স্কুল কোর্স থেকে জ্যামিতির সবচেয়ে আকর্ষণীয় বিষয়গুলির মধ্যে একটি হল "চতুর্ভুজ" (গ্রেড 8)। এই ধরনের পরিসংখ্যান কি ধরনের বিদ্যমান, তাদের কি বিশেষ বৈশিষ্ট্য আছে? নব্বই-ডিগ্রী কোণ সহ চতুর্ভুজ সম্পর্কে অনন্য কি? এর এই সব খতিয়ে দেখা যাক.

কোন জ্যামিতিক চিত্রকে চতুর্ভুজ বলা হয়

বহুভুজ, যা চারটি বাহু নিয়ে গঠিত এবং তদনুসারে, চারটি শীর্ষবিন্দু (কোণ) নিয়ে গঠিত, ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে চতুর্ভুজ বলা হয়।

এই ধরনের পরিসংখ্যান নামের ইতিহাস আকর্ষণীয়। রাশিয়ান ভাষায়, "চতুর্ভুজ" বিশেষ্যটি "চার কোণ" শব্দগুচ্ছ থেকে গঠিত হয় (ঠিক যেমন "ত্রিভুজ" - তিন কোণ, "পেন্টাগন" - পাঁচ কোণ ইত্যাদি)।

যাইহোক, ল্যাটিন ভাষায় (যার মাধ্যমে অনেক জ্যামিতিক শব্দ বিশ্বের বেশিরভাগ ভাষায় এসেছে), একে বলা হয় চতুর্ভুজ। এই শব্দটি সংখ্যাগত চতুর্দিক (চার) এবং বিশেষ্য ল্যাটাস (পার্শ্ব) থেকে গঠিত হয়েছে। সুতরাং আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে প্রাচীনদের মধ্যে এই বহুভুজটিকে শুধুমাত্র "চার-পার্শ্বযুক্ত" হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছিল।

যাইহোক, এই জাতীয় নাম (এই ধরণের চিত্রগুলিতে কোণার পরিবর্তে চার দিকের উপস্থিতির উপর জোর দিয়ে) কিছু আধুনিক ভাষায় সংরক্ষণ করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ইংরেজিতে - quadrilateral এবং ফরাসি - quadrilatère।

একই সময়ে, বেশিরভাগ স্লাভিক ভাষায়, বিবেচিত ধরণের পরিসংখ্যানগুলি এখনও কোণের সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, পক্ষ নয়। উদাহরণস্বরূপ, স্লোভাক ভাষায় (štvoruholník), বুলগেরিয়ানে (“chetirigalnik”), বেলারুশিয়ান ভাষায় (“chatyrokhkutnik”), ইউক্রেনীয় ভাষায় (“chotirikutnik”), চেক (čtyřúhelník) ভাষায়, কিন্তু পোলিশ ভাষায় চতুর্ভুজকে সংখ্যা দ্বারা বলা হয়। পক্ষ - czworoboczny.

স্কুল পাঠ্যক্রমে কি ধরনের চতুর্ভুজ অধ্যয়ন করা হয়

আধুনিক জ্যামিতিতে, চারটি বাহু সহ 4 ধরনের বহুভুজ রয়েছে।

যাইহোক, তাদের কিছুর খুব জটিল বৈশিষ্ট্যের কারণে, জ্যামিতি পাঠে, স্কুলছাত্রদের শুধুমাত্র দুটি ধরণের সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া হয়।

• সমান্তরাল বৃত্ত।এই ধরনের চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পরের সাথে যুগলভাবে সমান্তরাল এবং তদনুসারে, জোড়ায় সমান।
• ট্র্যাপিজ (ট্র্যাপিজিয়াম বা ট্র্যাপিজয়েড)।এই চতুর্ভুজটি একে অপরের সমান্তরাল দুটি বিপরীত বাহু নিয়ে গঠিত। যাইহোক, পক্ষের অন্যান্য জোড়া এই বৈশিষ্ট্য নেই.

চতুর্ভুজের প্রকারগুলি স্কুলের জ্যামিতি কোর্সে অধ্যয়ন করা হয়নি৷

উপরোক্তগুলি ছাড়াও, আরও দুটি ধরণের চতুর্ভুজ রয়েছে যেগুলির বিশেষ জটিলতার কারণে স্কুলছাত্রীরা জ্যামিতি পাঠে পরিচিত হয় না।

• ডেলটয়েড (ঘুড়ি)- একটি চিত্র যেখানে দুটি জোড়া সন্নিহিত বাহুর প্রতিটি একে অপরের দৈর্ঘ্যে সমান। এই জাতীয় চতুর্ভুজটির নামটি এসেছে এই কারণে যে চেহারাতে এটি গ্রীক বর্ণমালার অক্ষরের সাথে বেশ দৃঢ়ভাবে সাদৃশ্যপূর্ণ - "ডেল্টা"।
• সমান্তরাল লোগ্রাম- এই চিত্রটি তার নামের মতোই জটিল। এটিতে, দুটি বিপরীত দিক সমান, তবে একই সময়ে তারা একে অপরের সমান্তরাল নয়। উপরন্তু, এই চতুর্ভুজের দীর্ঘ বিপরীত বাহুগুলি একে অপরকে ছেদ করে, যেমনটি অন্য দুটি, খাটো বাহুর সম্প্রসারণ করে।

সমান্তরালগ্রামের প্রকারভেদ

প্রধান ধরণের চতুর্ভুজগুলির সাথে মোকাবিলা করার পরে, এটির উপ-প্রজাতিগুলিতে মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান। সুতরাং, সমস্ত সমান্তরালগ্রাম, ঘুরে, চারটি গ্রুপে বিভক্ত।

• শাস্ত্রীয় সমান্তরাল বৃত্ত।
• রম্বস (রম্বস)- সমান বাহু সহ একটি চতুর্ভুজাকার চিত্র। এর কর্ণগুলি সমকোণে ছেদ করে, রম্বসকে চারটি সমান সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
• আয়তক্ষেত্র.নাম নিজেই কথা বলে। যেহেতু এটি সমকোণ সহ একটি চতুর্ভুজ (এদের প্রত্যেকটি নব্বই ডিগ্রির সমান)। এর বিপরীত দিকগুলি কেবল একে অপরের সমান্তরাল নয়, সমান।
• বর্গ বর্গ).একটি আয়তক্ষেত্রের মতো, এটি সমকোণ বিশিষ্ট একটি চতুর্ভুজ, কিন্তু এর সব বাহু একে অপরের সমান। এই চিত্রটি একটি রম্বসের কাছাকাছি। সুতরাং এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে একটি বর্গ হল একটি রম্বস এবং একটি আয়তক্ষেত্রের মধ্যে একটি ক্রস।

আয়তক্ষেত্র বিশেষ বৈশিষ্ট্য

পরিসংখ্যান বিবেচনা করে যেখানে বাহুর মধ্যে প্রতিটি কোণ নব্বই ডিগ্রীর সমান, এটি আয়তক্ষেত্রে আরও ঘনিষ্ঠভাবে বসবাস করার মতো। সুতরাং, এটির কোন বিশেষ বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এটিকে অন্যান্য সমান্তরালগ্রাম থেকে আলাদা করে?

