այս մեթոդի մասին, «ինտեգրալ» և «հավանականություններ» բառերը հանվում են և օգտագործվում է տերմինը: բաշխման ֆունկցիա SVʼʼ.

Հավանականությունների բաշխման կուտակային ֆունկցիան այն հավանականությունն է, որ X որոշ պատահական փոփոխական ստանա ընթացիկ x-ից փոքր արժեք.

F(x) = P(X< х) (20)

Օրինակ, եթե այնպիսի SW-ի համար, ինչպիսին է էլեկտրական գծի հոսանքը, բաշխման ֆունկցիան F (90) = 0,3, ապա դա նշանակում է, որ հավանականությունը, որ հոսանքի հոսանքը 90 Ա-ից պակաս արժեք է վերցնում, 0,3 է:

Եթե ​​ցանցում լարման համար բաշխման ֆունկցիան F (215) = 0,4 է, ապա 0,4-ը հավանականությունն է, որ ցանցում լարումը 215 Վ-ից պակաս է:

Հավանականության բաշխման ֆունկցիան պետք է նշվի վերլուծական, աղյուսակային կամ գրաֆիկական եղանակով:

Օրինակ 27

Քննության ժամանակ ուսանողի գնահատականների բաշխման տվյալ շարքի համաձայն (Աղյուսակ 8, տող 1 և 2) գրեք ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան (Աղյուսակ 8, տող 3) և կազմեք դրա գրաֆիկը։

Աղյուսակ 8. Քննության գնահատականների բաշխման շարքը և ինտեգրալ գործառույթը

Արժե ասել, որ բաշխման ֆունկցիայի արժեքները գտնելու համար չափազանց կարևոր է օգտագործել դրա սահմանումը (20).

· համար X = 2 Ֆ(2)= Պ(X< 2) = 0, քանի որ քննությունում 2-ից պակաս միավոր չկա.

· համար X= 3 Ֆ(3)= Պ(X< 3) \u003d P (X \u003d 2) \u003d 0.1, քանի որ 3-ից պակասը միայն 2 միավորն է;

· համար X = 4 Ֆ(4)= Պ(X< 4) = P( X= 2) + Ռ(X= 3) = 0,1 + 0,5 = 0,6, քանի որ 4-ից պակաս կա երկու գնահատական՝ 2 կամ 3 (4-ից պակաս գնահատական ​​ստանալը համարժեք է ստանալուն կամ 2-րդ դասարաններ կամ 3 միավոր և գտնելու համար Ֆ(4) կարող եք օգտագործել անհամատեղելի իրադարձությունների հավանականությունները ավելացնելու բանաձևը.

· համար X = 5 Ֆ(5)= Պ(X< 5) = Ռ(X< 4) + Ռ(X= 4) = 0,6 + 0,3 = 0,9, այսինքն՝ դեպի Ֆ(4) գումարվում է հավանականությունը, որ միավորը 4 է:

Վերլուծելով F(x-ի արժեքները գտնելու կարգը՝ մենք տեսնում ենք, որ CV-ի ամենափոքր արժեքի հավանականությունը սկզբում ավելացվում է երկրորդ արժեքի հավանականությանը, այնուհետև երրորդին և այլն։ Այսինքն՝ հավանականությունները կարծես թե կուտակվում են։ Այդ պատճառով կոչվում է նաև ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիա ʼʼկուտակային հավանականությունների ֆունկցիաʼʼ.

Վիճակագրության գրականության մեջ կուտակային հավանականությունների ֆունկցիան բավականին հաճախ կոչվում է կուտակային.

