Trabajo de investigación en matemáticas "resolución de problemas lógicos". Resumen del trabajo de investigación en matemáticas: Tema: "Método de inducción matemática" - el trabajo de mis alumnos Institución educativa presupuestaria municipal

Esta sección de nuestro sitio web presenta Temas de trabajos de investigación sobre lógica. en forma de problemas lógicos, sofismas y paradojas en matemáticas, interesantes juegos de lógica y pensamiento lógico. El supervisor de trabajo deberá orientar y asistir directamente al estudiante en su investigación.

Los temas que se presentan a continuación para trabajos de investigación y diseño sobre lógica son adecuados para niños a quienes les encanta pensar lógicamente, resolver problemas y ejemplos no estándar, explorar paradojas y problemas matemáticos y jugar juegos de lógica no estándar.

En la siguiente lista, puede seleccionar un tema de proyecto de lógica para cualquier grado de una escuela secundaria, desde la escuela primaria hasta la secundaria. Para ayudarlo a diseñar correctamente un proyecto de matemáticas sobre lógica y pensamiento lógico, puede utilizar los requisitos desarrollados para el diseño del trabajo.

Los siguientes temas para proyectos de investigación lógica no son definitivos y pueden sufrir modificaciones debido a los requisitos establecidos antes del proyecto.

Temas de trabajos de investigación sobre lógica:

Temas de muestra para trabajos de investigación sobre lógica para estudiantes:

Lógica interesante en matemáticas.
Lógica de álgebra
La lógica y nosotros.
Lógicas. Leyes de la lógica
Caja lógica. Una colección de entretenidos problemas de lógica.
Tareas lógicas con números.
Problemas de lógica
Problemas de lógica "Aritmética divertida"
Problemas lógicos en matemáticas.
Problemas lógicos para determinar el número de formas geométricas.
Tareas lógicas para el desarrollo del pensamiento.
Problemas lógicos en las lecciones de matemáticas.
juegos de logica
Paradojas lógicas
Lógica matemática.
Métodos para resolver problemas lógicos y métodos para componerlos.
Simulación de problemas lógicos.
Presentación educativa "Fundamentos de Lógica".
Tipos básicos de problemas lógicos y métodos para resolverlos.
Tras los pasos de Sherlock Holmes, o Métodos para la resolución de problemas lógicos.
Aplicación de la teoría de grafos en la resolución de problemas lógicos.
Problemas de cuatro colores.
Resolver problemas lógicos
Resolver problemas lógicos mediante el método de gráficas.
Resolver problemas lógicos de diferentes formas.
Resolver problemas de lógica usando gráficos.
Resolver problemas lógicos mediante diagramas y tablas.
Resolver problemas lógicos.
Silogismos. Paradojas lógicas.

Temas de proyectos de lógica

Temas de muestra para proyectos de lógica para estudiantes:
Sofistería
Sofismas a nuestro alrededor
Sofismas y paradojas
Métodos de composición y métodos de resolución de problemas lógicos.
Aprender a resolver problemas lógicos.
Álgebra de la lógica y fundamentos lógicos de una computadora.
Tipos de tareas para el pensamiento lógico.
Dos formas de resolver problemas lógicos.
Lógica y matemáticas.
La lógica como ciencia.
Acertijos lógicos.

¡Atención estudiantes! El trabajo del curso se completa de forma independiente en estricta conformidad con el tema elegido. ¡No se permiten temas duplicados! Se ruega informar al profesor sobre el tema elegido de la forma que más le convenga, ya sea de forma individual o en una lista indicando su nombre completo, número de grupo y título del trabajo del curso.

Temas de muestra para trabajos de curso en la disciplina.
"Lógica Matemática"

1. El método de resolución y su aplicación en álgebra proposicional y álgebra de predicados.

2. Sistemas axiomáticos.

3. CNF y DNF mínimos y más cortos.

4. Aplicación de métodos de la lógica matemática en la teoría de los lenguajes formales.

5. Gramáticas formales como cálculos lógicos.

6. Métodos para la resolución de problemas de lógica textual.

7. Sistemas de programación lógica.

8. Juego de lógica.

9. Indecidibilidad de la lógica de primer orden.

10. Modelos de aritmética no estándar.

11. Método de diagonalización en lógica matemática.

12. Las máquinas de Turing y la tesis de Church.

13. Computabilidad sobre el ábaco y funciones recursivas.

14. Representabilidad de funciones recursivas y resultados negativos de la lógica matemática.

15. Solubilidad de la aritmética de la suma.

16. Lógica de segundo orden y definibilidad en aritmética.

17. El método de los ultraproductos en la teoría de modelos.

18. Teorema de Gödel sobre la incompletitud de la aritmética formal.

19. Teorías axiomáticas solubles e indecidibles.

20. El lema de interpolación de Craig y sus aplicaciones.

21. Los convertidores de información más simples.

22. Circuitos de conmutación.

24. Estructuras de contacto.

25. Aplicación de funciones booleanas a circuitos de contactos de relés.

26. Aplicación de funciones booleanas en la teoría del reconocimiento de patrones.

27. Lógica matemática y sistemas de inteligencia artificial.

El trabajo de curso debe constar de 2 partes: el contenido teórico del tema y un conjunto de problemas sobre el tema (al menos 10) con soluciones. También se permite redactar un trabajo final de tipo investigación, sustituyendo la segunda parte (resolución de problemas) por un desarrollo independiente (por ejemplo, un algoritmo de trabajo, programa, muestra, etc.) creado a partir del material teórico discutido. en la primera parte del trabajo.

1) Barwise J. (ed.) Libro de referencia sobre lógica matemática. - M.: Nauka, 1982.

2) Hermanos de los lenguajes de programación. - M.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., computabilidad y lógica. - M.: Mir, 1994.

