এবং চলমান গড় (MA) মডেল।

সংজ্ঞা

আরমা( পি, q), কোথায় পিএবং q- পূর্ণসংখ্যা যেগুলি মডেলের ক্রম নির্দিষ্ট করে, একটি টাইম সিরিজ তৈরির নিম্নলিখিত প্রক্রিয়াটিকে বলা হয় ( X t ) (\ displaystyle \(X_(t)\)):

X t = c + ε t + ∑ i = 1 p α i X t − i + ∑ i = 1 q β i ε t − i (\displaystyle X_(t)=c+\varepsilon _(t)+\sum _ (i=1)^(p)\আলফা _(i)X_(t-i)+\sum _(i=1)^(q)\beta _(i)\varepsilon _(t-i)),

কোথায় c (\ ডিসপ্লেস্টাইল গ)- ধ্রুবক, ( ε t ) (\ ডিসপ্লেস্টাইল \(\varepsilon _(t)\))- সাদা গোলমাল, অর্থাৎ, স্বাধীন এবং সমানভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ক্রম (সাধারণত স্বাভাবিক), শূন্য গড় সহ, এবং α 1 , … , α p (\displaystyle \alpha _(1),\ldots ,\alpha _(p))এবং β 1 , … , β q (\displaystyle \beta _(1),\ldots ,\beta _(q))যথাক্রমে বাস্তব সংখ্যা, অটোরিগ্রেসিভ সহগ এবং চলমান গড় সহগ।

এই ধরনের মডেলটিকে একটি লিনিয়ার মাল্টিপল রিগ্রেশন মডেল হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যেখানে ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবলগুলি নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের অতীত মান এবং সাদা গোলমাল উপাদানগুলির চলমান গড়গুলি রিগ্রেশন অবশিষ্টাংশ হিসাবে ব্যবহৃত হয়। ARMA প্রক্রিয়াগুলি তাদের বিশুদ্ধ আকারে অনুরূপ AR বা MA প্রক্রিয়াগুলির তুলনায় আরও জটিল গঠন করে, তবে ARMA প্রক্রিয়াগুলি কম পরামিতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যা তাদের সুবিধাগুলির মধ্যে একটি।

অপারেটর প্রতিনিধিত্ব. স্থিরতা এবং একক মূল

আমরা যদি ল্যাগ অপারেটর পরিচয় করিয়ে দেই L: L x t = x t − 1 (\displaystyle L:~Lx_(t)=x_(t-1)), তারপর ARMA মডেলটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে

X t = c + (∑ i = 1 p α i L i) X t + (1 + ∑ i = 1 q β i L i) ε t (\displaystyle X_(t)=c+(\sum _(i= 1)^(p)\আলফা _(i)L^(i))X_(t)+(1+\sum _(i=1)^(q)\beta _(i)L^(i)) \varepsilon _(t)) (1 − ∑ i = 1 p α i L i) X t = c + (1 + ∑ i = 1 q β i L i) ε t (\displaystyle (1-\sum _(i=1)^(p )\আলফা _(i)L^(i))X_(t)=c+(1+\sum _(i=1)^(q)\beta _(i)L^(i))\varepsilon _( টি))

বাম এবং ডান অংশগুলির বহুপদগুলির জন্য সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি প্রবর্তন করে, আমরা অবশেষে লিখতে পারি:

α (L) X t = c + β (L) ε t (\displaystyle \alpha (L)X_(t)=c+\beta (L)\varepsilon _(t))

প্রক্রিয়াটি স্থির হওয়ার জন্য, অটোরিগ্রেসিভ অংশের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদীর শিকড়গুলি প্রয়োজনীয় α (z) (\displaystyle \alpha (z))জটিল সমতলে ইউনিট বৃত্তের বাইরে থাকা (তারা পরম মূল্যে ঐক্যের চেয়ে কঠোরভাবে বড় ছিল)। একটি স্থির ARMA প্রক্রিয়া একটি অসীম MA প্রক্রিয়া হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

X t = α − 1 (L) c + α − 1 (L) β (L) ε t = c / a (1) + ∑ i = 0 ∞ c i ε t − i (\displaystyle X_(t)=\ আলফা ^(-1)(L)c+\alpha ^(-1)(L)\beta (L)\varepsilon _(t)=c/a(1)+\sum _(i=0)^(\ ইনফটি )c_(i)\varepsilon _(t-i))

উদাহরণস্বরূপ, ARMA(1,0)=AR(1) প্রক্রিয়াটিকে জ্যামিতিক অগ্রগতির হ্রাসের সহগ সহ অসীম ক্রমে একটি MA প্রক্রিয়া হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

X t = c / (1 − a) + ∑ i = 0 ∞ a i ε t − i (\displaystyle X_(t)=c/(1-a)+\sum _(i=0)^(\infty ) a^(i)\varepsilon _(t-i))

এইভাবে, ARMA প্রক্রিয়াগুলি সহগগুলির কাঠামোর উপর নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতার সাথে অসীম ক্রমে MA প্রক্রিয়া হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। অল্প সংখ্যক পরামিতি সহ, তারা বরং জটিল কাঠামোর প্রক্রিয়াগুলি বর্ণনা করা সম্ভব করে তোলে। সমস্ত স্থির প্রক্রিয়াগুলিকে একটি নির্দিষ্ট অর্ডারের একটি ARMA মডেল দ্বারা নির্বিচারে আনুমানিক করা যেতে পারে শুধুমাত্র MA মডেলগুলি ব্যবহার করার চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে ছোট সংখ্যক প্যারামিটার ব্যবহার করে।

অ-স্থির (সমন্বিত) ARMA

অটোরিগ্রেসিভ বহুপদীর একক মূলের উপস্থিতিতে, প্রক্রিয়াটি অস্থির। একটির কম শিকড়কে অনুশীলনে বিবেচনা করা হয় না, কারণ এগুলি একটি বিস্ফোরক প্রকৃতির প্রক্রিয়া। তদনুসারে, টাইম সিরিজের স্থিরতা পরীক্ষা করার জন্য, মৌলিক পরীক্ষাগুলির মধ্যে একটি হল ইউনিট রুট পরীক্ষা। যদি পরীক্ষাগুলি একটি ইউনিট রুটের উপস্থিতি নিশ্চিত করে, তবে মূল সময় সিরিজের পার্থক্যগুলি বিশ্লেষণ করা হয় এবং একটি নির্দিষ্ট অর্ডারের পার্থক্যের একটি স্থির প্রক্রিয়ার জন্য একটি ARMA মডেল তৈরি করা হয় (সাধারণত প্রথম অর্ডারটি যথেষ্ট, কখনও কখনও দ্বিতীয়টি)। এই ধরনের মডেলগুলিকে ARIMA মডেল (একীভূত ARMA) বা বক্স-জেনকিন্স মডেল বলা হয়। ARIMA(p, d, q) মডেল, যেখানে d হল একীকরণের ক্রম (মূল সময় সিরিজের পার্থক্যের ক্রম), p এবং q হল পার্থক্যের ARMA প্রক্রিয়ার AR এবং MA অংশগুলির ক্রম dth অর্ডার, নিম্নলিখিত অপারেটর ফর্মে লেখা যেতে পারে

