Tunni kokkuvõte trigonomeetriliste võrratuste lahendamise teemal. Tunniplaan teemal „Trigonomeetriliste võrratuste lahendamine intervallmeetodil. Õpetaja avakõne
Tunni teema :
Tunni eesmärgid :
Tunni tüüp : kombineeritud.
Tundide ajal
1.Korralduslik osa
2. Teadmiste test:
3.Kordamine.
4. Uus teema .
Lihtsamate trigonomeetriliste võrratuste lahendamine sinx < 0, sin x > 0
patt x≤ 0, sin x ≥ 0
Õpilased on oodatud kasutama järgmise sisuga kaarti nr 1 (formaat A-4).
Kaart nr 1.
Algoritm trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks.
Ühikringi ordinaatteljel märgime väärtusele vastava punktiA(umbes).
Läbi saadud punkti tõmbame koordinaatsüsteemi teise teljega paralleelse sirge, kuni see lõikub ringiga (Ringjoone keskpunktiga saab ühendada lõikepunkte).
Lõikepunktide ühikringile kirjutame üles nendele punktidele vastavad numbrid.
Liigutage mõtteliselt meie sirgjoont paralleelselt koordinaatteljega, sõltuvalt väärtusestA.
Viirutades tõstame esile ühikuringi kaare selle osa, millega liikuv sirgjoon lõikub. Kui ebavõrdsus on range, siis kaare otstes olevaid punkte ei varjuta (torgatud punktid).
Kirjutame vastuse üles.
Võrratuse sinx> lahendamine
Lisaks sooritavad õpetaja tahvlil ja õpilased kaardil olevad õpetajad vastavalt algoritmile järjestikuseid tehteid ühikringidega (joonis 1, a, b, c), arvestades ebavõrdsuse patu lahendust.x >
Riis. 1
Vastus salvestatakse: 
Lahendades ebavõrdsust cosx>
Ebavõrdsuse lahendamise viib läbi üks õpilastest tahvlil. Maksimaalse sõltumatuse korral kirjutavad õpilased joonise abil selle ebavõrdsuse lahenduse kaardile (Riis. 2, a ). Vajadusel osutab õpetaja abi õpilasele tahvli juures ja õpilastele tunnis. Ebavõrdsuse lahendamise algoritm on fikseeritud.
Riis. 2
Vastus: 
5. Konsolideerimine.
Õpilastel palutakse ebavõrdsus ise lahendada (Riis. 6, b )
Vastus:
6. Kodutöö punkt 8.1, kaardi materjal.
7. Töö jälgimine ja hindamine. Tunni kokkuvõte.
Korrake trigonomeetriliste võrratuste lahendamise algoritmi kasutades suvalist näidet õpikust § 8, lk 8.1 (A.N. Shynybekov. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. Õpik gümnaasiumi 10. klassile. Almatõ “Atamura” 2012).
Matemaatikaõpetaja Lorenz Olga Vasilievna _________________________
Tunni teema : Lihtsate trigonomeetriliste võrratuste lahendamine.
Tunni eesmärgid : a) korraldada tööd trigonomeetriliste ebavõrdsuste lahendamise viiside uurimiseks;
aidata kaasa lihtsate trigonomeetriliste ebavõrdsuste lahendamise oskuste ja oskuste kujunemisele;
b) luua tingimused mälu, tähelepanu, loendustehnika, intuitsiooni, kõne, uudishimu, loogilise mõtlemise iseseisvuse arendamiseks;
c) edendada taktitunnet, austust klassikaaslaste vastu, tahtejõudu, vastutustundlikku suhtumist õppimisse, enesedistsipliini ja visadust.
Tunni tüüp : kombineeritud.
Tundide ajal
1.Korralduslik osa : klassi õpilaste jagamine rühmadesse, rollide jagamine rühmades.
2. Teadmiste test:
D/Z suuliselt: frontaalkontroll, raskusi tekitanud ülesannete lahenduste selgitamine.
3.Kordamine.
Millise funktsiooni jaoks on olemas pöördfunktsioon? Tooge näide funktsioonist, mille jaoks on pöördfunktsioon kogu definitsioonipiirkonna ulatuses; pöördfunktsiooni kogu definitsioonipiirkonna ulatuses ei ole.
Milline on seos määratlusvaldkonna ning otse- ja pöördfunktsioonide väärtusvahemiku vahel?
Kuidas paiknevad ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis otse- ja pöördfunktsioonide graafikud?
Kas on võimalik öelda, et trigonomeetrilistel funktsioonidel on pöördfunktsioonid kogu nende määratluspiirkonnas? Põhjenda oma vastust.
4.Uus teema.
Õpilased - rühmajuhid valmistavad kodus ette esitlusi teemal: “Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrratuste lahendamine”. Selgitamise ajal selgitavad need õpilased uut teemat oma ettekannete abil.
5. Kinnitus. Iseseisev töö rühmades.
Cos X<-
( + 2 k; + 2 k), k
Sin X ≥
[ + 2 k, + 2 k], k
Patt X< -
(- ;- + 2 k) , k
Patt X< -
(- ;- + 2 k) , k
Sin X ≥
X + 2 n, + 2 k], n
TUNNI TEEMA: Lihtsate trigonomeetriliste võrratuste lahendamine
Tunni eesmärk: näidata algoritmi trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks ühikringi abil.