4) Lógica hindikin en problemas. - M., 1972.

5), lógica de Palyutin. - M.: Nauka, 1979.

6) Solubilidad de Ershov y modelos constructivos. - M.: Nauka, 1980.

7), teoría de Taitslin // Uspekhi Mat. Nauk, 1965, 20, No. 4, p. 37-108.

8) Igoshin - taller de lógica matemática. - M.: Educación, 1986.

9) Lógica de Igoshin y teoría de algoritmos. - Saratov: Editorial Sarat. Universidad, 1991.

10) En Ts., utilizando Turbo Prolog. - M.: Mir, 1993.

11) introducción a las metamatemáticas. - M., 1957.

12) lógica atemática. - M.: Mir, 1973.

13) lógicas en la resolución de problemas. - M.: Nauka, 1990.

14) Lógica de Kolmogorov: un libro de texto de matemáticas para universidades. especialidades /, - M.: Editorial URSS, 2004. - 238 p.

15) cuento con nudos / Transl. De inglés - M., 1973.

16) juego de lógica / Trans. De inglés - M., 1991.

17), Maksimov sobre teoría de conjuntos, lógica matemática y teoría de algoritmos. - 4ª ed. - M., 2001.

18), lógica de Sukacheva. Curso de conferencias. Libro de problemas prácticos y soluciones: Guía de estudio. 3ª ed., rev. - San Petersburgo.

19) Editorial "Lan", 2008. - 288 p.

20) Lyskova en informática / , . - M.: Laboratorio de Conocimientos Básicos, 2001. - 160 p.

21) Lógica matemática / Bajo la dirección general y otros - Minsk: Escuela Superior, 1991.

22) introducción a la lógica matemática. - M.: Nauka, 1984.

23) Moshchensky sobre lógica matemática. - Minsk, 1973.

24) Nikolskaya con lógica matemática. - M.: Instituto Psicológico y Social de Moscú: Flint, 1998. - 128 p.

25) Lógica de Nikolskaya. - M., 1981.

26) Lógica matemática de Novikov. - M.: Nauka, 1973.

27) Teoría de Rabin. En el libro: Libro de referencia sobre lógica matemática, parte 3. Teoría de la recursión. - M.: Nauka, 1982. - pág. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. et al. Enfoque lógico de la inteligencia artificial. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. et al. Enfoque lógico de la inteligencia artificial. T. 2. - M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Lógica matemática y prueba automática de teoremas. - M.: Nauka, 1983.

31) introducción a la lógica matemática. - M.: Mir, 1960.

32) Lógica Shabunin. Lógica proposicional y lógica de predicados: libro de texto /, rep. ed. ; Estado de Chuvasia Universidad que lleva el nombre . - Cheboksary: ​​​​Editorial Chuvash. Universidad, 2003. - 56 p.

Institución presupuestaria educativa municipal -

Escuela Secundaria No. 51

Oremburgo.

Proyecto sobre:

profesor de matematicas

Egorcheva Victoria Andreevna

2017

Hipótesis : Si la teoría de grafos se acerca a la práctica, se podrán obtener los resultados más beneficiosos.

Objetivo: Familiarícese con el concepto de gráficas y aprenda a aplicarlas para resolver diversos problemas.

Tareas:

1) Ampliar el conocimiento sobre métodos de construcción de gráficos.

2) Identificar tipos de problemas cuya solución requiere el uso de la teoría de grafos.

3) Explorar el uso de gráficas en matemáticas.

“Euler calculó, sin ningún esfuerzo visible, cómo respira una persona o cómo se eleva un águila sobre la tierra”.

Domingo Aragó.

I. Introducción. pag.

II . Parte principal.

1. El concepto de gráfico. Problema con los puentes de Königsberg. pag.

2. Propiedades de las gráficas. pag.

3. Problemas de teoría de grafos. pag.

Sh. Conclusión.

El significado de los gráficos. pag.

IV. Bibliografía. pag.

I . INTRODUCCIÓN

La teoría de grafos es una ciencia relativamente joven. "Gráficos" tiene la raíz de la palabra griega "grapho", que significa "escribo". La misma raíz se encuentra en las palabras “gráfico”, “biografía”.

En mi trabajo, analizo cómo se utiliza la teoría de grafos en diversas áreas de la vida de las personas. Todo profesor de matemáticas y casi todos los estudiantes saben lo difícil que es resolver problemas geométricos, así como problemas planteados de álgebra. Habiendo explorado la posibilidad de utilizar la teoría de grafos en un curso de matemáticas escolar, llegué a la conclusión de que esta teoría simplifica enormemente la comprensión y la resolución de problemas.

II . PARTE PRINCIPAL.

1. El concepto de gráfico.

El primer trabajo sobre teoría de grafos pertenece a Leonhard Euler. Apareció en 1736 en las publicaciones de la Academia de Ciencias de San Petersburgo y comenzó con una consideración del problema de los puentes de Königsberg.

Probablemente sepas que existe una ciudad llamada Kaliningrado; antes se llamaba Königsberg. El río Pregolya atraviesa la ciudad. Se divide en dos ramales y da la vuelta a la isla. En el siglo XVII había siete puentes en la ciudad, dispuestos como se muestra en la imagen.

Cuentan que un día un vecino de la ciudad le preguntó a su amigo si podía cruzar todos los puentes para visitar cada uno de ellos una sola vez y regresar al lugar donde comenzó la caminata. Muchos habitantes se interesaron por este problema, pero nadie pudo encontrar una solución. Esta cuestión ha atraído la atención de científicos de muchos países. El famoso matemático Leonhard Euler logró resolver el problema. Leonhard Euler, natural de Basilea, nació el 15 de abril de 1707. Los logros científicos de Euler son enormes. Influyó en el desarrollo de casi todas las ramas de las matemáticas y la mecánica, tanto en el campo de la investigación fundamental como en sus aplicaciones. Leonhard Euler no sólo resolvió este problema específico, sino que también ideó un método general para resolverlos. Euler hizo lo siguiente: "comprimió" la tierra en puntos y "estiró" los puentes en líneas. El resultado es la figura que se muestra en la figura.