বক্স এবং জেনকিন্স দ্বারা প্রস্তাবিত সাধারণ মডেলটিতে অটোরিগ্রেসিভ এবং চলমান গড় পরামিতি উভয়ই অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। সুতরাং, মডেল প্যারামিটার তিন ধরনের আছে: অটোরিগ্রেসিভ প্যারামিটার ( পি), পার্থক্যের ক্রম ( ঘ)চলমান গড় পরামিতি ( q) বক্স এবং জেনকিন্সের স্বরলিপিতে, মডেলটি ARISS ( p,d,q) উদাহরণস্বরূপ, মডেল ( 0 ,1 ,2 ) 0 (শূন্য) অটোরিগ্রেশন প্যারামিটার রয়েছে ( পি) এবং 2 চলমান গড় পরামিতি ( q), যা 1 এর ব্যবধানে পার্থক্য নেওয়ার পরে সিরিজের জন্য গণনা করা হয়।

নন-স্টেশনারি সিরিজগুলিকে মূল সিরিজ থেকে এর ক্রমগত পার্থক্যের মাধ্যমে স্থির সিরিজে রূপান্তরিত করা হয়:

অনুশীলনে, পার্থক্যগুলি সাধারণত 0, 1 বা 2 এর ব্যবধানে নেওয়া হয়। পার্থক্যটি বারবার, বেশ কয়েকবার নেওয়া যেতে পারে।

অন্যান্য রূপান্তরগুলি একটি অস্থির সিরিজকে একটি স্থির সিরিজে রূপান্তর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, টাইম সিরিজ থেকে প্রবণতাটি সরানো যেতে পারে, অথবা যদি টাইম সিরিজটি সূচকীয় বৃদ্ধি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তাহলে প্রাথমিকভাবে লগারিদম অপারেশন ব্যবহার করা কার্যকর।

সাধারণ ক্ষেত্রে, মডেলটি একটি তিন-পর্যায়ের পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্মিত হয় (চিত্র 5.3)। তবেই ভবিষ্যদ্বাণীর জন্য মডেলটি ব্যবহার করা যেতে পারে।

আইডেন্টিফিকেশন বলতে অর্থনৈতিক (প্যারামিটারের সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে) মডেলের একটি সাবক্লাসের সংজ্ঞা বোঝায়, যার মধ্যে একজনকে পর্যাপ্ত একটি সন্ধান করা উচিত। এই ধাপের লক্ষ্য হল পরিমাণ সম্পর্কে কিছু ধারণা পাওয়া p, d, q.

শনাক্তকরণে দুটি পর্যায় রয়েছে: মূল সিরিজের পার্থক্যের ক্রম নির্ধারণ, যা স্থিতিশীলতা নিশ্চিত করে, সিরিজের জন্য ARCC মডেলের সনাক্তকরণ। উভয় পর্যায়ে বিশ্লেষণের প্রধান উপকরণ হল ACF এবং PACF। এগুলি শুধুমাত্র মডেলের ধরণ নির্ধারণের জন্য নয়, প্যারামিটারগুলির আনুমানিক অনুমানের জন্যও ব্যবহৃত হয়।

মডেলের ধরন নির্ধারণ করার পরে, মডেলের পরামিতিগুলি মূল্যায়ন করা এবং অধ্যয়নাধীন সময় সিরিজের জন্য এর পর্যাপ্ততা পরীক্ষা করা প্রয়োজন। একটি নিয়ম হিসাবে, মডেলের পরামিতিগুলি অনুমান করার জন্য সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় এবং পর্যাপ্ততা পরীক্ষা করার জন্য অবশিষ্টাংশের বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়।

এর পরে, আমরা মডেল বিল্ডিং অ্যালগরিদমের প্রতিটি ধাপ বিবেচনা করব, সনাক্তকরণ পর্যায়ে বিশেষ জোর দিয়ে, যেহেতু পূর্বাভাস প্রক্রিয়ার সাফল্য মূলত মডেলের ধরণের সঠিক পছন্দের উপর নির্ভর করে।

সুতরাং, আমাদের পার্থক্যের ক্রম নির্ধারণ করতে হবে , যা একটি অস্থির সিরিজকে একটি স্থির সিরিজে রূপান্তর নিশ্চিত করবে।

এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে নির্ধারণ করি যে মূল সিরিজটি স্থির কিনা।

প্রায়শই, একটি সিরিজের অ-স্থিরতা দৃশ্যতভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, একটি একঘেয়ে প্রবণতার উপস্থিতি, ট্র্যাজেক্টোরির বিভিন্ন অংশের জন্য বিভিন্ন দোলন প্রশস্ততা ইত্যাদি।

যদি অস্থিরতা নির্দেশ করে তালিকাভুক্ত লক্ষণগুলি পরিলক্ষিত না হয়, তাহলে ACF অনুমান বিবেচনা করা উচিত। যদি এটি ক্ষয় হওয়ার প্রবণতা না করে, তবে আমরা সময় সিরিজের অ-স্থিরতা সম্পর্কে কথা বলতে পারি। যদি সিরিজটি স্থির হয়, তাহলে . যদি না হয়, তাহলে সিরিজের প্রথম অর্ডারের পার্থক্য বিবেচনা করা উচিত। স্থিরতার মানদণ্ড আবার প্রথম পার্থক্যের প্রাপ্ত সিরিজে প্রয়োগ করা হয়। নন-স্টেশনারিটির ক্ষেত্রে, এর প্রথম-ক্রমের পার্থক্যগুলি আবার নেওয়া হয়, বা দ্বিতীয়-ক্রমের পার্থক্যগুলি মূল সিরিজ থেকে নেওয়া হয় (অর্থাৎ, আমাদের একটি দ্বিতীয়-ক্রম পার্থক্য রয়েছে) এবং অ-স্থিরতার মানদণ্ড আবার ব্যবহার করা হয়। তাই, পার্থক্যের ক্রম নির্ধারণ করার সময়, ধারণা করা হয় যে পার্থক্যের ক্রম, যা স্থিরতা নিশ্চিত করে, যখন প্রক্রিয়াটির ACF (এবং, সেই অনুযায়ী, ACF) যথেষ্ট দ্রুত পড়ে (ক্ষয়প্রাপ্ত হয়) তখন পৌছায়।

ACF ব্যবহার করে একটি প্রক্রিয়ার জন্য, আমরা নির্ধারণ করি এবং . পরামিতি নির্ধারণ করতে, সিরিজের নির্বাচনী ACF এবং ACFs বিবেচনা করা হয়।

মিশ্র মডেলে এই পরামিতিগুলিকে সংযুক্ত করার জন্য নিম্নলিখিত নিয়মিততা রয়েছে:

চলমান গড় অর্ডার প্রক্রিয়া পর্যবেক্ষণ করা যাক। তারপর লগে এর ACF ভেঙ্গে যায়। CHAKF ধীরে ধীরে হ্রাস পায়।

মডেলের ACF, যেখানে উভয় পরামিতি শূন্যের সমান নয়, সূচক এবং স্যাঁতসেঁতে সাইনোসয়েড আকারে উপস্থাপিত হয়।

যেমন দেখা যায়, মডেলের পরামিতি নির্ধারণের মানদণ্ডগুলি বরং অস্পষ্ট, এবং এটি সম্ভব যে তাদের সাহায্যে একাধিক মডেল চিহ্নিত করা হবে।

APCC(1,1) মডেল।

ACF একঘেয়ে বা দোদুল্যমানভাবে ক্ষয়প্রাপ্ত হয়।

FACF একটি ক্ষয়প্রাপ্ত সূচকীয় শব্দ দ্বারা প্রভাবিত হয়, হয় একঘেয়ে বা দোদুল্যমান।