বিবেচনাধীন সমান্তরালগ্রামটি একটি আয়তক্ষেত্র তা নিশ্চিত করার জন্য, এর কর্ণগুলি একে অপরের সমান হতে হবে এবং প্রতিটি কোণ অবশ্যই সঠিক হতে হবে। উপরন্তু, এর তির্যকগুলির বর্গটি এই চিত্রের দুটি সন্নিহিত বাহুর বর্গক্ষেত্রের যোগফলের সাথে মিলিত হতে হবে। অন্য কথায়, ক্লাসিক আয়তক্ষেত্রে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ থাকে এবং তাদের মধ্যে, যেমনটি জানা যায়, বিবেচনাধীন চতুর্ভুজের কর্ণ কর্ণের হিসাবে কাজ করে।

এই চিত্রের তালিকাভুক্ত লক্ষণগুলির শেষটিও এর বিশেষ সম্পত্তি। এ ছাড়াও আরও আছে। উদাহরণস্বরূপ, সমকোণ সহ অধ্যয়ন করা চতুর্ভুজের সমস্ত বাহু একই সময়ে এর উচ্চতা।

উপরন্তু, যদি কোন আয়তক্ষেত্রের চারপাশে একটি বৃত্ত আঁকা হয়, তবে এর ব্যাস হবে খোদাই করা চিত্রের কর্ণের সমান।

এই চতুর্ভুজের অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের মধ্যে, এটি সমতল এবং অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে বিদ্যমান নেই। এটি এই কারণে যে এই জাতীয় সিস্টেমে কোনও চতুর্ভুজাকার পরিসংখ্যান নেই, যার কোণের সমষ্টি তিনশ ষাট ডিগ্রির সমান।

বর্গক্ষেত্র এবং এর বৈশিষ্ট্য

একটি আয়তক্ষেত্রের চিহ্ন এবং বৈশিষ্ট্যগুলি নিয়ে কাজ করার পরে, বিজ্ঞানের কাছে সমকোণ সহ পরিচিত দ্বিতীয় চতুর্ভুজের দিকে মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান (এটি একটি বর্গ)।

প্রকৃতপক্ষে একই আয়তক্ষেত্র হওয়ায়, কিন্তু সমান বাহু সহ, এই চিত্রটির সমস্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। কিন্তু এর বিপরীতে, বর্গক্ষেত্রটি নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে বিদ্যমান।

উপরন্তু, এই চিত্রটির নিজস্ব অন্যান্য স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলি কেবল একে অপরের সমান নয়, একটি সমকোণে ছেদ করে। এইভাবে, একটি রম্বসের মতো, একটি বর্গক্ষেত্র চারটি সমকোণী ত্রিভুজ নিয়ে গঠিত, যার মধ্যে এটি তির্যক দ্বারা বিভক্ত।

উপরন্তু, এই চিত্রটি সমস্ত চতুর্ভুজের মধ্যে সবচেয়ে প্রতিসম।

চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি কত

ইউক্লিডীয় জ্যামিতি চতুর্ভুজগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করে, তাদের কোণগুলিতে মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান।

সুতরাং, উপরের প্রতিটি পরিসংখ্যানে, এটির সমকোণ থাকুক বা না থাকুক, তাদের মোট যোগফল সবসময় একই থাকে - তিনশত ষাট ডিগ্রি। এটি এই ধরণের চিত্রের একটি অনন্য বিশিষ্ট বৈশিষ্ট্য।

চতুর্ভুজের পরিধি

চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি কী এবং এই ধরণের পরিসংখ্যানগুলির অন্যান্য বিশেষ বৈশিষ্ট্যগুলি বের করার পরে, তাদের পরিধি এবং ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য কোন সূত্রগুলি সবচেয়ে ভাল ব্যবহার করা হয় তা জানার মতো।

যেকোন চতুর্ভুজের পরিধি নির্ধারণ করতে, আপনাকে শুধু এর সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্য একসাথে যোগ করতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, KLMN চিত্রে, এর পরিধি সূত্রটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে: P \u003d KL + LM + MN + KN। আপনি যদি এখানে সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করেন, আপনি পাবেন: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (সেমি)।

সেই ক্ষেত্রে যখন প্রশ্নে থাকা চিত্রটি একটি রম্বস বা একটি বর্গক্ষেত্র, পরিধি খুঁজে বের করার জন্য, আপনি কেবলমাত্র এর একটি বাহুর দৈর্ঘ্যকে চার দ্বারা গুণ করে সূত্রটিকে সরল করতে পারেন: P \u003d KL x 4। উদাহরণস্বরূপ: 6 x 4 \u003d 24 (সেমি)।

ক্ষেত্রফল চতুর্ভুজ সূত্র

চার কোণ এবং দিক সহ যে কোনও চিত্রের পরিধি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা খুঁজে বের করার পরে, এর ক্ষেত্রটি খুঁজে বের করার সবচেয়ে জনপ্রিয় এবং সহজ উপায়গুলি বিবেচনা করা মূল্যবান।

চতুর্ভুজের অন্যান্য বৈশিষ্ট্য: খোদাই করা এবং পরিধিকৃত বৃত্ত

ইউক্লিডীয় জ্যামিতির একটি চিত্র হিসাবে চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করার পরে, এটির চারপাশে বর্ণনা করার বা এর ভিতরে বৃত্তগুলি খোদাই করার ক্ষমতার দিকে মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান:

• যদি চিত্রের বিপরীত কোণের যোগফল প্রতিটি একশত আশি ডিগ্রী হয় এবং একে অপরের সাথে জোড়ায় সমান হয়, তাহলে এই ধরনের চতুর্ভুজের চারপাশে একটি বৃত্ত অবাধে বর্ণনা করা যেতে পারে।
• টলেমির উপপাদ্য অনুসারে, যদি একটি বৃত্তকে একটি বহুভুজের বাইরে চারটি বাহু বিশিষ্ট পরিসীমাবদ্ধ করা হয়, তাহলে এর কর্ণের গুণফল প্রদত্ত চিত্রের বিপরীত বাহুর গুণফলের সমষ্টির সমান। সুতরাং, সূত্রটি এইরকম দেখাবে: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN।
• আপনি যদি একটি চতুর্ভুজ তৈরি করেন যেখানে বিপরীত বাহুর যোগফল একে অপরের সমান হয়, তাহলে এটিতে একটি বৃত্ত খোদাই করা যেতে পারে।

চতুর্ভুজ কী, এটি কী ধরণের বিদ্যমান, তাদের মধ্যে কোনটির বাহুর মধ্যে কেবলমাত্র সমকোণ রয়েছে এবং তাদের কী বৈশিষ্ট্য রয়েছে তা নির্ধারণ করার পরে, এই সমস্ত উপাদানটি মনে রাখা মূল্যবান। বিশেষত, বিবেচিত বহুভুজের পরিধি এবং ক্ষেত্রফল খোঁজার সূত্র। সর্বোপরি, এই ফর্মের পরিসংখ্যান সবচেয়ে সাধারণ, এবং এই জ্ঞান বাস্তব জীবনে গণনার জন্য দরকারী হতে পারে।

সংজ্ঞা।একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি যুগলভাবে সমান্তরাল।

সম্পত্তি।একটি সমান্তরালগ্রামে, বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং বিপরীত কোণগুলি সমান।

সম্পত্তি।সমান্তরালগ্রামের কর্ণ ছেদ বিন্দু দ্বারা দ্বিখণ্ডিত হয়।

একটি সমান্তরালগ্রামের 1টি চিহ্ন।যদি একটি চতুর্ভুজের দুটি বাহু সমান এবং সমান্তরাল হয়, তবে চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

একটি সমান্তরালগ্রামের 2 চিহ্ন।যদি একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহু জোড়ায় সমান হয়, তাহলে চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

একটি সমান্তরালগ্রামের 3 চিহ্ন।যদি একটি চতুর্ভুজের মধ্যে কর্ণগুলি ছেদ করে এবং ছেদ বিন্দুটি দ্বিখণ্ডিত হয়, তবে এই চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরালগ্রাম।

সংজ্ঞা।একটি ট্র্যাপিজয়েড হল একটি চতুর্ভুজ যার দুটি বাহু সমান্তরাল এবং অন্য দুটি বাহু সমান্তরাল নয়। সমান্তরাল দিক বলা হয় ভিত্তি

ট্র্যাপিজয়েড বলা হয় সমদ্বিবাহু (সমদ্বিবাহু)যদি এর দিকগুলো সমান হয়। একটি সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজয়েডে, ভিত্তিগুলির কোণগুলি সমান।

আয়তক্ষেত্রাকার.