Tunni eesmärgid:
Hariduslik – tagada teemamaterjali kordamine ja süstematiseerimine; luua tingimused teadmiste ja oskuste omandamise jälgimiseks;
Arendav - soodustada tehnikate rakendamise oskuste kujunemist: võrdlemine, üldistamine, peamise tuvastamine, teadmiste ülekandmine uude olukorda, matemaatilise silmaringi, mõtlemise ja kõne, tähelepanu ja mälu arendamine;
Hariduslik – edendada huvi matemaatika ja selle rakenduste, aktiivsuse, liikuvuse, suhtlemisoskuse ja üldkultuuri vastu.
Õpilaste teadmised ja oskused:
- teadma trigonomeetriliste võrratuste lahendamise algoritmi;
Oskab lahendada lihtsaid trigonomeetrilisi võrratusi.
Varustus: interaktiivne tahvel, tunni esitlus, iseseisva tööülesannetega kaardid.
TUNNIDE AJAL:
1. Organisatsioonimoment(1 min)
Tunni motoks pakun Sukhomlinsky sõnu: „Täna õpime koos: mina, teie õpetaja ja teie olete minu õpilased. Aga edaspidi peab õpilane ületama õpetajat, muidu teaduses edasiminekut ei toimu.»
2. Soojenda. Diktatsioon "Tõene - vale"
3. Kordamine
Iga valiku puhul – slaidil olev ülesanne, jätka iga kirjega. Tööaeg 3 min.
Kontrollime seda oma tööd tahvli vastuste tabeli abil.
Hindamiskriteerium:"5" - kõik 9 "+", "4" - 8 "+", "3" - 6-7 "+"
4. Õpilaste teadmiste täiendamine(8 min)
Täna tunnis peame õppima trigonomeetrilise ebavõrdsuse kontseptsiooni ja omandama selliste ebavõrdsuste lahendamise oskused.
– Tuletagem esmalt meelde, mis on ühikring, nurga radiaanmõõt ja kuidas on ühikringi punkti pöördenurk seotud nurga radiaanimõõduga. (töö esitlusega)
Üksuse ring on ring, mille raadius on 1 ja mille keskpunkt on alguspunktis.
Nurka, mille moodustab telje OX ja kiire OA positiivne suund, nimetatakse pöördenurgaks. Oluline on meeles pidada, kus on 0 nurgad; 90; 180; 270; 360.
Kui A liigutada vastupäeva, saadakse positiivsed nurgad.
Kui A liigutada päripäeva, saadakse negatiivsed nurgad.
сos t on ühikringjoonel oleva punkti abstsiss, sin t on ühikringjoone punkti ordinaat, t on pöördenurk koordinaatidega (1;0).
5 . Uue materjali selgitus (17 min.)
Täna tutvume lihtsaimate trigonomeetriliste võrratustega.
Definitsioon.
Lihtsamad trigonomeetrilised võrratused on vormi ebavõrdsused:
Poisid räägivad meile, kuidas sellist ebavõrdsust lahendada (õpilaste projektide esitlus näidetega). Õpilased kirjutavad definitsioonid ja näited vihikusse.
Esitlusel selgitavad õpilased ebavõrdsuse lahendust ja õpetaja täiendab tahvlil olevaid jooniseid.
Algoritm lihtsate trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks antakse pärast õpilaste ettekannet. Õpilased näevad ekraanil kõiki ebavõrdsuse lahendamise etappe. See soodustab antud probleemi lahendamise algoritmi visuaalset meeldejätmist.
Algoritm trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks ühikringi abil:
1. Märgi antud trigonomeetrilisele funktsioonile vastavale teljele selle funktsiooni antud arvväärtus.
2. Joonistage ühikringi lõikuvat punkti läbiv joon.
3. Valige sirge ja ringi lõikepunktid, võttes arvesse ranget või mitteranget ebavõrdsuse märki.
4. Vali ringi kaar, millel paiknevad võrratuse lahendid.
5. Määrake nurkade väärtused ringkaare algus- ja lõpp-punktis.
6. Kirjutage üles võrratuse lahend, võttes arvesse antud trigonomeetrilise funktsiooni perioodilisust.
Puutuja ja kotangensiga ebavõrdsuste lahendamiseks on kasulik puutujate ja kotangentide rea mõiste. Need on vastavalt sirged x = 1 ja y = 1, mis puutuvad trigonomeetrilise ringiga.
6. Praktiline osa(12 min)
Teoreetiliste teadmiste harjutamiseks ja kinnistamiseks täidame väikeseid ülesandeid. Iga õpilane saab ülesandekaardid. Pärast ebavõrdsuse lahendamist peate valima vastuse ja kirjutama selle numbri.
7. Tegevuste refleksioon tunnis
- Mis oli meie eesmärk?
- Nimetage tunni teema
- Meil õnnestus kasutada tuntud algoritmi
- Analüüsige oma tööd klassis.
8. Kodutöö(2 minutit)
Lahendage ebavõrdsus:
9. Tunni kokkuvõte(2 minutit)
Teen ettepaneku lõpetada õppetund Y.A. Komensky sõnadega: "Pidage õnnetuks seda päeva või tundi, mil te pole midagi uut õppinud ega oma haridusse midagi lisanud."
Distsipliin: matemaatika
Teema: “Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrratuste lahendamine”
Teadmiseni viivad kolm teed: järelemõtlemise tee
- see on kõige õilsam tee, jäljendamise tee
- see on kõige lihtsam tee ja kogemuste tee on tee
kõige kibedam.
Konfutsius
Tunni number teemas: 1
Eesmärk: õpetada õpilasi lahendama trigonomeetrilisi võrratusi; seda teemat ülesannete lahendamisel kinnistada.