আদর্শ অটোকোরিলেশন ফাংশনের পুরো সেটটি মডেল প্যারামিটারের বিভিন্ন মানের ছয়টি সংমিশ্রণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে এবং। ল্যাগ 1 এ ACF এর চিহ্নটি পার্থক্যের চিহ্নের সাথে মিলে যায় - . প্রতিটি চিহ্নের জন্য, ACF এবং CHAF-এর আচরণের জন্য তিনটি বিকল্প রয়েছে: উভয়ই একঘেয়ে, উভয়ই দোদুল্যমান, একটি দোদুল্যমান, অন্যটি একঘেয়ে। এই ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন:

সনাক্তকরণ পর্যায়ে, বেশ কয়েকটি উপযুক্ত মডেল নির্ধারণ করার পরামর্শ দেওয়া হয় এবং তারপরে, তাদের পরামিতিগুলি মূল্যায়ন করার পরে এবং অবশিষ্টাংশগুলি পরীক্ষা করার পরে, মডেলগুলির পর্যাপ্ততা মূল্যায়ন করে, সেরাটি বেছে নেওয়ার পরামর্শ দেওয়া হয়।

মডেলের সহগগুলির অনুমানটি প্রক্রিয়াটির পর্যাপ্ততার অনুমান অনুসারে মডেলের পরামিতিগুলির সংখ্যাসূচক মান প্রাপ্ত হিসাবে বোঝা যায়, যেমন অটোরিগ্রেশন এবং চলমান গড় সহগ নির্ধারণ। অনুমান করা হয়, একটি নিয়ম হিসাবে, সর্বাধিক সম্ভাবনা পদ্ধতি দ্বারা।

পূর্বাভাস মডেল সমীকরণ অনুযায়ী সরাসরি বাহিত হয়. নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি আস্থার ব্যবধান গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে:

যেখানে একটি তাৎপর্য স্তর সহ মান স্বাভাবিক বন্টনের কোয়ান্টাইল।

সম্পূর্ণ মৌসুমী মডেলটিকে ARISS(p,d,q)(Ps,Ds,Qs) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে পরামিতিগুলি (Ps,Ds,Qs) মডেলের মৌসুমী উপাদানকে বর্ণনা করে। তদুপরি, Ds অর্ডারের পার্থক্যগুলি সাধারণত একটি মৌসুমী ব্যবধানের সাথে নেওয়া হয়। ঋতু মডেলের ক্রম নির্ধারিত হয়, সেইসাথে স্বাভাবিক একটি, সনাক্তকরণ পর্যায়ে। তদুপরি, একটি অ-মৌসুমী মডেলের নির্মাণ সম্পর্কে উপরে যা বলা হয়েছে তা স্বাভাবিকভাবেই মৌসুমীকে প্রসারিত করে শুধুমাত্র মৌসুমী ফ্যাক্টরকে বিবেচনা করে।

অটোরিগ্রেসিভ মডেল ব্যবহার করা - ইন্টিগ্রেটেড মুভিং এভারেজ (ARIMA মডেল)

স্থির সময় সিরিজের মডেল

বিশ্লেষণাত্মক গবেষণায় একটি গুরুত্বপূর্ণ স্থান স্থির সময় সিরিজের মডেলগুলিকে দেওয়া হয়। এটি এই সত্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে যে নির্দিষ্ট রূপান্তরের সাহায্যে (পার্থক্য গ্রহণ করা, একটি প্রবণতা বের করা ইত্যাদি), অনেক সময় সিরিজকে একটি স্থির আকারে হ্রাস করা যেতে পারে, উপরন্তু, মডেলিংয়ের পরে প্রাপ্ত অবশিষ্টাংশগুলিতে প্রায়শই পরিসংখ্যান নির্ভরতা থাকে যা এই মডেলগুলি ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারে।

ধারণা আছে স্থিরতাসংকীর্ণ এবং বিস্তৃত অর্থে।

সারি বলা হয় কঠোরভাবে স্থির (কঠোরভাবে স্থির) বা সংকীর্ণ অর্থে স্থিরযদি যৌথ বন্টন টিপর্যবেক্ষণ জন্য হিসাবে একই gpপর্যবেক্ষণ, যে কোনো জন্য

এটি এই সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে কঠোরভাবে স্থির সময় সিরিজের বৈশিষ্ট্যগুলি সময়ের উত্সের উপর নির্ভর করে না।

ব্যবহারিক অধ্যয়ন প্রায়ই ধারণার উপর নির্ভর করে দুর্বল স্থির), বা বিস্তৃত অর্থে স্থিরতা,যেটি প্রয়োজনের সাথে সম্পর্কিত যে সময় সিরিজের একটি গড়, প্রকরণ এবং সহভঙ্গি থাকে যা সময়ের একটি বিন্দুর উপর নির্ভর করে না t

সুতরাং, অটোকোভারিয়েন্স y(t) শুধুমাত্র ল্যাগ m-এর মানের উপর নির্ভর করে, কিন্তু নির্ভর করে না t.

অটোকোভারিয়েন্স ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত ধারণাটি স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ফাংশন,এসিএফ ( অটোকোরিলেশন ফাংশন, ACF)। ACF সহগগুলির মানগুলি টাইম সিরিজের স্তরগুলির মধ্যে পরিসংখ্যানগত সম্পর্কের ডিগ্রীকে চিহ্নিত করে, m সময়কাল দ্বারা পৃথক করা হয় এবং নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়:

এটা স্পষ্ট যে. অটোকোরিলেশন ফাংশনের আচরণ বিশ্লেষণ করার সময়, ল্যাগগুলির শুধুমাত্র ইতিবাচক মানগুলি বিবেচনা করা হয়, কারণ এটি স্থির অবস্থা থেকে অনুসরণ করে যে।

ব্যবহারিক গবেষণায়, স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগগুলির নমুনা মানগুলি সময় সিরিজের উপলব্ধ স্তরের উপর ভিত্তি করে অনুমান করা হয়:

কোথায় পৃ- সময় সিরিজের দৈর্ঘ্য - সময় পরিবর্তন; .

একটি গ্রাফ যা বিভিন্ন ল্যাগ মানের জন্য স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগগুলির পরিবর্তনকে প্রতিফলিত করে তাকে বলা হয় correlogram (correlograni)

একটি স্থির সময় সিরিজের জন্য, ল্যাগ বাড়ার সাথে সাথে স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগগুলির মানগুলি পরম মানের দ্রুত একঘেয়ে হ্রাস প্রদর্শন করবে।

ডুমুর উপর. চিত্র 8.19 মাসিক তেল উত্পাদন গতিশীলতার একটি সময় সিরিজের জন্য গণনা করা একটি স্বতঃসংযোগ ফাংশনের একটি উদাহরণ দেখায়।

ভাত। 8.19।

প্রাথমিক সিরিজের একটি প্রাথমিক গ্রাফিকাল বিশ্লেষণ একটি প্রবণতা এবং পর্যায়ক্রমিকতার উপস্থিতি নির্দেশ করে, যা চিত্রের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। 8.19। স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগগুলির মানগুলি দ্রুত ক্ষয় দেখায় না, যা টাইম সিরিজের অ-স্থির প্রকৃতি নির্দেশ করে, যখন 12 তম ঋতুগত ব্যবধানে একটি ঢেউ দৃশ্যমান হয়।