ট্র্যাপিজয়েডের মধ্যরেখা. মাঝের রেখাটি বেসের সমান্তরাল এবং তাদের অর্ধ-সমষ্টির সমান।

আয়তক্ষেত্র

সংজ্ঞা।

সম্পত্তি।একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণ সমান।

আয়তক্ষেত্র চিহ্ন।যদি একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণ সমান হয়, তাহলে সমান্তরালটি একটি আয়তক্ষেত্র।

সংজ্ঞা।

সম্পত্তি।একটি রম্বসের কর্ণগুলি পারস্পরিকভাবে লম্ব এবং এর কোণগুলিকে দ্বিখণ্ডিত করে।

সংজ্ঞা।

একটি বর্গক্ষেত্র হল একটি বিশেষ ধরনের আয়তক্ষেত্র, এবং এছাড়াও একটি বিশেষ ধরনের রম্বস। অতএব, এটা তাদের সব বৈশিষ্ট্য আছে.

বৈশিষ্ট্য:
1. বর্গক্ষেত্রের সমস্ত কোণ সঠিক

চতুর্ভুজ সব নিয়ম

কীওয়ার্ড:
চতুর্ভুজ, উত্তল, কোণের সমষ্টি, চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

চতুর্ভুজএকটি চিত্র বলা হয়, যা চারটি বিন্দু এবং চারটি অংশ নিয়ে তাদের সিরিজে সংযুক্ত করে। এই ক্ষেত্রে, এই তিনটি বিন্দুর একটি সরল রেখায় থাকা উচিত নয় এবং তাদের সংযোগকারী অংশগুলিকে ছেদ করা উচিত নয়।

• চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুকে বলা হয় প্রতিবেশী যদি তারা তার পক্ষের এক প্রান্ত হয়.
• প্রতিবেশী নয় যে শীর্ষবিন্দু , ডাকা বিপরীত .
• একটি চতুর্ভুজের বিপরীত শীর্ষবিন্দুকে সংযোগকারী রেখাগুলিকে বলা হয় তির্যক .
• চতুর্ভুজের যে বাহুগুলো একই শীর্ষবিন্দু থেকে উৎপন্ন হয় তাকে বলে প্রতিবেশী দলগুলি
• যে দিকগুলির একটি সাধারণ শেষ নেই তাকে বলা হয় বিপরীত দলগুলি
• চতুর্ভুজ বলা হয় উত্তল , যদি এটি একটি অর্ধ-বিমানে অবস্থিত হয়, যার যেকোন বাহু থাকা সরলরেখার সাপেক্ষে।

চতুর্ভুজের প্রকারভেদ

1. সমান্তরাল বৃত্ত একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহু সমান্তরাল
   • আয়তক্ষেত্র সমস্ত সমকোণ সহ একটি সমান্তরালগ্রাম
   • রম্বস - একটি সমান্তরালগ্রাম যার সব দিক সমান
   • বর্গক্ষেত্র - একটি আয়তক্ষেত্র যার সব দিক সমান
2. ট্র্যাপিজ - একটি চতুর্ভুজ যার দুটি বাহু সমান্তরাল এবং অন্য দুটি বাহু সমান্তরাল নয়
3. ডেল্টয়েড একটি চতুর্ভুজ যার দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান

চতুর্ভুজ

চতুর্ভুজএকটি চিত্র বলা হয়, যা চারটি বিন্দু এবং চারটি অংশ নিয়ে তাদের সিরিজে সংযুক্ত করে। এই ক্ষেত্রে, এই তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় থাকে না এবং তাদের সংযোগকারী অংশগুলিকে ছেদ করে না।

বিপরীত. বিপরীত.

চতুর্ভুজের প্রকারভেদ

সমান্তরাল বৃত্ত

সমান্তরাল বৃত্তএকটি চতুর্ভুজ বলা হয় যার বিপরীত বাহুগুলি যুগলভাবে সমান্তরাল।

সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য

• বিপরীত দিকগুলি সমান;
• বিপরীত কোণ সমান;
• তির্যকগুলির বর্গক্ষেত্রগুলির যোগফল সমস্ত বাহুর বর্গগুলির সমষ্টির সমান:

সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য

ট্র্যাপিজএকটি চতুর্ভুজ বলা হয়, যেখানে দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল এবং বাকি দুটি সমান্তরাল নয়।

একটি ট্র্যাপিজয়েডের সমান্তরাল বাহুগুলিকে এর বলা হয় ভিত্তিএবং অ-সমান্তরাল দিক পক্ষই.বাহুর মধ্যবিন্দুকে সংযোগকারী অংশকে বলা হয় মধ্যম লাইন

ট্র্যাপিজয়েড বলা হয় সমদ্বিবাহু(বা সমদ্বিবাহু) যদি এর বাহুগুলো সমান হয়।

একটি সমকোণ বিশিষ্ট একটি ট্র্যাপিজয়েড বলা হয় আয়তক্ষেত্রাকার.

ট্র্যাপিজয়েড বৈশিষ্ট্য

ট্র্যাপিজয়েডের লক্ষণ

আয়তক্ষেত্র

আয়তক্ষেত্রএকটি সমান্তরালগ্রাম বলা হয় যদি সমস্ত কোণ সমকোণ হয়।

আয়তক্ষেত্র বৈশিষ্ট্য

আয়তক্ষেত্র বৈশিষ্ট্য

একটি সমান্তরালগ্রাম একটি আয়তক্ষেত্র যদি:

1. এর একটি কোণ ঠিক আছে।
2. এর কর্ণগুলি সমান।

রম্বসএকটি সমান্তরালগ্রাম বলা হয় যদি সব বাহু সমান হয়।

রম্বস বৈশিষ্ট্য

• একটি সমান্তরালগ্রামের সমস্ত বৈশিষ্ট্য;
• কর্ণগুলি লম্ব;

একটি রম্বসের চিহ্ন

বর্গক্ষেত্রএকটি আয়তক্ষেত্র বলা হয় যার সব বাহু সমান।

বর্গাকার বৈশিষ্ট্য

• বর্গক্ষেত্রের সমস্ত কোণ সঠিক;
• বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলি সমান, পারস্পরিকভাবে লম্ব, ছেদ বিন্দুটি অর্ধেকে বিভক্ত এবং বর্গক্ষেত্রের কোণগুলি অর্ধেকে বিভক্ত।

বর্গাকার চিহ্ন

মৌলিক সূত্র

S=d 1 d 2 পাপ

সমান্তরাল বৃত্ত
কএবং খ-সংলগ্ন দলগুলি; - তাদের মধ্যে কোণ; জ ক -পাশ থেকে উচ্চতা ক.

S = ab sin

S=d 1 d 2 পাপ

ট্র্যাপিজ
কএবং খ- স্থল; জ-তাদের মধ্যে দূরত্ব; l-মধ্যম লাইন .