Tunni eesmärgid:
Hariduslik: rikastada õpilaste kogemusi uute teadmiste omandamisel; teadmiste, oskuste, vilumuste igakülgse rakendamise ja uutesse tingimustesse ülekandmise oskuse arendamine; õpilaste selleteemaliste teadmiste, oskuste ja vilumuste proovile panemine.
Arendav: vaimsete operatsioonide arengu soodustamine: analüüs, üldistus; enesehinnangu ja vastastikuse hindamise oskuste kujundamine.
Haridus: õpilaste loomingulise tegevuse kujunemise soodustamine.
Tunni tüüp: õppetund uue materjali õppimiseks esmase konsolideerimise elementidega.
Käitumisvorm: vestlus, õpilaste rühmatööd.
Õppemeetod: selgitav ja illustreeriv, reproduktiivne, osaliselt otsing.
Koolituse korraldamise vorm: frontaalne, grupikirjalik.
Varustus:
Multimeedia projektor.
Esitlus eesmärgi seadmise ja ülesannetega.
Ülesande kaardid.
Kaardid järelemõtlemiseks, hindamislehed.
Kaardid mitmetasandilise kodutööga.
Numbritega kruusid.
Üldpädevuste kujunemine: OK3.2, OK3.3, OK6.1, OK6.3, OK6.4.
Tunniplaan
1. Organisatsioonimoment. (2 minutit.)
2. Eesmärkide seadmine. (3 minutit)
3.Teadmiste ja oskuste uuendamine. (5 minutit.)
4. Uue materjali õppimine (6 min)
5. Õpitud materjali koondamine. (20 minutit.)
6.Mitmetasandiline töö rühmades. (15 minutit.)
7. Valminud tööde “kaitsmine” õpilaste poolt. (10 min.)
8. Tunni kokkuvõtte tegemine, refleksioon. (6 minutit)
9.Kodutöö. (3 minutit)
Tehnoloogiatunni kaart
Tunni etapp Aeg Etapi eesmärk Õpetaja tegevused Õpilaste tegevused Oodatav tulemus Hindamine
Mõju.
õppetund
1.Organisatsiooniline
hetk 2 min. Eesmärk õpilastele:
- valmistuda tööks;
-looma õpetaja ja üksteise vahel emotsionaalset usalduslikku kontakti
Eesmärgid õpetajale:
- luua klassiruumis soodne psühholoogiline õhkkond;
-kaasata töösse kõik õpilased.
Tere, loon tööks emotsionaalse meeleolu.
Poisid, tere hommikust, ma tulin teie tundi sellise tujuga
(näitab pilti päikesest).
Mis tuju sul on? Sinu laua peal
on kaardid päikese ja pilvede kujutisega.
Näita, mis tuju sul on. Õpilased istuvad
oma laua taga, valmistudes tööle ja suhtlema.
Näidake oma kaarti
tuju. Õpilased on pühendunud õppetegevusele. 5
2. Väravate seadmine 3 min. Eesmärk õpilastele:
-arendada vaimset aktiivsust;
-sõnastada tunni eesmärk
Eesmärk õpetajale:
-eesmärkide seadmise töö korraldamine Teatan tunni teema, kutsun õpilasi tunni eesmärke määrama ja
iseseisvalt valivad pakutud kolme rühma hulgast eesmärgid, mille nad selles tunnis endale seadsid (kasutan multimeediumiseadmeid) Nad valivad eesmärgi, tõstavad ringi teatud numbriga: 1 rühm - numbriga 1; 2. rühm - numbriga 2; 3. rühm - numbriga 3 Iga õpilane valis oma tunni eesmärgi. 4
3.Teadmiste uuendamine ja
oskused 5 min. Eesmärk õpilastele:
- definitsioonid selle kohta, mis on ühikringkond, siinus-, koosinus-, puutuja, kotangensjooned.
Eesmärk õpetajale:
- värskendada õpilaste teadmisi. Ma korraldan tööd.
Esitan küsimuse: "Meenutagem nüüd varem uuritud mõisteid:
1. Määratlege ühikuring.
2. Defineeri siinusjoon;
3. Defineeri koosinusjoon;
4. Defineeri puutuja;
5. Defineeri kotangenssirge;
Näitan multimeediaprojektoril ühikuringi. Õpilased vastavad esitatud küsimustele.
1) Ühikringjoon on ring, mille raadius on üks.
2) Segment [-1; 1] ordinaattelgi nimetatakse siinusjooneks;
3) x-telge nimetatakse koosinusjooneks;
4) Ühikringjoone puutujat punktis (1;0) nimetatakse puutujaks;
5) Ühikringjoone puutujat punktis (1;0) nimetatakse kotangensi sirgeks.
Õpilased
vastata edukalt esitatud küsimustele. 5
4. Uue materjali õppimine 6 min. Eesmärk õpilastele:
-jätke meelde trigonomeetriliste võrratuste lahendamise algoritm.
Eesmärk õpetajale:
-näidata trigonomeetriliste võrratuste lahendamise algoritmi. Viimases tunnis lahendasime lihtsamaid trigonomeetrilisi võrrandeid, täna õpime ühikringi abil lahendama lihtsaimat trigonomeetrilist võrratust. Trigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrratuste lahendamine taandub reeglina kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrratuste lahendamisele kujul sin x ≤ a, cos x >a, tg x ≥a, ctg x Vaatleme trigonomeetriliste võrratuste lahendamist konkreetsete näidete abil, kasutades ühikringi:
sin x ≤
Selle ebavõrdsuse lahendamise algoritm:
Alustuseks määratleme
Oy peal märgime ringile väärtuse ja vastavad punktid;
Valige ringi alumine osa (me liigume vastupäeva).