ACF এর সাথে, সময় সিরিজের বিশ্লেষণে, এটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় ব্যক্তিগত স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ফাংশন।চাকফ (আংশিক অটোকোরিলেশন ফাংশন, PACF),যার সহগগুলি m সময় চক্র দ্বারা বিভক্ত একটি সিরিজের স্তরগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক পরিমাপ করে, এই সম্পর্কের উপর সমস্ত মধ্যবর্তী স্তরের প্রভাব বাদ দিয়ে। বিশ্লেষণাত্মক প্যাকেজগুলিতে, LCF গ্রাফের সাথে, CHLCF গ্রাফ তৈরি করা সম্ভব, যা ল্যাগ মানের উপর নির্ভর করে আংশিক স্বতঃসম্পর্ক সহগগুলির নমুনা অনুমানের পরিবর্তন দেখায়। স্পষ্টতই, স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক এবং আংশিক স্বতঃসম্পর্কের ল্যাগ সহগগুলির জন্য মিলিত হবে, তবে পরবর্তী ল্যাগের সাথে, তাদের মানগুলির মধ্যে পার্থক্য দেখা যাবে।

স্থিরতার একটি উদাহরণ সাদা গোলমাল), যার বৈশিষ্ট্য হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

কোথায়

অতএব, এ, বিচ্ছুরণ ধ্রুবক নির্ভর করে না

সাদা গোলমালের একটি উদাহরণ হল একটি ধ্রুপদী রৈখিক রিগ্রেশন মডেলের অবশিষ্টাংশ, যা সাধারণত বিতরণ করা হলে, গাউসিয়ান সাদা গোলমাল তৈরি করে।

ডুমুর উপর. চিত্র 8.20 একটি সাদা গোলমাল গাউসিয়ান প্রক্রিয়ার বাস্তবায়নের সাথে সম্পর্কিত একটি সময় সিরিজের একটি উদাহরণ দেখায়। শূন্যের কাছাকাছি এই সময়ের সিরিজের মাত্রায় ওঠানামার অনিয়মিত প্রকৃতির দিকে মনোযোগ দেওয়া উচিত, সেইসাথে স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগগুলির শূন্যের ঘনিষ্ঠতা, যা বৈশিষ্ট্যগুলির কারণে (8.25)।

ACF এবং FACF-এর আচরণের প্রকৃতির বিশ্লেষণ হল মডেল নির্বাচনের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধাপ।

অনুশীলনে, ব্যাপক অটোরিগ্রেসিভ মডেলএবং চলমান গড় মডেলস্থির সময় সিরিজের জন্য ব্যবহৃত হয়।

অটোরিগ্রেসিভ মডেলগুলিকে সংক্ষেপে AR বলা হয় (আর)অথবা ইংরেজি সংস্করণে AR(p) (অর্ডার p এর অটোরিগ্রেসিভ মডেল),যেখানে প্যারামিটার পিঅটোরিগ্রেশনের ক্রম নির্দিষ্ট করে। সাধারণভাবে, আদেশের অটোরিগ্রেসিভ প্রক্রিয়া আরফর্ম আছে

কোথায় ভিতরেশিফট অপারেটর, যেমন টাইম সিরিজের রূপান্তর, এটিকে এক সময় চক্র দ্বারা স্থানান্তর করা; F(V)অটোরিগ্রেশন অপারেটর।

স্থির অবস্থা সন্তুষ্ট হয় যদি বহুপদী Ф(В) এর সমস্ত শিকড় একক বৃত্তের বাইরে থাকে, অন্য কথায়, বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সমস্ত শিকড় পরম মানের একটিকে ছাড়িয়ে যায় এবং ভিন্ন হয়।

চারিত্রিক সমীকরণটি রূপ নেয় , বা , যখন এর শিকড় এবং পরম মূল্যে একতার চেয়ে বড়, তাই আমাদের একটি স্থির প্রক্রিয়া আছে।

ভাত। 8.20।সাদা গোলমালের গাউসিয়ান প্রক্রিয়ার বাস্তবায়নের সাথে সম্পর্কিত সিমুলেটেড টাইম সিরিজের গতিবিদ্যা ( ক ), এবং এর স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ফাংশন (b)

যেখানে একটি সাংখ্যিক সহগ যা সাদা গোলমাল তৈরি করে এমন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ক্রম অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে।

মার্কভ প্রক্রিয়ার জন্য (8.26), যথাক্রমে গাণিতিক প্রত্যাশা এবং প্রকরণ হল

এটি দেখানো যেতে পারে যে AR(1) সমতাকে সন্তুষ্ট করে, তাই, i, এইভাবে, অনুক্রমের সদস্যদের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের ঘনিষ্ঠতা দ্রুতগতিতে হ্রাস পায় কারণ ল্যাগের মান বৃদ্ধি পায়।

এই ক্ষেত্রে, প্রথম ক্রম স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগ, যেহেতু

একটি মডেল ফিট করার সময়, এটি আংশিক স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ফাংশনের আচরণ বিশ্লেষণ করার জন্য দরকারী। А/?(1) প্রক্রিয়াটির জন্য FACF মানগুলি সমস্ত ল্যাগের জন্য শূন্যের সমান। যাইহোক, এই সম্পত্তি তাত্ত্বিক আংশিক অটোকোরিলেশন ফাংশনের জন্য বৈধ। নমুনা আংশিক অটোকোরিলেশন ফাংশনের সহগ বিশ্লেষণ করার সময়, একজনকে এই সত্য থেকে এগিয়ে যেতে হবে যে LD(1) মডেলের ব্যবহার মূল ডেটার সাথে বিরোধিতা করে না যদি সহগগুলির মান শূন্য থেকে নগণ্যভাবে আলাদা হয়।

সহগ a (|a|.) এর মান সীমিত করা< 1) определяет условие стационарности для এআর( 1).

নমুনা স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ফাংশন উদাহরণ, জন্য চরিত্রগত সঙ্গে এআর( 1) সহগগুলির আচরণ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 8.21, 8.22। এই পরিসংখ্যানগুলি স্পষ্টভাবে এফএসিএফ-এ স্নায়ুর ব্যবধানে স্পাইকগুলি দেখায়, যখন এলসিএফ সহগগুলির মানগুলির সূচকীয় ক্ষয় পরিলক্ষিত হয় (একটি ইতিবাচক মান সহ - একঘেয়ে ক্ষয় (চিত্র 8.21 দেখুন), একটি নেতিবাচক মান সহ - বিকল্প চিহ্ন ( দেখুন চিত্র 8.22))।

মানের সাথে সম্পর্কিত মডেল বর্ণনা করে এলোমেলো হাঁটার প্রক্রিয়া।এই ক্ষেত্রে, প্রতিটি বর্তমান মান পূর্ববর্তী একটি থেকে একটি এলোমেলো বিচ্যুতি দ্বারা নির্ধারিত হয়:

যাইহোক, যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে। 8.23, এলোমেলো হাঁটার প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা এআর( 1) এ. এলোমেলো হাঁটার প্রক্রিয়াটি অস্থির, যা চিত্রের স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগগুলির ধীর ক্ষয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ৮.২৩।

অর্থনৈতিক গবেষণা, এছাড়াও তথাকথিত আছে ইউল প্রসেস,বা দ্বিতীয় আদেশের অটোরিগ্রেসিভ প্রক্রিয়া - এআর( 2):

সাদা আওয়াজ কোথায়?