আয়তক্ষেত্র

S=d 1 d 2 পাপ

S = a 2 sin

S=d 1 d 2

বর্গক্ষেত্র
d- তির্যক।

www.univer.omsk.su

চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য। চতুর্ভুজের প্রকারভেদ। নির্বিচারে চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য। সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য। রম্বসের বৈশিষ্ট্য। আয়তক্ষেত্র বৈশিষ্ট্য। বর্গাকার বৈশিষ্ট্য। ট্র্যাপিজয়েড বৈশিষ্ট্য। আনুমানিক 7-9 গ্রেড (13-15 বছর বয়সী)

চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য। চতুর্ভুজের প্রকারভেদ। নির্বিচারে চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য।
সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য। রম্বসের বৈশিষ্ট্য। আয়তক্ষেত্র বৈশিষ্ট্য। বর্গাকার বৈশিষ্ট্য। ট্র্যাপিজয়েড বৈশিষ্ট্য।

চতুর্ভুজের প্রকারভেদ:

• সমান্তরাল বৃত্তএকটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল

• রম্বসএকটি সমান্তরালগ্রাম যার সব বাহু সমান।

• আয়তক্ষেত্রসমস্ত সমকোণ সহ একটি সমান্তরাল বৃত্ত।

• বর্গক্ষেত্রএকটি আয়তক্ষেত্র যার সব দিক সমান।

নির্বিচারে চতুর্ভুজের বৈশিষ্ট্য:

সমান্তরালগ্রাম বৈশিষ্ট্য:

রম্বসের বৈশিষ্ট্য:

আয়তক্ষেত্র বৈশিষ্ট্য:

বর্গাকার বৈশিষ্ট্য:

ট্র্যাপিজের বৈশিষ্ট্য:

পরামর্শ এবং প্রযুক্তিগত
সাইট সমর্থন: জাভারকা দল

চতুর্ভুজ সব নিয়ম

নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি, জ্যামিতির অনুরূপ জ্যামিতি ইউক্লিডএতে এটি পরিসংখ্যানের গতিবিধি সংজ্ঞায়িত করে, কিন্তু ইউক্লিডীয় জ্যামিতি থেকে আলাদা যে এর পাঁচটি অনুকরণের মধ্যে একটি (দ্বিতীয় বা পঞ্চম) এর নেতিকরণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। ইউক্লিডীয় অনুশাসনের একটিকে অস্বীকার করা (1825) চিন্তার ইতিহাসে একটি উল্লেখযোগ্য ঘটনা, কারণ এটি প্রথম পদক্ষেপ হিসাবে কাজ করেছিল আপেক্ষিক তত্ত্ব.

ইউক্লিডের দ্বিতীয় সূত্রে বলা হয়েছে যে যেকোনো লাইন সেগমেন্ট অনির্দিষ্টকালের জন্য বাড়ানো যেতে পারে. ইউক্লিড স্পষ্টতই বিশ্বাস করতেন যে এই পোস্টুলেটে এই বিবৃতিও রয়েছে যে সরলরেখার দৈর্ঘ্য অসীম। যাহোক "অধিবৃত্ত" জ্যামিতিতে যেকোন সরলরেখা সসীম এবং একটি বৃত্তের মতো বন্ধ থাকে।

পঞ্চম অনুমানে বলা হয়েছে যে যদি একটি রেখা দুটি প্রদত্ত রেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যে তার এক পাশের দুটি অভ্যন্তরীণ কোণ যোগফলের দুটি সমকোণ থেকে কম হয়, তবে এই দুটি রেখা, যদি অনির্দিষ্টকালের জন্য প্রসারিত হয়, তাহলে সেই পাশে ছেদ করবে যেখানে এই কোণের যোগফল দুটি সরলরেখার সমষ্টির চেয়ে কম। কিন্তু "হাইপারবোলিক" জ্যামিতিতে, একটি রেখা CB (চিত্র দেখুন), একটি প্রদত্ত রেখা r-এর C বিন্দুতে লম্ব এবং B বিন্দুতে একটি তীব্র কোণে অন্য একটি রেখা s কে ছেদ করতে পারে, কিন্তু, তবুও, অসীম রেখাগুলি r এবং s কখনই ছেদ করবে না।

এই সংশোধিত অনুমানগুলি থেকে এটি অনুসরণ করা হয়েছে যে একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি, ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে 180° সমান, উপবৃত্তাকার জ্যামিতিতে 180° এর চেয়ে বেশি এবং অধিবৃত্ত জ্যামিতিতে 180° এর কম।

চতুর্ভুজ

চতুর্ভুজচারটি শীর্ষবিন্দু এবং চারটি বাহু বিশিষ্ট একটি বহুভুজ।

চতুর্ভুজ, একটি জ্যামিতিক চিত্র - চার কোণ সহ একটি বহুভুজ, সেইসাথে যে কোনও বস্তু, এই ফর্মের একটি ডিভাইস।

চতুর্ভুজের দুটি অ-সংলগ্ন বাহুকে বলা হয় বিপরীত.সংলগ্ন নয় এমন দুটি শীর্ষবিন্দুকেও বলা হয় বিপরীত.

চতুর্ভুজ উত্তল (ABCD এর মত) এবং
অ-উত্তল (A 1 B 1 C 1 D 1)।

চতুর্ভুজের প্রকারভেদ

• সমান্তরাল বৃত্ত- একটি চতুর্ভুজ যেখানে সমস্ত বিপরীত বাহু সমান্তরাল;
• আয়তক্ষেত্র- সমস্ত সমকোণ সহ একটি চতুর্ভুজ;
• রম্বস- একটি চতুর্ভুজ যেখানে সমস্ত দিক সমান;
• বর্গক্ষেত্র- একটি চতুর্ভুজ যেখানে সমস্ত কোণ সঠিক এবং সমস্ত বাহু সমান;
• ট্র্যাপিজ- দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল সহ একটি চতুর্ভুজ;
• ডেল্টয়েডএকটি চতুর্ভুজ যার দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান।

সমান্তরাল বৃত্ত

একটি সমান্তরালগ্রাম হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলি যুগলভাবে সমান্তরাল।

সমান্তরালগ্রাম (গ্রীক সমান্তরাল থেকে - সমান্তরাল এবং gramme - রেখা) অর্থাৎ সমান্তরাল রেখার উপর থাকা। একটি সমান্তরালগ্রামের বিশেষ ক্ষেত্রে একটি আয়তক্ষেত্র, একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি রম্বস।

• বিপরীত দিকগুলি সমান;
• বিপরীত কোণ সমান;
• ছেদ বিন্দুর কর্ণ অর্ধেক বিভক্ত করা হয়;
• একপাশে সংলগ্ন কোণের সমষ্টি হল 180°;
• কর্ণের বর্গক্ষেত্রের যোগফল সব বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।

একটি চতুর্ভুজ একটি সমান্তরালগ্রাম যদি:

1. এর দুটি বিপরীত বাহু সমান এবং সমান্তরাল।
2. বিপরীত দিকগুলি জোড়ায় সমান।
3. বিপরীত কোণ জোড়ায় সমান।
4. ছেদ বিন্দুর কর্ণগুলি অর্ধেক ভাগে বিভক্ত।

আয়তক্ষেত্র

একটি আয়তক্ষেত্র হল সমস্ত সমকোণ সহ একটি সমান্তরালগ্রাম।

• বিপরীত দিকগুলি সমান;
• বিপরীত কোণ সমান;
• ছেদ বিন্দুর কর্ণ অর্ধেক বিভক্ত করা হয়;
• একপাশে সংলগ্ন কোণের সমষ্টি হল 180°;
• কর্ণগুলি সমান।

একটি সমান্তরালগ্রাম একটি আয়তক্ষেত্র যদি:

1. এর একটি কোণ ঠিক আছে।
2. এর কর্ণগুলি সমান।

একটি রম্বস একটি সমান্তরালগ্রাম যার সব বাহু সমান।

• বিপরীত দিকগুলি সমান;
• বিপরীত কোণ সমান;
• ছেদ বিন্দুর কর্ণ অর্ধেক বিভক্ত করা হয়;
• একপাশে সংলগ্ন কোণের সমষ্টি হল 180°;
• তির্যকগুলির বর্গক্ষেত্রগুলির সমষ্টি সমস্ত বাহুর বর্গগুলির সমষ্টির সমান;
• কর্ণগুলি লম্ব;
• কর্ণগুলি হল এর কোণের দ্বিখণ্ডক।

একটি সমান্তরালগ্রাম একটি রম্বস যদি:

1. এর দুটি সন্নিহিত বাহু সমান।
2. এর কর্ণগুলি লম্ব।
3. কর্ণগুলির মধ্যে একটি হল এর কোণের দ্বিখণ্ডক।