Saadud punktidele anname allkirja. Kindlasti arvestage, et kaare algus on väiksem väärtus.
Kirjutame vastuse üles:
Kuulake õpetajat, kirjutage vihikusse trigonomeetriliste võrratuste lahendamise algoritm. Õpilased töötavad edukalt vihikutes. 4
5. Õpitava materjali koondamine 20 min. Eesmärk õpilastele:
-õppida lahendama trigonomeetrilisi võrratusi.
Eesmärk õpetajale:
-õpetada õpilasi lahendama trigonomeetrilisi võrratusi. Samamoodi lahendavad õpetaja ja õpilased vastavalt algoritmile järgmised näited:
Cos x ≥;
Sin x
Tg x≤ ;tg x .
Kirjutage lahendused tahvlilt vihikutesse. Vastake õpetaja küsimustele. Kui need tekivad, esitage õpetajale küsimusi. Õpilased töötavad edukalt vihikutes. 5
6.Mitmetasandiline töö rühmades 15 min. Eesmärk õpilastele:
- kontrollida teema valdamise taset.
Eesmärk õpetajale:
-edendada aktiivse loomingulise isiksuse kujunemist;
-arendada õpilaste motivatsiooni;
-parandada õpetajate suhtlemispädevusi rühmades töö organiseerimise kaudu. Soovitan õpilastel jagada rühmadesse vastavalt tunni eesmärkidele.
Korraldan ja jälgin iga rühma tööprotsessi, nad paigutatakse rühmadesse vastavalt tunni eesmärkidele.
Iga rühm täidab ülesande Õpilased täidavad õigesti oma rühmale antud ülesande 4
7. Valminud tööde “kaitsmine” õpilaste poolt 10 min. Eesmärk õpilastele:
-täidetud ülesannete taasesitamine;
- oskus saadud vastust hinnata
Eesmärk õpetajale:
-testida õpilaste teadmisi, oskusi ja vilumusi sellel teemal;
-hindab õpilaste praktilise valmisoleku taset, korrigeerin teadmisi.Kontrollin täidetud ülesannete täpsust.
Ma kuulan vastajaid.
Esitan gruppidele lisaküsimusi.
Kuulan neile vastuseid. Kaks inimest rühmast koostavad tahvlile lahendused ja kaitsevad neid.
Pärast kaitsmise ärakuulamist koostab iga rühm neile küsimused, kui rühma esindajad ei oska neile vastata, siis rühm aitab.
Nad annavad töö eest hinde. Õpilased kaitsevad edukalt oma tööd, vastavad õigesti neile esitatud küsimustele ja hindavad objektiivselt esinejaid 4
8. Tunni kokkuvõtte tegemine, refleksioon 6 min. Eesmärk õpilastele:
- järelemõtlemise ajal määrake oma saavutuste ja raskuste tase tunni teemal
Eesmärk õpetajale:
- määrata tunnieesmärkide saavutamise tase ja iga õpilase tunnis osalemise määr.Mõtlemislehtedel soovitan õpilastel kujutada sirgjoonte kujul, kuidas tunni jooksul muutusid kolm parameetrit: isiklik tegevus , heaolu, iseseisvus.
Kuulan iga rühma tunni tulemusi. Jagan hindamislehti.Hindavad end kolme parameetri järgi: aktiivsus, heaolu, iseseisvus paberilehtedel järelemõtlemiseks.
Iga rühm täidab hindamislehed ja teeb tulemused kokku. Iga rühma juht loeb ette tunni kokkuvõtte. Õpilased tunnevad rahulolu tehtud tööst ja omandatud teadmistest. Hinda ennast ja rühma objektiivselt 5
9.Kodutöö 3 min. Eesmärk õpilastele:
- laiendada oma teadmisi sellel teemal
Eesmärk õpetajale:
- diferentseeritud kodutööde tegemisel õpilaste õppimisteadmiste taseme määramine Jagan õpilastele kaardid mitmetasandiliste kodutöödega.
Vastan õpilaste küsimustele.
Täname teid õppetunni ajal tehtud töö eest.
Lugege kodutööd ja küsimuste korral küsige õpetajalt. Laiendage oma teadmisi sellel teemal 4
Praktilises tunnis kordame peamised ülesannete tüübid teemast "Trigonomeetria", analüüsime edasi keerukamad ülesanded ja kaaluda näiteid erinevate trigonomeetriliste võrratuste ja nende süsteemide lahendamisest.
See õppetund aitab teil valmistuda ühte tüüpi ülesanneteks B5, B7, C1 Ja C3.
Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks
Katse
Õppetund 11. Käsitletava materjali koondamine. Trigonomeetrilised ebavõrdsused. Erinevate kõrgendatud keerukusega probleemide lahendamine
Harjuta
Tunni kokkuvõte
Trigonomeetria ülevaade
Alustuseks vaatame läbi peamised ülesannete tüübid, mida käsitlesime teemas "Trigonomeetria" ja lahendame mitu mittestandardset ülesannet.
Ülesanne nr 1. Teisenda nurgad radiaanideks ja kraadideks: a) ; b) .
a) Kasutame kraadide radiaanideks teisendamiseks valemit
Asendame selle määratud väärtuse.
b) Rakenda radiaanide kraadideks teisendamise valem
Teeme asendustööd 
.
Vastus. A) ; b) .
Ülesanne nr 2. Arvuta: a) ; b) .
a) Kuna nurk läheb tabelist palju kaugemale, vähendame seda siinusperioodi lahutamisega. Kuna nurk on näidatud radiaanides, käsitleme perioodi kui .
b) Sel juhul on olukord sarnane. Kuna nurk on näidatud kraadides, käsitleme puutuja perioodi kui .