ইউল প্রক্রিয়ার জন্য, আপনি একটি অভিব্যক্তি পেতে পারেন যা আপনাকে বিভিন্ন ল্যাগের জন্য স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক মান গণনা করতে দেয় ():

মানগুলিকে অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করার পরে (8.27), এই সত্যটি বিবেচনায় নিয়ে যে, আমরা তথাকথিত পেতে পারি ইউল-ওয়াকার সিস্টেম (ইয়ুল-ওয়াকার প্রয়োজনীয়তা) জন্য এআর(2):

ভাত। 8.21। একটি AR মডেলের সাথে উত্পন্ন একটি টাইম সিরিজের জন্য অটোকোরিলেশন ফাংশনগুলির একটি উদাহরণ৷( 1) a = 0.8 এ (মূল হল 1.25):

ক -এসিএফ: খ -চাকফ

ভাত। 8.22।

ক -এসিএফ; খ -চাকফ

ভাত। ৮.২৩। একটি এলোমেলো হাঁটার মডেলের সাথে তৈরি সময় সিরিজ(ক), এবং এর স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ফাংশন (খ)

এই সিস্টেমটি আপনাকে অটোকোরিলেশন সহগগুলির মানের মাধ্যমে মডেলের সহগ প্রকাশ করতে দেয়।

এই ক্ষেত্রে, প্রক্রিয়ার জন্য স্থির অবস্থা AR(2)নিম্নলিখিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

সাধারণ ক্ষেত্রে, প্রক্রিয়াটির জন্য, অভিব্যক্তি যা আপনাকে বিভিন্ন ল্যাগ () এর জন্য স্বয়ংক্রিয় সম্পর্কের মানগুলি গণনা করতে দেয় ফর্মটি গ্রহণ করবে

ল্যাগ মানের সূত্রে (8.28) অনুক্রমিক প্রতিস্থাপন k = 1, 2. .... আরদিকে আরইউল-ওয়াকার সিস্টেমের সমীকরণ। এই সিস্টেমটি নমুনা স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগগুলির মানগুলি প্রতিস্থাপন করার পরে মডেলের সহগগুলির অনুমানগুলি প্রাপ্ত করা সম্ভব করে তোলে।

সুতরাং, স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক এবং আংশিক অটোকোরিলেশন ফাংশনের সহগগুলির আচরণের অধ্যয়ন অটোরিগ্রেসিভ মডেলগুলি সনাক্ত করতে উল্লেখযোগ্যভাবে সহায়তা করে।

মডেল ব্যবহারের সম্ভাব্যতা উপর AR(p) LCF সহগগুলির মানগুলি নির্দেশ করতে পারে, সূচকীয় ক্ষয় (হয় একঘেয়ে বা একটি বিকল্প চিহ্নের পরিবর্তন সহ) প্রদর্শন করে, যখন FACF-এর সহগগুলির মানগুলিতে প্রথম ল্যাগগুলিতে আউটলায়ার (শিখর) থাকা উচিত এবং সহগগুলির অবশিষ্ট মানগুলি পরিসংখ্যানগতভাবে নগণ্য।

এছাড়াও স্থির সময় সিরিজ মডেলিং ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় চলমান গড় মডেল,СС(q) দ্বারা বা ইংরেজি সংস্করণে নির্দেশিত MA(q) (মুভিং এভারেজ মডেল)। MA(q) মডেলফর্ম আছে

সাদা আওয়াজ কোথায়?

অনুশীলনে, কম অর্ডারের চলমান গড় মডেলগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়:

MA(1) এর জন্য সম্পর্ককে (8.29) নিম্নলিখিত ফর্মে রূপান্তর করা সম্ভব, ধারাবাহিকভাবে প্রকাশ করা ইত্যাদি।

সঞ্চালিত রূপান্তর দেখায় যে সিরিজ একটি মডেল আকারে উপস্থাপিত এমএ( 1) (8.29) একটি অসীম অর্ডার অটোরিগ্রেসিভ মডেল (8.30) হিসাবেও উপস্থাপন করা যেতে পারে।

যদি মডেলে থাকে এমএ( 1) পরামিতি θ পরম মান একের চেয়ে বড় হবে, তারপর অভিব্যক্তি অনুযায়ী (8.30) বর্তমান মান y,অতীতের স্তরের উপর নির্ভর করবে, ওজন সহ নেওয়া যা অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায় যখন আপনি অতীতে ফিরে যান। পরামিতি মান একের সমান হলেও তথ্য বার্ধক্য বিবেচনা করা হবে না। সুতরাং, অভিব্যক্তিতে ওজনের (8.30) একটি অভিসারী সিরিজ গঠনের জন্য একটি শর্ত প্রয়োজন।

উল্লেখ্য যে AR প্রতিনিধিত্ব করাও সম্ভব (1) এমএল আকারে(<=°). На коэффициенты процесса AR(p) প্রত্যাবর্তনযোগ্যতার জন্য কোন শর্ত আরোপ করা হয় না, তবে প্রক্রিয়াটির স্থির অবস্থা সন্তুষ্ট হওয়ার জন্য, এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের শিকড়গুলি অবশ্যই ইউনিট বৃত্তের বাইরে থাকতে হবে। একই সময়ে, প্রক্রিয়ার reversibility জন্য এমএ(কিউ)এর চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়

একক বৃত্তের বাইরে থাকা আবশ্যক, একই সময়ে, স্থির অবস্থা সন্তুষ্ট করার জন্য মডেলের সহগগুলিতে কোন বিধিনিষেধ আরোপ করা হয় না।

প্রক্রিয়া অটোকোরিলেশন সহগগুলির জন্য কেউ একটি অভিব্যক্তি উপস্থাপন করতে পারে এমএ(কিউ)হিসাবে

এই উপস্থাপনা প্রক্রিয়াটির জন্য ACF আচরণের একটি বৈশিষ্ট্যগত বৈশিষ্ট্য বোঝায় MA(q):মডেলের ক্রম অতিক্রম করে ল্যাগের সমস্ত মানের জন্য প্রশ্ন,স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগ শূন্য।

একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে ACF মানগুলি - ML(1) মডেল - নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়:

FACF-এর আচরণ একটি ক্ষয়কারী সূচকের অনুরূপ, এবং অভিব্যক্তি দ্বারা দেওয়া হয়

নমুনা স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক ফাংশন এর জন্য বৈশিষ্ট্য সহ উদাহরণ এমএ( 1) সহগগুলির আচরণ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 8.24, 8.25। ডুমুর উপর. 8.24 মডেল দ্বারা উত্পন্ন সময় সিরিজের সাথে সম্পর্কিত এমএ( 1) প্যারামিটারের মানতে, ACF-এ একটি ধনাত্মক স্পাইক রয়েছে, যখন FACF-এর সহগগুলি পরিবর্তনশীল চিহ্নের সাথে ক্ষয় প্রদর্শন করে। ঘুরে, চিত্রে। 8.25, প্রক্রিয়াটি বাস্তবায়নের জন্য ACF এবং FACF-এর আচরণের প্রকৃতি চিত্রিত করে এমএ( 1 ) প্যারামিটারের মানতে, নেতিবাচক অঞ্চলে ACF-তে একটি ওভারশুট রয়েছে, সেইসাথে CLCF-তে সংশ্লিষ্ট সহগগুলির ক্ষয়।