Tal figura, que consta de puntos y líneas que conectan estos puntos, se llamacontar. Puntos A, B, C, D se llaman vértices del gráfico y las líneas que conectan los vértices se llaman aristas del gráfico. En un dibujo de vértices B, C, D Salen 3 costillas, y desde arriba A - 5 costillas. Los vértices de los que emerge un número impar de aristas se llamanvértices impares, y los vértices de los cuales emerge un número par de aristas sonincluso.

2. Propiedades del gráfico.

Al resolver el problema de los puentes de Königsberg, Euler estableció, en particular, las propiedades del gráfico:

1. Si todos los vértices de la gráfica son pares, entonces puedes dibujar una gráfica de un solo trazo (es decir, sin levantar el lápiz del papel y sin dibujar dos veces en la misma línea). En este caso, el movimiento puede comenzar desde cualquier vértice y finalizar en el mismo vértice.

2. También se puede dibujar un gráfico con dos vértices impares de un solo trazo. El movimiento debe comenzar desde cualquier vértice impar y finalizar en otro vértice impar.

3. No se puede dibujar un gráfico con más de dos vértices impares de un solo trazo.

4.El número de vértices impares de una gráfica siempre es par.

5. Si un gráfico tiene vértices impares, entonces el número más pequeño de trazos que se pueden usar para dibujar el gráfico será igual a la mitad del número de vértices impares de este gráfico.

Por ejemplo, si una figura tiene cuatro números impares, entonces se puede dibujar con al menos dos trazos.

En el problema de los siete puentes de Königsberg, los cuatro vértices del gráfico correspondiente son impares, es decir No puedes cruzar todos los puentes una vez y terminar el viaje donde comenzó.

3. Resolución de problemas mediante gráficas.

1. Tareas de dibujo de figuras de un solo trazo.

Intentar dibujar cada una de las siguientes formas con un solo trazo del lápiz dará resultados diferentes.

Si no hay puntos impares en la figura, siempre se puede dibujar con un trazo del bolígrafo, sin importar dónde empieces a dibujar. Estas son las figuras 1 y 5.

Si una figura tiene solo un par de puntos impares, entonces dicha figura se puede dibujar con un solo trazo, comenzando a dibujar en uno de los puntos impares (no importa cuál). Es fácil entender que el dibujo debe terminar en el segundo punto impar. Estas son las figuras 2, 3, 6. En la figura 6, por ejemplo, el dibujo debe comenzar desde el punto A o desde el punto B.

Si una figura tiene más de un par de puntos impares, entonces no se puede dibujar de un solo trazo. Estas son las figuras 4 y 7, que contienen dos pares de puntos impares. Lo dicho es suficiente para reconocer con precisión qué figuras no se pueden dibujar de un solo trazo y cuáles sí, así como desde qué punto se debe comenzar el dibujo.

Propongo dibujar las siguientes figuras de un solo trazo.

2. Resolver problemas lógicos.

TAREA No. 1.

En el campeonato de la clase de tenis de mesa participan 6 participantes: Andrey, Boris, Victor, Galina, Dmitry y Elena. El campeonato se lleva a cabo en un sistema de todos contra todos: cada participante juega contra los demás una vez. Hasta la fecha ya se han jugado algunos juegos: Andrey jugó con Boris, Galina, Elena; Boris - con Andrey, Galina; Víctor - con Galina, Dmitry, Elena; Galina - con Andrey, Víctor y Boris. ¿Cuantos partidos se han jugado hasta ahora y cuantos quedan?

SOLUCIÓN:

Construyamos un gráfico como se muestra en la figura.

7 partidos jugados.

En esta figura, la gráfica tiene 8 aristas, por lo que quedan 8 juegos por jugar.

TAREA 2

En el patio, rodeado por una valla alta, hay tres casas: roja, amarilla y azul. La valla tiene tres puertas: roja, amarilla y azul. Desde la casa roja, dibuja un camino hasta la puerta roja, desde la casa amarilla hasta la puerta amarilla, desde la casa azul hasta la azul para que estos caminos no se crucen.

SOLUCIÓN:

La solución al problema se muestra en la figura.

3. Resolver problemas escritos.

Para resolver problemas utilizando el método gráfico, es necesario conocer el siguiente algoritmo:

1. ¿De qué proceso estamos hablando en el problema?2. ¿Qué cantidades caracterizan este proceso?3.¿Cuál es la relación entre estas cantidades?4. ¿Cuántos procesos diferentes se describen en el problema?5.¿Existe una conexión entre los elementos?

Respondiendo a estas preguntas, analizamos el estado del problema y lo anotamos esquemáticamente.

Por ejemplo . El autobús viajó durante 2 horas a una velocidad de 45 km/h y durante 3 horas a una velocidad de 60 km/h. ¿Qué distancia recorrió el autobús durante estas 5 horas?

S
¹=90 km V ¹=45 km/h t ¹=2h

S=TV

S²=180 km V²=60 km/h t²=3 h

S ¹ + S ² = 90 + 180

Solución:

1)45x 2 = 90 (km): el autobús viajó en 2 horas.

2)60x 3 = 180 (km): el autobús viajó en 3 horas.

3)90 + 180 = 270 (km) - el autobús viajó en 5 horas.

Respuesta: 270 kilómetros.