একটি বর্গক্ষেত্র হল একটি আয়তক্ষেত্র যার সব দিক সমান।

• বর্গক্ষেত্রের সমস্ত কোণ সঠিক;
• বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলি সমান, পারস্পরিকভাবে লম্ব, ছেদ বিন্দুটি অর্ধেকে বিভক্ত এবং বর্গক্ষেত্রের কোণগুলি অর্ধেকে বিভক্ত।

1. একটি আয়তক্ষেত্র হল একটি বর্গক্ষেত্র যদি এতে একটি রম্বসের কিছু বৈশিষ্ট্য থাকে।

একটি ট্র্যাপিজয়েড হল একটি চতুর্ভুজ যার দুটি বিপরীত বাহু সমান্তরাল এবং বাকি দুটি সমান্তরাল নয়।

একটি ট্র্যাপিজয়েডের সমান্তরাল বাহুগুলিকে এর বেস বলা হয় এবং অ-সমান্তরাল বাহুগুলিকে এর বাহু বলা হয়। বাহুর মধ্যবিন্দুকে সংযোগকারী রেখাংশকে মধ্যরেখা বলে।

একটি ট্র্যাপিজয়েডকে সমদ্বিবাহু (বা সমদ্বিবাহু) বলা হয় যদি এর বাহুগুলো সমান হয়।

এক সমকোণ বিশিষ্ট ট্র্যাপিজয়েডকে সমকোণী ট্র্যাপিজয়েড বলে।

• এর মাঝের রেখাটি বেসের সমান্তরাল এবং তাদের অর্ধ-সমষ্টির সমান;
• যদি ট্র্যাপিজয়েডটি সমদ্বিবাহু হয়, তবে এর কর্ণগুলি সমান এবং ভিত্তির কোণগুলি সমান;
• যদি ট্র্যাপিজয়েডটি সমদ্বিবাহু হয়, তবে এটির চারপাশে একটি বৃত্ত বর্ণনা করা যেতে পারে;
• যদি ঘাঁটিগুলির যোগফল বাহুর যোগফলের সমান হয়, তবে এতে একটি বৃত্ত খোদাই করা যেতে পারে।

1. একটি চতুর্ভুজ একটি ট্র্যাপিজয়েড যদি এর সমান্তরাল বাহুগুলি সমান না হয়

ডেল্টয়েডএকই দৈর্ঘ্যের দুই জোড়া বাহু সহ একটি চতুর্ভুজ। একটি সমান্তরাল বৃত্তের বিপরীতে, দুটি জোড়া সন্নিহিত বাহুর সমান নয়, তবে দুটি জোড়া সন্নিহিত বাহু। ডেল্টয়েড ঘুড়ির মতো আকৃতির।

• অসম দৈর্ঘ্যের বাহুর মধ্যে কোণগুলি সমান।
• ডেল্টয়েডের কর্ণ (বা তাদের এক্সটেনশন) সমকোণে ছেদ করে।
• যেকোন উত্তল ডেল্টয়েডে একটি বৃত্ত খোদাই করা যেতে পারে, এটি ছাড়াও, যদি ডেল্টয়েড একটি রম্বস না হয়, তবে আরও একটি বৃত্ত রয়েছে যা চারটি বাহুর প্রসারণকে স্পর্শ করে। একটি অ-উত্তল ডেল্টয়েডের জন্য, কেউ দুটি বড় বাহুতে একটি বৃত্ত স্পর্শক এবং দুটি ছোট বাহুর প্রসারণ এবং দুটি ছোট বাহুর জন্য একটি বৃত্ত স্পর্শক এবং দুটি বৃহত্তর বাহুর সম্প্রসারণ তৈরি করতে পারে।

• যদি ডেল্টয়েডের অসম বাহুগুলির মধ্যে কোণটি একটি সরল রেখা হয়, তবে এটিতে একটি বৃত্ত খোদাই করা যেতে পারে (বর্ণিত ডেল্টয়েড)।
• যদি একটি ডেল্টয়েডের বিপরীত বাহুগুলির একটি জোড়া সমান হয়, তাহলে এই ধরনের একটি ডেল্টয়েড একটি রম্বস।
• যদি একটি ব-দ্বীপের বিপরীত বাহু এবং উভয় কর্ণ সমান হয়, তবে ডেল্টয়েড একটি বর্গক্ষেত্র। সমান কর্ণ বিশিষ্ট একটি খোদাইকৃত ডেল্টয়েডও একটি বর্গক্ষেত্র।

জ্যামিতির উত্থানটি প্রাচীনকাল থেকে শুরু হয়েছিল এবং মানুষের ক্রিয়াকলাপের ব্যবহারিক প্রয়োজনের কারণে হয়েছিল (ভূমি পরিমাপ করার প্রয়োজন, বিভিন্ন সংস্থার আয়তন পরিমাপ করা ইত্যাদি)।

সহজ জ্যামিতিক তথ্য এবং ধারণা প্রাচীন মিশরে পরিচিত ছিল। এই সময়কালে, জ্যামিতিক বিবৃতিগুলি প্রমাণ ছাড়াই প্রদত্ত নিয়ম আকারে প্রণয়ন করা হয়েছিল।

খ্রিস্টপূর্ব সপ্তম শতাব্দী থেকে e খ্রিস্টীয় ১ম শতাব্দী পর্যন্ত e জ্যামিতি একটি বিজ্ঞান হিসাবে প্রাচীন গ্রীসে দ্রুত বিকাশ লাভ করেছিল। এই সময়কালে, শুধুমাত্র বিভিন্ন জ্যামিতিক তথ্য সংগ্রহই ঘটেনি, জ্যামিতিক বিবৃতি প্রমাণের পদ্ধতিও তৈরি করা হয়েছিল এবং জ্যামিতির মৌলিক প্রাথমিক বিধান (স্বতঃসিদ্ধ) প্রণয়নের প্রথম প্রচেষ্টা করা হয়েছিল, যেখান থেকে বিভিন্ন জ্যামিতিক বিবৃতি বিশুদ্ধভাবে যৌক্তিক যুক্তি দ্বারা উদ্ভূত হয়. প্রাচীন গ্রীসে জ্যামিতির বিকাশের স্তর ইউক্লিডের "বিগিনিংস"-এর কাজে প্রতিফলিত হয়।

এই বইটিতে, প্রথমবারের মতো, মৌলিক অনির্ধারিত জ্যামিতিক ধারণা এবং স্বতঃসিদ্ধ (পোস্টুলেটস) এর ভিত্তিতে প্ল্যানমিট্রির একটি পদ্ধতিগত নির্মাণ দেওয়ার চেষ্টা করা হয়েছিল।

গণিতের ইতিহাসে একটি বিশেষ স্থান ইউক্লিডের পঞ্চম পদটি (সমান্তরাল রেখার স্বতঃসিদ্ধ) দ্বারা দখল করা হয়েছে। দীর্ঘকাল ধরে, গণিতবিদরা ইউক্লিডের বাকী পোস্টুলেটগুলি থেকে পঞ্চম পোস্টুলেট বের করার ব্যর্থ চেষ্টা করেছিলেন এবং শুধুমাত্র 19 শতকের মাঝামাঝি সময়ে, এন.আই. লোবাচেভস্কি, বি. রিম্যান এবং জে. বোয়াই-এর গবেষণার জন্য ধন্যবাদ, এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে পঞ্চম পোস্টুলেটটি বাকি থেকে প্রাপ্ত করা যায় না, এবং ইউক্লিড দ্বারা প্রস্তাবিত স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থাই একমাত্র সম্ভব নয়।

ইউক্লিডের "এলিমেন্টস" গণিতের বিকাশে ব্যাপক প্রভাব ফেলেছিল। দুই হাজার বছরেরও বেশি সময় ধরে এই বইটি কেবল জ্যামিতির একটি পাঠ্যপুস্তকই ছিল না, এটি অনেক গাণিতিক অধ্যয়নের সূচনা বিন্দু হিসাবেও কাজ করেছিল, যার ফলস্বরূপ গণিতের নতুন স্বাধীন শাখার উদ্ভব হয়েছিল।

জ্যামিতির পদ্ধতিগত নির্মাণ সাধারণত নিম্নলিখিত পরিকল্পনা অনুযায়ী সঞ্চালিত হয়:

আমিপ্রধান জ্যামিতিক ধারণা তালিকাভুক্ত করা হয়, যা সংজ্ঞা ছাড়াই চালু করা হয়।

২.জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধ একটি সূত্র দেওয়া হল।

III.স্বতঃসিদ্ধ এবং মৌলিক জ্যামিতিক ধারণার ভিত্তিতে, অন্যান্য জ্যামিতিক ধারণা এবং উপপাদ্যগুলি প্রণয়ন করা হয়।

1. নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি নামের উৎপত্তি?
2. কোন আকৃতিকে চতুর্ভুজ বলা হয়?
3. সমান্তরালগ্রামের বৈশিষ্ট্য?
4. চতুর্ভুজের প্রকারভেদ?