Saadud nurk, kuigi perioodist väiksem, on suurem, mis tähendab, et see ei viita enam põhi-, vaid tabeli laiendatud osale. Et mitte taaskord oma mälu treenida, jättes meelde laiendatud trigofunktsiooni väärtuste tabeli, lahutame uuesti puutujaperioodi:
Kasutasime ära puutujafunktsiooni veidrust.
Vastus. a) 1; b) .
Ülesanne nr 3. Arvutama 
, Kui.
Taandagem kogu avaldis puutujateks, jagades murdosa lugeja ja nimetaja . Samal ajal ei saa me seda karta, kuna sel juhul puutuja väärtust ei eksisteeriks.
Ülesanne nr 4. Lihtsustage väljendit.
Määratud avaldised teisendatakse redutseerimisvalemite abil. Need on lihtsalt ebatavaliselt kirjutatud kraadide abil. Esimene avaldis tähistab üldiselt arvu. Lihtsustame kõiki trigofunktsioone ükshaaval:
Kuna , muutub funktsioon kaasfunktsiooniks, st kotangensiks ja nurk langeb teise veerandisse, kus algpuutuja on negatiivse märgiga.
Samadel põhjustel, mis eelmises avaldises, muutub funktsioon kaasfunktsiooniks, st kotangensiks ja nurk langeb esimesse veerandisse, milles algne puutuja on positiivse märgiga.
Asendame kõik lihtsustatud väljendiga:
Probleem nr 5. Lihtsustage väljendit.
Kirjutame topeltnurga puutuja vastava valemi abil ja lihtsustame avaldist:
Viimane identiteet on üks koosinuse universaalsetest asendusvalemitest.
Probleem nr 6. Arvutama.
Peaasi, et mitte teha standardviga, et ei anna vastust, et avaldis on võrdne . Arktangensi põhiomadust ei saa kasutada seni, kuni selle kõrval on tegur kahe kujul. Sellest vabanemiseks kirjutame avaldise topeltnurga puutuja valemi järgi, käsitledes samas tavalise argumendina.
Nüüd saame rakendada arktangensi põhiomadust; pidage meeles, et selle arvulisele tulemusele pole piiranguid.
Probleem nr 7. Lahenda võrrand.
Nulliga võrdse murdvõrrandi lahendamisel näidatakse alati, et lugeja võrdub nulliga, kuid nimetaja mitte, kuna nulliga jagada ei saa.
Esimene võrrand on kõige lihtsama võrrandi erijuhtum, mida saab lahendada trigonomeetrilise ringi abil. Pidage seda lahendust ise meeles. Teine võrratus lahendatakse lihtsaima võrrandina puutuja juurte üldvalemiga, kuid ainult märgiga, mis ei ole võrdne.
Nagu näeme, välistab üks juurte perekond teise täpselt sama tüüpi juurte perekonna, mis võrrandit ei rahulda. See tähendab, et pole juuri.
Vastus. Juured puuduvad.
Probleem nr 8. Lahenda võrrand.
Pangem kohe tähele, et saame ühise teguri välja võtta ja teeme seda:
Võrrand on taandatud üheks standardvormiks, kus mitme teguri korrutis võrdub nulliga. Teame juba, et sel juhul on üks neist võrdne nulliga või teine või kolmas. Kirjutame selle võrrandite komplekti kujul:
Esimesed kaks võrrandit on kõige lihtsamate erijuhud, sarnaseid võrrandeid oleme juba korduvalt kohanud, seega näitame kohe nende lahendused. Kolmanda võrrandi taandame topeltnurga siinuse valemi abil üheks funktsiooniks.
Lahendame viimase võrrandi eraldi:
Sellel võrrandil pole juuri, sest siinusväärtus ei saa ületada 
.
Seega on lahendus ainult kaks esimest juurte perekonda, need saab ühendada üheks, mida on lihtne trigonomeetrilisel ringil näidata:
 |
See on kõigist pooltest koosnev perekond, st.
Trigonomeetrilised ebavõrdsused
Liigume edasi trigonomeetriliste võrratuste lahendamise juurde. Esiteks analüüsime näite lahendamise lähenemisviisi ilma üldlahenduste valemeid kasutamata, vaid trigonomeetrilist ringi kasutades.
Probleem nr 9. Lahendage ebavõrdsus.
Joonistame trigonomeetrilisele ringile abijoone, mis vastab siinuse väärtusele, mis on võrdne , ja näitame nurkade vahemikku, mis rahuldavad ebavõrdsust.
 |
On väga oluline mõista, kuidas täpselt näidata saadud nurkade intervalli, st mis on selle algus ja mis on selle lõpp. Intervalli alguseks on nurk, mis vastab punktile, mille siseneme intervalli alguses, kui liigume vastupäeva. Meie puhul on see punkt, mis asub vasakul, sest vastupäeva liikudes ja paremast punktist möödudes, vastupidi, jätame vajaliku nurkade vahemiku. Õige punkt vastab seega tühimiku lõpule.
Nüüd peame mõistma meie ebavõrdsuse lahenduste intervalli alguse ja lõpu nurki. Tüüpiline viga on kohe näidata, et õige punkt vastab nurgale, vasakpoolne ja anda vastus. See ei ole tõsi! Pange tähele, et oleme just tähistanud ringi ülemisele osale vastava intervalli, kuigi meid huvitab alumine osa, ehk teisisõnu oleme seganud meile vajaliku lahendusintervalli alguse ja lõpu.