III . CONCLUSIÓN.

Como resultado de trabajar en el proyecto, aprendí que Leonhard Euler fue el fundador de la teoría de grafos y resolvió problemas utilizando la teoría de grafos. Llegué a la conclusión de que la teoría de grafos se utiliza en diversas áreas de las matemáticas modernas y sus numerosas aplicaciones. No cabe duda de la utilidad de introducirnos a los estudiantes en los conceptos básicos de la teoría de grafos. Resolver muchos problemas matemáticos se vuelve más fácil si puedes usar gráficas. Presentación de datos V la forma de un gráfico les da claridad. Muchas pruebas también se simplifican y se vuelven más convincentes si se utilizan gráficos. Esto se aplica especialmente a áreas de las matemáticas como la lógica matemática y la combinatoria.

Por tanto, el estudio de este tema tiene una gran importancia educativa, cultural y matemática general. En la vida cotidiana se utilizan cada vez más ilustraciones gráficas, representaciones geométricas y otras técnicas y métodos visuales. Para ello, resulta útil introducir el estudio de elementos de la teoría de grafos en las escuelas primarias y secundarias, al menos en actividades extraescolares, ya que este tema no está incluido en el currículo de matemáticas.

V . BIBLIOGRAFÍA:

2008

Revisar.

El proyecto sobre el tema “Gráficos que nos rodean” fue realizado por Nikita Zaytsev, estudiante del séptimo grado “A” de la institución educativa municipal número 3 de Krasny Kut.

Una característica distintiva del trabajo de Nikita Zaitsev es su relevancia, orientación práctica, profundidad de cobertura del tema y la posibilidad de utilizarlo en el futuro.

El trabajo es creativo, en forma de proyecto informativo. El estudiante eligió este tema para mostrar la relación de la teoría de grafos con la práctica usando el ejemplo de la ruta de un autobús escolar, para mostrar que la teoría de grafos se utiliza en diversas áreas de las matemáticas modernas y sus numerosas aplicaciones, especialmente en economía, lógica matemática y combinatoria. . Demostró que la resolución de problemas se simplifica enormemente si es posible utilizar gráficos; presentar los datos en forma de gráficos les da claridad; muchas demostraciones también se simplifican y se vuelven convincentes.

El trabajo aborda temas como:

1. El concepto de gráfico. Problema con los puentes de Königsberg.

2. Propiedades de las gráficas.

3. Problemas de teoría de grafos.

4. El significado de las gráficas.

5. Opción de ruta de autobús escolar.

Al realizar su trabajo, N. Zaitsev utilizó:

1. Alkhova Z.N., Makeeva A.V. "Trabajo extraescolar en matemáticas".

2. Revista “Matemáticas en la escuela”. Anexo “Primero de Septiembre” No. 13

2008

3. Ya.I.Perelman “Tareas y experimentos entretenidos”. - Moscú: Educación, 2000.

El trabajo se realizó de manera competente, el material cumple con los requisitos de este tema, se adjuntan los dibujos correspondientes.

Introducción. 3

1. Lógica matemática (lógica sin sentido) y lógica de “sentido común” 4

2. Juicios e inferencias matemáticas. 6

3. Lógica matemática y “sentido común” en el siglo XXI. once

4. Lógica antinatural en los fundamentos de las matemáticas. 12

Conclusión. 17

Referencias… 18

La expansión del área de intereses lógicos está asociada a tendencias generales en el desarrollo del conocimiento científico. Así, el surgimiento de la lógica matemática a mediados del siglo XIX fue el resultado de aspiraciones centenarias de matemáticos y lógicos de construir un lenguaje simbólico universal, libre de las "deficiencias" del lenguaje natural (principalmente su polisemia, es decir, la polisemia). .

El mayor desarrollo de la lógica está asociado con el uso combinado de la lógica clásica y matemática en campos aplicados. Las lógicas no clásicas (lógica deóntica, relevante, jurídica, lógica de toma de decisiones, etc.) a menudo se ocupan de la incertidumbre y la confusión de los objetos en estudio, de la naturaleza no lineal de su desarrollo. Así, al analizar problemas bastante complejos en sistemas de inteligencia artificial, surge el problema de la sinergia entre diferentes tipos de razonamiento a la hora de resolver un mismo problema. Las perspectivas de desarrollo de la lógica en línea con la convergencia con la informática están asociadas con la creación de una cierta jerarquía de posibles modelos de razonamiento, incluido el razonamiento en lenguaje natural, el razonamiento plausible y las conclusiones deductivas formalizadas. Esto se puede resolver utilizando lógica clásica, matemática y no clásica. Por tanto, no estamos hablando de diferentes “lógicas”, sino de diferentes grados de formalización del pensamiento y de la “dimensión” de los significados lógicos (lógica bivaluada, multivaluada, etc.).

Identificación de las principales direcciones de la lógica moderna:

1. lógica general o clásica;

2. lógica simbólica o matemática;

3. lógica no clásica.

La lógica matemática es un concepto bastante vago, debido a que también existen infinitas lógicas matemáticas. Aquí comentaremos algunos de ellos, rindiendo más homenaje a la tradición que al sentido común. Porque, muy posiblemente, esto sea de sentido común... ¿Lógico?

La lógica matemática te enseña a razonar lógicamente no más que cualquier otra rama de las matemáticas. Esto se debe al hecho de que la "logicidad" del razonamiento en lógica está determinada por la lógica misma y sólo puede usarse correctamente en la lógica misma. En la vida, cuando pensamos lógicamente, por regla general, utilizamos diferentes lógicas y diferentes métodos de razonamiento lógico, mezclando descaradamente deducción con inducción... Además, en la vida construimos nuestro razonamiento basándose en premisas contradictorias, por ejemplo, “Don No dejes para mañana lo que puedas hacer hoy" y "Harás reír a la gente rápidamente". A menudo sucede que una conclusión lógica que no nos gusta lleva a una revisión de las premisas iniciales (axiomas).