ব্যবহৃত উৎসের তালিকা

1. এ.জি. Tsypkin. গণিতের হ্যান্ডবুক
2. "ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা 2006। গণিত। ছাত্র/ছাত্রীদের প্রস্তুতির জন্য শিক্ষাগত ও প্রশিক্ষণের উপকরণ
3. Mazur K. I. "M. I. Scanavi দ্বারা সম্পাদিত সংগ্রহের গণিতের প্রধান প্রতিযোগিতামূলক সমস্যার সমাধান"

পাঠের উপর কাজ করা

আপনি আধুনিক শিক্ষা সম্পর্কে একটি প্রশ্ন তুলতে পারেন, একটি ধারণা প্রকাশ করতে পারেন বা জরুরি সমস্যার সমাধান করতে পারেন শিক্ষা ফোরামযেখানে নতুন চিন্তা ও কর্মের একটি শিক্ষা পরিষদ আন্তর্জাতিকভাবে মিলিত হয়। সৃষ্টি করে ব্লগ,আপনি শুধুমাত্র একজন দক্ষ শিক্ষক হিসেবে আপনার মর্যাদাই উন্নত করবেন না, ভবিষ্যতের স্কুলের উন্নয়নে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রাখবেন। শিক্ষা নেতা গিল্ডশীর্ষস্থানীয় বিশেষজ্ঞদের দ্বার উন্মুক্ত করে এবং বিশ্বের সেরা স্কুল তৈরির দিকে সহযোগিতা করার জন্য আপনাকে আমন্ত্রণ জানায়।

জনপ্রিয়:

• অনুচ্ছেদ 282. ঘৃণা বা শত্রুতার উস্কানি, সেইসাথে মানবিক মর্যাদার অবমাননা
• কর্পোরেট সম্পত্তি কর ক্যালকুলেটর কিভাবে কর্পোরেট সম্পত্তি ট্যাক্স গণনা করতে হয় অগ্রিম অর্থপ্রদানের জন্য গণনার ফর্ম পরিবর্তিত হয়েছে৷ 2017 সালের প্রথমার্ধের রিপোর্টিং দিয়ে শুরু করে, কর্পোরেট সম্পত্তি করের হিসাব […]
• বাস্তুশাস্ত্রের আইন 100 বছরেরও বেশি সময় ধরে জনসংখ্যা এবং সম্প্রদায়ের ব্যাপক অধ্যয়নের জন্য, প্রচুর পরিমাণে তথ্য জমা হয়েছে। তাদের মধ্যে - একটি বড় সংখ্যা, র্যান্ডম বা অনিয়মিত ঘটনা এবং প্রক্রিয়া প্রতিফলিত। কিন্তু না […]
• বাধ্যতামূলক পেনশন বীমা ব্যবস্থায় পেনশন বিধানের বিকল্পগুলি 2015 এর শেষ অবধি, 1967 সালে জন্মগ্রহণকারী এবং তার চেয়ে কম বয়সী নাগরিকরা পেনশন নির্মাণ চালিয়ে যাবেন কিনা তা বেছে নিতে পারেন […]
• কৃষি মন্ত্রণালয়ের আদেশ 549 রাশিয়ান ফেডারেশনের বিচার মন্ত্রকের কাছে 5 মার্চ, 2009 তারিখে নিবন্ধিত হয়েছে N 13476 রাশিয়ান ফেডারেশনের কৃষি মন্ত্রকের তারিখ 16 ডিসেম্বর, 2008 N 532 তারিখে অনুমোদনের জন্য অনুমোদন দেওয়া হয়েছে এবং […]
• 1 জানুয়ারী, 2018 থেকে প্রতিবন্ধী শিশুদের জন্য পেনশন বৃদ্ধি করা নাগরিকদের পেনশন বিধান রাষ্ট্রের একটি বাধ্যবাধকতা। দেশের আইন-কানুন-সংবিধানে এ কথা বলা আছে। প্রতিবন্ধীদের মধ্যে যাদের প্রয়োজন […]
• JSC RZD JSC "রাশিয়ান রেলওয়ে" আদেশ তারিখের 26 জুলাই, 2012 N 87 এর অভ্যন্তরীণ আদেশের নিয়ম, আঞ্চলিক পরিষেবাদির (বিভাগ) অভ্যন্তরীণ শ্রম নিয়ন্ত্রণ প্রবিধানের অনুমোদন
• একটি দার্শনিক আন্দোলন হিসাবে comte পজিটিভিজমের 3 পর্যায়ের আইনটি এই ধারণা থেকে এগিয়েছে যে বিশ্ব, মানুষ এবং সমাজ সম্পর্কে বেশিরভাগ জ্ঞান বিশেষ বিজ্ঞানে প্রাপ্ত হয়, যে "ইতিবাচক" বিজ্ঞানের প্রচেষ্টা ত্যাগ করা উচিত […]

চার কোণ ও চার পাশে। একটি চতুর্ভুজ একটি বন্ধ পলিলাইন দ্বারা গঠিত হয়, যা চারটি লিঙ্ক নিয়ে গঠিত হয় এবং সমতলের সেই অংশটি পলিলাইনের ভিতরে থাকে।

চতুর্ভুজের উপাধিটি তার শীর্ষবিন্দুতে অক্ষর দিয়ে তৈরি, তাদের নামকরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, তারা বলে বা লেখে: চতুর্ভুজ এ বি সি ডি :

চতুর্ভুজে এ বি সি ডিপয়েন্ট ক, খ, গএবং ডি- এই চতুর্ভুজ শীর্ষবিন্দু, সেগমেন্ট এবি, বিসি, সিডিএবং ডিএ - পক্ষই.

একই পাশের শীর্ষবিন্দুকে বলা হয় প্রতিবেশী, সংলগ্ন নয় এমন শীর্ষবিন্দুকে বলা হয় বিপরীত:

চতুর্ভুজে এ বি সি ডিচূড়া কএবং খ, খএবং গ, গএবং ডি, ডিএবং কসংলগ্ন, এবং শীর্ষবিন্দু কএবং গ, খএবং ডি- বিপরীত. সংলগ্ন শীর্ষবিন্দুতে থাকা কোণগুলিকে প্রতিবেশীও বলা হয় এবং বিপরীত শীর্ষবিন্দুতে - বিপরীত।

চতুর্ভুজের বাহুগুলিকেও জোড়ায় জোড়ায় সন্নিহিত এবং বিপরীত বাহুতে ভাগ করা যায়: যে বাহুগুলির একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু রয়েছে তাকে বলা হয় প্রতিবেশী(বা সম্পর্কিত), যে দিকগুলিতে সাধারণ শীর্ষবিন্দু নেই - বিপরীত:

দলগুলো এবিএবং বিসি, বিসিএবং সিডি, সিডিএবং ডিএ, ডিএএবং এবিসংলগ্ন হয়, এবং পক্ষের এবিএবং ডিসি, বিজ্ঞাপনএবং বিসি- বিপরীত.