Selleks, et intervall algaks parempoolse punkti nurgast ja lõppeks vasakpoolse punkti nurgaga, on vajalik, et esimene määratud nurk oleks teisest väiksem. Selleks peame mõõtma õige punkti nurka negatiivses võrdlussuunas, st päripäeva ja see on võrdne . Seejärel alustades sellest positiivset päripäeva liikuma, jõuame vasakpoolse punkti järel õigesse punkti ja saame selle nurga väärtuse. Nüüd on nurkade intervalli algus väiksem kui lõpp ja lahenduste intervalli saame kirjutada ilma perioodi arvesse võtmata:
Arvestades, et selliseid intervalle korratakse lõpmatu arv kordi pärast mis tahes täisarvu pöörete arvu, saame siinusperioodi arvesse võttes üldlahenduse:
Paneme sulud, kuna ebavõrdsus on range, ja valime ringilt välja punktid, mis vastavad intervalli otstele.
Võrrelge saadud vastust üldlahenduse valemiga, mille loengus andsime.
Vastus. 
.
See meetod on hea selleks, et mõista, kust pärinevad lihtsaimate trigoni võrratuste üldlahenduste valemid. Lisaks on kasulik neile, kes on liiga laisad, õppida kõiki neid tülikaid valemeid. Kuid ka meetod ise pole lihtne, valige, milline lähenemine lahendusele on teile kõige mugavam.
Trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks saab kasutada ka funktsioonide graafikuid, millele konstrueeritakse abijoon, sarnaselt ühikuringi kasutades näidatud meetodile. Kui olete huvitatud, proovige seda lähenemisviisi lahendusele ise välja mõelda. Järgnevalt kasutame lihtsate trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks üldvalemeid.
Ülesanne nr 10. Lahendage ebavõrdsus.
Kasutame üldlahenduse valemit, võttes arvesse asjaolu, et ebavõrdsus ei ole range:
Meie puhul saame:
Vastus. 
Ülesanne nr 11. Lahendage ebavõrdsus.
Kasutame vastava rangelt ebavõrdsuse üldlahenduse valemit:
Vastus. 
.
Ülesanne nr 12. Lahenda ebavõrdsused: a) ; b) .
Nendes ebavõrdustes pole vaja kiirustada üldlahenduste või trigonomeetrilise ringi valemeid, piisab siinuse ja koosinuse väärtuste vahemiku meelespidamisest.
a) Alates 
, siis pole ebavõrdsusel mõtet. Seetõttu pole lahendusi.
b) Kuna samamoodi rahuldab mis tahes argumendi siinus alati tingimuses määratud ebavõrdsust. Seetõttu rahuldavad kõik argumendi tegelikud väärtused ebavõrdsust.
Vastus. a) lahendusi pole; b) .
Probleem 13. Lahendage ebavõrdsus 
.
See lihtsaim võrratus keerulise argumendiga lahendatakse sarnaselt sarnase võrrandiga. Esmalt leiame lahenduse kogu sulgudes märgitud argumendile ja seejärel teisendame selle vormiks “”, töötades intervalli mõlema otsaga nagu võrrandi parema poole puhul.
Tunni teema: Trigonomeetriliste võrratuste lahendamine
Tund toimus nimelise kooli nr 4 11. klassis. Gorki, Brjansk (2007).
Tund töötab õpiku järgi
https://pandia.ru/text/80/202/images/image002_105.jpg" width="142 height=189" height="189">
Õpetaja: kõrgeima kategooria õpetaja, Vene Föderatsiooni austatud õpetaja Nina Vladimirovna Kusacheva.
Eesmärgid õppetund:
1) Tuvastage tehnikad trigonomeetrilise ebavõrdsuse vähendamiseks kõige lihtsamini: keeruka argumendi lugemine lihtsaks; samaväärsete teisenduste kasutamine; trigonomeetriliste valemite rakendamine.
2) Tuvastage trigonomeetriliste võrratuste lahendamise viisid: taandamine lihtsaimaks; uue muutuja kasutuselevõtt.
3) Õppige ära tundma trigonomeetrilise ebavõrdsuse lahendamise viise.
4) Õppige vastust kirjutama, kui trigonomeetriliste funktsioonide tabeliväärtusi ei kasutata.
5) Parandada trigonomeetriliste võrratuste lahendamise oskust.
6) Testige oma võimet lahendada lihtsaid trigonomeetrilisi võrratusi.
Tunni tüüp: oskuste parandamise õppetund.
Tunniplaan:
1. Trigonomeetriliste ebavõrdsuste, kodutööde täitmise raskuste lahendamise tehnikate ja meetodite väljaselgitamine läbi kõige keerukamate ebavõrdsuste lahenduste analüüsi.
2. Trigonomeetriliste ebavõrdsuste lahendamise oskuse parandamine:
a) lahendusmeetodite äratundmine ja lihtsate trigonomeetriliste võrratuste lahendamise algoritmi kordamine;
b) töötamine kõige lihtsama võrratusega, kus vastuse salvestamiseks ei kasutata tabeliväärtusi;
c) parandada võimet lahendada võrratusi, mida saab taandada kõige lihtsamateks trigonomeetrilisteks, kasutades samaväärseid teisendusi võrratuste võrdlemise kaudu;
d) parandades võimet lahendada ebavõrdsusi, mida saab redutseerimisvalemite abil taandada lihtsateks trigonomeetrilisteks;
e) trigonomeetriliste võrratuste lahendamise oskuse parandamine mitme lahendusmeetodi kasutamise kaudu.