Quizás haya llegado el momento de decir sobre la lógica, quizás lo más importante: la lógica clásica no se ocupa del significado. ¡Ni saludable ni ningún otro! Para estudiar el sentido común, por cierto, está la psiquiatría. Pero en psiquiatría la lógica es bastante dañina.

Por supuesto, cuando diferenciamos la lógica del sentido, nos referimos en primer lugar a la lógica clásica y a la comprensión cotidiana del sentido común. No existen áreas prohibidas en matemáticas, por lo que el estudio del significado mediante la lógica, y viceversa, está presente de diversas formas en varias ramas modernas de la ciencia lógica.

(La última frase funcionó bien, aunque no intentaré definir el término “ciencia lógica” ni siquiera aproximadamente). El significado, o la semántica, por así decirlo, se trata, por ejemplo, mediante la teoría de modelos. Y en general, el término semántica suele ser sustituido por el término interpretación. Y si estamos de acuerdo con los filósofos en que la interpretación (¡exhibición!) de un objeto es su comprensión en algún aspecto dado, entonces las esferas límite de las matemáticas, que pueden usarse para atacar el significado en lógica, ¡se vuelven incomprensibles!

En términos prácticos, la programación teórica se ve obligada a interesarse por la semántica. Y en él, además de la semántica, también hay operativa, denotacional, procesal, etc. etcétera. semántica...

Mencionemos simplemente la apoteosis: LA TEORÍA DE LAS CATEGORÍAS, que llevó la semántica a una sintaxis formal y oscura, donde el significado ya es tan simple, dispuesta en estantes que es completamente imposible para un simple mortal llegar al fondo de ella. ... Esto es para la élite.

Entonces, ¿qué hace la lógica? ¿Al menos en su parte más clásica? La lógica hace sólo lo que hace. (Y ella define esto de manera extremadamente estricta). ¡Lo principal en lógica es definirlo estrictamente! Establecer la axiomática. Y entonces las conclusiones lógicas deberían ser (!) en gran medida automáticas...

¡Razonar sobre estas conclusiones es otra cuestión! ¡Pero estos argumentos ya están más allá de los límites de la lógica! Por lo tanto, ¡requieren un estricto sentido matemático!

Puede parecer que se trata de un simple acto de equilibrio verbal. ¡NO! Como ejemplo de un determinado sistema lógico (axiomático), tomemos el conocido juego 15. Establezcamos (mezclemos) la disposición inicial de fichas cuadradas. Entonces el juego (¡conclusión lógica!), y específicamente el movimiento de las fichas a un espacio vacío, puede manejarse mediante algún dispositivo mecánico, y podrás observar pacientemente y regocijarte cuando, como resultado de posibles movimientos, se desarrolle una secuencia del 1 al 15. se forma en la caja, pero nadie prohíbe controlar el dispositivo mecánico y orientarlo, BASADO EN EL SENTIDO COMÚN, con los movimientos correctos de los chips para acelerar el proceso. ¡O tal vez incluso demostrar, utilizando para el razonamiento lógico, por ejemplo, una rama de las matemáticas como la COMBINATÓRICA, que con una determinada disposición inicial de chips es imposible obtener la combinación final requerida!

No hay más sentido común en esa parte de la lógica que se llama ÁLGEBRA LÓGICA. Aquí se introducen las OPERACIONES LÓGICAS y se definen sus propiedades. Como ha demostrado la práctica, en algunos casos las leyes de este álgebra pueden corresponder a la lógica de la vida, pero en otros no. Debido a tal inconstancia, las leyes de la lógica no pueden considerarse leyes desde el punto de vista de la práctica de la vida. Su conocimiento y uso mecánico no sólo pueden ayudar, sino también perjudicar. Especialmente psicólogos y abogados. La situación se complica por el hecho de que, junto con las leyes del álgebra de la lógica, que a veces corresponden o no al razonamiento de la vida, existen leyes lógicas que algunos lógicos categóricamente no reconocen. Esto se aplica principalmente a las llamadas leyes del TERCERO EXCLUSIVO y de CONTRADICCIÓN.

2. Juicios e inferencias matemáticas.

En el pensamiento, los conceptos no aparecen por separado, sino que están conectados entre sí de cierta manera. La forma de conexión de conceptos entre sí es un juicio. En cada juicio se establece alguna conexión o alguna relación entre conceptos, y esto afirma con ello la existencia de una conexión o relación entre los objetos abarcados por los correspondientes conceptos. Si los juicios reflejan correctamente estas dependencias objetivamente existentes entre las cosas, entonces los llamamos verdaderos; de lo contrario, los juicios serán falsos. Así, por ejemplo, la proposición “todo rombo es un paralelogramo” es una proposición verdadera; La proposición “todo paralelogramo es un rombo” es una proposición falsa.

Por tanto, un juicio es una forma de pensamiento que refleja la presencia o ausencia del objeto en sí (la presencia o ausencia de cualquiera de sus características y conexiones).

Pensar significa emitir juicios. Con la ayuda de los juicios, el pensamiento y el concepto reciben su mayor desarrollo.

Dado que todo concepto refleja una determinada clase de objetos, fenómenos o relaciones entre ellos, cualquier juicio puede considerarse como la inclusión o no inclusión (parcial o completa) de un concepto en la clase de otro concepto. Por ejemplo, la proposición “todo cuadrado es un rombo” indica que el concepto “cuadrado” está incluido en el concepto “rombo”; la proposición “las rectas que se cruzan no son paralelas” indica que las rectas que se cruzan no pertenecen al conjunto de rectas llamadas paralelas.