যদি বিপরীত শীর্ষবিন্দুগুলি একটি রেখাংশ দ্বারা সংযুক্ত থাকে, তাহলে এই ধরনের একটি অংশকে বলা হবে চতুর্ভুজের কর্ণ. চতুর্ভুজে শুধুমাত্র দুই জোড়া বিপরীত শীর্ষবিন্দু আছে বিবেচনা করে, তাহলে শুধুমাত্র দুটি কর্ণ থাকতে পারে:

সেগমেন্ট এসিএবং বিডি- তির্যক।

উত্তল চতুর্ভুজের প্রধান প্রকারগুলি বিবেচনা করুন:

• ট্র্যাপিজ- একটি চতুর্ভুজ যেখানে বিপরীত বাহুর একটি জোড়া একে অপরের সমান্তরাল এবং অন্য জোড়া সমান্তরাল নয়।
  • সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম- একটি ট্র্যাপিজয়েড যার বাহুগুলি সমান।
  • আয়তক্ষেত্রাকার ট্র্যাপিজয়েডসমকোণগুলির একটি সহ একটি ট্র্যাপিজয়েড।
• সমান্তরাল বৃত্তএকটি চতুর্ভুজ যেখানে উভয় জোড়া বিপরীত বাহু একে অপরের সমান্তরাল।
  • আয়তক্ষেত্রএকটি সমান্তরালগ্রাম যেখানে সমস্ত কোণ সমান।
  • রম্বসএকটি সমান্তরালগ্রাম যার সব বাহু সমান।
  • বর্গক্ষেত্রসমান বাহু এবং কোণ সহ একটি সমান্তরালগ্রাম। একটি আয়তক্ষেত্র এবং একটি রম্বস উভয়ই একটি বর্গক্ষেত্র হতে পারে।

উত্তল চতুর্ভুজের কোণার বৈশিষ্ট্য

সমস্ত উত্তল চতুর্ভুজের নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

1. যেকোনো অভ্যন্তরীণ কোণ 180° এর কম।
2. অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল 360°।

পাঠের বিষয়

• চতুর্ভুজের সংজ্ঞা।

পাঠের উদ্দেশ্য

• শিক্ষাগত - বিষয়ের পুনরাবৃত্তি, সাধারণীকরণ এবং জ্ঞানের পরীক্ষা: "চতুর্ভুজ"; মৌলিক দক্ষতা উন্নয়ন।
• উন্নয়নশীল - শিক্ষার্থীদের মনোযোগ, অধ্যবসায়, অধ্যবসায়, যৌক্তিক চিন্তাভাবনা, গাণিতিক বক্তৃতা বিকাশের জন্য।
• শিক্ষামূলক - পাঠের মাধ্যমে একে অপরের প্রতি মনোযোগী মনোভাব গড়ে তোলা, কমরেডদের কথা শোনার ক্ষমতা, পারস্পরিক সহায়তা, স্বাধীনতা জাগানো।

পাঠের উদ্দেশ্য

• একটি স্কেল বার এবং একটি অঙ্কন ত্রিভুজ ব্যবহার করে একটি চতুর্ভুজ নির্মাণে দক্ষতা তৈরি করা।
• শিক্ষার্থীদের সমস্যা সমাধানের ক্ষমতা পরীক্ষা করুন।

পাঠ পরিকল্পনা

1. ইতিহাসের রেফারেন্স। নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি।
2. চতুর্ভুজ।
3. চতুর্ভুজের প্রকারভেদ।

নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি

নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি, জ্যামিতির অনুরূপ জ্যামিতি ইউক্লিডএতে এটি পরিসংখ্যানের গতিবিধিকে সংজ্ঞায়িত করে, কিন্তু ইউক্লিডীয় জ্যামিতি থেকে আলাদা যে এর পাঁচটি পদের মধ্যে একটি (দ্বিতীয় বা পঞ্চম) এর নেতিবাচকতা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। ইউক্লিডীয় অনুশাসনগুলির একটিকে অস্বীকার করা (1825) চিন্তার ইতিহাসে একটি উল্লেখযোগ্য ঘটনা, কারণ এটি প্রথম পদক্ষেপ হিসাবে কাজ করেছিল আপেক্ষিক তত্ত্ব.

ইউক্লিডের দ্বিতীয় সূত্রে বলা হয়েছে যে যেকোনো লাইন সেগমেন্ট অনির্দিষ্টকালের জন্য বাড়ানো যেতে পারে. ইউক্লিড স্পষ্টতই বিশ্বাস করতেন যে এই পোস্টুলেটে এই বিবৃতিও রয়েছে যে সরলরেখার দৈর্ঘ্য অসীম। যাহোক "অধিবৃত্ত" জ্যামিতিতে যেকোন সরলরেখা সসীম এবং একটি বৃত্তের মতো বন্ধ থাকে।

পঞ্চম অনুমানে বলা হয়েছে যে যদি একটি রেখা দুটি প্রদত্ত রেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যে তার এক পাশের দুটি অভ্যন্তরীণ কোণ যোগফলের দুটি সমকোণ থেকে কম হয়, তবে এই দুটি রেখা, যদি অনির্দিষ্টকালের জন্য প্রসারিত হয়, তাহলে সেই পাশে ছেদ করবে যেখানে এই কোণের যোগফল দুটি সরলরেখার সমষ্টির চেয়ে কম। কিন্তু "হাইপারবোলিক" জ্যামিতিতে, একটি রেখা CB (চিত্র দেখুন), একটি প্রদত্ত রেখা r-এর C বিন্দুতে লম্ব এবং B বিন্দুতে একটি তীব্র কোণে অন্য একটি রেখা s কে ছেদ করতে পারে, কিন্তু, তবুও, অসীম রেখাগুলি r এবং s কখনই ছেদ করবে না।

এই সংশোধিত অনুমানগুলি থেকে এটি অনুসরণ করা হয়েছে যে একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি, ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে 180° সমান, উপবৃত্তাকার জ্যামিতিতে 180° এর চেয়ে বেশি এবং অধিবৃত্ত জ্যামিতিতে 180° এর কম।

চতুর্ভুজ

বিষয় > গণিত > গণিত গ্রেড 8

একটি উত্তল চতুর্ভুজ হল এমন একটি চিত্র যা শীর্ষবিন্দুতে একে অপরের সাথে সংযুক্ত চারটি বাহু নিয়ে গঠিত, বাহুগুলির সাথে একসাথে চারটি কোণ তৈরি করে, যখন চতুর্ভুজটি নিজেই সর্বদা একই সমতলে থাকে সরলরেখার সাপেক্ষে যার একটি বাহু থাকে। অন্য কথায়, পুরো চিত্রটি এর যে কোনো বাহুর একপাশে।

সঙ্গে যোগাযোগ

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সংজ্ঞাটি মনে রাখা বেশ সহজ।

মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং প্রকার

আমাদের কাছে পরিচিত প্রায় সমস্ত পরিসংখ্যান, চারটি কোণ এবং বাহু নিয়ে গঠিত, উত্তল চতুর্ভুজের জন্য দায়ী করা যেতে পারে। নিম্নলিখিতগুলি আলাদা করা যেতে পারে:

1. সমান্তরালগ্রাম;
2. বর্গক্ষেত্র;
3. আয়তক্ষেত্র;
4. trapezoid;
5. রম্বস

এই সমস্ত পরিসংখ্যানগুলি কেবলমাত্র চতুর্ভুজাকার নয়, বরং উত্তল হওয়ার কারণেও একত্রিত হয়। শুধু ডায়াগ্রামটি দেখুন:

চিত্রটি একটি উত্তল ট্র্যাপিজয়েড দেখায়. এখানে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে ট্র্যাপিজয়েড একই সমতলে বা সেগমেন্টের একপাশে রয়েছে। আপনি যদি অনুরূপ ক্রিয়া সম্পাদন করেন তবে আপনি জানতে পারবেন যে অন্যান্য সমস্ত পক্ষের ক্ষেত্রে, ট্র্যাপিজয়েড উত্তল।

একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ কি একটি উত্তল চতুর্ভুজ?