Տվյալների աղյուսակի հիման վրա: 8 ինտեգրալ ֆունկցիայի գրաֆիկը պետք է գծագրվի դիսկրետ պատահական փոփոխական (նկ. 29): Այս հատկանիշն է ընդհատվող. Անցնել տեղավորվելառանձին դիսկրետ արժեքներ X, ա բարձունքներըʼʼքայլերʼʼ - տեղին հավանականությունները. Ընդմիջման վայրերում ֆունկցիան (նկ. 29) ընդունում է կետերով նշված արժեքները՝ ᴛ.ᴇ: մնացել է շարունակական. Ընդհանուր առմամբ, դիսկրետ SW-ի համար մենք կարող ենք գրել. F(x) = P(X< х) = . (21)

Որպեսզի հասկանաք, թե ինչ տեսք կունենա շարունակական SW-ի ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիայի գրաֆիկը, կարող եք դիմել հետևյալ պատճառաբանությանը. Եթե ​​պատկերացնենք, որ դիսկրետ SW արժեքների թիվն ավելանում է, ապա ավելի շատ բացեր կլինեն, իսկ քայլերի բարձրությունը կնվազի: Սահմանում, երբ հնարավոր արժեքների թիվը դառնում է անսահման (և սա շարունակական CV է), քայլի գրաֆիկը կվերածվի շարունակականի (նկ. 30):

Քանի որ ինտեգրալ հավանականության բաշխման ֆունկցիա ԿԲառաջնային նշանակություն ունի, եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք այն հատկությունները:

Գույք 1. Բաշխման օրենքը սահմանելու այս ձևը ունիվերսալ, քանի որ այն հարմար է ինչպես դիսկրետ, այնպես էլ շարունակական SW-ների բաշխման օրենքը սահմանելու համար:

Սեփականություն 2 . Քանի որ ինտեգրալ բաշխման ֆունկցիան ϶ᴛᴏ հավանականություն է, ուրեմն դրա արժեքները գտնվում են 0-ից 1 հատվածի վրա:

Սեփականություն 3 . Բաշխման գործառույթ անչափ, ինչպես նաև ցանկացած հավանականություն։

Սեփականություն 4 . Բաշխման ֆունկցիան է չնվազող ֆունկցիա, այսինքն՝ արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի նույն կամ ավելի մեծ արժեքին՝ երբ x 2 > x 1 F(x 2) ≥ F(x 1):

Այս հատկությունը բխում է այն փաստից (նկ. 31), որ ավելի մեծ հատվածին (-∞-ից մինչև x 2) հարվածելու հավանականությունը ոչ մի կերպ չպետք է պակաս լինի ավելի փոքր հատվածին (-∞-ից մինչև x 1) հարվածելու հավանականությունից:

Այն դեպքում, երբ տարածքում սկսած x 2նախքան x 1(Նկար 32) չկան հնարավոր SW արժեքներ (սա հնարավոր է դիսկրետ SW-ի դեպքում), ապա F (x 2) = F (x 1).

Շարունակական SW-ի բաշխման ֆունկցիայի համար (նկ. 33) F (x 2)միշտ ավելի շատ F (x 1).

Գույք 4-ն ունի երկու հետևանք.

Եզրակացություն 1

AT Հավանականությունը, որ X-ի արժեքը արժեք կընդունի միջակայքում (x 1; x 2), հավասար է ինտերվալի սահմաններում ինտեգրալ ֆունկցիայի արժեքների տարբերությանը.

P(x 1 ≤ X< х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

Այս հետևանքը կարելի է բացատրել հետևյալ կերպ (նկ. 31).

F (x 2) \u003d P (X< х 2) –

հավանականությունը, որ SW-ն արժեքներ է վերցնում կետից ձախ x 2 .

F (x 1) \u003d P (X< х 1) հավանականությունն է, որ SW-ը ​​արժեքներ է վերցնում կետից ձախ x 1.

Այստեղից էլ տարբերությունը

P(X< х 2) - Р(Х < х 1) Հնարավորություն կա, որ SW արժեքները գտնվում են այն տարածքում, որտեղից x 1 նախքան x 2 (նկ.34) .

Պատահական փոփոխականի ինտեգրալ հավանականության բաշխման ֆունկցիա՝ հայեցակարգ և տեսակներ: «Պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխման ինտեգրալ ֆունկցիա» կատեգորիայի դասակարգումը և առանձնահատկությունները 2017, 2018 թ.