চলমান গড় মডেলগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের নিম্নলিখিত ব্যবহারিক সুপারিশগুলি তৈরি করতে দেয়। মডেল ব্যবহারের সম্ভাব্যতা উপর এমএ(কিউ)প্রথমে বহিরাগতদের (শিখর) উপস্থিতি নির্দেশ করতে পারে qঅটোকোরিলেশন ফাংশনের পিছিয়ে, যখন আংশিক অটোকোরিলেশন ফাংশন অবশ্যই সূচকীয় ক্ষয় (একঘেয়ে বা বিকল্প) প্রদর্শন করবে।

মডেলটি স্থির প্রক্রিয়াগুলি বর্ণনা করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে অটোরিগ্রেশন – চলন্ত গড় -এআরএসএস (p, q),বা, ইংরেজি সংস্করণে প্রচলিত হিসাবে, ARMA(p, q) (অটোরিগ্রেসিভ-মুভিং এভারেজ মডেল), যা একটি চলমান গড় প্রক্রিয়া হিসাবে অবশিষ্টাংশের মডেলিং অটোরিগ্রেসিভ পদ এবং পদ উভয়ই অন্তর্ভুক্ত করে।

ভাত। 8.24।

ক– LKF: d- CHAKF

ভাত। 8.25।

ক- ACF; খ- চাকফ

মডেল ARMA(p, q),ভিকোন প্যারামিটার আরঅটোরিগ্রেসিভ উপাদানের ক্রম নির্ধারণ করে, ক প্রশ্ন-চলমান গড় ক্রম ফর্ম আছে

এই মডেলে, নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের অতীত মানগুলিকে ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবল হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং সাদা গোলমালের উপাদানগুলির চলমান গড়গুলিকে রিগ্রেশন অবশিষ্টাংশ হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

প্রক্রিয়াটির স্থিরতা (8.31) প্রয়োজন যে বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের সমস্ত শিকড় একক বৃত্তের বাইরে থাকে AR(p) প্রক্রিয়া। একইভাবে, প্রক্রিয়াটির (8.31) বিপরীত হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে প্রক্রিয়াটির বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের সমস্ত শিকড় একক বৃত্তের বাইরে থাকে। এমএ(কিউ)।

উদাহরণস্বরূপ, মিশ্র মডেলের সহজতম সংস্করণ আরমা( 1, 1) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

এই ক্ষেত্রে, প্রক্রিয়াটির স্থিরতা শর্ত দ্বারা নিশ্চিত করা হয়, এবং সীমাবদ্ধতা পূরণের দ্বারা বিপরীততা নিশ্চিত করা হয়

প্রক্রিয়ার জন্য আরমা( 1, 1) স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগগুলির মানগুলি নিম্নরূপ নির্ধারিত হয়:

এটি এই অভিব্যক্তিগুলি থেকে অনুসরণ করে যে স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগগুলির মানগুলি মান থেকে দ্রুতগতিতে হ্রাস পাবে! a এর ধনাত্মক মানের ক্ষেত্রে, হ্রাসটি একঘেয়ে হবে, a-এর ঋণাত্মক মানের সাথে, স্বতঃসম্পর্ক সহগ হ্রাস হবে সাইন-অল্টারনেটিং।

FACF-এর আচরণও একটি সূচকীয় হ্রাস দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যার একটি ইতিবাচক মান Θ - একঘেয়ে, একটি ঋণাত্মক মান - বিকল্প চিহ্ন।

ACF এবং FACF-এর আচরণের বিবেচিত বৈশিষ্ট্যগুলি মডেলগুলির পছন্দের ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

একটি নির্দিষ্ট সময়ের সিরিজের জন্য, এটি নির্বাচন করা সবসময় সম্ভব নয় একটি পর্যাপ্ত মডেল যার জন্য বিভ্রান্তির একটি সিরিজই, রিগ্রেশন বিশ্লেষণের মৌলিক পূর্বশর্তগুলি পূরণ করবে।এখন পর্যন্ত, আমরা ফর্মের মডেলগুলি বিবেচনা করেছি (6.7), যার মধ্যে পরিবর্তনশীল টি-"সময়"। ইকোনোমেট্রিক্সে, অন্যান্য রিগ্রেশন মডেলগুলিও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, যেখানে রিগ্রেসাররা রয়েছে ল্যাগ ভেরিয়েবল, যেমন ভেরিয়েবল, যার প্রভাব অর্থনীতির মডেলে কিছু বিলম্ব দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।এই বিভাগে বিবেচিত রিগ্রেশন মডেলগুলির মধ্যে আরেকটি পার্থক্য হল যে তাদের মধ্যে উপস্থাপিত ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবলগুলি হল পরিমাণ এলোমেলো(এই মডেলগুলি সম্পর্কে আরও জানতে অধ্যায় 8 দেখুন।)

যেখানে p 0, p,..., p i হল কিছু ধ্রুবক।

এটি এই মুহূর্তে অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়া বর্ণনা করে tআগের মুহূর্তগুলিতে এর মানগুলির উপর নির্ভর করে /- 1, টি- 2,..., t - পি।

যদি অধ্যয়নের অধীনে প্রক্রিয়া y tএই মূহুর্তে tশুধুমাত্র পূর্ববর্তী সময়ের মধ্যে এর মান দ্বারা নির্ধারিত হয় টি- 1, তারপর বিবেচনা করুন অটোরিগ্রেসিভ মডেল 1 -ম আদেশ(বা এআর মডেল (1) - মার্কভ এলোমেলো প্রক্রিয়া):

উদাহরণ 6.5। টেবিলে একটি নির্দিষ্ট কোম্পানির (অর্থ ইউনিট) এর স্টক মূল্যের গতিশীলতা প্রতিফলিত করে এমন ডেটা রয়েছে:

সারণি 6.2

সমাধান। একটি নির্দিষ্ট সময়ের সিরিজের জন্য একটি রৈখিক বা বহুপদ প্রবণতা সহ ফর্মের একটি পর্যাপ্ত মডেল (6.7) নির্বাচন করার একটি প্রচেষ্টা অকেজো বলে প্রমাণিত হয়েছে৷

পাওয়া রিগ্রেশন সমীকরণটি /'-মাপদণ্ড অনুসারে 5% স্তরে তাৎপর্যপূর্ণ, যেহেতু পরিসংখ্যানের প্রকৃতপক্ষে পর্যবেক্ষণ করা মান F= 24.32 > /o.05; 1; 19 = 4.35। এটি দেখানো যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, ডারবিন-ওয়াটসন মানদণ্ড ব্যবহার করে) (নীচে দেখুন, § 7.7)) যে বিভ্রান্তি (ত্রুটি) z চএই মডেলটিতে, তারা শাস্ত্রীয় মডেলের শর্তগুলি পূরণ করে এবং আমরা ইতিমধ্যে যে পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করেছি তা একটি পূর্বাভাস তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

উদাহরণ 6.3 অনুরূপ গণনা সমীকরণ (6.13) অনুযায়ী একটি বিন্দু পূর্বাভাস দেয়:

এবং গড় এবং পৃথক মানের জন্য 0.05 এর একটি তাত্পর্য স্তরে ব্যবধান -

সুতরাং, 0.95 এর নির্ভরযোগ্যতা সহ, এই মুহূর্তে এই কোম্পানির স্টকের মূল্যের গড় মূল্য t= 23 হবে 1046.6 থেকে 1341.6 (ডেন। ইউনিট), এবং এর স্বতন্ত্র মান - 879.1 থেকে 1509.1 (ডেন। ইউনিট)। ?