3. Iseseisev töö trigonomeetriliste võrratuste lahendamisel.
4. Kodutööde seadmine.
Tundide ajal:
1. Trigonomeetriliste ebavõrdsuste, kodutööde täitmise raskuste lahendamise tehnikate ja meetodite väljaselgitamine läbi kõige keerukamate ebavõrdsuste lahenduste analüüsi.
Õpetaja:(Tahvlile on kirjutatud kodukaardi ebavõrdsuste nr 7, 8, 10 lahendid).
Vaadake ebavõrdsuse lahendust nr 7. Milliseid küsimusi teil on mõne lahenduse etapi kohta?
№7 sin x ≤ - cos x;
sin x + cos x ≤0;
https://pandia.ru/text/80/202/images/image004_95.gif" width="24" height="41 src="> sin x + cos x) ≤ 0;
https://pandia.ru/text/80/202/images/image005_84.gif" width="17" height="41">) ≤ 0;
patt(x + ) ≤ 0;
x+ О [ - π +2π n, 2π n], nО Z
xО [ -5π/4 + 2π n,- π/4+ 2π n], nО Z
Vastus: xО [ -5π/4 +2π n,- π/4+ 2π n], nО Z
Õpetaja: Siis on mul paar küsimust. Kuidas saadi 3. rida?
Õpilased: Korrutasime ja jagasime iga liikme arvuga .
Õpetaja: Kas sellist ebavõrdsuse teisendust on võimalik teostada?
Õpilased: Jah, see konversioon on samaväärne.
Õpetaja: Mis eesmärgil me seda tegime?
Õpilased: Et saaksite rakendada trigonomeetrilist liitmisvalemit - kahe nurga summa siinust.
Õpetaja: Mis on selle tehnika teine nimi?
Õpilased: Abinurga sisseviimise tehnika.
Õpetaja: Kuidas arvasite, et peate iga liikme täpselt korrutama ja jagama?
Õpilased: on teisendatud võrratuse koefitsientide ruutude summa ruutjuur.
Õpetaja: Nimetage ebavõrdsus, mida võib pidada kõige lihtsamaks, ja põhjendage oma vastust.
Õpilased: Ebavõrdsus patt(x+ ) ≤ 0 võib pidada kõige lihtsamaks, kui võtta arvesse kompleksargumenti ( x+ ) nii lihtne, näiteks t.
Õpetaja: Seega on ebavõrdsuse nr 7 lahendamise põhiidee taandada see lihtsaimaks trigonomeetriliseks võrratuseks. Kordame üle, milliseid tehnikaid kasutati?
Õpilased: 1) ekvivalentteisendused (liikmete ülekandmine; iga liikme korrutamine ja jagamine sama arvuga; abinurga sisseviimine);
(Õpetaja aitab õpilasi, osutades ühele või teisele lahendusreale.)
Õpetaja: Vaadake lahendust ebavõrdsusele nr 8.
№ 8 patt 2x+ https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22">/2 cos 2x) ≥ 1;
2 patt (2x+ π/3) ≥ 1;
patt (2x+ π/3) ≥ 1/2;
2x+ π/3 О [π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], nО Z;
xО [-π/12 + π n, π/4 + π n], n О Z;
Vastus: xО [-π/12 + π n, π/4 + π n], nО Z.
Milliseid küsimusi teil on mõne lahendusetapi kohta? (paus) Milliseid võtteid kasutati selle ebavõrdsuse lahendamiseks?
Õpilased: 1) ekvivalentteisendused (liikmete ülekandmine; iga liikme korrutamine ja jagamine sama arvuga; abinurga sisseviimine, võrratuse mõlema poole jagamine positiivse arvuga);
2) trigonomeetrilise valemi rakendamine,
3) käsitles keerulist argumenti lihtsana.
Õpetaja: Mõelge ebavõrdsuse nr 10 lahendusele:
№10 cos 2 x – 2cosx >0;
Lase cos x= t;
t 2 – 2t >0;
https://pandia.ru/text/80/202/images/image003_118.gif" width="22" height="21">;
2. cos(3π/2 + x) < -/2;
3. cos(π + 2 x) – 1 ≥ 0;
4. sin x > 2/3;
5. 5cos(x– π/6) – 1 ≥ 0;
6. 4patt 2 3x < 3.
Õpetaja: Tõstke esile ebavõrdsused, mis nõuavad trigonomeetrilise võrratuse lihtsaimale kujule taandamisel ekvivalentteisenduste kasutamist?
Õpilased: 1, 3, 5.
Õpetaja: Millised on ebavõrdsused, mille puhul peate käsitlema keerulist argumenti lihtsana?
Õpilased: 1, 2, 3, 5, 6.
Õpetaja: Millised on ebavõrdsused, kus saab rakendada trigonomeetrilisi valemeid?
Õpilased: 2, 3, 6.
Õpetaja: Nimeta ebavõrdsused, kus saab rakendada uue muutuja sisseviimise meetodit?
Õpilased: 6.
Õpetaja: Nüüd hakkame ebavõrdsusi lahendama kõige lihtsamast ja õpime vastust kirjutama, kui tabeliväärtusi ei kasutata. Kuid kõigepealt vastake, kas vastab tõele, et lihtsamaid trigonomeetrilisi võrratusi saab lahendada tahvlile kirjutatud algoritmi abil:
Algoritm lihtsate trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks
1. Asenda ebavõrdsus suuliselt võrrandiga. Joonistage ühikring ja märkige sellele võrrandile vastavad punktid.
2. Märgi ebavõrdsusele vastavad ringi punktid, s.t vali vastav kaar.
3. Märkige loendussuund.
4. Leia kaare algus ja sellele vastav nurk.
5. Leia kaare lõpule vastav nurk.
6. Vastuse kirjutame intervalli kujul, võttes arvesse funktsiooni perioodilisust.
Õpetaja: Kas selles järjestuses lahendasite kõige lihtsamad ebavõrdsused?