Un juicio tiene su propia capa lingüística: una oración, pero no toda oración es un juicio.

Un rasgo característico de una sentencia es la presencia obligatoria de verdad o falsedad en la oración que la expresa.

Por ejemplo, la frase “el triángulo ABC es isósceles” expresa algún juicio; la frase “¿Será ABC isósceles?” no expresa juicio.

Cada ciencia representa esencialmente un determinado sistema de juicios sobre los objetos que son objeto de su estudio. Cada uno de los juicios se formaliza en forma de una determinada propuesta, expresada en términos y símbolos inherentes a esta ciencia. Las matemáticas también representan un determinado sistema de juicios expresados ​​en oraciones matemáticas a través de términos matemáticos o lógicos o sus símbolos correspondientes. Los términos matemáticos (o símbolos) denotan aquellos conceptos que componen el contenido de una teoría matemática, los términos lógicos (o símbolos) denotan operaciones lógicas con la ayuda de las cuales se construyen otras proposiciones matemáticas a partir de algunas proposiciones matemáticas, a partir de algunos juicios se forman otros juicios. , cuyo conjunto constituye las matemáticas como ciencia.

En términos generales, los juicios se forman durante el pensamiento de dos maneras principales: directa e indirectamente. En el primer caso, el resultado de la percepción se expresa mediante un juicio, por ejemplo, "esta figura es un círculo". En el segundo caso, el juicio surge como resultado de una actividad mental especial llamada inferencia. Por ejemplo, “el conjunto de puntos dados en un plano es tal que su distancia a un punto es la misma; Esto significa que esta figura es un círculo”.

En el proceso de esta actividad mental, generalmente se produce una transición de uno o más juicios interconectados a un nuevo juicio que contiene nuevos conocimientos sobre el objeto de estudio. Esta transición es la inferencia, que representa la forma más elevada de pensamiento.

Entonces, la inferencia es el proceso de obtener una nueva conclusión a partir de uno o más juicios dados. Por ejemplo, la diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes (primera proposición).

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 2d (segunda proposición).

La suma de los ángulos interiores de un paralelogramo es igual a 4d (nueva conclusión).

El valor cognitivo de las inferencias matemáticas es extremadamente grande. Amplían los límites de nuestro conocimiento sobre objetos y fenómenos del mundo real debido al hecho de que la mayoría de las proposiciones matemáticas son una conclusión de un número relativamente pequeño de juicios básicos, que se obtienen, por regla general, a través de la experiencia directa y que reflejan nuestra conocimiento más simple y más general sobre sus objetos.

La inferencia se diferencia (como forma de pensamiento) de los conceptos y juicios en que es una operación lógica sobre pensamientos individuales.

No toda combinación de juicios entre sí constituye una conclusión: debe existir una cierta conexión lógica entre los juicios, que refleje la conexión objetiva que existe en la realidad.

Por ejemplo, no se puede sacar una conclusión de las proposiciones “la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 2d” y “2*2=4”.

Está claro qué importancia tiene en el sistema de nuestro conocimiento matemático la capacidad de construir correctamente varias oraciones matemáticas o sacar conclusiones en el proceso de razonamiento. El lenguaje hablado no es adecuado para expresar ciertos juicios y mucho menos para identificar la estructura lógica del razonamiento. Por tanto, es natural que existiera la necesidad de mejorar el lenguaje utilizado en el proceso de razonamiento. El lenguaje matemático (o más bien, simbólico) resultó ser el más adecuado para ello. El campo especial de la ciencia que surgió en el siglo XIX, la lógica matemática, no sólo resolvió por completo el problema de crear una teoría de la demostración matemática, sino que también tuvo una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas en su conjunto.

La lógica formal (que surgió en la antigüedad en las obras de Aristóteles) no se identifica con la lógica matemática (que surgió en el siglo XIX en las obras del matemático inglés J. Boole). El tema de la lógica formal es el estudio de las leyes de la relación de juicios y conceptos en inferencias y reglas de evidencia. La lógica matemática se diferencia de la lógica formal en que, basándose en las leyes básicas de la lógica formal, explora los patrones de procesos lógicos basados ​​en el uso de métodos matemáticos: “Las conexiones lógicas que existen entre juicios, conceptos, etc., se expresan en fórmulas cuya interpretación esté libre de ambigüedades que fácilmente podrían surgir de la expresión verbal. Así, la lógica matemática se caracteriza por la formalización de operaciones lógicas, una abstracción más completa del contenido específico de las oraciones (que expresan cualquier juicio).

Ilustremos esto con un ejemplo. Considere la siguiente inferencia: "Si todas las plantas son rojas y todos los perros son plantas, entonces todos los perros son rojos".

Cada uno de los juicios utilizados aquí y el juicio que recibimos como resultado de una inferencia restringida parecen ser una patente tontería. Sin embargo, desde el punto de vista de la lógica matemática, estamos ante una oración verdadera, ya que en lógica matemática la verdad o falsedad de una conclusión depende únicamente de la verdad o falsedad de sus premisas constituyentes, y no de su contenido específico. Por lo tanto, si uno de los conceptos básicos de la lógica formal es un juicio, entonces el concepto análogo de la lógica matemática es el concepto de enunciado-enunciado, para el cual sólo tiene sentido decir si es verdadero o falso. No se debe pensar que toda afirmación se caracteriza por una falta de “sentido común” en su contenido. Es solo que la parte significativa de la oración que constituye tal o cual afirmación pasa a un segundo plano en la lógica matemática y no es importante para la construcción lógica o el análisis de tal o cual conclusión. (Aunque, por supuesto, es fundamental para comprender el contenido de lo que se está discutiendo al considerar este tema).