অটোরিগ্রেসিভ টাইম সিরিজ মডেলের পাশাপাশি, অর্থনীতিও বিবেচনা করে চলমান গড় মডেল*, যেখানে সিমুলেটেড মান পূর্ববর্তী সময়ে ব্যাঘাত (ত্রুটি) এর রৈখিক ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়।

চলন্ত গড় q-vo অর্ডার মডেল(বা মডেল এম.এ()), ফর্ম আছে:

ইকোনোমেট্রিক্সও সম্মিলিত টাইম সিরিজ মডেল ব্যবহার করে এআরএবং এম.এ.

এই অধ্যায়ের উপসংহারে, আমরা লক্ষ্য করি যে অর্থনৈতিক সূচকগুলির পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য উপযুক্ত অটোরিগ্রেসিভ মডেলের ব্যবহার, যেমন স্বয়ংক্রিয় পূর্বাভাসবিবেচিত মডেলগুলির ভিত্তিতে, খুব কার্যকর হতে পারে (একটি নিয়ম হিসাবে, স্বল্প মেয়াদে)।

অনুশীলন

উদাহরণ 6.6-6.8-এ শীতকালীন গমের জন্য নিম্নলিখিত ফলন ডেটা রয়েছে y,(c/ha) 10 বছরের জন্য:

• ৬.৬। টাইম সিরিজের গড় মান, প্রমিত বিচ্যুতি এবং স্বয়ংক্রিয় সম্পর্ক সহগ (ল্যাগ m = 1; 2 এর জন্য) খুঁজুন।
• ৬.৭। সময় সিরিজের ট্রেন্ড সমীকরণ খুঁজুন y জধরে নিচ্ছি যে এটি রৈখিক এবং 0.05 স্তরে এর তাত্পর্য পরীক্ষা করুন।
• ৬.৮। সময় সিরিজ মসৃণ সঞ্চালন y,চলমান গড় পদ্ধতি, একটি মসৃণ ব্যবধান সহ একটি সাধারণ গাণিতিক গড় ব্যবহার করে: ক) t= 3; খ) t= 5.
• ৬.৯। টেবিলটি মাথাপিছু আয় বৃদ্ধির গতিশীলতা প্রতিফলিত করে তথ্য উপস্থাপন করে y t(ডেন। ইউনিট) আট বছরের জন্য:

চলমান গড় মডেল অনুমান করে যে সিরিজের সমগ্র ইতিহাস সম্পর্কে তথ্য পূর্ববর্তী সময়ের মডেলের ত্রুটিগুলিতে কেন্দ্রীভূত। এই মডেলে, প্রতিটি নতুন মান হল বর্তমান ওঠানামা এবং বেশ কয়েকটি (বিশেষ করে, একটি) পূর্ববর্তী ত্রুটির মধ্যে গড়।

অর্ডার q এর চলমান গড় মডেল,চিহ্নিত CC(q),ইংরেজি সাহিত্যে MA(q) (মুভিং এভারেজ মডেল),মত চেহারা:

y t = e t - q 1 e t -1 - q 2 e t -2 -…- q q e t - q , (3.14)

কোথায় e t - “সাদা গোলমাল".

1ম চলমান গড় মডেলগুলি পরিসংখ্যানগত অনুশীলনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। (q= 1) এবং দ্বিতীয় আদেশ (q= 2):

এমএ(1): y t \u003d e t - q e t -1 ; (3.15)

এমএ(2): y t \u003d e t - q 1 e t -1 - q 2 e t -2 . (3.16)

একটি 1ম অর্ডার মুভিং এভারেজ মডেল বিবেচনা করুন - এম.এ(1)। আসুন আমরা রূপান্তরিত করি (3.15), ধারাবাহিকভাবে প্রকাশ করি e t -1 , e t -2 , e t -3ইত্যাদি:

e t = y t + q e t -1= y t + q (y t -1 - q e t -2) = y t + q y t -1

+ q 2 (y t -2 + q e t -3) = y t + q y t -1+ q 2 y t -2 + q 3 (y t -3 + q e t -4) =

= y t + q y t -1+ q 2 y t -2 + q 3 y t -3 + …

এই অভিব্যক্তিটি এভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

y t = e t -. (3.17)

সুতরাং, একটি সংখ্যা টি এ, মডেল দ্বারা উত্পন্ন এম.এ(1) অসীম আদেশের একটি অটোরিগ্রেসিভ মডেল হিসাবেও উপস্থাপন করা যেতে পারে। চলন্ত গড় মডেল এম.এ(q) পরামিতিগুলিতে কোনও বিধিনিষেধ আরোপ করার দরকার নেই q 1, q 2, ..., q qসিরিজের স্থিরতা নিশ্চিত করতে। যাইহোক, যদি MA(1) মডেলে প্যারামিটার থাকে qপরম মান 1 এর থেকে বড় বা সমান, তারপর বর্তমান মান টি এ(3.17) অনুসারে এর অতীত মানগুলির উপর নির্ভর করবে y t -1, y t -2, ...,আপনি অতীতে ফিরে যেতে অসীম বৃদ্ধি যে ওজন সঙ্গে নেওয়া. এটি এড়ানোর জন্য, এটি প্রয়োজনীয় যে (6.21) মধ্যে ওজনগুলি একটি অভিসারী সিরিজ গঠন করে, যেমন থেকে | q | < 1.

লক্ষ্য করুন যে সিরিজটি প্রথম-ক্রম মুভিং এভারেজ মডেল দ্বারা উত্পন্ন হয়েছে এম.এ(1) অসীম আদেশের একটি অটোরিগ্রেসিভ মডেল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে এআর(¥), একটি প্রতিনিধিত্ব A আছে আর(1) হিসাবে এম.এ(¥)। একই সময়ে, প্রক্রিয়া পরামিতি এআর(পি) এই প্রক্রিয়াটি প্রত্যাবর্তনযোগ্য হওয়ার জন্য কোন শর্ত আরোপ করা হয় না। কিন্তু প্রক্রিয়াটির স্থিরতার জন্য, এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের শিকড় অবশ্যই একক বৃত্তের বাইরে থাকতে হবে। একই সময়ে, প্রক্রিয়া পরামিতি এমএ(কিউ)স্থিরতার জন্য কোন শর্ত পূরণ করতে হবে না, তবে, বিপরীততার জন্য, এর বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের মূল

1 - q 1 z - q 2 z 2 - ... - q q z q = 0.= 0

ইউনিট বৃত্তের বাইরে শুয়ে থাকতে হবে।

প্রক্রিয়াটির ACF-এর জন্য একটি অভিব্যক্তি খুঁজুন এমএ(কিউ)।এটি করতে, এর কল্পনা করা যাক y t - kসম্পর্কের আকারে (3.14):

y t - k = e t - k - q 1 e t - k -1 - q 2 e t - k -2 -…- q q e t - k - q. (3.18)

আমরা যথাক্রমে (6.18) এবং (6.22) সমীকরণের বাম এবং ডান দিকগুলিকে গুণ করি, এবং তারপর ফলাফলের অভিব্যক্তির গাণিতিক প্রত্যাশা গ্রহণ করি। এই ক্ষেত্রে, এটি সাদা গোলমাল উপাদান যে অ্যাকাউন্টে নেওয়া উচিত e t 1এবং e t 2সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত না t1 ¹ t2।

তারপর সহভক্তির জন্য অভিব্যক্তি M(y t y t - t) = জি( t) ফর্ম নেবে:

ACF প্রাপ্ত হয় (3.19) প্রক্রিয়া g(0) এর প্রকরণ দ্বারা ভাগ করে:

এইভাবে, প্রক্রিয়ার ACF এমএ(কিউ)সমস্ত মানের জন্য শূন্য t, বড় অর্ডার qএটি মডেলের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগত বৈশিষ্ট্য।

অনুশীলনে, মডেলের একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে প্রায়শই ব্যবহৃত হয় - 1ম অর্ডার মুভিং এভারেজ মডেল MA(1):

y t \u003d e t - q e t -1

কোথায় e t- "সাদা গোলমাল".