Õpilased: Jah.
Kommentaar. Ülesanne analüüsida ebavõrdsuste loendit nende lahendamise meetodite seisukohast võimaldab teil harjutada nende äratundmist. Oskuste arendamisel on oluline välja selgitada selle rakendamise etapid ja sõnastada need üldisel kujul, mis on toodud lihtsaimate trigonomeetriliste võrratuste lahendamise algoritmis.
b) Töötamine kõige lihtsama võrratusega, kus vastuse salvestamiseks ei kasutata tabeliväärtusi.
Õpetaja: Alustame lahendamist ebavõrdsusega nr 4.
Edasise töö korraldus:
https://pandia.ru/text/80/202/images/image010_58.gif" width="204" height="130">Üks õpilane lahendab tahvlil ebavõrdsuse, öeldes valjusti algoritmi iga sammu
5cos(x– π/6) – 1 ≥ 0;
cos(x– π/6) ≥ 1/5;
x– π/6 О [- arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], nО Z;
xО [π/6 – arccos 1/5 + 2π n, π/6 + arccos 1/5 + 2π n], nО Z.
Lahenduse lõpetamisel esitab õpetaja tahvlil ebavõrdsuse lahendanud õpilasele järgmised küsimused:
Õpetaja: Kuidas muutuks vastus, kui antaks range ebavõrdsus?
Õpilane: Seejärel asendataks nurksulud ümarsulgudega.
Õpetaja: Kuidas kirjutaksite vastuse üles, kui antaks ebavõrdsus? cos (x– π/6) ≤ 1/5?
Õpilane: xО [π/6 + arccos 1/5 + 2π n, 13π/6 – arccos 1/5 + 2π n], nО Z.
Õpetaja: Milliseid lihtsaima trigonomeetrilise võrratuse taandamise meetodeid kasutati?
Õpilane: Kasutati ekvivalentseid teisendusi (terminite ülekandmine võrrandi ühest osast teise, jagades võrratuse mõlemad pooled positiivse arvuga); käsitles keerulist argumenti lihtsana.
Õpetaja:(klassi poole pöördumine); Kas teil on vastajale küsimusi või kommentaare? (õpilane vastab õpilaste küsimustele ja nõustub või ei nõustu kommentaaridega, seejärel istub maha).
Õpetaja: Millise ebavõrdsusega sarnaneb ebavõrdsus nr 1 ja mille poolest?
Õpilased: Ebavõrdsusele nr 5, taandades selle kõige lihtsamale; võrratuseni nr 4 kaare asukoha järgi.
Õpetaja: Lahenda suuline ebavõrdsus nr 1: 2 patt (x– π/4) ≥ .
Õpilased: Vastus: xО [ π/2 + 2π n, π + 2π n], nО Z.
Kommentaar. Trigonomeetriliste võrratuste lahendamise oskuse parandamist soodustavad järgmised küsimused: “Kuidas me lahendame ebavõrdsuste rühma?”; “Kuidas erineb üks ebavõrdsus teisest?”; “Kuidas sarnaneb üks ebavõrdsus teisega?”; Kuidas muutuks vastus, kui antaks range ebavõrdsus?"; Kuidas vastus muutuks, kui ">" märgi asemel oleks "<»?»; «Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»; «Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы, когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».
d) Taastamisvalemite abil kõige lihtsamateks trigonomeetrilisteks taandatavate võrratuste lahendamise oskuse parandamine.
Õpetaja: Mõelge ebavõrdsusele nr 2 cos(3π/2 + x)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image011_55.gif" width="217" height="126 src=">Tahtlik õpilane lahendab ebavõrdsuse tahvlil lahendust ütlemata:
cos(3π/2 + x)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22 src=">/2;
Vastus: xО (- 2π/3 + 2π n,-π/3 + 2π n), nО Z.
Lahenduse valmimisel kontrollivad õpilased vormistust ja teevad vajadusel kommentaare. Seejärel esitab õpetaja vastajale järgmised küsimused:
Õpetaja: Kuidas see ebavõrdsus erineb varem lahendatutest?
Õpilane: See ebavõrdsus on redutseerimisvalemi abil taandatud lihtsaimale kujule.
Õpetaja: Kas on muid ebavõrdsusi, mida saab sel viisil lahendada?
Õpilane: № 3.
Õpetaja: Lahendame ebavõrdsuse suuliselt, kommenteerides lahenduse edenemist.
Õpilased:(kommenteerivad lahenduse edenemist järjekorras, õpetaja teeb ebavõrdsuses muudatusi)
№ 3 cos(π + 2 x) – 1 ≥ 0;
cos(π + 2 x) ≥ 1;
- cos 2x ≥ 1;
cos 2x ≤ -1
2x= -π + 2π n , nО Z;
x= -π/2 + π n , nО Z.
Õpetaja: Niisiis, mis on selle ebavõrdsuse lahendamise eripära?
Õpilased: Tema lahendus taandus võrrandi lahendamisele.
Õpetaja: Niisiis, mida teete järgmisena, kui näete, et trigonomeetrilise funktsiooni argument on keeruline?
Õpilased: Vaatame, kas saame argumendi lihtsustamiseks kasutada redutseerimisvalemeid.