Está claro que en las matemáticas mismas se consideran enunciados significativos. Al establecer diversas conexiones y relaciones entre conceptos, los juicios matemáticos afirman o niegan cualquier relación entre objetos y fenómenos de la realidad.

3. Lógica matemática y “sentido común” en el siglo XXI.

La lógica no es sólo una ciencia puramente matemática, sino también filosófica. En el siglo XX, estas dos hipóstasis lógicas interconectadas resultaron estar separadas en diferentes direcciones. Por un lado, la lógica se entiende como la ciencia de las leyes del pensamiento correcto y, por otro, se presenta como un conjunto de lenguajes artificiales vagamente conectados, que se denominan sistemas lógicos formales.

Para muchos, es obvio que pensar es un proceso complejo con la ayuda del cual se resuelven problemas cotidianos, científicos o filosóficos y nacen ideas brillantes o delirios fatales. Muchos entienden el lenguaje simplemente como un medio por el cual los resultados del pensamiento pueden transmitirse a los contemporáneos o dejarse a los descendientes. Pero, al conectar en nuestra conciencia el pensamiento con el concepto de "proceso" y el lenguaje con el concepto de "medio", esencialmente dejamos de notar el hecho inmutable de que en este caso los "medios" no están completamente subordinados al "proceso". , pero depender de nuestra elección intencionada o inconsciente de ciertos clichés verbales tiene una fuerte influencia en el curso y resultado del "proceso" en sí. Además, hay muchos casos en los que esa “influencia inversa” resulta no sólo un obstáculo para el pensamiento correcto, sino a veces incluso su destructor.

Desde un punto de vista filosófico, la tarea planteada en el marco del positivismo lógico nunca se completó. En particular, en sus estudios posteriores, uno de los fundadores de esta corriente, Ludwig Wittgenstein, llegó a la conclusión de que el lenguaje natural no puede reformarse de acuerdo con el programa desarrollado por los positivistas. Incluso el lenguaje de las matemáticas en su conjunto resistió la poderosa presión del "logicismo", aunque muchos términos y estructuras del lenguaje propuesto por los positivistas entraron en algunas secciones de las matemáticas discretas y las complementaron significativamente. La popularidad del positivismo lógico como corriente filosófica en la segunda mitad del siglo XX disminuyó notablemente: muchos filósofos llegaron a la conclusión de que el rechazo de muchas "ilógicas" del lenguaje natural, un intento de incluirlo en el marco de los principios fundamentales del positivismo lógico implica la deshumanización del proceso de cognición y, al mismo tiempo, la deshumanización de la cultura humana en su conjunto.

Muchos métodos de razonamiento utilizados en el lenguaje natural suelen ser muy difíciles de trasladar sin ambigüedades al lenguaje de la lógica matemática. En algunos casos, tal mapeo conduce a una distorsión significativa de la esencia del razonamiento natural. Y hay razones para creer que estos problemas son consecuencia de la posición metodológica inicial de la filosofía analítica y el positivismo sobre la falta de lógica del lenguaje natural y la necesidad de su reforma radical. El marco metodológico muy original del positivismo tampoco resiste la crítica. Acusar al lenguaje hablado de ilógico es sencillamente absurdo. De hecho, la falta de lógica no caracteriza al lenguaje en sí, pero muchos usuarios de este lenguaje que simplemente no saben o no quieren usar la lógica y compensan este defecto con técnicas psicológicas o retóricas para influir en el público, o en su razonamiento utilizan como lógica un sistema que se llama lógica sólo por malentendido. Al mismo tiempo, hay muchas personas cuyo habla se distingue por la claridad y la lógica, y estas cualidades no están determinadas por el conocimiento o el desconocimiento de los fundamentos de la lógica matemática.

En el razonamiento de quienes pueden clasificarse como legisladores o seguidores del lenguaje formal de la lógica matemática, a menudo se revela una especie de "ceguera" en relación con los errores lógicos elementales. Uno de los grandes matemáticos, Henri Poincaré, llamó la atención sobre esta ceguera en los trabajos fundamentales de G. Cantor, D. Hilbert, B. Russell, J. Peano y otros a principios de nuestro siglo.

Un ejemplo de un enfoque tan ilógico del razonamiento es la formulación de la famosa paradoja de Russell, en la que dos conceptos puramente heterogéneos, "elemento" y "conjunto", se confunden sin razón. En muchos trabajos modernos sobre lógica y matemáticas, en los que se nota la influencia del programa de Hilbert, no se explican muchas afirmaciones claramente absurdas desde el punto de vista de la lógica natural. La relación entre "elemento" y "conjunto" es el ejemplo más simple de este tipo. Muchos trabajos en esta dirección afirman que un determinado conjunto (llamémoslo A) puede ser elemento de otro conjunto (llamémoslo B).

Por ejemplo, en un conocido manual de lógica matemática encontraremos la siguiente frase: “Los propios conjuntos pueden ser elementos de conjuntos, así, por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos de números enteros tiene como elementos a los conjuntos”. Tenga en cuenta que esta declaración no es sólo una exención de responsabilidad. Está contenido como axioma "oculto" en la teoría formal de conjuntos, que muchos expertos consideran la base de las matemáticas modernas, así como en el sistema formal que el matemático K. Gödel construyó al demostrar su famoso teorema sobre la incompletitud de los sistemas formales. Este teorema se refiere a una clase bastante estrecha de sistemas formales (incluyen la teoría formal de conjuntos y la aritmética formal), cuya estructura lógica claramente no corresponde a la estructura lógica del razonamiento y la justificación naturales.