যেমনটি পূর্বে দেখানো হয়েছে, প্রক্রিয়াটি বিপরীত হওয়ার জন্য, শর্ত | q | < 1.

এটা স্পষ্ট যে এম(টি এ) = 0; ডি(y t) = .

ACF (3.20) অনুযায়ী অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়

চাকফ r জ(t) দেওয়া হয়

FACF এর আচরণ ক্ষয়কারী সূচক দ্বারা নির্ধারিত হয়। মান থাকলে r(1) ধনাত্মক, তারপর প্যারামিটার< 0, следовательно, r জ(t) একটি পরিবর্তনশীল চিহ্ন দিয়ে দোদুল্যমান। যদি r(1) এর মান ঋণাত্মক হয়, তাহলে পরামিতি > 0, তাই, সমস্ত মান r জ(t) নেতিবাচক।

চলমান গড় মডেলগুলির উল্লেখিত বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের নিম্নলিখিতগুলি তৈরি করতে দেয় বাস্তবিক উপদেশতাদের পরিচয় দ্বারা।

MA(1) মডেলের জন্য:

অটোকোরিলেশন ফাংশনটির একটি আউটলাইয়ার (শিখর) 1 এর সমান ল্যাগ রয়েছে এবং অবশিষ্ট মানগুলি পরিসংখ্যানগতভাবে নগণ্য;

আংশিক অটোকোরিলেশন ফাংশন দ্রুতগতিতে ক্ষয়প্রাপ্ত হয় (হয় একঘেয়ে বা দোদুল্যমান, অর্থাত্ পরিবর্তনশীল চিহ্ন)।

MA(2) মডেলের জন্য:

অটোকোরিলেশন ফাংশনে 1 এবং 2 এর সমান ল্যাগগুলিতে আউটলাইয়ার (শিখর) রয়েছে এবং অবশিষ্ট মানগুলি পরিসংখ্যানগতভাবে নগণ্য;

আংশিক অটোকোরিলেশন ফাংশনটি একটি সাইনুসয়েডের আকার ধারণ করে বা দ্রুতগতিতে ক্ষয় হয়।

বাস্তবে, বিশ্লেষণকৃত অর্থনৈতিক প্রক্রিয়ার বর্ণনার স্বচ্ছতার জন্য, মডেলটিতে স্বয়ংক্রিয়তামূলক উপাদানের বর্ণনা এবং একটি চলমান গড় প্রক্রিয়ার আকারে অবশিষ্টাংশের মডেলিং শর্তাবলী উভয়ই অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে। এই ধরনের একটি প্রক্রিয়া বলা হয় - ARSS (p, q)বা, ইংরেজি সাহিত্যে যেমন প্রচলিত আছে, অটোরিগ্রেসিভ-মুভিং এভারেজ (ARMA (p, q))।অপশন আরএবং qযথাক্রমে অটোরিগ্রেসিভ উপাদানের ক্রম এবং চলমান গড়গুলির ক্রম নির্ধারণ করুন।

মডেল ARMA(p, q)দেখতে:

y t \u003d a 1 y t -1 + a 2 y t -2 + ...+a p y t - p + e p - q 1 e t -1 - q 2 e t -2 -…- q q e t - q . (3.23)

যেমন একটি মডেল একটি রৈখিক একাধিক রিগ্রেশন হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে. এর মধ্যে ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবল হল সবচেয়ে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের পূর্ববর্তী মান এবং রিগ্রেশন রেসিডুয়াল হল সাদা গোলমাল উপাদানগুলির চলমান গড়।

প্রক্রিয়াটি (3.23) স্থির হওয়ার জন্য, বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমীকরণের সমস্ত শিকড় প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট AR(p)-এনপোসেস ইউনিট বৃত্তের বাইরে থাকে:

1 - a 1 z - a 2 z 2 - ... - a p z p = 0. (3.24)

একইভাবে, প্রক্রিয়াটির (3.23) বিপরীত হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে প্রক্রিয়াটির বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণের সমস্ত মূল MA( q) ইউনিট বৃত্তের বাইরে রাখা:

1 - a 1 z - a 2 z 2 - ... - a q z q = 0 (3.25)

সহজতম ARMA(1,1) মিশ্র প্রক্রিয়া:

y t \u003d a 1 y t -1 + e p - q 1 e t -1 (3.26)

এই সমীকরণটি এতে রূপান্তরিত হতে পারে:

y t + a 1 y t -1 = e p - q 1 e t -1 (3.27)

ARMA(1,1) প্রক্রিয়ার স্থিরতা শর্ত দ্বারা নিশ্চিত করা হয় | ক| < 1, а обратимость, в свою очередь, гарантируется выполнением условия |q| <1.

ARMA(1,1) প্রক্রিয়ার অটোকোভারিয়েন্স ফাংশন:

g(0) = , (3.28)

g(1) = . (3.29)

ল্যাগের জন্য অটোকোভারিয়েন্স ফাংশনের মান t 1-এর বেশি নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়:

g(t) = ক g(t-1) এ t > 1. (3.30

অতএব, ACF মানগুলি দেখতে কেমন হবে

r(1) = (3.31)

r(t) = ক r(t-1) = ক t -1 r(1) এ t> 1. (3.32)

এটি (3.31), (3.32) থেকে দেখা যায় যদিও এর জন্য অভিব্যক্তি r(1) সংশ্লিষ্ট প্রক্রিয়া অভিব্যক্তি থেকে ভিন্ন এআর(1), মধ্যে অনুপাত r(1) এবং পরবর্তী মান এসিএফএকই. তাই প্রক্রিয়ার জন্য আরমা(1,1) মান এসিএফমান থেকে দ্রুত হ্রাস পাবে r(1), এবং যদি a ধনাত্মক হয়, তবে এটি একঘেয়ে, যদি এটি ঋণাত্মক হয়, তবে এটি সাইন-অল্টারনেটিং।

আচরণ চাকফপ্রাথমিক মান দ্বারা নির্ধারিত r জ(1), যার পরে ফাংশনটি দ্রুতগতিতে হ্রাস পায়। যদি qযদি ইতিবাচক হয়, তাহলে ফাংশনটি একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়; যদি নেতিবাচক হয়, তবে এটি চিহ্ন-পর্যায়ক্রমে হ্রাস পায়।

স্টাডিজ দেখায় যে যখন অর্থনৈতিক সমস্যা, মডেল ব্যবহার করা হয় আরমা(পি, প্রশ্ন),অনুশীলনের প্রয়োজনীয়তা, একটি নিয়ম হিসাবে, টেবিলে উপস্থাপিত এই মডেলের নিম্নলিখিত পাঁচ প্রকার দ্বারা সন্তুষ্ট হয়।

স্বতঃসম্পর্কের বৈশিষ্ট্য (AKF)

এবং আংশিক স্বতঃসম্পর্ক (চাকফ)ফাংশন