উপরে একটি সমান্তরালগ্রামের একটি চিত্র। চিত্র থেকে দেখা যায়, সমান্তরালগ্রামও উত্তল. যে রেখাগুলির উপর AB, BC, CD এবং AD রেখাগুলি রয়েছে তার সাপেক্ষে যদি আপনি চিত্রটি দেখেন তবে এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে এই রেখাগুলি থেকে এটি সর্বদা একই সমতলে থাকে। একটি সমান্তরালগ্রামের প্রধান বৈশিষ্ট্য হল এর বাহুদ্বয় যুগলভাবে সমান্তরাল এবং একইভাবে সমান যেমন বিপরীত কোণগুলি একে অপরের সমান।

এখন, একটি বর্গক্ষেত্র বা একটি আয়তক্ষেত্র কল্পনা করুন। তাদের প্রধান বৈশিষ্ট্য অনুসারে, তারাও সমান্তরাল, অর্থাৎ, তাদের সমস্ত বাহু সমান্তরালভাবে জোড়ায় সাজানো হয়েছে। শুধুমাত্র একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন হতে পারে, এবং কোণগুলি সঠিক (90 ডিগ্রির সমান), একটি বর্গক্ষেত্র হল একটি আয়তক্ষেত্র যেখানে সমস্ত বাহু সমান এবং কোণগুলিও সঠিক, যখন দৈর্ঘ্য একটি সমান্তরালগ্রামের বাহু এবং কোণ ভিন্ন হতে পারে।

ফলে চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360 ডিগ্রীর সমান হতে হবে. এটি নির্ধারণ করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল একটি আয়তক্ষেত্র: আয়তক্ষেত্রের চারটি কোণ সঠিক, অর্থাৎ 90 ডিগ্রির সমান। এই 90-ডিগ্রি কোণগুলির যোগফল 360 ডিগ্রি দেয়, অন্য কথায়, আপনি যদি 4 বার 90 ডিগ্রি যোগ করেন তবে আপনি পছন্দসই ফলাফল পাবেন।

একটি উত্তল চতুর্ভুজের কর্ণের বৈশিষ্ট্য

একটি উত্তল চতুর্ভুজের কর্ণ ছেদ করে. প্রকৃতপক্ষে, এই ঘটনাটি দৃশ্যত পর্যবেক্ষণ করা যেতে পারে, শুধু চিত্রটি দেখুন:

বাম দিকের চিত্রটি একটি অ-উত্তল চতুর্ভুজ বা চতুর্ভুজ দেখায়। তোমার ইচ্ছা. আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কর্ণগুলি ছেদ করে না, অন্তত তাদের সবগুলি নয়। ডানদিকে একটি উত্তল চতুর্ভুজ রয়েছে। এখানে তির্যক ছেদ করার বৈশিষ্ট্য ইতিমধ্যেই পরিলক্ষিত হয়েছে। একই সম্পত্তি চতুর্ভুজের উত্তলতার একটি চিহ্ন হিসাবে বিবেচিত হতে পারে।

চতুর্ভুজের উত্তলতার অন্যান্য বৈশিষ্ট্য এবং চিহ্ন

বিশেষ করে, এই শব্দটি অনুসারে, কোনো নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যের নাম দেওয়া খুবই কঠিন। এই ধরণের চতুর্ভুজগুলির বিভিন্ন ধরণের অনুসারে বিচ্ছিন্ন করা সহজ। আপনি একটি সমান্তরালগ্রাম দিয়ে শুরু করতে পারেন। আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে এটি একটি চতুর্ভুজাকৃতির চিত্র, যার বাহুগুলি যুগলভাবে সমান্তরাল এবং সমান। একই সময়ে, সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলির একে অপরের সাথে ছেদ করার সম্পত্তি, সেইসাথে চিত্রের উত্তলতার চিহ্নটিও এখানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে: সমান্তরালগ্রাম সর্বদা একই সমতলে এবং একদিকে আপেক্ষিক থাকে এর যে কোনো দিকে।

তাই, প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য পরিচিত হয়:

1. একটি চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি হল 360 ডিগ্রি;
2. চিত্রগুলির কর্ণগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে।

আয়তক্ষেত্র. এই চিত্রটিতে সমান্তরালগ্রামের মতো একই বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে এর সমস্ত কোণ 90 ডিগ্রির সমান। তাই নাম, আয়তক্ষেত্র.

বর্গক্ষেত্র, একই সমান্তরাল বৃত্ত, কিন্তু এর কোণগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের মতো সঠিক। এই কারণে, একটি বর্গক্ষেত্রকে খুব কমই একটি আয়তক্ষেত্র বলা হয়। কিন্তু একটি বর্গক্ষেত্রের প্রধান স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য, ইতিমধ্যে উপরে তালিকাভুক্ত করা ছাড়াও, এর চারটি বাহু সমান।

ট্র্যাপিজয়েড একটি খুব আকর্ষণীয় চিত্র।. এটি একটি চতুর্ভুজও এবং উত্তলও। এই নিবন্ধে, ট্র্যাপিজয়েড ইতিমধ্যে একটি অঙ্কনের উদাহরণ ব্যবহার করে বিবেচনা করা হয়েছে। এটা স্পষ্ট যে সেও উত্তল। প্রধান পার্থক্য, এবং তদনুসারে, একটি ট্র্যাপিজয়েডের একটি চিহ্ন হল যে এর দিকগুলি দৈর্ঘ্যে একে অপরের সমান নয়, পাশাপাশি এর কোণগুলিও সমান হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, চিত্রটি সর্বদা একই সমতলে থাকে যে কোনও সরল রেখার ক্ষেত্রে যা চিত্রটি গঠনকারী অংশগুলির সাথে এর যে কোনও দুটি শীর্ষকে সংযুক্ত করে।

রম্বস একটি সমান আকর্ষণীয় ব্যক্তিত্ব. আংশিকভাবে একটি রম্বস একটি বর্গ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। একটি রম্বসের একটি চিহ্ন হল যে এর কর্ণগুলি কেবল ছেদ করে না, তবে রম্বসের কোণগুলিকে অর্ধেক করে বিভক্ত করে এবং তির্যকগুলি নিজেরাই সমকোণে ছেদ করে, অর্থাৎ তারা লম্ব। যদি রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয়, তাহলে কর্ণগুলিও ছেদকে অর্ধেকে বিভক্ত করা হয়।

ডেল্টয়েড বা উত্তল রম্বয়েড (রম্বস)বিভিন্ন পার্শ্ব দৈর্ঘ্য থাকতে পারে। তবে একই সময়ে, রম্বসের প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য এবং উত্তলতার বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি এখনও সংরক্ষিত রয়েছে। অর্থাৎ, আমরা লক্ষ্য করতে পারি যে কর্ণগুলি কোণগুলিকে দ্বিখণ্ডিত করে এবং সমকোণে ছেদ করে।

আজকের কাজটি ছিল উত্তল চতুর্ভুজগুলি কী, সেগুলি কী এবং তাদের প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করা এবং বোঝা। মনোযোগ! এটি আবারও স্মরণ করার মতো যে একটি উত্তল চতুর্ভুজের কোণের সমষ্টি হল 360 ডিগ্রি। উদাহরণস্বরূপ, পরিসংখ্যানের পরিধি চিত্রটি গঠনকারী সমস্ত অংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টির সমান। চতুর্ভুজের পরিধি এবং ক্ষেত্রফল গণনার সূত্রগুলি নিম্নলিখিত নিবন্ধগুলিতে আলোচনা করা হবে।

উত্তল চতুর্ভুজের প্রকারভেদ