Sin embargo, durante más de medio siglo ha sido objeto de acalorados debates entre lógicos y filósofos en el contexto de la teoría general del conocimiento. Con una generalización tan amplia de este teorema, resulta que muchos conceptos elementales son fundamentalmente incognoscibles. Pero con un enfoque más sobrio, resulta que el teorema de Gödel sólo mostró la inconsistencia del programa de justificación formal de las matemáticas propuesto por D. Hilbert y adoptado por muchos matemáticos, lógicos y filósofos. El aspecto metodológico más amplio del teorema de Gödel difícilmente puede considerarse aceptable hasta que se responda la siguiente pregunta: ¿es el programa de Hilbert para justificar las matemáticas el único posible? Para comprender la ambigüedad de la afirmación “el conjunto A es un elemento del conjunto B”, basta con hacer una simple pregunta: “¿A partir de qué elementos se forma el conjunto B en este caso?” Desde el punto de vista de la lógica natural, sólo son posibles dos explicaciones mutuamente excluyentes. Explicación uno. Los elementos del conjunto B son los nombres de algunos conjuntos y, en particular, el nombre o designación del conjunto A. Por ejemplo, el conjunto de todos los números pares está contenido como elemento en el conjunto de todos los nombres (o designaciones) de conjuntos que se distinguen por algunas características del conjunto de todos los números enteros. Para poner un ejemplo más claro: el conjunto de todas las jirafas está contenido como elemento en el conjunto de todas las especies animales conocidas. En un contexto más amplio, el conjunto B también puede formarse a partir de definiciones conceptuales de conjuntos o referencias a conjuntos. Explicación dos. Los elementos del conjunto B son los elementos de algunos otros conjuntos y, en particular, todos los elementos del conjunto A. Por ejemplo, todo número par es un elemento del conjunto de todos los números enteros, o cada jirafa es un elemento del conjunto. conjunto de todos los animales. Pero luego resulta que en ambos casos la expresión “el conjunto A es un elemento del conjunto B” no tiene sentido. En el primer caso, resulta que el elemento del conjunto B no es el conjunto A en sí, sino su nombre (o designación, o referencia a él). En este caso, se establece implícitamente una relación de equivalencia entre el conjunto y su designación, lo cual es inaceptable ni desde el punto de vista del sentido común ordinario, ni desde el punto de vista de la intuición matemática, que es incompatible con un formalismo excesivo. En el segundo caso, resulta que el conjunto A está incluido en el conjunto B, es decir es un subconjunto del mismo, pero no un elemento. Aquí también hay una sustitución obvia de conceptos, ya que la relación de inclusión de conjuntos y la relación de pertenencia (ser un elemento de un conjunto) en matemáticas tienen significados fundamentalmente diferentes. La famosa paradoja de Russell, que minó la confianza de los lógicos en el concepto de conjunto, se basa en este absurdo: la paradoja se basa en la premisa ambigua de que un conjunto puede ser un elemento de otro conjunto.

Otra posible explicación es posible. Definamos un conjunto A mediante una simple enumeración de sus elementos, por ejemplo, A = (a, b). El conjunto B, a su vez, se especifica enumerando algunos conjuntos, por ejemplo, B = ((a, b), (a, c)). En este caso, parece obvio que el elemento de B no es el nombre del conjunto A, sino el propio conjunto A. Pero incluso en este caso, los elementos del conjunto A no son elementos del conjunto B, y el conjunto A se considera aquí como una colección inseparable, que bien puede ser reemplazada por su nombre. Pero si consideráramos que todos los elementos de los conjuntos contenidos en él son elementos de B, entonces en este caso el conjunto B sería igual al conjunto (a, b, c), y el conjunto A en este caso no sería un elemento de B, sino un subconjunto de él. Así, resulta que esta versión de la explicación, dependiendo de nuestra elección, se reduce a las opciones enumeradas anteriormente. Y si no se ofrece ninguna opción, se produce una ambigüedad elemental, que a menudo conduce a paradojas “inexplicables”.

Sería posible no prestar especial atención a estos matices terminológicos si no fuera por una circunstancia. Resulta que muchas de las paradojas e inconsistencias de la lógica moderna y las matemáticas discretas son una consecuencia directa o una imitación de esta ambigüedad.

Por ejemplo, en el razonamiento matemático moderno se utiliza a menudo el concepto de "autoaplicabilidad", que subyace a la paradoja de Russell. En la formulación de esta paradoja, la autoaplicabilidad implica la existencia de conjuntos que son elementos de sí mismos. Esta afirmación conduce inmediatamente a una paradoja. Si consideramos el conjunto de todos los conjuntos “no autoaplicables”, resulta que es a la vez “autoaplicable” y “no autoaplicable”.

La lógica matemática contribuyó en gran medida al rápido desarrollo de las tecnologías de la información en el siglo XX, pero el concepto de "juicio", que apareció en la lógica en la época de Aristóteles y en el que, como fundamento, se basa la base lógica del lenguaje natural , cayó fuera de su campo de visión. Tal omisión no contribuyó en absoluto al desarrollo de una cultura lógica en la sociedad e incluso generó entre muchos la ilusión de que las computadoras no son capaces de pensar peor que los propios humanos. A muchos ni siquiera les avergüenza el hecho de que, en el contexto de la informatización general en vísperas del tercer milenio, los absurdos lógicos dentro de la propia ciencia (sin mencionar la política, la legislación y la pseudociencia) son incluso más comunes que a finales del siglo XIX. . Y para comprender la esencia de estos absurdos, no es necesario recurrir a estructuras matemáticas complejas con relaciones de múltiples lugares y funciones recursivas que se utilizan en lógica matemática. Resulta que para comprender y analizar estos absurdos, basta con aplicar una estructura matemática de juicio mucho más simple, que no solo no contradice los fundamentos matemáticos de la lógica moderna, sino que de alguna manera los complementa y amplía.

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